. példa Határoa meg F F F erıkbıl álló erırendser F eredıjét annak F nagságát és e iránvektorát valamint a talajban ébredı F 0 támastóerıt! F = 0 N; F = 0 N; F = 0 N! F F F F e e N F = 5.5880 N = F. = ( 9.4 + 5.804 ) e = ( 0.7e + 0.985e ) F0. példa Eg lámpa a ábrán látható módon van rögítve a kötélen. Modelleük tömegpontként a lámpatestet. Határoa meg a lámpatestre ható F és F erıt! Mekkorák a kötélben ébredı erık? G = 800 N = 0. F C F B G F = 85.6406 e N; F = 85.6406e + 800 e N; F = 85.6406 N; F = 600N ( ) ( ). példa G = 800 N súlú terhet kötelek segítségével emeljük a magasba. Határoa meg a három kötélben ébredı erıt! = 0 = 45. F F G F = 507.797e + 9.80e N F = ( 800e ) N F = ( 507.797e + 507.797 e) N F = 585.6406 N; F = 800 N; F = 77.604 N ( )
4. példa Eg G =.5kN súlú terhet két kábellel erısítünk a gerendára. Határoa me a két kábelág terhelését! a= m b= m c= 5m. c F F G F = 0.6 e + e kn; F = 0.6e +.5 e kn; F =.66 kn F =.655kN ( ) ( ) 5. példa Határoa meg a talaj által a pontban kifejtett F 0 reakcióerıt ha = 45 = 45 és F = 00 N! F F e e e N F F e e e N = ( 50 + 50 + 70.707 ; 0 = = ( 50 50 70.707
6. p da s gerenda a ill. pontokho csatlako kötelek segítségével a F = ( 80e ) kn súlú terhet egensúloa. Határoa meg a támastóerıket! 505 40 080. m ( ) ( ) ( ) datok: ( 000) F = ( 64.57e) kn = ( 45.7 7.4 + 45.7 F = ( 45.7e 9.4e + 4.e ) kn F F e e e kn 7. példa Eg fémüstöt heleken erısítjük eg daru emelıköteleihe. emelıkampó = -re helekedik el a üst felsı peremének köepe (orogó) fölött. Mekkorák a kötelek által a üstre kifejtett erık ( F F F ) ha a üst sugara = = 45 = 45 és G = kn? G F e e e N = ( 0.7 + 0.7 + 878.7 = ( 0.7 0.7 + 878.7 ) F e e e N F e e N = ( 6. + 4.6 )
8. példa: (MP.I.5.49.) Eg G = ( e ) kn súlú testet a és rudakkal valamint a -iránú kötél segítségével tartjuk egensúlban. és heleken - gömbcsukló található. helen mindhárom tartóelem össe van kapcsolva. Határoa meg a rudak támastóerejét valamint a kötélben ébredı húóerıt! datok: = ( 4e + e m = ( 4 e ) m ( 4 e = ) m = ( e ) m. F e e e kn = ( 4 + 4 + G F = e + 9e kn ( ) F e e e kn = ( 4 + 8 + ) 9. példa: (MP.I..6.) Ismertek a térbeli erırendser pontokho kötött F erıvektorai = ( ) és a a iránvektor: F = ( 4e 4e N F = ( e ) N F = ( e + e + 4e N a = e + 4e 4e a. Határoa meg a erırendser eredıjét! b. Mekkora een erırendser és pontokra sámított és nomatéka? c. Határoa meg a erırendsernek a koordináta-tengelekre sámított nomatékát! d. Mekkora a erırendser a -tengelre sámított nomatéka? " 6m F O F F 4m! a 8m F e e N = ( 4e 4e + 4e Nm = ( 4e 4e) Nm = 4Nm = 4Nm = 4Nm = 4Nm = ( 4 + ) a
0. példa: (MP.I..6.) dott a F F # # és nomatékokból álló erırendser. #$ # # # datok : F = F = 5 és = = 0 Nm. a. Mekkora a erırendser eredıje? # b. Határoa meg a erırendser % és pontokra sámított & és c. Mekkora a erırendser a -tengelre sámított nomatéka? # nomatékát! 8m F F 4m ' ' = ( 4 5 # = ( 8 0 F e e e #$ # & = ( 5e + e 40e # Nm e e # # # Nm = 0 Nm a
. p da (MP.I..70.d.) koordin ta-rendserben adottak a ( ill. ) pontok tov a eekben ható F F * F + erık. Határoa meg a erırendser pontban redukált eredı vektorkettısét és döntse el ( hog a erırendser melik ostáloási csoportba tartoik! datok: ( 000) m ( 00) (0;8;4) F = 0e + 0e N F* = 40e/ N F = 0e 40e 0e N. -. ( ) ( ) ( F F F 0 F e e N = ( 0 0 e e Nm 4 5c 6 a78 4 = ( 40 + 40 ) +. példa (MP.I..77.) Eg óceánjárót nég tolóhajó mogat. tolóerık ( F : 9 ) támadáspontjaikkal ( 9 ) egütt ( 4) ; = adottak. datok: F = ( e ) kn F = ( 8e ) kn F = ( 4e ) kn F4 = ( e ) kn : : : = 60e + 0e m = 40e 0e m = 0e + 0e m ( ) ( ) a. Redukálja a erırendser a pontba! b. Határoa meg a? erıköéppontot! ( ) < = > e e m. : 4 = ( 60 0 ) F F F F 4 F e kn = ( 5 ) = ( 40e ) knm e e m. ; 4@ = ( 8 68 )
. példa: (MP.I..55.) dott a alábbi ábrán váolt testre ható erırendser. datok: F = ( e e) N F = ( e ) N F = ( e ) N = ( e ) Nm = ( 4e ) Nm B = 4e e m BC = 4e + e m B = 8e + 4e m BE = 4e + 4e m. ( ) ( ) ( ) D ( ) a. Sámítsa ki nomatékát a F illetve a G pontra! b. Helettesítse a erırendsert a eredıjével: elısör a -tengel G majd a -tengel H pontjában! F F F I J = ( 8e ) Nm J E = ( 0e ) Nm B e m = ( 4 ) G B e m K = ( 8 L ) 4. példa: (MP.I..89.) alábbi testre a rudas megtámastásokon átmenı M N hatásvonalakon m ködı ( O = ) ismeretlen F M támastóerık valamint a ismert erıpár hat. test egensúlban van. Sámítsa ki a F F F erıket ha = ( e ) Nm! Q P C B R S R S F e N = ( ) F e e N ; = ( ) F e N = ( )
5. p da (MP.I...) Reduk lja a pontba a s gerend terhelı -tengel ment megosl erırendsert! Hat a meg centr lis egenese eg tetsıleges T pontj k U koordin S ki a t erıket! V W N V W N V W N datok: = ( ) = ( 4 ) = ( 6 ). m m m F e N = ( 9 ) X = ( 75e ) Nm U = 4.47 m. 6. p da (MP.I..4.) a. Reduk lja a al l megosl erırendsert a Y pontba. megosló erırendser a Z[ sakason másodfokú parabola a [ Y sakason lineárisan váltoik. V W N V W N V W N V W N datok: = ( 4 ) = ( ) = ( ) 4 = ( ). m m m m b. Hol és milen helet rúddal lehet megtámastani a tartót? c. Mekkorák lesnek a és [ pontoknál a támastóerık ha eeken a heleken a tartót eg-eg iránú rúddal megtámastjuk és a tartó egensúlban van? 4 X F e N \ = (.5e] ) Nm F e N F = 8.04e N. = ( 7.67 ) = ( 0.75 ) B ( ) = 4.9 m ^_ánban
7. példa: (MP.I..44.) dott eg anagi pontból álló skalárrendser. datok: m = 5 `a m = `a m `a cb = 4e + 4e + 4e m = ( Sámítsa ki a tömegpontrendser: a. ill. d e e pontokra vonatkoó ill. b b. a tömegköépponjának helét ( c f )! statikai nomatékát e e e k ag e = ( 40 + 8 + 5 e e k ag e b = ( 5 c e e e m. = ( 4 +.8 +.5 ) f 8. példa: (MP.I..46.) a. Határoa meg a alábbi ábrán váolt homogén test súlpontját! (a méretek mm -ben értendık) b. Hogan váltoik a súlpont hele ha a test 000-es felsı kocka rése a többihe képest kétserakkora s r ség anagból késül? h kl m j i j c e e e mm = ( 4 + 5 + 7 ) n c e e e mm o = (.8 + 5 + 8.4 ) n
9. példa: (MP.I..49.d.) p p Sámítsa ki a alábbi kerestmetset -tengelre sámolt és -tengelre sámolt statikai nomatákát! Határoa meg a pontra vonatkoó statikai nomatékát is és súlpontját! (a méretek mm -ben értendık) 0 0 O 0 p p = 4500mm 500mm r =.78e + 8.e mm. ( ) q p = = ( 500e + 4500e) mm
. példa (MP.I.5..) Vísintes érdes talajra kedısebesség nélkül heleett G súlú testre ismert F erı hat. nugvásbeli surlódási téneı s 0. Feltéve hog a test nugalomban marad határoa meg a támastó erırendser F t eredıjét és centrális egenesét. feladatot a. sámítással b. serkestéssel oldja meg! c. megadott s 0 esetén nugalomban marad a test? G = 800e N F = 00e 00e N s 0 = 0.5. datok: ( ) ( ) w u v G F 0 F e e N s 0. t~nl. = 0.< 0.5 gen. = ( 00 000 ) ace.. a {engelmet pon{ } a: = 0.5m. példa (MP.I.5.6.) Határoa meg a alábbi tartó támastóerı rendserét! F e = ( ) F B = 0.
. példa: (MP.I.5.8.) Határoa meg a alábbi tartó támastóerı rendserét! 0 = 0 F e e kn = (.54 + 6 ) F e e kn. = (.54 ) 4. példa: (MP.I.5..) Határoa meg a alábbi tartó támastóerı rendserét! Š ˆ ˆŽ B Œ ˆ ƒ F e N = ( 500 ) F e e N. = ( 500 + 500 )
5. példa: (MP.I.5..) Határoa meg hog legfeljebb mekkora F = Fe erıvel terhelhetı a és heleken sima G = 00e N súlú homogén primatikus rúd úg hog még felületnek támaskodó ( ) egensúlban maradjon a. ha F > 0 ill. b. ha F < 0? c. Mekkorák a fenti esetekben a támastóerık? 0 = 0 F G F e N F = ( 6.67e) N F = ( 00e + 00e) N F = 50e + 00e N F = 0. = ( 8. ) F = ( e ) N 50 ( )
8. példa (MP.I.5..) Határoa meg a alábbi tartó támastóerı rendserét! 0 = 0 F e e kn = ( 7 7 F e e kn. = ( + 5 9. példa (MP.I.5..) Határoa meg a alábbi tartó támastóerı rendserét! F e e kn = (.5 5 F e e kn. = (.5 45
0. példa: (MP.I.5.4.) Határoa meg sámítással a ábrán váolt tartós nugalomban lévı serkeet támastóerı rendserét! š œ C B ž ž ž F F e kn = = ( 8 ) F e e kn. = ( 8 + 8 ) Ÿ. példa: (MP.I.5.47.) Elhanagolható súlú lemet és helén mindkét végén gömcsuklóval ellátott súltalan rúddal pontjában e normálisú sima felülettel támastunk meg. datok: a = m b= m. a. Milen tartománban lehet a lemet F = Fe erıvel terhelni hog egensúlban maradjon? F = e kn erı a pontban hat! b. Határoa meg a támastóerıket ha a ( ) 5 0 = 0 B F e kn a ª «± be²³² = (.5 ) F e kn = ( 5 ) FŸ e kn. = (.5 )
. példa: (MP.I.5.5.) Homogén tömegeloslású G = ( 40e ) N súlú homogén lemet 6 db súltalan rúddal támastunk meg. Mekkorák a támastóerık? G µ F F e N F = F = F 4 = F 6 = 0. = = ( ) 5 0
0. példa (MP.I.5.57.) Határoa meg a alábbi ábrán látható serkeet támastóerıit és belsı erıit! érintkeı felületeket simának tekintse! datok: = 0. 0. G = e N G = e N. = ( 90 ) ( 60 ) ¹ 0 = 0 G G F e N = ( 80 ) F e N º = ( 50» ) F¼ e½ N = ( 80 ) F e e N. = ( 80 + 60 ). példa (MP.I.5.60.) Határoa meg a alábbi ábrán látható serkeet támastóerıit és belsı erıit! érintkeı felületeket simának tekintse! datok:.5 G = e kn G = e N. = ( ) 6. ( 60 ) ¾ F e e kn F = ( 6.67e) kn º = ( 8 0.67 ) F = ( 8e 6e) kn. F¼ e½ kn = ( 8 )
. példa: (MP.I.5.6.) Határoa meg a alábbi ábrán látható serkeet támastóerıit és belsı erıit! érintkeı G = e kn. felületeket simának tekintse! ( ) kn Ä Ã S G B Å 0 = 0 Â Á À Á À Á F e kn = ( 4 ) F e kn Æ = ( 7 Ç ) F e e kn = ( 4 ) È F e e kn. = ( 4 +. példa: (MP.I.5.70.) Képes-e megtartani a G súlú testet a váolt tulajdonságú fogó? G = F = 50 kn É 0 = 0.. F 0 G 0 Ê Ë Ì Í É 0min = 0.8.
4. példa: (MP.I.5.7.) Határoa meg sámítással a alábbi ábrán váolt serkeet támastó és belsı erıit! vastag vonallal rajolt rudak súla elhanagolható. m m m Î C Ï kn kn B F e e kn = ( +.5 ) F e e kn Ð = ( 4 0.5 ) F e e kn. = (.5 )
5. példa (MP.I.5.77.) Határoa meg sámítással a alábbi ábrán váolt serkeet támastó és belsı erıit! vastag vonallal rajolt rudak súla elhanagolható. Ò Ñ Ò Ñ F = eó kn = FÔ ( 7 ) F e kn = ( ) F = e kn = F ( ) 6. példa (MP.I.5.79.) Határoa meg sámítással a alábbi ábrán váolt serkeet támastó és belsı erıit! vastag vonallal rajolt rudak súla elhanagolható.. C Ö Õ Ö Ò Ø kn Ò Ø Ò Ø B F e e kn FÙ = ( 8eÚ ) kn F = e e kn = F. = ( 8 ( ) F 0e e kn = ( )
7. példa: (MP.I.5.90.) Határoa meg a alábbi Gerber-tartó támastóerı-rendserét és belsı erıit!. Û ÜÝß à á B â C Û ÜÝ Þ ÜÝ m m m m F e kn = ( 6 ) F e e kn ã = ( 4 + 9 ) Fä eå kn = ( 9 ) F e e kn. = ( 4 ) 8. példa: (MP.I.5.9.) Határoa meg a alábbi Gerber-tartó támastóerı-rendserét és belsı erıit!. æ F e e kn = ( ç è = ( e ) knm Fä eå kn = ( ) F e e kn. = (
9. példa: (MP.I.5.94.) ábrán váolt rúdserkeet tartós nugalomban van. Határoa meg sámítással és serkestéssel a F erıt valamint a támastó- és belsı erıket (csomópontra ható erık)! ê é ê ë ì í F í = eð N = Fï. F = ( 0e ) N F = ( 0e + 0e ) N = F Fî = ( 0e + 0eì ) N = Fï ( 0 ) ò ñ ñ ò öc ó ó í = óí ï = óï ó ï î = ó ó õ í = õô
40. példa (MP.I.5.0.) Határoa meg a ábrán váolt rácsos serkeet kijelölt rúdjaiban ébredırúderıket! ø N = kn N = 4.45kN N = 6kN N4 = N6 = N7 = 0 N5 = 4kN. 4. példa (MP.I.5.08.) Határoa meg a ábrán váolt rácsos serkeet kijelölt rúdjaiban ébredırúderıket! N = N = N4 = 0 N =.7 kn N5 = 8kN N6 = kn.
5m 5m 4. példa: (MP.I.5.06.) Határoa meg a ábrán váolt rácsos serkeet kijelölt rúdjaiban ébredırúderıket! ú ù N = 7 kn N =.8kN N = 9.49kN N4 = 9kN N5 = kn. 4. példa: (MP.II..7.) Határoa meg a ábrán váolt rúdserkeet kijelölt és ÿû igénbevételeket! ü û ( ý =.. ) kerestmetseteiben a N û þ û 5m B kn m kn C N = 7 kn ( ) þ = kn ( ) ÿ = 6.75kNm ( ) N = 0 þ = 5kN ( ) ÿ = 4.5kNm ( ).
44. példa: (MP.II...) Ismeretes a tartó terhelése és támastó erırendsere. tartón kijelölt és kerestmetsetek a -kerestmetset követlen köelében van (távolságukat -tıl elhanagolhatjuk). a. ámítsa ki a és kerestmetset igénbevételeit! b. ırie hog a kisámolt igénbevételek hatására a és kerestmetsetek által körefogott rés is egensúlban van-e! c. Határoa meg a 4 kerestmetset igénbevételét! B C a.) N = 0 = 00 = 0 Nm N = 0 = 00 = 60 Nm N = 00 N = 00 = 40 Nm b.) és kerestmetsetek által körefogott rés is egensúlban van mert arra: = 00 00= 0 = 00+ 00= 0 és!" = 0 60 + 40 = 0. c.) N4 = 00 N 4 = 00 4 = 0 Nm
45. példa (MP.II..0.) & ajolja meg a adott terheléső befogott rúd N( ) rúderı # ( $ ) níróerı és % ( $ ) hajlítónomatéki ábráját a sámserő értékek ill. a görbe sakasok végérintıinek megadásával a. követlenül a eges igénbevételek értelmeése alapján b. a terhelési a níróerı és a hajlítónomatéki ábra köötti össefüggések (egensúli egenletek) felhasnálásával! e e kn ' ( 6 + B C * + - ) (. + - knm 4 5 + - /6 /0 46. példa (MP.II...) & ajolja meg a adott terheléső befogott rúd N( ) rúderı # ( $ ) níróerı és % ( $ ) hajlítónomatéki ábráját a sámserő értékek ill. a görbe sakasok végérintıinek megadásával a. követlenül a eges igénbevételek értelmeése alapján b. a terhelési a níróerı és a hajlítónomatéki ábra köötti össefüggések (egensúli egenletek) felhasnálásával! e e kn ( 0 + 0 7
47. példa: (MP.II..5.c) dott a kéttámasú tartó terhelése és támastó er rendsere. terhelési a níróer és a hajlítónomatéki ábra köötti össefüggések (egensúli egenletek) felhasnálásával rajolja ; meg a egés tartóra a 8 ( 9 ) níróer és a : ( 9 ) hajlítónomatéki ábrákat sámserő értékek ill. a görbe sakasok végérintıinek megadásával! F = e + e kn ( 5 ) F< = e= kn ( 65 )
48. N( B C > - T( 5 - M h ( -45 05-49. példa: (MP.II..54.) dott a kéttámasú törtvonalú tartó terhelése és támastó er rendsere. a. Határoa meg hogan váltoik a tartó mentén a rúder és a níróer majd rajolja meg eek függvénábráit! b. ajolja meg a tartó hajlítónomatéki ábráját a már megrajolt níróer ábra alapján c. ill. a a níróer ábra felhasnálása nélkül követlenül a tartóra ható er rendserb l! kn/m s B D s C m kn
. B C? N(? T( 5 - - - s M h ( s -6 4
49. példa (MP.II..4.) dott a kétt tartó terhelése és mastó erırendsere. terhelési- a n róerı- és a hajlítónomatéki ábra köötti össefüggések (egensúli egenletek) felhasnálása útján a. sámítsa ki a tartó BC sakasára a níróerı @ = @ C @ B megváltoását D D D b. határoa meg a BC sakasra a hajlítónomaték B = BC B C megváltoását F E igénbevételi ábrákat! c. ajolja meg a egés tartóra a @ ( E ) és ( ) GF D H G @ =.5 B 0.75 Nm.
50. példa (MP.II..4.) Ismeretes a tartó terhelése ajolja meg vetlenül (a ó erırendser és a n ı a megrajolása nélkül) a hajlítónomatéki ábrát! 5. példa: (MP.II..47.) N M L dott a erber-típusú tartó terhelése. ajolja meg a IJ tartóra a N( ) K ( L ) ( ) igénbevételi ábrákat! [ B C P Q O N S R \VW VW UVW O X YZ TS ] Nm TUVW -UVW ^VW \VW - _ -UVW
5. példa: (MP.II..65.) ` ` végein sap tengelekre ékelt és érıj tárcsára ismert F ill. ismeretlen F ` a ` a a erık hatnak. F = ( 640e ) N F = Fe = 0. = 0. b = 0.8 és a = 0.m. eltételeve hog a tengel állandó sögsebességgel moog sámítsa ki F értékét és rajolja f f meg a N( ) c ( d ) e ( d ) és c ( d ) igénbevételi ábrákat! F F F F e N = ( 400 ) B g h ijj g kljj m n o h kpj qrj klpj m n s tp g m u g kpq
K tél egensúli alakja és igénbevétele 5. példa (MP.II...) és v pontokon felfüggestett kötelet három párhuamos erıbıl álló erırendser terheli. kötelet annira fesítjük meg hog a legnagobb kötélerı Nma =.5G legen. G = Ge G = 80 N a = m. Serkesse meg a kötél egensúli alakját és sámítsa ki a kötél w hossát! G G G kötél egensúli alakja a = pólustávolsággal serkestett a és v w { = 5 7 m 9.m. pontokon átveetett kötélsoksög ( ) 54. példa (MP.II..6.) és pontokban felfüggestett kötél önsúl okota belógása 0 = 4 m. kötél folómétersúla } = 40 N a felfüggestési pontok vísintes távolsága ~ = 5 sintkülönbsége m = 5. kis belógásra vonatkoó köelítések figelembevételével sámítsa ki a N 0 legkisebb kötélerıt valamint a F és F támastóerıket! N0 796 N F e e N = = ( 57 796 F e e N. = ( 68 + 796
K tél egensúli alakja és igénbevétele 55. példa: (MP.II...) ƒ = ƒe sögsebességgel forgó sugarú korongot a kerületére fesített acélsalaggal akarjuk lefékeni. N = 0 N ; = 0.. Sámítsa ki a F támastóerı nagságát ha: a. ƒ > 0 ; b. ƒ< 0! 0 N a.) F = 64.0 N b.) F = 4.86 N. 56. példa: (MP.II...) sugarú érdes korong felületére fektetett kötelet a ˆ rúd segítségével fesítjük meg. Š =. Mekkora ma = esetében maradhat a korong még nugalomban ha ma a. > 0 ; b. < 0? 0 F 0 0 a.) ma F 0 ( Š Œ = ) b.) ma F 0 ( Š Œ ) 0 =.