1. Egy nap Mariska néni vett egy tyúkot a piacon. Miután a tyúk tojt két tojást, a tyúkot megették vacsorára. Vagy mindkét tojásból tyúk, vagy mindkét tojásból kakas kelt ki. Minden kakast megettek, a tyúkokat viszont csak akkor, ha már tojtak két tojást. Ez így ment addig, míg egyszer csak kakasok maradtak, és ezeket is megették. Kakasból vagy tyúkból ettek-e többet, és mennyivel? (8 pont) Bármely tyúk utódja vagy két tyúk, vagy két kakas. A folyamat akkor ér véget, ha már csak kakasok kelnek ki a tojásokból. Mivel bármely szülőnek (tyúk) két azonos típusú gyermeke van, ezért bináris fa gráffal szemléltetve: a kezdőpontban és a közbenső pontokban vannak a tyúkok, a levelek csak kakasok lehetnek. Mivel a levelek száma mindig 1-gyel több a belső pontok számánál, így 1-gyel több kakast esznek meg, mint tyúkot. Pl.: Gráf nélkül: az első tyúk két tojást tojt, ebből vagy két tyúk, vagy két kakas kel ki. - Ha 2 kakas kel ki: akkor vége, és eggyel több lett a kakas, mit a tyúk. - Ha 2 tyúk kel ki, akkor stb. - vagy 4 kakas következik és akkor vége: ismét 1 kakassal lesz több, - vagy 4 tyúk - vagy 2 tyúk és 2 kakas Egyébként meg teljesen mindegy, hogy egy tyúknak vegyesen is akár 2 mije születik. Egy ág akkor hal ki, ha ott a tyúknak 2 kakasa lesz a két általa tojt tojásból. Ez a tyúk helyettesíthető 1 kakassal (ezzel korábbra hoztuk a kihalást), vagyis 1 tyúk és 2 kakas helyett 1 kakast vettünk, ezáltal ugyannyival csökkent a kakasok és tyúkok száma, a különbség nem változott. Ez bármely közbenső ágban is megtehető (a kakasok és tyúkok száma ugyanannyival csökken bármely tyúk kakasra cserélésével (onnan az utána levők mind eltűnnek, már csak azért is, mert kakasnak nem lehet utódja). Vagy: visszafelé haladva a redukálással, a végén már csak 1-etlen kakas marad.
2. Feri vonatja 12 perc múlva indul, amikor ő az állomástól még 1 km-re van. Rendes járással 4 km/h sebességgel halad, de futva 8 km-t tesz meg óránként. Az állomás felé haladva hol kezdjen el futni, hogy a vonatot éppen elérje? (10 pont) I. Ferinek 1 km-t kell megtennie 12 perc alatt. Ennek egy részét 4 km/h, a többit 8 km/h sebességgel teszi meg. 4 km/h = m/perc = m/perc; 8 km/h = m/perc Jelöljük x-szel az állomásig futva megteendő út hosszát. Így a t = s/v összefüggést használva: Ebből: 2000 2x + x = 1600, ahonnan x = 400. Tehát az állomástól 400 m-re kell elkezdeni a futást. Ellenőrzés: (stimmel: 3 percig fut > 400 m-t tesz meg, 9 percig gyalogol > 600 m-t tesz meg). Megjegyzés: km/h-ban számolva, továbbá 12 perc = 1/5 óra felhasználásával az egyenlet: Ebből: 10-10x + 5x = 8 5x = 2 x = 0,4 (km) II. jelöljük y-nal a futás idejét órában, ekkor ( ) Ebből: 4 20y + 40y = 5, ahonnan y = 1/20 = 0,05 (óra), a futással megtett út: 8 0,05 = 0,4 (km)
3. Egy 7-re végződő pozitív egész számnak 100 pozitív osztója van. Hány pozitív osztója van a szám tízszeresének? Hány van a 15-szörösének? Melyik lehet ez a szám? (12 pont) A. Mivel 10 = 2 5, ezért a meglévő 100 osztó mindegyikét 2-vel, 5-tel, illetve 10-zel szorozva újabb 100 100 100 osztóhoz jutunk, mivel az eredeti szám prímfelbontásában sem a 2, sem az 5 nem szerepelhet (ellenben nem végződhetne 7-re). Így összesen 400 osztója lesz a számnak. B. A szám 15-tel való szorzásakor a prímtényezős felbontásban a 3 kitevője 1-gyel nő, és az 5 miatt duplázódik az osztók száma. Jelöljük r-rel a 3 kitevőjét az eredeti számban. Ebben az esetben r értéke 0, 1, 3, 4, 9, 19, 24, 49, 99 lehet (mivel a kitevő 1-gyel növelt értéke 100-nak osztója kell, hogy legyen). A következő esetek lehetnek az első 3 sor az eredeti számra, a további sorok az új számra vonatkoznak): r 0 1 3 4 9 19 24 49 99 r+1 1 2 4 5 10 20 25 50 100 100/(r+1) 100 50 25 20 10 5 4 2 1 r+2 2 3 5 6 11 21 26 51 101 osztók száma (5 nélkül) 200 150 125 120 110 105 104 102 101 összes osztók száma 400 300 250 240 220 210 208 204 202 C. A szóban forgó szám lehet pl. 3 99, vagy bármely 3-ra végződő prímszám 99. hatványa. E szám 7-re végződik, mivel 3-nak minden 4n+3-dik hatványa 7-re végződik, ahol n tetszőleges természetes szám. 99 = 4 24 + 3. Más számok is megadhatók. Megjegyzés a B. részhez: az eredeti szám 3 r p 1 n1 p 2 n2 alakban írható; ezt 15-tel szorozva kapjuk: 3 r+1 p 1 n1 p 2 n2 5. Az osztók száma eredetileg: (r+1)(n1+1)(n2+1) = 100, a 15-tel való szorzás után: (r+2)(n1+1)(n2+1) 2 = x. Ez utóbbiba az első egyenletből (n1+1)(n2+1) =100/(r+1) helyettesítéssel kapjuk: ( ). Átalakítva: adódik. A megoldásokat az r lehetséges értékeinek behelyettesítésével kapjuk.
4. Egy ABCD paralelogramma AB oldalának felezőpontja P, a BC oldal C-hez közelebbi harmadoló pontja Q. Hányad része a DPQ háromszög területe az ABCD paralelogramma területének? (14 pont) Legyen T a paralelogramma területe! D C Q : A : 1 P B A paralelogrammából levágott területek rendre: tapd = Összesen a paralelogramma területének 7/12-ed részét vágtuk le. Maradt 5/12-ed rész. A háromszög és a paralelogramma területének aránya: 5/12.
5. 7 darab háromszínű zászlót kell összeállítanunk. Bármely két szín együtt legfeljebb egy zászlón szerepelhet. Legalább hány különböző színt kell használnunk? (16 pont) 1,, 5 szín biztosan kevés (könnyen belátható). Megmutatjuk, hogy még 6 szín sem elegendő: Ehhez a színek minél jobb kihasználása végett 3 színt 4-szer és további 3 színt 3-szor használnánk (így összesen 3 4 + 3 3 = 21 helyet töltenénk ki). A színeket jelöljük a sorszámukkal (1,,6), 4- szer használnánk az 1-3 színeket: 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 Látjuk, hogy a 3. szín elhelyezésére már csak 2 lehetőség maradt. 7 szín viszont biztosan elegendő, mindegyiket 3-szor használva fel: 1 1 1 2 2 3 3 2 4 6 4 5 4 5 3 5 7 6 7 7 6 További megoldások is vannak.