Matematika feladatbank I. Statisztika Elméleti összefoglaló és feladatgyűjtemény középiskolásoknak ÍRTA ÉS ÖSSZEÁLLÍTOTTA: Dugasz János 2011
Fapadoskonyv.hu Kft. Dugasz János
Tartalom Bevezető 7 Adatok rendezése 9 Elméleti bevezető 9 Feladatok 14 Diagramok értelmezése és készítése 22 Elméleti bevezető 22 Feladatok 24 Középértékek 38 Elméleti bevezető 38 Feladatok 41 Szóródási mutatók 53 Elméleti bevezető 53 Feladatok 55 Mintavétel 67 Elméleti bevezető 67 Feladatok 69 Összefoglaló feladatsorok 72 1. feladatsor 72 2. feladatsor 74
Bevezető Olyan feladatgyűjteményt tart az olvasó a kezében, amelyben mindenki megtalálhatja a céljainak megfelelő feladattípusokat. A feladatok alkalmasak ismétlésre, az ismeretek felújítására, egyes témakörök gyakorlására és elmélyítésére, témazárókra, vagy éppen a kétszintű érettségire való felkészülésre. Használható a 7-13. évfolyamos tanórákon, de önálló tanuláshoz is megfelelő. A feladatgyűjtemény öt tematikus fejezetből és két összefoglaló feladatsorból áll. A tematikus fejezetek elején egy rövid elméleti áttekintés olvasható. Itt röviden bemutatjuk a fejezetbeli feladatok megoldásához használható összefüggéseket, illetve a megértésükhöz szükséges fogalmakat. Sajnos a középiskolás statisztika tananyag nevezéktana még nem egységesült. Eltérések figyelhetők meg az egyes tankönyvek és függvénytáblázatok szóhasználatában. Egy feladatgyűjteménynek nem lehet célja az elnevezések egységesítése, a lehető legteljesebb mértékben alkalmazkodnia kell a tankönyvekhez. Ezért az elméleti bevezetőkben és a feladatokban is felváltva használjuk az egyes fogalmak különböző elnevezéseit. Az egymás után következő fejezetek egyre nehezebb fogalmakat gyakoroltatnak, ugyanakkor használják az előző fejezetek tudásanyagát. Az önálló tanulást és a tanórai használatot megkönynyítendő, az egy fejezeten belüli feladatok az elvégzendő műveletek nehézsége/bonyolultsága szerinti sorrendben követik egymást. A feladatgyűjtemény minden feladattípusból kettőt (egy A és egy B jelűt) tartalmaz. Így annak a tanulónak is van lehetősége gyakorlásra, aki az A jelű feladatot csak segítséggel tudta megoldani. A feladatok iskolai szituációkra épülnek, így a diákoknak könynyebb a szöveg értelmezése. A feladatgyűjtemény végén található összefoglaló feladatsorok mindegyike tartalmaz egy több mint 100 adatból álló táblázatot, valamint 15 feladatot. A feladatsorok feladatai nem nehezebbek a tematikus fejezetek feladatainál, ám a szükséges adatok és az alkalmazható összefüggések kiválasztása sokkal bonyolultabb. A feladatgyűjteményhez tudatosan nem készült megoldó kulcs, nem pusztán az anyag és a feladatok mennyisége okán, hanem leginkább azért, hogy a felkészülést azzal segítse elő, hogy az ismeretlen vagy nehéznek tűnő feladatoknak mindenki személyesen járjon utána a tankönyvekből, vagy más segédeszközökből. Dugasz János
Fényes Elek 1807.07.07. 1876.07.23. A magyarországi közgazdasági statisztika első jelentős képviselője. Műveinek többsége ma is forrásértékű. Adatok rendezése Elméleti bevezető A statisztika célja a valóság tömör, számszerű jellemzése. Azért, hogy ezt megtehessük, adatokat kell gyűjtenünk. Az összegyűjtött adatokat adatsokaságnak nevezzük. Az adatsokaságban az adatok rendezetlenül, legtöbbször az összegyűjtés során kialakult sorrendben helyezkednek el. Az adatok áttekinthetővé tétele érdekében az adatokat rendezni kell. A legkézenfekvőbb eljárás a nagyság szerinti sorba rendezés. Például a kötélmászó verseny győztes csapatának tagjai testmagasságuk szerint sorba rendezhetőek: Zsuzsi Kitti Marcsi Fanni 150 cm 160 cm 61 cm 164 cm A nagyság szerinti sorba rendezés természetesen más mutatók, például az életkor, vagy az év végi bizonyítvány átlaga szerint is elvégezhető. 9
Az összegyűjtött adatokat a jobb áttekinthetőség érdekében táblázatba szoktuk rendezni. 10 Név Testmagasság (cm) Életkor (év) Év végi bizonyítvány átlaga Zsuzsi 150 15 4,2 Kitti 160 15 3,9 Marcsi 161 16 4,8 Fanni 164 15 4,4 1. táblázat A kötélmászó versenyen első helyezést elért csapat tagjainak testmagassága, életkora és év végi bizonyítványának átlaga A táblázat minden sorának elején és oszlopának tetején fel kell tüntetni a kategória nevét és mértékegységét (ha van). Statisztikai vizsgálatokban olyan adatokat is gyűjthetünk, melyeket nem lehet sorba rendezni. Ilyenek például a nem, a születési hely, vagy a kedvenc tantárgy. Ekkor adatainkat csoportosítani kell. A csoportosítás során minden adatot be kell sorolnunk valahova. A csoportosítás elvégzése után meg kell számolnunk, hogy az egyes csoportokba hány elem került. Így az adatok gyakoriságát kapjuk. Például, ha osztálytársainkat legkedveltebb tantárgyuk szerint csoportosítjuk, meg tudjuk mondani, hogy hány diáknak kedvence az irodalom, a matematika, vagy a testnevelés. A gyakorisági adatokat táblázatba rendezve kapjuk meg a gyakorisági táblázatot. Tantárgy neve Diákok száma (fő) Magyar irodalom 5 Matematika 7 Testnevelés 2 Történelem 4 Angol nyelv 1 Német nyelv 1 Biológia 9 2. táblázat A 10. C tanulóinak kedvenc tantárgyai Egy táblázatban több gyakorisági adat is szerepelhet. Például: Szőkék (fő) Vörösek (fő) Barnák (fő) Feketék (fő) 11. D 5 1 14 3 12. D 2 0 19 3 3. táblázat A 11. D és a 12. D tanulóinak hajszíne
A gyakorisági táblázat egyes soraiban és oszlopaiban szereplő adatok összegét peremösszegeknek nevezzük. (Ugyanis a táblázat peremén helyezkednek el.) A 3. táblázatot a peremösszegekkel kiegészítve a 4. táblázathoz jutunk. Szőkék (fő) Vörösek (fő) Barnák (fő) Feketék (fő) Összesen 11. D 5 1 14 3 23 12. D 2 0 19 3 24 Össz.: 7 1 33 6 47 4. táblázat A 11. D és a 12. D tanulóinak hajszíne A sorok végén az osztálylétszámokat találjuk. Az első oszlop aljáról az olvasható le, hogy a 11.D-ben és a 12.D-ben összesen hány szőke tanuló van. A táblázat jobb alsó cellájában a vizsgált adatsokaság elemszáma olvasható. Ez az oszlopok és sorok összegeinek összegeként is megkapható. A gyakorisági adatok más vizsgálatok gyakorisági adataival az eltérő mintanagyság miatt általában nem hasonlíthatóak össze. Erre láthatunk példát a következő táblázatban: 9. A Iskola Fiúk száma (fő) 11 274 Lányok száma (fő) 18 402 5. táblázat Nemek megoszlása a 9. A-ban és az iskola tanulói között Az ilyen adatsokaságok a relatív gyakoriságokkal hasonlíthatóak össze. A relatív gyakoriság a gyakoriság és az adatok számának hányadosa. A relatív gyakoriságot gyakran százalékban adjuk meg. Erre láthatunk példát az 6. táblázatban. 9. A Iskola Fiúk aránya (%) 37,9 40,5 Lányok aránya (%) 62,1 59,5 6. táblázat Nemek relatív gyakorisága a 9. A-ban és az iskola tanulói között Ebből a táblázatból azonnal leolvasható, hogy a 9.A-ban tanuló fiúk aránya kisebb, mint az iskolában. A relatív gyakoriság táblázatokban a peremösszegeknek általában nincs értelmük. Hiszen a 6. táblázatban a 37,9% az osztálylétszámra, a 40,5% az iskolai létszámra vonatkoztatva jelent valamit. Néha a gyakorisági táblázat túl sok kategóriát tartalmaz, ezért nehezen áttekinthető, vagy kevés új információt tár fel. Ilyen például a 13.A-ban tanuló lányok testmagasságát tartalmazó táblázat. 11
Testmagasság (cm) Adott testmagasságúak száma (fő) 152 1 153 1 155 1 159 2 160 1 162 1 163 1 165 1 174 1 177 1 183 1 7. táblázat A 13. A-ban tanuló lányok testmagasságának eloszlása Ilyenkor az adatokat csoportosítani szoktuk. Az eljárás neve osztályba sorolás. (lásd. 8. táblázat) Testmagasság (cm) Adott testmagasságúak száma (fő) 151 155 3 156 160 3 161 165 3 166 170 0 171 175 1 176 180 1 181 185 1 8. táblázat A 13. A-ban tanuló lányok testmagasságának eloszlása Ha egy táblázatban szereplő gyakoriságokat egy adott értékig bezárólag összeadjuk, kumulatív gyakoriságot kapunk. Például: 12