Geometriai transzformációk

Geometriai transzformációk 11 elemi geometriafeladat 10. és DG Matektábor 2016. október 6.

Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 2 / 87

Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 2 / 87

Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Pont körüli elforgatás 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 2 / 87

Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Pont körüli elforgatás Párhuzamos eltolás 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 2 / 87

Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Pont körüli elforgatás Párhuzamos eltolás Középpontos hasonlóság 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 2 / 87

Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Pont körüli elforgatás Párhuzamos eltolás Középpontos hasonlóság Forgatva nyújtás: S(E, FED, ED EF ) 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 2 / 87

1. Feladat z DEF hatszög oldalai párhuzamosak. izonyítsuk be, hogy ha EF = ED = F D > 0, akkor a hatszög szögei egyenlők. F D E 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 3 / 87

Megoldás P R Q F D E EF -et eltoljuk F -ral P -t eltoljuk -ral Q D -t eltoljuk DE -ral R 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 4 / 87

P R Q F D E z eltolások miatt EF = PQ, F D = PR és ED = RQ. Ezekről tudjuk, hogy egyenlőek PQR szabályos 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 5 / 87

P R Q F D E a kék szögek 60 -osak a dupla szögek (külső szögek) 120 -osak DE = 120 és DR = DER = 60. Ugyanígy a többi paralelogrammában. 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 6 / 87

P R Q F D E Tehát a hatszög minden szöge 120 -os. 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 7 / 87

2. Feladat D konvex négyszögben D =. Legyen D oldal felezőpontja E, oldalé F. D és FE egyenesek metsszék egymást H pontban, és FE egyenesek G pontban. Mutassuk meg, hogy: HF = GF 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 8 / 87

Megoldás D négyszög: D H G E F I 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 9 / 87

E és F felezőpont: D H G E I F 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 10 / 87

Toljuk el szakaszt vektorral I. H D G E I F 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 11 / 87

I paralelogramma. F felezőpontja szakasznak, így I -nek is. D H G E I F 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 12 / 87

DI -ben EF középvonal EF DI H G D E I F 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 13 / 87

EF DI és I GF = ID H G D E I F 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 14 / 87

I = = D ID = DI H G D E I F 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 15 / 87

EF DI HF = DI = ID = GF H G D E I F 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 16 / 87

3. Feladat D négyszögben legyen D oldal felezőpontja M, oldalé N. Ha 2MN = + D, akkor bizonyítsuk be, hogy D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 17 / 87

Megoldás M és N felezőpont: D M N 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 18 / 87

Indirekt: Tegyük fel, hogy: 2MN = + D, de D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 19 / 87

Tükrözzük az ábrát N pontra. D M N 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 20 / 87

2MN = MM + D = D + > D M D N M D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 21 / 87

4. Feladat Egy szabályos háromszögben van egy P pont úgy, hogy P = 3, P = 4 és P = 5 Mekkora a háromszög kerülete? 4 5 P 3 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 22 / 87

1. Megoldás Szabályos háromszög Ha egy szabályos háromszögnek tudjuk a oldalát, akkor a háromszög területe a m 2 = a 2 3 4. Ha a területe T, akkor meg az oldala 3 4 T. m D f a 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 23 / 87

Forgassuk el P -et pont körül 60 -kal.. Így keletkezett egy P szabályos, és egy 3, 4, 5 oldalú háromszög. 4 5 P 3 3 5 3 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 24 / 87

Úgyanígy 60 -kal forgassuk el P -et, körül, és P -et körül. Így keletkezik egy hatszög, aminek a területe az eredeti háromszög területének kétszerese. 3 5 5 5 4 4 P 4 3 3 5 3 4 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 25 / 87

Keletkezett három szabályos, és három 3,4,5 oldalú, melyeknek egyenként tudjuk a területét. 3 3 3 3 6 + 9 4 + 16 4 + 25 4 = 3 3 = 18 + 50 = 18 + 25 4 2 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 26 / 87

T = 18 + 25 3 2 2 4 a = 18 + 25 3 2 3 2 = 4 36 + 25 3 3 4 = = 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 27 / 87

4 = 36 + 25 3 = 3 4 36 3 + 25 3 = = 3 = 12 3 + 25 K = 3 12 3 + 25 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 28 / 87

2. Megoldás 4 P -et elforgatjuk körül 60 -kal. 60 3 3 P 3 P 5 4 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 29 / 87

2. Megoldás 60 3 3 4 P 3 P 5 4 P -et elforgatjuk körül 60 -kal. PP = 60 a forgatás miatt PP szabályos PP = 3 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 29 / 87

60 P P M PP -ben PP = 3, P = 4 és P = 5 PP = 90 (Pitagoraszi számhármas) 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 30 / 87

60 P P M PP -ben PP = 3, P = 4 és P = 5 PP = 90 (Pitagoraszi számhármas) Álĺıtsunk merőlegest P -re -ből M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 30 / 87

P 60 60 30 P M P P = 60 és PP = 90 P M = 30 P M egy szabályos fele M = 2, P M = 2 3 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 31 / 87

P 60 60 30 P M P P = 60 és PP = 90 P M = 30 P M egy szabályos fele M = 2, P M = 2 3 M -ben alkalmazva a Pitagorasz-tételt 2 = (3 + 2 3) 2 + 2 2 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 31 / 87

= 25 + 12 3 = 6, 7664 P 60 60 30 P M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 32 / 87

P = 25 + 12 3 = 6, 7664 Ker = 3 = 3 6, 7664 = 20, 2992 60 60 30 P M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 32 / 87

5. Feladat D egy egység oldalú négyzet. P, Q, M és N pontok,, D és D oldalakon helyezkednek el úgy, hogy P + N + Q + M = 2. izonyítsuk be, hogy PM QN 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 33 / 87

Megoldás P + N + Q + M = 2 D N M Q P 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 34 / 87

90 -os forgatás után. Q D M M N P Q D N P 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 35 / 87

feladat meghatározása miatt tudjuk, hogy: P + N + Q + M = 2 P + N = 2 Q M z ábrárol látszik, hogy: MQ = 2 Q M Q D M M N P Q D N P 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 36 / 87

Tehát P + N = MQ és párhuzamosak is. Vagyis Q MPN egy paralelogramma,ezért Q N MP Q D M M N P Q D N P 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 37 / 87

Tehát a 90 -os forgatás előtt: PM QN Q D M M N β = 90 α = 90 P Q D N PF 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 38 / 87

6. Feladat háromszögben,. külső szögfelezője E pontban metszi körüĺırt körét. Legyen E-ből -ra álĺıtott merőleges talppontja F. izonyítsuk, hogy: 2F = 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 39 / 87

Megoldás 2F = E F 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 40 / 87

Mérjük fel -t -re D. E D F 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 41 / 87

Tehát tudjuk, hogy = D és E = E valamint, E = ET = E = E E = E E F D T 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 42 / 87

ED = E T E F D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 43 / 87

E = ED ED egyenlőszárú. Tehát EF magasság felezi az alapot. Vagyis: 2F = E F D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 44 / 87

2. Megoldás E D F Tükrözzük -t az F-re D.Kellene, hogy D =. 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 45 / 87

E D F Ha E -t E körül elforgatjuk, akkor ED -t kellene kapnunk, mert akkor = D. 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 46 / 87

E D F Ha E -t E körül elforgatjuk, akkor ED -t kellene kapnunk, mert akkor = D. Kellene, hogy = E = DE. 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 46 / 87

E D = E, mert -n lévő kerületi szögek. 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 47 / 87

E D = E, mert -n lévő kerületi szögek. DE egyenlőszárú ED = ED DE = 180 2ED = 180 2ED 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 47 / 87

7. Feladat z O középpontú kör áthalad és csúcsán és elmetszi és oldalakat K és N pontokban. és KN körül írt körei és M pontokban metszik egymást. izonyítsuk be, hogy OM = 90 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 48 / 87

O K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 49 / 87

Megoldás Legyen t egy O-n áthaladó M-re egyenes t O K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 50 / 87

Ha M pont a t egyenesre esik OM = 90 t O K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 51 / 87

, K pontokat tükrözzük t tengelyre, K t O K K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 52 / 87

t, KK t, M t KK M t O K K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 53 / 87

Legyen α = K = α mert K az egyenesen fekszik t α O K K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 54 / 87

K és K kerületi szögek K = α t O K K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 55 / 87

NK = 180 α, NK és MK is kerületi szögek, ezért NK = MK = α t O K K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 56 / 87

M és MK = K K és MK váltószögek, K, M egy egyenesre esik t O K K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 57 / 87

K tükörképe t-re K K = K t O K K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 58 / 87

M = 180 α mivel M húrnégyszög t O K K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 59 / 87

MT = α, mert M = 180 α t O K K N M T 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 60 / 87

M = α mert egyállású szög MT -gel t O K K N M T 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 61 / 87

M = 180 2α M egy egyenlőszárú M csúccsal és t szimmetriatengellyel, tehát t átmegy M-en t O K K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 62 / 87

t O K K N M T 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 63 / 87

8. Feladat ED = 20,D = 60 DE = 30,E = 50 ED =? E D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 64 / 87

Megoldás Tükrözzük D-t az szögfelezőjére F E G D M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 65 / 87

Megoldás Tükrözzük D-t az szögfelezőjére F E G D G és DGF egyenlő oldalú. Kellene, hogy FE = EG, mert akkor FED DEG. M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 65 / 87

G = = E EG egyenlőszárú EG = 80. F D E G M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 66 / 87

G = = E EG egyenlőszárú EG = 80. E F G D EGF = FG EG = 120 80 = 40. FEG = 180 GE = 100. M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 66 / 87

GFE = 40 = FGE EF = EG ez kellett. F D E G M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 67 / 87

GFE = 40 = FGE EF = EG ez kellett. ED = FD 2 = 30. F D E G M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 67 / 87

9. Feladat Egy háromszögben, = 60. O pont úgy helyezkedik el, hogy O = O = O. E és F pontok és oldalak felezőpontjai. izonyítsuk be, hogy, E, O és F pontok egy körön helyezkednek el. 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 68 / 87

E 120 O F 60 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 69 / 87

Megoldás O = O 60 O O 60 O 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 70 / 87

O és O hasonló 60 O 120 O 120 60 O 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 71 / 87

O -t nagyítjuk/kicsinyítjük / aránnyal E E O 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 72 / 87

z O -t elforgatjuk +120 kal O pont körül ekkor O = O és E = F E O = F=E = 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 73 / 87

EOF = 120, és mivel = 60 következik, hogy O,E, és F pontok egy körön vannak. E s O = 120 t F=E 60 = 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 74 / 87

EOF = 120, és mivel = 60 következik, hogy O,E, és F pontok egy körön vannak. E s O = 120 t F=E 60 = 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 75 / 87

10. Feladat egy szabályos, és oldalakon úgy helyezkednek el M és P pontok, hogy MP -vel. MP súlypontja D és P felezőpontja E. Határozzuk meg DE szögeit. M E D P 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 76 / 87

Megoldás D K M E H P 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 77 / 87

Megoldás D K Forgatva kicsinyítsük P szakaszt D körül M E H P 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 77 / 87

Megoldás D K Forgatva kicsinyítsük P szakaszt D körül M E H P K, H és E egy egyenesre esik P = M = KE KH 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 77 / 87

D K -ből E ED = 60 & DE = 1 2 D M E H P 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 78 / 87

E D DE egy szabályos fele 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 79 / 87

E D DE egy szabályos fele Szabályos D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 79 / 87

11. Feladat Legyen DEF egy konvex hatszög, amiben teljesül, hogy + D + F = 360 és D DE EF F = 1. izonyítsd be, hogy E EF FD D = 1? 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 80 / 87

F D DE EF F = 1 Kéne: E E EF FD D = 1 D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 81 / 87

Mivel + D + F = 360 ezért, hogyha megcsináljuk a következő két forgatást: S(E, FED, ED/EF ) és S(, D, D/) akkor D, és egy egyenesre esnek. F E D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 82 / 87

forgatás miatt D = F ED EF D = D F E D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 83 / 87

Ha ezt a kettőt egyenlővé teszem, és leosztok F ED EF -fell, akkor kijön, hogy F D EF ED = 1 amiről tudjuk, hogy igaz. Tehát F E D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 84 / 87

Hasonlóságok miatt: EF = ED DEF = E ; DE/FE = E/E DEF E F E D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 85 / 87

Ugyanígy D Tehát = D = FD E EF Ebből az következik, hogy E EF FD F D = 1 E D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október 6. 86 / 87

Köszönjük a figyelmet! arta Gergely, Formanek alázs, Gáll Péter, Horváth ndor, Kiss Mária, Kovács Máté, Szendi Ágoston, Telek enjámin Felkészített: Groma Tanárnő Forrás: Mathematical Excalibur 13/2 2016. október 6.