Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a K (5; 2) pont és áthalad a P (4; 3) ponton! Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KP = (4 5) 2 + (3 ( 2)) 2 = 26. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 5) 2 + (y + 2) 2 = 26. 3. Határozd meg az (x + 5) 2 + (y 8) 2 = 4 egyenletű kör középpontját és sugarát! Mutasd meg, hogy a P ( 7; 8), Q (3; 2) és R ( 4; 7) pontok hogyan helyezkednek el a körhöz képest! Az adott kör középpontja a K ( 5; 8) pont, sugara pedig r = 2. Helyettesítsük az adott pontok koordinátáit a kör egyenletébe: A P pont esetén a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy 4 = 4, vagyis a pont illeszkedik a körre. A Q pont esetén a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy 164 > 4, vagyis a pont a körön kívül helyezkedik el. Az R pont esetén a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy 2 < 4, vagyis a pont a körön belül helyezkedik el. 4. Kicsinyítsük az origóból a felére az (x + 8) 2 + (y 2) 2 = 16 egyenletű kört, majd forgassuk el a P (1; 5) pont körül +90 - kal. Határozd meg a keletkező kör egyenletét! Az adott kör középpontja a K ( 8; 2) pont, a sugara pedig r = 4. A kicsinyített kör középpontja az OK szakasz felezőpontja: K ( 4; 1). Sugara pedig r = 2. A PK ( 5; 4) vektor +90 - os elforgatottja a PK (4; 5) vektor, vagyis a kör középpontja a K (5; 0) pont. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 5) 2 + y 2 = 4. 1

5. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek átmérője az AB szakasz, ha az adott pontok A ( 2; 3) és B (4; 5)! Az AB átmérőjű kör középpontja az AB szakasz felezőpontja: K (1; 4). Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KA = ( 2 1) 2 + (3 4) 2 = 10. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 1) 2 + (y 4) 2 = 10. 6. Írd fel az (x 2) 2 + (y 6) 2 = 16 egyenletű körrel koncentrikus, a T (5; 2) ponton áthaladó kör egyenletét! A koncentrikus kör középpontja megegyezik az adott kör középpontjával: K (2; 6). Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KT = (5 2) 2 + (2 6) 2 = 25 = 5. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 2) 2 + (y 6) 2 = 25. 7. Tükrözzük az x tengelyre az (x 6) 2 + (y + 4) 2 = 36 egyenletű kört, majd toljuk el a v (2; 3) vektorral. Határozd meg az így keletkező kör egyenletét! Az adott kör középpontja a K (6; 4) pont, a sugara pedig r = 6. A tükrözés után a kör középpontja a K (6; 4) pont. Ezt eltolva a v vektorral, a keresett kör középpontja a K (8; 7) pont. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 8) 2 + (y 7) 2 = 36. 8. Határozd meg az alábbi egyenletekből a körök középpontját és sugarát! a) x 2 + y 2 10x + 22y + 92 = 0 b) x 2 y 2 + 2x = 4 c) 4x 2 + 4y 2 20x 75 = 0 d) x 2 + y 2 8y + 20 = 0 e) x 2 + y 2 4x + 9y 3xy + 5 = 16 2

Az egyenleteket teljes négyzetté alakítással hozzuk megfelelő alakra. a) x 2 + y 2 10x + 22y + 92 = 0 (x 5) 2 25 + (y + 11) 2 121 + 92 = 0 (x 5) 2 + (y + 11) 2 = 54 Ezek alapján a kör középpontja a K (5; 11) pont, sugara pedig r = 54. b) x 2 y 2 + 2x = 4 Mivel az x 2 és az y 2 együtthatója nem egyezik meg (1 1), így ez nem kör egyenlet. c) 4x 2 + 4y 2 20x 75 = 0 x 2 + y 2 5x 75 4 = 0 (x 5 2 )2 + y 2 = 25 Ezek alapján a kör középpontja a K ( 5 ; 0) pont, sugara pedig r = 5. 2 d) x 2 + y 2 8y + 20 = 0 x 2 + (y 4) 2 = 4 Mivel a jobb oldalon negatív szám keletkezett, így ez nem kör egyenlet. e) x 2 + y 2 4x + 9y 3xy + 5 = 16 Mivel a bal oldalon található xy os tag, így ez nem kör egyenlet. 9. A p paraméter mely valós értékei esetén lesz az x 2 + y 2 8x + 6y + p = 0 egyenlet egy kör egyenlete? Mely p értékek esetén lesz a kör sugara 3? Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (x 4) 2 + (y + 3) 2 = 25 p. Ezek alapján 25 p > 0, vagyis 25 > p. A kör sugara pedig akkor lesz 3, ha 25 p = 9, vagyis p = 16. 3

10. Határozd meg a 4x 2 + Ay 2 + Bxy + Cy 8x 60 = 0 egyenletben az A, B, C együtthatók értékét úgy, hogy az egyenlet egy r = 5 egység sugarú kör egyenlete legyen. Határozd meg a kör középpontjának koordinátáit! Mivel a kör egyenletében az x 2 és az y 2 együtthatójának meg kell egyeznie, ezért A = 4. Mivel a kör egyenletében nem szerepelhet xy os tag, ezért B = 0. Hozzuk az így keletkező 4x 2 8x + 4y 2 + Cy = 60 kör egyenletet általános alakra: (x 1) 2 + (y + C 8 )2 = 16 + C2 64. Ebből a sugár segítségével írjuk fel a következő egyenletet: 16 + C2 64 = 25. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy C 1 = 24 és C 2 = 24. Ezek alapján a keresett körök középpontja K 1 (1; 3) és K 2 (1; 3). 11. Határozd meg a x 2 + y 2 6x 4y 3 = 0 egyenletű kör P (1; 3) pontra vonatkozó tükörképének egyenletét! Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (x 3) 2 + (y 2) 2 = 16. Az adott kör középpontja a K (3; 2) pont, sugara pedig r = 4. A tükrözés során a P pont a KK szakasz felezőpontja, vagyis K ( 1; 4). Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x + 1) 2 + (y 4) 2 = 16. 12. Határozd meg annak a körnek az egyenletét, amely koncentrikus az x 2 + y 2 6x + 10y 2 = 0 egyenletű körrel, és sugara kétszer akkora! Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (x 3) 2 + (y + 5) 2 = 36. Az adott kör középpontja a K (3; 5) pont, sugara pedig r = 6. Ebből adódik, hogy a keresett kör középpontja a K (3; 5) pont és a sugara pedig r = 12. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 3) 2 + (y + 5) 2 = 144. 4

13. Írd fel a kör egyenletét, ha a középpontjára illeszkedik az e: x + 2y = 12, illetve f: x y = 0 egyenes és a kör átmegy az origón! Határozzuk meg az e és f egyenes metszéspontját: x + 2y = 12 x y = 0 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 4 és y = 4, vagyis a kör középpontja: K (4; 4). A kör egy pontja az origó: P (0; 0). Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KP = (0 4) 2 + (0 4) 2 = 32. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 4) 2 + (y 4) 2 = 32. 14. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a P (3; 0) és Q ( 1; 2) pontokon, és a középpontja illeszkedik az e: x y = 2 egyenletű egyenesre! A kör középpontja illeszkedik bármely húrjának felezőmerőlegesére. Írjuk fel a PQ szakasz f felezőmerőlegesének egyenletét: 2x y = 1. Határozzuk meg az e és f egyenes metszéspontját: x y = 2 2x y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 3 és y = 5, vagyis a kör középpontja: K (3; 5). Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KP = (3 3) 2 + (0 5) 2 = 5. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 3) 2 + (y 5) 2 = 25. 15. Határozd meg azon síkbeli pontok halmazának egyenletét, amelyek az A (10; 0) ponttól másfélszer akkora távolságra vannak, mint a B (0; 10) ponttól! Tekintsünk egy tetszőleges P (x; y) pontot, ekkor felírhatjuk a következőt: 3 PB = PA. 2 Írjuk fel ezt koordináták segítségével: 3 2 (0 x)2 + (10 y) 2 = (10 x) 2 + (0 y) 2. Rendezés után a következő (Apollóniosz) kör egyenlet adódik: (x + 8) 2 + (y 18) 2 = 288. 5

16. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely az x - tengelyt az origóban érinti, és áthalad a P (0; 4) ponton! A kör az x tengelyt az E (0; 0) pontban érinti. Mivel a sugár merőleges az érintőre, így a kör középpontja illeszkedik az y tengelyre. Az adott P (0; 4) szintén illeszkedik az y tengelyre, így az EP szakasz a kör átmérője. Ebből adódik, hogy a kör középpontja az EP szakasz felezőpontja: K (0; 2). Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KE = (0 0) 2 + (0 2) 2 = 2. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: x 2 + (y 2) 2 = 4. 17. Írd fel annak a 4 sugarú körnek az egyenletét, amely az y - tengelyt a 3 ordinátájú pontban érinti! Az y tengelyt két oldalról lehet érinteni, így két megoldása lesz a feladatnak. Mivel a körök az y tengelyt az E (0; 3) pontban érintik és sugaruk r = 4, így a körök középpontja K 1 (4; 3) és K 2 ( 4; 3). Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (x 4) 2 + (y 3) 2 = 16 (x + 4) 2 + (y 3) 2 = 16. 18. Írd fel a kör egyenletét, ha sugara 5 egység, középpontja az x = 3 egyenesre illeszkedik és érinti az x tengelyt! Az x = 3 egyenletű egyenes és az x tengely metszéspontja az E (3; 0) érintési pont. Az x tengelyt két oldalról lehet érinteni, így két megoldása lesz a feladatnak. Mivel a körök az x tengelyt az E (3; 0) pontban érintik és sugaruk r = 5, így a körök középpontja K 1 (3; 5) és K 2 (3; 5). Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (x 3) 2 + (y 5) 2 = 25 (x 3) 2 + (y + 5) 2 = 25. 6

19. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek sugara 5 egység, áthalad a P (9; 9) ponton és érinti az y tengelyt! Mivel a P (9; 9) pont az első síknegyedbe esik, illetve a kör érinti az y tengelyt és sugara r = 5, így a kör középpontja a K (5; v) pont. Ebből írjuk fel a kör egyenletét következőképpen: (x 5) 2 + (y v) 2 = 25. Helyettesítsük a P pont koordinátáit a kör egyenletébe: (9 5) 2 + (9 v) 2 = 25. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: v 2 18v + 72 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása v 1 = 6 és v 2 = 12. Ebből adódik, hogy a körök középpontja K 1 (5; 6) és K 2 (5; 12). Ezek alapján a keresett két kör egyenlete: (x 5) 2 + (y 6) 2 = 25 (x 5) 2 + (y 12) 2 = 25. 20. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a K (3; 3) pont, és érinti a koordináta tengelyeket! Mivel a kör érinti a koordináta tengelyeket, ezért a kör sugara (a középpont távolsága a koordináta - tengelyektől) a középpont koordinátáinak abszolútértéke: r = 3 = 3. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 3) 2 + (y 3) 2 = 9. 21. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a P (2; 9) ponton és érinti a koordináta - tengelyeket! Mivel a kör érinti a koordináta tengelyeket és a P (2; 9) pont illeszkedik a körre, ezért a kör középpontja az első síknegyedbe esik, vagyis a középpont koordinátákkal felírva: K (r; r). Ebből írjuk fel a kör egyenletét következőképpen: (x r) 2 + (y r) 2 = r 2. Helyettesítsük a P pont koordinátáit a kör egyenletébe: (2 r) 2 + (9 r) 2 = r 2. 7

Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: r 2 22r + 85 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása r 1 = 5 és r 2 = 17. Ebből adódik, hogy a körök középpontja K 1 (5; 5) és K 2 (17; 17). Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (x 5) 2 + (y 5) 2 = 25 (x 17) 2 + (y 17) 2 = 289. 22. Határozd meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a P (2; 1) ponton, érinti az ordinátatengelyt, középpontja az x y = 2 egyenesen van! Az y tengelyt érintő kör középpontja K (r; v) és mivel a középpont illeszkedik az adott egyenesre, így felírhatjuk a következőképpen: K (r; r 2). Ebből írjuk fel a kör egyenletét következőképpen: (x r) 2 + [y (r 2)] 2 = r. Helyettesítsük a P pont koordinátáit a kör egyenletébe: (2 r) 2 + [ 1 (r 2)] 2 = r. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: r 2 6r + 5 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása r 1 = 1 és r 2 = 5. Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (x 1) 2 + (y + 1) 2 = 1 (x 5) 2 + (y 3) 2 = 25. 23. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely érinti a két koordináta tengelyt, és középpontja az e: y = 2x + 3 egyenesen van! A keresett kör középpontja illeszkedik az f: y = x, vagy a g: y = x egyenletű egyenesre, vagyis két megoldása lesz a feladatnak. Határozzuk meg az e és f egyenes metszéspontját: y = 2x + 3 } y = x Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 3 és y = 3, vagyis a kör középpontja: K 1 ( 3; 3). 8

Mivel a kör érinti a koordináta tengelyeket, ezért a kör sugara (a középpont távolsága a koordináta - tengelyektől) a középpont koordinátáinak abszolútértéke: r = 3 = 3. Ezek alapján az első kör egyenlete: (x + 3) 2 + (y + 3) 2 = 9. Határozzuk meg az e és g egyenes metszéspontját: y = 2x + 3 y = x } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 és y = 1, vagyis a kör középpontja: K 2 ( 1; 1). Mivel a kör érinti a koordináta tengelyeket, ezért a kör sugara (a középpont távolsága a koordináta - tengelyektől) a középpont koordinátáinak abszolútértéke: r = 1 = 1 = 1. Ezek alapján a második kör egyenlete: (x + 1) 2 + (y 1) 2 = 1. 24. Határozd meg a k: x 2 + y 2 = 25 kör és az e: 2x + y = 10 egyenes közös pontját! Határozzuk meg a k kör és az e egyenes metszéspontját: x 2 + y 2 = 25 2x + y = 10 } A második egyenletből fejezzük ki valamelyik ismeretlent: y = 10 2x. Ezt helyettesítsük az első egyenletbe: x 2 + (10 2x) 2 = 10. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: x 2 8x + 15 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása x 1 = 5 és x 2 = 3. Ezeket visszahelyettesítve y 1 = 0 és y 2 = 4 adódik. Ezek alapján az alakzatoknak két közös pontja van: P (5; 0) és Q (3; 4). 25. Milyen helyzetű a k: x 2 + y 2 2x 4y 15 = 0 kör és az f: 3x 2y = 7 egyenes? Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: x 2 + y 2 2x 4y 15 = 0 } 3x 2y = 7 9

Behelyettesítés és rendezés után a következő egyenlet adódik: 13y 2 20y 128 = 0. Számítsuk ki a diszkrimináns értékét: D = ( 20) 2 4 13 ( 128) = 7056. Mivel D > 0, így két megoldása van az egyenletrendszernek, vagyis az egyenes szelő. 26. Számítsd ki a k 1 : x 2 + y 2 10x 8y 4 = 0 és a k 2 : x 2 + y 2 2x 4y = 0 kör metszéspontjának koordinátáit! Határozzuk meg a k 1 kör és a k 2 kör metszéspontját: x 2 + y 2 10x 8y = 4 x 2 + y 2 2x 4y = 0 } A második egyenletből vonjuk ki az elsőt: 8x + 4y = 4. Ebből fejezzük ki valamelyik ismeretlent: y = 2x 1. Ezt helyettesítsük a második egyenletbe: x 2 + ( 2x 1) 2 2x 4 ( 2x 1) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: x 2 + 2x + 1 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása x = 1. Ezt visszahelyettesítve azt kapjuk, hogy y = 1. Ezek alapján az alakzatoknak egy közös pontja van, az E ( 1; 1) érintési pont. 27. Milyen helyzetű a k 1 : x 2 + y 2 2x 4y 3 = 0 és k 2 : x 2 + y 2 4x 6y 5 = 0 kör egymással? Hozzuk a körök egyenletét általános alakra: (x 1) 2 + (y 2) 2 = 8 (x 2) 2 + (y 3) 2 = 18. Az első kör középpontja a K 1 (1; 2) pont, sugara pedig r 1 = 8. A második kör középpontja a K 2 (2; 3) pont, sugara pedig r 2 = 18. 10

Számítsuk ki a két középpont távolságát: d (K 1 ; K 2 ) = (2 1) 2 + (3 2) 2 = 2. Mivel d (K 1 ; K 2 ) = r 1 r 2 és r 1 < r 2, így a k 1 kör belülről érinti a k 2 kört. 28. Határozd meg a p paraméter értékét úgy, hogy az x 2 + y 2 2x 2y 3 = 0 egyenletű kör és az 2x + y = p egyenes érintse egymást! Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: x 2 + y 2 2x 2y 3 = 0 } 2x + y = p Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: 5x 2 (4p 2) x + p 2 2p 3 = 0. Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből felírhatjuk a következőt: [ (4p 2)] 2 4 5 (p 2 2p 3) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: p 2 6p 16 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása p 1 = 2 és p 2 = 8. 29. A k 1 kör egyenlete (x 3) 2 + (y 6) 2 = 16, a k 2 kör középpontja K 2 ( 2; 3). Mekkora a k 2 sugara, ha a két körnek két közös pontja van? Az első kör középpontja a K 1 (3; 6) pont, sugara pedig r 1 = 4. Számítsuk ki a két középpont távolságát: d (K 1 ; K 2 ) = ( 2 3) 2 + ( 3 6) 2 = 106. A körök metszők, így felírhatjuk a következőt: 4 r 2 < 106 < 4 + r 2. Mivel 4 r 2 < 0, így a megoldás: 106 4 < r 2 < 4 + 106. 11

30. Határozd meg a k 1 : (x 1) 2 + (y 3) 2 = 20 és a k 2 : (x 10) 2 + y 2 = 50 egyenletű körök közös húrjának hosszát! Határozzuk meg a k 1 és k 2 körök metszéspontját: (x 1) 2 + (y 3) 2 = 20 (x 10) 2 + y 2 = 50 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 3; x 2 = 5 és y 1 = 1; y 2 = 5, vagyis a húr két végpontja: A (3; 1) és B (5; 5). Ezek alapján a húr hossza: AB = (5 3) 2 + (5 + 1) 2 = 40. 31. Add meg azokat az egyeneseket, amelyeknek az (x 2) 2 + (y 3) 2 = 3 egyenletű körrel két metszéspontja van, s illeszkednek az origóra! Az origóra illeszkedő egyenesek általános alakja: y = mx. Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: (x 2) 2 + (y 3) 2 = 3 } y = mx Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: (m 2 + 1) x 2 (4 + 6m) x + 10 = 0 Az egyenletnek akkor van két megoldása, ha a diszkrimináns értéke pozitív. Ebből felírhatjuk a következőt: [ (4 + 6m)] 2 4 (m 2 + 1) 10 > 0 Rendezés után a következő másodfokú egyenlőtlenség adódik: m 2 12m + 6 < 0. A kapott egyenlőtlenséget megoldása: 6 30 < m < 6 + 30. 32. Írd fel az x 2 + y 2 + 4x + 8y 5 = 0 egyenletű kör 4 3 egyenletét! meredekségű érintőinek Az adott meredekségű érintő iránytényezős egyenlete: y = 4 x + b. 3 12

Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: x 2 + y 2 + 4x + 8y 5 = 0 y = 4 3 x + b } Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: 25x 2 (60 + 24b) x + 9b 2 + 72b 45 = 0 Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből felírhatjuk a következőt: [ (60 + 24b)] 2 4 25 (9b 2 + 72b 45) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 12b 2 + 160b 300 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása b 1 = 15 és b 2 = 5. 3 Ezek alapján a keresett érintők egyenlete: y = 4 3 x 15 és y = 4 3 x + 5 3. 33. Határozd meg az A ( 1; 1), B (4; 4) és C (4; 2) pontok által meghatározott háromszög köré írható kör egyenletét! A köré írt körének középpontját megkaphatjuk az oldalfelező merőlegesek metszéspontjaként. Írjuk fel az AB oldal felezőmerőlegesének egyenletét: x y = 3. Írjuk fel a BC oldal felezőmerőlegesének egyenletét: y = 1. Határozzuk meg az AB és BC oldal felezőmerőlegesek metszéspontját: x y = 3 y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 2 és y = 1, vagyis a kör középpontja: K (2; 1). A kör sugara a kör középpontjának és a háromszög egy csúcsának a távolsága. Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KC = (4 2) 2 + (2 ( 1)) 2 = 13. Ezek alapján az ABC köré írt körének egyenlete: (x 2) 2 + (y + 1) 2 = 13. 13

34. Egy háromszög csúcsai A ( 3; 0), B (5; 0) és C (0; 8). Írd fel a háromszög Feuerbach körének egyenletét! A háromszög Feuerbach köre illeszkedik az oldalfelezőpontokra. Számítsuk ki az oldalfelező pontok koordinátáit: F AB (1; 0); F AC ( 3 2 ; 4) ; F BC ( 5 2 ; 4). Írjuk fel az F AB F AC oldal f 1 felezőmerőlegesének egyenletét: 20x 32y = 69. Írjuk fel az F AC F BC oldal f 2 felezőmerőlegesének egyenletét: 4x = 2. Határozzuk meg az f 1 és f 2 felezőmerőlegesek metszéspontját: 20x 32y = 69 } 4x = 2 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 2 és y = 79 32, vagyis a kör középpontja: K (1 2 ; 79 32 ). Számítsuk ki a sugár hosszát: r = F AB K = ( 1 2 1)2 + ( 79 32 0)2 = 6497 1024 Ezek alapján a Feuerbach - kör egyenlete: (x 1 2 )2 + (y 79 32 )2 = 6497 1024 35. Bizonyítsd be, hogy a következő pontok egy húrnégyszög csúcsai: A (8; 4), B (10; 0), C (2; 4) és D (1; 3)! A húrnégyszög csúcsai egy körre illeszkednek, ezért először határozzuk meg 3 (tetszőlegesen választott) pont köré írt körének egyenletét, majd vizsgáljuk meg, hogy a negyedik pont illeszkedik - e a kapott körre. Tekintsük az ABC - et. A köré írt körének középpontját megkaphatjuk az oldalfelező merőlegesek metszéspontjaként. Írjuk fel az AB oldal felezőmerőlegesének egyenletét: x 2y = 5. Írjuk fel a BC oldal felezőmerőlegesének egyenletét: 2x + y = 10. 14

Határozzuk meg az AB és BC oldal felezőmerőlegesek metszéspontját: x 2y = 5 2x + y = 10 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 5 és y = 0, vagyis a kör középpontja: K (5; 0). A kör sugara a kör középpontjának és a háromszög egy csúcsának a távolsága. Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KB = (10 5) 2 + (0 0) 2 = 5. Ezek alapján az ABC köré írt körének egyenlete: (x 5) 2 + y 2 = 25. Végül helyettesítsük a D pont koordinátáit a kör egyenletébe: (1 5) 2 + 3 2 = 25. Mivel 25 = 25 azonosságot kapunk, így a D pont illeszkedik a háromszög köré írt körére, vagyis az adott pontok egy húrnégyszöget határoznak meg. Második módszer: A húrnégyszög szemben fekvő szögei kiegészítő szögek, így mutassuk meg, hogy az ABCD négyszög két szemben fekvő szögének összege 180. Számítsuk ki az α szöget skaláris szorzat segítségével. Az oldalvektorok koordinátái AB (2; 4) és AD ( 7; 1), vagyis az α szög nagysága: cos α = 2 ( 7) + ( 4) ( 1) 2 2 + ( 4) 2 ( 7) 2 + ( 1) 2 = 10 20 50 α 108,43 Számítsuk ki a γ szöget skaláris szorzat segítségével. Az oldalvektorok koordinátái CB (8; 4) és CD ( 1; 7), vagyis a γ szög nagysága: cos γ = 8 ( 1) + 4 7 = 20 8 2 + 4 2 ( 1) 2 + 7 2 80 50 γ 71,57 Mivel az α + γ = 108,43 + 71,57 = 180, így az ABCD négyszög szemben fekvő szögei kiegészítő szögek, vagyis a négyszög húrnégyszög. 15

36. Egy húrnégyszög három csúcsának koordinátái: A ( 2; 2), B( 1; 3) és C (1; 1). A negyedik csúcs az ordinátatengelyen található. Mik lehetnek ennek a koordinátái? Írjuk fel az AB húr felezőmerőlegesének egyenletét: x + y = 1. Írjuk fel a BC húr felezőmerőlegesének egyenletét: x y = 2. Határozzuk meg az AB és BC húr felezőmerőlegesek metszéspontját: x + y = 1 x y = 2 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 2 és y = 3 2, vagyis a kör középpontja: K ( 1 2 ; 3 2 ). Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KC = (1 ( 1 2 )) 2 + (1 3 2 )2 = 10 4 = 5 2. Ezek alapján a ABC köré írt körének egyenlete: (x + 1 2 )2 + (y 3 2 )2 = 5 2. A negyedik csúcs illeszkedik az y tengelyre, vagyis koordinátákkal felírva: D (0; y). Helyettesítsük a D pont koordinátáit a köré írt kör egyenletébe: (0 + 1 2 )2 + (y 3 2 )2 = 5 2. Rendezés után a következő egyenlet adódik: y 2 3y = 0. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy y 1 = 0 és y 2 = 3. Ezek alapján két négyszög adódik, melyek negyedik csúcsa: D 1 (0; 0) és D 2 (0; 3). 37. Írd fel a k: x 2 + y 2 2x 4y 20 = 0 kör P (5; 5) pontjához tartozó e érintőjének egyenletét! Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (x 1) 2 + (y 2) 2 = 25. Ebből adódik, hogy a kör középpontja a K (1; 2) pont, sugara pedig 5. A P pont koordinátáit behelyettesítve a kör egyenletébe azt kapjuk, hogy 25 = 25, vagyis a pont illeszkedik a körre. 16

Mivel az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre, így a középpont és az érintési pont által meghatározott vektor normálvektora az érintőnek. Írjuk fel az e érintő egyenletét: Az e érintő egy pontja: P (5; 5) érintési pont. A KP vektor az e érintő egy normálvektora: KP (4; 3) = n e. Ezek alapján az e érintő egyenlete: 4x + 3y = 35. 38. Írd fel a k 1 : x 2 + y 2 = 25 körhöz a P (7; 1) pontból húzható érintők egyenletét! A P pont koordinátáit behelyettesítve a kör egyenletébe azt kapjuk, hogy 50 > 25, vagyis a pont a körön kívül helyezkedik el. Egy külső pontból két érintő húzható a körhöz, s az érintők egyenletéhez meg kell határoznunk az érintési pontokat. Az adott kör középpontja a K (0; 0) pont, sugara pedig r = 5. Írjuk fel a KP szakasz, mint átmérő fölé rajzolható k 2 Thalesz kör egyenletét: A k 2 kör középpontja a KP szakasz felezőpontja: F KP ( 7 2 ; 1 2 ). Számítsuk ki a sugár hosszát: r 2 = KF KP = ( 7 2 0)2 + ( 1 2 0)2 = 25 2. Ezek alapján a k 2 Thalesz - kör egyenlete: (x 7 2 )2 + (y 1 2 )2 = 25 2. Határozzuk meg a k 1 és a k 2 kör metszéspontját: x 2 + y 2 = 25 (x 7 2 )2 + (y 1 2 )2 = 25 } 2 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 4; x 2 = 3 és y 1 = 3; y 2 = 4, vagyis a két érintési pont: E 1 (4; 3) és E 2 (3; 4). 17

Írjuk fel a kapott érintési pontokra illeszkedő e 1 és e 2 érintők egyenletét: Az e 1 érintő egy pontja: P (7; 1). A KE 1 vektor az e 1 érintő egy normálvektora: KE 1 (4; 3) = n e1. Ezek alapján az e 1 érintő egyenlete: 4x 3y = 25. Az e 2 érintő egy pontja: P (7; 1). A KE 2 vektor az e 2 érintő egy normálvektora: KE 2 (3; 4) = n e2. Ezek alapján az e 2 érintő egyenlete: 3x + 4y = 25. Második módszer: A P pontra illeszkedő egyenesek iránytényezős alakja: y 1 = m (x 7). (A P pontra illeszkedik továbbá az x = 7 egyenes is, de az nem érintője a körnek.) Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: x 2 + y 2 = 25 y 1 = m (x 7) } Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: (1 + m 2 ) x 2 (14m 2 2m) x + 49m 2 14m 24 = 0 Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből felírhatjuk következőt: [ (14m 2 2m)] 2 4 (1 + m 2 ) (49m 2 14m 24) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 12m 2 7m 12 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása m 1 = 3 és m 4 2 = 4. 3 Ezek alapján a keresett érintők egyenlete: y 1 = 3 (x 7) és y 1 = 4 (x 7). 4 3 18

39. Írd fel a k: x 2 + y 2 = 5 körnek az f: 2x y + 1 = 0 egyenessel párhuzamos érintőinek egyenletét! A k kör középpontja a K (0; 0) pont, sugara pedig r = 5. Írjuk fel az f egyenesre merőleges, a K pontra illeszkedő g egyenes egyenletét: x + 2y = 0. Határozzuk meg a k kör és a g egyenes metszéspontját: x 2 + y 2 = 5 x + 2y = 0 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 2; x 2 = 2 és y 1 = 1; y 2 = 1, vagyis az érintési pontok: E 1 ( 2; 1) és E 2 (2; 1). Írjuk fel a kapott érintési pontokra illeszkedő e 1 és e 2 érintők egyenletét: Az e 1 érintő egy pontja: E 1 ( 2; 1). A KE 1 vektor az e 1 érintő egy normálvektora: KE 1 ( 2; 1) = n e1. Ezek alapján az e 1 érintő egyenlete: 2x + y = 5. Az e 2 érintő egy pontja: E 2 (2; 1). A KE 2 vektor az e 2 érintő egy normálvektora: KE 2 (2; 1) = n e2. Ezek alapján az e 2 érintő egyenlete: 2x y = 5. Második megoldás: Az f egyenessel párhuzamos egyenesek egyenlete: 2x y = a. Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: x 2 + y 2 = 5 2x y = a } Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: 5x 2 4ax + 49m 2 + a 2 5 = 0 19

Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből felírhatjuk következőt: ( 4a) 2 4 5 (a 2 5) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: m 2 25 = 0. Az egyenlet megoldása m 1 = 5 és m 2 = 5. Ezek alapján a keresett érintők egyenlete: 2x y = 5 és 2x y = 5. 40. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely érinti a k: (x 5) 2 + (y 5) 2 = 10 egyenletű kört és merőleges a f: 3x y = 1 egyenletű egyenesre! A k kör középpontja a K (5; 5) pont, sugara pedig r = 10. Írjuk fel az f el párhuzamos, a K pontra illeszkedő g egyenes egyenletét: 3x y = 10. Határozzuk meg a k kör és a g egyenes metszéspontját: (x 5) 2 + (y 5) 2 = 10 } 3x y = 10 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 4; x 2 = 6 és y 1 = 2; y 2 = 8, vagyis az érintési pontok: E 1 (4; 2) és E 2 (6; 8). Írjuk fel a g egyenesre merőleges az E 1 pontra illeszkedő e 1 érintő egyenletét. Az e 1 egyenesegy pontja: E 1 (4; 2). A KE 1 vektor az egyenes normálvektora: KE 1 ( 1; 3) = n e1. Ezek alapján az e 1 érintő egyenlete: x 3y = 10. Írjuk fel a g egyenesre merőleges az E 1 pontra illeszkedő e 2 érintő egyenletét. Az e 2 egyenesegy pontja: E 2 (6; 8). A KE 2 vektor az egyenes normálvektora: KE 2 (1; 3) = n e2. Ezek alapján az e 2 érintő egyenlete: x + 3y = 30. 20

41. Írd fel annak a k körnek az egyenletét, amely áthalad a P (2; 11) és Q (10; 11) pontokon és érinti az e: x + y = 5 egyenes! Írjuk fel a PQ húr f felezőmerőlegesének egyenletét: x = 6. Ebből adódik, hogy a kör középpontja a K (6; v) pont. A sugár hosszát felírhatjuk a következőképpen: r = KP = (2 6) 2 + (11 v) 2. Írjuk fel a kör egyenletét: (x 6) 2 + (y v) 2 = 16 + (11 v) 2 Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: (x 6) 2 + (y v) 2 = 16 + (11 v) 2 } x + y = 5 Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: y 2 + (1 v) y + 11v 68 = 0. Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből felírhatjuk következőt: (1 v) 2 4 (11v 68) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: v 2 46v + 273 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása v 1 = 7 és v 2 = 39. Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (x 6) 2 + (y 7) 2 = 32 (x 6) 2 + (y 39) 2 = 800 42. Írd fel azoknak az 5 egység sugarú köröknek az egyenletét, amelyek a 3x + 4y = 8 egyenletű egyenest a 0 abszcisszájú pontjában érintik! Az x = 0 koordinátát behelyetetsítve az egyenes egyenletébe azt kapjuk, hogy y = 2, vagyis az érintési pont: E (0; 2). Írjuk fel az E középpontú 5 egység sugarú k kör egyenletét: x 2 + (y 2) 2 = 25. 21

Írjuk fel az érintőre merőleges, az E pontra illeszkedő f egyenes egyenletét: 4x 3y = 6. Határozzuk meg a k kör és az f egyenes metszéspontját: x 2 + (y 2) 2 = 25 4x 3y = 6 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 3; x 2 = 3 és y 1 = 6; y 2 = 2, vagyis a körök középpontja: K 1 (3; 6) és K 2 ( 3; 2). Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (x 3) 2 + (y 6) 2 = 25 (x + 3) 2 + (y + 2) 2 = 25 43. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek a középpontja a K ( 3; 4) pont és érinti az e: x + 2y = 5 egyenletű egyenest! Írjuk fel az e egyenesre merőleges, a K pontra illeszkedő f egyenes egyenletét: 2x y = 10. Határozzuk meg az e és f egyenes metszéspontját: x + 2y = 5 2x y = 10 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 5 és y = 0, vagyis az érintési pont: E ( 5; 0). Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KE = ( 5 ( 3)) 2 + (0 4) 2 = 20. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x + 3) 2 + (y 4) 2 = 20. 44. Az e: x + y = 18 egyenes melyik pontjából húzható 12 egység hosszúságú érintő a k: x 2 + y 2 6x + 4y 12 = 0 egyenletű körhöz? Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (x 3) 2 + (y + 2) 2 = 25. A kör középpontja a K (3; 2) pont, sugara pedig r = 5. Mivel az érintő merőleges a sugárra, így azok egy derékszögű háromszöget határoznak meg. 22

Számítsuk ki Pitagorasz tétel segítségével a keresett pont távolságát a kör középpontjától: 5 2 + 12 2 = d 2 d = 13 Írjuk fel a K (3; 2) középpontú 13 sugarú k 1 kör egyenletét: (x 3) 2 + (y + 2) 2 = 169. Határozzuk meg a k 1 kör és az e egyenes metszéspontját: (x 3) 2 + (y + 2) 2 = 169 } x + y = 18 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 15; x 2 = 8 és y 1 = 3; y 2 = 10, vagyis a keresett pontok: P 1 (15; 3) és P 2 (8; 10). 45. A k: x 2 + y 2 + 4x 4y 18 = 0 körhöz egy P pontból érintőket húzunk. Számítsd ki a P koordintátáit, ha az érintési pontokon áthaladó szelő egyenlete e: x y = 2! Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (x 3) 2 + (y + 2) 2 = 25. A kör középpontja a K (3; 2) pont, sugara pedig r = 5. Határozzuk meg a k kör és az e egyenes metszéspontját: (x 3) 2 + (y + 2) 2 = 25 } x y = 2 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 3; x 2 = 1 és y 1 = 1; y 2 = 3, vagyis az érintési pontok: E 1 (3; 1) és E 2 ( 1; 3). Az e 1 érintő egy pontja: E 1 (3; 1). A KE 1 vektor az e 1 érintő egy normálvektora: KE 1 ( 5; 1) = n e1. Ezek alapján az e 1 érintő egyenlete: 5x + y = 14. Az e 2 érintő egy pontja: E 2 ( 1; 3). A KE 2 vektor az e 2 érintő egy normálvektora: KE 2 ( 1; 5) = n e2. Ezek alapján az e 2 érintő egyenlete: x + 5y = 14. 23

Határozzuk meg az e 1 és az e 2 érintő metszéspontját: 5x + y = 14 x + 5y = 14 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 7 3 és y = 7 3, vagyis a keresett pont: P (7 3 ; 7 3 ). 46. Határozd meg annak a 3 egység sugarú körnek az egyenletét, amely kívülről érinti a k 1 : (x 2) 2 + (y 3) 2 = 4 és a k 2 : (x 11) 2 + (y + 6) 2 = 100 köröket! Az első kör középpontja a K 1 (2; 3) pont, sugara pedig r 1 = 2. A második kör középpontja a K 2 (11; 6) pont, sugara pedig r 2 = 10. Írjuk fel az adott körökkel koncentrikus, 3 egységgel nagyobb sugarú körök egyenletét: k 3 : (x 2) 2 + (y 3) 2 = 25 k 4 : (x 11) 2 + (y + 6) 2 = 169 Határozzuk meg a k 3 és k 4 körök metszéspontját: (x 2) 2 + (y 3) 2 = 25 (x 11) 2 + (y + 6) 2 = 169 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 1; x 2 = 6 és y 1 = 1; y 2 = 6, vagyis a keresett körök középpontja: K 3 ( 1; 1) és K 4 (6; 6). Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (x + 1) 2 + (y + 1) 2 = 9 (x 6) 2 + (y 6) 2 = 9 47. Határozd meg annak a körnek az egyenletét, amely az x 2 + y 2 = 25 kört az E ( 3; 4) pontban érinti és sugara 15 egység! Az adott kör középpontja a K 1 (0; 0) pont, sugara pedig r = 5. Két eset lehetséges aszerint, hogy a keresett körhöz képest hol helyezkedik el az adott kör. 24

Tekintsük először azt az esetet, amikor az adott kör a keresett körön kívül helyezkedik el. Ekkor az E érintési pont a K 1 K 2 szakasz K 1 hez közelebbi negyedelőpontja: K 2 ( 12; 16). Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x + 12) 2 + (y 16) 2 = 225. Tekintsük most azt az esetet, amikor az adott kör a keresett körön belül helyezkedik el. Ekkor az adott kör középpontja a K 3 E szakasz E hez közelebbi harmadolópontja: K 3 (6; 8). Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (x 6) 2 + (y + 8) 2 = 225. 48. Mekkora annak a K 1 ( 4; 1) középpontú k 1 körnek a sugara, amely érinti az (x 2) 2 + (y 9) 2 = 4 egyenletű k 2 kört? A k 2 kör középpontja a K 2 (2; 9) pont, sugara pedig r 2 = 2. Mivel a k 1 kör belülről és kívülről is érintheti a k 2 kört, így két megoldása lesz a feladatnak. 25

Számítsuk ki a középpontok távolságát: K 1 K 2 = (2 ( 4)) 2 + (9 1) 2 = 100 = 10. A belülről érintő k 1 kör r 1 sugara: r 1 = 10 2 = 8. A kívülről érintő k 1 kör r 1 sugara: r 1 = 8 + 2 2 = 12. 49. Határozd meg a és b paraméterek értékét úgy, hogy a k: x 2 + y 2 + ax + by = 0 egyenletű kör áthaladjon az A (4; 1) és a B ( 2; 3) pontokon! Melyik pontban metszi ez a kör az x tengelyt? Helyettesítsük az A pont koordinátáit az egyenletbe, s a következőt kapjuk: 4a b = 17. Helyettesítsük a B pont koordinátáit az egyenletbe, s a következőt kapjuk: 2a + 3b = 13. A kapott egyenleteket tekintsük egyenletrendszerként: 4a b = 17 2a + 3b = 13 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a = 32 5 és b = 43 5. Ezek alapján a k kör egyenlete: x 2 + y 2 32 5 43 x y = 0. 5 Az x tengely egyenlete: y = 0. Határozzuk meg a k kör és az x - tengely metszéspontját: x 2 + y 2 32 43 x y = 0 5 5 } y = 0 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 0 és x 2 = 32 5. Ezek alapján az x tengelyt a k kör a P (0; 0) és Q ( 32 ; 0) pontokban metszi. 5 26

50. Határozd meg azokat a pontokat, amelyek az e: x + 2y = 7 egyenesre illeszkednek és a K (3; 7) ponttól 5 egység távolságra vannak! Írjuk fel a K (3; 7) középpontú 5 egység sugarú k kör egyenletét: (x 3) 2 + (y 7) 2 = 25. Határozzuk meg a k kör és az e egyenes metszéspontját: (x 3) 2 + (y 7) 2 = 25 } x + 2y = 7 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 3; x 2 = 1 és y 1 = 2; y 2 = 4, vagyis a keresett pontok: P (3; 2) és Q ( 1; 4). 51. A k 1 : x 2 + y 2 + 12y 12 = 0, illetve a k 2 : x 2 + y 2 22x 20y + 202 = 0 körök középpontjai és a P (0; 0) pont egy háromszöget feszítenek ki. Számítsd ki a háromszög kerületét és területét! Hozzuk az első kör egyenletét általános alakra: x 2 + (y + 6) 2 = 48. Hozzuk a második kör egyenletét általános alakra: (x 11) 2 + (y 10) 2 = 19. Az első kör középpontja a K 1 (0; 6) pont, sugara pedig r 1 = 48. A második kör középpontja a K 2 (11; 10) pont, sugara pedig r 2 = 19. A háromszög kerületéhez számítsuk ki az oldalak hosszát: PK 1 = (0 0) 2 + ( 6 0) 2 = 6 PK 1 = (11 0) 2 + (10 0) 2 = 221 K 1 K 2 = (11 0) 2 + (10 ( 6)) 2 = 377 Ezek alapján a háromszög kerülete: K = 6 + 221 + 377 40,3. A PK 1 (0; 6) és PK 2 (11; 10) vektorok által bezárt α szög nagysága: cos α = 0 11 + ( 6) 10 6 221 α 132,2. Ezek alapján a háromszög területe: T = 6 221 sin 132,2 2 = 33. 27

52. Számítsd ki annak a háromszögnek a területét, amelyet a k 1 : x 2 + y 2 = 10 és a k 2 : x 2 + y 2 6x 6y + 2 = 0 egyenletű körök közös húrjának egyenese, valamint az x és az y tengely határol! Határozzuk meg a k 1 kör és a k 2 kör metszéspontját: x 2 + y 2 = 10 x 2 + y 2 6x 6y = 2 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 3; x 2 = 1 és y 1 = 1; y 2 = 3, vagyis a két kör közös pontjai: P (3; 1) és Q ( 1; 3). Írjuk fel a PQ húrra illeszkedő e egyenes egyenletét: x + y = 2. Az e egyenes egyenletének tengelymetszetes alakja: x 2 + y 2 = 1. Ebből adódik, hogy az e egyenes az x - tengelyt az R (2; 0) pontban, az y tengelyt pedig az S (0; 2) pontban metszi. Mivel a keletkező háromszög derékszögű, így a területe: T = 2 2 2 = 2 területegység. 53. A k: (x + 1) 2 + (y 1) 2 = 26 egyenletű kör és a koordináta tengelyek metszéspontjai egy négyszöget határoznak meg. Számítsd ki a négyszög területét! Az x - tengely egyenlete: y = 0. Határozzuk meg a k kör és az x - tengely metszéspontját: (x + 1) 2 + (y 1) 2 = 26 } y = 0 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 4 és x 2 = 6. Ebből adódik, hogy az x tengelyt a k kör a P (4; 0) és Q ( 6; 0) pontban metszi. Az y - tengely egyenlete: x = 0. Határozzuk meg a k kör és az y - tengely metszéspontját: (x + 1) 2 + (y 1) 2 = 26 } x = 0 28

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 6 és x 2 = 4. Ebből adódik, hogy az y tengelyt a k kör a R (0; 6) és S (0; 4) pontban metszi. A négyszög területét megkaphatjuk, ha a négyszög köré rajzolt négyzet területéből kivonjuk a négyszögön kívül eső háromszögek területeit. Mivel a köré rajzolt négyzet oldalainak nagysága PQ = RS = 10, így a területe: T 1 = 100. Számítsuk ki a keletkező derékszögű háromszögek területét: T 2 = 6 6 2 = 18 T 3 = 6 4 2 = 12 T 4 = 4 4 2 = 8 T 5 = 4 6 2 = 12 Ezek alapján a keresett négyszög területe: T = 100 18 12 8 12 = 50. 54. Az A (4; 3) és B (10; 7) pontok által meghatározott AB szakasz az e: x 5y = 5 egyenes melyik pontjából látható derékszögben? Egy adott AB szakasz, az AB átmérőjű Thalesz kör pontjaiból látszik derékszögben. Írjuk fel a k Thalesz kör egyenletét. A kör középpontja az AB szakasz felezőpontja: K (7; 5). Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KB = (10 7) 2 + (7 5) 2 = 13. Ezek alapján a Thalesz kör egyenlete: (x 7) 2 + (y 5) 2 = 13. A keresett pont az adott egyenes és a Thalesz kör közös pontja. Határozzuk meg a k kör és az e egyenes metszéspontját: (x 7) 2 + (y 5) 2 = 13 } x 5y = 5 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 5; x 2 = 10 és y 1 = 2; y 2 = 3, vagyis a keresett pontok: P (5; 2) és Q (10; 3). 29

55. Határozd meg az k: (x 2) 2 + (y 10) 2 = 18 körnek azon pontját, amely az e: y = x egyeneshez legközelebb, illetve legtávolabb helyezkedik el! Az adott kör középpontja a K (2; 10) pont, sugara pedig r = 18. A legközelebb, illetve legtávolabb levő pont éppen az egyenesre merőleges átmérő végpontjai. Írjuk fel az e egyenesre merőleges, középpontra illeszkedő f egyenes egyenletét: x + y = 12. Határozzuk meg az f egyenes és a k kör metszéspontját: x + y = 12 (x 2) 2 + (y 10) 2 = 18 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 5; x 2 = 1 és y 1 = 7; y 2 = 13, vagyis a legközelebbi pont a P (5; 7), a legtávolabbi pedig a Q ( 1; 13). 56. Határozd meg az x 2 + y 2 2x + 4y 20 = 0 körön található rácspontok számát! (Rácspontnak nevezünk egy pontot a koordináta - rendszerben, ha mindkét koordinátája egész szám.) Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (x 1) 2 + (y + 2) 2 = 25. A kör középpontja a K (1; 2) pont, sugara pedig r = 5. Amennyiben egy ponthalmazt eltolunk egy olyan vektorral, melynek koordinátái egész számok, akkor az alakzat rácspontjai rácspontokba mennek át, vagyis a kapott alakzatnak ugyanannyi rácspontja lesz, mint az eredetinek. Toljuk el a feladatban szereplő kört a v ( 1; 2) vektorral, így a kapott kör középpontja a K (0; 0) pont lesz, sugara r = 5. Írjuk fel a kapott kör egyenletét: x 2 + y 2 = 25. Mivel 25 = 0 + 25 = 9 + 16, így a kapott körnek a következő rácspontjai adódnak: (0; 5), (0; 5), (5; 0), ( 5; 0), (3; 4), ( 3; 4), (3; 4), ( 3; 4), (4; 3), (4; 3), ( 4; 3), ( 4; 3) Ezek alapján az eredeti körnek is 12 rácspontja adódik. 30

57. Írd fel az (x 7) 2 + (y 6) 2 = 25 egyenletű kör P (8; 4) pontjára illeszkedő legrövidebb, illetve leghosszabb húrját tartalmazó egyenes egyenletét! Az adott kör középpontja a K (7; 6) pont, sugara pedig r = 5. A leghosszabb húr a P re illeszkedő átmérő. Írjuk fel az átmérőn átmenő e egyenes egyenletét: 2x + y = 20. A legrövidebb húr a P re illeszkedő, az átmérőre merőleges húr. Írjuk fel az átmérőre merőleges f egyenes egyenletét: x 2y = 0. 58. Mi azon pontok halmaza a síkon, amelyből a k: x 2 + y 2 4x + 10y + 20 = 0 kör derékszögben látszik? Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (x 2) 2 + (y + 5) 2 = 9. A kör középpontja a K (2; 5) pont, sugara pedig r = 3. Az érintőszakaszok és a sugarak egy négyzetet határoznak meg, melynek oldala éppen r. A keresett P pontok távolsága a kör középpontjától a négyzet átlója: KP = 3 2 = 18. Ezek alapján a keresett ponthalmaz egy kör, melynek egyenlete: (x 2) 2 + (y + 5) 2 = 18 59. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad az origón, továbbá középpontja az x 2 + y 2 14x 6y = 54 egyenletű kör legkisebb ordinátájú pontja! Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (x 7) 2 + (y 3) 2 = 4. A kör középpontja a K (7; 3) pont, sugara pedig r = 2. Ebből adódik, hogy a legkisebb ordinátájú pontja a P (7; 1) pont. Számítsuk ki a sugár hosszát: r = OP = (7 0) 2 + (1 0) 2 = 50. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 7) 2 + (y 1) 2 = 50. 31

60. Adott a k: x 2 + y 2 18x + 6y + 65 = 0 kör és az F (8; 6) pont. Határozd meg a kör azon A és B pontját, melyre az F pont felezi az AB húrt! Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (x 9) 2 + (y + 3) 2 = 25. A kör középpontja a K (9; 3) pont, sugara pedig r = 5. Bármely húr felezőmerőlegese átmegy a kör középpontján. Írjuk fel a húrra illeszkedő h egyenes egyenletét: x + 3y = 10. Határozzuk meg a k kör és a h húr metszéspontját: (x 9) 2 + (y + 3) 2 = 25 } x + 3y = 10 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 217 ; x 50 2 = 583 és y 50 1 = 239 ; y 50 2 = 361, vagyis a keresett 50 pontok: A ( 217 ; 239 ) és B (583 ; 361 ). 50 50 50 50 61. A derékszögű ABC átfogójának végpontjai A ( 1; 4) és B (5; 3). A háromszög BC befogóját tartalmazó egyenes meredeksége 1. Számítsd ki a C csúcs koordinátáit! 4 A derékszögű háromszög köré írt középpontja az átfogó felezőpontja: K (2; 1 2 ). Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KA = ( 1 2) 2 + (4 1 2 )2 = 85 2. Írjuk fel a háromszög köré írt körének egyenletét: (x 2) 2 + (y 1 2 )2 = 85 4. Írjuk fel a BC befogó iránytangenses egyenletét: y + 3 = 1 (x 5). 4 Számítsuk ki a köré írt kör és a befogó metszéspontját: (x 2) 2 + (y 1 2 )2 = 85 4 } y + 3 = 1 (x 5) 4 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 5; x 2 = 1 és y 1 = 3; y 2 = 4, vagyis C (1; 4). 32

62. Hol helyezkednek el a síkon azok a pontok, amelyeken át az (x 4) 2 + (y 5) 2 = 9 és az x 2 + y 2 = 4 egyenletű körökhöz egyenlő hosszúságú érintőszakaszok húzhatók? Az első kör középpontja a K 1 (4; 5) pont, sugara pedig r 1 = 3. A második kör középpontja a K 2 (0; 0) pont, sugara pedig r 2 = 2. Tekintsük a következő ábrát: A derékszögű PEK - ben és PDO - ben írjuk fel a Pitagorasz tételt: PE 1 2 = PK 1 2 3 2 PE 2 2 = PK 2 2 2 2 Mivel PE 1 = PE 2, így az egyenletek jobb oldala egyenlő egymással: ( (4 x) 2 + (5 y) 2 ) 2 9 = ( (0 x) 2 + (0 y) 2 ) 2 4. Ebből rendezés után a következőt kapjuk: 4x + 5y = 18. A keresett pontok halmaza egy olyan egyenes (hatványvonal), amely merőleges a körök középpontját összekötő szakaszra. 33

63. Írd fel azoknak a köröknek az egyenletét, amelyek érintik mindkét koordinátatengelyt, valamint a K (5; 5) középpontú 5 egység sugarú kört! Tekintsük a következő ábrát: Mivel az adott kör érinti a tengelyeket, így a második és negyedik negyedbeli megoldások: (x + 5) 2 + (y 5) 2 = 25 (x 5) 2 + (y + 5) 2 = 25 További két kör található az első síknegyedben is, melyek középpontja: K (r ; r ). Mivel a keresett kör érinti az adott kört, így d (K; K ) = r + r, vagyis felírhatjuk a következőt: (r 5) 2 + (r 5) 2 = 5 + r. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódóik: r 2 30r + 25 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása r 1 = 15 + 10 2 és r 2 = 15 10 2. 34

Ezek alapján a keresett körök egyenletei: [x (15 + 10 2)] 2 + [y (15 + 10 2)] 2 = (15 + 10 2) 2 [x (15 10 2)] 2 + [y (15 10 2)] 2 = (15 10 2) 2 64. Határozd meg az (x + 2) 2 + (y + 1) 2 = 9 és (x 2) 2 + (y 1) 2 = 1 körök közös külső, illetve belső érintőinek egyenletét! Az első kör középpontja a K 1 ( 2; 1) pont, sugara pedig r 1 = 3. A második kör középpontja a K 2 (2; 1) pont, sugara pedig r 2 = 1. A két kör hasonló, a hasonlóság középpontja a közös külső, illetve belső érintők metszéspontja. Tekintsük először a közös külső érintőket. Az K 1 E 1 O 1 és a K 2 E 2 O 1 hasonló egymáshoz (szögeik megegyeznek). A hasonlóság aránya: λ = K 1E 1 K 2 E 2 = K 1O 1 K 2 O 1 = 3. Ebből adódik, hogy a K 2 pont a K 1 O 1 szakasz O 1 hez közelebbi harmadolópontja: O 1 (4; 2). Az O 1 pontra illeszkedő egyenesek egyenlete: x = 4, vagy y 2 = m (x 4). 35

Mivel az x = 4 egyenletű egyenesnek nincs közös pontja a körökkel, így ez nem érintő. Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: y 2 = m (x 4) (x + 2) 2 + (y + 1) 2 = 9 } Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: (m 2 + 1) x 2 (8m 2 6m 4) x + 16m 2 24m + 4 = 0 Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből írjuk fel a következőt: [ (8m 2 6m 4)] 2 4 (m 2 + 1) (16m 2 24m + 4) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 3m 2 4m = 0. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy m 1 = 0 és m 2 = 4. 3 Ezek alapján a külső érintők egyenlete: y 2 = 0 és y 2 = 4 (x 4). 3 Tekintsük most a közös belső érintőket. Az K 1 E 1 O 2 és a K 2 E 2 O 2 hasonló egymáshoz (szögeik megegyeznek). A hasonlóság aránya: λ = K 1E 1 K 2 E 2 = K 1O 2 K 2 O 2 = 3. 36

Ebből adódik, hogy az O 2 pont a K 1 K 2 szakasz K 2 höz közelebbi negyedelőpontja: O 2 (1; 1 2 ). Az O 2 pontra illeszkedő egyenesek egyenlete: x = 1, vagy y 1 = m (x 1). 2 Mivel az x = 1 egyenletű egyenesnek egy egy közös pontja van a körökkel, így ez érintő. Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: y 1 = m (x 1) 2 (x + 2) 2 + (y + 1) 2 = 9 } Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: (m 2 + 1) x 2 (2m 2 3m 4) x + m 2 3m + 11 4 = 0 Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből felírhatjuk a következőt: [ (2m 2 3m 4)] 2 4 (m 2 + 1) (m 2 3m + 11 4 ) = 0. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy m = 4 3. Ezek alapján a belső érintők egyenlete: x = 1 és y 1 = 4 (x 1). 2 3 65. Két kör egyenlete k 1 : (x 3) 2 + y 2 = 9 és k 2 : (x 10) 2 + (y 5) 2 = 4. Számítsd ki a körök közös belső, illetve külső érintői metszéspontjának koordinátáit! Tekintsük a következő ábrát: 37

Az első kör középpontja a K 1 (3; 0) pont, sugara pedig r 1 = 3. A második kör középpontja a K 2 (10; 5) pont, sugara pedig r 2 = 2. A két kör hasonló, a hasonlóság középpontja a közös külső, illetve belső érintők metszéspontja. A külső érintők esetén a hasonlóság aránya: λ = K 1E 1 K 2 E 2 = K 1M 1 K 2 M 1 = 3 2. Ebből adódik, hogy K 2 pont a K 1 M 1 szakasz K 1 hez közelebbi harmadolópontja: M 1 (24; 15). A belső érintők esetén a hasonlóság aránya: λ = K 1E 1 K 2 E 2 = K 1M 2 K 2 M 2 = 3 2. Ebből adódik, hogy az M 2 pont a K 1 K 2 szakasz K 2 höz közelebbi ötödölőpontja: M 2 ( 36 5 ; 3). Második megoldás: A körök egyik belső érintőjének egyenlete y = 3. Írjuk fel a két kör középpontján átmenő e egyenes egyenletét: 5x 7y = 15. Határozzuk meg a belső érintő és az e egyenes metszéspontját: y = 3 5x 7y = 15 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 36 5. Ezek alapján a belső érintők metszéspontja: M 1 ( 36 5 ; 3). 66. Egy kör átmegy a P (3; 7) ponton, a k 1 : x 2 + y 2 + 2x + 2y 98 = 0 egyenletű kört belülről, a k 2 : x 2 + y 2 22x 16y + 160 = 0 egyenletű kört pedig kívülről érinti. Írd fel az egyenletét! Mekkora a körbe írható szabályos háromszög területe? Hozzuk az első kör egyenletét általános alakra: (x + 1) 2 + (y + 1) 2 = 100. Hozzuk a második kör egyenletét általános alakra: (x 11) 2 + (y 8) 2 = 25. 38

Az első kör középpontja a K 1 ( 1; 1) pont, sugara pedig r 1 = 10. A második kör középpontja a K 2 (11; 8) pont, sugara pedig r 2 = 5. Számítsuk ki a középpontok távolságát: d (K 1 ; K 2 ) = (11 ( 1)) 2 + (8 ( 1)) 2 = 15. Mivel d (K 1 ; K 2 ) = r 1 + r 2 = 15, így az adott két kör kívülről érinti egymást. Vonjuk ki a két kör egyenletét egymásból, s rendezés után megkapjuk a közös belső érintő egyenletét: 4x + 3y = 43. Írjuk fel az adott körök középpontjára illeszkedő e egyenes egyenletét: 3x 4y = 1. Határozzuk meg a belső érintő és az e egyenes metszéspontját: 4x + 3y = 43 3x 4y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 7 és y = 5, vagyis az érintési pont: E (7; 5). Írjuk fel a keresett kör PE húr f felezőmerőlegesének egyenletét: 2x y = 4. Határozzuk meg az e és f egyenes metszéspontját: 3x 4y = 1 2x y = 4 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 3 és y = 2, vagyis a keresett kör középpontja: K 3 (3; 2). Számítsuk ki a sugár hosszát: r 3 = K 3 E = (7 3) 2 + (5 2) 2 = 5. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 3) 2 + (y 2) 2 = 25. Egy adott körbe írt szabályos háromszög területének harmada egy olyan háromszög területe, amely egyenlőszárú, szárainak hossza a kör sugara és az általuk bezárt szög 120. Számítsuk ki egy ilyen háromszög területét: T 1 = 39 5 5 sin 120 Ezek alapján a szabályos háromszög területe: T = 3 T 1 = 2 = 75 3 4 25 3. 4.

67. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely az abszcisszatengelyt a P (3; 0) pontban érinti, és az ordinátatengelyből 8 egységnyi hosszúságú húrt metsz ki! A kör érinti az x tengelyt a P pontban, így a középpontja a K (3; r), vagy a K (3; r) pont. Tekintsük a következő ábrát: Mivel a keletkező húr hossza 8 egység, ezért AF = 4. A derékszögű KFA - ben számítsuk ki Pitagorasz tétel segítségével a sugár hosszát: 3 2 + 4 2 = r 2 r = 5 Ebből adódik, hogy a kör középpontja a K (3; 5), vagy a K (3; 5) pont. Ezek alapján a keresett körök egyenletei: (x 3) 2 + (y 5) 2 = 25 (x 3) 2 + (y + 5) 2 = 25 40