KÍSÉRLETI MODÁLIS ELEMZÉS ÉAÜLT EMA J JEGYZET Dr. ápai Frn. EGY SZABADSÁGFOKÚ RENDSZEREK. MOZGÁSEGYENLETEK BME ÉAGT TARTALOMJEGYZÉK BEVEZETÉS... RENDSZEREGYENLET, ÁTVITELI FÜGGVÉNY..... A rnszr pólusai, saáfrvniái és sillapíási ényzői... 5.. Rzíuo... 7..3 Frvnia válasz függvény, ipulzus válasz függvény... 7..3. Fiziai paraér válozaásána haása... 3 ISZTERÉZISES CSILLAÍTÁS... 3 BEVEZETÉS Ebbn a fzbn bvzün néhány, a ísérli oális lzéssl apsolaos alapfogala [Sas_]. Ez a fogalaa öbbszabaságfoú rnszrnél is érlzni fogu. A ozgásgynlből iinulva lvzü az ávili függvény. Ez a in oupu és a bn inpu hányaosa az opráor aroányban. Enn a függvényn a nvző a rnszr arariszius gynl, ly ghaározza a rnszr pólusai, saáfrvniái és sillapíási hányaosai. Az ávili függvény részlör alaána a szálálóa aralazza az ún. rziuoa. Tárgyalu az ávili függvény frvniaaroánybli és iőaroánybli gfllői. Mguau a ög, a sillapíás és a rvség válozaásána a haásá az gyszabaságfoú rnszr vislésér. Végül iérün a szrzi hiszréziss sillapíás ozgásgynlir. D:\papai\oal\gyz\EMA J SDOF rnszr.o
RENDSZEREGYENLET, ÁTVITELI FÜGGVÉNY Tinsü az. ábrán láhaó gy szabaságfoú lináris lngőrnszr ollé..-. ábra Egy szabaságfoú lináris lngőrnszr oll Viszózusan sillapío gy szabaságfoú SDOF = Singl Dgr of Fro rnszr ozgásgynl.- a hlnségi rő, a sillapíó rő, a rugalas rő és a ülső rő özöi gynsúly fzi i [Sas_. ahol: ög sillapíás rvség f ülső rő, golása ahol ranzins rész,... f.- gyorsulás g s Ns sbsség s N lozulás s p állanósul rész. N iő, oogén gynl álalános golása: A golás ranzins rész f hlysíéssl hoogén gynlé apu. A golás gynléb: p....- alaban rsv, ahol onsans bhlysív.- hoogén N riviális goláshoz aor uun, ha:.-3..-4.-4 a rnszr arariszius gynl. A arariszius gynl gyöi a rnszr pólusai saáéréi:,.-5 Mivl az,, gyühaó valósa, a, gyöö vagy valósa, vagy onugál opl páro. éla: Száísu i az.-. ábrán láhaó lngőrnszr arariszius gynlén gyöi: g, 6 N, ülönböző sillapíási éré sér: EMA J SDOF rnszr
EMA J SDOF rnszr 3 Ns s ra 4, Ns s ra 3,969,5, Ns s ra s ra 8 A rnszr pólusaina a sgíségévl a ranzins golásag a övzőéppn írhaó fl:,.-6 ahol és a iőpillanaban glévő zi flél alapán ghaározhaó. éla: F7 ifun. Íru fl szőlgs, onsanso sér a ranzins válasz függvényé. A ozgásgynln i ll légíni a zi flél, így az lőír zi lozulásra és zi sbsségr a ozgásgynl: A fni gynlrnszrbn rsü, éréé, há a golanó gynlrnszr: Az gyühaóári invrzén flhasználásával a golás: A fni golásfüggvény iné agána iné ényző isza épzs nnyiség, zér iné ag valós. Ellnőrizzü l, hogy az így flír golásfüggvény lsíi- a zi flél: Valóban, a golásfüggvény lsíi a zi flél. A golásfüggvény ovább részlzv, sa lozulásra vonaozó zi flél sér: sin os sin os sin os sin os sin os sin os Az.-. ábrán ülönböző sillapíási érér és ülönböző zi érér ábrázolu a golásfüggvény alaá iőbli lfuásá
4 Ns Ns Ns, s, s.-. ábra A szaba rnszr golás függvényén alaa ülönböző zi flélr és sillapíási érér Mgfigylhő, hogy a sillapíás éré lénygsn bfolyásola a golásfüggvény alaá. A válaszfüggvény a zi érén gfllőn inul, zi lozulásra vonaozó lőírás sén a golásfüggvény éré vszi fl az lőír loulás, íg a zi sbsségr vonaozó lőírás sén a válaszfüggvény rivála vszi fl a gfllő éré a s iőpillanaban. Állanósul golás Az gynl a Lapla opráor aroányba ranszforálva, F.-7 ahol, zi flél a iőpillanaban, a rnszr válaszána Lapla ranszforála, F a rnszr f grszésén Lapla ranszforála, Zérus zi fléll, vagyis, flélzv, hogy az zi lozulás és az zi sbsség zérus, a övző ifzéshz uun: F.-8 vagy Z F.-9 ahol Z a inaiai rvség. Dfiníiószrűn az ávili függvény ransfr funion a inaiai rvség invrz, Z : F..-.- F A ávili függvény opl éréű. EMA J SDOF rnszr
5.. A rnszr pólusai, saáfrvniái és sillapíási ényzői A arariszius gynl alapán néhány fonos nnyiség vzün b. Csillapíalan örfrvnia a nins sillapíás, a rnszr onzrvaív, or az.-5 gynlből az ún. sillapíalan örfrvniá apu ras:..- Kriius sillapíás Kriiusna nvzzü a sillapíás, ha a sillapíás éré olyan, hogy a arariszius gynlbn a gyö alai nnyiség D iszriináns zérussá váli: D..-3 A fni gynlből a riius sillapíás ifzv ri..-4 Csillapíási ényző A sillapíási ényző, in inziónélüli száaa az fzi i, hogy a rnszr sillapíási gyühaóa a riius sillapíásna hányarész. A sillapíási ényző:.-5 ri A sillapíási ényző érééől függőn a rnszr a övző szrin soporosíhau: o sillapíalan D< onugál épzs gyöö o alulsillapío D< onugál opl gyöö o riiusan sillapío D= é gybső valós gyö o úlsillapío. D> é ülönböző valós gyö A ovábbiaban az alulsillapío rnszr vizsgálu. Ebbn az sbn a arariszius gynl 5 golása é onugál gyöhöz vz:.-6 ahol a sillapíási faor, a opl gyö valós rész a sillapío saáörfrvnia, a opl gyö épzs rész. Az.-3. ábrán a gyöö opl síon való lhlyzésé uau b. EMA J SDOF rnszr
6 I I R R Csillapíalan.-3. ábra A gyöö lhlyzés a opl síon Csillapíalan rnszrnél a gyöö isza épzs nnyiség. A sillapíás növlésévl a gyöön gfllő opl vro az origó örül lforulna, abszolú éréü n válozi. Ugyanis:.-7 R I Alulsillapío Thá a sillapío rnszr opl gyöin abszolú éré ggyzi a sillapíalan rnszr gyöin abszolú éréévl. Az.-4. ábrán a opl síon flünv ábrázolu, hogyan óosul a ranzns golásag iőbli lfuása, aól függőn, hogy a arariszius gynl gyöi a sí ly ponára si..-4. ábra A ranzins golásag iőbli lfuása a opl gyö lhlyzésén függvényébn Annyibn a gyö a valós nglyr si, épzs rész, a golásfüggvény n aralaz szinuszos ényző, n alaul i oszilláió. sén a lngés sillapona, sén a lngés inn haáron úl növn, sén n sillapona. A opl saáéré és a sillapíási ényző özöi ovábbi összfüggés:.-8 EMA J SDOF rnszr
EMA J SDOF rnszr 7.-9.-.-.. Rzíuo A flhasználásával az ávili függvény gyöényzős alaa a övzőéppn írhaó:.- Ez áírva pariális ör, ásnévn részlör alaba:.-3 A részlör ala, szálálói rzíuona nvzzü. aározzu g a, rzíuoa..-4.- és.-4 szálálóában a azonos ivői szrini gyühaóa gynlővé év,. A golanó gynlrnszr ários alaban: Ebből Thá a rs, rziu paraér Thá az gy szabaságfoú, viszózusan sillapío rnszr rzíuai isza épzs nnyiség, az ávili fv. é agána rzíuai gyás onugálai. Végül az ávili függvény részlör alaa:.-5 ahol: Az ávili függvéy részlör alaa öbbszabaságfoú rnszr árgyalásánál nagy lnőséggl bír...3 Frvnia válasz függvény, ipulzus válasz függvény A ávili függvénybn hlysíés végzv apu a Frvniaválasz függvény FRF = Frquny Rspons Funion...-6
8 Az FRF függvény opl éréű függvény, glníési óai a övző:, Abszolú éré frvnia Fázisszög frvnia, ar Valós rész frvnia, R Képzs rész frvnia, I Valós rész épzs rész Nyquis-plo R, I Az.-5.- 9. ábráon z llgé uau b..-5. ábra Abszolú éré frvnia iagra Jllgzsségi: Maiuhly a sillapío örfrvnia özlébn. Zérus frvnián hlysíési éré a saius haléonysággal gynlő.-6. ábra Fázisszög frvnia Jllgzsségi: Saáfrvnián a fázisszög ar. Fázisválozás sbsség aiális..-7. ábra Valós rész frvnia iagra Szélsőéréi az hlyn. örfrvnián hlysíési éré R, saius haléonyság..-8. ábra Képzs rész frvnia iagra Miniuhly az örfrvnián. EMA J SDOF rnszr
EMA J SDOF rnszr 9.-9. ábra Nyquis plo: Valós rész épzs rész iagra.-. ábláza. Az FRF függvényből szárazao nnyiség lnvzési. Coplian lozulás rő Dynai Siffnss rő lozulás Mobiliy sbsség rő Ipan rő sbsség Inran Rpan gyorsulás rő Dynai Mass rő gyorsulás Moal örö: Igazolu, hogy az SDOF rnszr részlör alaban flír FRF függvény é agána hlysíési éréi a Nyquis síon gy ör rülér sn. Foor György [Foor_] alapán igazolu, hogy a é ag ingyién a hlysíési éré az örfrvnia függvényébn gy-gy olyan ör rülér si, alyn özéppona az lső ag sébn, a ásoi ag sébn pig. Az lső ag sébn épzzü gy szőlgs rüli pon és a özéppon ávolságá: R A száíás uolsó lépésénél ihasználu, hogy a ásoi ényző szálálóa éppn a nvző onugála, így hányaosu abszolú éré gynlő abszolú éréü hányaosával, ai onugála sén -gyl gynlő. A rüli pon és a pon ávolsága állanó, há a rüli pono valóban gy özépponú ör rülér sn. A ör sugara: R. A agna gfllő ör az origó érini és sén. A ásoi agra hasonlóan lvégzhü az llnőrzés: R
I R R R.-. ábra Moal örö Vizsgálu g, hogy ilyn éréű hibával ll száolnun aor, ha az FRF függvény é aga hly, sa az lső ago, az ún. főago vsszü figylb, és a ásoi ago lhanyagolu. Ehhz a ifzés lzés szüségs...3. Fiziai paraér válozaásána haása A övzőbn az vizsgálu, hogy a sillapío rnszr FRF függvény Abszolú éré frvnia iagraána ilyn válozásai iézi lő a oll ög, sillapíás és rvségi paraérén óosíásai..-. ábra A rvség, a sillapíás és az ög növlésén haása az FRF iagrara. [v.pf] EMA J SDOF rnszr
EMA J SDOF rnszr A rvség növlésévl az apliúó aiu hly a frvnia ngly nén obbra olói A sillapío saáfrvnia növi.. A saius rvség növszi a haléonyság sön. A sillapíás növlésor az Abs-frv függvény aiuhly lénygsn n válozi, a aiu éré sön. Thá a sillapíás növlésévl a haléonyság sön. A ög növlésévl a aiuhly balra olói, vagyis a saáfrvnia sön, a haléonyság pig növszi. FRF függvény érzénység Az FRF függvény érzénységi gynli a Z azonosságból épzhő. Ez az azonosságo riválva fiziai válozás gyühaóa szrin p Z Z p..-7 Árnzv: p Z p.-8 Tögválozaásra Z.-9 Bhlysív, há az FRF függvény érzénység ögválozaásra:.-3 asonlóan sillapíás válozaásra és rvségválozaásra hasonlóan száíhaó az érzénységi függvény. Az összfüggés az az alábbi áblázaban foglalu össz:. ábláza FRF függvény érzénység ög sillapíás rvség A saáéré paraér érzénység Az vizsgálu, hogy infiniéziálisan a opl saáéré ilyn válozásá iézi lő a ög, sillapíás és rvség válozása.-3.-3.-33
EMA J SDOF rnszr Nyquis rüli sbsség Az FRF függvény örfrvnia szrini rivála. A függvény éré opl. Nprvl.-34 A fni finíiós épl ifv: Nprvl Elhanyagolva a ásoi ago, özlíő alaa: Nprvl.-35 Rlaív opl Nyquis rüli sbsség Az lőzőbn finiál Nyquis rüli sbsség, oszva az FRF függvénnyl. A függvény éré opl. Nprvl Rnp.-36 Közlíő alaa: Rnp.-37 Rnp függvény grafiona a opl síon gy ör ír l. -nál hlysíési éré: Rnp.-38
EMA J SDOF rnszr 3 3 ISZTERÉZISES CSILLAÍTÁS Ebbn a fzbn az ún. hiszréziss hysri aping, ásnévn szrzi sruural aping sillapíású SDOF rnszr vizsgálu [Zavri_]. A gyaorlaban so olyan s van, aior az ilyn sillapíási haniznus flélzés özlíi g obban a valóságo. So szrzi anyagnál a rugalassági haár alai ilius rhlés haására a fszülségalaválozás görb gy hiszrézis huro ír l. Az anyag blső súrlóása ia fllépő, ilusonén isszipál nrgia arányos a hiszrézis huro rülévl, innn r a hiszréziss sillapíás ifzés. Enn a hiszrézishurona a rül függln az alaválozási sbsségől a ilius rhlés frvniááól és sa az alaválozás nagyságáól függ. Így a sillapíó rő nagysága arányos a rugalas rővl, fázisa a sbsség irányába si. Thá hiszréziss sillapíás sén harónius ozgásnál a sillapíó rő az alábbi: ahol szrzi sillapíási faor [-]. Az gyszabaságfoú, szrzi sillapíású rnszr ozgásgynl F, vagy F. ahol az ún. opl rvség. A fni gynl állanósul golása: F. A nvzőből üszöbölü i a opl nnyiség úgy, hogy bővíü a ör a nvző onugálával: F. Különválaszva a válaszl valós és épzs részé, a valós rész: F R. a épzs rész: F I Karariszius gynl, a arariszius gynl gyöi pig: 4,. Diagraon ábrázolni ll, függvényébn
4.-. ábra EMA J SDOF rnszr