25.5.5. DIGITÁLIS TECHNIK I Dr. Lovassy Rita Dr. Pődör álint Óbudai Egyetem KVK Mikroelektronikai és Technológia Intézet 2. ELŐDÁS: LOGIKI (OOLE) LGER ÉS LKLMÁSI IRODLOM. ÉS 2. ELŐDÁSHO rató könyve2-8, 24-28 oldalak Rőmer könyve som könyve (I) 7, -7, 23-26 oldalak 7-8, 5-7 oldalak z előadások ezen könyvek megfelelő fejezetein alapulnak. 2 LOGIKI (OOLE-)LGER logikai algebra tárgya a logikai műveletek rövid, tömör matematikai formában való leírása. Megalkotója George oole (85-864) angol matematikus, nevét viseli a logikai algebra mint oole-algebra. Jelentős még ugustus De Morgan (86-87) brit (skót) matematikus hozzájárulása is (De Morgan tételek). oole és De Morgan 847-től kezdve dolgozták ki a formális logikát (oole-algebrát). Ekkor már régóta használták a bináris kapcsolásokat órák, automaták vezérlésére. oole két alapvető munkája The Mathematical nalysis of Logic (847) illetve OOLE-LGER ÉS KPCSOLÓ ÁRMKÖRÖK oole-algebrát az 93-as évek végén kezdték alkalmazni a kapcsolóáramkörök tervezésére. Claude Elwood Shannon (96-2) az információelmélet úttörője, a ell Labs munkatársa ismerte fel 938-ban a oole algebra alkalmazhatóságát a relékből felépített (telefon-) kapcsoló-rendszerek vizsgálatára és tervezésére. Ma a oole-algebra a logikai hálózatok analízisének és szintézisének legalapvetőbb eszköze. n Investigation of Laws of Thought (854) 3 4 OOLE LGER: LOGIKI VÁLTOÓK logikai változók az egyes események absztrakt leírására alkalmasak. Két értéket vehetnek fel, vagy, attól függően, hogy az esemény bekövetkezik vagy sem. Ha az esemény bekövetkezik, akkor a logikai változó értéke. Ha az esemény nem következik be, akkor a logikai változó értéke. Shannon doktori értekezése arról szólt, hogyan lehet a oole-algebra segítségével optimizálni az elektromechanikus relék rendszerének a tervezését. http://hu.wikipedia.org/wiki/george_oole 5 6
25.5.5. LOGIKI VÁLTOÓK ÉRTÉKKÉSLETE IG/HMIS,TRUE/LSE, illetve IGEN/NEM az esemény bekövetkezésére vonatkozik. z és itt nem számjegy, jelentésük szimbolikus: IG és HMIS. HIGH/LOW jelentése a logikai értékek szokásos elektromos reprezentációjához kapcsolódik, alacsony és magas feszültségszintnek felel meg, pl. (névlegesen) V illetve + 5 V. OOLE LGER: LOGIKI VÁLTOÓK ÜGGŐ ÉS ÜGGETLEN VÁLTOÓK logikai változók két csoportba oszthatók, ún. és független, függő változókra. Jelölés:,, C,...,,. z első betűket általában a független változókra tartjuk fent. 7 8 OOLE LGER IÓMÁI z axiómák olyan előre rögzített kikötések, alap állítások, amelyek az algebrai rendszerben mindig érvényesek, viszont nem igazolhatók. Ezen állítások a halmaz elemeit, a műveleteket, azok tulajdonságait, stb. határozzák meg. tételek viszont az axiómák segítségével bizonyíthatók. oole algebra az alábbi öt axiómára épül: 9 OOLE-LGER IÓMÁI. z oole-algebra kétértékű elemek halmazára értelmezett. 2. halmaz minden elemének létezik a komplemens -e is, amely ugyancsak eleme a halmaznak. 3. z elemek között végezhető műveletek a konjunkció ( logikai ÉS ), illetve a diszjunkció (logikai VG). 4. logikai műveletek: kommutatívak ( a tényezők felcserélhetők ), asszociatívak (a tényezők csoportosíthatók), disztributívak ( a két művelet elvégzésének sorrendje felcserélhető ). 5. halmaz kitüntetett elemei az egység elem (értéke a halmazon belül mindig IG, azaz ), és a nulla elem (értéke a halmazon belül mindig HMIS, azaz ). LOGIKI MŰVELETEK változókkal végezhető logikai műveletek: - ÉS (konjunkció) - logikai szorzás; - VG (diszjunkció) - logikai összeadás; - NEM (negáció, invertálás, komplementálás) - logikai tagadás. z ÉS, illetve a VG logikai művelet két-, vagy többváltozós, a változók legalább két eleme, vagy csoportja között értelmezett logikai kapcsolatot határoz meg. tagadás egyváltozós művelet, amely a változók, vagy változócsoportok bármelyikére vonatkozhat. ÉS (ND) MŰVELET, LOGIKI SORÁS (KONJUNKCIÓ) logikai változókkal végzett ÉS művelet eredménye akkor és csak akkor IG, ha mindegyik változó értéke egyidejűleg IG. ÉS művelet igazságtáblázata: logikai algebrában az ÉS kapcsolatot szorzással jelölik (logikai szorzás), de a logikai szorzás jelét általában nem szokás kitenni. K = algebrai egyenlőségben és a független változók, és K a függő változó, vagy eredmény. Jelentése pedig az, hogy a K akkor IG, ha egyidejűleg az és a is IG. 2 2
25.5.5. ÉRTÉKTÁLÁT, IGSÁGTÁLÁT logikai függvénykapcsolatok többféleképen is megadhatók, az egyik általánosan használt a táblázatos megadási mód. Mivel minden változó csak két értéket vehet fel ezért n változó esetén összesen 2 n különböző eset lehetséges (két elemből álló n-ed osztályú ismétléses variáció!). Így két változó esetén az összes lehetséges kombinációk száma négy. z igazságtáblázat bal oldalán adjuk meg a bemeneti vagy független változók értékét, míg jobb oldalán a kimenetei vagy függő változó értékei szerepelnek. 3 LOGIKI SORÁS (KONJUNKCIÓ), (LOGIKI ÉS KPCSOLT) Definícíó: = = = = művelet eredménye tehát csak akkor a logikai érték, ha mindkét tényező logikai értéke. művelet a definíció szerint kommutatív. ormailag megegyezik az aritmetikai szorzással, de az és értékek jelentése csak logikai. 4 ÉS (ND) ÁRMKÖRI SIMÓLUMOK Kapuáramkörök esetében &. Kapcsoló áramkörök esetében Sorbakötött és nyugalmi állapotban nyitott (=MKE) kapcsolók 5 VG (OR) MŰVELET logikai változókkal végzett VG művelet eredménye akkor IG, ha a független változók közül legalább az egyik IG. Igazságtáblázat: lgebrai formában ezt a független változók összegeként írjuk le (logikai összeadás). K = + alakú algebrai egyenlőségben a K eredmény akkor IG, ha vagy az, vagy a, vagy mindkettő IG. VG műveletet leíró táblázat tehát az alábbi: 6 LOGIKI ÖSSEDÁS (DISJUNKCIÓ), (LOGIKI VG KPCSOLT) Definíció: + = + = + = + = művelet eredménye tehát csak akkor a logikai érték, ha vagy az első, vagy a második tag (vagy mindkettő) logikai értéke. művelet a definíció szerint kommutatív. z utolsó definíciós összefüggés kivételével formailag az aritmetikai összeadás szabályai is alkalmazhatók a logikai értékekre. 7 VG (OR) ÁRMKÖRI RJJELEK Kapuáramkörök esetében. Kapcsoló áramkörök esetében Párhuzamosan kötött, nyugalmi állapotban nyitott (= MKE) kapcsolók 8 3
25.5.5. LOGIKI SORÁS ÉS ÖSSEDÁS KETTŐNÉL TÖ VÁLTOÓR Mindkét definiált logikai művelet értelemszerűen kiterjeszthető kettőnél több tényezőre, illetve tagra is. Ekkor természetesen a műveletek elvégzésének sorrendjét megfelelő zárójelek alkalmazásával kell jelölni, akárcsak aritmetikai műveletek esetén. TGDÁS (INVER, KOMPLEMENTÁLÁS) MŰVELET logikai tagadást egyetlen változón, vagy csoporton végrehajtott műveletként értelmezzük. Jelentése az, hogy ha a változó IG, akkor a tagadottja HMIS és fordítva. Igazságtáblázat: lgebrai leírásban a tagadást a változó jele fölé húzott vonallal jelöljük. Ezek szerint K = Ā 9 egyenlőség azt jelenti, hogy a K akkor IG, ha az HMIS. Szóban nem - nek, felülvonás-nak vagy tagadott-nak mondjuk. 2 LOGIKI NEGÁCIÓ (INVERTÁLÁS, KOMPLEMENTÁLÁS), LOGIKI TGDÁS MŰVELET EGSÉG ÉS NULL ELEM halmaz kitüntetett elemei, melyek mindig léteznek Definíció: = = az egység elem (értéke a halmazon belül mindig IG, azaz ), művelet tehát logikai értékekhez ellentettjüket rendeli hozzá. műveletet páros számú esetben alkalmazva, eredményül a kiindulási logikai érték adódik: = és = Páratlan számú alkalmazás az ellentett, negált értéket eredményezi. és = = a nulla/zérus elem (értéke a halmazon belül mindig HMIS, azaz ) + = + = 2 22 KOMPLEMENSKÉPÉS: TGDÁS logikai algebra illetve a oole-algebra a felsorolt axiómákra épül. logikai feladatok technikai megvalósításáh oz a halmaz egy elemének komplemens-ét képező művelet is szükséges. Ezért a műveletek között a logikai TGDÁS is szerepel. = és + = NEGÁCIÓ negáció nem két- hanem csak egyargumentumos művelet. gyakorlatban sokszor szükség van egy változó negáltjának az előállítására. z erre való eszköz az inverter. ( negációt a köröcske jelenti): 23 Talán éppen azért tekintik sokszor a negációt műveletnek mert a kapuáramkörök között van eszköz a végrehajtására. 24 4
25.5.5. NEM-ÉS (NND) ÁRMKÖRI RJJELEK NEM-VG (NOR) ÁRMKÖRI RJJELEK Kapuáramkörök esetében Kapcsoló áramkörök esetében Kapuáramkörök esetében Kapcsoló áramkörök esetében & Párhuzamosan kötött, nyugalmi állapotban zárt (=REK) kapcsolók Sorosan kötött, nyugalmi állapotban zárt (=REK) kapcsolók 25 26 POITÍV ÉS NEGTÍV LOGIK IG/HMIS,TRUE/LSE, illetve IGEN/NEM az esemény bekövetkezésére vonatkozik. z és itt nem számjegy, jelentésük szimbolikus: IG és HMIS. LOGIKI ÁLLPOTOK, LOGIKI SINTEK élvezetős logikai áramkörök feszültségvezéreltek. Logikai állapotok: feszültség (szint illetve impulzus). Pozitív és negatív szintű logikai rendszerek. Pozitív logika: -es szint pozitívabb mint a -ás szint. Negatív logika: -es szint negatívabb mint a -ás szint. HIGH/LOW jelentése a logikai értékek szokásos elektromos reprezentációjához kapcsolódik, alacsony és magas feszültségszintnek felel meg, pl. (névlegesen) V illetve + 5 V. 27 Szabad szintű rendszer: Logikai szintek tűrése viszonylag nagy, a névleges értékek 3-5 %-a is lehet. Kötött (megfogott) szintű rendszer: Logikai szintek tűrése viszonylag kicsi. 28 POITÍV ÉS NEGTÍV LOGIK Egy és ugyanazon áramkör a logika megválasztása szerint egyszer NEM-VG, másszor NEM-ÉS kapcsolásként működik. Ha a megvalósítandó függvény adott, és eldöntöttük, hogy melyik áramkörcsaláddal valósítjuk meg, akkor azt a logikát alkalmazzuk, amelyikkel egyszerűbb a kapcsolás. Positive vs. Negative Logic Positive logic: truth, or assertion is represented by logic, higher voltage; falsity, de- or unassertion, logic, is represented by er voltage. Negative logic: truth, or assertion is represented by logic, er voltage; falsity, de- or unassertion, logic, is represented by er voltage Gate Logic: Positive vs. Negative Logic Normal Convention: Postive Logic/ctive High Low Voltage = ; High Voltage = lternative Convention sometimes used: Negative Logic/ctive Low V oltage T ruth T able Positive Logic Negative Logic high high high high high ehavior in terms Two lternative Interpretations Példa a szinttáblázatra Pozitív logikájú igazságtáb. Negatív logikájú igazságtáb. of Electrical Levels Positive Logic ND NEM-ÉS függvény NEM-VG függvény29 Negative Logic OR 3 Dual Operations 5
25.5.5. Positive and Negative Logic (Cont d.) Voltage levels Positive logic levels Negative logic levels high high high high high Physical ND gate = = + Invertáló kimenetű (NND, NOR, NOT) kapuáramkörök technikailag egyszerűbben valósíthatók meg mint a neminvertálók. Voltage levels Positive logic levels Negative logic levels high high high high high high high Physical NND gate = = + 3 32 LOGIKI LGER TÉTELEI ontosabb tételek, azok részletes bizonyítása nélkül. Helyességükről a logikai értékek összes lehetséges kombinációinak behelyettesítésével lehet meggyőződni. kitüntetett ( illetve ) elemekkel végzett műveletek: = = = = + = + = + = + = LOGIKI LGER TÉTELEI: ONOS VÁLTOÓK z azonos változókkal végzett műveletek: Tautológia = Negáció szabályai: (idempotencia): + = Ā = + Ā = z -val jelzett logikai változó nem csak egy változó, hanem egy logikai műveletsor eredménye is lehet. 33 34 LOGIKI LGER TÉTELEI: TGDÁS TOVÁI ÖSSEÜGGÉSEK logikai tagadásra vonatkozó tétel (kettős negáció): = Általánosan: a páros számú tagadás nem változtatja meg az értéket, míg a páratlan számú tagadás azt az ellenkezőjére változtatja. bszorpciós szabály ( + ) = + = fenti, a logikai algebrában érvényes össze-függések természetesen nem érvényesek a szokásos algebrában. 35 36 6
25.5.5. LOGIKI MŰVELETEK TULJDONSÁGI LOGIKI MŰVELETEK TULJDONSÁGI: KOMMUTTIVÍTÁS Kommutativitás az operandusok sorrendjének felcserélhetősége sszociativitás az operandusok csoportosíthatósága Disztributivitás az operandusok átrendezhetősége z ÉS (logikai vagy) és VG (logikai összeadás) műveletek alapvető tulajdonsága a kommutativitás, azaz az operandusok sorrendjének felcserélhetősége: = + = + 37 38 LOGIKI MŰVELETEK TULJDONSÁGI: SSOCITIVÍTÁS z ÉS (logikai vagy) és VG (logikai összeadás) műveletek másik alapvető tulajdonsága az asszociativítás, azaz az operandusok csoportosíthatósága: ( C) = ( ) C = C + ( + C) = ( + )+ C = + + C zárójelek a műveletei sorrendjét adják meg. Igazolás: logikai értékek behelyettesítésével. LOGIKI MŰVELETEK TULJDONSÁGI: DISTRIUTIVÍTÁS z ÉS (logikai vagy) és VG (logikai összeadás) műveletek harmadik alapvető tulajdonsága a disztributívitás, azaz az operandusok átrendezhetősége: ( + C) = + C + ( C) = ( + ) ( + C) Igazolás: logikai értékek behelyettesítésével. 39 4 MŰVELETEK DISTRIUTIVÍTÁS LOGIKI KIEJEÉSEK ÁTLKÍTÁS ÉS és a VG műveletek azonos értékűek. Mindkettő disztributív a másikra nézve. z első azonosság alakilag megegyezik a közönséges matematikai műveletvégzési szabályokkal. második azonosság csak a logikai algebrában érvényes. Kifejezi azt, hogy egy logikai szorzat (ÉS) és egy logikai érték (állítás) logikai összege (VG) úgy is képezhető, hogy először képezzük a VG műveletet a szorzat tényezőivel és az így kapott eredményekkel hajtjuk végre az ÉS műveletet. logikai műveletek tulajdonságai segítségével a logikai kifejezések algebrai átalakítása hajtható végre, és így lehetőség van a legegyszerűbb alakú kifejezés megkeresésére. Ezt a későbbiekben még részletesebben fogjuk tárgyalni. 4 42 7
25.5.5. DE MORGN TÉTELEK logikai algebrában kitüntetett szereppel bírnak a De Morgan-azonosságok + = = + Logikai összeg negáltja azonos a tagok negáltjainak logikai szorzatával. Logikai szorzat negáltja pedig azonos a tényezők negáltjainak összegével. DE MORGN TÉTELEK + = = + reak the line, change the operation! Vágd el a vonalat, cseréld fel a műveletet! 43 44 DE MORGN ONOSSÁGOK logikai (oole) algebrában centrális helyet foglalnak el az ún. De Morgan tételek vagy azonosságok. De Morgan-azonosságokat a középkori skolasztika logikusai már ismerték, de az idő folyamán jelentőségük elhomályosult. két matematikai logikai azonosságot egzakt formában ugustus De Morgan fogalmazta meg 847-ben, William Ockham korábbi megállapításai (325) alapján. DE MORGN SÁLOK LKLMÁS De Morgan szabályok alapján az ÉS és a VG műveletek csak egyikét a NEM művelettel együtt használva a harmadik művelet előállítható. = ( + ) De Morgan tételek vagy azonosságok általánosan azt fogalmazzák meg, hogy egy logikai kifejezés tagadása úgy is elvégezhető, hogy az egyes változókat tagadjuk, és a logikai műveleteket felcseréljük (VG helyett ÉS, illetve ÉS helyett VG műveletet végzünk). 45 + = ( ) 46 De Morgan s Theorem DeMorgan s theorem: = = + + = + + = + = = DE MORGN TÉTELEK ÁLTLÁNOSÍTÁS digitális rendszerek analízisében és szintézisében fontos szerepet játszanak a De Morgan-féle tételek. Több változóra érvényes alakjuk az alábbi C... = + + C +... + + C +... = C... 47 48 8
25.5.5. ÁLTLÁNOSÍTOTT DE MORGN- (SHNNON) ÉLE TÉTEL z általánosított De Morgan (Shannon) tétel a logikai összeadás és szorzás segítségével felépített logikai függvényekre vonatkozik f(,, C,..., +, ) = f(,, C,...,, +) LOGIKI KPUK logikai áramkörök építőkockái. logikai alapműveleteket valósítják meg. Ezek egyszerű kombinációjával további áramköröket tudunk felépíteni pl. az aritmetikai műveletek megvalósítására. z egész függvény tagadása helyettesíthető az egyes változók tagadásával, ha a függvényben valamennyi logikai összeadást szorzásra, és valamennyi szorzást összeadásra cserélünk fel. 49 5 LOGIKI ÁRMKÖRÖK KILKÍTÁS Tetszőleges logikai összefüggés, vagy logikai függvény is előállítható a NEM-ÉS vagy NEM-VG alapművelet párokkal. Vagyis tetszőleges logikai áramkör kialakítható csupán NEM-ÉS, vagy csupán NEM-VG kapuk alkalmazásával. Gyakorlati jelentőség: az elektronikus erősítők általában invertáló jellegűek (8 fokos fázistolás). Ezért a gyakorlatban a NEM-ÉS (NND) és a NEM-VG (NOR) a szokásos alapelem. LOGIKI ÁRMKÖRÖK KILKÍTÁS GKORLTN gyakorlatban kétféle áramköri technológia terjedt el. szilícium CMOS (complementary metal oxide semiconductor) technológián alapuló áramköri rendszerben többnyire a NEM- VG (NOR) kapu az áramköri alapelem. szilícium bipoláris technológián alapuló transistor-transistorlogic (TTL) áramköri rendszerben a NEM-ÉS (NND) kapu az alapelem. Végső soron mindez a De Morgan tételeken alapul! 5 52 NEM-ÉS ÉS NEM-VG KPUS MEGVLÓSÍTÁSOK LOGIKI LPKPUK NEM ÉS VG z ábra bemutatja, hogyan realizálható a NEM, ÉS és a VG művelet kizárólag NEM-ÉS, illetve NEM-VG műveleti elemekkel (kapukkal). 53 Áramköri magvalósítás elvei. Pozitív logika: magas feszültségszint, alacsony szint 54 9
25.5.5. DE MORGN TÉTELEK LKLMÁS LOGIKI HÁLÓTOK KILKÍTÁSÁN IIKI RELIÁLÁS (SSI) 55 74 4 x 2-bemenetű NND 56 IIKI RELIÁLÁS (SSI) VÉGE 2. ELŐDÁSNK 57 58