Bevezetés a Geogebrába

Bevezetés a Geogebrába Szerzők: Judith Hohenwarter, judith@geogebra.org Markus Hohenwarter, markus@geogebra.org Fordította: Révai Nóra

2 A mű eredeti címe: Introduction to GeoGebra A kézirat utolsó módosítása: 2008. július 19. Készült a GeoGebra 3.0-hoz Az eredeti mű szerzői: Judith Hohenwarter, Markus Hohenwarter Fordította: Révai Nóra Lektorálta: Papp Varga Zsuzsanna Judith Hohenwarter, Markus Hohenwarter, 2008 Hungarian translation Révai Nóra, 2011 Műszaki Könyvkiadó Kft., 2011 ISBN 978-963-16-4529-3 Azonositó szám: MK-4529-3 Kiadja a Műszaki Könyvkiadó Kft. Felelős kiadó: Orgován Katalin ügyvezető igazgató Szerkesztőségvezető: Hedvig Olga Felelős szerkesztő: Csík Zoltán Műszaki szerkesztő: Haász Anikó Tördelőszerkesztés és könyvterv: Weep Bt. 1. magyar nyelvű kiadás e-mail: vevoszolg@muszakikiado.hu www.muszakikiado.hu

3 KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS Szeretnénk köszönetet mondani a Florida Atlantic University és Broward megye iskolaszékének a Standards Mapped Graduate Education and Mentoring ( Közoktatási követelményrendszerhez igazodó egyetemi tanárképzés és mentorálás ) című, NSF Matematikai és természettudományi partnerségi projekt tagjainak, különösképpen a projekt vezetőinek Heinz-Otto Peitgennek és Richard Vossnak, akik ösztönözték munkánkat, valamint Broward megye tanárainak Guy Barmoha, Paul Beaulieu, James Duke Chin, Ana Escuder, Edward M. Knote, Athena Matherly, Barbara A. Perez, Lewis Prisco, Jeffrey Rosen és Megan Yanes a könyv írása közben nyújtott folyamatos támogatásukért és együttműködésükért. Jelen anyag a National Science Foundation EHR-0412342 számú pályázata, Standards Mapped Graduate Education and Mentoring ( Közoktatási követelményrendszerhez igazodó egyetemi tanárképzés és mentorálás ) elnevezésű NSF Matematikai és természettudományi partnerségének keretében támogatott munkán alapul. Az alkotásban szereplő véleményeket, megállapításokat, következtetéseket és ajánlásokat a szerzők fogalmazták meg, így ezek nem feltétlenül tükrözik a National Science Foundation nézeteit.

4 HOGYAN HASZNÁLJUK A KÖNYVET? A Bevezetés a Geogebrába a GeoGebra nevű dinamikus matematikai szoftver minden alapvető funkcióját bemutatja, így egyrészt egy, a GeoGebrát jól ismerő előadó használhatja bevezető tanfolyamokhoz, másrészt az olvasó a szoftver használatát a könyv segítségével egyedül is megtanulhatja. A könyv példáit végigcsinálva megismerheted a GeoGebra működését, amely az általános iskola felső tagozatától (10 éves kortól) az egyetemig mind matematikatanításra, mind annak tanulására alkalmas. A feladatok bevezetést nyújtanak a geometriai eszközök, az algebrai kifejezések bevitelének, a parancsok, valamint a GeoGebra különböző funkcióinak használatába. Ahhoz, hogy minél alaposabban megismerkedhess ezzel a sokoldalú szoftverrel, és hogy módszertani ötleteket kapj a GeoGebra mindennapi tanításban való alkalmazására, ez a bevezetés a matematikai témák egy széles skáláját fedi le. A könyv gyakorlóblokkjai a korábban megtanult készségek gyakorlására és a szoftver egyéni felfedezésére nyújtanak lehetőséget. A könyv minden szerkesztési fájlja és a kiegészítő fájlok (GeoGebra-fájlok, dinamikus munkalapok, képfájlok) elérhetők online a http://www.geogebra.org/book/intro-en.zip oldalon. Jó szórakozást és sikeres feladatmegoldást kívánunk a GeoGebrával! Judith & Markus

5 TARTALOMJEGYZÉK 1. Telepítés, bevezetés a GeoGebrába....................................... 7 1. Feladat: A GeoGebra telepítése......................................... 7 2. Feladat: A kiegészítő fájlok elmentése................................... 8 Bevezetés: Mi is az a GeoGebra és hogy működik?........................... 8 2. Rajzolás kontra geometriai szerkesztés.................................... 10 3. Feladat: Geometriai és egyéb alakzatok rajzolása.......................... 10 4. Feladat: GeoGebra-fájlok mentése...................................... 11 5. Feladat: Rajzok, Szerkesztések és Mozgatás-teszt.......................... 12 6. Feladat: Téglalap szerkesztése......................................... 12 7. Feladat: Szabályos háromszög szerkesztése............................... 14 3. I. Gyakorlóblokk....................................................... 16 Tippek és trükkök..................................................... 16 I. a) Feladat: Négyzet szerkesztése........................................ 17 I. b) Feladat: Szabályos hatszög szerkesztése................................ 18 I. c) Feladat: Háromszög köré írt köre...................................... 19 I. d) Feladat: Thales tételének szemléltetése................................. 20 4. Alapvető algebrai adatok bevitele, parancsok és függvények.................. 21 Tippek és trükkök..................................................... 21 8. a) Feladat: Egy kör érintőinek megszerkesztése (1. Rész).................... 22 8. b) Feladat: Egy kör érintőinek megszerkesztése (2. Rész).................... 22 9. Feladat: Egy másodfokú polinom paramétereinek felfedezése................ 25 10. Feladat: Csúszkák használata a paraméterek változtatásához................ 26 11. Feladat: Függvénykönyvtárak......................................... 27 5. Képek exportálása a vágólapra........................................... 29 12. a) Feladat: Képek exportálása a vágólapra............................... 29 12. b) Feladat: Képek beszúrása szöveges dokumentumba..................... 31 6. II. Gyakorlóblokk...................................................... 32 Tippek és trükkök..................................................... 32 II. a) Feladat: Elsőfokú egyenlet paraméterei................................ 33 II. b) Feladat: A derivált bevezetése a deriváltfüggvény...................... 34 II. c) Feladat: Függvénydominó-játék készítése.............................. 35 II. d) Feladat: Geometriai alakzatokkal kapcsolatos memóriajáték készítése........ 36 7. Kép beszúrása a geometria ablakba....................................... 37 13. Feladat: Szimmetrikus ábrák készítésére szolgáló rajzeszköz................ 37 14. a) Feladat: Kép átméretezése és tükrözése............................... 39 14. b) Feladat: Kép torzítása............................................. 40 14. c) Feladat: A tükrözés tulajdonságainak felfedezése....................... 41

6 8. Szöveg beszúrása a geometria ablakba.................................... 42 15. Feladat: Tükörképpontok koordinátái................................... 42 16. Feladat: Sokszög forgatása........................................... 44 9. III. Gyakorlóblokk...................................................... 46 Tippek és trükkök..................................................... 46 III. a) Feladat: Egyenletrendszer szemléltetése............................... 47 III. b) Feladat: Képek eltolása............................................. 48 III. c) Feladat: Egyenes meredekségének szemléltetése........................ 49 III. d) Feladat: A Louvre piramis felfedezése................................. 51 10. Statikus feladatlapok készítése.......................................... 53 17. a) Feladat: Képek elmentése fájlként.................................... 53 17. b) Feladat: Kép beszúrása Wordbe..................................... 54 11. Dinamikus munkalapok készítése........................................ 56 Bevezetés: A GeoGebraWiki és a Felhasználói fórum.......................... 56 18. a) Feladat: Dinamikus munkalap létrehozása............................. 58 18. b) Feladat: Dinamikus munkalapok továbbfejlesztése...................... 61 18. c) Feladat: Dinamikus munkalapok tanulóknak............................ 62 12. IV. Gyakorlóblokk..................................................... 63 Tippek és trükkök..................................................... 63 IV. a) Feladat: Hasonló mértani alakzatok területei közötti összefüggések......... 64 IV. b) Feladat: Egy háromszög belső szögösszegének szemléltetése.............. 66 IV. c) Feladat: Egész számok összeadásának szemléltetése a számegyenesen...... 67 IV. d) Feladat: Tangram kirakó készítése.................................... 69

7 1. TELEPÍTÉS, BEVEZETÉS A G EOG EBRÁBA 1. Feladat: A GeoGebra telepítése Előkészítés Hozz létre egy GeoGebra_Bevezetes nevű mappát az Asztalon. Útmutatás: Minden fájlt ebbe a mappába ments, hogy a későbbiekben is könnyen megtaláld őket. Telepítés internet-hozzáféréssel Telepítsd a GeoGebra Webstartot Nyisd meg a böngészőt és menj a www.geogebra.org/webstart oldalra. Kattints a GeoGebra Webstart gombra. Megjegyzés: A szoftver telepítése automatikus, minden megjelenő üzenetnél kattints az OK vagy a Tovább gombokra. Útmutatás: Ha van internet-hozzáférésed, a GeoGebra Webstartnak jó néhány előnye van telepítéskor: Nem kell különböző fájlokkal dolgozni, mert a GeoGebra automatikusan települ a számítógépre. A GeoGebra Webstart használatához nem szükséges speciális felhasználói jogokkal rendelkezni, ami különösen iskolai számítógéplaborok és laptopok esetében hasznos. A GeoGebra Webstart telepítés után offline is használható. Ha a telepítés után is van internet-hozzáférésed, a GeoGebra Webstart rendszeresen ellenőrzi, hogy vannak-e frissítések, és azokat automatikusan telepíti, így mindig a legfrissebb GeoGebrával dolgozhatsz. Internetkapcsolat nélküli telepítés A tanfolyam vezetőjétől pendrive-on vagy CD-n megkapod a telepítéshez szükséges fájlokat. Másold a fájlokat az adattárolóról a számítógép GeoGebra_Bevezetes mappájába. Útmutatás: Ellenőrizd, hogy az operációs rendszerednek megfelel-e a fájl. Példa: MS Windows: GeoGebra_3_0_0_0.exe Macintosh: GeoGebra_3_0_0_0.zip Kattints duplán a GeoGebra telepítőfájlra és kövesd a telepítővarázsló utasításait.

8 2. Feladat: A kiegészítő fájlok elmentése Töltsd le a kiegészítő fájlokat, és mentsd el a számítógépre. A tanfolyam vezetőjétől pendrive-on vagy CD-n megkapod a kiegészítő fájlokat, másold az adattárolóról a GeoGebra_Bevezetes_Fajlok (GeoGebra_Introduction_Files) mappát a számítógépen lévő GeoGebra_Bevezetes mappába. VAGY Töltsd le a tömörített (zip) fájlt a www.geogebra.org/book/intro-en.zip oldalról, mentsd el a zip fájlt a GeoGebra_Bevezetes mappába, majd bontsd ki a fájlokat a számítógépre. Az operációs rendszertől függően ezt a következőképpen teheted meg: MS Windows XP esetén jobb egérgombbal kattints a tömörített fájlra, és kövesd a varázsló utasításait. Macintosh esetében duplán kattints a fájlra. Bevezetés: Mi is az a GeoGebra és hogy működik? Mi áll a GeoGebra hátterében? A GeoGebra egy iskolák számára készült dinamikus matematikai szoftver, mely ötvözi a geo - metriát, az algebrát és az analízist. A GeoGebra egyrészt egy dinamikus geometriai program, segítségével pontokkal, vektorokkal, szakaszokkal, egyenesekkel és kúpszeletekkel, valamint függvényekkel lehet szerkesztéseket végezni, miközben az egyes elemek dinamikusan változtathatók. Másrészt egyenletek és koordináták közvetlenül is megadhatók, a GeoGebra számokat, vektorokat és pontokat mint változókat is tud kezelni. Meg tudja határozni függvények deriváltjait és integráljait, illetve olyan parancsok adhatók, melyekkel például gyököket vagy csúcspontokat lehet megkeresni. A GeoGebrát két nézet jellemzi: az algebra ablakban megjelenő kifejezés megfelel egy, a geometria ablakban lévő alakzatnak és fordítva. A GeoGebra felhasználói felülete A GeoGebra felhasználói felülete egy geometriai és egy algebra ablakból áll. Egyrészről a rendelkezésre álló geometriai eszközöket kezelheted az egérrel, így a geometria ablak rajzlapjára lehet geometriai szerkesztéseket készíteni. Ugyanakkor a billentyűzettel a parancssorba közvetlenül is bevihetők algebrai adatok, parancsok és függvények. Míg az alakzatok grafikai képe a geometria ablakban, az algebrai, numerikus formájuk az algebra ablakban látható. A GeoGebra felület rugalmas, és tanítványaid igényeinek megfelelően adaptálható. Ha a szoftvert általános iskolában szeretnéd használni, az algebra ablakot, a parancssort és a koordinátatengelyeket elrejtheted, és dolgozhatsz csak a rajzlappal és a geometriai eszközök-

9 kel. Később, a koordináta-rendszer bevezetésénél az egész koordinátákkal való munka ösztönzésére használhatsz rácsot. A középiskolában az algebrai adatok bevitelét is használhatod, ha tanítványaidat az algebrán át a koordináta-geometriába, analízisbe szeretnéd bevezetni. Az eszközök használatának alapjai A megfelelő ikonra való kattintással aktiválhatod a különböző eszközöket. Az ikonok jobb alsó sarkában lévő nyílra kattintva nyisd meg az eszközkészletet, és válassz ki egy másik eszközt. Útmutatás: Nem kell minden alkalommal megnyitni az eszközkészletet, amikor aktiválni szeretnél egy eszközt; ha a gombon a használni kívánt eszköz ikonja látható, akkor az eszközt a gombra kattintva közvetlenül is aktiválhatod. Útmutatás: Egy eszközkészlet hasonló jellegű eszközöket tartalmaz, illetve olyanokat, melyek ugyanolyan jellegű alakzatokat hoznak létre. Az eszköztáron látható, hogy melyik eszköz aktív, és hogyan használható.

10 2. RAJZOLÁS KONTRA GEOMETRIAI SZERKESZTÉS 3. Feladat: Geometriai és egyéb alakzatok rajzolása Előkészítés Rejtsd el az algebra ablakot és a koordinátatengelyeket (Nézet menü). Jelenítsd meg a koordinátarácsot (Nézet menü). Képrajzolás a GeoGebrával Az egér segítségével használd az alábbi eszközöket, és rajzolj különböző alakzatokat a rajzlapra (pl. négyzetet, téglalapot, házat, fát stb.). Új pont Mozgatás Egyenes két ponton keresztül Szakasz Alakzatok törlése Visszavonás / Újra gombok Rajzlap mozgatása Nagyítás / Kicsinyítés Új! Új! Új! Új! Új! Új! Új! Új! Mit gyakoroljunk? Hogyan választhatunk ki egy már meglévő alakzatot? Útmutatás: Amikor a kurzor egy alakzaton átmegy, a kereszt nyíllá változik, és az alakzat kiemelődik. Az alakzat ekkor kattintással választható ki. Hogyan hozhatunk létre egy pontot egy adott alakzaton? Útmutatás: A létrehozott pont világoskék színű. Az egér mozgatásával mindig ellenőrizd, hogy a pont valóban az alakzaton helyezkedik-e el.

11 Hogyan javíthatjuk a hibákat lépésről lépésre a Visszavonás és az Újra gombokkal? Útmutatás: Jó néhány eszköz hoz létre automatikusan pontokat, ezért ahhoz, hogy ezeket a gombokat használjuk, nincs szükség létrehozott alakzatra. Példa: A Szakasz például alkalmazható már két meglévő pontra, de használhatjuk az üres rajzlapon is. A rajzlapra kattintva jönnek létre a pontok, és megjelenik az ezeket összekötő szakasz. 4. Feladat: GeoGebra-fájlok mentése Mentsd el a rajzaidat! Nyisd meg a Fájl menüt, és válaszd ki a Mentést. A felugró párbeszédablakban válaszd ki a GeoGebra_Bevezetes mappát. Írj be egy fájlnevet. A művelet befejezéséhez kattints a Mentés gombra. Útmutatás: A mentéssel egy.ggb kiterjesztésű fájl jön létre. Ez a kiterjesztés azonosítja a Geo Gebra fájlokat, és jelzi, hogy ezek csak a GeoGebra programmal nyithatók meg. Útmutatás: Megfelelő nevet válassz a fájloknak: kerüld a szóközöket és a speciális karaktereket a fájlnevekben, mert felesleges problémákat okozhatnak, amikor egy másik számítógépre másolod a fájlokat. Használhatsz viszont aláhúzásjelet és nagy - betűket a fájlnevekben (pl.: Elso_Rajz.ggb). Mit gyakoroljunk? Hogyan nyitható új GeoGebra-ablak? (Fájl menü Új ablak) Hogyan nyitható üres GeoGebra-felület ugyanazon ablakban? (Fájl menü Új) Útmutatás: Ha még nem mentetted el a szerkesztésedet, a GeoGebra ezt kérni fogja, mielőtt az üres képernyőt megnyitja. Hogyan nyitható meg egy már létező GeoGebra-fájl? (Fájl menü Megnyitás) A felugró ablakban böngéssz a mappák között. Válassz ki egy GeoGebra-(.ggb kiterjesztésű) fájlt. Kattints a Megnyitás gombra.

12 5. Feladat: Rajzok, Szerkesztések és Mozgatás-teszt Nyisd meg az F05_Rajzolas_szerkesztes_negyzetek.html nevű dinamikus munkalapot. A dinamikus ábrán különbözőképpen szerkesztett négyzeteket láthatunk. Négyzetek, négyzetek, négyzetek... Az alábbi ábrán 6 négyzet látható, vagy csak annak néznek ki? 1. Mozgasd a négyzetek csúcspontjait az egérrel, és írd le megfigyeléseidet. 2. Próbálj meg megfogalmazni egy-egy sejtést arról, hogy hogyan készültek a négyzetek, és írd le ezeket. Vizsgáld meg a négyzeteket úgy, hogy minden csúcsukat mozgasd az egérrel. Találd meg a négyszögek között a valódi négyzeteket, és állapítsd meg, hogy melyek azok, amik csupán látszatra négyzetek. Próbáld meg kitalálni, hogy az egyes négyzeteket hogyan hozták létre, és írd le sejtéseidet. Megbeszélés Mi a különbség egy rajz és egy szerkesztés között? Mi az a Mozgatás-teszt és miért fontos? Miért fontos szerkeszteni az ábrákat rajzolás helyett egy interaktív geometriai programban? Mit kell tudni egy geometriai ábráról ahhoz, hogy egy dinamikus matematikai programmal meg tudjuk szerkeszteni? 6. Feladat: Téglalap szerkesztése Előkészítés A szerkesztés megkezdése előtt tekintsd át a téglalap tulajdonságait. Útmutatás: Ha nem ismered a téglalap szerkesztéséhez szükséges lépéseket, nyisd meg az F06_Teglalap_szerkesztes.ggb fájlt, és használd a navigációs eszköztár gombjait a szerkesztési lépések rekonstruálásához. Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt. Rejtsd el az algebra ablakot, a parancssort és a koordinátatengelyeket. (Nézet menü) Állítsd a Feliratozást Csak új pontok-ra. (Beállítások menü Feliratozás)

13 Új eszközök bevezetése Merőleges és Párhuzamos egyenesek Útmutatás: Kattints egy már meglévő egyenesre és egy pontra, így létrejön a ponton átmenő, az egyenesre merőleges, illetve az egyenessel párhuzamos egyenes. Két alakzat metszéspontja Útmutatás: Kattints két alakzat metszéspontjára, hogy megjelenjen az a metszéspont. Ahhoz, hogy minden metszéspontot megkapj, egymás után kattints a két alakzatra. Sokszög Útmutatás: A sokszög csúcsainak létrehozásához kattints a rajzlapra vagy már meglévő pontokra. Az utolsó és az első csúcs összekötésével tudod bezárni a sokszöget. A csúcsokat mindig az óramutató járásával ellenkező irányban kösd össze. Útmutatás: Ne felejtsd el elolvasni az eszköztár súgóját, ha nem tudod, hogy hogyan kell használni egy eszközt. Útmutatás: Próbálj ki minden új eszközt mielőtt elkezdenél egy szerkesztést. A szerkesztés menete 1 AB szakasz 2 B ponton átmenő, AB szakaszra merőleges egyenes 3 Új, C pont a merőleges egyenesen 4 C ponton átmenő, AB szakasszal párhuzamos egyenes 5 A ponton átmenő, AB szakaszra merőleges egyenes 6 D metszéspont 7 ABCD sokszög (Útmutatás: A sokszög bezárásához kattints újra az első csúcsra.) 8 Mentsd el a szerkesztést.

14 Ellenőrizd a szerkesztést 1. Alkalmazd a mozgatás-tesztet a szerkesztés helyességének ellenőrzéséhez. 2. Jelenítsd meg a navigációs eszköztárat (Nézet menü), hogy szerkesztésedet a nyilakra kattintva lépésről lépésre átnézhesd. 3. Jelenítsd meg a szerkesztő protokollt (Nézet menü), és segítségével nézd át a téglalap szerkesztésének lépéseit. Egy sor mozgatásával próbáld meg a szerkesztés lépéseinek sorrendjét megváltoztatni. Miért NEM működik ez mindig? Töréspontok megadásával csoportosítsd a szerkesztés lépéseit: Jelenítsd meg a Töréspont oszlopot (a szerkesztő protokoll ablak Nézet menüjében). Csoportosítsd a szerkesztés lépéseit úgy, hogy a Töréspont oszlopban a csoport utolsó elemének megfelelő négyzetet bejelölöd. Változtasd meg a beállítást úgy, hogy csak a töréspontok látszódjanak (a szerkesztő protokoll ablak Nézet menüjében). A szerkesztés lépésről lépésre való áttekintéséhez használd a navigációs eszköztárat. Jól állítottad be a töréspontokat? 7. Feladat: Szabályos háromszög szerkesztése Előkészítés A szerkesztés megkezdése előtt tekintsd át a szabályos háromszög tulajdonságait. Útmutatás: Ha nem ismered a szabályos háromszög szerkesztéséhez szükséges lépéseket, nyisd meg az F07_Szabalyos_haromszog_szerkesztes.ggb fájlt, és használd a navigációs eszköztár gombjait a szerkesztési lépések rekonstruálásához. Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt. Rejtsd el az algebra ablakot, a parancssort és a koordinátatengelyeket. (Nézet menü) Állítsd a Feliratozást Csak új pontok-ra. (Beállítások menü Feliratozás) Új eszközök bevezetése Kör középponttal és kerületi ponttal Útmutatás: Az első kattintás hozza létre a középpontot, a második határozza meg a kör sugarát. Alakzat mutatása / elrejtése Útmutatás: Emeld ki azokat az alakzatokat, melyeket el szeretnél rejteni, majd a láthatósági változások alkalmazásához kattints egy másik eszközre. Szög Útmutatás: Kattints a pontokra az óramutató járásával ellentétes sorrendben. A GeoGebra mindig a matematikai pozitív irányban hozza létre a szögeket. Útmutatás: Ne felejtsd el elolvasni az eszköztár súgóját, ha nem tudod, hogy hogyan kell használni egy eszközt. Útmutatás: Próbálj ki minden új eszközt, mielőtt elkezdenél egy szerkesztést.

15 1 AB szakasz A középpontú, B-n átmenő kör 2 Útmutatás: Az A és B pontok mozgatásával ellenőrizd, hogy a kör valóban ezekhez van-e kötve. B középpontú, A-n átmenő kör 3 Útmutatás: A pontok mozgatásával ellenőrizd, hogy a kör valóban ezekhez van-e kötve. 4 A két kör metszéspontja adja meg a C pontot. 5 ABC sokszög az óramutató járásával ellenkező irányban 6 Rejtsd el a köröket. Jelenítsd meg a háromszög belső szögeit. 7 Útmutatás: Ha a sokszöget az óramutató járásával megegyező irányban hoztad létre, akkor most a háromszög külső szögei jelennek meg. 8 Mentsd el a szerkesztést. Ellenőrizd a szerkesztést 1. Alkalmazd a mozgatás-tesztet a szerkesztés helyességének ellenőrzéséhez. 2. Jelenítsd meg a navigációs eszköztárat, vagy használd a szerkesztő protokollt, hogy szerkesztésedet lépésről lépésre átnézhesd. Tedd szemléletesebbé a szerkesztést a Tulajdonságok párbeszédablak segítségével A Tulajdonságok párbeszédablak többféle módon elérhető: Kattints egy alakzatra a jobb egérgombbal (Macintosh esetében Ctrl-kattintás) Válaszd ki a Tulajdonságokat a Szerkesztés menüből Mozgatás módban kattints duplán egy alakzatra Mit gyakoroljunk? Válassz ki különböző alakzatokat a bal oldali listából és fedezd fel a különböző típusú alakzatokhoz tartozó tulajdonságfüleket. Válassz ki egyszerre több alakzatot ahhoz, hogy egyszerre változtathasd meg valamelyik tulajdonságukat. Útmutatás: Tartsd lenyomva a Ctrl gombot (Macintosh esetén a Command gombot) és válaszd ki a kívánt alakzatokat. Válaszd ki az ugyanolyan típusú alakzatokat a megfelelő címsorra kattintva. Jelenítsd meg különböző alakzatoknak az értékét, és próbálj ki néhány feliratstílust. Változtasd meg néhány alakzat tulajdonságait (pl. színét, stílusát).

16 3. I. GYAKORLÓBLOKK Ez a gyakorlóblokk alap- és haladó szintű geometria feladatok gyűjteménye. Az érdeklődésednek megfelelő feladatokat választhatsz, és akár egyénileg, akár kollégáiddal dolgozhatsz rajtuk. Tippek és trükkök Foglald össze a létrehozni kívánt geometriai ábra tulajdonságait. Próbáld meg kitalálni, hogy melyik GeoGebra-eszközöket lehet használni az ábra megszerkesztéséhez felhasználva a fenti tulajdonságokat (pl. derékszög Merőleges eszköz). A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni az eszközöket. Ha nem ismered valamelyik eszköz használatát, aktiváld, és olvasd el az eszköztár súgóját. Minden feladathoz nyiss új GeoGebra-fájlt, rejtsd el az algebra ablakot, a parancssort és a koordinátatengelyeket. Érdemes elmenteni a fájlokat, mielőtt egy új feladathoz fogsz hozzá. Ne feledkezz meg a Visszavonás és az Újra gombokról, ha esetleg hibázol. A szerkesztések ellenőrzéséhez használd gyakran a Mozgatást (pl. valóban egymáshoz vannak-e kötve bizonyos alakzatok, létrehoztál-e felesleges alakzatokat). Amennyiben kérdéseid vannak, kérdezz meg egy kollégát, mielőtt a tanfolyam vezetőihez fordulnál.

17 I. a) Feladat: Négyzet szerkesztése Alapszint Ebben a feladatban az alább látható eszközöket fogod használni. A négyzet megszerkesztése előtt győződj meg róla, hogy tudod, hogyan kell használni ezeket. Szakasz Merőleges Kör középponttal és kerületi ponttal Sokszög Alakzat mutatása / elrejtése Mozgatás Két alakzat metszéspontja Útmutatás: Ha nem vagy biztos a szerkesztés lépéseiben, megnyithatod az F_1a_Negyzet_szerkesztese.html fájlt. A szerkesztés menete 1. Kösd össze az A és B pontokat egy a = AB szakasszal. 2. Szerkessz a B pontban egy, az AB szakaszra merőleges b egyenest. 3. Szerkessz egy B középpontú, A-n átmenő c kört. 4. Keresd meg a c kör és a b egyenes C metszéspontját. 5. Szerkessz az A pontban egy, az AB szakaszra merőleges d egyenest. 6. Szerkessz egy A középpontú, B-n átmenő e kört. 7. Keresd meg a d egyenes és az e kör D metszéspontját. 8. Hozd létre az ABCD sokszöget. Útmutatás: Ne felejtsd el a D pont után az A pontra kattintva bezárni a sokszöget. 9. Rejtsd el a köröket és a merőleges egyeneseket. 10. A szerkesztésed ellenőrzéséhez hajtsd végre a mozgatás-tesztet. Erőpróba: Ki tudsz találni más szerkesztési eljárást?

18 I. b) Feladat: Szabályos hatszög szerkesztése Alapszint Ebben a feladatban az alább látható eszközöket fogod használni. A hatszög szerkesztésének megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni ezeket. Kör középponttal és kerületi ponttal Két alakzat metszéspontja Sokszög Szög Alakzat mutatása / elrejtése Mozgatás Útmutatás: Ha nem vagy biztos a szerkesztés lépéseiben, megnyithatod az F_1b_Hatszog_szerkesztese.html fájlt. A szerkesztés menete 1. Rajzolj egy A középpontú, B-n átmenő kört. 2. Szerkessz egy másik, B középpontú, A-n átmenő kört. 3. Keresd meg a két kör metszéspontjait, így megkapod a C és D csúcspontokat. 4. Szerkessz egy új, C középpontú, A-n átmenő kört. 5. Keresd meg az új és az első kör metszéspontjait, hogy megkapd az E csúcspontot. 6. Szerkessz egy új, D középpontú, A-n átmenő kört. 7. Keresd meg az új és az első kör metszéspontjait, hogy megkapd az F csúcspontot. 8. Szerkessz egy új, E középpontú, A-n átmenő kört. 9. Keresd meg az új és az első kör metszéspontjait, hogy megkapd a G csúcspontot. 10. Hozd létre az FGECBD hatszöget. 11. Jelenítsd meg a hatszög szögeit. 12. A szerkesztésed ellenőrzéséhez hajtsd végre a mozgatás-tesztet. Erőpróba: Próbáld meg megmagyarázni, hogy miért jó ez a szerkesztési eljárás. Útmutatás: Mekkora a körök sugara és miért?

19 I. c) Feladat: Háromszög köré írt köre Haladó szint Ebben a feladatban az alább látható eszközöket fogod használni. A köré írt kör szerkesztésének megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni ezeket. Sokszög Szakaszfelező Kör középponttal és kerületi ponttal Mozgatás Két alakzat metszéspontja Útmutatás: Ha nem vagy biztos a szerkesztés lépéseiben, megnyithatod az F_1c_Haromszog_koreirt_kor_szerkesztese.html fájlt. A szerkesztés menete 1. Rajzolj egy tetszőleges ABC háromszöget. 2. Szerkeszd meg a háromszög minden oldalának az oldalfelező merőlegesét. Útmutatás: A Szakaszfelező eszköz már meglévő szakaszokra alkalmazható. 3. Keresd meg a szakaszfelezők D metszéspontját. Útmutatás: A Két alakzat metszéspontja eszköz nem alkalmazható három egyenes metszéspontjának megkeresésére. Válassz ki 2 szakaszfelezőt egymás után, vagy kattints a metszéspontra, és az ebben a pozícióban megjelenő alakzatok listájából válaszd ki egyenként az egyeneseket. 4. Szerkessz egy D középpontú kört, melynek egyik kerületi pontja a háromszög valamelyik csúcspontja. 5. A szerkesztésed ellenőrzéséhez hajtsd végre a mozgatás-tesztet. Erőpróba: Módosítsd a szerkesztést az alábbi kérdések megválaszolásához: 1. Eshet-e a köré írt kör középpontja a háromszögön kívülre? Ha igen, milyen háromszögek esetében? 2. Próbáld meg megmagyarázni, hogy miért a szakaszfelezőkkel kell a háromszög köré írt körét megszerkeszteni.

20 I. d) Feladat: Thales tételének szemléltetése Haladó szint Mielőtt megkezded a szerkesztést, próbáld ki a 04_Thales_tetel.html nevű dinamikus munkalapot, amely megmutatja, hogy hogyan fedezhetik fel újra a tanulók azt, amit Thales kb. 2600 évvel ezelőtt felfedezett. Ebben a feladatban az alább látható eszközöket fogod használni. A Thales-kör szerkesztésének megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni ezeket. Szakasz Két pontra illeszkedő félkör Új pont Új! Sokszög Szög Mozgatás Útmutatás: Ha nem vagy biztos a szerkesztés lépéseiben, megnyithatod az F_1d_Thales_tetel _szerkesztese.html fájlt. A szerkesztés menete 1. Rajzolj egy AB szakaszt. 2. Szerkessz egy A-n és B-n átmenő félkört. Útmutatás: A pontokra való kattintás sorrendje határozza meg a félkör irányát. 3. Hozz létre egy új C pontot a félkörön. Útmutatás: Mozgasd a C pontot az egérrel, és ellenőrizd, hogy valóban a félkörön fekszik-e. 4. Hozd létre az ABC háromszöget. 5. Jelenítsd meg az ABC háromszög belső szögeit. Erőpróba: Próbáld meg a tételt szemléletesen bizonyítani. Útmutatás: Hozd létre az AB szakasz O felezőpontját, és jelenítsd meg az OC sugarat mint szakaszt.

21 4. ALAPVETŐ ALGEBRAI ADATOK BEVITELE, PARANCSOK ÉS FÜGGVÉNYEK Tippek és trükkök Nevezz el egy új alakzatot úgy, hogy algebrai alakja elé név = -t írsz. Példa: A P = (3, 2) parancs létrehozza a P pontot. A szorzást a csillag karakterrel, vagy a tényezők közötti szóközzel jelölheted. Példa: a*x vagy a x. A GeoGebra kis-nagybetű érzékeny! A kis- és nagybetűket nem szabad összekeverni. Megjegyzés: A pontok mindig nagybetűvel vannak jelölve. Példa: A = (1, 2) A szakaszok, egyenesek, körök, függvények,... mindig kisbetűvel vannak jelölve. Példa: c kör: (x 2)^2 + (y 1)^2 = 16 Egy függvény x változója, valamint egy kúpszelet egyenletében lévő x és y változók mindig kisbetűsek. Példa: f(x) = 3*x + 2 Ha egy algebrai kifejezésen belül vagy egy parancsban szeretnél egy alakzatot használni, mindig létre kell hozni az alakzatot, mielőtt a parancssorban használnád. Példák: Az y = m x + b egy olyan egyenest hoz létre, melynek az m és b paraméterei már létező értékek (pl. számok / csúszkák) Az Egyenes[A, B] parancs a már létező A és B pontokon átmenő egyenest hoz létre. A parancssorba beírt kifejezést az Enter gomb lenyomásával hagyd jóvá. A parancssor bal szélén lévő kérdőjel ikonra kattintva nyisd meg a súgó ablakot, amely segít a parancssor és a parancsok használatában. Hibaüzenetek: Mindig olvasd el a hibaüzeneteket, hiszen ezek segíthetnek a probléma megoldásában. A parancsokat begépelheted, vagy kiválaszthatod a parancssor melletti listából. Útmutatás: Ha nem tudod, hogy egy parancs argumentumába milyen paraméterek szükségesek, gépeld be a parancsot, és nyomd meg az F1-et. A felugró ablakból megismerheted a parancs szintaxisát és a szükséges paramétereket. Parancsok automatikus kiegészítése: A parancs első két betűjének begépelése után a GeoGebra megpróbálja kiegészíteni a parancsot. Ha a GeoGebra a kívánt parancsot javasolja, nyomd meg az Enter gombot, és a kurzor automatikusan a zárójelbe ugrik. Ha a javasolt parancs nem az, amit használni szeretnél, folytasd a gépelést, amíg megjelenik a kívánt parancs.

22 8. a) Feladat: Egy kör érintőinek megszerkesztése (1. Rész) Vissza az iskolába... Nyisd meg az F08_Kor_erintoi.html dinamikus munkalapot. Kövesd a munkalap utasításait a kör érintőinek megszerkesztéséhez. Megbeszélés Melyik eszközöket használtad a szerkesztéshez? Voltak új eszközök a javasolt szerkesztési eljárásban? Ha igen, hogy jöttél rá, hogy hogyan kell ezeket használni? Észrevettél valamit a jobb oldali kisalkalmazás eszköztárjával kapcsolatban? Szerinted a tanítványaid tudnának egy ilyen dinamikus munkalappal dolgozni, és egyedül rájönni a szerkesztési eljárásra? 8. b) Feladat: Egy kör érintőinek megszerkesztése (2. Rész) Mi történik, ha az egér vagy a touchpad nem működik? Képzeld el, hogy az egér vagy a touchpad elromlik, miközben GeoGebra fájlokat szerkesztesz a másnapi órádra. Hogy tudod befejezni a szerkesztést? A GeoGebra a geometriai eszközök mellett algebrai adatok és parancsok bevitelét is lehetővé teszi. Minden eszköznek megfelel egy parancs, és így egér használata nélkül is alkalmazható. Megjegyzés: A GeoGebrában több parancs található, mint eszköz, így nem minden parancsnak felel meg geometriai eszköz. 1. Feladat: Próbáld ki a parancssor melletti lista parancsait, és keress olyan parancsokat, amelyeknek megfelelő geometriai eszközt már használtunk a tanfolyamon.

23 Mint azt a legutóbbi feladatban láthattad, egy kör érintőit meg lehet szerkeszteni kizárólag geometriai eszközök használatával. Most ugyanezt a szerkesztést csak szövegbevitellel fogjuk megcsinálni. Előkészítés Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt. Jelenítsd meg az algebra ablakot és a parancssort, valamint a koordinátatengelyeket (Nézet menü). A szerkesztés menete 1 A = (0, 0) 2 (3, 0) 3 c = Kör[A, B] A pont Útmutatás: Mindenképpen zárd be a zárójelet. B pont Útmutatás: Ha nem adsz meg nevet, az alakzatok ábécé-rendben kapják a nevüket. A középpontú, B-n átmenő kör Útmutatás: A kör egy függő alakzat. Megjegyzés: A GeoGebra megkülönböztet szabad és függő alakzatokat. Míg a szabad alakzatok közvetlenül módosíthatóak az egérrel vagy a billentyűzettel, addig a függő alakzatok a szülőalakzattal együtt változnak. Mindegy, hogy egy alakzatot milyen módon (egérrel vagy billentyűzettel) hoztunk létre eredetileg. 1. Útmutatás: Ahhoz hogy egy alakzat algebrai alakját meg tudd változtatni a billentyűzet segítségével, aktiváld a Mozgatás módot és kattints duplán az alakzatra az algebra ablakban. A változtatás után nyomd meg az Enter gombot. 2. Útmutatás: A szabad alakzatok kontrolláltabb mozgatásához használhatod a nyilakat. Aktiváld a Mozgatás módot és válaszd ki az alakzatot (pl. egy szabad pontot) bármelyik ablakban. Nyomd meg a fel / le vagy a jobb / bal nyilakat az alakzat megfelelő irányú mozgatásához. 4 C = (5, 4) C pont 5 s = Szakasz[A, C] AC szakasz 6 D = Középpont[s] Az AC szakasz D középpontja 7 d = Kör[D, C] D középpontú, C-n átmenő kör 8 Metszéspont[c, d] A két kör E és F metszéspontja 9 Egyenes[C, E] C-n és E-en átmenő érintő 10 Egyenes[C, F] C-n és F-en átmenő érintő

24 A szerkesztés ellenőrzése és szemléletesebbé tétele A szerkesztés helyességének ellenőrzéséhez hajtsd végre a mozgatás-tesztet. Tedd szemléletesebbé a szerkesztést az alakzatok tulajdonságainak változtatásával (szín, vonalvastagság, a segédalakzatok szaggatott vonallal ábrázolva,...). Mentsd el a szerkesztést. Megbeszélés Felmerült-e bármilyen nehézség vagy probléma a szerkesztési eljárás közben? A szerkesztés melyik módját (egérrel vagy billentyűzettel) szereted jobban és miért? Miért vigyük be az adatokat a billentyűzettel, ha ugyanezt megtehetjük az eszközöket használva is? Útmutatás: Vannak olyan parancsok, amelyeknek nincs geometriai eszköz megfelelőjük. Számít, hogy egy alakzatot milyen módon hoztunk létre? Megváltoztatható-e az alakzat mind az algebra ablakban (a billentyűzettel), mind pedig a geometria ablakban (az egérrel)?

25 9. Feladat: Egy másodfokú polinom paramétereinek felfedezése Vissza az iskolába... Ebben a feladatban egy másodfokú polinom paramétereinek jelentését fogod felfedezni. Megtapasztalhatod, hogy hogyan építhető be a GeoGebra egy hagyományos iskolai környezetbe és hogyan használható aktív, tanulóközpontú tanuláshoz. Kövesd a munkalap utasításait, és a GeoGebrával való munka közben írd le az eredményeidet és a megfigyeléseidet. A jegyzeteid segíteni fognak a feladatot követő megbeszélésnél. Egy másodfokú polinom paramétereinek felfedezése 1. Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt. 2. Gépeld be, hogy f(x) = x^2 és üss Entert. Milyen alakú a függvény grafikonja? Írd le válaszodat egy papírra. 3. Mozgatás ( ) módban válaszd ki a polinomot az algebra ablakban, és használd a fel és a le nyilakat. a) Hogyan változik ekkor a polinom grafikonja? Írd le megfigyeléseidet. b) Hogyan változik ekkor a polinom egyenlete? Írd le megfigyeléseidet. 4. Mozgatás ( ) módban ismét válaszd ki a polinomot az algebra ablakban, és ezúttal a balra és jobbra nyilakat használd. a) Hogyan változik ekkor a polinom grafikonja? Írd le megfigyeléseidet. b) Hogyan változik ekkor a polinom egyenlete? Írd le megfigyeléseidet. 5. Kattints duplán a polinom egyenletére Mozgatás módban. A billentyűzet segítségével változtasd az egyenletet f(x) = 3 x^2-re. Útmutatás: A szorzás jelölésére csillagot (*), vagy szóközt használj. a) Írd le, hogyan változik a függvény grafikonja. b) Ismét változtasd meg az egyenletet a paraméternek különböző (pl. 0.5; 2; 0.8; 3) értékeket megadva. Írd le megfigyeléseidet. Megbeszélés Felmerült bármilyen probléma vagy nehézség a GeoGebra használatával kapcsolatban? Hogyan építhető be egy hagyományos iskolai környezetbe egy ilyen típusú feladatmegoldás (GeoGebra papír alapú instrukciókkal ötvözve)? Szerinted lehetséges ezt házi feladatként feladni a tanulóknak? Milyen hatással lehet a diákok tanulására egy polinom paramétereinek dinamikus felfedezése? A matematika milyen más témaköreit lehetne hasonlóan (papír alapú feladatlap és a GeoGebra ötvözésével) tanítani?

26 10. Feladat: Csúszkák használata a paraméterek változtatásához Próbáljunk ki egy dinamikusabb módszert annak felfedezésére, hogy egy f(x) = a x^2 alakú polinom paramétereinek mi a jelentése. A paraméterek változtatásához csúszkákat fogunk használni. Előkészítés Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt. Jelenítsd meg az algebra ablakot, a parancssort és a koordinátatengelyeket (Nézet menü). A szerkesztés menete 1 a = 1 Hozd létre az a változót 2 f(x) = a*x^2 Add meg az f másodfokú polinomot Útmutatás: Ne felejts el egy csillag jelet vagy egy szóközt ütni az a és az x^2 közé. Egy szám csúszkaként való ábrázolása Ahhoz, hogy egy szám csúszkaként jelenjen meg a geometria ablakban, az algebra ablakban jobb egérgombbal kell a változóra kattintani és ki kell választani az Alakzat megjelenítését. A szerkesztés továbbfejlesztése Hozzunk létre egy másik, b csúszkát, amely a polinom f(x) = a*x^2 + b egyenletében a b konstanst változtatja. 3 4 f(x) = a*x^2 + b Hozd létre a b csúszkát a Csúszka eszköz használatával Útmutatás: Aktiváld az eszközt és kattints a rajzlapra. Használd az alapbeállításokat, és kattints az Alkalmazásra. Add meg az f polinomot Útmutatás: A GeoGebra a régi függvényt felül fogja írni az újjal. Feladatok Változtasd az a paramétert a csúszkán lévő pont egérrel való húzogatásával. Hogyan változik ekkor a polinom grafikonja? Mi történik a grafikonnal, amikor a paraméter (a) nagyobb 1-nél, (b) 0 és 1 között van, (c) negatív? Írd le megfigyeléseidet. Változtasd a b paramétert. Hogyan változik ekkor a polinom grafikonja?

27 11. Feladat: Függvénykönyvtárak A polinomokon kívül a GeoGebrában különféle függvények találhatók (pl. trigonometrikus függvények, abszolútérték-függvény, exponenciális függvény). A GeoGebra a függvényeket is alakzatokként kezeli, így geometriai szerkesztésekkel ötvözve használhatók. Megjegyzés: Néhány függvény kiválasztható a parancssor melletti menüből. A GeoGebra által támogatott teljes függvénylista megtalálható az online kézikönyvben (http://www.geogebra.org/help/docuen). Magyarul a http://www.geogebra.org/help/docuhu címen érhető el a kézikönyv. 1. Feladat: Abszolútértékek szemléltetése Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt. Győződj meg róla, hogy az algebra ablak, a parancssor és a koordinátatengelyek látszanak. 1 f(x) = abs(x) Add meg az f abszolútérték-függvényt 2 g(x) = 3 Add meg a konstans g függvényt 3 Keresd meg a két függvény metszéspontját Útmutatás: Ha gondolod, bezárhatod az algebra ablakot, és a nevekkel és értékekkel feliratozhatod az alakzatokat. (a) Mozgasd a konstans g függvényt az egérrel vagy a nyilakkal. A metszéspontok y koordinátája felel meg az x koordináták abszolútértékének. (b) Mozgasd az abszolútérték-függvényt fel és le az egérrel vagy a nyilakkal. Hogyan változik a függvény egyenlete? (c) Hogyan használható ez az ábra ahhoz, hogy a tanulók megismerkedjenek az abszolútérték fogalmával? Útmutatás: A függvény grafikonjának szimmetriája azt sugallja, hogy egy abszolútértékes feladatnak általában két megoldása van.

2. Feladat: Szinuszhullámok szuperpozíciója A hanghullámok matematikailag szinuszhullámok kombinációjaként ábrázolhatók. A zenei hangok több y(t)=a sin(ωt + φ) alakú szinuszhullámból állnak. Az a amplitudó befolyásolja a hang erejét, míg az ω frekvencia határozza meg a hangmagasságot. A φ paramétert fázisnak hívják és azt jelzi, hogy a hanghullámok időben eltolódnak-e. Ha két szinuszhullám interferál, szuperpozíció következik be. Ez azt jelenti, hogy a szinuszhullámok erősítik vagy gyengítik egymást. Ezt a jelenséget szimulálhatjuk a GeoGebrával ahhoz, hogy más a természetben előforduló különleges esetet vizsgálhassunk. 1 2 g(x) = a_1 sin(ω_1 x + φ_1) Hozz létre három csúszkát: az a 1 -et, az ω 1 -et és a φ 1 -et. Útmutatás: Az a 1 szám nevében az _ hatására az 1 alsóindex lesz. A görög betűket a csúszka párbeszédablakban a Név rubrika melletti lenyitható listából választhatod ki. Add meg a g szinuszfüggvényt Útmutatás: A görög betűket ismét a parancssor melletti listából választhatod ki. (a) A csúszkaértékek változtatásával vizsgáld a paraméterek hatását a szinuszfüggvény grafikonjára. 3 Hozz létre három csúszkát: az a 2 -t, az ω 2 -t és a φ 2 -t. 4 5 h(x) = a_2 sin(ω_2 x + φ_2) összeg(x) = g(x) + h(x) Adj meg egy másik, h szinuszfüggvényt. Hozd létre a két függvény összegét. (b) Változtasd meg a függvények színét, hogy könnyebben azonosíthatók legyenek. (c) Állítsd be az értékeket a 1 = 1, ω 1 = 1 és φ 1 = 0-ra. Mely a 2, ω 2, és φ 2 értékek esetén maximális az összeg amplitúdója? Útmutatás: Ebben az esetben maximális a létrejövő hang ereje. (d) Mely a 2, ω 2, és φ 2 értékekre oltják ki egymást a függvények? Útmutatás: Ebben az esetben nem hallható hang.

29 5. KÉPEK EXPORTÁLÁSA A VÁGÓLAPRA A GeoGebra rajzlapját képként exportálhatod a számítógéped vágólapjára. Ezeket a képeket könnyen beszúrhatod szöveges dokumentumokba vagy prezentációkba, így dolgozatokhoz, tesztekhez, jegyzetekhez vagy matematikai játékokhoz tetszetős ábrákat készíthetsz. 12. a) Feladat: Képek exportálása a vágólapra Hozd létre az ábrát Nyiss meg egy új GeoGebra-dokumentumot, és jelenítsd meg az algebra ablakot, a parancssort és a koordinátatengelyeket. 1 f(x)=0.5x 3 +2x 2 +0.2x-1 Add meg az f harmadfokú polinomot 2 R=Gyök[f] Határozd meg az f polinom gyökeit Útmutatás: Ha több gyök van, a GeoGebra indexekkel különbözteti meg ezeket, ha például R =-t gépelsz, akkor (R 1,R 2,R 3 )-nak nevezi el őket. 3 E=Szélsőérték[f] Határozd meg az f polinom szélsőértékeit 4 Hozd létre az f érintőit az E 1 és az E 2 pontban 5 I=Inflexióspont[f] Határozd meg az f polinom inflexiós pontjait Útmutatás: Megváltoztathatod az alakzatok tulajdonságait (pl. a pontok színét, az érintők stílusát, megjelenítheted a függvény nevét és értékét).

30 Kép exportálása a vágólapra A GeoGebra a teljes geometria ablakot exportálja a vágólapra, ezért a GeoGebra-ablakot kicsinyítsd, hogy ne legyen felesleges hely a rajzlapon: Mozgasd az ábrát a rajzlap bal felső sarkába a rajzlap Mozgatás eszközének ( ) segítségével (lásd a bal oldali ábrát alább). Útmutatás: Használhatod a Nagyítás és a Kicsinyítés gombot az ábra exportáláshoz való előkészítéséhez. Kicsinyítsd a GeoGebra-ablakot a jobb alsó sarkának behúzásával (lásd a jobb oldali ábrát alább). Útmutatás: A kurzor alakja változik, ahogy a GeoGebra-ablak szélein vagy sarkain átmegy. A GeoGebra-ablak a méretcsökkentés előtt A GeoGebra-ablak a méretcsökkentés után Használd a Fájl menüt a rajzlap vágólapra való exportálásához: Export Rajzlap vágólapra másolása Útmutatás: Használhatod a Ctrl Shift C billentyűkombinációt is. Az ábrád most a számítógép vágólapján van tárolva és beszúrható bármilyen szövegszerkesztőben vagy prezentációkészítőben.

31 12. b) Feladat: Képek beszúrása szöveges dokumentumba Képek beszúrása a vágólapról Miután a GeoGebrából exportáltunk egy ábrát a számítógép vágólapjára, beszúrhatjuk egy szövegszerkesztőben készülő dokumentumba (pl. MS Wordbe). Nyiss meg egy új szöveges dokumentumot. A Szerkesztés menüben válaszd ki a Beillesztést, ezt követően a kép a kurzor helyén jelenik meg. Útmutatás: A Ctrl V billentyűkombinációt is használhatod. Kép kicsinyítése Ha szükséges, Wordben kicsinyítheted a képet: Kattints duplán a beillesztett képre. Válaszd ki a Méret fület a felugró Kép formázása ablakban. Változtasd a kép magasságát / szélességét vagy cm-ben, vagy százalékban. Kattints az OK gombra. Megjegyzés: Ha egy kép túl nagy ahhoz, hogy egy oldalra elférjen, a Word automatikusan kicsinyíteni fogja, és így a méretek is megváltoznak.

32 6. II. GYAKORLÓBLOKK Ez a gyakorlóblokk olyan feladatok gyűjteménye, melyekkel az adatok algebrai bevitelét, a parancsokat és a függvényeket lehet gyakorolni. Alap- és haladó szintű feladatokat is találsz köztük. Az érdeklődésednek megfelelő feladatokat választhatsz és akár egyénileg, akár kollégáiddal dolgozhatsz rajtuk. Tippek és trükkök Minden feladathoz nyiss új GeoGebra-fájlt, és a feladat megkezdése előtt döntsd el, hogy szükség lesz-e az algebra ablakra, a parancssorra és a koordinátatengelyekre. Érdemes elmenteni a fájlokat, mielőtt egy új feladathoz fogsz hozzá. Ne feledkezz meg a Visszavonás és az Újra gombokról, ha esetleg hibázol. A szerkesztések ellenőrzéséhez használd gyakran a Mozgatást (pl. valóban egymáshoz vannak-e kötve bizonyos alakzatok, létrehoztál-e felesleges alakzatokat). Algebrai kifejezések és függvények megadásánál ellenőrizd, hogy ismered-e ezek szintaxisát. Ha gondjaid vannak, olvasd át a 4. fejezet (Alapvető algebrai adatok bevitele, parancsok és függvények) Tippek és trükkök részét, vagy kérj segítséget kollégáidtól. Alaposan ellenőrizd a megadott algebrai adatot, mielőtt Entert ütsz. Ha hibaüzenet jelenik meg, olvasd el, hiszen segíthet a hiba elhárításában. A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni az eszközöket. Ha nem ismered valamelyik eszköz használatát, aktiváld, és olvasd el az eszköztár súgóját. Amennyiben kérdéseid vannak, kérdezz meg egy kollégát, mielőtt a tanfolyam vezetőihez fordulnál.

33 II. a) Feladat: Elsőfokú egyenlet paraméterei Alapszint Ebben a feladatban az alább látható eszközöket, algebrai inputokat és parancsokat fogod használni. A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni ezeket. Csúszka Egyenes: y = m x + b Szakasz Metszéspont[Egyenes, ytengely] Két alakzat metszéspontja Meredekség Alakzat mutatása / elrejtése Mozgatás Útmutatás: Ha gondolod, először megnyithatod az F_2a_egyenes_parameterei.html fájlt. A szerkesztés menete 1. A következőt gépeld a parancssorba: Egyenes: y = 0.8 x + 3.2 1. Feladat: Változtasd meg az egyenest az algebra ablakban a nyilakkal. Melyik paramétert tudod így változtatni? 2. Feladat: Mozgasd az egyenest a geometria ablakban az egérrel. Milyen transzformációt tudsz így végrehajtani az egyenesen? 2. Töröld ki az egyenest. Hozz létre egy m és egy b csúszkát, a csúszka alapbeállításait használva. 3. A következőt gépeld a parancssorba: Egyenes: y = m x + b Útmutatás: Ne felejts el egy csillag karaktert, vagy egy szóközt ütni a szorzás jelzésére. 4. 3. Feladat: Írj útmutatást a tanítványaidnak, melynek segítségével megvizsgálhatják a csúszkákat használva az egyenlet paramétereinek hatását az egyenesre. Az útmutatást papíron is oda lehet nekik adni a GeoGebra-fájllal együtt. Erőpróba: Tedd szemléletesebbé a szerkesztést a meredekség és az y-tengelymetszet megjelenítésével. 5. Hozd létre az egyenes és az y tengely metszéspontját. Útmutatás: Használd a Metszéspont eszközt ( ) vagy a Metszéspont[Egyenes, ytengely] parancsot. 6. Hozz létre egy pontot az origóban, és húzd meg a két pontot összekötő szakaszt. 7. Használd a Meredekség eszközt ( ), és hozd létre az egyenes meredekségét (háromszög). 8. Rejtsd el a felesleges alakzatokat, és módosítsd a látható alakzatok megjelenését.

34 II. b) Feladat: A derivált bevezetése a deriváltfüggvény Haladó szint Ebben a feladatban az alább látható eszközöket, algebrai inputokat és parancsokat fogod használni. A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni ezeket. f(x) = x^2/2 + 1 Új pont Érintő Új! S = (x(a), meredekség) Szakasz Mozgatás meredekség = Meredekség[t] Útmutatás: Ha gondolod, először megnyithatod az F_2b_meredekseg_fuggveny.html fájlt A szerkesztés menete 1. Add meg a következő polinomot: f(x) = x^2/2 + 1 2. Hozz létre egy új A pontot az f függvényen. Útmutatás: Az A pont mozgatásával ellenőrizd, hogy valóban a függvény grafikonján marad-e. 3. Hozd létre az f függvény A pontbeli t érintőjét. 4. Hozd létre a t érintő meredekségét a meredekség = Meredekség[t] paranccsal. 5. Definiáld az S pontot az alábbi módon: S = (x(a), meredekség) Útmutatás: Az x(a) az A pont x koordinátáját adja meg. 6. Kösd össze az A és az S pontokat egy szakasszal. 7. Feladat: Mozgasd az A pontot a grafikon mentén, és fogalmazz meg sejtést az S pont által bejárt úttal kapcsolatban, amely megfelel a deriváltfüggvénynek. Erőpróba: Próbáld meg kitalálni a deriváltfüggvény egyenletét. 8. Állítsd be, hogy látható legyen az S pont nyomvonala. Sejtésed ellenőrzéséhez mozgasd az A pontot. Útmutatás: A jobb egérgombbal kattints az S pontra (Macintoshon Ctrl + kattintás), és kattints a Nyomvonalra. 9. Találd ki a keletkező deriváltfüggvény egyenletét. Add meg a függvényt, és mozgasd az A pontot. Ha a megadott egyenlet helyes, akkor az S nyomvonala meg fog egyezni az egyenlet grafikonjával. 10. Változtasd az eredeti f polinom egyenletét, hogy új problémát kapj.

35 II. c) Feladat: Függvénydominó-játék készítése Alapszint Ebben a feladatban függvénygrafikonok vágólapra való exportálását, majd ezek szövegszerkesztőbe való beszúrását gyakorolhatod, és így egy függvénydominó játékot készíthetsz. A feladat megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan lehet különböző függvényeket megadni. Készítési eljárás 1. Adj meg egy tetszőleges függvényt. Példa: e(x) = exp(x) 2. Mozgasd a függvény grafikonját a rajzlap bal felső sarkába, majd igazítsd hozzá a Geo- Gebra-ablak méretét. 3. Exportáld a rajzlapot a vágólapra (Fájl menü Export Rajzlap vágólapra másolása). 4. Nyiss meg egy új dokumentumot egy szövegszerkesztőben. 5. Hozz létre egy táblázatot (Táblázat menü Beszúrás Táblázat...), melynek 2 oszlopa és jó pár sora legyen. 6. Helyezd a kurzort a táblázat egyik cellájára. Szúrd be a függvénygrafikont a vágólapról (Szerkesztés menü Beillesztés, vagy Ctrl V billentyűkombináció) 7. Ha szükséges, állítsd be a kép méreteit (kattints duplán a képre, hogy megjelenjen a Kép formázása párbeszédablak, majd kattints a Méret fülre). 8. A kép melletti cellába írd be egy másik függvény egyenletét. Útmutatás: Használhatsz egyenletszerkesztőt. 9. Ismételd meg az 1-8 lépéseket különböző függvényekkel (pl. trigonometrikus, logaritmikus). Útmutatás: Győződj meg róla, hogy a függvény grafikonját és egyenletét külön dominókártyákra tetted.