Varga Tamás Matematikaverseny 7. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 010. 1. feladat Kata egy dobozban tárolja 0 darab dobókockáját. Mindegyik kocka egyszínő, piros, fehér, zöld vagy fekete. 17 kocka nem zöld, 1 nem fehér, 15 pedig nem fekete. a) Hány piros kockája van Katának? b) Legalább hány kockát kell kivenni a dobozból, hogy a kivettek között legyen 3 darab különbözı színő kocka? Megoldás: a) 3 zöld,... 8 fehér,... 5 fekete,... kocka 4 piros kockát ad Katinak.... b) 13 kockából, ha a 8 fehéret és az 5 feketét vettük, nincs három szín,... tehát 14 kockával kaphatunk háromféle színt....3 pont. feladat Az ABC egyenlı szárú háromszög BC alapjának C csúcsából induló szögfelezı az AB oldalt a D pontban metszi. Tudjuk, hogy BC = CD. Mekkora a CDA szög? Megoldás: A Jó ábra az egyenlı szögek (vagy oldalak) jelölésével... Ha ABC < = α, úgy AB = AC miatt BCD < = α... és BC = CD miatt BDC < = α.... D α α α α A BCD háromszögben tehát α + α + α = 180 o,... azaz α = 7 o,... B C vagyis CDA < = 108 o.... 3. feladat A 0,14916536... számot úgy képezzük, hogy a tizedesvesszı után sorban leírjuk 1-gyel kezdve az egymást követı pozitív egész számok négyzetét.
Melyik számjegy áll a tizedesvesszıtıl jobbra a 11. helyen? Megoldás: Egyjegyő négyzetszámok 3 helyiértéket foglalnak el,... a kétjegyőek 4 -tıl 9 -ig 6 = 1 helyiértéket foglalnak el,... a háromjegyőek 10 -tıl 31 -ig 3 = 66 helyiértéket foglalnak el,... ezzel már 81 jegy a tizedesvesszı után adott.... A maradék negyven helyre 10 darab négyjegyő... kell kerüljön, azaz 3 tıl 41 -ig... így a 11. helyen az 1 áll.... 4. feladat Egy téglalap oldalai 18 és 4 centiméteresek. Az egyik (párhuzamos) oldalpárját kétszer annyival változtattuk, mint a másik oldalpárt, és így egy négyzetet kaptunk. Mekkora a négyzet oldala? Megoldás: Ha 18 x = 4 x, akkor x = 6, a négyzet oldala 1 cm, ha 18 + x = 4 + x ha, akkor x = 6, a négyzet oldala 30 cm, 18 + x = 4 x, akkor x =, a négyzet oldala 0 cm, ha 18 + x = 4 x, akkor x =, a négyzet oldala cm. A 18 x = 4 + x, a 18 + x = 4 + x, a 18 x = 4 x és a 18 x = 4 + x negatív oldalt adnának! A négy megoldás bármelyike 4 pontot ér, a további három egyenként,
5. feladat Ali, Béla, Csaba és Dani egyike csintalankodott. Errıl így vallottak: Ali: Csaba volt; Béla: Nem én voltam; Csaba: Dani volt; Dani: Csaba nem mond igazat. Ki a csintalan, ha a négy állítás közül pontosan egy hamis? Megoldás: Ha Csaba igazat mond, akkor Dani állítása hamis, és vele együtt Alié is, ami már két hamis kijelentés lenne....4 pont Csaba tehát nem mond igazat,... így Dani állítása igaz,... de ezzel, a feltétel miatt, Béla és Ali is igazat állít,... tehát Csaba a csintalan és az ı állítása hamis.... Bármelyik feladat eredményének indoklás nélküli közlése ot ér. Több megoldásból csak egy (lehetıleg a jobbik) kaphat pontot. Az útmutatóban közöltektıl eltérı, de kifogástalan indoklású megoldások egyenértékőek a bemutatott megoldásokkal. Az elérhetı maximális pontszám 50 pont. Az I. kategóriába tartozó versenyzık akiknek a kötelezı matematika óraszáma legfeljebb heti 4 óra dolgozatainak továbbküldési ponthatára 0 pont. A II. kategóriába tartozó versenyzık akiknek a kötelezı matematika óraszáma több mint heti 4 óra dolgozatainak továbbküldési ponthatára 5 pont. A továbbküldés nem feltétlenül jelent továbbjutást. A továbbjutáshoz szükséges ponthatárt a versenybizottság állapítja meg. A ténylegesen továbbjutott tanulókat a megyei szervezık értesítik. Kérjük a kollégákat, hogy feltőnıen írják rá a versenydolgozatokra, a tanuló neve mellé a megfelelı kategóriát! Köszönjük a munkájukat! Székesfehérvár, 010. november A Versenybizottság
Varga Tamás Matematikaverseny megyei forduló 011. 7. osztály I. kategória Megoldások 1. feladat Egy áruházban a Boci csoki darabja 75 Ft. Ha az ugyanilyen csokit 6 darabos csomagban vesszük, akkor egy csomag ára 410 Ft. Hány csokit vehetünk 000 Ft-ért? (A legtöbb csokit szeretnénk venni és nem baj, ha marad pénzünk a 000 Ft-ból.) Megoldás: Mivel a 6-os csomag ára kevesebb, mint 6 75 = 450 Ft, ezért... annyi csomagot veszünk, amennyi a 000 Ft-ból kitelik, azaz 4 csomagot, 1640 Ft-ért....3 pont A maradék 360 Ft-ból vehetünk még 4 db csokit 4 75 = 300 Ft-ért,...3 pont és marad 60 Ft-unk..... feladat Egy üvegtábla cm széles és 4 cm hosszú téglalap. Ebbıl 6 cm széles és 8 cm hosszú téglalap alakú darabokat szeretnénk kivágni. Hány darabot lehet az üvegtáblából kivágni? Megoldás: Mivel 4 = 58... és 6 8 = 48... éppen 11-szer van meg a 58-ban,... ezért legfeljebb11 darabot vághatunk ki.... Ennyit ki is vághatunk, pl. az alábbi ábra szerint: 6 6 6 6 8 8 6 8 8 8...5 pont ( Ha a versenyzı csak a fenti ábrát adja, az is 10 pont! )
3. feladat Hány olyan háromjegyő pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege 3? Megoldás: A számjegyek között van legalább egy 8-nál nem kisebb.... Ha van 9-es és kettı is, akkor a 9, 9, 5 három jót : 995, 959, 599 ad.... Ha csak egy 9-es van, akkor a 9, 8, 6, vagy a 9, 7, 7 számjegyekbıl készíthetünk jó háromjegyőeket.... A 9, 8, 6 ból hat darab,... a 9, 7, 7 bıl három darab adódik.... Ha nincs 9-es jegy úgy 8-as kell legyen és legfeljebb kettı mert 3 7 < 3 < 3 8.... Így a 8, 8, 7 ad három jót,... míg egy 8-as már nem hoz jót.... Összesen tehát 15 jó háromjegyő van.... 4. feladat Melyek azok az x egész számok, amelyekre az x + 36, a x és az 5x 6 egy háromszög oldalainak hossza? Megoldás: A háromszög egyenlıtlenségek miatt a) x + 36 < x + 5x 6,... azaz 7 < x... b) x < x + 36 + 5x 6,... 15 azaz < x... c) 5x 6 < x + 36 + x,... azaz x < 1.... Mindháromnak megfelel a 8-nál nem kisebb és a 0-nál nem nagyobb x egész... ( x є {8, 9, 10,... 18, 19, 0} )
5. feladat A hétfejő sárkány hét fejét megfelelı sorrendben egymás után levágva megmenekülhetünk. A fejek egyenkénti levágásakor - egyik fejet sem vághatjuk le annyiadikként, amennyi a sorszáma; - legelıször és negyedikként páratlan sorszámú fejet kell levágni; - a hatos sorszámú fej levágása után már csak ennek két, eredeti szomszédját kell levágni. Milyen sorrendben vagdossunk, ha a fejek balról jobbra 1-tıl 7-ig számozottak, és meg is akarunk menekülni? Megoldás: A hatos sorszámú fej ötödikként kerül vágás alá, így a két szomszédját, az 5 illetve 7 sorszámút a feltételek miatt csak a 675 sorrendben vághatjuk....3 pont A maradt két páratlan sorszámú 1 és 3 közül a 3 az elsı vágásnak esik áldozatul,... míg az 1 a negyedik e sorban.... A maradék két fej, a és a 4 számú a 4, sorrendben jön második illetve harmadik vágásra.... A 3 4 1 6 7 5 a menekülést adó sorrend.... Bármelyik feladat eredményének indoklás nélküli közlése ot ér. Több megoldásból csak egy (lehetıleg a jobbik) kaphat pontot. Az útmutatóban közöltektıl eltérı, de kifogástalan indoklású megoldások egyenértékőek a bemutatott megoldásokkal. Az elérhetı maximális pontszám 50 pont. Az I. kategóriába tartozó versenyzık akiknek a kötelezı matematika óraszáma legfeljebb heti 4 óra dolgozatainak továbbküldési ponthatára 5 pont. A továbbküldés nem feltétlenül jelent továbbjutást. A továbbjutáshoz szükséges ponthatárt a versenybizottság állapítja meg, s errıl a megyei szervezık értesítést kapnak. Kérjük a kollégákat, hogy feltőnıen írják rá a versenydolgozatokra, a tanuló neve mellé a megfelelı kategóriát! Köszönjük a munkájukat! Székesfehérvár, 011. január A Versenybizottság
Varga Tamás Matematikaverseny megyei forduló 011. 7. osztály II. kategória Megoldások 1. feladat Egy Guiness - rekord kísérletben 1 dm 3 térfogatú kockákat ragasztanak össze 1 dm alapterülető négyzetes oszloppá. Az oszlop felszíne egy kocka felszínének 011-szerese lesz. Hány kockát kell összeragasztani? Megoldás: ha n darab kocka kell a négyzetes oszlophoz,... akkor az alaplapjának és fedılapjának területe 1 + 1 = dm,... míg az n darab kocka palástja összesen 4n dm -t ad....3 pont A 4n + = 6 011 bıl... n = 3016 kocka kell a toronyhoz..... feladat Egy egyenlı szárú háromszög két oldala centiméterekben mérve egész szám, és egyikük sem hosszabb 3 cm-nél. Hány ilyen különbözı háromszög van? (Két háromszög különbözı, ha legalább egy oldalhosszukban különböznek.) Megoldás: Ha a szárakat a jelöli, akkor a háromszög egyenlıtlenség miatt 6 a + a > alap > a a = 0 mellett...3 pont a a alap hossza lehet 1 1 1 cm 1; ; 3 cm 3 3 1; ; 3; 4; 5 cm...5 pont Tehát kilenc, a feltételeknek megfelelı háromszög van....
3. feladat P az elsı 64 pozitív egész szorzata. Határozzuk meg a legnagyobb olyan n értéket, amelyre P osztható 1 n -nel! Megoldás: Mivel 1 = 3, ezért 1 n = ( 3) n = n 3 n... ezért egyrészt megszámoljuk, hogy hány -es tényezıt hoz P.... A 64 számból 3 páros, ezekbıl 16 db 4-gyel, 8 db 8-cal, 4 db 16-tal, továbbá db 3-vel és 1 db 64-gyel osztható....3 pont Ez azt jelenti, hogy 3 + 16 + 8 + 4 + + 1 = 63 kettes tényezı van P-ben.... Másrészt a 3-as tényezıket 1 db 3-többszörös, ebbıl 7 db 9-többszörös, és db 7-többszörös adja.... Az n = 30 tehát a megfelelı legnagyobb egész.... 4. feladat Az A-nál nem 60 o os ABC háromszög AB és AC oldalaira kifelé az ABD illetve ACE, a harmadik oldalára befelé a BCF szabályos háromszögeket rajzoltuk. Bizonyítsuk be, hogy az ADFE négyszög paralelogramma! 1. megoldás: D B F A C E Forgassuk el a B csúcs körül -60 o -kal a BDF háromszöget!... F pont a C-be, D pont az A-ba kerül, tehát DF = AC = AE.... Ugyanígy, a C pont körüli +60 o -os forgás a CEF háromszöget ABC háromszögbe viszi,... tehát FE = AB = AD.... Az ADFE négyszög --szemköztes oldala egyenlı, tehát paralelogramma..... megoldás: BDF háromszög egybevágó ABC háromszöggel, mert - oldaluk, s az ezekkel bezárt szögek egyenlık,... mivel (ABC < - 60 o) vagy (60 o ABC < ) szögeket kell 60 o -kal növelni, vagy 60 o -ból kivonni. + ugyanígy CEF háromszög egybevágó ABC háromszöggel,... + tehát az ADFE paralelogramma, mert - szemköztes oldal egyenlı.... 3. megoldás: Az ADFE négyszög D-nél és E-nél levı szögei egyenlık, mert mindkettı az elıbbi egybevágóságok okán 60 o BAC < vagy BAC < - 60 o...4 pont Hasonlóan A-nál és F-nél levı szögek 10 o + BAC < vagy ennek 360 o -ra kiegészítı szöge, ha 10 o + BAC < > 180 o...4 pont tehát négyszögünk paralelogramma, mert - szemköztes szöge egyenlı....
5. feladat Kata délben beállította a karóráját a pontos idınek megfelelıen. Egy óra múlva, pontosan 1 órakor Kata órája 1 óra 57 perc 36 másodpercet mutatott. Mennyi a pontos idı, amikor a karóra 10 órát mutat, ha tudjuk, hogy egyenletesen késik, azaz a déltıl eltelt tényleges idı, és a karóra által mutatott idı aránya állandó? Megoldás: Ha K a Kata órája által mutatott, V pedig a valódi idı déltıl számítva percekben, akkor délután 1 órakor: 36 88 K = 57 + = és 60 5 V 300 = 60 = 5....4 pont Az egyenletes késés miatt K 88 4 = =,...4 pont V 300 5 ezért Kata órája szerinti este 10-kor valójában 5 V = 600 = 65 perc, vagyis 10 óra 5 perc van.... 4 Bármelyik feladat eredményének indoklás nélküli közlése ot ér. Több megoldásból csak egy (lehetıleg a jobbik) kaphat pontot. Az útmutatóban közöltektıl eltérı, de kifogástalan indoklású megoldások egyenértékőek a bemutatott megoldásokkal. Az elérhetı maximális pontszám 50 pont. A II. kategóriába tartozó versenyzık akiknek a kötelezı matematika óraszáma több mint heti 4 óra dolgozatainak továbbküldési ponthatára 5 pont. A továbbküldés nem feltétlenül jelent továbbjutást. A továbbjutáshoz szükséges ponthatárt a versenybizottság állapítja meg, s errıl a megyei szervezık értesítést kapnak. Kérjük a kollégákat, hogy feltőnıen írják rá a versenydolgozatokra, a tanuló neve mellé a megfelelı kategóriát! Köszönjük a munkájukat! Székesfehérvár, 011. január A Versenybizottság
Varga Tamás Matematikaverseny országos döntı 011. 7. osztály I. kategória megoldások 1. feladat Beának 18 pénzérméje van, mindegyik 0 vagy 50 Ft-os. Ha a 0 Ft-osokat 50 Ft-osokra, az 50 Ft-osokat 0 Ft-osokra cserélné, akkor pénzének értéke kétszeresére nıne. Mennyi pénze van Beának? Megoldás: (elsı megoldás): Ha az eredeti és a cserélt összegeket összeadjuk, Akkor az eredeti összeg háromszorosát kapjuk. Így 70 18 = 3 S, vagyis S = 40 Ft. Ez csak db 50 és 16 db 0 Ft-osokból állhat elı. Valóban 16 db 50 Ft = 800 és db 0 Ft = 40 összege 840 Ft (második megoldás): (0a + 50(18-a)) = 50a + 0(18-a) Ebbıl a = 16 és 18-a =, Tehát 0 16 + 50 = 4 Ft. Ez valóban megoldás, mert 50 16 + 0 = 840 Ft. + 4 pont 5 pont. feladat Egy téglalap két szomszédos csúcsához tartozó szögfelezık a téglalap középvonalának egyik negyedelı pontjában metszik egymást. Mekkora a téglalap területe, ha a téglalap eme középvonalának hossza 10 egységnyi? Megoldás: A középvonalnak három negyedelı pontja van. 1 + 1 + 10 D Ha FH =, akkor AHD háromszög egyenlı szárú 4 F 10 H derékszögő, tehát FH = FD = FA = 4 azaz a téglalap területe 5 10 = 50 te. A 10 Ha FH =, akkor ugyanúgy mint az elıbb 3 pont FH = FD = FA = 10 tehát a téglalap területe 10 10 = 100 te. 4 Ha FH = 4 3 10, akkor, mint eddig FH = FD = FA = 3 10 4, a terület 15 10 = 150 te.
3. feladat A 4, 4 és k pozitív egészek bármelyike osztója a másik kettı szorzatának. Adjuk meg a legkisebb ilyen k pozitív egész számot! Megoldás: 4 = 6 4, 4 = 6 7 E két szám legkisebb közös többszöröse 6 4 7 így a legkisebb k = 4 7 = 8. 5 pont 3 pont 4. feladat Az ABC egyenlı szárú háromszög AB szárán van a P és AC szárán van a Q pont úgy, hogy a PCB szög 40 o -os a QBC szög pedig 50 o -os. Mekkora a PQB szög, ha a BAC szög 0 o -os? Megoldás: Jó ábra P A Q A BCQ háromszögben Q < = 180 o 50 o 80 o = 50 o tehát BC = CQ, és ezért PC merılegesen felezi BQ-t, tehát PBCQ deltoid, s így PQB szög 30 o 30 o B 50 o 40 o C 5. feladat Ebben a keretben pontosan 1 állítás hamis; Ebben a keretben pontosan állítás hamis; Ebben a keretben pontosan 3 állítás hamis; Ebben a keretben pontosan 4 állítás hamis; A 4 állítás közül hány lehet igaz? Megoldás: Két állítás nem lehet egyszerre igaz, mert ellentmondók. Legfeljebb tehát egy állítás lehet igaz. Ha egyetlen állítás sem lenne igaz, akkor a sorban az utolsó igaz lenne, ami ellentmondás. Így egy igaz lehet, Ami a harmadik sor állítása.
Varga Tamás Matematikaverseny országos döntı 010. 7. osztály II. kategória megoldások 1. feladat Egy urnában piros és sárga golyók vannak. Ha egy piros golyót kiveszünk, akkor az urnában maradt golyók hetede lesz piros. Ha viszont öt sárga golyót veszünk ki, akkor a megmaradt golyók hatoda lesz piros. Hány piros és hány sárga golyó van az urnában? Megoldás: p 1+ s = p 1, azaz s = 6 p 6, 7 + p + s 5 = p, azaz s = 5 p + 5. 6 + E kettıbıl p = 11 és s = 60 Ezek valóban a feladat megoldását adják.. feladat Az ABCD téglalap CD oldalának C-hez közelebbi harmadoló pontja H. A H ponton keresztül húzott egyenes az AB oldalt M-ben metszi úgy, hogy a téglalap területét 1 : 3 arányban osztja. Mekkora az MB : AB arány? Megoldás: D b A a x H a/3 M x C B MB < MA, mert az ADHM trapéz a téglalap területének legalább a harmada. 3 pont a x + a x + a / 3 így 3 b = 3 b 4 pont amibıl 3x + a = 3 5 a x, azaz MB:AB = 1:6 mert x 1 = a 6 3. feladat Ma 011. 03. 9. van. A nyolc számjegybıl hány nyolcjegyő, 360-nal osztható szám képezhetı? Megoldás: 360 = 9 40 és + 0 + 1 + 1 + 0 + 3 + + 9 = 18, tehát nyolcjegyőnk a számjegyek bármely sorrendjére 9-nek többszöröse. Az utolsó jegy 0 kell legyen. Így a 6. és 7. jegybıl álló kétjegyő 4-nek többszöröse kell legyen vagyis a 7. jegy páros, azaz 0 vagy. Ha a 7. jegy is a 0, akkor a 6. jegy csak a lehet, 5! így a maradó 1,1,,3,9 jegyekbıl = 60, míg ha a 7. jegy a, akkor a 6. jegy az 1, a 3 és a 9 valamelyike. 4 4 3 10 végőbıl 4 4 3 = 96, 30 végőbıl = 48 és 90 végőbıl ugyanennyi, összesen tehát 60 + 96 + 48 + 48 = 5 nyolcjegyőnk van.
4. feladat Az ABC egyenlı szárú háromszög AB szárán van a P és AC szárán van a Q pont úgy, hogy a PCB szög 40 o -os, a QBC szög 50 o -os, a BAC szög pedig 0 o. Mekkora a PQ és a BC egyenesek szöge? Megoldás: Lásd a 7/I. 4. feladatból PQC szög 80 o, tehát PQ és BC szöge 0 o 9 pont 5. feladat Létezik-e olyan társaság, amelyben senkinek sincs 4-nél több ismerıse és pontosan 1 olyan társaságbeli ember van, akinek pontosan 1, pontosan olyan társaságbeli ember van, akinek pontosan, pontosan 3 olyan társaságbeli ember van, akinek pontosan 3 és pontosan 4 olyan társaságbeli ember van, akinek pontosan 4 ismerıse van a társaságban? Megoldás: A válasz igen, van ilyen 10 tagú társaság A tagokat jelölje egy-egy pont, az ismeretséget két pontot összekötı szakasz (1) () () (4) (4) (4) (4) (3) (3) (3) 8 pont