1 Példatár 1. Hogyan változik a feszültség a diódán, ha a telep feszültsége 2 V ról 4 V ra növekszik.(r = 2 kohm, a dióda átlagos, vagyis telítési árama 10-14 A.) Megoldás - 1. Mivel a dióda különleges nemlineáris elem, a feladatot csak közelítõ pontossággal tudjuk megoldani, - elõször grafikus megoldással próbálkozunk. Az áramkörre felírható alapvetõ összefüggések transzcendens egyenletrendszerre vezetnek: Ábrázoljuk a dióda karakterisztikáját, valamint a munkaegyenes(ek) egyenletét ugyanazon az ábrán. A P és Q pontokban leolvashatók a 2, illetve 4 V telepfeszültséghez tartozó munkaponti adatok. (Az eredeti DERIVE ábráról leolvasva a feszültségeket 0.642-nek, valamint 0.673-nek találjuk. Az áramok pedig 0.6 ma és 1.6 ma értékûek. Meglepõ módon a dióda feszültsége alig változik, miközben a telep feszültsége a kétszeresére növekedett! ) Megoldás 2. A DERIVE lehetõséget ad arra, hogy transzcendens egyenletrendszert is megoldjunk numerikusan az ún. Newton Raphson iterációs módszerrel. Ha a SOLVE segédprogram csomagot betöltjük, akkor lehetõvé válik az alábbi sor beírása: Az elsõ szögletes zárójel a két megoldandó egyenletet tartalmazza (zérusra redukált formában). A második a keresendõ változókat nevezi meg. A harmadikban az iterációs eljárás kezdõértékeit becsüljük meg. A legutolsó szám az iterációk számát adja meg. (A dióda áramának megadásánál a - 1 et elcsaltuk, mivel az nyitóirányban elhanyagolható.)
2 Példatár Az eredményeket approximációs egyszerûsítéssel kaphatjuk. Jól látszik, hogy a hetedik értéktõl kezdve a megoldás már nem változik. A 2 V os telepfeszültséghez tartozó feszültség- és áramértékek az utolsó sorban olvashatók. 2. Rajzolja fel sorosan és párhuzamosan kötött ellenállásból és diódából álló kétpólus eredõ áram feszültség karakterisztikáját ( r = 1 kohm i S = 10-14 A.) Megoldás. Grafikus eljárást választunk. Rajzoljuk fel ugyanabba az ábrába az ellenállás és a dióda áram-feszültség karakterisztikáit. Párhuzamos kapcsolásnál mindkét elemen ugyanakkora a feszültség, - az egyes áramértékek tehát összegezõdnek. Soros kapcsolásban mindkét elemen azonos áram folyik keresztül, - itt a feszültségértékek összegezõdnek.
3 Példatár 3. Mennyit változik egy Zener diódán a kimeneti feszültség, ha a telep feszültsége 4 V ról 6 V ra emelkedik? (A Zener dióda adatai: Zener.feszültség: 3.5 V, a Zener szakasz ellenállása: 25 ohm.) árama? Mekkora az a terhelõ ellenállás, amelyik esetén az áramkör még stabilizátorként mûködik? Hogyan változik a terhelés és a Zener dóda együttes Megoldás. Elõször fel kell rajzolnunk a Zener karakterisztikáját, majd a telep-ellenállás rendszer munkaegyenesét. A Zener dióda pozitív feszültségek esetén közönséges diódaként viselkedik. Negatív feszültségek esetén 3.5 V ig nem vezet, majd a megadott a 25 ohm ellenállásnak megfelelõ lineáris függvény szerint változik rajta az áram. Az ábrán látható metszéspontok feszültség különbsége szinte le sem olvasható. Ez azonban kiszámítható: a du b = 2000 mv bemeneti feszültségváltozás olyan osztóra jut, amelyik tagjai r = 2 kohm, r V = 25 ohm: A kimeneti feszültség változása (du k ) csak 24 mv! A feszültség-stabilizálási tényezõ értéke: 2000/24 = 81 szeres! Ha a telepfeszültség 6 V és a Zener diódával párhuzamosan egy rt ellenállást kapcsolunk, akkor a Zener dióda csak akkor fog mûködni, ha az osztón legalább 3.5 V feszültség van. Vagyis
4 Példatár Ebbõl rt érékére 2.8 kohm adódik, - ez a legkisebb értékû terhelõ ellenállás. Most a terhelésen átfolyó áram 3.5/2800 = 1.25 ma.. Ha a terhelõ ellenállás értéke növekszik, akkor a Zener diódán egyre nagyobb áram folyik át. Ha a terhelõ ellenállás végtelenül nagy lesz, a diódán átfolyó áram (6 3.5)/2000 = 1.25 ma. A dióda és a terhelés árama tehát úgy oszlik meg, hogy összegük állandó értékû legyen. 4. Hogyan változik egy dióda differenciális ellenállása? Megoldás. Irjuk fel dióda áramköri mûködését leíró egyenlet kicsit módosított változatát ( az exponenciális taghoz képest az egységet elhanyagoljuk), és ebbõl számoljuk ki a du feszültségváltozás hatására bekövetkezõ di áramváltozást: di/du reciprokaként megkaptuk a differenciális ellenállás értékét: ut rd = I 26mV = I Ez nagyon fontos és sokszor használt összefüggés. A differenciális ellenállás értéke tehát lényegében csak a munkaponti (nyugalmi) áram függvénye. Ha a munkaponti áram tízszeresére változik, a differenciális ellenállás tizedrészére csökken. Az ábrán a dióda karakterisztikáját és két pontjához tartozó érintõket láthatjuk. Az érintõ meredeksége a differenciális ellenállás reciproka jócskán változik. 5. Határozzuk meg a megadott elektromos hálózatban az A B pontokhoz tartozó Thevenin helyettesítõ képet. Megoldás. Használjuk fel a szuperpozíció tételt, mely szerint egyetlen aktív forrás kivételével sorban helyettesítsük az összes aktív forrást saját belsõ ellenállásával és határozzuk meg a vizsgálandó kimenetre jutó feszültséget. Ezeket összegezve megkapjuk a terhelés nélküli kimeneti feszültséget.
5 Példatár A kimeneti feszültség egyes komponensei: A Thevenin helyettesítõ kép belsõ ellenállását úgy határozhatjuk meg, hogy az összes aktív forrást saját belsõ ellenállásával helyettesítjük és meghatározzuk az A B pontokról látható ellenállás értékét. Végül a kész helyettesítõ kép: 6. Az ábrán látható tranzisztor kollektorárama 1 ma. Határozzuk meg a kollektor feszültségét és azt, hogy a kollektoráram hányadrésze folyik a 10 kohmos ellenálláson. Becsüljük meg, mekkora a tranzisztor áramerõsítési tényezõje.
6 Példatár Megodás. Vegyük észre, hogy a kollektorellenállás és a terhelõellenállás összevonható, ha az ábrán szaggatott vonallal jelzett áramköri részletre a Thevenin tételt alkalmazzuk. Ekkor a kollektorfeszültség könnyen felírható: UC = 10 IC 3.3= 6. 7V A tranzisztor kollektorárama szempontjából a kollektorellenálás és a terhelõellenállás párhuzamosan kapcsolódik. Ez a következõ egyenletekkel fejezhetõ ki: Ha az i2 re vonatkozó megoldást megkeressük, eredményül 0.33 ma t kapunk. (Másképp kicsit egyszerûbben: a kollektoráram az 1 : 2 arányú ellenállásokon oszlik meg, - ebbõl egyharmad jut a 10 kohmos ellenállásra, kétharmad pedig fele akkora ellenállásra.) A tranzisztor bázisáramát a mellékelt egyszerû ábra alapján határozhatjuk meg. Egy nyitott diódán 0.6 0.7 V feszültséget találhatunk, ezért a bázisáramot (elhanyagolható pontatlansággal) könnyen megkaphatjuk: I 15 0.6 = 75 A B 200k µ A kollektoráram és a bázisáram hányadosaként pedig megkaphatjuk a tranzisztor áramerõsítési tényezõjét: I I C B = β = 13.3
7 Példatár 7. Határozza meg a megadott négypólus transzfer függvényét. Rajzolja fel az amplitúdóátvitelt és a fáziskarakterisztikát lineáris frekvenciaskálán. - Rajzolja fel a transzfer függvény Nyquist diagramját. ( L = 1 mh, C = 100 nf, R = 1 kohm) Megoldás. A kapcsolás induktivitása és kondenzátora soros rezgõkört sugall. Ezt azonban kicsit elrontja a tekerccsel párhuzamosan kapcsolódó ellenállás. Ennek ellenére határozott rezonanciát kell kapnunk az L és C által meghatározott frekvencián. - A feladat megoldásához a DERIVE nélkülözhetetlen. A transzfer függvény egyszerûen felírható: csak figyelni kell arra, hogy L és R párhuzamosan vannak kötve. A kifejezést egyszerûsítve a fenti, nehezen áttekinthetõ összefüggéshez jutunk. Ha ide behelyettesítjük az elemek számszerû értékeit, ábrázolhatjuk a fenti kifejezés abszolút értékének változását a frekvencia függvényében. A rezonancia jelensége jól látható, - 1 V bemeneti feszültség esetén a kimenet 10 V körüli lesz. Természetesen a fenti kifejezés fázisszögét is ábrázolhatjuk. (Az ábrák mindkét skálája lineáris!)
8 Példatár A Nyquist görbét polár koordinátarendszerben kell felrajzolnunk. (A fenti kifejezésbõl ki kell hagynunk az imaginárius egységet, a DERIVE jelölés rendszerébõl adódóan.) Ha behelyettesítjük az elemek tényleges értékeit, az alábbi ábrához juthatunk: Vegyük észre, hogy ebbõl az ábrából sikeresen lehetne a fenti két ábrát rekonstruálni (ha frekvencia értékek is számszerûen fel lennének tüntetve). 8. Rajzolja fel a megadott létra hálózat transzfer függvényének Bode diagramját. Mekkora lesz a kimenõjel értéke, ha kimenet éppen a bemenettel ellentétes fázisú? Milyen frekvencián következik ez be? Megoldás. - Ez esetben célszerûen a Kirchhoff törvényeket alkalmazzuk. ( a és b vel a vízszintes, illetve a függõlegesen rajzolt elemek impedanciáját jelöljük, - a köráramok a függõleges ágakon folynak). Az egyenletrendszer megoldása után a kimeneti feszültség:
9 Példatár Ha az amplitúdóátviteli görbét fel akarjuk rajzoltatni, akkor a jobboldali tört abszolút értékének tízes alapú logaritmusának hússzorosát kell venni. A DERIVE jelölésével: A fázisátvitel ennél kicsit egyszerûbben írható fel: Az összefüggésekbe C = 1 nf, valamint R = 1 kohm értéket helyettesítünk, - és persze ω helyébe a ω ω = 10 - et, hogy a vízszintes skála logaritmikus legyen (!!!!). A két görbe ugyanazon az ábrán látható, - az amplitúdóátvitel szaggatott, a fázismenet folyamatos. Az eredeti kérdésekre keressük a választ. A bemenethez képest ellenkezõ fázis π nagyságú, - a P pont jelöli ezt a fáziskarakterisztikán. Az innen kiinduló függõleges vonal az amplitúdókatakterisztikát a 29 db es Q pontban metszi. A (kör)frekvencia érték is leolvasható: ez az ábrán kb. 6.2 nél, pontosabban 10 6.2 = 2.45 10 6 nél következik be. Ezeket a keresett értékeket nem csak az ábráról kaphatjuk meg, hanem egyenleteinkbõl is. Ha az átviteli összefüggés képzetes része éppen zérus értékû, akkor kiszámolhatjuk, hogy ez milyen frekvencián következik be.
10 Példatár Ha ezt az értéket visszahelyettesítjük az átviteli összefüggésbe, akkor a következõ (most már egzakt ) eredményre jutunk: (Az elõjel a fázisfordításra utal, az 1/29 érték pedig a decibel skálán kb. 29 nek felel meg.) Ha egy négypólus bemenete és kimenete között éppen 180 fokos fázisviszony van, akkor a bemenet és kimenet két jelölt pontja között nagyobb feszültség mérhetõ, mint a bemeneti feszültség (az elõjelek figyelembe vételével): Vizsgáljuk meg az adott ábra szerinti áramkört. Ez az elõzõ feladat átrajzolt változata és a fenti állítás illusztrálására szolgál. Észre kell venni azt, hogy ez most felüláteresztõ szûrõ! Megoldás. Természetesen itt is felírhatnánk a Kirchhoff egyenleteket, és megoldhatnánk a keletkezõ egyenletrendszert. Azonban egyszerûbb megoldást választunk: felhasználjuk az elõzõ feladat átviteli függvényét. Helyettesítsük be a C = 1 nf, R = 1 ω kohm és az ω = 10 értéket és ábrázoljuk az amplitudóátviteli Bode diagramot. Azt a meglepõ eredmény látjuk, hogy a kimeneti feszültség 0.89 db értékkel meghaladja a bemeneti feszültség értékét. Ez azt jelenti, hogy a kimenet a bemeneti feszültség kb. 110 % -a lesz! (Feszültségerõsítõ?)
11 Példatár 9. Határozza meg a megadott kapcsolás átvitelének Bode diagramjait. Mire lehetne ezt az áramkört használni? Megoldás. Az áramkör kimenete egy RC aluláteresztõ és felüláteresztõ szûrõ kimeneti feszültségeinek különbsége. Ez közvetlenül felírható: Azonnal feltûnik, hogy a kimenõ jel abszolút értéke minden frekvencián megegyezik a bemenõjel értékével, vagyis az áramkör ún. mindent áteresztõ kapcsolás. Karakterisztikáját felrajzolni sem érdemes: egybeesik a vízszintes tengellyel. A fázis is egyszerûen meghatározható. (A BODE diagram felrajzolásához be kell ω helyettesítenünk az ω = 10 értéket, hogy az abszcisszát logaritmikussá tegyük. Az ábra készítésénél R = 10 kohm és C = 100 nf értékeket használtunk.) Ezt az áramkört a fázismenet korrigálására, módosítására használják. 10. Határozza meg a megadott áramkör frekvenciaátvitelét és keresse meg, mi annak a feltétele, hogy a kimenõ feszültség ne függjön a frekvenciától. Mire használják ezt az áramkört? Megoldás. Írjuk fel a transzfer függvényt, arra figyelve, hogy a megfelelõ ellenállások és kondenzátorok párhuzamosan vannak kapcsolva.
12 Példatár Kicsit átalakítva : Elég feltûnõen látszik, hogy a c1. r1 = c2.r2 feltételt választva (vagyis a két idõállandó legyen egyforma), a kimeneti feszültség csak az ellenállások arányától függ. Ábrázoljuk a frekvenciakarakterisztikát Bode diagramon, - három különbözõ esetben. Az értékeket vegyük az alábbi táblázatból: r1 r2 c1 c2 a 100 k 10 k 1 nf 100 pf b 100 k 10 k 100 pf 1 nf c 100 k 10 k 10 pf 1 nf Az eredmény az ábrán látható. Az áramkört ha a két idõállandó azonos - kompenzált osztónak nevezik és feszültség csökkentõ kapcsolásokban (pl. oszcilloszkóp bemenetén ) használják.
13 Példatár 11. Rajzoljuk fel a mellékelt áramkör frekvencia átvitelének Bode diagramját és határozzuk meg ebbõl az áramkör frekvenciahatárait. Bontsuk fel az áramkört két részre és így is határozzuk meg a frekvenciahatárokat. Megoldás. A transzfer függvény felírásához a potenciométer szabályt alkalmazzuk, de ügyeljünk arra, hogy egy soros és egy párhuzamos RC áramkör szerepel benne. Az amplitúdóátviteli Bode diagramot az elõzõ feladatokban részletezett módon állítjuk elõ. A frekvenciahatárok meghatározásához grafikus megoldást választunk. Berajzoljuk az átviteli karakterisztika maximumát jelzõ 6 db es szintet. A frekvenciahatárok ennél 3 db- el lejjebb fognak elhelyezkedni. A metszéspontok (kör)frekvencia értékei az ábráról leolvashatók és így ismertté válik az alsó és felsõ frekvenciahatár is. Figyeljünk fel arra, hogy a két kondenzátor kapacitása határozottan különbözik. Ez lehetõséget teremt arra, hogy egy alacsonyfrekvenciás és egy nagyfrekvenciás részre bontsuk az áramkört. A részletek az ábrán láthatók. Kisebb frekvenciákon az 1 nf os kondenzátor hatása elhanyagolható. Magas frekvenciákon pedig a 100 nf os kondenzátor tekinthetõ rövidzárnak. A frekvenciahatárok most már könnyedén felírhatók.
14 Példatár