Mikrohullámú reciprok és reaktáns két kapus passzív szerkezet grafikus mátrixanalízise

t»r. J A C H I M O V I T S LÁSZLÓ BME Mikrohullámú Híradástechnika Tanszék Mikrohullámú reciprok és reaktáns két kapus passzív szerkezet grafikus mátrixanalízise ETO 512.83 I (083.57) :62 1.372.5.02 9. 6 A dolgozatban azokkal az esetekkel foglalkozunk, amikor a mikrohullámú reciprok és reaktáns kétkapus passzív szerkezet (a továbbiakban: a vizsgált szerkezet" vagy a szerkezet") mátrixanalízisének célja: a) adott szerkezet 5,y szórási mátrixelemeinek meghatározása, b) az Sy szórási mátrixelemekkel megadott szerkezet helyettesítő kapcsolásainak meghatározása, c) adott kapcsolás ekvivalens kapcsolásainak meghatározása. A szerkezet mátrixanalízisének eredményeként adódó komplex függvények rögzített frekvencia esetén ábrázolhatók a poláris impedancia- (admittancia-) diagramon. Az ábrázolás eredménye egy jellegzetes vektorábra, a szerkezet karakterisztikus vektorábrája", amelynek segítségével az a) c) típusú feladatok grafikusan megoldhatók. A megoldásnak ezt az új módszerét grafikus mátrixanalízis"-nek neveztük el. A dolgozat bevezető részében felírjuk a szimmetrikus szerkezet 5,y szórási (vagy reflexiós) mátrixelemeit az egykapus reaktáns szerkezetek jellemző paramétereinek függvényében és viszont. Az adott függvényeket a poláris impedancia- (admittancia-) diagramon ábrázolva megszerkesztjük a szimmetrikus szerkezet karakterisztikus vektorábráját. Ennek birtokában a szimmetrikus szerkezet referenciasíkjainak nem szimmetrikus transzformációja bevezetésével ismertetjük a nem szimmetrikus szerkezetek grafikus mátrixanalízisének elvi menetét. Végül az elmélet gyakorlati felhasználásának bemutatására elvégezzük a leggyakrabban alkalmazott szimmetrikus helyettesítő kapcsolások grafikus mátrix analízisét. A szimmetrikus szerkezet karakterisztikus vektorábrája A vizsgált szerkezet (la ábra) S szórási mátrixának Sjy S,y exp (jcpij) mátrixelemei és s, = exp sajátértékei közötti kapcsolatot leíró egyenletek [1, 2, 3]: ahol Sj az 16 lc ábrákon feltüntetett egykapus reaktáns szerkezetek bemeneti feszültségi reflexiótényezője. Az adott egykapus szerkezetek normált bemeneti impedanciájának, illetve normált bemeneti admittanciájának z',-1 i+y,'" Sz. Sz\ a) 1 Z 0 r 1 (0 (3) (4) függvényében: Z 0 Sz. I (5) (fi) Beérkezett: 1972. IT. 14, s 1 + s 2 ^12 ^21. : (1) \H15Z-JL1\ 1. ábra. a) Ideális homogén tápvonalakban végződő szimmetrikus, reciprok és reaktáns mikrohullámú kétkapus passzív szerkezet, b), c) A szerkezet S', Z: és Y' karakterisztikus mátrixainak sajátértékei 331

HÍRADÁSTECHNIKA XXIII. ÉVF. 11. SZ. Az (1) (6) egyenletek megoldásaként az Sjj(z' t ), Sijiy'i), z-isij), y-(sij) komplex függvények: M l 2 ^ í + l /Xí + Í (7) A l 2-2(/XÍ+l /X 2 + l (8) (9) c yi-/gí 1-/^2 (10),'_ ^ +('^ll + ^'l2)_.y^ 1 (-S u +5 12 ) (11) ' * + (^ll~~^12) _;y' (12) 3. ábra. A (3) (6) komplex függvények ábrázolása a poláris impedancia- (admittancia-) diagramon, q>«^cp l esetén _1-(S 1 1 + S 1 2 )_, 1+(S U + S 1 2 ) (13)?/2 = 1-(5 U -5 1 2 ) 1+(5 U -S 1 2 ) = 7 #2- (14) Ezzel a szimmetrikus szerkezetet leíró komplex függ - vényeket az a) c) típusú feladatok megoldásához levezettük. 4. ábra. Az (1) (14) komplex függvények ábrázolása a polu impedancia- (admittancia-) diagramon, f^^vi esetén Az (1), függvények ábrázolása a komplex számsíkon a 2. ábra szerinti. A továbbiak szempontjából lényeges annak megállapítása, hogy az egységsugarú kör a szelője merőleges a <p n =állandó egyenesre és érintője az S u sugarú koncentrikus körnek, az egységsugarú kör /S szelője merőleges a (p 12 =állandó egyenesre és érintőjére az S 12 sugarú koncentrikus körnek. az a és fi szelők az egységsugarú körön egymást merőlegesen metszik, az Sij szórási mátrixelemek az alábbi kötéseknek tesznek eleget: IHÍSÍ-JLI\ 2. ábra. Az (1) és komplex függvények ábrázolása a komplex számsíkon : a) (p 2^<p u b) 9> 2 «=9% esetén Snl 2 + ]S 12 2 =1 121 <p n =<p n ±a/2 (15) (16) 332

DR. JACHIMOVITS L.: MIKROHUIXAMŰ SZERKEZET GRAFIKUS MATRIXANAUZISK A (3) (6) komplex függvények ábrázolása a poláris impedancia- (admittancia-) diagramon a 3. ábra szerinti. Mivel a poláris impedancia- (admittancia-) diagram fí' = 0(G' = 0) paraméterű köre azonos a komplex számsík origó középpontú egységsugarú körével, a 2. és 3. ábrán feltüntetett diagramok egymással fedésbe hozhatók (4. ábra). Ezzel olyan diagramhoz jutottunk, amely az (1) (6) függvények mellett a (7) (14) függvények ábrázolását is tartalmazza. Az (1) (14) komplex függvényeknek egyetlen poláris impedancia- (admittancia-) diagramon való ábrázolása jellegzetes vektorábrához vezet (5. ábra), amelynek a szerkezet karakterisztikus vektorábrája" vagy röviden karakterisztikus vektorábra" elnevezést adtuk. \H152-JLS\ 5. ábra. Az la ábrán feltüntetett szerkezet karakterisztikus vektorábráj a rp a = (<p n esetén A karakterisztikus vektorábrán célszerűen feltüntetük a szerkezet illesztett lezárása esetén mért (17) Zo \H152-Jlé\ fi. ábra. Az la ábrán feltüntetett szerkezet bővítése egy-egy 0 elektromos hosszúságú távvezetékszakasszal (6. ábra) vagy más szóval: a referencia síkokat <Z> elektromos hosszúságú szakaszon szimmetrikusan transzformáljuk. Az így felépített szerkezethez két karakterisztikus vektorábra tartozik: az egyik az la ábra szerinti szerkezet 5. ábrán feltüntetett karakterisztikus vektorábrája, a másik az adott eredő szerkezeté, amelynek paramétereit ellátjuk egy újabb e lábindexszel is. Az Sy és Sy e szórási mátrixelemek kapcsolatát leíró Sg. = e-i' 2 * =\Sy\ e/(w- 2 *) (19) összefüggés ([2] 369 old., [3], 34-36 old.) alapján közvetlenül belátható, hogy az 5. ábrán feltüntetett karakterisztikus vektorábrának 20 szöggel való elforgatása az eredő szerkezet karakterisztikus vektorábráját adja (7. ábra). A könnyebb áttekinthetőség céljából a karakterisztikus vektorábrákat csak részben tüntettük fel. Befejezésül megjegyezzük még, hogy a 7. ábrán leitüntetett karakterisztikus vektorábrák (kiegészítve a még hiányzó részekkel is) lényegében a vizsgált szerkezetet leíró egyenletrendszerek három csoportjának: az la ábrán feltüntetett szerkezetet leíró, az 5. ábrán feltüntetett, eredő szerkezetet leíró, a két karakterisztikus vektorábra paramétereinek kapcsolatát leíró egyenletrendszerek grafikus megoldását tartalmazzák. A távvezetékszakaszokkal bővített szerkezet normált bemeneti impedanciát és az 1 Z' x 1 + S n (18) normált bemeneti admittanciát is. Megfigyelhető, hogy a karakterisztikus vektorábra egyértelműen megszerkeszthető, ha paraméterei (z' 1;... Sy..., Z[,... stb.) közül bármelyik két, egymástól lineárisan független paraméter adott. Ezért az a) c) típusú feladatok a karakterisztikus vektorábra alkalmazásával grafikusan megoldhatók. A grafikus mátrixaiialízis menete a referenciasíkok szimmetrikus transzformációja esetén Vizsgáljuk azt az esetet, amikor az la ábra szerinti szerkezettel egy-egy 0 elektromos hosszúságú távvezetékszakaszt szimmetrikusan láncbakapcsolunk ÍH1SÍ-JL7I 7. ábra. Távvezetékszakaszokkal bővített szerkezet karakterisztikus vektorábrái (részlet) <p iz = (<fi n jt/2) és <t> =- 0 esetén 333

H1K A DÁSTliC.I INI KA XX III. ÉVF. 11. SZ. karakterisztikus vektor ábrái tehát a grafikus mátrixanalízis módszereinek, lehetőségeinek és korlátainak mintegy összefoglalását adják szimmetrikus szerkezetek analízisénél. Megállapítható, hogy a karakterisztikus vektorábrák birtokában az analízis a) c) típusú feladatai grafikusan megoldhatók. A szerkezet grafikus mátrixanalízisének menete lényegében tehát nem más, mint a szerkezet karakterisztikus vektor ábrájának megszerkesztése. A grafikus mátrixanalízis menete a referenciasíkok' nem szimmetrikus transzformációja eseten A grafikus mátrixanalízis módszerei alkalmazhatók azokban az esetekben is, amikor a szimmetrikus szerkezet referenciasíkjait nem szimmetrikusan transzformáljuk. Transzformálva ugyanis a referencia síkokat a bemeneti oldalon Ö v a kimeneti oldalon 0 2 ^ 0 1 elektromos hosszúságú szakaszon, az eredő szerkezet S /y - e szórási mátrixelemei S y - í> t és í> 2 függvényében, a következő formában írhatók fel [2, 3]:' e;'(?-n -24S,) 5 (20) ^22e = (21) Alkalmazási példák A mikrohullámú szerkezet analízisénél általában a szerkezet helyettesítő kapcsolásával dolgozunk. Hasonló a helyzet valamely előírt mikrohullámú áramkör realizációinak meghatározásakor is. A leggyakrabban alkalmazott szimmetrikus helyettesítő kapcsolások : 1. sönt szuszceptancia négypólus, 2. soros reaktancia négypólus, 3. távvezetékszakaszokkal bővített sönt szuszceptancia, 4. távvezetékszakaszokkal bővített soros reaktancia, 5. szimmetrikus T-tag, 6. szimmetrikus yr-tag, 7. távvezetékszakaszokkal bővített szimmetrikus T-tag, 8. távvezetékszakaszokkal bővített szimmetrikus jr-tag. Az alábbiakban megszerkesztjük az 1. 7. kapcsolások karakterisztikus vektorábráját (illetve vektorábráit). 1. A sönt szuszceptancia négypólus (9. ábra) Y' normált admittancia-mátrixának saját értékei: (22) A fenti egj^enletek alapján, kiindulva a szimmetrikus szerkezet karakterisztikus vektorábrájából, az eredő szerkezet szórási mátrixelemei grafikus úton meghatározhatók (8. ábra). Mivel a szerkesztés menete megfordítható, a 8. ábrán feltüntetett elvi megoldás alkalmazásával nem szimmetrikus szerkezetek esetén is számos feladat megoldható a grafikus mátrixanalízis módszereivel..'72 = (23) Yo \H15Z-JL9\ 9. ábra. Sönt szuszceptancia né-gypólus 334

»R. JACHIMOVITS L.: MIKROHULLÁMÚ SZERKEZET GRAFIKUS MÁTRIXANALÍZISE Az y'i normált admittanciákat, a poláris admittanciadiagramon ábrázolva, a karakterisztikus vektorábra megszerkeszthető (10. ábra). A gyakorlati alkalmazáshoz lényeges annak rögzítése, hogy az YÍ=1+/2B' (24) és az Sjj szórási mátrixelemekre vonatkozó (15), (16) kötések alapján: az S n mátrixelem végpontja elvileg a G' = l paraméterű körre esik, az S u mátrixelem végpontja elvileg a G'=l paraméterű kör inverz körére esik. Megjegyezzük még, hogy 0<B< «> esetén _, V. (r) (D \H152-JL13Í 13. ábra. Távvezetékszakaszokkal bővített sönt szuszceptancia 37r/2xp n >7T és 9^12 + 2. A soros reaktancia négypólus (11. ábra) Z'normált impedanciamátrixának sajátértékei: z' t oo,,' Í X ÍY' (25) 4 i i \MS2-JLH\ 11. ábra. Soros reaktancia négypólus Poláris impedanciadiagramon ábrázolva a z\ normált impedanciákat, a karakterisztikus vektorábra megszerkeszthető (12. ábra). Adott esetben, mivel az illesztett lezárás esetén mért bemeneti impedancia normált értéke: Zí = l+/2x' (26) az S n és S 12 mártixelemek végpontja elvileg az f?' = l paraméterű körre esik. Könnyen belátható, hogy oo-=:x<0 esetén 0>ip u > n és q.< 12 cp n + nl2. 14. ábra. A 13. ábrán feltüntetett kapcsolás karakterisztikus vektorábrái (részlet) J) =s B ~ és <P «= 0_esetén 3. Alkalmazva az elvi megoldás 7. ábrán feltüntetett menetét és figyelembe véve a sönt szuszceptancia négypólus 10. ábrán feltüntetett karakterisztikus vektorábráját, a 13. ábra szerinti kapcsolás karakterisztikus vektorábrái egyszerű módon megszerkeszthetők. Mivel a kapcsolási paraméterek vizsgálandó értéke: B^O; 0^-0, a feladathoz B és 0 előjelétől függően elvileg négy megoldás tartozik. Ezek egyikét a 14. ábrán tüntettük fel. 4. A távvezetékszakaszokkal bővített soros reaktancia (15. ábra) karakterisztikus vektorábrái a fentivel analóg módon szerkeszthetők meg. Az elvileg lehetséges négy eset egyikére a megoldást a 16. ábrán tüntettük fel. 5. A szimmetrikus T-tag (17. ábra) Z' normált impedanciamátrixának sajátértékei: z l = y = A X a + X b) = ] X l> (27) z 2 -T7- ] X a ~ ] X 2-12. ábra. Soros reaktancia négypólus karakterisztikus vektorábrája (részlet) 0=sX-= - esetén Poláris impedanciadiagramon ábrázolva a z\ normált impedanciákat, a karakterisztikus vektorábra megszerkeszthető. Az elvileg lehetséges négy eset egyikére a megoldást a 18. ábrán tüntettük fel. 335

HÍRADÁSTECHNIKA XXIII. EVE. 11. SZ. Z~j2X -CZD~ J /A 2 (2') \H15I-JL15\ 15. ábra. Távvezetékszakaszokkal bővített soros reaktancia \H152-JL13\ 19. ábra. Szimmetrikus jr-tag \H1Sl-JL1S\ 16. ábra. A 15. ábrán feltüntetett kapcsolás karakterisztikus vektorábrái (részlet) ~-=:X-cO és 0>O esetén JX a jx, 17. ábra. Szimmetrikus T-tag \H15Z-JL17\ \msi-jlik' 20. ábra. Szimmetrikus.-t-tag karakterisztikus vektorábrája (részlet) 0«=.B u -=, B/j^O esetén 4 ~ 1 1 t - - (r) CD ízi \H15hJLp] 21. ábra. Távvezetékszakaszokkal bővített szimmetrikus T-tag G. A szimmetrikus.-t-tag (19. ábra) Y' normált admitlanciamátrixának sajátértékei: ' Í B a -T)> ;p','_k B a + B b), R'N ; R' Ü2= y ly B "+ H b)=l B 2 (28) IHKZ-JIW 18. ábra. Szimmetrikus T-tag karakterisztikus vektorábrája (részlet).<í 5 <0, X;, =-0 esetén Poláris admittanciadiagramon ábrázolva az y- normált admittanciákat, a karakterisztikus vektorábra megszerkeszthető. Az elvileg lehetséges négy eset egyikére a megoldást a 20. ábrán tüntettük fel. 7. A távvezetékszakaszokkal bővített szimmetrikus T-tag (21. ábra) grafikus mátrixanalízisénél tételezzük fel, hogy az eredő szerkezet S t j e szórási mátrixelemeinek értéke rögzített és a feladat az X a, X b és 0 kapcsolási paraméterek értékének meghatározása. 336

DK. JACHIMOVITS I..: MIKROHUIXAMÜ SZERKEZET GRAFIKUS MATBIXANALJZISK 2<j>~-60 IH152-JL22\ 23. ábra. Az X' a és X' b normált kapcsolási paraméterek jellegzetes változása 0 függvényében, rögzített Sije szórási mátrixelemek esetén 22. ábra. A 20 ábrán feltüntetett kapcsolás karakterisztikus vektorábrái (részlet) \S 12e \=0,8, (p líe = 120, (p ue = 2W és 0 = 30 esetén Az adott feladatnak elvileg végtelen sok megoldása lehetséges. Ilyen esetekben szokás a három kapcsolási paraméter egyikét független változónak tekinteni, s ennek függvényében megadni a másik két kapcsolási paraméter értékét. Legyen az előírás pl. 5^ = 0,8 exp(/120 ), cp ne = (cp 12e 7i/2), és tekintsük független változónak a távvezetékszakaszok 0 elektromos hosszát. A grafikus megoldás menete 0 = 0 és O>0= 30 esetére a 22. ábrán látható. Az ábrán feltüntetett értékek és az összefüggések X' a = X x, X t) X 2 X 1 (29) alapján: 0 = 0 esetén x;>=-0,9; Xí 0 =l,ll, 0=-3O esetén Xá=-0,2; X' b =l,\. Könnyen belátható, hogy 2<Z> = 9? 2e -7r=-84 esetén Xá = 0,- 2<2>=-a> 1 =-172 esetén X' b = : Az Sy e mátrixelemekre adott előírásokat kielégítő X' a (0), X' b (0) reaktanciák jellegzetes menetét a 120 < 0rsO rj intervallumban a 23. ábrán tüntettük fel. A távvezetékszakaszokkal bővített szimmetrikus 7r-tag grafikus mátrixanalízisének menete a fentivel analóg módon történik, és hasonló eredményekre vezet. Az előbbiek alapján a grafikus mátrixanalízis módszereivel számos feladat egyszerűen és gyorsan megoldható. Ugyanakkor a karakterisztikus vektorábrák olyan fizikai szemlélettel párosulnak, amely a szerkezetek numerikus mátrixanalízisénél jelentős egyszerűsítéseket tesz lehetővé. A szerkezetek karakterisztikus vektorábráival való operálás különösen előnyös azokban az esetekben, amikor a numerikus mátrixanalízis módszereinek alkalmazásával a feladatok megoldásához ellentmondásos egyenletrendszerek megoldása vezet. Ezekben az esetekben az ellentmondásra vezető egyenletek az egyenletrendszerekből a karakterisztikus vektorábra alkalmazásával könnyen szelektálhatók. Egy következő dolgozatban ennek lehetőségeit fogjuk bemutatni. I R O D A L O M [1] Montgomery, C. G.-Dicke, L. H. Purcell, E. M.: Principles of Microwave Gircuits, M. I. T. Rad. Lab. Series, 8. kötet, McGraw Hill Book Go. Inc, 1948. pp. 401-419. [2] Alimon, J. L.: Microwave Gircuits. D. Van Nostrand Co. Inc. 1964. pp. 83-88. [3] Dr. Jachimovits L.: Elosztott paraméterű passzív áramkörök. Tankönyvkiadó, 1969. (Szakmérnöki jegyzet, Jő 869) 36-41. old. 337