DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS KÉZI CSABA GÁBOR 5. Taylor-polinom 5.. Feladat. Írjuk fel az f(x) = e x függvény x 0 = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki e közelítő értékét! Első lépésben kiszámoljuk a függvény első négy deriváltját, majd meghatározzuk ezek értékeit az x 0 = 0 helyen: k=0 e x k= e x k= 4e x 4 k=3 8e x 8 k=4 e x Az f függvény x 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomja T 4 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) Elvégezve az egyszerűsítéseket (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 3 + f (4) (x 0 ) (x x 0 ) 4. 4 T 4 (x) = + (x 0) + 4 (x 0) + 8 (x 0)3 + 4 (x 0)4. T 4 (x) = + x + x + 4 3 x3 + 3 x4. Az e közelítő értékét úgy kapjuk, ha az előbbi Taylor polinom értékét kiszámoljuk az x = helyen: ( ) e T 4 = + ( ) + + 4 ( ) 3 3 + ( ) 4 3 = + + + + 4 = 5 4.
KÉZI CSABA GÁBOR 5.. Feladat. Írjuk fel az f(x) = ln x függvény x 0 = pont körüli harmadfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki ln közelítő értékét! Első lépésben kiszámoljuk a függvény első három deriváltját, majd meghatározzuk ezek értékeit az x 0 = / helyen: k=0 ln x 0 k= x k= x 4 k=3 x 3 Az f függvény x 0 pont körüli harmadfokú Taylor polinomja T 3 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 3. ( T 3 (x) = 0 + x ) 4 ( x ) + ( x 3. ) Elvégezve az egyszerűsítéseket ( T 3 (x) = x ) ( x ) + 8 ( x 3. 3 ) Az ln közelítő értékét úgy kapjuk, ha az előbbi Taylor polinom értékét kiszámoljuk az x = helyen: ( ln T 3 () = ) ( ) + 8 ( ) 3 = 3 + 3 = 5. 5.3. Feladat. Írjuk fel az f(x) = arctg x függvény x 0 = pont körüli harmadfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki arctg 0, 9 közelítő értékét! Első lépésben kiszámoljuk a függvény első három deriváltját, majd meghatározzuk ezek értékeit az x 0 = helyen:
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 3 k=0 arctg x π 4 k= +x k= ( + x ) x k=3 ( + x ) 3 4x ( + x ) Az f függvény x 0 pont körüli harmadfokú Taylor polinomja T 3 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 3. T 3 (x) = π 4 + (x ) 4 (x ) + (x )3. Az arctg 0, 9 közelítő értékét úgy kapjuk, ha az előbbi Taylor polinom értékét kiszámoljuk az x = 0, 9 helyen: arctg 0, 9 T 3 (0, 9) = π 4 + (0, 9 ) 4 (0, 9 ) + (0, 9 )3 0, 7374. 5.4. Feladat. Írjuk fel az f(x) = e x függvény x 0 = 0 pont körüli n-edfokú Taylor polinomját és Lagrange-féle maradéktagot! Adjuk meg az e közelítő értékét négy tizedesjegy pontossággal! Az f(x) = e x függvény minden deriváltja e x, melynek a 0 helyen a helyettesítési értéke. A függvény x 0 pont körüli Taylor polinomja T n (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) +... + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! T n (x) = + (x 0) + (x 0) +... + n! (x 0)n = + x + x +... + n! xn. A maradéktag Mivel e ξ, ahol ξ [0, ]. (n + )! e ξ (n + )! < 4 (n + )!. A megkövetelt pontosság azt jelenti, hogy a maradéktagra teljesülnie kell, hogy 4 0, 000, (n + )!
4 KÉZI CSABA GÁBOR ami pontosan akkor áll fenn, ha 4 0, 000(n + )!, azaz (n + )! 40.000 kell, hogy teljesüljön. A legkisebb pozitív egész n, ami azt teljesíti a 7. Ekkor az e szám 4 tizedesjegyre pontos értéke e +! +! + 3! + 4! + 5! +! + 7!, 78. 5.5. Feladat. Írjuk fel az f(x) = sin x függvény x 0 = 0 pont körüli Taylor-sorát (azaz a Maclaurinsorát)! Első lépésben kiszámoljuk a függvény első néhány deriváltját, majd meghatározzuk ezek értékeit az x 0 = 0 helyen: k=0 sin x 0 k= cos k= sin x 0 k=3 cos x - k=4 sin x 0 Vegyük észre, hogy minden páros sorszámú derivált értéke 0, így csak a pártalan sorszámú tagok fognak szerepelni a Taylor polinomban. Emiatt a (n + )-edik Taylor polinomot foguk felírni. Az f függvény x 0 pont körüli Taylor polinomja T n (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) 3! (x x 0 ) 3 +... + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! T n+ (x) = 0+(x 0)+ 0 (x 0) + n 3! (x 0)3 +... = x x3 3! + x5 5! +... = ( ) k (k + )! xk+. k=0 A maradéktag Mivel azonban f (n+3), ezért L n+3 (x) = f (n+3) (n + 3)! (ξ). lim L n+3(ξ) = 0, n így a sin x függvény Taylor sora sin x = k=0 ( ) k (k + )! xk+.
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 5 5.. Feladat. Írjuk fel az f(x) = x 3 + 5x 7x + 3 polinomot x polinomjaként! Mivel a megadott polinom harmadfokú, ezért a negyedik deriválttól kezdve minden további derivált már 0. Mivel x polinomjaként szeretnénk felírni a polinomot, ezért az x 0 = pont körüli Taylor-polinomját írjuk föl az f függvénynek. Első lépésben kiszámoljuk a függvény első három deriváltját, majd meghatározzuk ezek értékeit az x 0 = helyen: k=0 x 3 + 5x 7x + 3 k= 3x + 0x 7 k= x + 0 k=3 Az f függvény x 0 pont körüli harmadfokú Taylor polinomja T 3 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) Elvégezve az egyszerűsítéseket (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 3. T 3 (x) = + (x ) + (x ) + (x )3. T 3 (x) = + (x ) + 8 (x ) + (x ) 3.
KÉZI CSABA GÁBOR IRODALOMJEGYZÉK [] Bartha Gábor Bogdán Zoltán Duró Lajosné dr. Gyapjas Ferencné Hack Frigyes dr. Kántor Sándorné dr. Korányi Erzsébet: Matematika feladatgyűjtemény II., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 000. [] Farkas István: Differenciálszámítás gyakorlati jegyzet, Debreceni Egyetem, 005. [3] Gilbert János Sólyom András Kocsányi László: Fizika mérnököknek I-II, Egyetemi Tankönyv, Műegyetemi Kiadó, 999. [4] Nándori Frigyes Szirbik Sándor: Statika oktatási segédlet a Gépészmérnöki és Informatikai Kar Bsc levelezős hallgatói részére, Mechanikai Tanszék, Miskolc-Egyetemváros, 008. [5] Nagyné Kondor Rita Szíki Gusztáv Áron: Matematika eszközök mérnöki alkalmazásokban, Egyetemi jegyzet, Debreceni Egyetem, 0. [] Kovács István Trembeczki Csaba: Sokszínű matematika feladatgyűjtemény, az analízis elemei emelt szint, Mozaik Kiadó, Szeged, 0. [7] Lengyel Csilla Mária: Szélsőérték-feladatok különböző megoldási módszerei, ELTE, szakdolgozat, 0. [8] Simon Anita: Az analízis néhány közgazdaságtani alkalmazása, szakdolgozat, Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar, 009. [9] Szentelekiné Dr. Páles Ilona: Analízis példatár, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 0. [0] George B. Thomas Maurice D. Weir Joel Hass Frank R. Giordano: Thomas féle kalkulus I. kötet, Typotex, Budapest, 008.