Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória)

ARANY DÁNIEL MATEMATIKAI TANULÓVERSENY 014/015-ÖS TANÉV Kezdők és Haladók I., II. és III. kategória) Feladatok és megoldások A verseny az NTP-TV-14-A-0007 azonosító számú pályázat alapján a Nemzeti Tehetség Program, az Emberi Erőforrások Minisztériuma, az Emberi Erőforrás Támogatáskezelő, valamint az Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet támogatásával valósult meg. Bolyai János Matematikai Társulat

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 014/015-ös tanév Kezdők I II. kategória, I. forduló Feladatok 1. Hány olyan négyjegyű pozitív egész szám van, amelynek néhány számjegyét a szám elejéről ugyanabban a sorrendben) a szám végére helyezve visszakapható az eredeti szám? Például az 134 nem ilyen, mert a 341, 341, 413 mind különböznek tőle.). Melyek azok a p, q pozitív prímszámok, melyekre p 1 osztható q-val, és q 1 osztható p-vel? 3. Hányféleképpen helyezhető el egy 8 8-as sakktáblán egy 5 5-ös négyzet úgy, hogy a kisebb négyzet csúcsai a sakktábla mezőinek valamely csúcsára essenek? 4. Egy háromszög egyik oldala egység hosszúságú, a rajta fekvő szögek 60 és 75 -osak. Igazold, hogy a háromszög területe t = 3 + 3! Megoldások és javítási útmutató 1. Hány olyan négyjegyű pozitív egész szám van, amelynek néhány számjegyét a szám elejéről ugyanabban a sorrendben) a szám végére helyezve visszakapható az eredeti szám? Például az 134 nem ilyen, mert a 341, 341, 413 mind különböznek tőle.) Megoldás. Először számoljuk meg, hány olyan van, amelynek az első számjegyét áthelyezve a szám végére visszakapjuk az eredeti számot. Az eredeti abcd szám pontosan akkor egyezik meg bcda-val, ha a = b = c = d, azaz pontosan az aaaa alakú számok ilyenek, ahol a = b = c = d) bármelyik 0-tól különböző számjegy lehet, vagyis 9 ilyen szám van. Ha az első két számjegy áthelyezésével lehet visszakapni az eredeti számot, akkor az eredeti abcd szám megegyezik cdab-vel, ami pontosan akkor teljesül, ha a = c és b = d. Az a = c) számjegy 9 féle lehet bármi, kivéve a 0-t), a b = d) számjegy pedig 10 féle lehet, így összesen 90 ilyen szám van. Ezek közül 9-et viszont már számoltunk: az aaaa alakúakat, így csak 81 új számot kapunk. Végül, ha az abcd szám első három számjegyét áthelyezve kapható vissza az eredeti szám, akkor abcd = dabc, ami pontosan akkor teljesül, ha a = b = c = d, vagyis ismét csak az aaaa alakú számokat kapjuk meg, azaz nem kapunk új megoldást. Összesen tehát 90 ilyen szám van. pont

. Melyek azok a p, q pozitív prímszámok, melyekre p 1 osztható q-val, és q 1 osztható p-vel? Megoldás. Mivel q p 1 = p 1)p + 1), ezért q p 1 vagy q p + 1, mindkét esetben q p + 1. Ugyanígy p q + 1 is teljesül. Vagyis a p és q prímszámok különbsége legfeljebb 1. Ha p = q lenne, akkor p p 1 alapján p 1 következne, ami ellentmondás. Tehát p és q prímszámok különbsége pontosan 1, így az egyik szám, a másik pedig 3. Ez valóban megoldás, mivel 3 1 = 8 és 3 1 = 3. pont 3. Hányféleképpen helyezhető el egy 8 8-as sakktáblán egy 5 5-ös négyzet úgy, hogy a kisebb négyzet csúcsai a sakktábla mezőinek valamely csúcsára essenek? Megoldás. Ha a sakktábla éleivel párhuzamosak az 5 5-ös négyzet élei, akkor illesszük először a kicsi négyzetet a sakktábla bal felső sarkába. Ezt jobbra vagy lefelé legfeljebb 3 egységgel mozgathatjuk el, így 4 4 = 16 ilyen elrendezés van. Ha az 5 5-ös négyzet oldalai nem párhuzamosak a sakktábla oldalaival, akkor a 3, 4, 5 Pitagoraszi számhármas alapján négyszögünket egy 7 7-es négyzetbe illeszthetjük be az alábbiak szerint: a 7 7-es négyzet bal felső csúcsából elindulva az óramutató járásának megfelelő irányba egyik esetben 3, 4, másik esetben pedig 4, 3 egységekre osszuk fel az oldalakat. A kijelölt osztópontok adják az 5 5-ös négyzet csúcsait. Az előzőek alapján a 7 7-es négyzetet = 4-féleképpen lehet a sakktáblán elhelyezni. Tehát = 8 ilyen elrendezés van. Azaz összesen 4 4 + = 4-féleképpen lehet az 5 5-ös négyzetet a feltételeknek megfelelően a sakktáblán elhelyezni. pont 3 pont 4. Egy háromszög egyik oldala egység hosszúságú, a rajta fekvő szögek 60 és 75 -osak. Igazold, hogy a háromszög területe t = 3 + 3! Megoldás. Készítsünk ábrát! Rajzoljuk be a 75 -os szöghöz tartozó B csúcsból induló magasságot, és legyen a talppontja a szemközti oldalon T! Ez a magasság a háromszöget két derékszögű háromszögre bontja. Az ABT derékszögű háromszög egy fél szabályos háromszög, ezért AT = AB 3 = 1 és BT = AB = 3. pont A BT C derékszögű háromszögben a B csúcsnál lévő szög nagysága 75 30 = 45, így ez egy egyenlőszárú derékszögű háromszög, azaz T C = BT = 3. pont Így a háromszög területe: t = b m b = 1 + 3 ) 3 = 3 + 3. 3

Kezdők I II. kategória, II. forduló Kezdők III. kategória I. forduló Feladatok 1. Mely x és y valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség: x + y + xy x + y + 1? 6 pont). Az ABCD szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja AB = 3 cm hosszú. A BC átmérőjű kör átmegy az átlók metszéspontján és az AB alap B-hez legközelebbi negyedelőpontján. Mekkora a trapéz területe? 6 pont) 3. Jelölje a; b) az a és b pozitív egész számok legnagyobb közös osztóját. Mennyi az alábbi 015-tagú összeg értéke: 1; 015) + ; 015) + 3; 015) +... + 014; 015) + 015; 015)? 8 pont) 4. Egy különböző pozitív egész számokból álló háromszög alakú számtáblázatot érdekesnek nevezünk, ha bármely nem a felső sorban elhelyezkedő elemére igaz, hogy az előállítható a közvetlenül felette elhelyezkedő két szám hányadosaként. Pl. az alábbi 3-szintes táblázat érdekes : 7 4 14 6 3 Határozzuk meg azt a legkisebb pozitív egész számot, amely előfordulhat egy 4-szintes érdekes számtáblázat legnagyobb elemeként. 10 pont) 5. Legfeljebb mekkora lehet az a + b + c kifejezés értéke, ha minden 1 x 1 esetén ax + bx + c 100? 10 pont) Megoldások és javítási útmutató 1. Mely x és y valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség: x + y + xy x + y + 1? 6 pont) 4

Megoldás. A tagokat egy oldalra rendezve és -vel megszorozva az egyenlőtlenséget azt kapjuk, hogy x + y + 1 x y xy ) 0. ) Ebből a baloldalt átalakítva azt kapjuk, hogy x y) + x 1) + y 1) 0. 3 pont) A baloldal mindhárom tagja nem negatív, ezért mindhárom értéke csak 0 lehet, tehát: x = y, x = 1 és y = 1. Így az egyenlőtlenség csak az x = 1 és y = 1 számokra teljesül. pont). Az ABCD szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja AB = 3 cm hosszú. A BC átmérőjű kör átmegy az átlók metszéspontján és az AB alap B-hez legközelebbi negyedelőpontján. Mekkora a trapéz területe? 6 pont) Megoldás. Legyen az átlók metszéspontja M, az AB oldal B-hez közelebbi negyedelőpontja H! Készítsünk ábrát! Mivel a BC szakasz Thalész köre átmegy az M és a H ponton, ezért a CMB = CHB = 90. Így CH a szimmetrikus trapéz magassága. Ebből következően HB = a c, azaz a 4 = a c, így c = 3 cm. Mivel a trapéz egyenlő szárú, ezért a CDM és az ABM háromszög egyenlő szárú és az előzőek alapján derékszögű is. ) ) ) ) Emiatt F M = c = 3 4 cm és GM = a = 3 cm, ahol F a CD oldal, G az AB oldal felezőpontja. Így CH = F G = F M + MG = 9 4 ) cm. Tehát a trapéz területe T = a + c m = 81 16 cm. ) 3. Jelölje a; b) az a és b pozitív egész számok legnagyobb közös osztóját. Mennyi az alábbi 015-tagú összeg értéke: 1; 015) + ; 015) + 3; 015) +... + 014; 015) + 015; 015)? 8 pont) Megoldás. Mivel 015 = 5 13 31, azt kell meghatároznunk, hogy hány olyan 015-nél nem nagyobb x pozitív egész szám van, amelyre x; 015) értéke 1; 5; 13; 31; 5 13; 5 31; 13 31 vagy 015. ) 5

Az egyes oszthatósági feltételeket teljesítő x-ek száma: 5 x; 015) 403 db, 13 x; 015) 155 db; 31 x; 015) 65 db, ) 5 13 x; 015) 31 db, 5 31 x; 015) 13 db, 13 31 x; 015) 5 db, ) 5 13 31 x; 015) 1 db. ) A meghatározott elemszámokat a halmazábrába beírva megállapíthatjuk, hogy csak az x; 015) = 5 feltételt összesen 403 1 31 1) 13 1) = 360 db, csak az x; 015) = 13 feltételt összesen 155 1 31 1) 5 1) = 10 db, végül kizárólag az x; 015) = 31 egyenlőséget összesen 65 1 13 1) 5 1) = 48 db szám teljesíti. Így a 015-höz relatív prímek száma: 1440 db ez utóbbi adat meghatározható az Euler-féle φ-függvénnyel is). A korábbi eredményeinket felhasználva a keresett összeg értéke: 3 pont) 1440 1 + 360 5 + 10 13 + 48 31 + 30 5 13) + 1 5 31) + 4 13 31) + 1 015 = 13 75. ) 4. Egy különböző pozitív egész számokból álló háromszög alakú számtáblázatot érdekesnek nevezünk, ha bármely nem a felső sorban elhelyezkedő elemére igaz, hogy az előállítható a közvetlenül felette elhelyezkedő két szám hányadosaként. Pl. az alábbi 3-szintes táblázat érdekes : 7 4 14 6 3 Határozzuk meg azt a legkisebb pozitív egész számot, amely előfordulhat egy 4-szintes érdekes számtáblázat legnagyobb elemeként. 10 pont) Megoldás. A 4-szintes érdekes számtáblázat nem tartalmazhatja az 1-es számot, mert ekkor az elemek között biztosan lenne legalább két egyenlő. ) 6

Jelöljük az alsó sorban helyet foglaló számot a 1 -gyel a 1 N +, a 1 ). Ekkor alulról a. sorban helyet foglaló pozitív egész számok az a és a 1 a, ahol a a 1. Alulról a 3. sorban az a 1 a szám felett közvetlenül tetszőleges sorrendben) az a 3 és a 1 a a 3 pozitív egész számok állnak, ahol a 3 a 1, a 3 a. Végül a felső sorban közvetlenül az a 1 a a 3 szám felett tetszőleges sorrendben) az a 4 és a 1 a a 3 a 4 számok állnak, ahol a 4 a 1, a 4 a, a 4 a 3. Ez viszont azt jelenti, hogy a felső sorban található legnagyobb szám legalább akkora, mint a 1 a a 3 a 4. Mivel az a 1 a a 3 a 4 szorzat négy különböző pozitív egészből áll, melyek mindegyike legalább, ezért a 1 a a 3 a 4 3 4 5 = 10. Ezzel a legnagyobb elemmel készíthető is 4-szintes érdekes táblázat, például az alábbi: ) ) ) ) 4 pont) 40 5 10 30 8 4 4 3 6 Tehát a feladat feltételeinek megfelelő szám a 10. ) 5. Legfeljebb mekkora lehet az a + b + c kifejezés értéke, ha minden 1 x 1 esetén ax + bx + c 100? 10 pont) Megoldás. Az általánosság megszorítása nélkül vizsgálhatjuk azt az esetet, amikor a 0. a < 0 esetén a másodfokú kifejezést 1)-gyel beszorozva továbbra is teljesülnek a feladat feltételei és az együtthatók abszolútértékeinek összege is változatlan marad.) Másrészt b < 0 esetén az értelmezési tartomány 0-ra vonatkozó szimmetriája miatt x helyére x)-et helyettesítve nyilván teljesül az ax bx + c 100 feltétel, és az együtthatók abszolútértékeinek összege most is ugyanannyi marad. Így elegendő azzal az esettel foglalkoznunk, amikor b 0. Tekintsük ezután az fx) = ax + bx + c a 0, b 0, x [ 1; 1]) függvényt. Mivel f0) = c és f1) = a + b + c, ezért a megadott feltétel alapján ) ) c 100 és a + b + c 100, 100 c 100 és 100 a + b + c 100. pont) c 0 esetén: c < 0 esetén pedig: a + b + c = a + b + c 100. ) a + b + c = a + b c = a + b + c) c 100 + 00 = 300. Ez utóbbi felső korlát elérhető például az fx) = 00x 100 x [ 1; 1] függvény esetén, ahol a függvény grafikonja olyan parabola, melynek csúcspontja a 0; 100) pont, áthalad a 1; 100), 1; 100) pontokon és R f = [ 100; 100]. Tehát a keresett kifejezés maximális értéke 300. pont) pont) ) 7

Kezdők I. kategória, 3. döntő) forduló Feladatok 1. Egy ötjegyű szám minden számjegye különböző. Erre a számra n =, 3, 4 és 5 esetén egyaránt teljesül, hogy bárhogyan választunk ki benne n db szomszédos számjegyet, az ezek összeolvasásával kapott n-jegyű szám osztható lesz n-nel. Melyek ezek az ötjegyű számok?. Adott 10 olyan különböző -hatvány, amelyek mindegyikében a kitevője egy 100-nál kisebb pozitív egész szám. Igazoljuk, hogy biztosan ki lehet közülük választani néhányat esetleg az összeset) úgy, hogy a kiválasztott számok két olyan csoportba oszthatók, amelyekben a számok szorzata ugyanannyi. Ha valamelyik csoportba csak egyetlen szám kerül, akkor abban a csoportban szorzat értéke maga a szám.) 3. Legyen az ABC hegyesszögű háromszög C csúcsához tartozó magasságvonalának az AB oldallal alkotott metszéspontja T. Tükrözzük a T pontot a BC oldal egyenesére, a kapott pont legyen R. Húzzunk az R ponton keresztül párhuzamost a CT magassággal, az így kapott egyenes az AC oldal egyenesét metssze Q, a BC oldal egyenesét P pontban. Bizonyítsuk be, hogy a P T egyenes pontosan akkor merőleges az AC egyenesre, ha az ABC háromszög olyan egyenlő szárú háromszög, amelynek AB és AC oldalai egyenlő hosszúságúak. Megoldások és javítási útmutató 1. Egy ötjegyű szám minden számjegye különböző. Erre a számra n =, 3, 4 és 5 esetén egyaránt teljesül, hogy bárhogyan választunk ki benne n db szomszédos számjegyet, az ezek összeolvasásával kapott n-jegyű szám osztható lesz n-nel. Melyek ezek az ötjegyű számok? Megoldás. Legyen az ötjegyű szám: abcde. Ekkor a feladat feltételei szerint ab, bc, cd és de. Így b, c, d és e páros számjegyek és 5 abcde, így e csak 0 lehet. 4 bcde bármilyen páros d számjegy választása mellett teljesülne, de 4 abcd-nek is teljesülnie kell, ami pontosan akkor teljesül, ha 4 cd. Mivel c-ről korábban már megállapítottuk, hogy páros, így d értéke csak 4 vagy 8 lehet, azaz cd értéke 4, 8, 48, 64, 68 vagy 84 lehet. Tehát a szám végződése a 3 cde feltételt is figyelembe véve csak 40 vagy 840 vagy 480 lehet. Emellett 3 bcd, tehát 3 b + 6 vagy 3 b + 1, amiből b értékére az egyetlen lehetőség: b = 6. Tehát a szám végződése 640 vagy 6480 vagy 6840. 8

Végül csak azt kell biztosítani, hogy 3 abc teljesüljön. Ez pontosan akkor teljesül, ha 3 a + b + c = a + 6 + c, tehát 3 a + c, azaz c = esetén a = 1 vagy 7, c = 4 esetén a = vagy 5 és c = 8 esetén a = 1 vagy 7. Tehát a keresett számok: 16 40, 16 840, 6 480, 56 480, 76 40 és 76 840. a b c d e 1. 1 6 4 0. 7 6 4 0 3. 6 4 8 0 4. 5 6 4 8 0 5. 1 6 8 4 0 6. 7 6 8 4 0. Adott 10 olyan különböző -hatvány, amelyek mindegyikében a kitevője egy 100-nál kisebb pozitív egész szám. Igazoljuk, hogy biztosan ki lehet közülük választani néhányat esetleg az összeset) úgy, hogy a kiválasztott számok két olyan csoportba oszthatók, amelyekben a számok szorzata ugyanannyi. Ha valamelyik csoportba csak egyetlen szám kerül, akkor abban a csoportban szorzat értéke maga a szám.) Megoldás. A hatványozás azonosságai miatt a feladat átfogalmazható: Tegyük fel, hogy adott tíz 100-nál kisebb pozitív egész szám. Igazoljuk, hogy biztosan ki lehet közülük választani néhányat esetleg az összeset) úgy, hogy a kiválasztott számok két olyan csoportra oszthatók, amelyekben a számok összege ugyanannyi. Ha valamelyik csoportba csak egyetlen szám kerül, akkor abban a csoportban az összeg értéke ez a szám.) Egy 10 elemű halmaznak 10 = 104) részhalmaza van. 10 darab 100-nál kisebb pozitív egész szám összege legalább 55 és legfeljebb 945 lehet, azaz a 10 számból képzett összegek legfeljebb 891 különböző értéket vehetnek fel. Az is elég, ha helyesen indokolja, hogy a lehetséges összegek száma kevesebb, mint 104.) Mivel a lehetséges értékek száma kevesebb, mint a részhalmazok száma, így a skatulyaelv értelmében kell lennie két olyan részhalmaznak, amelyekben szereplő számok összege ugyanannyi. Hagyjuk el ennek a két halmaznak a közös elemeit! Az így kapott halmazok közül egyik sem lehet üres, mivel ez azt jelentené, hogy az egyik halmaz tartalmazza a másikat, ami lehetetlen, hiszen elemeik összege egyenlő. Az így kapott halmazokban szereplő számok összege továbbra is egyenlő lesz, azaz ezek a számok megfelelnek a feladat követelményeinek. 3. Legyen az ABC hegyesszögű háromszög C csúcsához tartozó magasságvonalának az AB oldallal alkotott metszéspontja T. Tükrözzük a T pontot a BC oldal egyenesére, a kapott pont legyen R. Húzzunk az R ponton keresztül párhuzamost a CT magassággal, az így kapott egyenes az AC oldal egyenesét metssze Q, a BC oldal egyenesét P pontban. Bizonyítsuk be, hogy a P T egyenes pontosan akkor merőleges az AC egyenesre, ha az ABC háromszög olyan egyenlő szárú háromszög, amelynek AB és AC oldalai egyenlő hosszúságúak. 9

Megoldás. Készítsünk ábrát! Jelölje a P T és AC egyenesek metszéspontját S, és vezessük be a β = ABC, γ = BCA és φ = = P SC jelöléseket! Megmutatjuk, hogy φ = 90 pontosan akkor teljesül, ha β = γ, vagyis az ABC háromszögben AB = AC. A CT és P R egyenesek párhuzamossága miatt T CB és CP R váltószögek, továbbá a T és R pontoknak a P C egyenesre való szimmetriája alapján CP S = CP R. Mivel CT B = 90, ezért azt kapjuk, hogy CP S = T CB = 90 β. Ekkor a CP S háromszögben φ = 180 90 β) γ = 90 γ β). Ez pedig azt jelenti, hogy φ = 90 akkor és csak akkor teljesül, ha β = γ. Kezdők II. kategória, 3. döntő) forduló Feladatok 1. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletrendszert: 1) x 3 9 y 3y + 3 ) = 0, ) y 3 9 z 3z + 3 ) = 0, 3) z 3 9 x 3x + 3 ) = 0.. Az ABC háromszög AD, BE és CF súlyvonalai az S pontban metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy ha az AES, BDS és CDS háromszögek beírt köreinek sugara azonos nagyságú, akkor az ABC háromszög szabályos! 3. Legfeljebb hány számot lehet kiválasztani az {1,, 3,..., 100} halmazból úgy, hogy semelyik két különbözőnek a szorzata ne legyen négyzetszám? 10

Megoldások és javítási útmutató 1. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletrendszert: 1) x 3 9 y 3y + 3 ) = 0, ) y 3 9 z 3z + 3 ) = 0, 3) z 3 9 x 3x + 3 ) = 0. Megoldás. Írjuk fel az egyenletrendszert az alábbi alakban: Az egyenleteket összeadva: y 3) 3 = y 3 x 3, z 3) 3 = z 3 y 3, x 3) 3 = x 3 z 3. 4) x 3) 3 + y 3) 3 + z 3) 3 = 0. A kapott egyenlet baloldalán szereplő kifejezések valamelyikének nemnegatívnak kell lennie, ezért az egyenlet szimmetriája miatt az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy x 3. Ekkor a 3)-as egyenlet átrendezésével z 3 7 = 9xx 3). Ebből az x-re tett feltétel alapján z 3 7 0, azaz z 3. Hasonlóképpen adódik a )-es egyenletből, hogy y 3. Mivel 3 nemnegatív szám összege pontosan akkor 0, ha minden tag értéke 0, ezért a 4)-es egyenlet figyelembevételével az egyenletrendszer egyetlen megoldása: x = y = z = 3. A kapott értékeket ellenőrizve azok teljesítik a feladat feltételeit.. Az ABC háromszög AD, BE és CF súlyvonalai az S pontban metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy ha az AES, BDS és CDS háromszögek beírt köreinek sugara azonos nagyságú, akkor az ABC háromszög szabályos. 11

Megoldás. A feladatban szereplő körök sugarát, középpontjait és érintési pontjait jelöljük az ábra szerint. A BDS és CDS háromszögek területe megegyezik, mivel az S-ből induló magasságuk közös és az S-sel szemközti oldaluk egyenlő hosszú. A BDS háromszög felosztható az O BD, O DS és O SB, a CDS háromszög pedig az O 3 DC, O 3 CS és O 3 SD háromszögekre. Az O BD háromszög területe megegyezik az O 3 DC háromszög területével, mivel az egyik oldaluk és a hozzá tartozó magasságuk egyenlő. Hasonlóképpen az O DS és az O 3 DS háromszögek területe is azonos. Emiatt az O SB háromszög és az O 3 CS háromszög területe is megegyezik. Mivel ezen két háromszögnek van két egyenlő hosszúságú magassága, ezért a hozzátartozó egy-egy-oldaluk is megegyezik, azaz BS = CS. Tudjuk, hogy BD = DC, tehát BDS = CDS, mivel oldalaik páronként egyenlők. Az egybevágóság alapján BDS = CDS és BDS + CDS = 180 alapján BDS = = CDS = 90. Mivel az AD súlyvonal egyben magasság is az ABC háromszögben, ezért az ABC háromszög egyenlőszárú és AB = AC. Mivel az O 1 és O az ASE és a BSD szögfelezőjén helyezkednek el és ASE = = BCD, ezért O SR = O 1 SL. Továbbá O 1 L = O R és O 1 LS = O RS = 90 alapján O 1 SL = O SR és SL = SR. Az ASE és BSD háromszögek 3-3 egybevágó háromszögpárra bonthatók fel O 1 SL = = O 1 SK, O 1 EL = O 1 EM, O 1 AM = O 1 AK, illetve O SR = O SP, O BP = O BQ, O DQ = O DR ). Felhasználva, hogy az ABC háromszöget súlyvonalai 6 egyenlő területű részre bontják: SL r + AM r + ME r tase ) = tbsd ), ) SP r = azaz + BQ r + QD r ). 1

Mivel SL = SP, AM + ME = BQ + QD, AE = BD, 1 AC = 1 BC, AC = BC. Ezzel beláttuk, hogy az ABC háromszög szabályos. 3. Legfeljebb hány számot lehet kiválasztani az {1,, 3,..., 100} halmazból úgy, hogy semelyik két különbözőnek a szorzata ne legyen négyzetszám? Megoldás. Egy pozitív egész számról azt mondjuk, hogy négyzetmentes, ha nincs 1-nél nagyobb négyzetszám osztója, másképpen szólva: a prímtényezős felbontásában minden prímszám 1 kitevővel szerepel. Jelöljük Mn)-nel az {1,, 3,..., n} halmazban levő négyzetmentes számok számát. Belátjuk, hogy legfeljebb Mn) szám választható ki az {1,, 3,..., n} halmazból úgy, hogy semelyik kettő szorzata nem négyzetszám, és hogy ennyi kiválasztható. Egyrészt ennyi kiválasztható: válasszuk ki az összes négyzetmentes számot. Ha veszünk két különbözőt, akkor van olyan p prímszám, ami pontosan az egyiknek a prímtényezős felbontásában szerepel és abban az első hatványon). Ekkor a szorzatukban is az első hatványon szerepel, vagyis a szorzatuk nem négyzetszám. Másrészt több nem választható ki. Ehhez szükségünk lesz az alábbi segédtételre: minden k pozitív egész szám felírható k = a b alakban, ahol a, b pozitív egész számok, és b négyzetmentes. Ennek bizonyítása a következő. Legyen a a k szám legnagyobb négyzetszám osztója, és legyen b = k. Nyilván b is egész szám, állítjuk, hogy négyzetmentes. Legyen a c a b egy négyzetszám osztója, ahol c pozitív egész. Be kell látnunk, hogy c = 1. Nyilván k = ac) b c, és mivel b/c egész, ezért ac) a k egy négyzetszám osztója. Mivel a -et úgy választottuk, hogy k legnagyobb osztója legyen, nyilván c = 1. Ezzel a segédtétel bizonyítását befejeztük. Most térjünk vissza a feladathoz. Tegyük fel, hogy Mn)-nél több számot választottunk ki az {1,, 3,..., n} halmazból. Minden kiválasztott számot írjunk fel négyzetszám négyzetmentes alakban, ami a segédtétel értelmében megtehető. A négyzetmentes részek az {1,, 3,..., n} halmazból kerülnek ki. Mivel ebben a halmazban Mn) darab négyzetmentes szám van, a kiválasztott számok pedig Mn)-nél többen vannak, a skatulya-elv értelmében van két olyan, amelyeknek a négyzetmentes része megegyezik, legyenek ezek a 1b és a b. Ekkor ezek szorzata a 1 a b), ami négyzetszám. Most n = 100-ra specializálunk, M100) = 61, azaz ennyi a kiválasztható számok maximális száma. 13

Kezdők III. kategória,. döntő) forduló Feladatok 1. Két egységsugarú kör metszi egymást az A, B pontokban. Húzzuk meg a két kör egyik közös külső érintőjét, a keletkező érintési pontok legyenek E és F, ekkor EBF A egy konkáv négyszög. Legfeljebb mekkora lehet ennek a négyszögnek a területe? Milyen messze van a két kör középpontja egymástól, ha a négyszög területe maximális?. Legyenek a 1, a,..., a 100, b 1, b,..., b 100 az 1,,..., 00 számok valamilyen sorrendben. Adjuk meg az a 1, a,..., a 100, b 1, b,..., b 100 számokat úgy, hogy az a i b j ) 1 i 100, 1 j 100) számok összege a lehető legkisebb legyen! 3. Egy 16 tagú összejövetelen a vendégek kézfogással üdvözölték egymást de nem biztos, hogy mindenki mindenkivel kezet fogott). Valaki észrevette, hogy bármelyik két vendéghez található két másik, akik mindkettejükkel kezet fogtak. a) Bizonyítsuk be, hogy van olyan vendég, aki legalább 6 másik vendéggel fogott kezet! b) Biztosan van-e olyan vendég, aki 7 másik vendéggel fogott kezet? Megoldások és javítási útmutató 1. Két egységsugarú kör metszi egymást az A, B pontokban. Húzzuk meg a két kör egyik közös külső érintőjét, a keletkező érintési pontok legyenek E és F, ekkor EBF A egy konkáv négyszög. Legfeljebb mekkora lehet ennek a négyszögnek a területe? Milyen messze van a két kör középpontja egymástól, ha a négyszög területe maximális? Megoldás. Készítsünk ábrát, a körök középpontjait jelöljük O 1, O -vel. Szimmetria okokból EBF A egy deltoid, a keresett területet pedig EBF és EAF egyenlőszárú háromszög területének különbsége adja meg. A körközéppontok távolságát jelöljük x-szel 0 < x < 1, hiszen metszéspont van), a körök metszéspontjainak távolságát pedig y-nal, s mivel egységkörökről van szó, így x + y = 1. 14

Mindkét háromszög alapja x, az egyik magassága 1 + y, a másiké 1 y, így a területeik különbsége: x1 + y) x1 y) t EBF A = = xy. A mértani és a négyzetes közepek közti egyenlőtlenség alapján xy x + y = 1. Vagyis xy nem haladhatja meg 1 -et, s ezt pontosan akkor veszi fel, ha x = y = 1/. Ekkor xy = 1/, azaz a kérdéses terület 1 területegység. Ekkor a körközéppontok távolsága 1/ =.. Legyenek a 1, a,..., a 100, b 1, b,..., b 100 az 1,,..., 00 számok valamilyen sorrendben. Adjuk meg az a 1, a,..., a 100, b 1, b,..., b 100 számokat úgy, hogy az a i b j ) 1 i 100, 1 j 100) számok összege a lehető legkisebb legyen! Megoldás. A kérdéses összeget írjuk át a következő módon: S = 100 i=1 100 j=1 a i b j ) = = 100a 1 + a +... + a 100 + b 1 + b +... + b 100) a 1 + a +... + a 100 )b 1 + b +... + b 100 ) = = 100 1 + +... + 00 ) a 1 + a +... + a 100 )b 1 + b +... + b 100 ). Ez azt jelenti, hogy S akkor minimális, ha az a 1 + a +... + a 100 )b 1 + b +... + b 100 ) szorzat maximális. A számtani mértani közepek közötti egyenlőtlenség szerint a 1 + a +... + a 100 )b 1 + b +... + b 100 ) ) a1 + a +... + a 100 + b 1 + b +... + b ) 100 1 + +... + 00 =, és egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a 1 + a +... + a 100 = b 1 + b +... + b 100. Ez pontosan akkor fordulhat elő, ha az első 00 pozitív egész számot szét lehet osztani két darab 100-as csoportba úgy, hogy azokban a számok összege megegyezzen. Ez persze megtehető, alkossa például az {1; 00},..., {100; 101} párok közül 50 az egyik csoportot, 50 a másikat. Azaz például, az a 1 = 1, a =,..., a 50 = 50, a 51 = 151, a 5 = 15,..., a 100 = 00, b 1 = 51, b = 5,..., b 100 = 150, egy jó megoldás. 15

3. Egy 16 tagú összejövetelen a vendégek kézfogással üdvözölték egymást de nem biztos, hogy mindenki mindenkivel kezet fogott). Valaki észrevette, hogy bármelyik két vendéghez található két másik, akik mindkettejükkel kezet fogtak. a) Bizonyítsuk be, hogy van olyan vendég, aki legalább 6 másik vendéggel fogott kezet! b) Biztosan van-e olyan vendég, aki 7 másik vendéggel fogott kezet? Megoldás. kezet. a) Indirekt tegyük fel, hogy minden vendég csak legfeljebb 5 másikkal fogott Legyen A és B két vendég. Az összes olyan vendégnek, aki kezet fogott A-val és B-vel, adjunk egy cédulát azzal a felirattal, hogy Te kezet fogtál A-val és B-vel. Ezután tegyük ezt meg A és B helyett a vendégekből alkotott összes párral. Most számoljuk le a kiosztott cédulákat kétféleképp. Egyrészt bármely A, B-hez két olyan ember is van, akinek róluk szóló cédulát adtunk: azoknak, akik A-val és B-vel is kezet fogtak. A 16 emberből 16 15/ = 10 pár alkotható, páronként legalább két cédulát kiosztottunk, így a kiosztott cédulák száma 10 = 40. Másrészt egy rögzített embernél pontosan annyi cédula van, ahány párt lehet alkotni azokból az emberekből, akikkel kezet fogott minden egyes a vele kezet fogott emberekből alkotott párról szóló cédula van nála, és másmilyen nincs). Mivel egy rögzített ember legfeljebb 5 másikkal fogott kezet, összesen legfeljebb 5 4/ = 10 cédula lehet nála. Ez a 16 emberre összesen legfeljebb 16 10 = 160 cédula. Azaz a kiosztott cédulák száma egyrészt legalább 40, másrészt legfeljebb 160, ami ellentmondás. b) Nem. Jegyezzük fel a 16 vendég nevét egy 4 4-es táblázatba, és fogjon mindenki kezet a vele egy sorban vagy egy oszlopban állókkal. A feltétel teljesül: ha két ember egy sorban illetve egy oszlopban) van, akkor az a két ember, aki velük egy sorban illetve egy oszlopban) van, mindkettejükkel kezet fogott; ha két ember nincs sem egy sorban, sem egy oszlopban, akkor vegyük fel a rajtuk átmenő sorokat és oszlopokat, ezeknek rajtuk kívüli két metszéspontjában álló emberek mindkettejükkel kezet fogtak. Világos azonban, hogy mindenki pontosan 6 emberrel fogott kezet a sorában és az oszlopában is 3-3 ember van rajta kívül). Haladók I. kategória, első iskolai) forduló Feladatok 1. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletrendszert: x y = x + y), x + y = 5x y). 16

. Melyik az a legkisebb n természetes szám, amire 1 1 ) 1 1 )... 1 1n ) 4 9 < 0,51? 3. Van-e olyan számrendszer, amelyben az 57 alakú szám osztható a 75 alakú számmal? 4. Az egyenlőszárú ABC háromszög b szára kétszer olyan hosszú, mint az a alapja. Az AC szárra mint átmérő fölé kört rajzolunk. Ez a kör a AB alapot P, az BC szárat Q pontban metszi. Hanyad része a P QB háromszög területe az ABC háromszög területének? 5. Hány olyan szám van 0 és 9999 között, amelyikben több -es van a jegyek között, mint 1-es? Pl. 01 ilyen, de 014 nem.) Megoldások és javítási útmutató 1. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletrendszert: x y = x + y), x + y = 5x y). Megoldás. Alakítsuk szorzattá az első egyenlet bal oldalát: x + y)x y) = x + y). Bal oldalra rendezve, és x + y)-t kiemelve kapjuk, hogy x + y)x y ) = 0. Szorzat akkor nulla, ha az egyik tényezője nulla. Így két lehetőségünk van: I. x + y = 0. Ebből x et kifejezve és az x + y = 5x y) egyenletbe behelyettesítve kapjuk, hogy y = 10y. Egy oldalra rendezve és szorzattá alakítva: y + 5y = 0, yy + 5) = 0, amiből y 1 = 0 vagy y = 5 adódik. 17

Ennek megfelelően x 1 = 0, illetve x = 5. II. x y = 0. Ebből x-et kifejezve és a másik egyenletbe behelyettesítve kapjuk, hogy + y) + y = 5, y + 4y 6 = 0. Aminek megoldásai az y 3 = 1 és az y 4 = 3. A nekik megfelelő x-ek: x 3 = 3 és az x = 1. Tehát az egyenletet négy számpár elégíti ki, nevezetesen a 0; 0), 5; 5), 3; 1), 1; 3).. Melyik az a legkisebb n természetes szám, amire 1 1 ) 1 1 )... 1 1n ) 4 9 < 0,51? Megoldás. Közös nevezőre hozzuk a zárójelekben lévő kifejezéseket: 1 1 ) 1 1 )... 1 1n ) 4 9 = 4 1 9 1... n 1 4 9 n. A számlálókat és a nevezőket is szorzattá alakítjuk: 4 1 4 9 1 9... n 1 n = 1 3 4 3 3... n ) n n 1) n 1) Az összes lehetséges egyszerűsítés elvégzése után a következő alakot kapjuk: n 1) n + 1). pont n n 1 n + 1 n. Keressük tehát a legkisebb n értéket, amire n + 1 n Egyszerű átalakításokkal: < 0,51. n + 1 n < 0,51 1 + 1 n < 1 + 1 100 1 n < 1 n > 100 n > 50. 100 A legkisebb érték, amire teljesül az egyenlőtlenség n = 51. 18

3. Van-e olyan számrendszer, amelyben az 57 alakú szám osztható a 75 alakú számmal? Megoldás. Tegyük fel, hogy van ilyen számrendszer. Legyen a számrendszer alapszáma x. Tudjuk, hogy ekkor x > 1 egész szám. Térjünk át 10-es számrendszerre! Az oszthatóság pontosan akkor teljesül, ha létezik olyan a feltételeknek megfelelő n, amelyre az 5x + 7x + x értéke egész szám. + 7x + 5 1 A törtet átalakítva: 5x + 7x + 5x + )x + 1) x = + 7x + 5 x + 5)x + 1) = 5x + x + 5) + x 8 = = + x 8 x + 5 x + 5 x + 5. pont pont Vizsgáljuk az x 8 < 1 egyenlőtlenséget. Mivel a x + 5 > 0, ezért x + 5 x 8 < x + 5 13 < x, ezért az egyenlőtlenség minden 1-nél nagyobb egész szám esetén teljesül. Emiatt csak az x = 8 esetben lehet megoldás A 8-as számrendszerben valóban teljesül az oszthatóság. pont Megjegyzés: Ha a versenyző megtalálja a helyes alapszámot, de nem bizonyítja, hogy más lehetőség nincs, legfeljebb 3 pontot kaphat. 4. Az egyenlőszárú ABC háromszög b szára kétszer olyan hosszú, mint az a alapja. Az AC szárra mint átmérő fölé kört rajzolunk. Ez a kör a AB alapot P, az BC szárat Q pontban metszi. Hanyad része a P QB háromszög területe az ABC háromszög területének? Megoldás. Mivel AC, mint átmérő fölé rajzoltunk kört, így ez AC Thálesz köre: AP C = AQC = 90. Így P az alaphoz tartozó magasság talppontja, Q pedig a BC szárhoz tartozó magasság talppontja. AP C háromszög hasonló a BQA háromszöghöz, mivel megegyeznek a szögeik: AP C = AQC = 90, illetve az ABC háromszög alapon fekvő szögei: ABQ = CAP. 19

Ezért a megfelelő oldalak aránya megegyezik: QB AB = AP AC, azaz QB a = a a, mivel b = a, ezért QB = a 4. Az AP C háromszög és a BQA háromszög hasonlóságának aránya, így λ = QB AP = a 4 a = 1. A hasonló alakzatok területének aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyezik meg: T ABQ T AP C = ) 1 = 1 4, i) T AP C = 4 T ABQ. Az AP C háromszög területe az ABC háromszög területének fele, mivel az ABC egyenlőszárú háromszögben a P C magasságvonal egyben tükörtengely is: T AP C = T ABC. Az ABQ háromszögben QP az AB oldalhoz tartozó súlyvonal. A súlyvonal felezi a területet, mivel azonos magasság mellett az alap hossza feleződik) így a P QB háromszög területe fele az ABQ háromszögének: T ABQ = T P BQ. Ezeket behelyettesítve i)-be kapjuk, hogy T ABC = 4 T P BQ, T P BQ T ABC = 1 16. Azaz a P BQ háromszög az ABC háromszög területének 16-a. 5. Hány olyan szám van 0 és 9999 között, amelyikben több -es van a jegyek között, mint 1-es? Pl. 01 ilyen, de 014 nem.) Megoldás. 0 9999-ig összesen 10 000 darab szám van. Minden számot négyjegyűként fogunk kezelni pl. a 13-at 0013-ként). 0

Az alapötlet: megszámolom az összes olyan számot, amelyikben ugyanannyi darab 1-es és -es jegy szerepel. A maradék számok: azok, ahol vagy az 1-esből van több, mint a -es jegyből, vagy fordítva. A maradék számnak éppen a fele lesz az, ahol több -es jegy van, mint 1-es, mert a maradék számok párokba rendezhetőek úgy, hogy a) az egy párba kerülők közül az egyikben az 1-es jegy, a másikban a -es jegyből van több, b) minden maradék szám pontosan egy párba kerül. Egy lehetséges párosítás: egy maradék szám párja: az a maradék szám, amelyet úgy kapok, hogy az eredeti szám 1-es jegyeit -esre, -es jegyeit 1-esre cserélem. Vagyis pl. 01 101, vagy 110 = 0110 00 = 0.) pont Most lássuk a számolást! Olyan szám, amelyben 0 darab 1-es és 0 darab -es jegy van: 8 4 = 4096 darab van. Olyan, ahol 1 darab 1-es, és 1 darab -es van: 4 3 8 = 768 darab van. Hiszen pl. az 1-es jegy 4 helyre, a -es már csak 3 helyre tehető, a maradék jegy pedig 8-8 féleképp tölthető ki!) ) 4 Olyan szám, amelyben - 1-es, és -es jegy van, = 6 darab van. Vagyis összesen 4096 + 768 + 6 = 4870 darab olyan szám van, amelyikben azonos számú 1-es, és -es van. Vagyis a maradék számok száma: 10 000 4870 = 5130. Innen a nekünk jó számok száma: 5130 = 565. Vagyis 565 darab olyan legfeljebb négyjegyű szám van, amelyikben több -es jegy van, mint 1-es. Haladók I. kategória,. forduló Feladatok 1. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! x 3 [x] = 3. [x]: az x valós szám egész része. Az x valós szám egész részén azt a legnagyobb egészet értjük, amely nem nagyobb x-nél. Ez magával x-szel egyenlő, ha x egész.) 1

. Az ABCD négyzet A csúcsán átmenő egyenes a DC oldalt E, a BC oldal meghosszabbítását F pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy 1 AE + 1 AF = 1 AB. 3. A 49 szám két számjegye közé beírjuk a 48 számot, majd a belső 4-es és 8-as közé újra beírjuk a 48-at, majd ezt néhányszor megismételjük 44... 48... 89). Igaz-e, hogy így mindig négyzetszámot kapunk? 4. Egy téglatest éleinek mérőszámai egészek. A téglatest térfogatának, fél felszínének, és az egy csúcsból kiinduló élek hosszának mérőszámait összeadva 014-et kapunk. Mekkorák a téglalap élei? Megoldások és javítási útmutató 1. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! x 3 [x] = 3. [x]: az x valós szám egész része. Az x valós szám egész részén azt a legnagyobb egészet értjük, amely nem nagyobb x-nél. Ez magával x-szel egyenlő, ha x egész.) Megoldás. Grafikus megoldás: Az egyenlet átrendezése: x 3 = [x] + 3 alakba. Közös koordinátarendszerben való ábrázolása a jobb és a baloldali kifejezésnek, mint függvénynek: fx) = x 3 és gx) = [x] + 3. A metszéspont második koordinátájának megállapítása a grafikonról: y = 4. Az x értékének meghatározása: x 3 = 4, x = 3 4. pont pont Annak magyarázata, hogy nincs több metszéspont, így ez az egyetlen megoldás. Például egy lehetséges indoklás: Illesszünk egyeneseket a gx) = [x] + 3 függvényhez: y = x + 3 és y = x +. Vizsgáljuk, hogy hány metszéspontja van a két egyenesnek az fx) = x 3 függvénnyel. x 3 = x +, x 3 = x + 3. Átrendezve a következő alakba hozhatóak: x x + 1) x 1) =, x x + 1) x 1) = 3.

A baloldali szorzat x = 1, x = 0, x = 1 helyeken előjelet vált, illetve ezekben a pontokban a baloldal értéke nulla, tehát itt nincs metszéspont. Vizsgáljuk a lehetséges megoldásokat a következő intervallumokon: x < 1 A baloldali szorzat negatív, nincs metszéspont. 1 < x < 0 A baloldali szorzat értéke pozitív és kisebb, mint, nincs metszéspont. 0 < x < 1 A szorzat értéke negatív, nincs metszéspont. 1 < x Biztosan van egy metszéspont, mivel x = 1 helyen x 3 < x +, és x = helyen x 3 > x + 3. < x A szorzat értéke nagyobb, mint 6, nincs metszéspont. pont Az egyenlet átrendezhető a következő alakba is: x 3 3 = [x], ekkor fx) = x 3 3 és gx) = [x], y = 1. A részpontok az előbb leírtaknak megfelelően adhatóak. Ha próbálgatással megtalálja a helyes megoldást, akkor maximum 3 pont adható.. Az ABCD négyzet A csúcsán átmenő egyenes a DC oldalt E, a BC oldal meghosszabbítását F pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy 1 AE + 1 AF = 1 AB. Megoldás. Felhasználjuk, hogy ADE ABF, mert mindkettő derékszögű, továbbá DAE és AF B váltószögek. pont Legyen a négyzet oldalának hossza AB = 1 és vezessük be a DE = x jelölést. Ekkor EC = 1 x. A fenti hasonlóságból BF 1 = 1 x, vagyis BF = 1 következik. pont x A Pitagorasz-tételt az ADE és ABF háromszögekre alkalmazva a bizonyítandó állítás a következő alakot ölti: A második törtet bővíthetjük x -tel, és így kapjuk, hogy 1 1 + x + 1 = 1. 1 + x) 1 1 1 + x + x x + 1 = 1, ami nyilván igaz. Ezzel igazoltuk a feladat állítását. pont 3

3. A 49 szám két számjegye közé beírjuk a 48 számot, majd a belső 4-es és 8-as közé újra beírjuk a 48-at, majd ezt néhányszor megismételjük 44... 48... 89). Igaz-e, hogy így mindig négyzetszámot kapunk? Megoldás. Ha n 1-szer elvégezzük a 48 középre írását, akkor egy n-jegyű számot kapunk, ami a következő alakban is írható: 4 11... 1 10 n + 8 11... 1 + 1, ahol 11... 1 egy csupa 1-esekből álló n-jegyű szám. Legyen most x = 11... 1 = 1 9 99... 9 = 1 9 10 n 1 ), ahol x n-jegyű szám. Ekkor 10 n = 9x + 1. Így 44... 488... 89 = 4x 9x + 1) + 8x + 1 = 36x + 1x + 1 = 6x + 1). Tehát igaz, hogy mindig négyzetszámot kapunk. pont pont pont 4. Egy téglatest éleinek mérőszámai egészek. A téglatest térfogatának, fél felszínének, és az egy csúcsból kiinduló élek hosszának mérőszámait összeadva 014-et kapunk. Mekkorák a téglalap élei? Megoldás. Legyenek a téglatest egy csúcsból kiinduló élei a, b és c. A feladat szövege szerint abc + ab + ac + bc + a + b + c = 014. Az egyenlet bal oldala a következőképp alakítható át: abc + ac + bc + c + ab + a + b = cab + a + b + 1) + ab + a + b = = cab + a + b + 1) + ab + a + b + 1) 1 = ab + a + b + 1)c + 1) 1 = = a + 1)b + 1)c + 1) 1. pont Innen a + 1)b + 1)c + 1) 1 = 014, tehát a + 1)b + 1)c + 1) = 015 = 5 13 31. A bal oldalon minden tényező 1-nél nagyobb egész szám, ezért egyenlőség csak úgy állhat fenn, ha ezek valamilyen sorrendben megegyeznek a jobb oldali 5, 13 és 31 számokkal. A téglatest élei tehát 4, 1 és 30 egység hosszúak. 4

Haladók I. kategória, 3. döntő) forduló Feladatok 1. Az ABC háromszög BC oldalának egy belső pontja D. Tudjuk, hogy az ABD és ADC háromszögek hasonlóak, továbbá a hasonlóság aránya 3. Mekkorák az ABC háromszög szögei?. A pozitív egészek mindegyikét vagy zöldre vagy pirosra színezzük. Ha teljesül, hogy két különbözőképpen színezett szám összege piros, szorzata zöld, akkor az egész számok ezen színezését kaméleon színezésnek hívjuk. Mi a színe egy kaméleon színezés esetén két zöld szám szorzatának? Egy bizonyos kaméleon színezés esetén tudjuk, hogy az 1-es piros, a 77-es zöld színű. Milyen színű lesz ekkor a 015? 3. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: x + 014 x + 014 x + 014 x + 014 015 x = x. Megoldások és javítási útmutató 1. Az ABC háromszög BC oldalának egy belső pontja D. Tudjuk, hogy az ABD és ADC háromszögek hasonlóak, továbbá a hasonlóság aránya 3. Mekkorák az ABC háromszög szögei? Megoldás. Először meghatározzuk, hogy az ABD és ADC háromszögek mely szögei felelnek meg egymásnak. Mivel ADB + ADC = 180, ezért ADB és ADC nem lehetnek hasonló háromszögek különböző szögei, tehát egyenlőknek kell lenniük. Ez csak úgy lehetséges, ha ADB = ADC = 90. Két lehetőség maradt: ABD = ACD vagy ABD = DAC. Az első esetben ABD ADC, amit kizárhatunk, mert a hasonlóság aránya egytől különbözik. Tehát ABD = DAC, és emiatt BAD = ACD. Azt kaptuk, hogy az ABC háromszög belső szögeinek összege 180 = ABC + BCA + CAB = ABC + BCA + ABC + BCA ) = = ABC + BCA ), 5

tehát ABC + BCA = 90, az ABC háromszög A-nál) derékszögű. Az ABD és ADC hasonló háromszögpárban AB és AC felel meg egymásnak. Ezek az oldalak az ABC derékszögű háromszög befogói, és a feladat feltétele szerint AC = 3AB. Az pedig ismert, hogy ha egy derékszögű háromszög befogóinak aránya 1 : 3, akkor a háromszög szögei 30, 60 és 90. pont pont. A pozitív egészek mindegyikét vagy zöldre vagy pirosra színezzük. Ha teljesül, hogy két különbözőképpen színezett szám összege piros, szorzata zöld, akkor az egész számok ezen színezését kaméleon színezésnek hívjuk. Mi a színe egy kaméleon színezés esetén két zöld szám szorzatának? Egy bizonyos kaméleon színezés esetén tudjuk, hogy az 1-es piros, a 77-es zöld színű. Milyen színű lesz ekkor a 015? Megoldás. A kaméleon színezés szabályát csak a színek rövidítésével leírva kapjuk: p + z = p, p z = z. Tegyük fel hogy m és n zöld színű számok. Vegyünk egy k számot, ami piros színű. Ekkor kaméleon színezés esetén m + k piros lesz. Ha az összeget szorozzuk a zöld színű n-nel, akkor azm + k) n, mivel két különböző színű szám szorzata, ezért zöld lesz. Átalakítva a szorzatot a szorzat színe nem változik, azaz zöld marad: m + k) n = mn + kn. Mivel k és n különböző színűek, ezért kn zöld. Ha mn piros lenne, akkor az mn + kn összeg két különböző színű szám összege lenne, így az összeg színe piros lenne. De mivel tudjuk, hogy ez az összeg zöld, ezért mn csak zöld lehet. Tegyük fel, hogy a p legkisebb zöld szám. Az előbbiek alapján tetszőleges többszöröse is zöld lesz. Lemma. Nincs más zöld szám, csak a p többszörösei. Indirekt tegyük fel, hogy létezik egy a, ami zöld színű, de nem p többszöröse. Ekkor felírható a = b p + r alakban, ahol a, b, r pozitív egészek, és 0 < r < p. Mivel p zöld, ezért b p is zöld lesz. Ha r piros lenne, akkor b p+r-nek a kaméleon színezés értelmében pirosnak kellene lennie. De mivel a zöld, ezért r csak zöld lehet. Ez viszont ellentmond annak, hogy p a legkisebb zöld szám. Használjuk fel ezt az eredményt! Ha az 1 piros, és a 77 zöld, akkor következtethetünk arra, hogy a 7 vagy a 11 többszörösei, és csak azok lesznek zöld színűek. 3 pont 3 pont 6

015 = 5 13 31, ezért ez se nem a 7, se nem a 11 többszöröse. Így nem lehet zöld. Tehát 015 piros színű lesz. 3. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: x + 014 x + 014 x + 014 x + 014 015 x = x. Megoldás. Az x = 0 megoldása az egyenletnek, hiszen a legbelső gyök felől kezdve a számolást 0 + 014 0 + 014 0 + 014 0 + 014 015 0 = = 0 + 014 0 + 014 0 + 014 0 + 014 0 = = 0 + 014 0 + 014 0 + 014 0 = 0 + 014 0 + 014 0 = 0 + 014 0 = 0. Hasonlóan az x = 015 is megoldás, hisz 015 + 014 015 + 014 015 + 014 015 + 014 015 = = 015 + 014 015 + 014 015 + 014 015 + 014 015 = = 015 + 014 015 + 014 015 + 014 015 =... = 015 + 014 015 = = 015 + 014 015 = 015 = 015. A továbbiakban megmutatjuk, hogy más megoldás nincs. Az egyenlet értelmezési tartománya a nemnegatív valós számok halmaza, így az x < 0 eset nem ad megoldást. Ha 0 < x < 015, akkor 015 x > x = x. 7

Ezt a lépést belülről kifelé haladva egymás után többször alkalmazva az egyenlet bal oldala x + 014 x + 014 x + 014 x + 014 015 x > > x + 014 x + 014 x + 014 x + 014 x = = x + 014 x + 014 x + 014 015 x > x + 014 x + 014 x + 014 x = = x + 014 x + 014 015 x > x + 014 x + 014 x = = x + 014 015 x > x + 014 x = = 015 x > x. Tehát az egyenlet bal oldala x-nél nagyobb, míg jobb oldala x, egyenlőség tehát nem teljesülhet. Ha x > 015, akkor 015 x < x = x teljesül, amit az előző esettel azonos módon többször felhasználva azt kapjuk, hogy x + 014 x + 014 x + 014 x + 014 015 x < x, tehát egyenlőség ebben az esetben sem teljesülhet. Más lehetőség nincs, tehát az egyenlet megoldásai x = 0 és x = 015. pont pont Haladók II. kategória, első iskolai) forduló Feladatok 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer: 1) { I. ax 1) + y = 1, II. bx 1) + cy = 3; ) { I. ax 1) + y = 1, II. b x 1 + cy = 3. Tudjuk, hogy az első egyenletrendszernek nincs megoldása, a második egyenletrendszert viszont kielégíti a 3 4 ; 5 ) számpár. Határozza meg az a, b, c paraméterek értékét! 8 8

. Hányféle módon lehet felmenni egy 5 lépcsőfokból álló lépcsőn, ha mindig csak -t vagy 3-at lépünk? Más esetnek tekintjük azt, ha az alján lépünk 3-at, utána mindig -t, vagy az elejétől kettesével lépünk és a végén 3-at.) 3. Jelöljön x, y, z olyan pozitív egész számokat, amelyekre teljesül, hogy xy = 3z 3. Mennyi az xyz szorzat minimuma? 4. Az ABCD paralelogramma AB oldalának A-hoz közelebbi harmadoló pontja H, BC oldalának felezőpontja F, és DA oldalának A-hoz legközelebb levő negyedelő pontja G. Bizonyítandó, hogy F G, CH és DB egy ponton mennek át! 5. Két szám szorzata a b = 1. Ugyanezen két szám összege a + b = 1. Bizonyítsd be, hogy az S = a + b + a + b + a 3 + b 3 + a 4 + b 4 +... + a 8 + b 8 kifejezés egy egész szám, és add meg a pontos értékét! Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer: 1) { I. ax 1) + y = 1, II. bx 1) + cy = 3; ) { I. ax 1) + y = 1, II. b x 1 + cy = 3. Tudjuk, hogy az első egyenletrendszernek nincs megoldása, a második egyenletrendszert viszont kielégíti a 3 4 ; 5 ) számpár. Határozza meg az a, b, c paraméterek értékét! 8 Megoldás. A megoldást a második egyenletrendszer első egyenletébe helyettesítve: 1 4 a + 5 4 = 1, a = 1. A második egyenletrendszer második egyenletéből a 1) b + 5c = 4 összefüggéshez jutunk. Az a = 1 összefüggést felhasználva az első egyenletrendszer első egyenletében az ) x = y összefüggést kapjuk. 9

A ) összefüggést behelyettesítve az első egyenletrendszer második egyenletébe: b y) + cy = 3. Felhasználva az 1) összefüggést ebből: 4 5c)1 y) + cy = 3 6c 4)y = 5c + 3. Az egyenletnek pontosan akkor nincs megoldása, ha c = 4, ekkor 1)-ből b =. Az a = 1, b =, c = 4 értékek valóban kielégítik a feladat feltételeit.. Hányféle módon lehet felmenni egy 5 lépcsőfokból álló lépcsőn, ha mindig csak -t vagy 3-at lépünk? Más esetnek tekintjük azt, ha az alján lépünk 3-at, utána mindig -t, vagy az elejétől kettesével lépünk és a végén 3-at.) Megoldás. Jelölje x, hányszor lépünk -t, y, hogy hányszor lépünk 3-at. Ekkor teljesülnie kell, hogy x + 3y = 5. Mivel x biztosan páros, 3y páratlan és így y is páratlan. A lehetséges értékek: y = 1, 3, 5 vagy 7. Az ezekhez tartozó x-ek: 11, 8, 5 és. Ha y = 1 és x = 11, akkor összesen 1 lépés van, ebből 11 egyforma lépcsőfok), azaz a lehetőségek száma = 1. A többi esetben 11, 10 illetve 9 lépés kell, ahol 3 és 8, 5 és 5 illetve 7 és lépés egyformának tekinthető. Az egyes lehetőségek száma: 165, 5 és 36. Az összes lehetőség: 1 + 165 + 5 + 36 = 465.. pont. pont 3. Jelöljön x, y, z olyan pozitív egész számokat, amelyekre teljesül, hogy xy = 3z 3. Mennyi az xyz szorzat minimuma? 1. megoldás. Mivel az egyenlet bal oldala osztható -vel, ezért a jobb oldal is osztható -vel. Ebből következik, hogy z osztható -vel. Mivel a jobb oldal osztható 3-mal, ezért a bal oldal is. Azaz x vagy y osztható 3-mal. Ezek alapján az xyz szorzat osztható 6-tal. Az xyz szorzat legkisebb lehetséges értéke a 6, nézzük először ezt. Az oszthatóságokat figyelembe véve két számhármas lehetséges: x = 3, y = 1, z = vagy x = 1, y = 3, z =. Egyik számhármas sem megoldása az eredeti egyenletnek. Vizsgáljuk xyz = 1-t. Az oszthatóságokat figyelembe véve található olyan számhármas, ami megoldása az eredeti egyenletnek: x = 3, y =, z =. A kérdéses minimum tehát 1. pont 30

. megoldás. Írjuk fel x-et, y-t, z-t kanonikus alakban. Ha x vagy y vagy z osztható -től és 3-tól különböző prímmel, akkor az egyenlet mindkét oldala ezt a prímet ugyanakkora kitevőn tartalmazza, és ezzel a prímhatvánnyal osztva az egyenlet szerkezete nem változik, továbbra is xy = 3z 3 alakú, de az xyz csökkent, tehát a minimumot elég olyan xyz esetén keresni, melyek kanonikus felbontásában csak a vagy 3 szerepelhet, azaz x = a 3 b, y = c 3 d, z = e 3 f, a kitevők természetes számok. A két oldalon a és 3 kitevőinek egyenlőségét felírva a következő két független egyenletet kapjuk. 1 + a + c = 3e b + d = 1 + 3f. xyz = a+c+e 3 b+d+f, tehát a + c + e és b + d + f minimumát keressük. Az első egyenletből látható, hogy e legalább 1. e = 1 esetén a = 0, c = 1 vagy a =, c = 0, az első esetben a + c + e kisebb. A másodikból f = 0 esetén b = 1, d = 0. e > 1 esetén a + c 5, a + c) + c 5, ahonnan a + c 3, ilyenkor a + c + e 5. f > 0 esetén b + d 4, b + d) + d 4, tehát b + d, ekkor b + d + f 3. Ezek nagyobbak, mint az előbb kapott a + c + e = és b + d + f = 1, tehát a minimális érték xyz = 3 1 = 1 x = 3, y =, z = ). 4. Az ABCD paralelogramma AB oldalának A-hoz közelebbi harmadoló pontja H, BC oldalának felezőpontja F, és DA oldalának A-hoz legközelebb levő negyedelő pontja G. Bizonyítandó, hogy F G, CH és DB egy ponton mennek át! Megoldás. Azt fogjuk megmutatni, hogy GF és CH ugyanabban a pontban metszi a DB átlót. Jelölje P a CH és DB metszéspontját, Q pedig a GF és DB metszéspontját. A HBP és a CDP háromszögek hasonlók, mert szögeik egyenlők. A hasonlóság miatt BP P D = BH DC = 3. pont 31

Az F QB és a GQD háromszögek hasonlók, mert szögeik egyenlők. A hasonlóság miatt BQ QD = BF DG = 1 3 4 = 3. pont Azt kaptuk, hogy BP P D = 3 = BQ, ez pedig csak úgy lehetséges, ha P = Q. Tehát F G, QD CH és DB egy ponton mennek át. pont 5. Két szám szorzata a b = 1. Ugyanezen két szám összege a + b = 1. Bizonyítsd be, hogy az S = a + b + a + b + a 3 + b 3 + a 4 + b 4 +... + a 8 + b 8 kifejezés egy egész szám, és add meg a pontos értékét! Megoldás. Először megmutatjuk, hogy van két olyan a, b szám, amelyik kielégíti a feladat feltételeit. Ehhez kifejezzük b-t b = 1 a alakban, majd beírjuk a másik feltételbe: a1 a) = 1 a a 1 = 0 a 1, = 1 ± 5. Vagyis pl. ha a > b) a = 1 + 5, b = 1 5 kielégítik a két feltételt. Innen sokféleképp folytatható a feladat. A megjegyzésben pár lehetséges folytatást leírunk majd.) A fennmaradó rész jó megoldása még 6 pontot ér! Legyen s 1 = a 1 + b 1 = a + b = 1, s = a + b,..., s n = a n + b n. Ezzel a jelöléssel S = s 1 + s + s 3 +... + s 8 a kérdés. s = a + b 1 + ) 5 1 ) 5 = + = 6 + 5 + 6 5 = 3. 4 4 Másfelől tekintsük a következő egyenlőséget: n > 1). s n = a n + b n = 1 a n + b n ) = a + b) a n + b n ) = a n+1 + b n+1 + a b a n 1 + b n 1). Vagyis s n = a n+1 + b n+1 + a b a n 1 + b n 1) = s n+1 s n 1, innen s n+1 = s n + s n 1 adódik. Innen s 1 = 1; s = 3 s 3 = 4 s 4 = 7 s 5 = 11 s 6 = 18 s 7 = 9 s 8 = 47. Vagyis = 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 18 + 9 + 47 = 10. 3 pont pont Vagyis S = 10. 3

Megjegyzések: a) Egy lehetséges csúnya megoldás: Használjuk a véges mértani sorozat összegképletét! Ezzel S = 1 + a + a + a 3 +... + a 8) + 1 + b +... + b 8) = 1 a9 1 a + 1 b9 1 b, vagyis S = 1 1 + 5 1 1 + 5 ) 9 + 1 1 5 1 1 5 ) 9 = 1 1 + 5 1 5 Innen a törteket bővítve a nevezők konjugáltjaival: 1 + ) 10 5 S = 1 + 5 1 ) 10 5 + 1 5 = = 1 + ) 10 5 1 ) 10 5 + 3 ) 9 + 1 1 5 1 + 5 ) 9. adódik. Ezután kétszer alkalmazva a binomiális tételt a két 10-edik hatványra, és észrevéve, hogy a felbontás után az első tag számlálójában fennálló páratlan tagok éppen a második tag megfelelő páratlan tagjainak az ellentettjei és így ezek öszege: 0, míg a páros tagok közösek, adódik, hogy: S = innen S = S = 1 + 10 ) 1 8 5 + ) 10 1 6 5 + 4 1 + 45 5 + 10 5 + 10 15 + 45 65 + 315 9 3, ) ) ) 10 10 1 4 5 3 + 1 5 4 + 5 5 6 8 10 3, 316 + 45 630 + 10 150 9 3 = 6976 3 = 13 3 = 10. 51 a ) a-ból következik, hogy s 1 + s +... + s n = s n+ 3. b) Természetesen külön-külön mindegyik s i is megkapható két-két binomiális tétellel az iménti megjegyzéshez hasonlóan, de az még több számolást igényel! c) Az általunk s n -nek nevezett sorozat a matematikában Lucas-sorozatként ismert. 1 + ) n 5 1 ) n 5 A Lucas-sorozat nem rekurzív definíciójában s n = L n = + megjelenik az aranymetszés száma. Minden Fibonacci-szerű sorozat f 1 = a; f = b; f n+ = f n + f n+1 ) kifejezhető a Lucassorozat tagjai segítségével, és így az aranymetszés számaival is! 33