M A T E M A T I K A
A K A D É M I A I K É Z I K Ö N Y V E K F I Z I K A Fôszerkesztô Holics Lásló S P O R T, É L E T M Ó D, E G É S Z S É G Fôszerkesztô Szatmári Zoltán F I L O Z Ó F I A Fôszerkesztô Boros Gábor M A G Y A R O R S Z Á G T Ö R T É N E T E Fôszerkesztô Romsics Ignác V I L Á G T Ö R T É N E T Fôszerkesztô Salamon Konrád M A G Y A R N Y E L V Fôszerkesztô Kiefer Ferenc K É M I A Fôszerkesztô Náray-Szabó Gábor V I L Á G I R O D A L O M Fôszerkesztô Pál József
M A T E M A T I K A Fôszerkesztô Gerôcs László Vancsó Ödön A k a d é m i a i A K i a d ó
Megjelent a NEMZETI KULTURÁLIS ALAP támogatásával Írták Bereczky Áron, Csányi Tibor, Gerőcs László, H. Temesvári Ágota, Katona Dániel, Kós Géza, Lerchner Szilvia, Máté László, Nagy Noémi, Németh László, Szakál Péter, Szűcs Zsolt, Vancsó Ödön Lektorálták Arató Miklós, Bátkay András, Gyenes Zoltán, Hortobágyi István, Katona Dániel, Sigray István ISBN 978 963 05 8488 3 ISSN 1787-4750 Kiadja az Akadémiai Kiadó, az 1795-ben alapított Magyar Könyvkiadók és Könyvterjesztôk Egyesülésének tagja 1117 Budapest, Prielle Kornélia u. 19. www.akademiaikiado.hu Elsô magyar nyelvû kiadás: 2010 Akadémiai Kiadó, 2010 Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a nyilvános elôadás, a rádió- és televízióadás, valamint a fordítás jogát, az egyes fejezeteket illetôen is. Printed in Hungary
Tartalom Elôszó...................................................... 13 A kötetben használt jelölések....................................... 15 1. Halmazok (Gerôcs László)................................ 25 1.1. Alapfogalmak.......................................... 25 1.2. Mûveletek halmazokkal................................. 28 1.3. A természetes számok halmaza, oszthatóság, számelmélet.... 31 1.4. További számhalmazok, halmazok számossága.............. 41 2. Logikai alapok (Bereczky Áron)............................ 49 2.1. Állítások logikai értéke, logikai mûveletek.................. 49 2.2. Predikátumok és kvantorok.............................. 51 2.3. Bizonyítási módszerek................................... 54 3. Számtan, elemi algebra (Gerôcs László)..................... 57 3.1. Elemi számtan (a számok írásának kialakulása, mûveletek különbözô számokkal, negatív számok, törtek, tizedes törtek), kerekítés, százalékszámítás.............................. 57 3.2. Arányok (egyenes és fordított arányosság, az aranymetszés, a r), nevezetes közepek...................................... 76 3.3. Algebrai kifejezések és mûveletek, hatványozás, összevonás, szorzás, kiemelés, nevezetes azonosságok.................. 82 3.4. Gyökvonás, hatványozás, logaritmus és mûveleteik.......... 98 3.5. Számrendszerek........................................ 110 3.6. Egyenletek, egyenletrendszerek (fogalom, mérlegelv, osztályozás fokszám és egyenletek száma szerint, elsô- és másodfokú egyenletek, exponenciális és logaritmikus egyenletek)........ 114 3.7. Harmad- és negyedfokú egyenletek (speciális magasabb fokú egyenletek)............................................ 132 5
T a r t a l o m 4. Polinomok és komplex számok algebrája (Bereczky Áron)..... 141 4.1. Mûveletek polinomokkal, oszthatóság, legnagyobb közös osztó 141 4.2. Szorzatfelbontás, felbonthatatlan polinomok................ 147 4.3. Komplex számok....................................... 155 4.4. Polinomok zérushelyei.................................. 163 4.5. Többváltozós polinomok................................. 170 5. A sík elemi geometriája (Gerôcs László)..................... 173 5.1. A geometria rövid története.............................. 173 5.2. Geometriai alapfogalmak................................ 174 5.3. Geometriai transzformációk.............................. 178 5.4. Háromszögek, nevezetes vonalak, pontok, körök, egyéb nevezetes objektumok............................................ 193 5.5. Négyszögek............................................ 218 5.6. Sokszögek, szabályos sokszögek, aranymetszés.............. 224 5.7. A kör és részei, kerületi és középponti szögek, húr- és érintõnégyszögek............................................ 231 5.8. Geometriai szerkesztések, speciális szerkesztések............ 248 6. A tér elemi geometriája (Gerôcs László)..................... 265 6.1. Alapfogalmak.......................................... 265 6.2. Poliéderek............................................. 273 6.3. Görbe felületû testek.................................... 291 6.4. Henger és kúp síkmetszetei............................... 306 7. Ábrázoló geometria (H. Temesvári Ágota Szakál Péter Németh László)............ 311 7.1. Bevezetés............................................. 311 7.2. Ábrázolás két képsíkon.................................. 322 7.3. Axonometrikus ábrázolás................................ 345 7.4. Néhány görbékre és felületekre vonatkozó feladat........... 351 7.5. Kótás ábrázolás......................................... 373 7.6. Néhány további ábrázolási módszer....................... 388 8. Vektorok (Gerôcs László)................................. 399 8.1. A vektor fogalma és jellemzõi............................. 399 8.2. Mûveletek vektorokkal, vektorok a koordináta-rendszerben... 400 8.3. Vektorok skaláris szorzata, vektoriális szorzata, vegyes szorzat 412 6
T a r t a l o m 9. Szögfüggvények (Gerôcs László)........................... 429 9.1. A hegyesszög szögfüggvényei............................. 429 9.2. Szögfüggvények általánosítása............................ 442 9.3. Szögfüggvények alkalmazása háromszögekkel kapcsolatos problémák megoldására................................. 456 9.4. Trigonometrikus egyenletek.............................. 470 9.5. Trigonometrikus függvények és inverzeik................... 475 9.6. Gömbháromszögek és tulajdonságaik...................... 482 10. Analitikus geometria (Gerôcs László)....................... 495 10.1. A sík analitikus geometriája (alapfogalmak, szakaszosztópontjai, két pont távolsága, a háromszög területe).................. 495 10.2. Az egyenes egyenletei (két egyenes metszéspontja, hajlásszöge, pont és egyenes távolsága)............................... 505 10.3. A kör egyenlete......................................... 517 10.4. Koordinátatranszformációk.............................. 531 10.5. Kúpszeletek egyenletei, másodrendû görbék................ 533 10.6. Polárkoordináták....................................... 559 10.7. A tér analitikus geometriája (sík és egyenes, másodrendû felületek, térbeli polárkoordináták)................................ 560 11. Lineáris algebra (Bereczky Áron).......................... 587 11.1. Mátrixok és determinánsok............................... 588 11.2. Lineáris egyenletrendszerek.............................. 599 11.3. Vektorterek............................................ 607 11.4. Lineáris leképezések.................................... 618 11.5. Bilineáris függvények................................... 629 11.6. Euklideszi terek........................................ 637 12. Absztrakt algebra (Bereczky Áron)......................... 647 12.1. Az algebrai struktúrákról általában........................ 647 12.2. Gyûrûelmélet, alapfogalmak............................. 650 12.3. Kommutatív egységelemes gyûrûk......................... 656 12.4. Csoportelmélet, alapfogalmak............................ 660 12.5. További témák a csoportelméletbõl........................ 670 12.6. Testek és Galois-csoportok............................... 674 12.7. Modulusok............................................ 683 12.8. Hálók és Boole-algebrák................................. 687 7
T a r t a l o m 8 13. Számelmélet (Bereczky Áron)............................. 691 13.1. Bevezetés, oszthatóság.................................. 691 13.2. Számelméleti függvények................................ 694 13.3. Kongruenciák.......................................... 698 13.4. A kongruenciaosztályok algebrája......................... 704 13.5. Kvadratikus maradékok................................. 708 13.6. Prímszámok........................................... 711 13.7. Diofantikus egyenletek.................................. 719 14. Számsorozatok (Gerôcs László)............................ 725 14.1. A számsorozat fogalma.................................. 725 14.2. A számtani sorozat és tulajdonságai....................... 727 14.3. A mértani sorozat és tulajdonságai........................ 729 14.4. Korlátos, monoton, konvergens sorozatok.................. 733 14.5. A Fibonacci-sorozat..................................... 743 14.6. Magasabb rendû lineáris rekurzív sorozatok, néhány speciális sor 747 15. Elemi függvények és tulajdonságaik (Csányi Tibor)........... 749 15.1. Függvény.............................................. 749 15.2. Polinomfüggvények..................................... 762 15.3. Racionális törtfüggvények............................... 766 15.4. Exponenciális és logaritmusfüggvények.................... 768 15.5. Trigonometrikus függvények............................. 772 15.6. Hiperbolikus függvények................................ 781 16. A valós analízis elemei (Szûcs Zsolt)........................ 791 16.1. A valós számok alapfogalmai............................. 791 16.2. Számsorozatok......................................... 793 16.3. Numerikus sorok....................................... 802 16.4. Egyváltozós függvények folytonossága és határértéke........ 807 16.5. Többváltozós analízis elemei............................. 821 17. Differenciálszámítás és alkalmazásai (Nagy Noémi).......... 825 17.1. Differenciálható függvények.............................. 825 17.2. Nevezetes függvények deriváltja.......................... 829 17.3. Függvénymûveletek és a deriválás kapcsolata............... 834 17.4. Differenciálható függvények tulajdonságai................. 839 17.5. Differenciálszámítás alkalmazása függvények viselkedésének leírására.............................................. 843
T a r t a l o m 17.6. Többváltozós függvények differenciálása................... 863 17.7. Fizikai alkalmazások.................................... 874 18. Integrálszámítás és alkalmazásai (Nagy Noémi).............. 879 18.1. Határozatlan integrál................................... 879 18.2. Riemann-integrál és tulajdonságai......................... 887 18.3. Numerikus integrálás................................... 906 18.4. Integrálszámítás alkalmazásai (terület, térfogat, ívhossz)..... 913 18.5. Többváltozós integrál................................... 920 19. Közönséges differenciálegyenletek (Lerchner Szilvia)......... 929 19.1. Bevezetés............................................. 929 19.2. Elsõrendû egyenletek................................... 932 19.3. Differenciálegyenlet-rendszerek.......................... 945 19.4. Magasabb rendû egyenletek.............................. 956 19.5. A Laplace-transzformáció................................ 961 19.6. Függvénysorok......................................... 966 20. Parciális differenciálegyenletek (Nagy Noémi)............... 979 20.1. Bevezetés............................................. 979 20.2. Elsõrendû egyenletek................................... 980 20.3. Másodrendû egyenletek................................. 991 20.4. Vektoranalízis és integrálátalakító tételek.................. 997 20.5. A hõvezetési egyenlet és a hullámegyenlet.................. 1008 21. Komplex függvénytan (Kós Géza).......................... 1013 21.1. Bevezetõ.............................................. 1013 21.2. Reguláris függvények................................... 1015 21.3. Integráltételek......................................... 1026 21.4. Hatványsorba és Laurent-sorba fejtés...................... 1042 21.5. A reziduumtétel és alkalmazásai.......................... 1055 21.6. Konform leképezések.................................... 1063 21.7. Harmonikus függvények................................. 1068 22. Fraktálgeometria (Máté László)........................... 1073 22.1. Bevezetõ példák........................................ 1073 22.2. Mátrixok és geometriai transzformációk.................... 1080 22.3. Hasonlósági és kontraktív leképezések, halmazfüggvények.... 1083 22.4. Az IFS-modell.......................................... 1085 9
T a r t a l o m 10 22.5. Olvasmány a halmazok távolságáról....................... 1088 22.6. Az IFS-modell tulajdonságai.............................. 1093 22.7. IFS-modell és önhasonlóság.............................. 1094 22.8. Önhasonló halmazok szerkezete és a valóság.............. 1095 22.9. A fraktáldimenziók..................................... 1099 22.10. A hatványszabály (power law)............................ 1104 22.11. A boxdimenzió......................................... 1107 22.12. Mit mér a boxdimenzió?................................. 1108 22.13. Tetszõleges halmaz boxdimenziója........................ 1109 22.14. Fraktáldimenzió a geodéziában........................... 1112 23. Kombinatorika (Vancsó Ödön)............................ 1115 23.1. Egyszerû sorba rendezési és kiválasztási problémák.......... 1115 23.2. Egyszerû sorba rendezési és leszámolási feladatok ismétlõdõ elemekkel............................................. 1125 23.3. A kombinatorika alkalmazásai, összetettebb leszámlálásos problémák............................................. 1128 23.4. A kombinatorikus geometria elemei....................... 1141 24. Gráfok (Vancsó Ödön)................................... 1151 24.1. Alapfogalmak.......................................... 1151 24.2. Gráfok összefüggõsége, fák, erdõk......................... 1157 24.3. A gráfok bejárásai....................................... 1169 24.4. Speciális gráfok és tulajdonságaik......................... 1174 24.5. Irányított gráfok........................................ 1186 24.6. Szállítási problémák modellezése gráfokkal (Katona Dániel)... 1193 24.7. Véletlen gráfok......................................... 1202 24.8. Gráfok alkalmazásai.................................... 1206 24.9. Gráfok és mátrixok...................................... 1217 25. Kódelmélet (Bereczky Áron).............................. 1225 25.1. Bevezetés............................................. 1225 25.2. Hibajavító kódok....................................... 1231 25.3. Lineáris kódok......................................... 1237 25.4. Ciklikus kódok......................................... 1246 26. Valószínûség-számítás (Vancsó Ödön)...................... 1251 26.1. Alapfogalmak, bevezetés................................. 1251 26.2. Valószínûségi mezô, események, eseményalgebra............ 1258
T a r t a l o m 26.3. Feltételes valószínûség, függetlenség...................... 1265 26.4. Valószínûségi változók.................................. 1276 26.5. Nevezetes diszkrét eloszlások............................. 1289 26.6. Nevezetes folytonos eloszlások............................ 1298 26.7. Az eloszlások legfontosabb jellemzôi: a várható érték és a szórás 1307 26.8. A nagy számok törvényei................................. 1324 26.9. Nevezetes határeloszlás-tételek........................... 1331 26.10. Korreláció, regresszió................................... 1333 26.11. Egyszerû véletlen folyamatok matematikai leírása........... 1339 27. Matematikai statisztika (Vancsó Ödön)..................... 1347 27.1. Leíró statisztika, alapfogalmak, mintavétel, adatsokaság...... 1348 27.2. Adatok szemléltetése, ábrázolása.......................... 1354 27.3. Átlag és szórás......................................... 1368 27.4. Idôsorok.............................................. 1377 27.5. Összefüggések két ismérv között.......................... 1384 27.6. Összetett intenzitási viszonyszámok és indexálás............ 1396 27.7. A matematikai statisztika alapelvei, hipotézisvizsgálat........ 1401 27.8. A Bayes-statisztika elemei................................ 1422 Tárgymutató.................................................... 1443 11
Elõszó Az Akadémiai kézikönyvek sorozat Matematika címû kötetét tartja kezében az olvasó. Bár kétségtelen, hogy több, jól használható matematikai kézikönyv is található a könyvpiacon, a kiadó mégis úgy gondolta, hogy a sorozatból nem maradhat ki éppen a matematika. Egy olyan matematikai ismereteket tartalmazó kötet, amely a XXI. század kihívásainak megfelelôen a hagyományos alap - ismeretek mellett a kor néhány újabb matematikai területét is tárgyalja, és ezek alapvetô fogalmaival igyekszik megismertetni az érdeklôdôket. Ennek megfelelôen a kötetben a hagyományosan tanultak (a felsôoktatási intézmények BSc fokozatáig bezárólag): a legfontosabb fogalmak, tételek, eljárások és módszerek kapják a hangsúlyosabb szerepet, de mindezek mellett igyekeztünk olyan (már inkább az MSc fokozatba tartozó) ismereteket is érinteni, melyek nagyobb rálátást, mélyebb betekintést kínálnak a kötet olvasóinak. Fontosnak tartottuk azt is, hogy a kötetbe bekerüljenek középiskolai szinten is azok a témakörök, melyek az új típusú érettségi követelményrendszerben is megjelentek (például a statisztika vagy a gráfelmélet). Mindezek mellett bár érintôlegesen a matematikai kutatások néhány újabb területét (kódoláselmélet, fraktálelmélet stb.) is bemutatjuk. Könyvünk 27 fejezetbôl áll. Az elsô fejezetekben az elemi számolási fogalmak és szabályok szerepelnek, majd a továbbiak elsôsorban a középiskolai tananyagban elôforduló legfontosabb területeket tárgyalják. A kötet második felében találjuk a felsôoktatási tematikáknak megfelelô témákat tárgyaló fejezeteket. Ez alól kivétel a 23., 24., 26. és 27. fejezet, ahol a középiskolai és a felsôoktatási anyag egy egységben szerepel. Az egyes fejezetekben levô fogalmakat gyakran magyarázattal is elláttuk. Sok esetben a fontosnak tartott tételek bizonyítását is megadtuk, hol csak vázlatosan, hol teljes részletességgel. Mivel néhány felsôoktatási intézményben alapvetôen fontos témakör az ábrázoló geometria, és a jelenleg forgalomban levô matematikai kézikönyvek általában nem vagy csak nagyon érintôlegesen tárgyalják, ezt a témakört kicsit részletesebben kifejtjük. Ezzel elsôsorban a mûszaki jellegû felsôoktatási intézményekben tanulóknak szeretnénk segítséget nyújtani. 13
E l ô s z ó Az egyes fejezeteken belül részletesen kidolgozott mintapéldák vannak a tárgyalt elméleti anyag alkalmazására, melyek áttanulmányozása nagyban hozzájárulhat az elméleti problémák mélyebb megértéséhez. Kötetünknek több szerzôje van. Ennek megfelelôen a stílus, a szövegformálás (ami nyilván szubjektív elemeket is hordoz) az egyes fejezeteket illetôen eltérô lehet. Mindez azonban, reményeink szerint, nem megy az élvezhetôség és a megértés rovására. Reméljük, hogy egy olyan könyv kerül az olvasó kezébe legyen általános vagy középiskolás diák, egyetemi hallgató vagy az idôsebb generációhoz tartozó, de a tárgyat valaha komolyabban tanuló és értô felnôtt, mely kellô eligazodást nyújt számára, akár egy számonkérésre való felkészüléshez, akár régen tanult, de valamelyest elfelejtett ismeretek felelevenítéséhez. Így akár érettségire készüléshez, akár egyetemi vizsgához is hasznos segédeszköz lehet. Az áttekintést segíti, hogy minden definíciót szürke tónusú kiemeléssel jeleztünk, minden tétel keretbe került, a példákat pedig más betûméret jelzi. A legfontosabb jelölések jegyzéke és egy tárgymutató is könnyíti a keresést és eligazodást ebben az egyébként igen vaskosra sikerült kötetben. A könyv a szokásos kézikönyveknél kissé részletesebben fejti ki az egyes témák matematikai tartalmát, és fôleg a sok példával az alkalmazásokat támogatja, ami a mai matematikaoktatás egyik fontos, korábban kissé elhanyagolt területe. Budapest, 2009 októbere A szerkesztôk 14
7. Ábrázoló geometria 7.1. Bevezetés Az ábrázoló geometria története pár ezer éves. Az építészet, a térképészet alakították ki elsõ, talán ma már kezdetlegesnek tûnõ eljárásait. Az alap- és homlokrajz eljárását a középkor építészete bonyolultabb feladatok megoldására is felhasználta. Késõbb a technika fejlõdése is hozzájárult az ábrázolás tudományának kialakulásához. Gaspard Monge (1746 1818) foglalta tudományos rendszerbe az addigi módszereket, eljárásokat. Munkássága nyomán megszületett az alkalmazott matematika új ága, amelyet ma ábrázoló geometria néven ismernek. A geometria részterületeként tartják számon, a geometriai leképezések elméletének egy alkalmazása. Az ábrázoló geometria célja a térbeli alakzatok elsõsorban síkon való ábrázolása. Valamely síkbeli vagy térbeli alakzat ábrázolásán olyan geometriai alapokra épülõ módszereket, eljárásokat értünk, melyek lehetõvé teszik a térbeli alakzat méreteinek, helyzetének, alakjának grafikus szemléltetését, valamint az alak - zattal kapcsolatos geometriai feladatok szerkesztéssel történõ megoldását. Módszere a vetítés, az ábrázolás ered ménye az alakzat képe, vetülete (projekció). Az ábrázolási módszerekkel szemben támasztott legfontosabb követelmények: az ábrázolt alakzat geometriai viszonyai a vetületek alapján egyértelmûen megállapít hatóak legyenek, az ábrázolás eredményeképpen nyert képek lehetõleg szemléletesek legyenek, azaz a vetületek alapján könnyen el tudjuk képzelni az alakzatot. A vetítés egyik módja a párhuzamos vetítés. Ennek során adott a K sík és a v egyenes (7.1. ábra), ahol v-nek és K-nak egyetlen közös pontja van. A tér pontjait v irányú egyenesekkel, a vetítõsugarakkal képezzük le a K síkra, a képsíkra. A 7.1. ábrán a v adott egyenes adja a vetítõsugarak irányát. A tér tetszõleges P pontján át fektetett v állású egyenes K-val alkotott P a döféspontja a P pont pár huzamos vetülete, a P pont képe. Ha v K, akkor merõleges (ortogonális) vetítésrõl beszé lünk, ha pedig v nem merõleges K-ra, akkor ferde (klinogonális) vetítésrõl. A centrális vetítés esetén adott az O pont és a rá nem illeszkedõ K sík (7.2. ábra). A tér pontjait az O pontból, a centrumból vagy vetítési középpontból vetítjük le a K síkra, melyet képsíknak nevezünk. A tér valamely P pontjának P c centrális vetülete 311
7. Ábrázoló geometria (centrá lis képe) az OP egyenes (vetítõsugár) és a K képsík közös pontja. A centrális vetítést alkal mazó ábrázolási módszerrel a 7.5. fejezetben ismerkedünk meg részletesebben. Valamely alakzat pontjainak vetületei (képei) az alakzat vetületét (képét) alkotják. v P O P K P a P c K 7.1. ábra 7.2. ábra Az ábrázolással szemben támasztott követelmény a rekonstrukció (visszaállítás), vagyis az ábrázolt alakzat térbeli helyzetére, alakjára, geometriai viszonyaira való visszakövetkeztetés a vetületek ismeretében. A fenti két vetítés nyilván nem létesít egy-egyértelmû megfeleltetést a tér és a K képsík pontjai között. A különbözõ ábrázolási módszerek különféle módon igyekeznek kiküszöbölni ezt a problémát és más-más módon biztosítani az egyértelmû visszaállítást. A mérnöki munkában, a mûvészetekben szükségesek olyan képességek is, melyek lehetõvé teszik valamely alkotás elképzelését, rajzban való megfelelõ rögzítését még annak megvalósítása elõtt. Ehhez egyrészt megfelelõ térszemlélet és geometriai, térgeometriai ismeretanyag szükséges. Ezenkívül el kell sajátítani azokat az alapvetõ ábrázoló geometriai, mûszaki rajzban használatos módszereket, melyek lehetõvé teszik az ábrázolást, szemléltetést. A geometriai, ábrázoló geometriai ismeretek segítik a számítógéppel való tervezést is. Az alábbiakban csak a leggyakrabban használt ábrázolási módszerekkel foglalkozhatunk, helyszûke miatt. A megadott irodalomjegyzék további ismeretek elsajátítására nyújt lehetõséget. Jelölések, szerkesztések 312 A háromdimenziós euklideszi tér legegyszerûbb geometriai alak zatai, a térelemek: a pont, az egyenes és a sík. A térelemek jelölése: pontok: A, B, C, (dõlt nagybetûk), egyenesek: a, b, c, (dõlt kisbetûk), síkok: A, B, C, (álló nagybetûk).
7.1. B e v e z e t é s A különbözõ ábrázolási módszerek foglalkoznak a térelemek és azok kölcsönös helyzetének ábrázolásával. Ennek megfelelõen tárgyalják az illeszkedõ, a párhuzamos, a metszõ térelemek megadásával kapcsolatos kérdéseket, valamint azt, hogy a vetületekbõl milyen módon következtethetünk térbeli viszonyaikra. A szokásos jelöléseket használjuk. A teljesség igénye nélkül néhány példa. A P e jelölés szerint a P pont illeszkedik az e egyenesre. Ellenkezõ esetben P e. Egyenes és sík illeszkedésének jelö lése: e S. Az a és b párhuzamos egyeneseket a ; b jelöli. Ha az e egyenes metszi az S síkot, akkor a metszéspont D=e S. A D pontot az e egyenes S síkkal való döféspontjá nak nevezzük. Az A és B pontok által meghatározott egyenest AB-vel, az A, B, C nem egy egyenesre illesz kedõ pontok által meghatározott síkot ABC-vel jelöljük. A P pont és a rá nem illeszkedõ e egyenes síkja: Pe. Hasonlóan az a és b egyenesek által meghatározott síkot ab jelöli. A helyzetgeometriai feladatok megoldásánál nehezebb probléma az ábrázolt alakzatok méreteinek meghatározásával kapcsolatos szerkesztési feladatok megoldása, illetve adott metrikus tulajdonságokkal rendelkezõ alakzatok ábrázolása. (Ez az igény mûszaki vonatkozású ábrázolások esetén, a méretezésekkel kapcsolatban fokozottan fellép.) A geometriai alapot a térelemek távolságainak és szögeinek meghatározásával kapcsolatos definíciók és a vetítés tulajdonságainak ismerete jelenti. Bizonyos ábrázolási módok esetén fontos szerepet játszik a merõlegesség is, különösen a következõ esetben. Az S síkot metszõ n egyenes merõleges a síkra, ha a T=S n ponton átmenõ, minden S síkbeli egyenesre merõleges. Az S síkra merõleges n egyenest a sík egy nor málisának nevezzük, a T döféspontot pedig n talppontjának. A fenti feladatok megoldásánál térbeli szerkesztési feladatok lépnek fel, melyeket az adott ábrázolási módszer síkbeli szerkesztésekre vezet vissza. Ez oly módon történik, hogy a szerkesztés eredménye visszavihetõ a térbeli alakzatra. A síkgeometriában a szerkesztések nagy részében úgynevezett euklideszi szerkesz téseket alkalmazzunk. Euklideszi szerkesztéseket használunk például adott szakasz felezõ merõlegesének, adott szög szögfelezõ egyenesének megszerkesztésénél stb. Feladat. Adott az e egyenes és a P e pont. Szerkesszünk P-n át e-vel párhuzamos f egyenest! Megoldás. Rajzoljunk P középpontú, e-t két pontban (G és F) metszõ kört (7.3. ábra)! Írjunk P körül GF sugarú, F körül GP sugarú kört! Az FGP szögtartományba esõ metszéspontjuk legyen N! A PN egyenes a keresett f párhuzamos egyenes. Másképpen is szerkeszthetünk. Szerkesszünk P-bõl e-re merõleges m egyenest, majd ezután m-re merõleges egyenest P-ben! Ez utóbbi az f egyenes. 313
7. Ábrázoló geometria Megjegyezzük, hogy szokás a szerkesztés során úgy eljárni, hogy az egyik háromszögvonalzó átfogójának élét az e egyenesre illesztjük (7.4. ábra), a másik vonalzó egyik élét az elsõ befo gójával összeillesztjük. A második rögzített helyzete esetén az elsõt eltolva párhuzamos egyenest rajzolhatunk P-n át. Ez a szerkesztés nyilván már nem euklideszi, hiszen az eltolás során végtelen sok helyzetet érintünk. P f P N f e e G F 7.3. ábra 7.4. ábra Még az elvileg pontos szerkesztések is a gyakorlati végrehajtás során pontatlanná válnak. Megfelelõnek tekintjük a szerkesztést, ha a pontatlanság nem számottevõ. Sokszor alkalmazunk ún. közelítõ szerkesztéseket, amikor a szerkesztés elvileg sem pontos, viszont ez a pontatlanság elhanyagolhatóan kicsi. Körív közelítõ hosszának szerkesztésénél alkal maz hatjuk a következõ Snellius-féle szerkesztést. Az O közép pontú r sugarú kör a középponti szögéhez tartozó PL ívét tekintjük (7.5. ábra). Az OL szakasz O-n túli meghosszab bí tá sára felmérjük az r sugár kétszeresét. Az így kapott M pontot összekötjük P-vel. Legyen Q az MP egyenes és a körhöz az L pontban vont érintõ metszéspontja! Ekkor 3 sin α QL = r. Ebbõl 2 + cos α adódik, hogy a < 30 esetén a QL szakasz és a PL ív eltérése nem nagyobb, mint r két tized része. A 30 -nál nagyobb szögeket 30 -nál kisebbekre bontva alkalmazhatjuk az elõzõ szer kesztést. P Q a M r r O r L 7.5. ábra 314 Egy másik megoldás, ha a körívet a körbe beírt, elég nagy oldalszámú sokszög kerületével közelítjük (rektifikáljuk), melyet már könnyen meghatározhatunk. Ezt a módszert alkalmaz hatjuk síkbeli görbeívek esetén, ha az íveknek van ív hosszuk.
7.1. B e v e z e t é s A térgeometriai szerkesztések során a síkgeometriai szerkesztési eszközeink, ha nem síkbeli a feladat, nem alkalmazhatók. Értelmeznünk kell, mit jelent egy térbeli szerkesz tést elvégezni. A térben akkor tekintünk megszerkesztettnek egy alakzatot, ha a kiindulási adatokból a következõ, ún. alapszerkesztések véges sokszori alkalmazásával eljutunk a keresett alakzathoz: Egy síkot megszerkesztettnek tekintünk, ha ismerjük a síkot egyértelmûen meghatá rozó adatokat. Ha adott két sík, akkor feltételezzük, hogy a metszésvonalukat is meg tudjuk hatá rozni. Ha adott a térben egy tetszõleges sík, akkor ebben a síkban minden, a síkgeometriában szokásos szerkesztést végre tudunk hajtani. Nézzünk egy példát térbeli szerkesztési feladatra! Feladat. Adottak az e és f kitérõ egyenesek, vala mint a rájuk nem illeszkedõ P pont. Szerkesszünk P-n át olyan g egyenest, mely mindkét adott egyenest metszi. Megoldás. A szerkesztendõ g egyenes átmegy P-n, és metszi e-t, tehát benne van a Pe síkban (7.6. ábra). Hasonlóan benne van a Pf síkban is. Tehát g a két sík metszésvonala. Ha a két sík metszésvonala pár huzamos e-vel vagy f-fel, akkor nincs megoldás, különben pedig egyetlen megoldás van. Megjegyez zük, hogy az ábrázoló geometria eszközeivel a fent leírt szerkesztés konkrétan végrehajtható. f Pf g P Pe e 7.6. ábra Néhány geometriai transzformáció, leképezés A következõkben azokat a geometriai transzformációkat említjük meg, melyek egyrészt a különbözõ felületek konstrukciói szempontjából fontosak, másrészt a legalapvetõbb ábrázolási módoknál fellépnek. 315
7. Ábrázoló geometria Néhány térbeli egybevágósági transzformáció A távolságtartó transzformációkat neveztük egybevágósági transzformációknak. A síkbeli egybevágósági transzformációk közül középis kolában is szerepeltek a következõk: eltolás, pont körüli forgatás (ezen belül a pontra vonatkozó tükrözés), tengelyes tükrözés. A tér OB irányított szakaszával való eltolását a síkbeli esethez hasonlóan értelmezhetjük (sík helyett mindenütt teret kell gondolni) (7.7. ábra). A tér t egyenes körüli { irányított szögû elforgatása során (7.8. ábra) a t egyenes pontjai helyben marad nak. Állítsunk merõlegest a tér P (P t) pontjából t-re, a merõleges talppontja legyen T! A transzformáció a tér P pontjához azt a pontot rendeli, melyre TP=T, T t és (PT) ={ teljesülnek. A t egyenest forgástengelynek nevezzük. A csavarmozgás egy tengely körüli forgatás és egy, a tengellyel párhuzamos eltolás egymás utánja (7.9. ábra). t t O P P T { P T { B 7.7. ábra 7.8. ábra 7.9. ábra 316 Tekintsünk egy S síkot! Az S síkra vonatkozó tükrözésnél (7.10. ábra) a sík pontjai helyben maradnak, fixpontok. Az S által határolt egyik féltér P pontjához oly módon rendeljük hozzá a másik féltér pontját, hogy P S, és ha P talppontja S-en T, akkor PT=T. Az S síkot szimmetriasík nak nevezzük. A tér O pontjára vonatkozó tükrözésnél O-hoz önmagát rendeljük (7.11. ábra), a tér egy további P pontjához az OP egyenesnek azt a pontját rendeljük, mely az O kezdõpontú P-t nem tartalmazó félegyenesen van, és amelyre OP=O teljesül. A térbeli transzformációknál is vizsgáljuk, hogy az orientációt megtartják-e, vagy sem. Ehhez szükség van a jobbrendszer, illetve balrendszer fogalmára. Legyen O a nem egysíkú e, f, g félegyenesek közös kezdõpontja (7.12. ábra). Ha g irányával szembe nézve az e félegyenest az f félegyenesbe az O körüli, az ef síkban levõ, 180 -nál kisebb, pozitív irányú (azaz megállapodás szerint az óramutató járásával ellentétes) elforgatás viszi, akkor az e, f, g félegyenesek jobbrendszert alkotnak. El-