Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik. Az el adáshoz ajálott jegyzet: Klukovits Lajos: Klasszikus és lieáris algebra, Polygo Kiadó, Szeged, 1999. Szedrei Áges: Diszkrét matematika, Polygo Kiadó, Szeged, 199400. 1. Deíció. A valós számokból álló számpárokat komplex számokak evezzük. A komplex számok halmazát C jelöli, azaz C = R R.. Deíció. Az a, b és c, d komplex számok összege és szorzata: a, b + c, d = a + c, b + d a, b c, d = ac bd, ad + bc.. Példa. Az 1, és, 4 komplex számok összege és szorzata: 4. Tétel. C; +, test. 1, +, 4 = 1 +, + 4 = 4, 6, és 1,, 4 = 1 4, 1 4 + = 8, 4 + 6 = 5, 10. Bizoyításvázlat. Mide köye leelle rizhet, ha az additív egységek a 0, 0, míg a multiplikatív egységek az 1, 0 komplex számokat választjuk. Az egyetle érdekes kérdés a multiplikatív iverz létezése: tetsz leges, az additív egységt l külöböz a, b C iverze mivel a a, b a + b, a, b 1 = a a + b, b a a + b = a + b b a + b b a + b, ab a + b + ab a + b = 1, 0. 5. Példa. 1,, 4 = 1,, 4 1 = 1, 5, 4 8 =, 4 + 6 11 = 5 5 5 5,. 5 6. Kérdések. A következ állítások közül melyek igazak tetsz leges a, b, c, d R eseté: 1 a, b c, d = a c, b d, a, 0 c, 0 = a c, 0, 0, b 0, d = 0, b d? 7. Tétel. Mide a, b R eseté a, 0 + b, 0 = a + b, 0, a, 0 = a, 0, a, 0 b, 0 = a b, 0, a, 0 1 = a 1, 0. 8. Deíció. Tetsz leges a R eseté az a, 0 komplex szám helyett egyszer e a-t íruk, és em is külöböztetjük meg az a valós számtól. Úgy tekitjük, hogy R C. Továbbá a 0, 1 komplex számot i-vel jelöljük. 9. Tétel. Tetsz leges a, b R eseté a, b = a + bi, azaz mide komplex szám egyértelm módo el áll a + bi alakba. Továbbá i = 1.
10. Deíció. A z C komplex szám a + bi alakba való felírását z kaoikus alakjáak evezzük. Az a R számot z valós részéek, míg a b R számot z képzetes részéek hívjuk, és a = Re z, illetve b = Im z-vel jelöljük. Az i komplex szám eve képzetes egység. 11. Példa. A következ számolásba csak azt haszáltuk ki, hogy C test azaz érvéyesek a szokásos számolási szabályok és i = 1: a + bi c + di = ac + adi + bci + bdi = ac bd + ad + bci Vessük össze a kapott eredméyt a komplex számok szorzásáak deíciójával! A multiplikatív iverz kiszámolásáál azt a jól ismert azoosságot alkalmazzuk, hogy a + ba b = a b : a + bi 1 = 1 a + bi = 1 a + bi a bi a bi = a bi a bi = a bi a + b = a a + b + b a + b i. 1. Deíció. Legye adott a síkba egy Descartes-féle derékszög koordiátaredszer, és feleltessük meg az a + bi komplex számak az a, b koordiátájú potot. Így kapjuk a komplex számsíkot, más éve a Gauss-féle számsíkot. Az els tegelyt abszcissza valós tegelyek, a második tegelyt ordiáta pedig képzetes tegelyek hívjuk. A valós tegelye találhatók a valós számok, a képzetes tegelye pedig a tiszta képzetes számok. 1. Deíció. A z = a + bi komplex szám kojugáltjá a z = a bi komplex számot, és abszolút értéké a z = a + b valós számot értjük. 14. Megjegyzés. A komplex számsíko a kojugálás em más, mit a valós tegelyre való tükrözés, az abszolút érték az origótól ullától mért távolság, a komplex számok összeadása pedig helyvektorok összeadása. 15. Tétel. Tetsz leges u, v C számra 1 u = u, u + v = u + v, u v = u v, 4 u v = u v 5 u/v = u/v, ha v 0, 6 u = u u R, 7 u + u = Re u, 8 u u = u. 16. Tétel. Tetsz leges u, v C számra 1 u = 0 u = 0, u v = u v, u/v = u / v, ha v 0, 4 u + v u + v, 5 u = u. 17. Tétel. Legyeek z 1, z,..., z komplex számok úgy, hogy a komplex számsíko az általuk meghatározott poligo kovex, és a z 1,..., z csúcsok az óramutató járásával elletétes iráyba helyezkedek el. Ekkor a poligo területe a következ képlettel számolható: 1 Imz 1z + z z + + z 1 z + z z 1. 18. Deíció. Egy emulla z komplex szám argumetuma az a szög, amivel a valós tegely pozitív felét el kell forgati az origó körül, hogy átmeje a z-ek megfelel poto, amit arg z-vel jelöljük. A ulla számak icse argumetuma. 19. Kérdések. Az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek hamisak? 1 Mide emulla valós szám argumetuma ulla. Mide π argumetumú komplex szám valós.
Az i komplex szám argumetuma π/. 4 Az 1 i komplex szám argumetuma π/4. 5 Az 1 i komplex szám argumetuma π/. 6 Mide emulla z C számra arg z = arg z. 7 Mide emulla z C számra arg z = arg z + π. 8 Mide emulla z C számra arg z = arg z. 0. Tétel. Tetsz leges 0 z C, r R + és ϕ R számok eseté z = rcos ϕ + i si ϕ r = z és ϕ arg z 1. Deíció. A emulla komplex számok z = rcos ϕ + i si ϕ mod π. alakba való felírását trigoometrikus alakak evezzük. A ulla komplex számak icse trigoometrikus alakja.. Megjegyzés. A ullától külöböz komplex számok argumetuma csak modulo π, azaz π egész számú többszöröseit l eltekitve meghatározott. Ezért a komplex számok trigoometrikus alakja sem egyértelm : például mid cos π +i si π π π, mid a cos +i si az i komplex szám trigoometrikus alakja. Viszot ha egy kokrét komplex szám trigoometrikus alakját kell meghatározuk, akkor az argumetumot midig a [0, π[ itervallumba adjuk meg.. Tétel. Tetsz leges ullától külöböz u = rcos ϕ + i si ϕ és v = scos ψ + i si ψ komplex számokra 1 ū = rcos ϕ + i si ϕ, u v = rscosϕ + ψ + i siϕ + ψ, u 1 = r 1 cos ϕ + i si ϕ, 4 u/v = r/s cosϕ ψ + i siϕ ψ, 4. Megjegyzés. A komplex számok kaoikus alakját felhaszálva látható, hogy rögzített v C komplex szám eseté a z z + v leképezés em más, mit a v-hez tartozó vektorral való eltolás a komplex számsíko. A komplex számok trigoometrikus alakját felhaszálva pedig látható, hogy rögzített v = cos ψ + i si ψ eseté a z z v leképezés em más, mit az origó körüli ψ szög forgatás a komplex számsíko. 5. Példa. Az ismert sziusz és kosziusz összegzési képleteket köye megkaphatjuk komplex számok segítségével. Tekitsük a u = cos ϕ + i si ϕ, v = cos ψ + i si ψ komplex számokat. A trigoometrikus alakokkal számolva a szorzatuk u v = cosϕ + ψ + i siϕ + ψ. De ha a kaoikus alakot haszáljuk a szorzat kiszámolására, akkor u v = cos ϕ + i si ϕ cos ψ + i si ψ = cos ϕ cos ψ + cos ϕ i si ψ + i si ϕ cos ψ + i si ϕ i si ψ = cos ϕ cos ψ si ϕ si ψ + icos ϕ si ψ + si ϕ cos ψ. Mivel az u v komplex szám egyértelm e írható fel kaoikus alakba, ezért cosϕ + ψ = cos ϕ cos ψ si ϕ si ψ, és siϕ + ψ = cos ϕ si ψ + si ϕ cos ψ. Hasolóa számítható ki a cosϕ ψ és siϕ ψ képlete is, de ekkor az u és v komplex számok háyadosát kell veük.
6. Tétel Moivre-képlet. Bármely em zéró z = rcos ϕ+i si ϕ komplex szám és Z eseté 7. Kérdések. z = r cosϕ + i siϕ. 1 Miért em lehet az el z tétel képletét haszáli például a i 0.1456 értékéek deiálásához? Igaz-e, hogy i 1 = i? Igaz-e mide 0 z C és N eseté, hogy z = z? 4 Igaz-e mide 0 z C és N eseté, hogy z = z? 5 Milye voalo helyezkedek el a z C \ R valódi komplex szám egész hatváyai? 6 Melyek azok a z komplex számok, amelyekre arg z = argz? 7 Melyek azok a z komplex számok, amelyekre arg z = argz? 8 Melyek azok a z komplex számok, amelyekre arg z = argz 1? 9 Melyek azok a z komplex számok, amelyekre z = z? 8. Példa. Tudjuk, hogy cos α = cos α si α és si α = si α cos α. Megmutatjuk, hogy cos α és si α hogya számítható ki egyszer e. Vegyük a z = cos α+i si α komplex számot és számoljuk ki a harmadik hatváyát a trigoometrikus alakja z = cos α + i si α, és a kaoikus alakjai segítségével felhaszálva azt, hogy a + b = a + a b + ab + b Tehát azt kaptuk, hogy z = cos α + i si α = cos α + i cos α si α cos α si α i si α = cos α cos α si α + i cos α si α si α. cos α = cos α cos α si α, és si α = cos α si α si α. 9. Deíció. Tetsz leges pozitív egész szám és z C eseté azt modjuk, hogy az u komplex szám -edik gyöke z-ek, ha u = z. 0. Tétel. Mide emulla z = rcos ϕ + i si ϕ komplex számak potosa külöböz -edik gyöke va, mégpedig z = r cos ϕ + kπ + i si ϕ + kπ k = 0,..., 1. 1. Példa. Számítsuk ki az 1 komplex számak a tizekettedik gyökeit, és adjuk meg ket kaoikus alakba. Az 1 trigoometrikus alakja természetese az 1 cos 0 + i si 0. Felhaszálva a evezetes szögek sziuszát és kosziuszát azt kapjuk, hogy az 1 tizekét gyöke: u 0 = 1 cos 0 1 + i si 0 = 1, 1 u 1 = 1 cos π π + i si = 1 1 + 1 i, 4
u = 1 cos 4π 4π + i si = 1 1 1 + i u = 1 cos 6π 6π + i si = i, 1 1 u 4 = 1 cos 8π 8π + i si = 1 1 1 + i u 5 = 1 cos 10π 10π + i si = 1 1 + 1 i, u 6 = 1 cos 1π 1π + i si = 1, 1 1 u 7 = 1 cos 14π 14π + i si = 1 1 1 i, u 8 = 1 cos 16π 16π + i si = 1 1 1 i u 9 = 1 cos 18π 18π + i si = i, 1 1 u 10 = 1 cos 0π 0π + i si = + 1 1 1 i u 11 = 1 cos π π + i si = + 1 1 1 i,. Deíció. Az ε komplex számot -edik egységgyökek evezzük N +, ha ε = 1. Az ε komplex szám egységgyök, ha -edik egységgyök valamely N + -re.. Tétel. Az -edik egységgyökök a következ k: ε k = cos kπ Ezzel a jelöléssel ε 0 = 1 és ε k = ε k 1 kπ + i si k = 0,..., 1. mide k = 0,..., 1 eseté. 4. Megjegyzés. Az -edik egységgyökök egy szabályos -szöget alkotak a komplex számsíko, amelyek a körülírt köre az origó középpotú egységkör, és egyik csúcsa 1. Ez a két iformáció egyértelm e meg is határozza az -szöget. 5. Példa. Az els egységgyökök halmaza a A második egységgyökök halmaza a A harmadik egységgyökök halmaza a { z C : z = 1 } = A egyedik egységgyökök halmaza a A hatodik egységgyökök halmaza a { { z C : z 6 = 1 } = { z C : z 1 = 1 } = {1}. { z C : z = 1 } = {1, 1}. { 1, 1 + i, 1 { z C : z 4 = 1 } = {1, i, 1, i}. 1, 1 + i, 1 + 5 } i. i, 1, 1 i, 1 } i.
6. Tétel. Egy emulla komplex szám összes -edik gyökét megkaphatjuk, ha egy rögzített -edik gyökét megszorozzuk sorra az -edik egységgyökökkel. Tehát ha u = z 0, akkor a z komplex szám -edik gyökei: u ε k ahol k = 0,..., 1. 7. Példa. Számoljuk ki a 8i értékeit. A 8i trigoometrikus alakja 8i = 8 cos π + i si π, tehát midhárom köbgyökéek az abszolút értéke 8 =, és a gyökök π π cos + i si = cos π 6 + i si π = 6 + 1 i = + i, π cos + π π + i si + π = cos 5π 6 + i si 5π = 6 + 1 i = + i, π cos + 4π π + i si + 4π = cos 9π 6 + i si 9π = i. 6 Köye leelle rizhet, hogy i gyök, mivel i = 8i = 8i. Tehát ha alkalmazzuk az el z tételt, és tudjuk a harmadik egységgyököket, akkor megkapjuk a három gyököt: i 1 = i, i 1 + i = + i, i 1 i = + i. 8. Deíció. Azt modjuk, hogy a ε komplex szám primitív -edik egységgyök, ha -edik egységgyök, de em m-edik egységgyök semmilye 0 < m < egészre. 9. Példa. Az 1 primitív els egységgyök. A 1 primitív második egységgyök. A 1 + i és 1 i primitív harmadik egységgyökök. Az i és i primitív egyedik egységgyökök. Az 1 + i és 1 i primitív hatodik egységgyökök. 40. Tétel. Az ε k = cos kπ kπ + i si egységgyök akkor és csak akkor primitív -edik egységgyök, ha k relatív prím -hez. 41. Tétel. A primitív -edik egységgyökök száma ϕ, ahol ϕ az Euler-féle függvéy. 4. Kérdések. 1 Háy primitív ötödik egységgyök va? Háy primitív tizedik egységgyök va? Igaz-e, hogy mide egységgyök primitív -edik egységgyök valamely egészre? 4 Igaz-e, hogy mide olya z komplex szám, amelyre z = 1, egységgyök? 5 Létezik-e olya komplex szám, amely 17-edik és 7-madik egységgyök is? 6 Létezik-e olya komplex szám, amely 17-edik és 7-madik primitív egységgyök is? 4. Tétel Az algebra alaptétele. Ha p = a x + a 1 x 1 + + a 1 x + a 0 komplex együtthatós a,..., a 0 C emkostas 1, a 0 poliom, akkor multiplicitással számolva potosa darab komplex gyöke va. 44. Tétel. Tetsz leges z = a + bi komplex számra e z = 1 + z + z + z! + z4 4! + = ea cos b + i si b. 45. Példa Euler-formula. e iπ + 1 = 0. 6