Matematika emelt szint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM
Formai előírások: Fontos tudnivalók 1. A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak megfelelően jelölni a hibákat, hiányokat stb.. A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsőben a feladatra adható maximális pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette levő téglalapba kerül.. Kifogástalan megoldás esetén elég a maximális pontszám beírása a megfelelő téglalapokba. 4. Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra. Tartalmi kérések: 1. Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk. Amennyiben azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenértékű részeit, és ennek alapján pontozzon.. A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók. Az adható pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek.. Nyilvánvalóan helyes gondolatmenet és végeredmény esetén maximális pontszám adható akkor is, ha a leírás az útmutatóban szereplőnél kevésbé részletezett. 4. Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, és a megoldandó probléma lényegében nem változik meg, akkor a következő részpontszámokat meg kell adni. 5. Elvi hibát követően egy gondolati egységen belül (ezeket az útmutatóban kettős vonal jelzi) a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont. Ha azonban a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel, mint kiinduló adattal helyesen számol tovább a következő gondolati egységben vagy részkérdésben, akkor erre a részre kapja meg a maximális pontot, ha a megoldandó probléma lényegében nem változik meg. 6. Ha a megoldási útmutatóban zárójelben szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor ennek hiánya esetén is teljes értékű a megoldás. 7. Egy feladatra adott többféle helyes megoldási próbálkozás közül a vizsgázó által megjelölt változat értékelhető. 8. A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális pontszámot meghaladó pont) nem adható. 9. Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel. 10. A vizsgafeladatsor II. részében kitűzött 5 feladat közül csak 4 feladat megoldása értékelhető. A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben feltehetőleg megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, amelynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába. Ennek megfelelően a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani. Ha mégsem derül ki egyértelműen, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor automatikusan a kitűzött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz az, amelyet nem kell értékelni. írásbeli vizsga 0801 / 11 009. május 5.
I. 1. 6 + 4 + 5 1+ 6 + 7 0 + 8 5 + 9 5 + 10 4 x =. 6 17 x = óra 6,6 óra. 6 Módusz: óra. Medián: 8 óra. Összesen: 7 pont Mértékegység nélküli helyes válaszért 1- jár. Ha a mediánt és a móduszt nem a 6 adatra vonatkoztatva állapítja meg, a -ot elveszti. pont Összesen: pont. Az A tipusú kávé egységára x, a B típusúé y. A feltételek alapján: 0x + 0y = 9000; 0x + 0y = 87000. Az egyenletrendszer megoldása: x = 1500 és y = 100. 4 pont A kávék egységára 1500 Ft, illetve 100Ft. Összesen: 10 pont Számolási hiba esetén legfeljebb adható. Jelölje a az A típusú kávéból felhasznált mennyiséget, ekkor a B típusúból 60 a kg-ot használnak fel. Így 1500a + 100(60 = 10000; a = 10. 10 kg A típusú és 50 kg B típusú kávét használnak a keverékhez. Összesen: 4 pont írásbeli vizsga 0801 / 11 009. május 5.
. x 4x 6 = 0. x =. 1 x = 1. ( 1) 8 y = x. A pont akkor is jár, ha a minimum helyét a zérushelyek számtani közepeként A minimum helye: x = 1. számolja ki. A minimum értéke: y = 8. Összesen: 6 pont pont Összesen: pont Ha nem az adott intervallumon ábrázol, akkor legfeljebb jár. írásbeli vizsga 0801 4 / 11 009. május 5.
c) A parabola egyenletében a =, 1 1 ezért = ; p =. p 4 A fókuszpont a tengelypont felett van p távolságra, tehát 6 F 1;. 8 Összesen: 4 pont Ha az kérdésre adott válaszai hibásak, és ezekkel jól dolgozik és /vagy c) kérdéseknél, az utóbbi teljes ponszámok járnak. 4. Értelmezési tartomány vizsgálata: I. x x 0. x 0 vagy x. II. x + > 0. x >. I. és II. < x 0 vagy x. Egy szorzat negatív, ha tényezői különböző előjelűek. Mivel x x negatív nem lehet, ezért x x > 0 és log 0, 1 ( x + ) < 0 kell legyen. A gyökös egyenlőtlenség megoldása: < x < 0 vagy < x. Mivel a fenti logaritmus függvény szigorúan monoton csökken, ezért x + > 1. x > 1. A megoldáshalmaz: 1 < x < 0 vagy < x. Összesen: 14 pont Ha az első mondat nem szerepel, akkor is pont. Az x = 0, x = esetek kizárásáért. A helyes egyenlőtlenségért a szöveges indoklás nélkül is jár a pont. írásbeli vizsga 0801 5 / 11 009. május 5.
II. Az 5 9. feladatok közül a tanuló által megjelölt feladatot nem kell értékelni. 5. 1. megoldás A mértani sorozat tagjai: a; b = aq és c = aq. Az első számtani sorozat tagjai: a; aq; aq a aq. A második számtani sorozat tagjai: a; aq + 9; aq. Az első számtani sorozatból: a + aq a aq aq =. A második számtani sorozatból: a + aq aq + 9 =. A fenti egyenletek rendezésével a következő egyenletrendszert kapjuk: aq 4aq = 0. aq aq + a = 18 Mivel aq 0, az első egyenletből: q = 4. Így a második egyenletből: a =. Ellenőrzés: mértani: ; 8; ; első számtani: ; 8; 14; második számtani: ; 17;. Tehát a = ; b = 8; c =. Ezt az egy pontot akkor is megkaphatja, ha a mértani sorozat tagjait csak az ellenőrzés során adja meg. Összesen: 16 pont. megoldás Az első számtani sorozat tagjai: a; b; c a b. Ezért a + c a b = b. (1) A második számtani sorozat tagjai: a; b + 9; c. Ezért a + c = b + 18. () b = ac. () (1)-ből: c = 4b. (4) () és (4)-ből: a = 18 b. (5) (), (4) és (5)-ből: b = 4b (18. b > 0 miatt b = 8. a =. c =. Ellenőrzés. Összesen: 16 pont írásbeli vizsga 0801 6 / 11 009. május 5.
6. Az első helyre ötféle szám kerülhet, a többi helyre hatféle. 5 5 6 = 8 880 hatjegyű számot készíthetünk. Összesen: pont Bármelyik alakban megadott helyes végeredmény elfogadható. A hatjegyű szám vagy nullára vagy ötre végződhet. Ha ez a mondat nem szerepel, de helyes a megoldás menete, ez a pont akkor is jár. Ha nullára végződik: 5! Ha 5-re végződik: 4 4! Összesen 5! + 4 4! = 16. Bármelyik alakban megadott helyes végeredmény elfogadható. Összesen: 6 pont c) Azon hatjegyű számok száma, amelyekben legalább egy számjegy ismétlődik, megkapható úgy, hogy az adott számjegyekből képezhető összes hatjegyű számok számából kivonjuk azoknak a hatjegyűeknek a számát, amelyek csupa különböző számjegyekből állnak. Az ismétlődés nélküli hatjegyű számok száma: 5 5! Az összes lehetőségek száma: pont Ha ez a gondolat nincs ilyen részletesen leírva, de a megoldásból egyértelműen kiderül, hogy ezt használja, akkor is jár ez a pont. 5 5 6. Erre az eredményre az kérdésnél pontozunk. Legalább egy ismétlődés van: 5 5 6 5 5! = 8 80. Összesen: 7 pont Bármelyik alakban megadott végeredmény elfogadható. írásbeli vizsga 0801 7 / 11 009. május 5.
7. A helyes ábráért, a lényeges adatok feltüntetéséért. Ha nincs ábra, vagy hiányos, de a helyes megoldásból látszik a jó elképzelés, ez a két pont akkor is jár. A γ szög megállapítása: γ 0 sin =. γ 19,7. A hangsebesség alapján a távolságok: a = 14 40 = 4760 m és ( ) ( m) b = 18 40 = 610. Az ABC háromszögben a koszinusztétel alapján: x = 4760 + 610 4760 610 cos 19,7º. x 10 00. A két helyszín távolsága kb. 10 km. Összesen: 10 pont Ez a pont a kilométerre kerekített értékért jár. Legyen a teljes út s. s s A menetidő: +. 5 s 5 Az átlagsebesség: = = s s 5 + + 5 0 =,86. 7 Az átlagsebesség,86 km/h. Összesen: 6 pont Ha nem számolja ki a menetidőt, hanem a harmonikus közép ismeretében számolja ki az átlagsebességet, akkor is a teljes pontszám jár. írásbeli vizsga 0801 8 / 11 009. május 5.
8. 1. megoldás Ha nincs ábra, de a helyes megoldásból látszik a jó elképzelés, ez a akkor is jár. m = 1 5 = 1 (cm). Azonos hegyesszöget tartalmazó derékszögű háromszögek alapján: h m =. 5 r 5 m( 5 r) 1 ( 5 r) Ebből h = = = 1, 4r. 5 5 A henger térfogata: V () r = r π( 1 -,4r) = π( 1r,4r ), r 0; 5. ahol ] [ () r π( 4r - 7,r ) V =. Szélsőérték ott lehet, ahol 4r 7,r = 0. 10 r 0, ezért r =. pont 10 r = esetén a derivált + előjelet vált, ezért V(r)-nek maximuma van. 10 A henger sugara cm. Összesen: 16 pont A két pont az r ] 0; 5[ megjegyzés nélkül is jár. Szöveges magyarázat nélkül is jár a pont. írásbeli vizsga 0801 9 / 11 009. május 5.
. megoldás V(r) meghatározásáig ez a megoldás megegyezik az 1. megoldással. () r = π( 1r,4r ) =,4π( 5r r ) 9 pont V = r r =,4π r r ( 5 - r) = 9,6π ( 5 r). r r Elég az ( 5 r) szorzat maximumát keresni, r r ahol + + 5 r összeg állandó, értéke 5. A számtani és mértani közép közötti összefüggés alapján: r r r r + + 5 r 5 15 ( 5 r) = =. 7 r Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha = 5 r, 10 azaz r =. 10 A henger sugara cm. Összesen: 16 pont 9. 15 + 8 + 7 = 0, de csak 18 tanuló van, ezért 1-en vannak, akik kétféle hangszeren tanulnak. pont Összesen: pont írásbeli vizsga 0801 10 / 11 009. május 5.
x tanuló van a Z S halmazban. 1*pont y tanuló van a Z G halmazban. Nincs olyan tanuló, aki egyszerre tanul gitározni és szaxofonozni, azaz a G S halmaz elemszáma, z = 0. Ha ezek a halmazábrában 7 x tanuló csak szaxofonozik. szerepelnek, akkor is jár a 8 y tanuló csak gitározik. 4 pont. x + y = 1. 7 x = ( 8 y). Az egyenletrendszer megoldása: x = 5; y = 7. Összesen: 7 pont * Ez a pont vagy az itteni gondolatért, vagy a szöveges válaszért jár. c) 7 A 7 szaxofonos közül kettőt -féleképpen választhatunk ki. 8 A 8 gitáros közül kettőt -féleképpen választhatunk ki. 7 8 Kedvező esetek száma: +. 18 A 18 tanuló közül kettőt -féleképpen választhatunk ki. 7 8 + A keresett valószínűség: 0,. A helyes végeredmény 18 bármelyik alakban elfogadható. Összesen: 6 pont írásbeli vizsga 0801 11 / 11 009. május 5.