Dr. Rontó Miklós. Előadásjegyzet. Dinamikus gazdasági modellek c. tárgyhoz

Átírás

1 Dr Roó Milós Előásgz Diius gzsági oll árghoz Gzságiforius MS hllgó Közgzász PhD hllgó Egi sziű özgzsági progrozó ius hllgó hi 3 ór Misoli Eg Mii Iéz lízis Tszé 6

2 Előszó gzságiforius MS hllgó gi sziű özgzsági progrozó ius illv özgzász ooruszo szóló lőásgz gszrű iius özgzsági oll u gzsági oll isrésé uláozásá i s szüségs ii ószr lírás lőzi g iffriálgl illv iffrigl lélé isrés sorá ii gzságo z lél gorl vló áülésé öű olvshóságo rou sz lő Kilü fiíió él izoíáso pélá z olvsó l ll hii hog özgzsági rész ii olli géréséhz szüségépp g ll isri z lőásgz özöl ú ii fogll és éll iffriál- illv iffrigl rülé hi floás i g i rlogzé is glálhó zzl is sgív hllgó szüségs isr lsáíásá Előr is öszö oo zo ollégái i z lőásgz olvsás sorá ásil vslil grs Misol 6 fruár szrző

3 Trlogzé Trlogzé 3 Bvzés gzsági oll 5 sius és iius ollről 5 3 Eg áru piá éfél iius oll 8 Diffriálgll psolos lpfogl uloságo 3 Közöségs iffriálgl fogl 3 Kziéré-fl golásá lézés és gérlűség 6 3 Eli igrálási ószrrl golhó iffriálgl 6 3 Széválszhó válozóú iffriálgl 7 3 Elsőrű liáris hoogé DE 3 33 Elsőrű liáris ihoogé DE 3 4 Másorű liáris iffriálgl 34 4 Koss gühós hoogé gl 35 4 Álló gühóú ihoogé gl 38 5 Egs iffriálgls gzsági oll 44 5 Door lsszius övési oll 44 5 Solow olsszius övési oll Eg iroöoóii rsl-íál oll 47 6 Válozó gühóú liáris iffriálgl-rszr 5 6 Liáris iffriálgl-rszr lpulosági 5 6 Liáris ihoogé iffriálgl-rszr 56 7 Álló gühóú hoogé iffriálgl-rszr 6 7 z lpári ghározás 6 8 Lpuov-fél siliás 69 8 Siliási fogl 7 8 Liáris hoogé iffriálgl-rszr siliás Liáris ihoogé iffriálgl-rszr siliás 78 9 Álló gühóú liáris hoogé DER siliás 8 9 Rouh-Hurwiz riériu göö vlós részé giviásár 84 Egs gzsági oll siliási vizsgál 86 Philips silizáiós oll zár rogzságr 86 Philips háro ípusú silizáiós lárás 88 Loif-fél iius ipu-oupu oll 94 Készoros Loif-fél iius oll vizsgál 96 iffriálgls iius ollről Sulso iffrigls lráiós oll g ország rogzságá flőésér 3 Diffrigl lpulosági 5 3 Kziéré-fl golásá lézés és gérlűség 5 3 Elsőrű liáris iffrigl 6 33 Diffrigl golási siliás 8 34 Másorű oss gühós liáris iffrigl 9 35 Elsőrű uoó liáris iffrigl siliásáról 3 4 Egs iffrigls gzsági oll 7 4 i ölsö örlszésé oll [ 6 ol] 7 4 rsl-íál póhálóoll pii gsúl 7 43 Goowi pioll 44 Sulso iffrigls ollé golás 4 3

4 45 His lráiós oll 8 Irolo 9 4

5 Bvzés gzsági oll sius és iius ollről ii özgzság éfél oll llzu: sius illv iius ii líráso sii oll ii glpozásá szözi ár ól isr lgri liáris lgri ószr á sius oll gzsági folo vg rszr líró iség s g iőpo vg g iőszr voozó éréé szrpl Pélául z álláos gsúllél lpollé rrow és Dr 954 rsl íál és z árvor g iőpor voozi Még g ó pél sius ollr voozó z ú Loif-fél ipu-oupu rlési oll Isrs hog z oll gzság ülööző ágzi özö léző psolo érlgi lpá végz lzés léli-ószri hár Tgü fl hog gzság szoról áll és igi ágz gfél áru állí lő Jlöl -i ágz rlési szié -i áru iségé zz -i áru ls iosáási volué ruó iosáás Továá lg -i áru végső flhszálásá volu ó iosáás és i z i-i ré -i áru lőállíásához flhszál rész Flélzzü hog g o iőszr voozó z ágzi psoli érlg z lá áláz v összfogllv Trlés ré ágzo özöi flhszálás Oupu Ráforíás ipu z i-i ré - i áru lőállíásához flhszál rész Végső flhszálás ó iosáás i i i i i i Táláz Mivl z áláz érlg llgű zér ilvávló hog i i i ls iosáás volu Bruó iosáás i z áláz szrplő iség vg részs érőszáol r o lir ér s vg ár lh ifzi és gfllő éfél ágzi ipu-oupu rlési érlg uu gülöözi vzs - urális llgű érlg vg - fizési érlg Nvzzü ol oszlopvor végső flhszálási vor íg z ol 3 5

6 oszlopvor rlés vor és vzssü z i i i 4 orál iség l z i-i ré zo rész l szüségs -i szor g gségi ré lőállíásához lossu g 4 sgíségévl z 5 ário l iosááso gségir ví ráforíási hológii ári vzü íg z ol 6 oszlopvor rlés ráforíási vorá vzzü H 4-ől z éré hlsíü - or i i i i i i i i lől z flhszálási vor z 3 rlési vor és z 6 ráforíási vor özöi összfüggés árrilgri lölésl övzőépp írhu fl: vg [ I ] 7 hol I - gségári Ezzl luou övző lpflhoz: z 7 gl isr végső flhszálási vor és iosááso ráforíásir ví ráforíási ári és fl ól áll hog g ll hározi z rlési vor z 7 lú oll or ihő ó h z gl i o gív oposű végső flhszálási vorhoz v golás l rlési vor zz Eor [ ] I I Továi részs övlé z hog poziív i -hz poziív i rozzo zz z I ári i opos lg poziív Mii szpoól szó forgó lpfl z [ I ] 8 liáris lgri glrszr gív golásá ghározásához vz ii özgzság z 8 lpgl Loif-fél íl sius rlési ipu-oupu oll vzzü vg priális lpgl oá 6

7 z 8 Loif-fél oll vg z áll llz hológiá ráforíási ário prouív vzi h i gív végső flhszálás ó iosáás sé 8- lézi golás fizési érlg figlvélévl z ágz vél glő rlésr ráforío iássl z 8 priális lpglhz élszrű hozzárli [ I ] w p p 9 ú uális lpgl hol p p p p sorvor z ár vor p i i z i-i ágz réi z ár w - i ágz réi lőállíásáér ifiz ériás hozzáo éré w w w w pig ér hozzáo éré vor Mggzzü hog z w vor rlzh gé rlési ráforíáso is pélául rlélp lvoás z 8 lú liáris lgri glrszr vizsgáláál élszrű gív árior voozó hiá vzs z ú Prro-Froius él lás 544oll Zli Erő Mii özgzság Bups 836 oll Liáris lgri glrszr golásár vzhő vissz övző fl is: Pél Vslzől hárofél lrész szüségs ivági: z I ípusól ro II ípusól 3 ro III ípusól 45 ro Mill hárofél szási lhőség áll f Eg lzől phó lrész szá hárofél szás ll z Táláz v flüv Hározzu g há r vslzr v szüség z összs lrész lőállíásához z lrész Szás Szüségs ípus 3 lrész I 3 8 II 4 5 III 3 75 áláz Mgolás Lg 3 vslz szá l guálás rr z illv 3 szási ószrrl öréi Nilvávló hog 3 or z 3 szási ószrrl po I ípusú lrész szá rr 3 és lpá Hsolóépp II és III ípusú lrész sé pu hog Thá fl ii oll liáris lgri glrszr Ellőrizi lh hog z glrszr gl g golás lézi: 7

8 35 ; 3 ; 3 5 lől z övzi hog szüségs lrész lészíéséhz 35 lz z 3 lz és 5 lz 3 szási ószr szri szüségs guáli özgzság sius oll ívül léz ú iius ii oll is iius oll ol rszr folo lírásá szolgálá l iő ászó l Ez oll rszr gzsági folo líró iség állpohározó övői éréi lulás légs függ l pill pszl éréől Pélául gzsági pio rsl és íál o iőpo pszl éréi z összfüggés hározzá g z ár és zzl folás gorol rlésr illv övői rsl-íál lulásár z iőéző vzésévl psol özgzság foos szrp ászo Nu Jáos véség is gzság i részuoáo ás rüli is z iő éfél zlés lhségs: foloos vg iszré foloos és iszré iő érlzésor gülöözü hog vizsgáli sorá flhszál ii ószr z iő foloos vg iszré válozóé zli Mggzzü hog foloos iő sé özgzság iius olli glpozásá ii szpoól iffriálgl lél íg iszré iő lvzés sorá llzásr rül z ú iffrigl lél Ezér lőészíésé isrü szüségs iiu ii isr iffriálés iffrigl léléől Milő z gé uu g oré iius gzsági oll 3 Eg áru piá éfél iius oll Állísu lő g áru piá iius ii ollé é s Először lg z iő g iszré válozó: 3 Ez s g ú iffriglhz uu Késő láu h z iő foloos válozó iü or ii lírás g iffriálglhz vz Isrs hog pio z áru rslévl D íálávl S és árávl P llzhü iroöoói örvéi szri D rsl P ár söő függvé íg z S íál P ár övvő függvé Jlöl D S P rr rsl íál ár éréé iszré 3 iőpill Liáris iius oll sé z áru pi övző forulál írhó l: D S P P 4 hol poziív osso z 4 forulá z li hog rsl pilli ár hározz g íálo viszo z lőző - iőpo pszl ár Pélául épzlü l hog g zőgzsági réről v szó h z ii ár gs or rlő ö v lpí ül és zzl övli övő íálo gzsági pio pilli ár z szál hározz g hog rsl lg glő íáll: 8

9 vgis z S D 5 P P glőség hározz g l gszrű álíássl P P 6 lr hozhu ésői vző iffrigl lpfoglo érlé z ohu hog z 6 lú gl ás i g lsőrű plii liáris iffrigl z 6 éplől lászi hog h pio észr gás uá ugz vol z ár P PE P 7 or ilul g P E gsúli ár l ugz is r és lr P E 8 Száolu i 6 szri iszré pilli P - és z gsúli P E ár ülöségé: P P P P E P P P E [ P P ] [ ] E PE P Thá P PE [ P P E ] 9 rsl és íál glőségéől övző 9 összfüggés z o hog h pi is gsúl or z ár válozv z gsúli árál go illv is Flrül g részs érés hog özlí- z 3 iőpoo z áru P ár P E gsúli árhoz vg ávoloi ől? z lső s z áru pi silis ásoi s isilis Vzssü 9- : PE : P PE P hlsíés Eor z 9 gl lú lsz Thá -ől z 9

10 3 éri sorozo pu l vóis H < < or H or isrs hog éri soroz söő és or > > Végül h P or or -ől PE 3 zz h 3 vg P és or és vl gü P prioius válozi τ prióussl Összfogllv ohu hog z 6 iffrigl pi iiáá fzi i lől övző összfüggés phu: P P P P P P P P P P P P P P P 6 z 6 forul z o g hog pilli ár hog hározz g övző iőpohoz rozó ár zz P P árválozás Íru fl g áru piá iius ii ollé g ási s ior folo iszré 3 iőpoo figlü h z iőválozó foloos iü Eg héözpi hsoll élv folról féépflvél-sorozo észiü izoos iőpoo h ozgófil forgu ior z iő foloos válozi éréi vlós száo Eor is érl o iőpo lői és övző iőporól széli Eor ii lízisli isri lpá z 6 forul lollá álló P P válozás szrpé P vlós éréű függvé árfüggvé rivál iffriálháos vszi á:

11 P h P P P : li 7 h P rivál i úg irprálhu i P ár válozásá poli pilli ssségé zz gr rövi iőszoo v álgssségi háréréé H P rivál poziív or z ár ő h gív or z ár sö Wlrs isr örvé szri h rsl go i íál or z ár ő h rsl is i íál or z ár sö Liáris s Wlrs örvé övző l írhó fl: P D S > 8 Foloos iőválozó sé íál és rsl lírásár z 4 forulá h D P 9 S P összfüggés szolgál hol > poziív osso z 9 forulá figlvélévl z 8 Wlrs-örvé P [ P P ] [ P ] illv P P 3 lo vsz fl z 3 gl g ú lsőrű liáris ihoogé iffriálgl l P P függvé z isrl és z isrl függvé lőforul z gl iffriálháos is Mggzzü hog z lői oll z 6 gl P iffriálháos hl P P 3 iffri szrpl és zér vzü z gl iffrigl és iffriálgl ésői részls gisrü z lsőrű liáris iffriálgl golási ószrévl Mos zo figlvév hog z 3 iffriálgl gühói álló g spiális lárás özlü szó forgó gl golásár Vzssü z ; B lölés ll 3 P P B 3 lo vsz fl Szorozzu g 3 ié ollá z függvél Eor z P [ P ] P összfüggés figlvélévl z

12 glőség pu ho igrálássl z illv z [ P ] [ P ] B 33 B P 34 B B P forulá pu Eől rs golás: B P P 35 z 35 foruláól lászi hog P B E 36 gsúli ár vö 8-l ár silis h > 37 prér szőlgs érééél ivl uu hog or B li P B li P i poziív osso és

13 Diffriálgll psolos lpfogl uloságo rész lászóó lség fizii éii özgzsági folo hii ozgáso és széls érl áril ér illv z iő válozás ozgás lévő fol szr ii oll részuoái örvé áll ig gr vlil ipusú iffriálgl Közöségs iffriálgl fogl Dfiíió özöségs iffriálgl fogl özöségs iffriálgl ovái röviív DE ol függvégl l isr állóo függvé ívül szrpl g isrl gválozós függvé és ülööző rű riváli függl válozó ugzo érééél DE ré z isrl függvé z gl lőforuló lggs rű rivál hározz g Íg pélául z 3 gl lsőrű íg z si si gl ásorű z isrl függvér voozó DE- liáris vzzü h z liáris z isrl függvér és riválir ézv H DE gühói osso or z gl álló gühóú ásépp válozó gühóú Pélául si hrrű liáris válozó gühóú DE íg 4 ásorű álló gühóú liáris DE z isrl függvér voozó p q vg vivls flírás p q z lsőrű liáris ihoogé DE álláos l hol p : I R q I R z irvlluo érlz foloos függvé : < DE- q - zvrófüggvé szoá vzi H q or p 3 hoogé DE-ről szélü Gr z lsőrű DE- f 4 l írá fl hol f : T R T R roáo érlz o foloos függvé Pélául z roá lh g íl égllp: 3

14 { I I } I I T 4 DE- goli g J I irvlluo i l hog g ll hározi z összs ol foloos iffriálhó függvé DE érlzési roááól l J irvlluo zoos ilégíi DE- Dfiíió DE golásá fogl függvé 4 DE g golásá golásfüggvéé priuláris z golásá vzzü vll J irvlluo h függvé iffriálhó J irvlluo; T J sé; 3 függvé ilégíi J irvlluo 4 DE- zz f J sé : J R golásfüggvé grfioá DE igrálgöréé golásgöréé vzzü 4 lsőrű DE- és golásá szléls gorii lés v H 4 DE golás vll J irvlluo or f J I z ói hog z grfio 5 poához húzo ériőé irágs lás árá gα f 6 α α ár golásról s i uu hog z J po poli ériőé g Ez z li hog h z éré vszi fl or grfioá z T uu i 6 szri Ez úg ll lépzli ih T roá i T poá áll g özlési rőr és uá hog il irá és il ssséggl ll ováhlu éré hog 4 DE zo golásgöré é ru l z poo hl á 4

15 gorl ol iffriálgl is flrül l ö isrl függvé szrpl Il pélául z i i isrl függvér flír glől álló f f 7 M f lsőrű iffriálgl-rszr DER hol T f i : T R i { } R és z függvé o Dfiíió iffriálgl-rszr golásá fogl z 8 függvé 7 DER g golásá vzzü vll J irvlluo h függvé iffriálhó J irvlluo; T i J sé; 3 függvé ilégíi 7 DER- i J sé: Bvzv z M f f f M M f f f M f oszlopvoro 7 DER- rövi l is fl uu íri: f 9 Dfiíió DE-hz rozó ziéré-fl 4 lú f iffriálglhz rozó ziéré-fl z flo vzzü ior o z f függvé érlzési T R roáá g oré po és 4 DE- z z golásá rssü vll I irvlluo lr I lsül rs golásfüggvé göré poo ziéré-fl lölés: áhl z o és f Gr fl golásfüggvéér z lölés hszálá 5

16 Dfiíió iffriálgl-rszrhz rozó ziéré-fl 7 lú iffriálgl-rszrhz rozó ziéré-fl z li hog z o f f f függvé érlzési T R roáához rozó o T R pohoz rssü 7 i fi i DER g ol golásá vll I irvlluo lr lsül I és Kziéré-fl golásá lézés és gérlűség Először g sláris zz giziós DE-hz rl ziéré-flo vizsgálu: zár orláos f [ ] [ ] R T égllp lú roáo ár Eléli szpoól foos löi hog il flél ll lézi golás ziéré-fl gziszi-prolé illv il flél izosíá golás gérlűségé uiiás prolé L ziéré-fl vivls flírásáról f ziéré-fl golás vivls z s s gl ú igrálgl golásávl 3 f s 4 6

17 Bizoíás Tgü fl hog lr 3 fl golás g I [ h h] [ ] f i I irvlluo zz sé 5 Igrálv 5 glőség [ ] - és flhszálv hog f s s f f s s Mos pig gü fl hog : [ ] R lr s s f s s s ol foloos függvé f s s lsül i I [ ] pu hog s 6 sé g 3 ziéré-prolé golás z I [ h h] h irvlluo és z f függvé foloos z I [ h h] irvlluo zér z f s s s h h Álliu or hog Mivl függvé is foloos Eor flső válozó hárrl v [ ] f s s igrálfüggvé iffriálhó szri és s s s s f Ezér 6 lpá függvé is iffriálhó és f i I [ h h ] f 7 övzi hog sé ováá 6-ól z is Ezzl állíásu igzolu Tél ziéré-fl golásá gzisziá és uiiás Tgü fl hog ziéré-flr zár orláos T roá lsül övző é flél: f függvé foloos övzésépp orláos i z 7

18 f M i T ii z sé 8 f függvé z válozó lg sz z ú gloális Lipshiz-fél flél zz lálhó ol K > oss lr i T és sé T f f K or: ziéré-fl z 9 I h [ h h] h i M irvlluo lézi g és s g golás; Ez golás hárfüggvé z gls ovrgs f s s s ú Pir-fél függvésoroz zz 3 Érvés z hislés Mggzés H li Ih ; MK MK! h 3 f övzésépp orláos! priális rivál foloos T égllp lú roá f K or Lipshiz-fél flél iig lsül Vló lg T és T Bsülü z f f ülöség o hog rögzí [ ] -r z ; f függvé foloos iffriálhó Íg Lgrg-fél özépéré él szri v ol ξ z és özö hog I flhszálv hog f f ξ 4 f f K övzi 9 Lipshiz-fél flél Tél izoíás z lőző L szri szó forgó ziéré-fl golási gziszi és uiiás élé lgő 4 igrálglr izoíi Thá lgő láli g foloos : [ h h] R 8

19 függvé lr i [ h h] i [ h h] -r 6 lsül és -r 5 rs függvé sorozos özlíés ószrévl z ú Pir-fél özlíésl osruálu Dfiiálu : [ h h] R függvé övzőépp: f s s s 6 hol ulli özlíés függvé foloos [ h h] - és T i [ h h] -r Tgü fl hog függvé foloos [ h h] - és T i [ h h] -r Eor 6 forulávl fiiál függvé is foloos [ h h] - Flhszálv 8- szrplő M glőség és z hog T i [ h h] sé i [ h h] f s s s f s s M sé Íg ls iuióvl láu hog { } M h M M függvésoroz ól fiiál i g foloos[ h h] i [ h h] és { } sé Szié ls iuióvl izoíu hog! s - és T M K [ h h] 7 K H or 6-ól f s s f s s M Tgü fl hog! M K [ h h] 8 K lsül or 9 Lipshiz-fél flél flhszálv 9

20 [ ]!!!! K K M K M s K M s s K K M K s s s K s s s f s s f s s s f s s f s s s f s s s f Thá ls iuió ószr lpá 7 i { } sé lsül Mos izoíu hog { } 9 függvésoroz gls ovrgs z [ ] irvlluo Ugz ovrgiá lgő 3 fügvésorr igzoli ivl 3 -i részösszg poos z [ ] h h irvlluo 7 lpá h K K M K K M!! 3 Thá 3 függvésor orás sor!! h K K M h K K M 3 3 poziív gú urius sor összgfüggvéé z isr!!!! sorfés flhszálásávl ö fl uu íri: [ ]!! hk K M h K K M h K K M orás sor ovrgiááól z ú Wirsrss-fél ovrgiriériu szri orás riériu 3 függvésor és vl gü 9 függvésoroz gls ovrgs z [ ] h h irvlluo Lg li 34 z gls ovrgi és függvé foloosság i foloos [ ] h h - Továá z

21 f s s s f s s M M h [ h h] s összfüggésől öű lái hog hárál pu hog zz [ h h] T i [ h h] sé 9 Lipshiz flél lpá f s s f s s K s s s [ h h] lől s s i övzi hog z { f s s } függvésoroz gls ovrgs z f s s függvéhz: li f s s f s s 6 rláió lpá s [ h h] li li f s s li f s s s s [ h h] 38 glőség figlvélévl hárá és z igrálás sorr flsrélhő és zér és 39-ől li s s s li f s s s f s s f ö f s s s [ h h] zz vló lálu g : [ h h] R [ h h] sé 6 lsül és függvé lr i T s 39 ziéré-fl golásá gérlűségé iir úo igzolu Flélzzü hog z [ h h] irvlluo ziéré-fl lézi é ülööző és z / z 4 golás lr

22 lsül Végzzü l z z ülöség slésé hol z f s s f s z s s s 4 6 Pir-fél özlíésl ghározo függvé 6 4 forulá és Lipshiz-flél lpá zz s z f s s s f s z s [ f s s f s z s ] s f s s f s z s K Továá 4-ől s z s s 4 z K s z s 4 z z f s z s s M 43 Ez uá ár iráiós lárássl 4-ől pu sé: z K s z s sé hsolóépp: z s K MK 3! vg ls ii iuióvl: z M s MK 3! 44 MK 45! 45 glőlség o oll zérushoz r i g ovrgs sor álláos g Vló M K [ K ]! K [ ] M K

23 Ezér 45 l oll szié zérushoz r: li z h h 46 [ ] D orá ár igzolu 34 szri hog li h h 47 Íg lpá Másrész 4 érlé [ ] z [ h h] z / 48 Elloás Ezzl z gziszi és uiiás él izoíou Pél T [ ] [ ] 49 ziéré-flr íru fl ásoi Pir-fél özlíés Mil irvlluo ovrgs Pir-fél özlíés? Végzzü l hri özlíés hislésé Mgolás 49 fl f f f zér Lipshiz-fél flél K osssl lsül Továá és szri T M f [ ] [ ] h i i M Thá z I h [ h h] irvlluo érvés z gziszi és uiiás él 3 állíási forul szri 4 5 s s s ; s s 4 hri özlíés hislés 3 szri 3 K h sé 3 < 4 3

24 3 Lézés és gérlűség iffriálgl-rszrr Tisü 7 iffriálgl- rszrhzhz rl f f M f ziéré-flo hol T R z f i T R roá és o po sláris T f : i { } 5 függvé érlzési 5 shz hsoló izoíhó z lái ré Tél ziéré-fl golásá lézés és gérlűség iffriálgl-rszrr Tgü fl hog 5 ziéré-flr [ ] [ ] [ ] [ ] R T 5 zár orláos roá lsül övző é flél: i z fi i { } függvé foloos övzésépp orláos fi M ii z f i { } M > ; i függvé lg sz gloális Lipshiz-fél flél zz lálhó ol K > oss lr i f T és z z z T f i sé fi z z z K z 53 i vg h priális rivál foloos T- i i { } sé és fi K or: 5 ziéré-fl z I h [ h h] h i 54 M golás; Ez golás hárfüggvé z gls ovrgs Pir-fél függvésoroz: irvlluo lézi g és s g i i i 4

25 li li f s s s ; 55 3 Érvés z hislés K K { } i M M α i 56!! 5

26 3 Eli igrálási ószrrl golhó iffriálgl Álláos s f f : T R T I I R 3 lú lsőrű iffriálgl golásfüggvéé uu lőállíi zár l zo 3 DE- özö léz spiális ípusú gl l iig golhó ovái özöségs iffriálgl golási özö éfél golásfüggvé ülöözü g: álláos és priuláris z álláos golás z llzi hog poos i száú szőlgs válszhó gásól függl álló rlz há rű z o DE Dfiíió álláos golás fogl z gprérs : T I I& R függvé végs vg végl I I R T érlzési roál or vzzü 3 lsőrű DE álláos golásá T I I roáo h: T i T sé; f i T sé; 3 z gl gérlű golhó -r: Ψ i T sé Mglíü hog z álláos golás fogl gorl liáris DE- sé llzhó rés 3 Pél Íru fl 3 T R R 3 iffriálgl álláos golásá Mgolás z igrálszáíásól uu hog g o f : R R f f függvé priiív függvé glő f R 33 lr f 34 Tuloépp 34 lú DE golás 33 priiív függvél ói l 3 g szó forgó DE álláos golás is 3 pélá f zér 33 szri z álláos golás hol R szőlgs vlós álló E z s z álláos golás fiíióá szrplő roáo övzőépp válszhu: T R R I R I R ; 6

27 I R I R T R R Mggzés priuláris golás rlz szo válszhó álló és úg phó g z álláos golásól hog z szrplő álló oré száli éré u l izoos lgri gl golásé ó Állá priuláris golás ghározás éláól z o DE-hz gfllő száú lléflél ll lőíri i i DE r Mos ár ohu hog lú f ziéré-fl golás i l hog g ll hározi f 35 iffriálgl z priuláris golásá l lsíi z lőír ziflél 3 Pél Olu g ziéré-flo 6 3 [ ] R Mgolás Először rssü g z o DE I 36 álláos golásá z álláos golás é szőlgs válszhó és álló ll rlzi ivl DE ásorű priiív függvé sgíségévl pu hog hol R szőlgs álló 3 Továá z álláos golás úg válszu g álló hog lsül z o zi flél: f 3 3 Thá 36 ziéré-fl golás zz rs priuláris golás z 3 álláos golásól pu h és 3 : priulár is 3 Széválszhó válozóú iffriálgl Dfiíió széválszhó válozóú gl f g f : I R g : I R 37 7

28 lr hozhó iffriálgl széválszhó válozóú vzzü flélzv hog z o f : I & R g : I R függvé foloos rr z I I R íl irvlluo Íru á 37 vivls iffriál l f g f g 38 Flélzzü hog g i I sé 39 H 39 lsül or 38 övzőépp írhó á f 3 g hol l ollo s -ól o ollo s -ől függő iffriál lálhó z lízisől isr [ f ] f f s s f összfüggés lpá 3 árzésévl pu hog f g f g Bvzv z lái lölés [ f ] f F g 3 övző glőség pu: F g G R f G g R Tél széválszhó válozóú DE álláos iplii lú golásáról H 37- f : I R g : I R foloos függvé és g h I or széválszhó válozóú DE álláos golás iplii l övzőépp írhó fl: f g R 35 vg 33 lölés llzásávl: F G R Bizoíás Kiuu hog i foloos iffriálhó 36 g oré éré ll zoos ilégíi 35- zz lr f g g 37 DE golás függvé l 37 8

29 37 zoosságo iffriálv pu hog f g z uói gszorozv g zoossághoz uu -l szüségs g Forív h g foloos iffriálhó f 38 függvér fáll 38 zoosság or izoos érér lsül 37 zoosság is Vló lvégzv z lái árzés és z zoosság ié ollá igrálv pu hog f g f g f f g g 33 Pél Krssü g I 3 I 3 DE álláos golásá válsszu i z priuláris golás l göré áhl P 37 poo Mgolás Először flíru z álláos golás: 3 : / l l 3 l l l R priuláris golás or pu g z álláos iplii lú 3 golásól h figl vsszü z o zi flél: Eor 37 ziéré Thá rs priuláris golás iplii l: 3 4 9

30 3 Elsőrű liáris hoogé DE z lsőrű liáris hoogé DE álláos l p hol p : I R o gühó függvé Krssü 39 DE álláos golásá { I I } I 39 T 3 roá 39 gl széválszhó válozóú l golási ószr isr: p p p p l > R p l < l p l R p > R h á 3 p < R Nilvávló hog függvé is golás ú riviális golás 39 gl Thá 39 liáris hoogé DE álláos golás 3 roáo 3 forulá lpá övzőépp írhó fl: p h á R 3 hol szőlgs oss flvh i poziív i gív éré illv glő is lh ullávl Köű lái hog p ziéré-fl golás 3-ől phó h : 33 p s s ziér é Pél: Olu g 4 T I I ziéré-flo Mgolás válozó széválszásávl lőször rssü z álláos golás: 35 3

31 l l l l R l Figl vév z o 4 zi flél z ghározzu gfllő oss száli éréé: 8 4 : 4 8 ziér é á golás Ug z golás gphu 34 forul szri is p s s l s 4 4 ziéré 4 l l l l l ; 33 Elsőrű liáris ihoogé DE z lsőrű liáris ihoogé DE álláos l p q I 36 hol p : I R és q : I & R o foloos függvé g özös I & érlzési roál Kiiulv gfllő 39 hoogé DE 3 lú álláos golásáól z 3 ihoogé DE álláos golásá z ú álló vriálásá ószrévl rssü p p Y Y 37 l zz 3- oss z válozó szőlgs iffriálhó függvéé iü 37 lú függvé iffriálu és hlsíü 36 ihoogé gl: Y Y p Y q lől Y Y p Y q 38 3

32 Y p 39 hoogé DE gi priuláris golás 3 álláos golásól sé phó g zér Y p Y Mivl E lpá isrl függvér 38-ól q Y széválszhó válozóú DE- pu l golási é ár isrü: Y q q Y q Y q Y p q z íg ghározo 39 lú R szőlgs álló R 39 - visszhlsíü 37- és íg gpu 36 ihoogé DE álláos golásá: p p p i á q 443 R 33 h á Köű észrvi hog 33 o ollá z lső g ás gfllő DE hoogé golás Kiuu hog ásoi g lr vzssü z lái lölés: p p q i 36 liáris ihoogé DE gi p 33 i p priuláris golás és or 33 lpá z pu hog liáris ihoogé 36 DE álláos golás glő gfllő liáris 39 hoogé DE álláos golásávl és z ihoogé DE gi szőlgs priuláris golásá összgévl: p i á h á i p i p 33 Vló hlsíéssl z ihoogé DE- pu hog h á i p p h á i p q h á i p p h á p i p q zér i p p i p q Pél Olu g os 3 ziéré-flo si T 334 3

33 Mgolás Először válozó széválszásávl ghározzu gfllő lsőrű liáris hoogé DE golásá: os h á si si os < si h á R Bhlsíés z ihoogé DE - R R R si si si i á h á i p si [ R si 336 i á h á i p Mggzzü hog 336 golás özvlül 33 forul sgíségévl is iszáíhu vol Flhszálvl z o 3 zi flél 336 álláos golásól ö g uu pi 334 ziéré-fl golásá: si si si si ziéré 3 33

34 4 Másorű liáris iffriálgl Tisü p p q I& 4 lú ásorű válozó gühóú liáris iffriálgl H q or 4 hoogé gl ou llző s ihoogé glről v szó Tgü fl hog p p q : I R függvé foloos Dfiíió lprszr fogl ásorű liáris hoogé p p p p C I& 4 iffriálgl é szőlgs 43 z I & irvlluo liáris függl golásá ol goláso lr 44 hol I& z I & érlzési roá szőlgs po 4 ásorű hoogé iffriálgl gi lprszré vzzü Tél hoogé DE álláos golásá flírásáról H 43 függvé 4 DE gi lprszré loá or z gl álláos golás övző l írhó fl: h á I 45 hol szőlgs vlós álló Bizoíás Egszrű hlsíéssl flhszálv iffriálás száli igzolhu hog 45 lú függvé 4 DE golás Vló p p p p p p Továá lg 4 g szőlgs golás és isü z I 46 liáris ihoogé lgri glrszr isrlr ézv Mivl 46 glrszr áriá riás zér 46- lézi poos g golás 34

35 Ezér é szőlgs álló rlzó 45 lú függvé z álláos golás fiíió szri vló 4 ásorű liáris hoogé DE álláos golásá Álláos s válozó gühóú 4 DE lprszré uu ghározi zo h hoogé liáris iffriálgl gühói álló or iig lézi li függvéől álló lprszr l lpá z álláos 45 golás iig flírhó zár l 4 Koss gühós hoogé gl Állísu lő z R I 47 álló gühóú hoogé DE gi lprszré Krssü 47 DE golásá 48 l hol glőr isrl álló vlós vg opl Mivl 47 DE- vló hlsíés réé pu hog Mivl R 48 és 49-ől z övzi hog z lú függvé or és s or golás 47- h gl gö 4 ásofoú lgri gl 47 álló gühóú DE rriszius glé vzzü 4 rriszius gl opl száo hlzá poos é gö lézh: ± 4 ± 4 4 l z gühóól függő lh vlós vg opl Háro s fogu gülöözi s: Ké ülööző vlós gö s H or 4 rriszius gl é ülööző vlós gö v: 4 > : : z lői gállpíás szri z : és : Másrész 44 figlvélévl sé függvé golási 47 35

36 há 47 DE gi lprszr 44 és 45 lpá h á R 45 s Készrs vlós gö s H 4 or 4 rriszius gl g észrs vlós gö v: 46 Eor z : 47 függvé golás 47- és z lprszr gi függvéé D i lsz z lprszr ási l? Err úg öhü rá h gfiglü hog i öréi ior z s s g á vgis rögzí és Száolu i z függvé válozó szrii priális riválá li li 48 Shő hog 48 háréré is golás 47- ivl i rögzí -r li l ögö álló függvé golás 47- Ezér lg z lprszr ásoi függvé : függvé és riváli hlsív 47- pu hog ivl 47 rriszius gl gö vgis 49 élg golás Mivl zér z 4 függvé lprszr lo és zér h á R 4 36

37 3 s Kopl göö s H 4 < or 4 rriszius gl is vlós golás Ez s é opl gö i i i i i 43 { { li g Eor z ú vlós válozóú opl függvé ~ i ~ i DE golási z lízisől isr i os isi 45 ú Eulr-forul sgíségévl 44 golásfüggvé fl uu íri vlós és épzs részé: ~ i i os i si 443 os i 443 si u ~ i v i i os i si i v u Közvl hlsíéssl llőrizi uu hog é vlós u os és v si függvé 47 DE golás 43 sé Vló u u u v 443 os i 443 si u v os; u os si; os si si os si os os os si os os si os os[ ] si[ ] 4 os si 4 4 os si Ezér opl göö sé v si h á u os 48 hol ; R 4 37

38 4 Pél Íru fl z 6 DE lprszré és álláos golásá Mgolás 4 rriszius gl z s 6 3 z gi lprszr 44 szri 3 ; és 45 lpá 3 h á R 4 Pél Hározzu g z 4 4 DE álláos golásá Mgolás rriszius gl göi 4 4 Ezér észrs göö sé szri ; és R h á 43 Pél Olu g z 4 3 iffriálgl Mgolás 4 3 rriszius gl gö 3i és 3i opl ougál göpár 47 forulá lpá z lprszr függvéi u os os3 v si si3 l sgíségévl és 48 figlvélévl pu hog si3 R os h á 4 Álló gühóú ihoogé gl Tisü isé p p q I& 49 lú válozó gühóú liáris iffriálgl és hozzá rozó p p I 43 hoogé gl Elöláró isrü hoogé és ihoogé gl golási gs ol összfüggési lr szüség lsz ovái ; 38

39 Tél z ihoogé gl é golásá ülöségéről H golási 49 ihoogé gl or ülöségü Ψ : 43 gfllő 43 hoogé DE golás Bizoíás Hlsísü 43 függvé 43-: Ψ p Ψ p Ψ p p [ p p ] [ p p ] q q q és poos z ll izoíi övző állíás z ihoogé DE álláos golásá szrzé ír l Tél z ihoogé gl álláos golásá láról z ihoogé 49 DE álláos golás glő gfllő hoogé DE álláos és z ihoogé DE g szőlgs golásá z összgévl: 43 hol q i á h á i p i p hoogé DE gi lprszr Bizoíás Először is g ll gőzőü hog 43 árl 49 ihoogé DE golás 49 gl vló hlsíéssl pu: p p i á i á i á i p p p p [ p p ] [ p p ] [ p p ] i i p i p i p i p q q R ossr 433 Thá 43 vló 49 ihoogé DE golás Még z ll izoíi hog z ihoogé DE szőlgs golás gphó 43 összfüggésől álló vll oré éréé zz léz ol éré lr z lői él szri [ ] i p i p 436 ülöség golás 43 hoogé DE- Ez szri léz ol 434 osso hog 437 i p ho gszrű árzéssl ívá 435 zoosság övzi llzzu z z isr 43 forulá z 39

40 q R I & 438 álló gühóú DE álláos golásá ghározásár gfllő R & 439 I hoogé DE h á álláos golásá z lprszr isré ár fl uu íri lás és 4 4 illv forulá Thá hog llzi uu 43 uloságo ár s z ihoogé DE g szőlgs i p priuláris golásá ll ui iszáoli 438 ihoogé DE gi i p priuláris golásá ghározásár spiális q lú o oll sé gr z ú hározl gühó ószré llzzá l ég prófüggvé-ószr is vz os isrő ószr végrhás sorá ll igrálu supá riváli és lgri űvl ll végzü Igz viszo hog s spiális q o oll és s álló gühós gl sé űöi szó forgó ószr Tisü 438 DE spiális sé si os 44 hol o álló Krssü 44 ihoogé DE priuláris golásá B i p B si 44 l hol B B gühó glőr isrl osso 44 ifzés riválás uá B os B si B si B os B B os B B si B B os B B si B B si B B os ; B B B B os B B B B B B B os B B B si forulá 44 gl hlsíés ré: B B os B B B 44 si B B os B B si B os B si os si {[ B B B B B B ] os [ B B B B B B ] si} B os si I si 443 B száo há úg ll gválszi hog 443 lsülö i -r Eglővé év os és si lli gühó 443 gl övző lgri glrszr pu: 4

41 B B B os : si : B 444 : : 445 lölés vzésévl 444- övzőépp írhu á: B B B B lgri ihoogé glrszr B és B isrlr gl g golás v h 447 zz h és vlli ülöözi ulláól Thá h 447 lsül or 446 lgri glrszről gérlű g uu hározi B és B álló iuá fl uu íri priuláris golás 44 l D i ő h és 447 lsül? Eor 448 H or zz z prér 4 rriszius gl gö Bizoíás élül isrü hog sé lézi 44 ihoogé DE-: B i p B os? 449 lú golás h és 44 o ollá szrplő prér 4 rriszius gl gszrs gö; B i p B os? 45 lú golás h és z oss 44-4 rriszius gl észrs gö; 3 i p B os B si B? B? 45 lú golás h γ i 4 rriszius gl gszrs opl gö oré s z gs priuláris goláso úg hározzu g hog gfllő lú vg 45 priuláris golás hlsíü z o 44 ihoogé DE- és po zoosság é ollá lévő gühó glővé év ghározzu rs B B gühó száli éréé 4

42 Mggzés H z o ihoogé DE o ollá é zvró függvé összg szrpl zz q q 45 és rr z I I q 453 q iffriálgl golás or 45 DE golás Ez uloságo özvl hlsíéssl uu izoíi 44 Pél Olu g z 3 4 si 455 iffriálgl Mgolás 43 forul szri i á h á i p Ezér lőször gfllő hoogé DE rriszius gl 3 4 l göi 4 Ezér lpá 4 h á álláos golásá rssü h á R 455 z ihoogé 455 priuláris golásá ülö-ülö lpá q és q si zvrófüggvér rssü q zvrófüggvé or pu g 44-ől h és or függvéhz rozó priuláris golás l 44 szri: q si B B? os i p 456 függvé z éréi pu g 44-ől Eor q si 44 szri -hz rozó priuláris golás l B B si B?? i p os 3 B forul lpá priuláris golás i p B B os B3 si 458 l íru fl Eor B B si B os 4B B os B3 si 458 prófüggvé és riváli 455- hlsív z gühó összhsolíásávl: 3 4

43 B B si B os 4B 4 B os B si 4B B os B3 si si : os : B si : B B B 3 3B 4B 4B 3 5B 3B3 3B 5B 3 B 34 5 B l lpá 3 5 i p os si és 4 i á 3 5 os si R Mggzzü hog ugz 459 lgri glrszr 446-ól is gpá ivl 445 szri : :

44 5 Egs iffriálgls gzsági oll ovái gs ol foloos iű iius gzsági rszr vizsgálávl fogllozu l iffriálgl sgíségévl ollzhő Először lsszius és olsszius övéslél lső olléről lsz szó Isrs hog olsszius lél 87 örüli ilulásáól XX száz özpéig so figl forío övés érési Hrro-fél iszré iű oll ll Dor foloos iű oll z lső övési oll özö fogll hl z lí oll zo lsszius lévé lig psoló or özgzság főrészé épző olsszius özgzsághoz Mglíü hog Solow 956 lo g olsszius övési oll Mi s z úörő llgű olloszálol uu fogllozi 5 Dor lsszius övési oll E oll háro roválozó szrpl Jlöl iőpo Y rlés I ruházás C fogszás oll gli övző: GDP-zoosság: Y C I C Y I 5 Y Trlésövés: I > 5 Fogszási függvé: C -s Y Y sy hol s 53 i láu Dor flélz ol > és s álló lézésé lr z 5 rlési övés áll f és h összvü 5 és 53 or irül hog z Y rlés s g há g fogszásr ré pig z I sy s 54 ruházás H 54 hlsíü 5- or z pu hog rlés iiáá z lái álló gühóú hoogé liáris DE ír l: Y s Y > s 55 z 55 lú DE álláos golásá 3 forul szri pu: s s Y C C C R 56 hol s γ 57 övési ü H iőpo o z YY rlési uó or z 55 DE-hz rl Y s Y > s 58 YY ziéré flhoz uu l golás 34 lpá s Y Y 59 Thá z 55 DE-l lír lsszius övési oll pálá poiális 44

45 Tgü fl hog urő övési ü ν rléség övési ü pig µ Tls fogllozás sé or : Növési ü Murő övési ü Trléség övés ü s γ ν µ zz s ν µ 5 Mi izosí z 5 glőség? lsszius lél szri z s véllül lsül és szó forgó oll zér írálá lgiá Ez proléá ol g olsszius gözlíés 5 Pél Olu g z 58 ziéré-flo h 5 s YY Mgolás: z 59 forul szri s 5 Y Y és pélául iőpo 5 5 Y Solow olsszius övési oll olsszius gözlíés poos vszi figl rlési éző özi összfüggés Solow-fél övési oll z lái flélzés lpszi: Tgü fl hog rlés őé ívül uáól is függ és z L urő iőpo glő ν L L ν> 5 Mivl ν urő övési ü poziív urő álló övszi rlés rögzí háosá foríá ruházásr zz i 54- I s Y s 5 Íg K ő övésér iőpo lsül K I s Y 53 3 z Y rlés K ő és z L urő függvé Lg rlési függvé K L Y F 54 hol F lsőfoú hoogé függvé Y K Térü á z g főr uó iosáásr rlésr és őér L L Eor 54 figlvélévl K L Y F K L F F f L L L L 55 Továá iffriálás szál szri és 53 figlvélévl 45

46 K K L K L K K L L L L L L Y L K L K s s L L L L L 56 Mivl 5-ől ν L L L ν ν 57 L zér 56-ól z 55 összfüggés lpá s ν s f ν 58 Thá s f ν 59 liáris lsőrű DE-hz vz Solow-fél olsszius övési oll Tgü ég fl hog z 55 f észr foloos iffriálhó f és f < < f li f ' li f ' 5 Ez flél ll z 59 DE- gl g poziív gsúli hlz v lr s f ν 5 zz z 59 DE- lézi álló golás lr s f ν 5 Ez z álló golás z 59 DE gsúli hlzé vzi H z 5 flél lsül or z 5 ár szléli z f illv gs és zo szési poá ν s és ν göré s f 5 ár gsúli hlz gloális szipoius sil z érl hog árl > sé s f ν > 53 46

47 ziéré fl golás ooo óo r gsúli hlzhz h zz li 54 H or H < < or > i ol -r lr << lsül és fiiálv v i -r << és > h s hsoló lás z 5 árá 5 ár 53 Eg iroöoóii rsl-íál oll iroööóiáól uu hog g pi or v gsúl h íál és rsl ggzi Tgü fl hog g o áru rsl és íál s z áru áráól függ Vizsgálu övző proléá: hog válozi z ár z iő függvéé zz il z ár iiá? E érés gválszolásához uu ll i v h rszr is gsúl zz h íál ülöözi rslől rsl-íál iius ollé Wlrs flélz hog z ár övszi h rsl go íálál és sö h rsl is íálál Hog uu ii szözöl forlizáli fi? Jlöl p z ár iőpo Tgü fl hog p ár iő iffriálhó függvé Jlöl Dp illv Sp p árhoz rozó rsl illv íálo Eor Wlrs oll p f D p S p 55 függvégll forlizálhó hol f ol foloos vlós függvé lr f és f> i sé 56 z 55 gl z li hog p ár iősz ol iffriálhó függvé lr z 55 liáris DE lsül z f függvé uloságiól z övzi hog h vll -r p DpSp or 57 47

48 p h Dp>Sp or > 58 p íg Dp<Sp sé < 59 Thá Wlrs-fél flél lsül p árfüggvé gásához zz z 55 DE golásához isrü ll z f D S függvé Tgü fl hog z f függvé liáris : f D D p D p 53 p α β p S p δ p γ 53 hol > α β γ δ o vlós száo úg hog β δ Tgü fl hog iőpill z ár p p Célu p árfüggvé gás sé z flvés lpá z 55 gl lsőrű liáris ihoogé DE lá vszi fl: p [ α β p γ δ p ] [ ] 53 lől p β δ p α γ 533 z 533 DE 36 lú DE spiális s ior gühói álló Vzssü övző lölés: β δ : α γ : 534 l figl vélévl 533 p p 535 lsőrű ihoogé DE- g á p p zi flél ll Olu g z 535 DE- 33 lfz isr ószr szri lás 334 pélá is Először válozó széválszásá ószrévl flíru gfllő hoogé DE golásá: p p p l p p l p l R p R h á övző lépés z álló vriálásá ószrévl z ihoogé 535 g priuláris golásá: p pip p Bhlsíés z ihoogé DE- 48

49 p pi á R β δ γ α p pi á R β δ p p p zi flél figlvélévl β δ γ α β δ β δ γ α p β δ α γ β δ p β δ α γ β δ β δ γ α p p β δ β δ α γ β δ γ α β δ β δ β δ p p p 536 β δ Thá z 536 p függvé z 533 DE és p p zi flél gérlű ghározzá p p p p p p p p sil p p isil 53 ár p z ár gsúl v válozi i függvé h i sé zz h γ α p p 537 β δ z 53-ől óó gl golás H βδ< or 536- β δ [ β p γ δ p ] α 538 és íg 536-ól γ α li p p 539 β δ Eor p ár p gsúli árhoz r és z ou hog p gsúli ár sil 49

50 H βδ>és ég p p is lsül or p orláos és 536-ól övzi hog li p E z s p gsúli ár isil vzzü 54 5 Pél Lg g o áru z ár iőpo p hol p függvé észr foloos iffriálhó függvé Jlöl Dp illv Sp p árhoz rozó rsl illv íálo Flélzzü hog rsl D D p 3 p p p 5 54 íg íálo z S S p 4 p p p 5 54 összfüggés hározz g hol z árfüggvé p lső rivál z ár ilíásá irázá fzi i ásoi p rivál pig z ár válozásá riusá fzi i Tgü fl hog ző iőpo p D S 543 rsl és íál glőségéől iiulv hározzu g p árfüggvé > sé Mgolás D p S p glőség lpá 54 és 54 figlvélévl 3 p p p 5 4 p p p lől p p p 545 ásorű liáris álló gühóú DE- rü l golás 4 lfz isr lpá öréi 43 forul szri p p p p i á h á i p Íg lőször gfllő hoogé DE rriszius gl 4 szri: l göi: h á álláos golásá rssü -i --i Ez opl göö sé hoogé DE álláos golás forulá lpá uu flíri: P áh os si R foruláól pu hog ior z 545 DE o ollá álló zvrófüggvé oss or z ihoogé DE priuláris golásá l: p pi p B os p p 547 z 545 ihoogé DE- vló hlsíés uá B B p i p Thá 545 álláos golás 5

51 p piá os si ; R 548 Mos pig vgü figl z o 543 zi flél: p os si p os si 549 z 549 gl riválásávl p os si si os [ os si] ; p 55 p [ os 4si]; p [ os si] [ si os] Mos pig vgü z 544 glőség po z ifzés figlvélévl : p p 5 4 p p p 5 3p szőlgs Íg p os si R li p Pélául h p os 5

52 6 Válozó gühóú liáris iffriálgl-rszr 6 Liáris iffriálgl-rszr lpulosági f f f 6 liáris iffriálgl-rszr fogu vizsgáli hol g íl irvlluo z i illv z R I : gühó függvé i f i R : zvrófüggvé i o foloos függvé 6 iffriálgl-rszr röviív DER- áírhu f 6 ári-vor l h vzü z lái ári-vor löllés: ; ; 3 ; f f f 63 f hol C I R és f C I R o foloos ári- illv vorfüggvé 6 DER 3 lfz árgl 5 gl z spiális s ior f f Mggzzü hog z függvé T R roá ilégíi 5 flél Dfiíió DER golásá fogl ol oszlop vor-függvé 6 DER golásá priuláris golásá vzzü z I irvlluo h vor-függvé iffriálhó I irvlluo 5

53 függvé ilégíi I irvlluo 6 DER- zz f f flo 6 DER-hz rl ziéré-fl vzzü hol R o oss vor Mivl 64 ziéré-flr i ár ggzü lsül 5 DER-r voozó gziszi és uiiás él 5 fléli zér árl R 65 sé 64 ziéré-fl z irvlluo lézi gl g golás lr lsül uloságo H 6- f or DER- hoogé liáris iffriálgl-rszr vzzü h f or 6 ihoogé liáris iffriálgl-rszr ou Dfiíió liáris függő goláso z ou hog 66 hoogé DER 67 golási liáris függő h léz vlós száo lr i sé és 68 Tél hoogé DER golási uloságiról H 69 oszlopvoro ol 66 hoogé DER golási z irvlluo or árl R sé 6 is golás 66- z irvlluo H hoogé DER golás és árl sé or 6 53

54 i sé 6 3 H oszlopvor-függé 66 hoogé DER golási z irvlluo or vg [ ] [ ] i vg 63 i 64 Bizoíás or Nilvávló hog [ ] [ ] zz 6 vló ilégíi 66 hoogé DE- Vgü figl hog DER golás Másrész z gziszi és uiiás él szri 6 zi flélé s gl g golás sz lg és z vzs 65 ú riviális golás 3 Elgő gui hog h v lr [ ] 66 [ ] i sé 67 H 66 lsül or r 68 [ ] liáris hoogé lgri rszr lézi riviális golás úg hog 69 és or 6 él állíás szri 54

55 6 golás 66- és 6 szri 6 zo él állíás szri z zi flél z golás ilégíi z gziszi és uiiás él szri s g il golás lézi Íg 6- i -r I i r és igi ull zér [ ] i r Dfiíió lprszr és lpári 66 hoogé DER 63 golási z glrszr gi lprszré loá h [ ] i -r 64 zz h 63 goláso liáris függl 63 lprszr függvéiől i oszlopvoroól loo Φ [ ] &&& &&& &&& ário hoogé DER gi lpáriá vzzü Dfiíióhoogé DER álláos golás H 66 DER lprszré loá or h á : 66 Mgolás hol szőlgs vlós álló 66 hoogé DER álláos golásá vzzü 66 álláos golás ilvávló hog árivoros l is fl uu íri 65 lpári sgíségévl: Φ C hol C ol 67 h á Tél lpári lézés Mi foloos gühóú 66 hoogé DER- lézi 65 lú Φ lpári 55

56 Bizoíás Lg z R g ázis Jlöl l l l 68 l ooriá zi-prolé gl golásá z irvlluo Eor l [ ] [ l l l ] és íg uloságo lpá függvé lprszr lo 6 Liáris ihoogé iffriálgl-rszr 69 Vizsgálu 6 vg 6 ári-voros l flír f I 63 válozó gühóú liáris ihoogé DER- Tél liáris ihoogé DER golásá láról Lg 63 gfllő 66 hoogé DER gi lrszr és Ψ r 63 ihoogé DER g o golás Eor: Bárl R sé Ψ ihoogé DER golás égpig álláos golás 56

57 ihoogé DER árl golásához léz ol R álló hog Ψ I 633 Bizoíás Közvl száíásol [ ] [ ] [ ] [ ] f f Ψ Ψ Ψ Ψ zz 63 vló 63 DER golás 3Vgü 633- szrplő és Ψ függvé ülöségé : η Ψ 634 Eor [ ] [ ] f f η η Ψ Ψ Ψ zz η 66 hoogé DER golás Íg v R úg hog 63 lrszr sgíségévl η övző l írhó fl: η 635 lől 634 figlvélévl 633 övzi Mggzés z ihoogé DER álláos golásáról fi ré úg is iohu hog 63 ihoogé DER á i álláos golás gfllő 66 hoogé DER á h álláos golás és 63 ihoogé DER g Ψ priuláris golásá összgé áll lő: á h á i Ψ Φ Ψ Ψ 636 hol R I Φ 65 lú lpári 66 hoogé DER g 65 lú Φ lpáriá isré 63 ihoogé DER g priuláris golás és íg 636 lpá álláos golás is z ú ossvriáiós ószrrl hó g

58 Tél z ihoogé DER golás ossvriáiós ószrrl Lg Φ 66 hoogé DER g lpári Eor 63ihoogé DER álláos golás i á Φ Φ Φ s f s s I 637 lú hol ol R szőlgs álló vor I f ziéré-fl golás 638 é Φ Φ Φ Φ s f s s 639 Bizoíás Krssü 63 ihoogé DER golásá hoogé DER 67-s álláos golásáól iiulv z Φ 64 l hol C I R glőr isrl foloos iffriálhó függvé H 64- és Φ Φ rivál hlsíü 63 ihoogé DER- or Φ Φ [ Φ ] f 64 Mivl Φ lpári zz oszlopvori 66 hoogé DER golási zér Φ Φ 64 lsül z lpári ilégíi 64 lú ári iffriálglé és 64 övző l írhó fl: Φ Φ Φ f Φ f Thá hog 64 golás lg 63- lsüli ll Φ f 643 gl Mivl z Φ lpári ivrálhó f Φ zér Φ f Φ f Φ s f s s 58

59 59 Φ s s f s hol R szőlgs álló oszlopvor H 64 visszhlsíü 64- or 63 ihoogé DER golás Φ Φ Φ Φ Φ s s f s s s f s 644 és 636 figl vélévl flírhu hog { s s f s p i á h á i p i á h Φ Φ Φ hol Φ p i s s f s φ ihoogé DER g priuláris golás 63 ihoogé DER 645 lú álláos golásá isré 638 ziéré-prolé golás gphó z álláos golásól h szőlgs vor úg válszhu g hog lsülö z zi flél Eor 645-ől sé Φ Φ Φ s s f s Φ Φ 647 l lpá 645-ől pu hog 638 ziéré-prolé golás vló 639 lú 6 Pél Kossvriáiós ószrrl íru fl 648 DER álláos golásá z [ ] irvlluo Mg olás 648 DER sé ; f Kiuu hog Φ hoz rozó hoogé DER g lpári Isrs h 649 ilégíi 64 lpá 64 ári iffriálglé or Φ vló lpári Φ ;

60 6 Φ Ez uá olu g 643 lgri glrszr z isrl ol ; vorr R l R l 64 forul lpá l l l l l l Φ á i 65 Közvlül 637 foruláól is 65 ré pá

61 7 Álló gühóú hoogé iffriálgl-rszr 7 z lpári ghározás 66 lú 7 hoogé DER g lpáriá lő uu állíi h álló ári Lg vlós ári zz R Tisü 7 - iziós iffriálgl-rszr Célu 7 lpáriá ghározás l i isrs z oszlopvori 7 DER száú liáris függl golásá loá ovái szüség v z poiális függvé égzs ári rguuo vló érlzésér Dfiíió ário poiális Lg B R -s álló ári B Eor z -s ári érlzv v és B 3 : B E B B B B 73!! 3!! Mggzés fi fiíió szri z B oszlopá lévő l i! B i i urius sor összg hol B 74 sor szolú ovrgs Vló hol B B B! i!! -s B ári i pozíió lévő l { } B ári i-i sorá és -i B i i 76 Továá ivl z lízisől isr z!!! 77 sorfés zér B! sor ovrgs és 6

62 ! B B 78 Thá orás riériu lpá 74 urius sor szolú ovrgs 73 fiíióól pu hog E E E 79 Tél ário poiálisá uloságiról H B C R é flsrélhő álló ári zz B C C B 7 or Mi B R B C sé B C C B 7 B 7 Bizoíás 73 fiíió szri B C B C 73! 7 glőség figlvélévl pu hog B C B C 74 B C z - és - fiiáló B C : B : C 75!! soro szolú ovrgs z érl hog B C 76!! soro ovrgs Ezér z B C szorz 75 soro ú Cuh-fél szorzé áll lő zz B C!! Íg 74 lpá 77 pu hog Hsoló B C B!! C! B C 77 B C B C B C 78! C B C B B C B C 7 glőlség izoíás sorá ilvávló hog B B B B zér 7 szri 6

63 BB B B E 79 B B B E Tél z álló gühóú DER g lpáriá flírásáról 7 DER g Φ lpári övző forulávl ói: Φ! E!! 7 Bizoíás él izoíásához 64 lpá lgő lái hog 7 lsíi Φ Φ 7 ári lú iffriálgl 7 sor z szolú és gls ovrgi i goé iffriálhó zér 3!!! E !! ! 3 7 Thá 7 vló lsül Krssü os rr válsz hog il 7 lpári szrz zz il z ári li? E gválszolásához szüség v z lái foglr és rér Lg 7 gl szrplő R vlós ári gásól ülööző sáéréi vlós vg opl s C 73 l ulipliiás rr α α α α α α α 74 s s Tél vlós ári Jorá-láról Mi vlós s árihoz lézi g ol hog P és hol P C opl -s ári J P P P J P 75 J J J ig J J J 76 J z -ári ú Jorá-fél hroius l és 63

64 64 { } { } s R J s α α α 77 z ú Jorá-fél lo 76 Jorá-fél hroius lhoz g { } s sáéréhz ö Jorá-fél lo is rozh vzs poos E rg { } s 78 száú lo Thá Jorá-loo szá z lái forulávl hározhó g: s i i s E s 79 és iszor forul lő 76 J ári főálóá i ulipliiás zz α szor Íg ugz rlzó Jorá-fél loo izióá összg glő α vl Mggzés 77 Jorá-fél loo iziói álláos s z ári opl szás fl érlz ú li oszói rszül hározhó g Lg P fi él áll grál opl s ári lr 75 szri P J P 73 Köű észrvi hog z ári hvá i gész l ivőr P J P P J P l l l forulá figlvélévl z pu hog 7 DER 7 lpári!!! Φ P P P J P P J P J J Továá 76 lól ö övzi hog J J J J J J J ig 733 Thá 73 lpári iszáíásához lgő 733- szrplő J J J l l l ário szrzé gi H 77 lú J -s ári or H I J 734

65 65 hol I z -s gségári és H z lái -s ári: H 735 Vgü észr hog 735 H ári gész ivőű hvái övző ário: H H H H H H H H H ; ; ; Mivl lsül I H I H H I 737 flsrélhőségi rláió zér 7 7 lpá H H H I J I 738 Íg ól övzi hog

66 H H H!! 3!!!!! 3!!!!! 3!!!!! és!!!!!!!!!! Φ P P s l l l 74 hol és szögls záról lévő ári főálói 739 ípusú loo 7 Pél Íru fl z lpári sgíségévl DER álláos golásá Mgolás Száolu i z ári sáéréi: 3 4 3

67 67 Mivl 4 4 rg E rg zér 79-ől E rg Thá sáéréhz z o ári Jorá-fél lá g r g iziós Jorá-lo rozi Hsolóépp - sáéré szié g giziós Jorá-lo fll g Ezér 74 ári Jorá-l: J 74 Hározzu g 75- z hsolósági P rszforáió ário l z P J P 743 ário 74 Jorá-lr hozz! Jlölü z glőr isrl P - ári oposi övzőépp: P or 743-ól övző P J P glőségől Liáris lgri ószr llzv ário szorzásá 744-ől lől z isrlr liáris hoogé lgri glrszr pu 745 lgri glrszr áriá rg i láu ő zér pélául z uói glrszr gi golás - - Íg P és P Továá 74 szri Φ J P P 746

68 68 Ez uá 66 lpá 746 lpári isré fl uu íri 74 DER álláos golásá: Φ á h φ vg vivls l 746 lpári oszlopvori áll R á h

69 8 Lpuov-fél siliás Lg o T R függvé úg hog: íl hlz és lg o z { } f i : T R i 8 H f i foloos T hlzo i i { } sé 8 f i H sé 83 Lg o z T R R priális rivál foloos T- i i { } 84 po és isü úr 5 lú iffriálgl-rszrr voozó ziéréflo: f f f f 85 H H flél i ár uu 3 fzől lás 33 oll izosíá 85 ziéré-fl golásá lézésé és gérlűségé Jlöl fl gl golásá Tgü fl hog z golás érlzv v z [ 87 irvlluo Mos z fogu gvizsgáli hog érlzv v- z golás z [ irvlluo zz ziéré-fl gl f z z golás z [ irvlluo és hog ior igz li z z hoz özli z poól iuló rláió z [ irvlluo - gls 8 69

70 Thá z szré ui hog h 85 ziéré-fl z zi flél is éré prurálu or övő silis visli- 88 prurál ziéré-fl golás gorl lghszálhó ii lélé proléá M Lpuov foglz g 8 Siliási fogl Tgü fl hog 85 ziéré -fl golásá érlzési roá rlzz z [ irvlluo Dfiíió silis golás 85 ziéré-fl golásá silis sil vzzü h i poziív ε-hoz lézi ol δ δ ε > hog: Bárl z R r z < δ 8 sé z z golás lézi z [ Mi r lsül z < ε irvlluo 8 8 ár Dfiíió szipoius silis golás 85 ziéré-fl golásá szipoius silis vzzü h: Ez golás silis Lézi δ > úg hog árl z R r z < δ 83 7

71 sé li z 84 Dfiíió isilis golás 85 ziéré-fl golás isilis h z golás sil silis szipoius silis illv isilis uloságo gorii irpráió 8 árá láhó Mggzzü hog 85 fl riviális 85 zoos ull golásá siliási vizsgál iig visszvzhő w 86 hlsíéssl w F w f w f 87 iffriálgl-rszr w w 88 riviális golásá siliási vizsgálár hol F f f β 89 8 Pél Vizsgálu g 8 ziéré-fl ol ol 8 riviális golásá siliásá Mgolás z o 8 fl vivls 8 ásorű iffriálgl-rszrhz rl ziéré- fll Íru fl 4 lfz isr ószr szri 8- szrplő iffriálgl álláos golásá Mivl Krriszius gl Kopl göö : i i 83 7

72 á os si á si os á Thá 8 iffriálgl-rszr álláos golás: á si os ; 84 á os si Mos pig isü 8 hl pruál zi fléll v flo z 85 z 84 álláos golásól hározzu g 85 zi flél ilégíő golás: z : z z z : z z z z z z si z os z z z z os z si Köű lái hog 86 golás érlzv v z [ irvlluo és h or ε z < 4 86 ε z < 87 4 ε ε ε z z z δ ε z z z si z os z z 3 z z z os z si z z 3 Thá 88 figlvélévl ε ε ε 4 4 ε ε ε z z z ε ε z z ε És z láu hog 8 8 lpá 8 ziéré-fl riviális golás silis 7

73 8 Pél Végzzü l 83 ziéré-fl ol ol 83 ull golásá siliási vizsgálá Mgolás 83 iffriálgl-rszr gli ülö-ülö golv i lsőrű liáris hoogé iffriálgl 3 forul szri á ; á ; R álláos golásáól ö gpu pruál zi éré ll z z 834 ziéré-fl golásá lás z z z z foruláól ilvávló hog h z > li z li z 836 h z < Thá siliás fiíió szri 83 iffriálgl-rszr riviális golás isilis 83 Pél Ellőrizzü hog silis- 837 ziéré-fl riviális golás Mgolás 3 épl lpá 837- szrplő gl álláos golás á ; á ; R 838 lől ö phó ziéré-fl golás: z z

74 z z z z uloságiól övzi 837 fl ull golásá szipoius siliás 8 Liáris hoogé iffriálgl-rszr siliás Tisü úr 66 lú 84 liáris hoogé iffriálgl-rszr Tgü fl hog z R árifüggvé foloos z [ irvlluo Lg 65 lú Φ ári 84 hoogé DER g lpári Köű izoíi hog h C R ol oss ári lr C or Φ Φ C 84 is lpári 84- Vló ivl i Φ lpári i ll légíi 64 ári iffriálgl lgő ggőzői hog Φ Φ 843 Nilvávló hog Φ C Φ C Φ C φ C Φ C Φ C há 843 vló lsül Lg ovái Φ ú po orál lpári lr Φ E uloság lpá iig lálhó g ol C R ári hog Φ E Vizsgálu 84-hz rozó ziéré-fl golásá siliásá [

75 Mggzzü hog figlvélévl 846 golás siliás árl zi flél sé vivls 84 DER ull golásá siliásávl H 638- f or 845 ziéré-fl golás 639 lpá Φ Φ Φ [ Hsolóépp prurál ziéré-fl golás Thá 443 E z z Φ z z Φ z ψ lől rr uu övzi hog siliás löésé ghározó szrp v z Φ lpári zér isü z lái háro lhőség s Korláos Φ lpári Lg Φ E orál lpári z Φ [ I 85 irvlluo flülről orláos zz M M > Φ 85 Eor 85-ől z Φ z 853 lől övzi hog i poziív ε-hoz lézi ol ε δ δ ε 854 M lr ε z 855 M sé ε z Φ z M ε 856 M l rr ul hog 845 fl golás silis 75

76 s Null- árihoz ró lpári Lg li Φ 857 Nilvávló hog or silis Továá 857 szri Φ orláos és z lői szri z z Φ z lől z golás 858 golás szipoius siliás övzi 3 s N orláos lpári Flélzzü hog Φ lpári orláos zz lálhó g ol övvő szásoroz 859 lr li Φ 86 zz Φ lpári lglá g Φ li Φ pq pq l sé Mos pig válsszu g 848 prurál fl zi z éré úg hog s q-i ooriáá ülöözzé 845- szrplő ól : i zi i i q és i zi 86 Eor 85 lpá p-i ooriáár érvés lől p ψ Φ z 86 Ez szri szőlgs isi ülöségr z ε p p pq ψ p q q li 863 δ z q q p ψ I [ p ülöség orláos Eg s p-i ooriáá ülöség orláos h ψ li 864 lől 846 golás isiliás övzi Thá izoíou hog z lpári orláosság ull-árihoz vló rás illv flülről vló orláosság légségs fléli rr siliásr szipoius siliásr illv isiliásr Mos pig láu hog z flél s légségs h szüségs is 76

77 Lg 846 ol δ δ ε hog z δ sé z ψ ε golás silis zz i ε > -hoz lálhó forul lpá p-i ooriáá ülöség p ψ p Φ pq q zq 866 q Isé h z ziéré vor 86 lú or 866-ól vg Φ pq p ψ z p q q ψ p p Φ pq K z q q [ H 867 glőlség flíru i p-r és q-r p q { } íg r glőlség gpu hog zz igzolu Φ Φ K p q Φ lpári or szrii orláosságá Mos pig lg 846 lú golás szipoius silis Eor pq ψ 867 és összgzv z 868 li 869 és lpá 867-ől p p hárál pu hog li Φ li Φ pq Végül lg 846 golás isilis Ez s hisz or golás silis l i lloáshoz vz Thá igzolu övző állíás 87 Tél szüségs és légségs flél hoogé DER siliásár [ ziéré fl Φ lpári lh orláos golás or és s or: Silis h z po orál Φ lpári Φ E z I [ irvlluo orláos: Φ M 87 szipoius silis h 77

78 li Φ 3 Isilis h Φ orláos 87 z lői élől övzi hog DER ull golás or és s or silis h i golás orláos z [ irvlluo Mivl 845 ziéré fl z R ziéré szőlgs zér szőlgs golásról v szó i z li hog 84 hoogé DER összs golás gszrr i silis vg szipoius silis vg isilis ől iiulv s oré golás h hoogé DER- ou silis szipoius silis vg isilis Nliáris DER sé z áll f 83 Liáris ihoogé iffriálgl-rszr siliás Tisü 6 lú liáris ihoogé DER- hol z foloos z [ irvlluo f 873 árifüggvé és z f vorfüggvé Tél szüségs és légségs flél ihoogé DER siliásár 873 ihoogé DER összs golás i foloos f zvrófüggvér or és s or silis h silis gfllő 874 hoogé DER összs golás Bizoíás Szüségsség Lg I [ ihoogé DER silis golás z zi flél ll Eor fiíió szri i ε > -hoz lálhó ol δ ε sé z ε δ hog δ z forul szri 873 ihoogé DER-hz rl ziéré-fl golás övzőépp írhó fl: 78

79 Φ Φ Φ Φ s f s Φ Φ Φ s f s s s 877 z Φ z Φ Φ s f s ψ s épl lpá Mivl ψ Φ z Φ z 879 z δ sé 876 szri Ψ ε zér 879-ől övzi hog Φ orláos M [ Φ 88 há 874 liáris hoogé DER silis Elégségsség Lg z és z 873 ihoogé DER é golás rr z z illv z zi flél ll Közvl száíásol f f ói hog z és goláso ülöség : z z h hoogé DER golás Mivl h silis zér i ε > -hoz lálhó ol δ δ ε hog δ sé h 884 Thá lpá h ε z z z z ε zz z hsolóépp z δ or ihoogé DER silis golás 79

80 9 Álló gühóú liáris hoogé DER siliás Tgü fl hog g -s álló ári és isü 9 álló gühóú hoogé liáris iffriálgl-rszr Nilvávló hog 9 ár orá vizsgál 84 válozó gühóú DER spiális s Lg ovár is i vlós R ári gásól ülööző sáéréi vlós vg opl l ulipliiás rr C 9 s α α α α s α α α 93 Flélzzü hog z ári Jorá-fél oius l lás hol J ig s J P P P J P 94 J J 95 J J J J R { s} α α α s P sziguláris állá opl ári Isrs hog 9 lú álló gühóú hoogé DER g lpári 74 forul lpá övzőépp írhó fl lás : 8