Fizika A2E, 7. feladasor ida György József vidagyorgy@gmail.com Uolsó módosíás: 25. március 3., 5:45. felada: A = 3 6 m 2 kereszmesze rézvezeékben = A áram folyik. Mekkora az elekronok drifsebessége? Téelezzük fel, hogy rézaomonkén egy elekron járul hozzá a vezeéshez, a réz s r sége ϱ u = 896 kg/m 3, moláris ömege M = 63,546 g/mol, az elekron ölésének nagysága e =,6 9, N Avogadro = 6,2 23 aom/mol. együnk egy d hosszú id aramo. Ez ala az elekronok v d hosszú elmozdulás esznek meg a veze irányában. Írjuk fel a a veze v d hosszú szakaszában a vezeésben részvev ölések mennyiségé kéféle módon. El ször számoljuk ki, hogy mennyi a érfogaegységre juó vezeési elekronok száma: vezeési elekronok száma n = rézaomok száma } rézaom {{} érfogaegység = rézaomok száma ömeg = = ϱu ömegegység érfogaegység M }{{}}{{} /M ϱ u nnen a vezeési elekronok elekrons r sége: vagyis a arományban alálhaó ölésmennyiség: (-) (-2) n e = e n, (-3) e v -A. ábra v d q q = n e = e ϱ u M Avd. (-4) Másrészr l pedig udjuk, hogy a d id ala a felüle egy kereszmeszeén q = d ölés áramlik á. Ezek egyenl ségéb l: d = n e Avd (-5) v = n e A (-6) v = M ϱ u ea = 63,546 g mol A 896 kg,6 9 3 6 m 2 m 3 (-7) =,48 2 m mol s =,48 m 2 6 23 s = 2,45 m 4 s. (-8)
2. felada: Számísuk ki egy cm hosszú, 4 m 2 kereszmesze alumínium rúd ellenállásá! Az alumínium fajlagos ellenállása 2,7 8 Ωm. Az ellenállás l = ρ Al A = 2,7 cm 8 Ωm 4 m 2 = 2,7 5 Ω. (2-) r + dr 3-A. ábra 3. felada: Ké l = 5 cm hosszúságú koaxiális henger közöi ere szilícium öl ki. A bels henger sugara =,5 cm, a küls hengeré pedig =,75 cm. Számísuk ki a hengerpalások közö mérhe ellenállás! A szilícium fajlagos ellenállása ϱ Si = 64 Ωm. A felada megoldása során megpróbáljuk visszavezeni a problémá az egyszer esere. Az áram folyási irányára mer legesen feloszjuk a veze : válasszunk egy r sugarú, dr vasagságú és l hosszú darabo. Ennek ellenállásá egyszer en udjuk számolni: dr d(r) = ϱ Si A = ϱ dr Si 2rπl. (3-) Az ilyen darabokon egymás uán folyik kereszül az áram, vagyis ezek sorosan vannak kapcsolva. A eljes ellenállás az ilyen ellenállások összege: = d(r) = ϱ Si dr 2rπl = ϱ Si 2πl r dr = ϱ Si 2πl [ ln r ] 2 = ϱ Si 2πl ln. (3-2) () [A] 4. felada: Az amperben mér áramer ssége az id függvényében az = 2 2 + 3 + 7 összefüggés írja le, ahol az id másodpercben mérjük. Mekkora nagyságú ölés áramlik á a veze kereszmeszeén = s és 2 = 4 s közö? Az áram a veze eljes felüleén id egység ala ááramló ölések száma. Az áram inegrálja adja meg az ááramló ölés mennyiségé: Q o s 4 s 4-A. ábra [s] 2 2 Q o = () d = (2 2 + 3 + 7) d = [2 33 ] 2 + 322 + 7 (4-) ) ) = (2 43 3 + 342 2 + 7 4 (2 3 3 + 32 2 + 7 = 85,5 []. (4-2) 2
5. felada: Ké darab,5 mm 2 kereszmesze vezeéke sorba kapcsolunk. Az els vezeék 5 m hosszú és rézb l készül, a második pedig 5 m hosszú és alumíniumból készül. Haározzuk meg az összekapcsol vezeékek ellenállásá! = 2 feszülség haására mekkora áram folyik a vezeékben? (ϱ u =,8 Ωmm 2 /m, ϱ Al =,27 Ωmm 2 /m) A ké vezeékdarab ellenállása: u = ϱ u l u A Al = ϱ Al l Al A =,8 Ωmm2 m =,27 Ωmm2 m 5 m =,6 Ω,,5 mm2 (5-) 5 m =,27 Ω.,5 mm2 (5-2) A sorosan kapcsol vezeékek ellenállása összeadódik, így a eljes vezeék ellenállása: A vezeéken áfolyó áram: = u + Al =,33 Ω. (5-3) = = 2 = 6,6 A. (5-4),33 Ω 6. felada: feszülsége kapcsolunk ké sorosan kapcsol, és nagyságú ellenállásra. Számísuk ki az egyes ellenállásokon es feszülségeke! Írjuk fel a feszülségek arányá! A ké ellenállás ered ellenállása: 6-A. ábra e = +, (6-) vagyis a eljes áfolyó áram: = e = Az egyik és a másik ellenálláson es feszülség: = = vagyis a feszülségek aránya: + 2 = = +. (6-2) +, (6-3) 2 =. (6-4) Soros kapcsolás eseében a feszülségek az ellenállások arányában oszlanak meg. 3
7. felada: feszülsége kapcsolunk ké párhuzamosan kapcsol, és nagyságú ellenállásra. A ké ágban mekkora áramok fognak folyni? Mekkora ezen áramok aránya? 7-A. ábra A párhuzamos kapcsolás mia a ké ellenálláson ugyanakkora feszülség esik. Az egyik és a másik ellenálláson áfolyó áram: vagyis az áramok aránya: = 2 =, (7-) 2 =. (7-2) () K Párhuzamos kapcsolás eseében az áfolyó áramok az ellenállások fordío arányában oszlanak meg. 8. felada: Egy feszülség eleppel sorba kapcsolunk egy nagyságú ellenállás, egy kapaciású kondenzáor, valamin egy kapcsoló. Írjuk fel a körben folyó áramo a kapcsoló bekapcsolása uán! Mekkora a maximális áram és a kondenzáoron alálhaó maximális ölés? Hogy alakul a kondenzáoron és az ellenálláson es feszülség az id függvényében? Felírva a második Kirchho-örvény: () () ahol a kondenzáoron es feszülség: = () + (). (8-) () = Q () = ami behelyeesíve és id szerin deriválva: ( ) d, (8-2) 8-A. ábra d() d d( ) ( d = ) d = () + ( ) d (8-3) = () (8-4) d (8-5) [ ln ( ) ] = (8-6) () = ()e, (8-7) ahol az () a = id ponban folyó áram. Mivel ekkor a kondenzáoron még nem alálhaó ölés, ezér a eljes feszülség az ellenálláson esik, vagyis az áram nagysága () =, azaz () = e. (8-8) 4
A kondenzáoron és az ellenálláson es feszülség: () = ( ) d = e d = [e ] = ( e ), (8-9) () = () = e. (8-) A maximális áram a = id pillanaban folyik, ekkor ( = ) =, a kondenzáoron a maximális ölés -ben alakul, ekkor Q max = ( ) =. 9. felada: Egy = 5 µf kapaciású kondenzáor = 8 feszülséggel ölünk fel. A felölö kondenzáor egy ellenálláson kereszül süjük ki. Mekkora az ellenálláson disszipál eljesímény? A -edik id ponban disszipál eljesímény P () = () (), így ennek kiszámíásához el ször meg kell haároznunk az áramkörben folyó áramo és az ellenálláson els feszülsége. Felírva a második Kirchho-örvény az áramkörben: () K ahol () = Q () = () (), (9-) = Q ( ) d, (9-2) hiszen kezdeben a kondenzáor ölése Q =, és az áramkörben folyó () áram a kondenzáor ölésé csökkeni. Ez behelyeesíve, majd id szerin deriválva: = () Q ( ) d (9-3) d() = () (9-4) d d() ( d = ) d d (9-5) [ ln ( ) ] = (9-6) () = ()e (9-7) () Q () P () 2 2 9-A. ábra Ahol () a kezdei id pillanaban folyó áram nagysága: () = () = e. (9-8) nnen az ellenálláson es feszülség: () = e, (9-9) illeve a eljesímény: P () = () () = 2 2 e. (9-) 5
A kondenzáoron lév ölés: Q () = Q = ( ) d = [e ] ( ) d = e d (9-) = e. (9-2) 2 -A. ábra. felada: Egy kapaciású, feszülségre ölö kondenzáor egyik fegyverzeé egy ellenálláson kereszül egy másik, 2 kapaciású ölelen kondenzáor egyik fegyverzeére köjük. A ké kondenzáor szabad fegyverzeei rövidre zárjuk. a) A ranziensek lecsengése uán mekkora feszülsége mérheünk a kondenzáorokon? b) Mekkora az állandósul állapoban a kondenzáorok eljesíménye? c) Mekkora az állandósul állapoban a kondenzáorok energiája? a) Legyen kezdeben Q = az. kondenzáoron a ölés. Az összölés megmarad, így az egyensúly beállával is Q = Q + Q 2. Kirchho. örvénye érelmében az egyensúlyban, =,2 =. nnen = = + 2 (-) + 2. (-2) b) Mivel áram nem folyik az állandósul állapoban, így a kondenzáorok eljesíménye nulla. c) A kondenzáorok energiája: 3 E = 2 2 = 2 ( + 2 ) 2 2 (-3) E 2 = 2 2 2 = 2 2 2 ( + 2 ) 2 2. (-4) 6