Matematika C 4. évfolyam JÁTÉK A SÍKON 4. modul Készítette: KÖVES GABRIELLA
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON modulleírás A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A képességfejlesztés fókuszai A tudatos észlelés, a megfigyelés és a figyelem fejlesztése. Saját megfigyelések, megtapasztalások kifejezésének gyakorlása szóban, valamint tárgyi tevékenységgel. Szemléletfejlesztés, a problémaérzékenység fejlesztése. Az életkori sajátosságokra alapozva a tanulók tudatos és alkalmazásképes ismeretrendszerének alapozása, fejlesztése. Egyénileg, párban való tevékenykedés, együttműködés, egymásra való figyelés. Térszemlélet fejlesztése. Finommanipuláció, percepció fejlesztése. Rész-egész kapcsolatok megfigyelése. Kreativitás fejlesztése önálló alkotások létrehozásával, mások alkotásaink értelmezésével, elemzésével. Geometriai ismeretek alapozása. Tájékozódás a síkon. Nem periodikus síklefedések. Kerület, terület fogalom alakítása, becslés, mérés Tapasztalatszerzés geometriai transzformációkra (tengelyes, középpontos tükrözés, forgatás, torzítás). Ezen transzformációk előállítása tevékenységgel. 7 45perc 10 11 évesek; 4. osztály; tetszőleges időben. Geometriával foglalkozó modulok Megismerési képességek alapozása: Az érzékszervek tudatos működtetése; az összehasonlítás (megkülönböztetés, azonosítás) képességének fejlesztése A megfigyelt tulajdonság, viszony kifejezése tevékenységgel Kívánt helyzetek létrehozása Feltételeknek megfelelő stratégia tervezése, végrehajtása Tájékozódás a síkon Kerület, területfogalom tapasztalati alakítása Tapasztalatszerzés geometriai transzformációkra (tengelyes, középpontos tükrözés, forgatás, torzítás) Gondolkodási képességek: Rendszerezés Következtetések Kombinativitás Az induktív és deduktív gondolkodás alakítása, fejlesztése. Kommunikációs képességek: Térlátás, térbeli viszonyok értelmezése, kifejezése tevékenységgel Az elemi kommunikációs képesség fejlesztése; működtetése párkapcsolatokban Rész-egész észlelése Az érzékszervek tudatos működtetése. Tudásszerző képességek: Problémamegoldás, probléma érzékenység és kreativitás fejlesztése.
Ajánlás A modul egy tangram elemeinek vizsgálatára épül, amelyet már a 19. századi Kínában is ismertek. (A tangram nem más, mint egy szétdarabolt síkidom, a fantáziánk igénybevételével a darabokat újra összeillesztjük úgy, hogy egy előre megadott, az eredetitől különböző alakzatot kapjunk.) A modul végén eljutunk Penrose csempézéséig, amelyet a brit matematikus, fizikus és kozmológus talált fel, és 1974-ben jelentetett meg elsőként. Harmadik osztályban ezt a tangramot már megismerhettük, de most teljesen más szempontból vizsgáljuk a kirakandó elemeket. Megállapításokat teszünk tangram részeire, a kirakandó elemek kerületére, területére, forgatjuk, tükrözzük, különböző síklefedéseket végzünk. Az elemeket sokszorozva különböző elemekből adott feltételnek eleget tevő alakzatokat építünk. Kicsinyítjük, nagyítjuk, torzítjuk az elemeket. Előállítunk Conway tízlábú -i közül néhányat, ezeknek vizsgáljuk tükrösségét, majd nem periodikus síklefedést készítünk az egybevágó háromszögekből. Végül Solomon W. Golomb,,reptiles -aival ismerkedünk természetesen a korosztálynak megfelelő szinten. Ez a tangram egy igen egyszerű, odafigyeléssel, minimális színes kartonpapírból könnyedén előállítható. Az elkészítésénél fontos, hogy precízen készítsük el az ábrát, pontosan vágjuk ki az elemeket. A foglalkozás anyagát 7 órára terveztük, de lehetnek gyermekek, akiknek ennél több időre lesz szükség a problémák megoldásához. Ezen a területen a gyermekek előzetes tapasztalataik igen eltérőek. Hagyjunk elegendő időt a feladatok feldolgozására, a próbálgatásra, ellenőrzésre, elemzésre a lassabban haladóknak is. Elvégezhetjük a feladatokat egymás után a modul leírásának megfelelően, de felhasználhatjuk egy-egy részletét akár a tanórán is a geometriai anyagrészhez kapcsolódva. Támogatórendszer Természet Világa, 128. évf. 8. sz. 1997. szeptember, 396 399. o. http://www.kfki.hu/chemonet/termvil/ http://www.ch.bme.hu/chemonet/termvil/ Értékelés Az alakzatok kirakásának módja, gyorsasága és eredménye az értékelés alapja lehet. Ezen túl a modul feldolgozása során kövessük folyamatos megfigyeléssel az észlelés pontosságát; próbálkozások alakulását, az együttműködés és a kommunikáció képességének alakulását. Az értékelés megerősítő legyen, mindenkinek saját fejlődéséhez, fejlettségi szintjéhez mérten. Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 4 Modulvázlat Időterv: 7 45 perc Változat Lépések, tevékenységek (a mellékletekben részletesen kifejtve) Kiemelt készségek, képességek Célcsoport / A differenciálás lehetőségei Tanulásszervezés Munkaformák Módszerek Eszköz (mellékletben: a feladatok, gyűjtemények, tananyagtartalmak) KERÜLET, TERÜLET, ÁTDARABOLÁSOK 1. Azonos területű síkidomok kerületének becslése. Megfigyelőképesség, Sík és térlátás fejlesztése, rendszerezés Egész csoport Önálló Feladatmegoldás 1. melléklet szim02.jpg 2 5. Kerület mérése körzővel, vonalzóval. A becsült és mért érték összehasonlítása. Finommanipuláció, összehasonlítás, rendszerezés Egész csoport Páros Feladatmegoldás 2. melléklet 6. Tangram készítése kemény papírból. Finommanipuláció fejlesztése Egész csoport Páros, önálló Feladatmegoldás tg01a.jpg tg01b.jpg kartonlap, olló 7 9. Ismerkedés egy tangram elemeivel. Hasonló és egybevágó alakzatok vizsgálata. Megfigyelés, összehasonlítás, összefüggések felfedezése, sík- és térlátás fejlesztése, rész-egész észlelése, rendszerezés 10 11. Kerület becslése, számítása Megfigyelés, összehasonlítás, összefüggések felfedezése, sík- és térlátás fejlesztése, rész-egész észlelése, rendszerezés Egész csoport Önálló Feladatmegoldás Egész csoport Önálló Feladatmegoldás Tangram Tangram
Változat Lépések, tevékenységek (a mellékletekben részletesen kifejtve) Kiemelt készségek, képességek Célcsoport / A differenciálás lehetőségei Tanulásszervezés Munkaformák Módszerek Eszköz (mellékletben: a feladatok, gyűjtemények, tananyagtartalmak) 12 22. Síklefedések, árdarabolások, következtetések. A területfogalom alakítása. Megfigyelés, összehasonlítás, összefüggések felfedezése, sík- és térlátás fejlesztése, rész-egész észlelése 23. Kerület becslése Megfigyelés, sík és térlátás fejlesztése, becslés 24 25. Kerület becslése, számítása Megfigyelés, összehasonlítás, összefüggések felfedezése, sík- és térlátás fejlesztése, rész-egész észlelése, rendszerezés 26 28. Kerület becslése, számítása Megfigyelés, összehasonlítás, összefüggések felfedezése, sík- és térlátás fejlesztése, rész-egész észlelése, rendszerezés 26 29. Azonos területű, különböző alakú síkidomok építése. Terület becslése. 30 41. Azonos területű, különböző alakú síkidomok építése. Transzformációk 42. Tangram elemei tükrösségének vizsgálata hajtogatással. Megfigyelés, összehasonlítás, összefüggések felfedezése, sík- és térlátás fejlesztése, rész-egész észlelése, rendszerezés Összefüggések felfedezése, sík- és térlátás fejlesztése, rész-egész észlelése, rendszerezés Sík- és térlátás fejlesztése Egész csoport Önálló Manipuláció, feladatmegoldás Egész csoport Önálló Feladatmegoldás Egész csoport Csoport, önálló Feladatmegoldás Egész csoport Csoport, önálló Feladatmegoldás Egész csoport Csoport, önálló Feladatmegoldás Egész csoport Csoport, önálló Feladatmegoldás Egész csoport Önálló, egyéni Feladatmegoldás Tangram 4. melléklet Tangram 4. melléklet Tangram 4. melléklet Tangram 1. melléklet Tangram 1. melléklet 5. melléklet Tangram Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 5
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 6 Változat Lépések, tevékenységek (a mellékletekben részletesen kifejtve) Kiemelt készségek, képességek Célcsoport / A differenciálás lehetőségei Tanulásszervezés Munkaformák Módszerek Eszköz (mellékletben: a feladatok, gyűjtemények, tananyagtartalmak) 43. A tangramból kirakott különböző alakú síkidomok tükrösségének vizsgálata hajtogatással. 44. Alakzat tengelyesen tükrös képének meghatározása különböző helyzetű tükörtengely esetében. 45 51. Négyzet lefedése egybevágó síkidomokkal. Tengelyesen szimmetrikus minta előállítása. Sík- és térlátás fejlesztése Sík- és térlátás fejlesztése Térlátás, kombinatorikus gondolkozás fejlesztése Egész csoport Önálló Feladatmegoldás Tangram 1. melléklet Egész csoport Páros Verseny Tangram 1. melléklet hurkapálca, tükör Egész csoport Önálló Feladatmegoldás Tangram 6. melléklet tükör 52 55. Síklefedés, tapasztalatszerzés geometriai transzformációkra. (Kicsinyítés, nyújtás, zsugorítás, torzítás.) Nem periodikus síklefedések 56 57. Nem periodikus síklefedések. Conway tízlábú - inak előállítása tervszerű próbálgatással. 58. A megtalált Conway tízlábú -k tengelyes szimmetriáinak vizsgálata. 59 60. A megtalált Conway tízlábú -ak középpontos szimmetriáinak vizsgálata. Finommanipuláció, megfigyelőképesség, sík- és térlátás fejlesztése, rész-egész észlelése Térlátás, kombinatorikus gondolkozás, finommanipuláció fejlesztése Sík- és térlátás fejlesztése Sík- és térlátás fejlesztése 61. Tapasztalatszerzés nem periodikus síklefedésre. Sík- és térlátás, finommanipuláció fejlesztése Egész csoport Önálló Feladatmegoldás Egész csoport Önálló Feladatmegoldás Egész csoport Önálló, páros Feladatmegoldás Egész csoport Önálló, páros Feladatmegoldás Egész csoport Önálló Tevékenykedtetés Tangram 7 8. melléklet olló 9. melléklet vagy 10lab01a. jpg olló, ragasztó, papír A megtalált tízlábúk A megtalált tízlábúk 9. melléklet vagy 10lab01a. jpg olló, ragasztó, papír
Változat Lépések, tevékenységek (a mellékletekben részletesen kifejtve) Kiemelt készségek, képességek Célcsoport / A differenciálás lehetőségei Tanulásszervezés Munkaformák Módszerek Eszköz (mellékletben: a feladatok, gyűjtemények, tananyagtartalmak) 62 66. A nem periodikus csempézések egy másik fajtája a Solomon W. Golomb reptiles -e. a) kirakással b) rajzolással Térlátás, finommanipuláció fejlesztése Egész csoport Önálló Tevékenykedtetés 10., 11., 12. melléklet vagy szfinx12.jpg szfinx3.jpg szfinx02.jpg olló, ragasztó, papír 68 75. Tapasztalatszerzés a tengelyes tükrözésre és a középpontos forgatásra. Térlátás, finommanipuláció fejlesztése Egész csoport Önálló Tevékenykedtetés 13. melléklet vagy szfinkszracs07.jpg tükör, gombostű Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 8 A feldolgozás menete Ráhangolódás, a feldolgozás előkészítése Tanári tevékenység KERÜLET, TERÜLET, ÁTDARABOLÁSOK 1. Ilyen alakú terítőink vannak. Színes szalaggal be akarjuk szegni. a) Becsüld meg, melyik terítőhöz kell a leghosszabb szegőanyag! A leghosszabb szegőanyag a 4., 5., 12. terítőhöz kell. b) Becsüld meg, melyik terítőhöz kell a legrövidebb szegőanyag! A legrövidebb szegőanyag a 7., 10., 11. terítőhöz kell. c) Mit gondolsz melyik terítőkhöz kell ugyanannyi szegőanyag? 1., 8.; 4., 5., 12.; 7., 10., 11. Tanulói tevékenység Mindegyik gyermek kap egy-egy ilyen ábrát. Önálló munkában végzik a becslést. 2. Alakítsunk 3 fős csoportokat vagy párokat. A gyermekek csoportmunkában dolgoznak. 3. Ellenőrizzük méréssel a becslésünket! a) Körzővel másoljuk át egy félegyenesre pontosan egymást követően az ábrán látható alakzat oldalainak hosszát, s a kis szakaszokból kapott legnagyobb szakasz hosszát megmérve, megkapjuk az alakzat (síkidom) kerületének hosszát.
b) Vonalzóval mérjük meg egy-egy oldal hosszát, majd a mérési eredményeket adjuk össze. 4. A mérési eredményeket foglaljuk táblázatba! (A feladat célja a mérési adatok rendezése.) Sorszám 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Szegőanyag (mm) 164 176 168 192 192 172 152 164 162 152 152 192 5. Hasonlítsuk össze a becsült és mért értékeket! 6. Kartonlapra készítsük el az ábrát! Nyomtassuk fóliára a tg01b.eps fájlt, majd írásvetítőn vetítsük ki. 7. Az elkészült ábrát vágjuk ki! Egy tangramot készítettünk, amelyet a 19. századi Kínában már ismerték. Öt hasonló háromszögből áll, amelyből kettő-kettő egybevágó, valamint két négyszögből, egy négyzetből és egy paralelogrammából. Összesen hét elemből. Beszéljük meg, mely oldalak azonos hosszúságúak. Csoport- vagy páros munkában dolgozzanak a gyermekek. Hívjuk fel a figyelmet, hogy E és F oldalfelező pontok. G, H, I az AC átló negyedelő pontjaik Az ábra elkészítésének egy lehetséges módja: rajzoljunk egy 40 cm oldalhosszúságú négyzetet, 1. kössük össze az A, C pontokat, 2. mérjük ki, majd kössük össze az E, F pontokat, 3. mérjük ki a G, H, I pontokat, 4. kössük össze a D, H, J pontokat, a J pontot a DH és az EF egyenesek metszéspontja adja. 5. kössük össze a G, E pontokat, 6. kössük össze a I, J pontokat. Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 9
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 10 8. Keressük meg az azonos alakú alakzatokat. (1., 2., 3., 5., 7. sorszámokkal jelölt) 9. Keressük meg az azonos alakú és azonos méretű alakzatokat. (1., 2.) (3., 5.) sorszámokkal jelölt. 10. Becslés alapján rakd kerületük szerint csökkenő sorba az alakzatokat! 1 = 2 > 4 = 6 = 7 > 3 sorszámokkal jelölt. 11. Számolással ellenőrizzük a becslést! Alakzat sorszáma 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Kerület (mm) 96 96 48 56 38 68 68 12. Ha minden alakzatból sok lenne, hogyan rakhatnád ki a nagy négyzetet az 1. sorszámmal jelölt alakzatból? Rajzold be a vonalakat! 13. Hányszorosa a teljes négyzet területe az 1. sorszámmal jelölt háromszögnek? 4 szerese 14. Hányadrésze az 1. sorszámmal jelölt háromszög területe a négyzet területének? 1 negyed része 15. Rakjuk ki az 1. sorszámmal jelölt alakzatot a többiből! Itt nem kell minden elemet felhasználni. 16. Rakjuk ki az 1. sorszámmal jelölt alakzatot a 3. sorszámmal jelölt alakzattal!
17. Ha a nagy négyzet területe 16 terület egység, akkor mennyi a területe az 1. sorszámmal jelölt háromszögnek? (4) Mivel 4 darab 1. háromszöggel tudjuk lefedni, igy a 4 egyed része. 18. Ha a nagy négyzet területe 16 terület egység, akkor mennyi a területe a 3. sorszámmal jelölt háromszögnek? (1) Mivel 16 darab 3. sorszámmal jelölt háromszöggel tudjuk lefedni, a nagy négyzetet. 19. Másold le a háromszögeket egy papírra, vágd ki. Darabold át háromszögeket négyzetté! Darabold át téglalappá! Keres több megoldást. 20. Hány 7. sorszámmal jelölt négyzettel tudnád lefedni a nagy négyzetet? Ha a nagy négyzet területe 16 terület egység, akkor mennyi a területe az 7. sorszámmal jelölt négyzetnek? (8) 21. Hány darab 4-essel jelölt négyzet szükséges a nagy négyzet hézagmentes és egyrétű lefedéséhez? Ha a nagy négyzet területe 16 terület egység, akkor mennyi a területe a 4-essel jelölt négyzetnek? (Válasz: 8 darab 4-es jelű négyzet szükséges. A 4-es jelű négyzet területe 2 terület egység, mert előzőleg 16 darab 3-sal jelölt háromszöggel tudtuk lefedni ugyanezt a nagy négyzetet, és a 4-es jelű négyzet éppen két 3-as jelű háromszöggel fedhető le.) Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 11
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 12 22. Hány 6. sorszámú négyzettel tudnád lefedni a nagy négyzetet? (8) Mivel 6. sorszámú alakzatot 2 darab 3. sorszámúval lehet lefedni. 23. Ezzel a tangrammal már találkozhattunk a 3. osztályos C típusú 0203 tangram című modul keretében. Akkor a következő elemeket raktuk ki. Amennyiben a gyermekeknek érdekes volt az előző feladatsor, vagy több gyakorlásra van szükségük, végezzük el ezekkel az ábrákkal is következő feladatsort. a) Becsüld meg,melyik ábra kerülete a leghosszabb! b) Becsüld meg, melyik ábra kerülete a legrövidebb! c) Vajon mely ábrák kerülete egyenlő? 24. A csoportok rakjanak ki egy-egy ábrát a tangram elemeiből!
25. Ellenőrizzük méréssel vagy számítással a becslésünket! Írjuk be az eredeti ábrába a síkidomok oldalainak a hosszát, majd ebből számítsuk ki a síkidom kerületét. Például: 26. Az első feladathoz kapcsolódóan a) Becsüld meg, melyik terítőhöz kell a legtöbb anyag! b) Becsüld meg, melyik terítőhöz kell a legkevesebb anyag! c) Vajon melyik terítőkhöz kell ugyanannyi anyag? Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 13
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 14 27. Rakd ki a terítőket egyetlen tangram elemeiből! Egy-egy terítőhöz minden elemet fel kell használni. 28. Rajzold be, hol érintkeznek a síkidomok oldalai!
29. Beszéljük meg, hogy mindegyik terítőhöz ugyanannyi anyag kell, mert mindegyiket ki tudtuk rakni ugyanazokból az elemekből. 30. Ha egy ilyen mintázatú anyagból szabnánk ki a terítőket, hová kerülhetnének a vastag sötétebb vonalak? A sík- és térszemlélet fejlesztése érdekében fontos, hogy először az eredeti elemekből rakják ki az alakzatot, képzeljék el, hová kerülhetnek vonalak, majd rajzolják rá a vonalakat az elemekre, és ellenőrizzék elképzelésüket. Az ellenőrzés kétféleképpen történhet: 1. a kirakott ábrába berajzoljuk a vonalakat, majd összerakjuk négyzet alakba. 2. A négyzet alakba rajzoljuk a vonalakat, és újra kirakjuk az alakzatot. A gyermekek párokban vagy önállóan dolgozzanak. Keressenek minél több megoldást. Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 15
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 16 31. Ezt az elemet 8 féleképpen rakhatjuk ki. ezekből az elemekből.
32. A párok cseréljék ki a megoldásaikat, és az előbb említett módok valamelyikével ellenőrizzék a munkát. Próbáljanak újabb megoldást keresni! 33. Alakítsunk 2 4 fős csoportokat a párokból. Szervezzünk versenyt. Melyik csoport talál több megoldást egy-egy elem kirakására. Az eredményeket ábrázoljuk diagrammon. Fontos, hogy először az eredeti elemekből (amelyeken nincsennek berajzolva a vonalak) rakják ki az alakzatot, képzeljék el, hová kerülhetnek vonalak, majd rajzolják rá az alakzatra. 34. Ezt az elemet is 8 féle módon rakhatjuk ki az előzőekben megismert feltételek mellett. Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 17
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 18 35. Ezt az elemet is 8 féle módon rakhatjuk ki az előzőekben megismert feltételek mellett.
36. A megoldások: a két nagy háromszöget csak egyféleképpen tudjuk elhelyezni. A két kis háromszöget felcserélhetjük. Ez eddig 2 megoldást ad. A paralelogramma elforgatható, ez is 2 megoldás. Eddig 2 2 = 4 különböző megoldást ad A négyzet is elforgatható, ez is további 2 megoldást ad. Így 2.2.2=8 különböző megoldást találhattunk. Természetesen ezt a gondolatmenetet 4. osztályban még nem várjuk el, de ha akad gyermek, aki részeiben alkalmazza, dicsérjük meg, és mutassuk be a megoldását a többi gyermeknek is. Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 19
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 20 37. Ezt az elemet is 8 féle módon rakhatjuk ki az előzőekben megismert feltételek mellett.
38. Ezt az elemet is 8 féle módon rakhatjuk ki az előzőekben megismert feltételek mellett. A megoldás ugyanaz, mint a 5. síkidomnál, csak az alul lévő háromszög helyzete más. Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 21
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 22 39. Ezt az elemet is 8 féle módon rakhatjuk ki az előzőekben megismert feltételek mellett.
40. Ezt az elemet is 8 féle módon rakhatjuk ki az előzőekben megismert feltételek mellett. Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 23
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 24 41. Ezt az elemet is 8 féle módon rakhatjuk ki az előzőekben megismert feltételek mellett.
Transzformációk 42. A tangram elemei közül melyik hajtható ketté úgy, hogy a két rész pontosan lefedje egymást? Keress több hajtásvonalat! Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 25
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 26 43. Vágjuk ki a tangramból kirakható 12 alakzatot, és hajtogatással válogassuk ki közülük azokat, amelyeknek van szimmetriatengelye!
44. Alakítsunk párokat. A pár egyik tagja helyezzen le a kivágott alakzatok közül egyet és egy hurkapálcát az asztalra. A társának a feladata, hogy egy ugyan olyan alakzatot tegyen az asztalra úgy, hogy a két alakzat a hurkapálcára nézve szimmetrikus legyen. A megoldást tükörrel ellenőrizzék, majd cseréljenek szerepet a pár tagjai. Minden jó megoldás egy pont. Az nyer, aki a legtöbb pontot gyűjti össze. a) Kezdetben a vízszintes és függőlegesen álló oldalakhoz illesszük a hurkapálcát, majd a többi oldalhoz. b) Az oldallal párhuzamosan illesszük, de ne érintse az alakzatot. c) Ne az oldallal párhuzamosan illesszük, és ne érintse a hurkapálca az alakzatot. d) Fektessük az alakzatra a hurkapálcát. Pl.: Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 27
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 28 45. A 3-mal jelölt elemet másoljuk le, és vágjuk ki 16-szor, majd fedjük le vele egyrétűen és hézagmentesen az eredeti négyzetet! Rajzoljuk be az illeszkedési vonalakat! 46. Az eredeti négyzetet kiraktuk csupa kis háromszöggel. Színezd ki úgy, hogy a) ne legyen szimmetria tengelye. b) egy szimmetria tengelye legyen. c) kettő szimmetria tengelye legyen. d) három szimmetria tengelye legyen. e) négy szimmetria tengelye legyen. f) öt szimmetria tengelye legyen. Egy háromszög ne legyen két színű. A megoldásokat ellenőrizzük tükörrel. Pl.: 47. A 7. sorszámmal jelölt elemet másoljuk le, és vágjuk ki 8-szor, és fedjük le vele hézagmentesen és egyrétegben az eredeti négyzetet! Rajzoljuk be az illeszkedési vonalakat!
48. Az eredeti négyzetet kiraktuk csupa háromszöggel. Összesen 16 megoldás van. Természetesen nem várjuk el minden gyermektől, hogy az összes esetet megkeresse, de próbáljunk minél több esetet megtalálni. Versenyezzünk, hogy ki talál olyan kirakási formát, amilyet más nem talált meg. Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 29
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 30 49. Színezd ki a háromszögeket úgy, hogy a négyzetnek a) ne legyen szimmetria tengelye. b) egy szimmetria tengelye legyen. c) kettő szimmetria tengelye legyen. d) három szimmetria tengelye legyen. e) négy szimmetria tengelye legyen. f) öt szimmetria tengelye legyen. Egy háromszög ne legyen két színű. A megoldásokat ellenőrizzük tükörrel. 50. A 4-gyel jelölt elem segítségével is megoldhatjuk az előbbiekben megismert feladatot. Másoljuk le és vágjuk ki 16-szor a 4-gyel jelölt elemet, fedjük le vele egyrétűen és hézagmentesen az eredeti négyzetet! Rajzoljuk be az illeszkedési vonalakat! 51. Színezd ki úgy a háromszögeket, hogy a négyzetnek a) ne legyen szimmetria tengelye. b) egy szimmetria tengelye legyen. c) kettő szimmetria tengelye legyen. d) három szimmetria tengelye legyen. e) négy szimmetria tengelye legyen. f) öt szimmetria tengelye legyen. Egy háromszög ne legyen két színű. A megoldásokat ellenőrizzük tükörrel.
52. A tangram elemeiből rakd ki a mellékelt alakzatot, majd másold rá egy négyzetrácsra. (Példánkban a 12 féle kirakható alakzat közül a 3-as számú alakzatot rajzoltuk be a 7. melléklet első rácsára.) Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 31
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 32 53. Másold át a többi rácsra is az alakzatot, az illesztési vonalakkal együtt. (7. és 8. melléklet rácsait használjuk.)
54. Jelöld meg a különböző rácsokon található alakzatok közül azokat, melyek elemeiből négyzetet tudsz kirakni! 55. Vágd ki az elemeket, és igazold sejtésed. Az eredeti kicsinyített, nagyított, forgatott változatából tudunk négyzetet kirakni, a nyújtott, zsugorított, torzított rácsokra másoltakból nem. Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 33
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 34
Nem periodikus síklefedések 56. Nyomtassuk ki színes papírra a 10lab01a.jpg fájlt. Alakítsunk párokat. Vágjuk ki a háromszögeket! 57. Építsünk 10 darab háromszögből alakzatot úgy, hogy mind a tíz háromszög egy pontban találkozzon! Ragasszuk fel egy papírra az alakzatokat. Keressünk minél több megoldást! Egy alakzat elforgatottját vagy tükrözöttjét nem tekintjük különbözőnek. Ha kihagyjuk azokat, melyek forgatással vagy tükrözéssel megkaphatók egy másikból, akkor 62 különböző alakzatot kapunk. Ezeknek az alakzatoknak Conway a tízlábú nevet adta. 4. osztályban nem várjuk el az összes eset megkeresését, de ösztönözzük a gyermekeket minél több alakzat megépítésére. Pl.: Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 35
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 36 58. Válogassuk ki a megépített alakzatok (tízlábúak) közül azokat, amelyeknek van szimmetriatengelye. Rajzoljuk be a tengelyeket. A megoldást ellenőrizzük tükörrel vagy hajtogatásal. Pl.: 59. Vágjuk ki az alakzatokat! Helyezzük egy papírra, rajzoljuk körbe, és szúrjunk be egy gombostűt abba a pontba, amelyben az összes háromszög találkozik. Melyek azok az alakzatok, amelyeket el tudunk forgatni valamennyivel úgy, hogy az elforgatás után a rajzolt alakzatot lefedje a forgatott. Mindegyik alakzatot el tudjuk forgatni abban az esetben, ha egy teljes körrel elforgatjuk az alakzatot. Ettől különböző megoldásokat keressünk. 60. Beszéljük meg az elforgatás szögét, szögeit. Jelöljük meg a háromszög egyik csúcsát, az ábra alapján. Pl.: A zöld alakzatot a teljes kör felével elforgatva tudjuk lefedni az eredetit. Ez azt jelenti, hogy két forgatás kell, hogy az A pont visszakerüljön az eredeti helyére. A sárga alakzatot a teljes kör ötöd részével elforgatva tudjuk lefedni az eredetit. Azaz amíg megteszünk egy teljes kört, 5-ször fogja lefedni a forgatott az eredeti alakzatot. A piros alakzatot a teljes kör tized részével elforgatva tudjuk lefedni az eredetit. Azaz amíg megteszünk egy teljes kört, 10-szer fogja lefedni a forgatott alakzat az eredetit. Pl.:
61. Készítsünk alakzatokat valamelyik tízlábúból kiindulva úgy, hogy meghatározott számú kivágott háromszögekkel egyrétűen, hézagmentesen lefedjük a sikot (a sík egy részét)! Ragasszuk az elemeket egy lapra. A kész munkákből rendezzünk kiállítást. A gyermekek nevezzék meg a nekik legjobban tetsző munkát. A legtöbb szavazatot kapottak szerint rendezzük sorba a munkákat. Pl.: 62. A nem periodikus csempézések egy másik fajtája olyan csempékből kapható, melyekből néhánnyal kirakható saját maguk nagyított példánya. Az ilyen fajtáknak adta Solomon W. Golomb a reptiles nevet. (Lásd az Unexpected Hanging című könyv 19. fejezete.) A következő feladatsort kétféleképpen is megoldhatjuk. 1. kivágjuk az elemeket (10., 11. melléklet), és azokat használjuk a probléma megoldásához, 2. vagy a háromszögrácsot. 63. Ezzel az elemmel rakjuk ki ezt, Megoldás: Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 37
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 38 64. majd ezzel Megoldás: ezt 65. majd ezzel Megoldás: ezt.
66. Ha a feladat nehéznek bizonyul, segítheti a munkát, ha háromszögrácson dolgozunk. Megoldás: Megoldás: Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 39
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 40 67. Tengelyes tükrözés: Vágjuk ki az alakzatot. 68. Helyezzük el az alakzatot a háromszögrácson! Megoldás: 69. Képzeljük el, hogy hová kerül az alakzat, ha az egyenes (tengely) körül kiforgatjuk a síkból vissza a síkba! (Például hajtogatással. A tengelyes tükrözés értelmezése.) Rajzoljuk le a tükörképet! A kivágott síkidommal ellenőrizzük a munkát! Megoldás: 70. Pont körüli forgatás: Helyezzük el az alakzatot a háromszögrácson! Jelöljük be a pontot és a forgatás irányát! Képzeljük el, hogy hová kerül az alakzat, a forgatás után. Rajzoljuk le a papírra! Megoldás: 71. A kivágott síkidommal ellenőrizzük a munkát! Gombostűvel rögzítsük a fekete pontnál a kivágott alakzatot. Forgassuk el a nyíl irányában akkora szöggel, amekkorát a nyíl meghatároz. Megoldás: 72. Ezt ismételjük addig, amíg egy teljes kört leírunk. Színezzük ki a keletkezett alakzatot! Megoldás:
73. Próbáljuk ki, hogy milyen alakzatokat kapunk, ha máshol rögzítjük a Megoldás: pl.: alakzatot. 74. A következő feladatnál is ugyanezeket az elemeket használjuk. Az elemeket tükrözni, illetve forgatni kell. Egyéni munkában dolgoztassuk fel a feladatot, ha szükséges, itemenkénti ellenőrzéssel. a) Beszéljük meg, hogy mi a feladat (tükrözés, forgatás). b) Végezzék el a transzformációt. c) Rajzolják be az elképzelt megoldást. d) Ellenőrizzék. A tengelyes tükrözés megoldását ellenőrizhetjük tükörrel is, de itt most a síkból kiforgatással ellenőrizzünk. Vágjuk ki az alakzatot, és a tengely körül a térbeli forgatással határozzuk meg a tükörképet. A pont körüki forgatás megoldását úgy ellenőrizzük, hogy a kivágott alakzatot helyezzük a rácson lévőre, majd gombostűvel rögzítsük ott, ahol a fekete pont van. Forgassuk el a nyíl irányában akkora szöggel, amekkorát a nyíl meghatároz. Ezt ismételjük addig, amíg egy teljes kört leírunk. Megoldás: Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 41
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 42 75. Megoldás: 76. További információkat és ötleteket találunk a nem periodikus síklefedésekre a Természet Világa, 128. évf. 8. sz. 1997. augusztus, 344 349. o. http://www.kfki.hu/chemonet/termvil/ http://www.ch.bme.hu/chemonet/termvil/
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 43 1. melléklet
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 44 2. melléklet Sorszám 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Szegőanyag (mm) 3. melléklet Alakzat sorszáma 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Kerület (mm) 4. melléklet
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 45 5. melléklet
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 46 6. melléklet
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 47 7. melléklet
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 48 8. melléklet
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 49 9. melléklet
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 50 10. melléklet
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 51 11. melléklet
Matematika C 4. évfolyam 4. modul JÁTÉK A SÍKON 52 12. melléklet 13. melléklet