1. Gondoltam egy négyjegyű számot. Az első két számjegy 3, az utolsó kettőé pedig 7, és a középső két számjegyből alkotott szám osztható 4-gyel. Melyik számra gondolhattam? Határozd meg az összes lehetőséget! Az első feladat másolási hiba miatt megegyezik az előző forduló utolsó feladatával. Aki beadta a forduló megoldását annak az 1. feladatát maximális pontszámmal számoljuk be. Legyen a négyjegyű szám: ABCD. Feltételek: A + B = 3; C + D = 7; BC osztható néggyel. Néggyel osztató számok végződése: 0, 2, 4, 6, 8. (A 8-as nem lehet a feladat feltételei miatt.) A C lehetséges értékei: 0; 2; 4; 6. Ha C = 0 B lehetséges értéke: 0; 2. 3 0 0 7 1 2 0 7 Ha C = 2 B lehetséges értéke: 1. 2 1 2 5 Ha C = 4 B lehetséges értéke: 0; 2. 3 0 4 3 1 2 4 3 Ha C = 6 B lehetséges értéke: 1. 2 1 6 1 A lehetséges megoldások: 1207; 1243; 2125; 2161; 3007; 3043.
2. Egy téglalap rövidebb oldala 2, átlója 4 egység. Mekkora szöget zárnak be a téglalap átlói egymással és az oldalakkal? A téglalap átlói felezik egymást. AO = DO = 2 egység. Az AOD háromszög egyenlő szárú háromszög (szabályos háromszög). Az egyenlőszárú háromszög minden szöge egyforma. Háromszög belső szögeinek 180. A háromszög minden szöge 60. D A O C B Akkor az átlók által bezárt szög 60. Az átlók és az oldalak által bezárt szög: a rövidebb oldallal bezárt szög: 60. a hosszabb oldallal bezárt szög: 30. (A DA oldal az AB oldallal 90 -os szöget zár be. 90-60 = 30.) A feladatra 8 pont kapható.
1. számjegy 2. számjegy 3. számjegy 1. és 3. számjegy 4. számjegy 2. és 4. számjegy 1. számjegy 2. számjegy 3. számjegy 1. és 3. számjegy 4. számjegy 2. és 4. számjegy BÖLCS BAGOLY LEVELEZŐS MATEMATIKAVERSENY 3. A 2013 egy olyan természetes szám, amelyben az első és a harmadik számjegy megegyezik a második és a negyedik számjegy összegével. Hány ilyen évszám van a 3. évezredben? 2013 2 +1 = 0 + 3 A harmadik évezredben a feladat feltételeinek megfelelő évszámok első számjegye: 2. 1. 1. 2 0 0 2 2 2 34. 1. 2 0 6 8 8 8 2. 2. 2 0 0 2 2 2 35. 2. 2 8 6 8 0 8 3. 3. 2 1 0 2 1 2 36. 3. 2 1 6 8 7 8 4. 1. 2 3 1 3 0 3 37. 4. 2 7 6 8 1 8 5. 2. 2 0 1 3 3 3 38. 5. 2 2 6 8 6 8 6. 3. 2 1 1 3 2 3 39. 6. 2 6 6 8 2 8 7. 4. 2 2 1 3 1 3 40. 7. 2 3 6 8 5 8 8. 1. 2 0 2 4 4 4 41. 8. 2 5 6 8 3 8 9. 2. 2 4 2 4 0 4 42. 9. 2 4 6 8 4 8 10. 3. 2 1 2 4 3 4 43. 1. 2 0 7 9 9 9 11. 4. 2 3 2 4 1 4 44. 2. 2 9 7 9 0 9 12. 5. 2 2 2 4 2 4 45. 3. 2 1 7 9 8 9 13. 1. 2 0 3 5 5 5 46. 4. 2 8 7 9 1 9 14. 2. 2 5 3 5 0 5 47. 5. 2 2 7 9 7 9 15. 3. 2 1 3 5 4 5 48. 6. 2 7 7 9 2 9 16. 4. 2 4 3 5 1 5 49. 7. 2 3 7 9 6 9 17. 5. 2 2 3 5 3 5 50. 8. 2 6 7 9 3 9 18. 6. 2 3 3 5 2 5 51. 9. 2 4 7 9 5 9 19. 1. 2 0 4 6 6 6 52. 10. 2 5 7 9 4 9 20. 2. 2 6 4 6 0 6 53. 1. 2 1 8 10 9 10 21. 3. 2 1 4 6 5 6 54. 2. 2 9 8 10 1 10 22. 4. 2 5 4 6 1 6 55. 3. 2 2 8 10 8 10 23. 5. 2 2 4 6 4 6 56. 4. 2 8 8 10 2 10 24. 6. 2 4 4 6 2 6 57. 5. 2 3 8 10 7 10 25. 7. 2 3 4 6 3 6 58. 6. 2 7 8 10 3 10
26. 1. 2 0 5 7 7 7 59. 7. 2 4 8 10 6 10 27. 2. 2 7 5 7 0 7 60. 8. 2 6 8 10 4 10 28. 3. 2 1 5 7 6 7 61. 9. 2 5 8 10 5 10 29. 4. 2 6 5 7 1 7 62. 1. 2 2 9 11 9 11 30. 5. 2 2 5 7 5 7 63. 2. 2 9 9 11 2 11 31. 6. 2 5 5 7 2 7 64. 3. 2 3 9 11 8 11 32. 7. 2 3 5 7 4 7 65. 4. 2 8 9 11 3 11 33. 8. 2 4 5 7 3 7 66. 5. 2 4 9 11 7 11 67. 6. 2 7 9 11 4 11 68. 7. 2 5 9 11 9 14 69. 8. 2 6 9 11 5 11 A 3. évezredben a feltételeknek 69 darab évszám felel meg. A feladatra 10 pont kapható.
4. A 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből hány olyan 6 tal osztható négyjegyű szám készíthető, amelynek a számjegyei különbözőek? Hattal azok a számok oszthatók, amelyek párosak és hárommal oszthatók. A keresett számok végződése: 2; 4; 6 lehet. Hárommal oszthatók azok a számok amelyekben a számjegyek osztható hárommal. Ha a végződés 2, a másik 3 számjegy: 3, 4, 6. Ha a végződés 4, a másik 3 számjegy: 2, 3, 6. Ha a végződés 4, a másik 3 számjegy: 3, 5, 6. Ha a végződés 6, a másik 3 számjegy: 2, 3, 4. Ha a végződés 6, a másik 3 számjegy: 3, 4, 5. Összesen 30 darab ilyen négyjegyű szám található. A feladatra 10 pont kapható.
5. Az ábrán látható alakzatot egyforma négyzetekből kaptuk úgy, hogy minden négyzet középpontja a szomszédjának a csúcsán van. a.) Egy négyzet kerületének hányszorosa az alakzat kerülete? b.) Egy négyzet területének hányszorosa az alakzat területe? c.) A rajzon hány darab négyzet látható? Négy olyan oldal van, amelynek hossza a kerület negyede. Tizenhat olyan oldal van, amelynek hossza a négyzet kerületének nyolcada. 1 k 4 1 k 8 1 1 4 k 16 k k 2k 3k 4 8 Az alakzat kerülete a kiindulási négyzet kerületének háromszorosa. Az alakzat 3 darab egész négyzetből és 4 darab olyan négyzetből áll, amelynek területe az egész négyzet területének negyedrésze. Az alakzat területe a kiindulási négyzet területének négyszerese. 5 darab nagy négyzet, valamint 10 darab kis négyzet látható. Összesen 15 darab négyzet látható. A feladatra 12 pont kapható.