) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi a télikabát leszállított ára? 40000 0, 9 6000 Összesen: pont ) Egy téglatest egy csúcsból kiinduló éleinek hossza 5 cm, cm és 8 cm. Számítsa ki a téglatest felszínét! Írja le a számítás menetét! ( pont) A 5 5 8 8 79 Tehát a téglatest felszíne 79 cm. Összesen: pont 4) Egy kör sugara 6 cm. Számítsa ki ebben a körben a 0 -os középponti szöghöz tartozó körcikk területét! r t cm 60 7,7 cm Összesen: pont 5) Döntse el, hogy az alább felsoroltak közül melyik mondat a tagadása a következő állításnak! Minden érettségi feladat egyszerű. Minden érettségi feladat bonyolult. Van olyan érettségi feladat, ami nem egyszerű. c) Sok érettségi feladat bonyolult. d) Van olyan érettségi feladat, ami egyszerű. Van olyan érettségi feladat, ami nem egyszerű. Összesen: pont
6) Egy 5 cm sugarú kör középpontjától cm-re lévő pontból érintőt húzunk a körhöz. Mekkora az érintőszakasz hossza? Írja le a számítás menetét! ( pont) Ábra felrajzolása: Az ABC háromszögben alkalmazzuk a Pitagorasz tételét: e cm 7) Az ábrán egy -4;4 e 5 Összesen: pont intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki, hogy melyik formula adja meg helyesen a függvény hozzárendelési szabályát! c) d) Összesen: pont 8) Egy lakástetil üzlet egyik polcán 80 darab konyharuha van, amelyek közül 0 darab kockás. Ha véletlenszerűen kiemelünk egy konyharuhát, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy az kockás? 80 0 vagy 4 vagy 0,5 vagy 5% Összesen: pont 9) Adja meg azoknak a 0 és 60 közötti szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség! sin
A számológépbe beírva megoldást kapunk 45 Viszont van egy másik megoldás is 80 5 Összesen: pont 0) Rajzoljon egy olyan öt csúcspontú gráfot, amelynek 4 éle van! Több megoldás is elképzelhető, például: Összesen: pont ) Egy henger alakú fazék belsejének magassága 4 cm, belső alapkörének átmérője 0 cm. Meg lehet-e főzni benne egyszerre 5 liter levest? Válaszát indokolja! Belefér 5 liter leves? (4 pont) V r m 0 4 V 498 cm³ Tehát az 5 liter leves nem fér bele a fazékba, mivel a 49 cm³ kevesebb, mint az 5000 cm³. Összesen: 4 pont ) Adottak az a 4; és b ; vektorok. Adja meg az a hosszát! Számítsa ki az a b koordinátáit! a 4 5 a b 4 ; ;4 Összesen: 4 pont
II/A. ) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! 4 5 lg lg4 5 5 4 (5 pont) (7 pont) Tehát Visszahelyettesítéssel az eredeti egyenletbe megbizonyosodtunk róla, hogy az 5 5 megoldás helyes Értelmezési tartomány: 4) Logaritmus-azonosság alkalmazásával: lg4 A logaritmus definíció alapján: 4 6 Ellenőrzés, visszahelyettesítés Összesen: pont Iktasson be a 6 és az 6 közé két számot úgy, hogy azok a megadottakkal együtt egy számtani sorozat szomszédos tagjai legyenek! (5 pont) Számítsa ki a 6 és az 6 közötti néggyel osztható számok összegét! (7 pont) A sorozat tagjai: 6; 6 + d; 6 + d; 6 6 + d = 6 d = 59 Az első beiktatott szám: 545 A második beiktatott szám: 084 A feltételeknek megfelelő számok: 8; ; 6; ; 60 Ezek a számok egy számtani sorozat egymást követő tagjai 60 8 4 n n 404 8 60 S n 404 Sn 8856 Összesen: pont
5) Egy sportuszoda 50 méteres medencéjében egy edzés végén úszóversenyt rendeztek. A versenyt figyelve az edző a következő grafikont rajzolta két tanítványának, Robinak és Jánosnak az úszásáról. Olvassa le a grafikonról, hogy mennyi volt a legnagyobb távolság a két fiú között a verseny során mikor előzte meg János Robit c) melyikük volt gyorsabb a 5. másodpercben! A 400-as gyorsváltó házi versenyén a döntőbe a Delfinek, a Halak, a Vidrák és a Cápák csapata került. d) Hányféle sorrend lehetséges közöttük, ha azt biztosan tudjuk, hogy nem a Delfinek csapata lesz a negyedik? ( pont) e) A verseny után kiderült, hogy az élen kettős holtverseny alakult ki, és a Delfinek valóban nem lettek az utolsók. Feltéve, hogy valakinek csak ezek az információk jutottak a tudomására, akkor ennek megfelelően hányféle eredménylistát állíthatott össze? (4 pont) 5 méter A 0. másodpercnél, vagy a. másodpercnél c) János d) A lehetséges sorrendek száma: e) Két esetet kell megvizsgálni 8 ( pont) Ha a Delfinek holtversenyben az első helyen végeztek, akkor: a lehetséges sorrendek száma Ha a Delfinek nem lettek elsők, akkor a megoldás A lehetséges sorrendek száma összesen 9 Összesen: pont
II/B. 6) Adott a síkon az Állapítsa meg, hogy az A(7;7) pont illeszkedik-e a körre! Határozza meg a kör középpontjának koordinátáit és a kör sugarát! (5 pont) c) Legyenek és egy egyenlő szárú háromszög alapjának végpontjai. A háromszög C csúcsa rajta van az y y 47 0 egyenletű kör. A(7;7) B(0; 0) y y 47 0 egyenletű körön. Számítsa ki a C csúcs koordinátáit! 49 49 4 4 47 0 Tehát a pont nem illeszkedik a körre. y 49 K ; (0 pont) ( pont) r 7 c) A háromszög harmadik csúcsa az alap felezőmerőlegesén van. Az AB oldal felezőpontja: F (,5;,5) Az AB oldal felezőmerőlegesének normálvektora n (7;7) A felezőmerőleges egyenlete + y = 7 A háromszög harmadik csúcsát a kör és a felezőmerőleges metszéspontja adja: y C y 49 y 7 5 6 0 6 y 8 6; C ; 8 Összesen: 7 pont
7) Egy teherautóval több zöldségboltba almát szállítottak. Az egyik üzletbe 60 kg jonatánt, 5 kg starkingot, 50 kg idaredet és 95 kg golden almát vittek. A jonatán és az idared alma kilóját egyaránt 0 Ft-ért, a starking és a golden kilóját 85 Ft-ért árulta a zöldséges. Hány százalékkal volt drágább a jonatán alma kilója a goldenéhez képest? Mennyi bevételhez jutott a zöldséges, ha a teljes mennyiséget eladta? c) A zöldségeshez kiszállított árukészlet alapján számítsa ki, hogy átlagosan mennyibe került nála kg alma! ( pont) d) Ábrázolja kördiagramon a zöldségeshez érkezett alma mennyiségének fajták szerinti megoszlását! (6 pont) A jonatán alma mérete kisebb, mint az idaredé, így abból átlagosan 5%- kal több darab fér egy ládába, mint az idaredből. Rakodásnál mindkét fajtából kiborult egy-egy tele láda alma, és tartalmuk összekeveredett. e) A kiborult almákból véletlenszerűen kiválasztva egyet, mekkora a valószínűsége annak, hogy az jonatán lesz? (4 pont) 0,4 85 Kb. 4%-kal drágább a jonatán alma Tehát 550 Forint bevételhez jutott a zöldséges. c) Az összes alma mennyisége 540 kg. 60 0 50 0 95 85 5 85 550 Átlagos almaár: 550 98,6 540 Tehát átlagosan 98,6 Forintba került egy alma. d) Az egyes almafajták mennyiségéhez tartozó középponti szögek: 60kg: 60 60 40 540 5 kg: 90 50 kg: 00 95 kg: 0 Kördiagram: (4 pont) e) A kiborult jonatán és idared almák darabszámának aránya:,4: A keresett valószínűség:,5 5 0,56,5 9 Összesen: 7 pont
8) Egy zeneiskola minden tanulója szerepelt a tanév során szervezett három hangverseny, az őszi, a téli, a tavaszi koncert valamelyikén. 0- an voltak, akik az őszi és a téli koncerten is, -an, akik a télin és a tavaszin is, és 8-an, akik az őszi és a tavaszi hangversenyen is szerepeltek. 0 olyan növendék volt, aki mindhárom hangversenyen fellépett. Írja be a halmazábrába a szövegben szereplő adatokat a megfelelő helyre! (4 pont) A zeneiskolába 88 tanuló jár. Azok közül, akik csak egy hangversenyen léptek fel, kétszer annyian szerepeltek tavasszal, mint télen, de csak negyedannyian ősszel, mint tavasszal. Számítsa ki, hogy hány olyan tanuló volt, aki csak télen szerepelt! (8 pont) c) tanuló jár az A osztályba, 8 pedig a B-be. Egy ünnepélyen a két osztályból véletlenszerűen kiválasztott 0 tanulóból álló csoport képviseli az iskolát. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mind a két osztályból pontosan 5-5 tanuló kerül a kiválasztott csoportba? (5 pont) A 8; 0; 0; számokat kell beírni a metszetekbe. (4 pont)
Csak télen szerepelt: tanuló Csak tavasszal szerepelt: tanuló Csak ősszel szerepelt: tanuló Az egyenlet: 0 0 8 88 Ebből Tehát 4 olyan tanuló van, aki csak télen szerepelt 4 c) Az A osztályból 5 tanulót 5 -féleképpen választhatnak ki. A B osztályból 5 tanulót 8 -féleképpen választhatnak ki. 5 8 A kedvező esetek száma: 5 5 Az összes esetek száma: 60 0 8 5 5 A keresett valószínűség tehát: 0,6 60 0 Összesen: 7 pont