Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi. Jelölés: A ~ B. Megjegyzés: Minden alakzat hasonló önmagához: A ~ A (reflexív). Ha A ~ B, akkor B ~ A (szimmetrikus). Ha A ~ B és B ~ C, akkor A ~ C (tranzitív). Hasonló alakzatok megfelelő oldalaik hosszának aránya egyenlő, s ez a hasonlóság aránya. Hasonló alakzatok megfelelő szögeinek nagysága egyenlő. Bármely két kör hasonló egymással. TÉTEL: (Háromszögek hasonlóságának alapesetei) Két háromszög akkor és csak akkor hasonló, ha a következő feltételek egyike teljesül: megfelelő oldalaik hosszának aránya páronként egyenlő 2 2 oldalhosszuk aránya egyenlő és az ezek által közbezárt szögek nagysága egyenlő 2 2 szögük páronként egyenlő nagyságúak 2 2 oldalhosszuk aránya egyenlő és e 2 2 oldal közül a nagyobbikkal szemközt levő szögek nagysága egyenlő Megjegyzés: Ha 2 háromszögre a fenti 4 feltétel közül bármelyik teljesül, akkor van olyan hasonlósági transzformáció, amelyik az egyik háromszöget a másikba viszi. TÉTEL: Két sokszög akkor és csak akkor hasonló, ha megfelelő oldalhosszaik aránya páronként egyenlő és megfelelő szögeik páronként egyenlő nagyságúak. Megjegyzés: Csak az egyik, illetve csak a másik tulajdonság nem elegendő a hasonlósághoz. 1
TÉTEL: A háromszög bármely két súlyvonala úgy metszi egymást, hogy a metszéspont mindkét súlyvonalat 1 2 arányban osztja két részre, a nagyobb rész másik végpontja a háromszög csúcsa. Megjegyzés: A súlypont a súlyvonalnak a háromszög csúcsától távolabbi harmadoló pontja. TÉTEL (Magasság tétel): Derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának hossza mértani közepe azon két szakasz hosszának, amelyekre a magasság az átfogót osztja. Jelölés: m = p q. TÉTEL (Befogó tétel): Derékszögű háromszög befogójának hossza mértani közepe az átfogó és a befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete hosszának. Jelölés: a = p c és b = q c. TÉTEL (Érintő szakasz tétele): Adott körhöz adott külső pontból húzott érintőszakasz hossza mértani közepe azon két szakasz hosszának, amelyek az adott pontra illeszkedő szelőn a ponttól a körrel alkotott metszéspontokig terjednek. Jelölés: PE = PA PB. 2
TÉTEL (Külső pontból húzott szelőszakaszok tétele): Adott körhöz adott külső P pontból húzott szelőszakaszok hosszának szorzata állandó. Jelölés: PA PB = PA PB. TÉTEL (Belső pontból húzott szelőszakaszok tétele): Ha egy adott kör adott P belső pontjára illeszkedő két húr végpontjai A, B illetve A, B, akkor teljesül a következő összefüggés: PA PB = PA PB. DEFINÍCIÓ (Pont körre vonatkozó hatványa): Egy P pont körre vonatkozó hatványán a ponttól a metszéspontokig terjedő szelőszakaszok hosszának szorzatát értjük. Megjegyzés: Külső pont esetén a hatványt pozitívnak, belső pont esetén negatívnak, a körvonalra illeszkedő pont esetén nullának tekintjük. DEFINÍCIÓ (Aranymetszés): Aranymetszésnek nevezzük egy szakasz 2 szakaszra vágását, ha a keletkező szakaszok kisebbikének hossza úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagyobb a teljes szakasz hosszúságához. Jelölés: p < q esetén p q = q p+q. 3
Megjegyzés: Az aranymetszésnél a nagyobb szakasz hossza a rövidebbnek az 1+ 5 szöröse. Ennek az aránynak az ókorban nagy jelentőséget tulajdonítottak: a szépség, a harmónia arányának gondolták. Az aranymetszés megjelent a zenében, irodalomban, építészetben, képeken, szobrokon is. Az arányt tökéletesnek, isteni eredetűnek gondolták, s úgy vélték, hogy egy képzőművészeti munka akkor tökéletes, ha az elemei az aranymetszés aránya szerint követik egymást. Természetben is fellelhető ez az arány: levelek elhelyezkedése a napraforgó tányérján, fenyőtoboz és ananász felülete, egyes csigák mészváza. Gyakorlatban alkalmazható csigavonal, szabályos tíz-, illetve ötszög szerkesztéséhez. 2 TÉTEL: Hasonló síkidomok kerületének aránya a hasonlóság arányával, területének aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyenlő. Jelölés: K T = λ és = K T λ2. TÉTEL: Hasonló testek felszínének aránya a hasonlóság arányának négyzetével, térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbével egyenlő. Jelölés: A = A λ2 és V = V λ3. 4
1. Szerkessz 28 cm hosszúságú szakaszt! A szerkesztés lépései: Első lépés: A 28 at bontsuk fel két szám szorzatára, pl.: 28 = 4 7. Ezt követően vegyünk fel egy 4 + 7 = 11 cm hosszú AB szakaszt, s jelöljük be rajta a szakaszt 4 cm re, illetve 7 cm re osztó P pontot. Második lépés: Az AB szakasz O felezőpontjából szerkesszünk Thalesz kört a szakasz fölé. Harmadik lépés: A P pontból állítsunk merőlegest az AB szakaszra és a körrel vett metszéspontja legyen C. Ekkor egy derékszögű háromszöget kapunk, s így a magasság - tétel alapján a CP szakasz hossza éppen 28 cm lesz. 2. Adott egy 3 cm és 5 cm oldalú téglalap. Szerkessz vele egyenlő területű négyzetet! Mivel a téglalap területe T = ab, a négyzet területe pedig T = x 2, így azt kapjuk, hogy x 2 = ab. Ezek alapján x = ab, vagyis a feladat szerint x = 3 5 = 15 cm. A megoldás tehát hasonlóan adódik az előző feladathoz. A szerkesztés lépései a következők: 5
Első lépés: Vegyünk fel egy 3 + 5 = 8 cm hosszú AB szakaszt, s jelöljük be rajta a szakaszt 3 cm re, illetve 5 cm re osztó P pontot. Második lépés: Az AB szakasz O felezőpontjából szerkesszünk Thalesz kört a szakasz fölé. Harmadik lépés: A P pontból állítsunk merőlegest az AB szakaszra és a körrel vett metszéspontja legyen C, így megkapjuk a négyzet CP oldalát. Negyedik lépés: A CP oldal végpontjaiból állítsunk merőlegeseket az oldalra, s ezekre felmérve a CP oldal hosszát, megkapjuk a keresett négyszög további Q és R csúcsait is. 3. Egy világítótorony árnyéka 10 m hosszú, ugyanekkor ugyanott egy 2 m hosszú bot árnyéka 120 cm. Milyen magas a világítótorony? Mivel a torony az árnyékával hasonló háromszöget alkot, mint a bot az árnyékával, ezért a megfelelő szakaszok aránya megegyezik. Legyen a világítótorony magassága x, s ezek alapján felírható a következő aránypár: x = 2. Ebből átrendezés után kapjuk, hogy x = 16,7 m. 10 1,2 4. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 3, 5 cm. Mekkorák a szárai, ha a négyszeresére nagyított háromszög kerülete 38 cm? Legyen a háromszög másik két szára x. A nagyított háromszög oldalai ekkor 14 cm, 4x és 4x. Ezek alapján felírható, hogy 14 + 4x + 4x = 38, amiből rendezés után x = 3 cm adódik. 6
5. Egy háromszög oldalai 12 cm, 16 cm és 20 cm hosszúak. Egy hozzá hasonló háromszög legnagyobb oldala 8 cm. Számítsd ki a másik két oldalának hosszát! Mivel a legnagyobb oldala 8 cm, ezért a hasonlóság aránya: λ = 8 = 0,4. Ezek alapján a másik 20 két oldal a következőképpen adódik: 12 0,4 = 4,8 cm és 16 0,4 = 6,4 cm. 6. Töltsd ki a táblázatot az ábrában szereplő derékszögű háromszög jelölései alapján! a b c p q m 5 12 24 10 20 16 Alkalmazzuk a Pitagorasz, illetve befogó - és magasság tételeket a háromszögekben. Első sor: c 2 = 5 2 + 12 2 c = 13 5 = 13p p = 1,9 12 = 13q q = 11,1 m = 1,9 11,1 m = 21,1 Második sor: 10 = 24p p = 4,2 c = 24 + 4,2 = 28,2 a = 4,2 28,2 a = 10,9 b = 24 28,2 b = 26 Harmadik sor: 20 2 = 16 2 + p 2 p = 12 16 = 12q q = 21,3 c = 12 + 21,3 = 33,3 b 2 = 16 2 + 21,3 2 b = 26,6 7
7. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót egy 3 cm - es és egy 8 cm - es darabra osztja. Mekkorák a háromszög oldalai és magassága? Alkalmazzuk a befogó - és magasság tételeket a háromszögekben. c = 3 + 8 = 11 cm a = 3 11 = 5,7 cm m = 3 8 = 4,9 cm b = 8 11 = 9,4 cm 8. Egy derékszögű háromszög befogói hosszainak aránya 5 6. Az átfogó 122 cm hosszúságú. Határozd meg az átfogóhoz tartozó magasság és a magasság által az átfogóból kivágott szeletek hosszát. Alkalmazzuk a Pitagorasz, illetve befogó - és magasság tételeket a háromszögekben. (5x) 2 + (6x) 2 = 122 2 61x 2 = 14884 x = 15,6 a = 5 15,6 = 78 cm b = 6 15,6 = 93,6 cm 78 = 122p p = 49,9 cm 93,6 = 122q q = 71,8 cm m = 49,9 71,8 m = 59,8 cm 8
9. Egy derékszögű háromszög átfogójának hossza 16 cm. Az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót 1 3 arányban osztja két részre. Számítsd ki a befogók hosszát! Ezek alapján azt kapjuk, hogy x + 3x = 16, amiből x = 4 cm adódik, vagyis az a oldal merőleges vetülete 4 cm, a b oldal merőleges vetülete 12 cm hosszú. Végül a befogó - tétel segítségével kiszámíthatjuk a hiányzó oldalakat: a = 4 16 a = 8 cm b = 12 16 b = 13,8 cm 10. Egy derékszögű háromszög átfogójához tartozó magasság 2 7 arányban osztja az átfogót. A háromszög legkisebb oldala 6 cm. Mekkora a másik két oldal? Alkalmazzuk a Pitagorasz - és befogó tételeket a háromszögekben. 6 = 2x 9x x = 2 c = 9 2 c = 12,7 cm 6 2 + b 2 = 12,7 2 b = 11,2 cm 9
11. Egy derékszögű háromszögben a befogók hosszának aránya 5 3. Az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan szakaszra osztja, amelyek közül az egyik 4 cm rel hosszabb, mint a másik. Számítsd ki az átfogó és az átfogóhoz tartozó magasság hosszát! A befogó tétel alapján felírható két összefüggés: a 2 = c x és b 2 = c (x + 4). Mivel a befogók aránya 3 5, ezért a következő adódik: a2 b 2 = 9y2 25y 2 = 9 25 = c x c (x+4) = Az egyenletet rendezve azt kapjuk, hogy x = 2,25 cm. Az átfogó hossza ezek alapján: c = 2x + 4 = 8,5 cm. Végül alkalmazzuk a magasság - tételt: m = x (x + 4) = 3,75 cm. x x+4. 12. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 8 cm, a másik befogó átfogóra eső merőleges vetülete 12 cm. Számítsd ki a háromszög hiányzó oldalait és az átfogóhoz tartozó magasságot! A befogó tétel alapján a következő adódik: 8 = p (p + 12). Ezt átrendezve a következő másodfokú egyenletet kapjuk: p 2 + 12p 64 = 0. 10
A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai p 1 = 4 és p 2 = 16. A p 2 nem felel meg a feladatnak, így p = 4 cm. Ebből adódik, hogy c = 12 + 4 = 16 cm. Ezek után a magasság - tétel alapján a következő adódik: m = 12 4, amiből m 6,9 cm. Végül Pitagorasz tétel segítségével kiszámíthatjuk a másik befogót is: 8 2 + b 2 = 16 2 b 13,6 cm 13. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága két olyan részre osztja az átfogót, melyek közül az egyik 2 cm rel hosszabb a másiknál. A háromszög hosszabb befogója 12 cm. Számítsd ki a hiányzó oldalakat és az átfogóhoz tartozó magasságot! A befogó tétel alapján a következő adódik: 12 = (p + 2) (2p + 2). Ezt átrendezve a következő másodfokú egyenletet kapjuk: p 2 + 3p 70 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai p 1 = 7 és p 2 = 10. A p 2 nem felel meg a feladatnak, így p = 7 cm és q = 7 + 2 = 9 cm. Ebből adódik, hogy c = 7 + 9 = 16 cm. Ezek után a magasság - tétel alapján a következő adódik: m = 7 9, amiből m 7,9 cm. Végül Pitagorasz tétel segítségével kiszámíthatjuk a másik befogót is: a 2 + 12 2 = 16 2 a 10,6 cm 11
14. Egy adott körhöz egy külső P pontból húzott szelőnek a körrel vett metszéspontjai P - től 5 cm, illetve 20 cm távolságra vannak. Milyen hosszú érintő szakasz húzható P - ből a körhöz? Az érintőszakasz - tétele alapján a következő adódik: PE = 5 20 = 100 = 10 cm. 15. Húzzunk egy körhöz egy külső pontból két szelőt. Az egyik szelőnek 3 cm, a másiknak 4 cm hosszú a kör és a külső pont közé eső szakasza. Ez utóbbi szelőnek a körbe eső szakasza 5 cm es. Milyen hosszú a másik szelő körbe eső szakasza? Mekkora érintőszakasz húzható ugyanebből a külső pontból a körhöz? A szelőszakaszok - tétele alapján a következő adódik: 4 9 = 3 (3 + x), amiből x = 9 cm. Az érintő - szakasz tétele alapján pedig a következőt kapjuk: PE = 4 9 = 36 = 6 cm. 12
16. Húzzunk egy körhöz egy külső pontból érintőt, illetve szelőt! A szelőnek a külső pont és a kör közötti szakasza 4 cm, az érintőszakasz pedig 8 cm. Milyen hosszú húrt metsz ki a kör a szelőből? Az érintőszakasz - tétele alapján a következő adódik: 8 = 4 (4 + x), amiből x = 12 cm. 17. Egy adott körhöz egy külső P pontból olyan szelőt húzunk, amelynek a körön kívüli szakasza 6 cm, a körön belüli húr pedig 18 cm hosszú. Milyen hosszú érintő húzható a P pontból? Számítsd ki, hogy milyen messze van a P pont a körvonaltól, ha a kör sugara 16 cm! A szelőszakaszok - tétele alapján a következő adódik: 6 24 = x (x + 32). 13
Ezt átrendezve a következő másodfokú egyenletet kapjuk: x 2 + 32x 144 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai x 1 = 4 és x 2 = 36. Az x 2 nem felel meg a feladatnak, így 4 cm re van a körvonaltól a P pont. Az érintőszakasz - tétel alapján pedig a következő adódik: PE = 6 24 = 144 = 12 cm. 18. Egy 10 cm sugarú körhöz a középponttól 26 cm re levő P pontból két szelőt húzunk. Az egyik szelő átmegy a kör középpontján, a másik szelőnek a körbe eső húrja 14 cm. Mekkora ez utóbbi szelő rövidebb szelete? Számítsd ki, hogy milyen hosszú érintő húzható a P pontból? A szelőszakaszok - tétele alapján a következő adódik: 16 36 = x (x + 14). Ezt átrendezve a következő másodfokú egyenletet kapjuk: x 2 + 14x 576 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai x 1 = 18 és x 2 = 32. Az x 2 nem felel meg a feladatnak, így 18 cm a szelő rövidebb szelete. Az érintőszakasz - tétel alapján pedig a következő adódik: PE = 16 36 = 576 = 24 cm. 14
19. Egy körhöz egy külső pontból húzzunk egy érintőt és egy szelőt. Az érintőszakasz hossza 12 cm, a szelő kisebbik szelete pedig 6 cm. Mekkora a kör sugara, ha a szelőnek a kör középpontjától való távolsága 12 cm? Legyen az A és B pont távolsága x. Az érintőszakasz - tétele alapján a következő adódik: 144 = 6 (6 + x), amiből x = 18 cm. Mivel az AOB egyenlőszárú, így a C pont felezi az AB szakaszt. A Pitagorasz tétel alapján a következő adódik: 9 2 + 12 2 = r 2, amiből r = 15 cm. 20. Hányszorosára változik egy sokszög kerülete és területe, ha oldalinak hosszát 3 szorosára változtatjuk? Mivel a hasonlóság aránya λ = 3, így a kerületük λ = 3 - szorosára, a területük pedig λ 2 = 9 szeresére változik. 21. Hány cm 2 t foglal el Magyarország egy 1 3 000 000 méretarányú térképen, ha Magyarország területe T 93 000 km 2? Mivel a hasonlóság aránya λ = 1 1 3 000 000 T = 93 000 ( 3 000 000 )2 = 1,03 10 8 km 2, ami 103,3 cm 2., ezért a térképen elfoglalt terület nagysága 15
22. Egy háromszög oldalai 2 cm, 3 cm és 4 cm hosszúságúak. A hozzá hasonló háromszög kerülete 12 cm. Határozd meg az utóbbi háromszög oldalainak hosszát. Az eredeti háromszög kerülete K = 9 cm, vagyis a hasonlóság aránya: λ = K K = 12 9 = 4 3. A hasonló háromszög oldalai ezek alapján: a = 2 4 = 8 = 2,7 cm 3 3 b = 3 4 = 4 cm 3 c = 4 4 = 16 = 5,3 cm 3 3 23. Két hasonló háromszög egymásnak megfelelő oldalai 5 cm és 3 cm hosszúságúak. A két háromszög kerületének különbsége 7 cm. Határozd meg a két háromszög kerületének hosszát. Legyen az eredeti háromszög kerülete x, a hasonló háromszög kerülete pedig x 7. A szöveg alapján a hasonlóság aránya: λ = a a = 3 5. Ekkor felírhatjuk a következő egyenletet: 3 x = x 7, amiből x = 17,5. 5 Ezek alapján az eredeti háromszög kerülete 17,5 cm, a hasonló háromszögé pedig 10,5 cm. 24. Egy derékszögű háromszög befogói 5 cm és 12 cm. Az átfogóhoz tartozó magasság a háromszöget két háromszögre bontja. Mennyi a két háromszög területének aránya? A keletkező két kisebb háromszög hasonló egymáshoz, így a hasonlóság aránya λ = 5 12. Ezek alapján a háromszögek területeinek aránya pedig λ 2 = 25 144. 16
25. Egy tanteremben a tábla és a faliújság hasonló téglalap alakúak. A faliújság átlós mérete 1 m, a táblának pedig a rövidebb oldala 1 m, a hosszabbik 2 m. Hányszorosa a tábla területe a faliújságénak? A tábla átlóját kiszámíthatjuk Pitagorasz tétel segítségével: 1 2 + 2 2 = x 2, amiből x = 5. A két átló hasonló egymáshoz, így a hasonlóság aránya λ = 5, vagyis a tábla területe λ 2 = 5 szörösére változik. 26. Két négyzet közül az egyik oldalának hossza 4 cm rel nagyobb a másikénál, területeik különbsége pedig 56 cm 2. Számítsd ki az oldalhosszak arányát! Hogyan aránylanak egymáshoz a területek? Legyen az egyik négyzet oldala x, a másik oldala pedig x + 4. A szöveg alapján felírhatjuk a következőt: (x + 4) 2 x 2 = 56, amiből x = 5. Így az egyik négyzet oldala 5 cm, a másiké 9 cm. Ezek alapján az oldalak aránya λ = 5 9, a területek aránya pedig λ2 = 25 81. 27. Az ABC háromszög területét megfelezzük egy, a háromszög AB oldalával párhuzamos egyenessel. Milyen hosszú a területet felező egyenesnek a háromszögbe eső szakasza, ha AB = 6 cm? Mivel a területek aránya λ 2 = 2, így a hasonlóság aránya λ = 2. Ezek alapján felírhatjuk a következő aránypárt: A B 6 = 2, vagyis A B = 4,24 cm. 17
28. Két szabályos háromszög egy egy oldalhosszának összege 20 cm. Számítsd ki a háromszögek oldalainak hosszát, ha területeik aránya 4 9! Legyen az egyik háromszög oldala x, a hasonló háromszög oldala pedig 20 x. Mivel a két szabályos háromszög hasonló egymáshoz, így a hasonlóság aránya λ = 4 9 = 2 3. Ekkor felírhatjuk a következő egyenletet: x = 2 (20 x), amiből x = 8. 3 Ezek alapján a háromszög oldalai 8 cm, a hasonló háromszög oldalai pedig 12 cm hosszúak. 29. Adott két kör, a sugarak hosszának összege 20 cm. Tekintsünk mindkét körben egy egy ugyanakkora középponti szöghöz tartozó körcikket. Ezek területének aránya 16 25. Számítsd ki a sugarak hosszát! Legyen az egyik kör sugara x, a másik kör sugara pedig 20 x. Mivel a két kör hasonló egymáshoz, ezért a hasonlóság aránya λ = 16 25 = 4 5. Ekkor felírhatjuk a következő egyenletet: x = 4 (20 x), amiből x = 8,9. 5 Ezek alapján a kör sugara 8,9 cm, a hasonló kör sugara pedig 11,1 cm hosszú. 30. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 10 cm, szára 12 cm hosszúságú. A csúcstól számítva mekkora hosszúságú szakaszt vág le a szárból az alappal párhuzamos egyenes, ha a lemetszett háromszög területe az eredetinek negyede? Mivel a két háromszög hasonló egymáshoz, így a hasonlóság aránya: λ = 1 4 = 1 2. Ezek alapján a kis háromszög szárai 12 1 = 6 cm hosszúak. 2 18
31. Egy háromszög egyik oldalát 3 5 arányban ketté osztottuk. Az osztópontból párhuzamost húzunk a háromszög másik két oldalával. Hogyan aránylik az így kapott paralelogramma területe az eredeti háromszög területéhez? Az eredeti ABC, s a két keletkező APR és PBQ hasonlóak egymáshoz. Az APR és az ABC oldalainak aránya λ = 5 8. Ezek alapján a területeik aránya λ2 = 25 64. A PBQ és az ABC oldalainak aránya λ = 3 8. Ezek alapján a területeik aránya λ2 = 9 64. A paralelogramma területe így 1 9 25 = 30 = 15 része az eredeti háromszögnek. 64 64 64 32 32. Egy háromszög oldalait öt egyenlő részre osztottuk, és a szomszédos oldalaknak a közös csúcshoz legközelebbi osztópontjait összekötöttük. Hogyan aránylik a háromszög csúcsainál keletkező kis háromszögek levágásával kapott hatszög területe az eredeti háromszög területéhez? A kis háromszögek hasonlóak a nagy háromszöghöz, így a hasonlóság aránya λ = 1 5. Ekkor a kis háromszögek és a nagy háromszög területének aránya λ 2 = 1 25. Ezek alapján a hatszög és az eredeti háromszög területének aránya: T hatszög T háromszög = 1 3 25 = 22 25. 19
33. Hányszorosára változik egy sokszögek által határolt test felszíne és térfogata, ha oldalainak hosszát 10 - szeresére változtatjuk? Mivel a hasonlóság aránya λ = 10, így a felszíne λ 2 = 100 szorosára, a térfogata pedig λ 3 = 1000 szeresére változik. 34. Két hasonló test térfogatának aránya 27 125. Add meg a testek felszínének arányát! Mivel a hasonló testek térfogatának aránya λ 3 = 27 3 27, ezért a hasonlóság aránya λ = = 3. 5 125 Ezek alapján a testek felszínének aránya pedig λ 2 = 9 25. 125 35. A Föld közepes átmérője közelítőleg 11 szorosa a Hold átmérőjének. Hogyan 3 aránylik egymáshoz a két égitest felszíne és térfoagat? Mivel a hasonlóság aránya λ = 11 3, így az égi testek felszínének aránya λ2 = 121 9, a térfogatok aránya pedig λ 3 = 1331 27. 36. Két kocka élhosszának különbsége 3 dm, térfogataik különbsége 37 dm 3. Számítsd ki a két kocka hasonlóságának arányát! Hogyan aránylanak egymáshoz a térfogatok? Legyen az egyik kocka élhossza x, a másik élhossza pedig x + 3. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (x + 3) 3 x 3 = 37. Az egyenletet rendezve azt kapjuk, hogy 9x 2 + 27x 10 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai x 1 = 1 3 és x 2 = 10 3. Mivel a második megoldás nem felel meg a szövegnek így az egyik kocka élhossza 1 3 dm, a másiké pedig 10 3 dm. Ezek alapján a hasonlóság aránya λ = 10, a térfogatuk aránya pedig λ 3 = 1000. 20
37. Egy 10 cm sugarú fémgolyót felolvasztunk, majd 1 cm sugarú gömbökaet öntünk belőle. Ilyen módon hány golyóhoz juthatunk? Hányszorosa lesz a kis golyók együttes felszíne és térfogata az eredetinek? Az eredeti fémgolyó felszíne: A = 4 10 2 π = 1256 cm 2. Az eredeti fémgolyó térfogata: V = 4 103 π 3 = 4186,67 cm 3. Egy darab kis golyó felszíne: A = 4 1 2 π = 12,56 cm 2. Egy darab kis golyó térfogata: V = 4 13 π 3 = 4,18667 cm 3. Ezek alapján 4186,67 = 1000 darab kis golyóhoz juthatunk. 4,18667 Mivel 1000 darab kis golyó térfogata 4186,67 cm 3, így ez nem változott az eredetihez képest. Mivel 1000 darab kis golyó felszíne 12560 cm 2, így ez az eredetihez képest 10 szeresére változott. 38. Bizonyítsd be, hogy az aranymetszésnél a nagyobb szakasz hossza a rövidebbnek az 1+ 5 2 szöröse. Tekintsük a következő aranymetszésre vonatkozó összefüggést: p < q esetén p q = q p+q. Az egyenletet rendezve a következőt kapjuk: q 2 pq p 2 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy a két megoldás: q 1 = p 1+ 5 Mivel az érték nem lehet negatív, ezért a q 2 nem lesz jó megoldás. 2 és q 2 = p 1 5 2. Ezek alapján azt kapjuk, hogy a szakaszok aránya: q p = 1+ 5 2. 21
39. Szerkeszd meg egy 6 cm hosszú szakasz aranymetszetét! A szerkesztés lépései a következők: Első lépés: Vegyünk fel egy 6 cm hosszú AB szakaszt. Második lépés: A szakasz B végpontjára állítsunk merőlegest. Harmadik lépés: B től 6 = 3 cm re a merőlegesen jelöljük ki az O pontot. 2 Negyedik lépés: Szerkesszük meg az O középpontú 3 cm es sugarú kört. Ötödik lépés: Az O n keresztül húzzunk szelőt az A pontból. Hatodik lépés: A keletkező két metszéspontot jelöljük C vel, illetve D vel. Ekkor az AC szakasz lesz az AB szakasz aranymetszete. Írjunk fel összefüggést az AB érintőre és az AC szelőre: AB 2 = AC AD 6 2 = AC ( AC + 6) AC 6 = 6 AC +6 22
40. Bizonyítsd be, hogy ha az egyenlő szárú háromszög szárszöge 36, akkor az alap a szárnak aranymetszete! Vegyünk fel egy egyenlő szárú háromszöget, melynek alapja legyen AB. Tekintsük továbbá az A - ból induló szögfelezőt, mely a BC oldalt a D pontban metszi. Ekkor az ABD és ABC hasonló egymással, mert mindkét háromszögben a szögek nagysága egyenlő (36, 72, 72 ). Ezek alapján az ADC egyenlőszárú, így legyen AB = AD = DC = c, továbbá BD = a c. A hasonlóságnál az egymásnak megfelelő oldalak aránya c = a c, így a c alap aranymetszete a az a szárnak. c 41. Bizonyítsd be, hogy a szabályos tízszög köré írt kör sugarának aranymetszete a tízszög oldala! Szerkessz egy 4 cm sugarú körbe szabályos tízszöget! Mivel a szabályos tízszög a köré írt kör középpontjából a csúcsokhoz húzott sugarakkal 10 egyenlő szárú háromszögekre bontható, így ezeknek a háromszögeknek a kör középpontjánál található szárszögeik 360 10 = 36. Az előző feladat alapján, ezen háromszögek alapja (a szabályos tízszög oldala) aranymetszete a háromszögek szárainak (a köré írt kör sugarának). A szerkesztés lépései a következők: 23
Első lépés: Szerkesszük meg a 4 cm es sugár aranymetszetét, s ez lesz a tízszög oldala. Második lépés: A sugár körvonalra eső végpontjából, körözzünk a tízszög oldalhosszával. Harmadik lépés: A keletkező metszéspontból ismét körözzünk az oldalhosszal, s ezt ismételjük meg addig, amíg a kezdő pontba vissza nem jutunk. Végül kössük össze a kapott pontokat. 42. Szerkessz egy 4 cm sugarú körbe szabályos 5 szöget! Szerkesszük meg a szabályos tízszög csúcsait és azokból csak minden másodikat kössük össze. 24
43. Bizonyítsd be, hogy a szabályos ötszög oldala az átlójának aranymetszete! Mivel szabályos ötszögről van szó, ezért az AOB = 360 5 = 72. Az ezzel a szöggel azonos íven nyugvó kerületi szög fele akkora, mint a középponti szög, vagyis ADB = 36. Mivel az ABD egyenlő szárú és szárszöge 36, így az előző feladatok alapján az alapja (az ötszög oldala) a szárának (az ötszög átlójának) aranymetszete. 44. Bizonyítsd be geometriai eszközökkel, hogy két pozitív szám számtani közepe mindig nagyobb vagy egyenlő, mint ugyanezen számok mértani közepe, azaz a+b ab! Szerkesszük meg egy a + b átmérőjű körbe a CP = ab hosszúságú szakaszt, majd húzzuk be az AB átmérőre merőleges OD = a+b sugarat, s így megkapjuk az állítást. Egyenlőség akkor 2 adódik, ha a = b. 2 25
45. Bizonyítsd be, hogy bármely két kör hasonló egymással! Két alakzat akkor hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció (egybevágósági transzformáció és középpontos hasonlósági transzformáció egymás utáni végrehajtása), amely az egyik alakzatot a másikba viszi. Első lépés: Vegyünk fel tetszőlegesen két különböző hosszú sugárral rendelkező K 1 és K 2 kört, majd a kisebb sugarat toljuk el O 1 2 vektorral, vagyis ekkor a két kör középpontja egybeesik. Második lépés: Forgassuk el a kisebb kör sugarát a körök középpontja körül egy α szöggel úgy, hogy a két kör sugara fedje egymást. Harmadik lépés: A körök középpontjából végezzük el az λ = r 2 r 1 arányú nagyítást. A fenti lépések alapján egy eltolással, egy forgatással és egy középpontos hasonlósági transzformációval sikerült a két kör sugarát (és így a köröket is) egymásba vinnünk. 46. Bizonyítsd be a magasság és befogó tételt! 26
Mivel az ACD és az BCD háromszög szögei egyenlő nagyságúak (α, 90 α, 90 ), ezért a két háromszög hasonló egymással. Ekkor a megfelelő oldalak hosszának aránya egyenlő. Tekintsük a két háromszög megfelelő befogóinak arányát: m q = p m. Ebből átrendezéssel adódik a magasság tétel: m 2 = p q, vagyis m = p q. Mivel az ABC és a BCD háromszög szögei egyenlő nagyságúak (α, 90 α, 90 ), ezért a két háromszög hasonló egymással. Ekkor a megfelelő oldalak hosszának aránya egyenlő. Tekintsük a két háromszög megfelelő befogóinak és átfogóinak arányát: a c = p a. Ebből átrendezéssel adódik a befogó tétel egyik alakja: a 2 = c p, vagyis a = c p. Mivel az ABC és a ACD háromszög szögei egyenlő nagyságúak (α, 90 α, 90 ), ezért a két háromszög hasonló egymással. Ekkor a megfelelő oldalak hosszának aránya egyenlő. Tekintsük a két háromszög megfelelő befogóinak és átfogóinak arányát: b c = q b. Ebből átrendezéssel adódik a befogó tétel másik alakja is: b 2 = c q, vagyis b = c q. 47. Bizonyítsd be a körhöz húzott érintő - és szelőszakaszok tételét! 27
Mivel az ABE és az AEP ugyanúgy az AE körívhez tartozó kerületi szög, ezért a két szög nagysága megegyezik. Ezek alapján a PBE és a PAE megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak, vagyis a két háromszög hasonló. Tekintsük a két háromszög megfelelő oldalainak arányát: PB PE = PE PA. Ebből átrendezéssel adódik a tétel: PE 2 = PA PB, vagyis PE = PA PB. 48. Bizonyítsd be, hogy hasonló háromszögek kerületének aránya a hasonlóság arányával, területének aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyenlő! Legyen a hasonlóság aránya λ, ekkor a felírhatjuk a következő aránypárokat: λ = a = b = c a b c a = λ a b = λb c = λa λ = m a m a m a = λ m a Ezek felhasználásával írjuk fel a kerületek és területek arányát: K = a + b + c K a + b + c = λa + λb + λc λ (a + b + c) = = λ a + b + c a + b + c 1 T = 2 a m a 1 T 2 a m a = 1 2 λ a λ m 1 a 2 1 = λ2 a m a 2 a m 1 a 2 a m a = λ 2 Mivel minden sokszög egy csúcsából húzható átlókkal háromszögekre bontható, ezért a tétel igaz tetszőleges sokszögekre is. Brósch Zoltán 28