Sorozatok számokkal 2.4 Alapfeladat Sorozatok számokkal 4. feladatcsomag egyenletesen növekvő számsorozatban véges sok tag összegének kiszámítása mértani sorozatok képzése A feladatok listája 1. Mennyit ér a lépcső? (számolás, összefüggéslátás) 2. Így is lehet, úgy is lehet (számolás) 3. Megéri? (számolás, összefüggéslátás) Ajánlás A sorozatokkal való foglalkozás a számolás gyakorlásán túl fejleszti az összefüggés-felismerő és a szabályfelismerő képességet is. A mértani sorozatokról nem tanítunk semmiféle elvont ismeretet. Megfigyeljük képzési szabályukat, és megvizsgáljuk néhány sorozat növekedését. Megoldások, megjegyzések 1. Mennyit ér a lépcső? A Gauss-féle összegzést ismerhetik meg a gyerekek közvetlen tapasztalatszerzéssel. Érdemes elmesélni hozzá a történetet a kisfiú Gaussról, akinek tanítója azt a feladatot adta, hogy számítsa ki 1-től 100-ig a számok összegét. a a fehér kocka 1-et ér, a lépcső értéke 55. Az egymásra rakott rudakról le tudják olvasni, hogy egy oszlop 11-et ér, s 5 ilyen oszlop van. a a fehér kocka 10-et ér, a 100 10; 90 20; 80 30; 70 40; 60 50 számpárokból kapjuk meg a számok összegét: 110 5 = 550 Ugyanezen menet alapján számíthatjuk ki a számok összegét 1 és 100 között. Az egyes számpárok összege 101, és 101 50 = 5050. Fejlesztő matematika 1
Sorozatok számokkal 2.4 A páratlan számok összege: (1 + 99) + (3 + 97) +... + (49 + 51) = 100 25 = 2500. A páros számok összegét is kiszámolhatják ezzel a módszerrel: 102 25 = 2550. 2. Így is lehet, úgy is lehet 1. Meseország fáin 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144 alma termett. 12 + 144 = 156, és 6 ilyen számpár alkotható a számsorozat tagjaiból. 156 6 = 936 2. A páros számjegyekből álló kétjegyű számok: 20, 22, 24, 26, 28, 40, 42, 44, 46, 48, 60, 62, 64, 66, 68, 80, 82, 84, 86, 88 20 + 88 = 108, és 10 ilyen számpárt állíthatunk elő (22 + 86; 24 + 84...) 108 10 = 1080 Táblázatba rendezve: Mindegyik sorban 2 + 4 + 6 + 8 = 20 tízes 20 40 60 80 van, az 5 sorban 100 tízes, összegük 1000. Minden oszlopban 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 20 22 42 62 82 egyes, a 4 oszlopban 4-szer 20 = 80 az 24 44 64 84 egyesek összege. Együtt: 1080. A sorok összege: 200, 208, 216, 224, 232 26 46 66 86 (mindegyik kiszámítható a Gauss-féle összegzéssel is (például: a második sornál 104 2), ezek összege pedig 28 48 68 88 1080. 3. Megéri? 1. a) A négy szék és az asztal ára 40 000 garas. b) Az utolsó székláb ára 65 536 garas. Az egyes széklábak értéke: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16 384, 32 768, 65 536 A számológép használatánál figyeljünk arra, hogy van olyan gép, ahol a jelet kétszer kell az első szorzás beírásánál benyomni, ha sorozatot akarunk alkotni! 2. a) Áni gyöngyei 540 garast érnek: 135 4 = 540 (a 15 + 120 számpárból). Az egyes gyöngyök értéke: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120 b) Máni gyöngysora 10 935 garast ér. Az egyes gyöngyök értéke: 5, 15, 45, 135, 405, 1215, 3645, 10 935, az összegük: 16 400. c) Fáni gyöngysora 2550 garast ér. Az egyes gyöngyök értéke: 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280. 2 Fejlesztő matematika
1. Mennyit ér a lépcső? 1. Készítsük elő a színesrúd-készletet! Építsetek 10 rúdból a fehértől a narancssárgáig lépcsőt! a a fehér kocka 1-et ér, mennyit érhet az egész lépcső? Írjátok fel művelettel, hogyan számolnátok ki! Számoljátok ki a lépcső értékét! allgassuk meg, ki milyen módon végezte el a 10 szám összegének kiszámítását! Számítsuk ki másképp is a lépcső értékét! Tegyétek az első lépcsőt az utolsóra, a másodikat az utolsó előttire és így tovább! Építsük meg mi is a lépcsőt, és végezzük el az átalakítását a gyerekekkel együtt! Mennyit ér most egy oszlop? Írjátok fel összeadással és szorzással is, mennyit ér az összes rúd, amit a lépcsőépítéshez használtunk! Fejlesztő matematika 3
2. A fehér kocka most 10-et érjen! Írjátok fel összeadással, hogyan számolnátok ki a lépcső értékét! Képzeletben most ismét rakjátok egymásra a rudakat, ahogy az előző feladatban tettük! Jelöljük ezt az előbb leírt összeadás szerint! 10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 + 100 50 60 + 40 70 + 30 80 + 20 90 + 10 100 Írjátok le összeadással és szorzással a lépcső értékét! Számoljátok ki mindkét módon! 3. Számoljuk ki, hogy 1-től 100-ig mennyi a számok összege! Mit gondoltok, hogyan lehetne a legegyszerűbben ennek a 100 számnak az összegét kiszámolni? a növekvő sorba rendezitek ezeket a számokat, mennyi lesz az első és utolsó szám összege? Alkossatok a számok közül olyan számpárokat, melyek összege ugyanennyi! ány ilyen számpárt alkothatunk? Számoljátok ki szorzással a számpárok összegét! asználhattok számológépet. Mit gondoltok, mennyi ebből a páratlan számok összege? És a párosaké? 4 Fejlesztő matematika
2. Így is lehet, úgy is lehet 1. Meseország kertjében 12 aranyalmafa állt. Az első fán 12 alma termett, és a többi fán 12 almával több termett, mint az előtte lőn. 12 24 36 48 a) Írjátok rá a fákra, mennyi alma termett rajtuk! b) Összesen mennyi alma termett Meseország fáin? Egyikőtök számoljon összeadással! A páros másik tagja először számolja ki, mennyi az első és utolsó fákon termett almák száma. Ezután keressen ugyanekkora összeget adó számpárokat a fákon, és számolja ki szorzással az almák számát! asonlítsátok össze a kapott eredményeket! Fejlesztő matematika 5
2. a) Gyűjtsétek össze az összes olyan kétjegyű számot, melyek csak páros számjegyekből állnak! Beszéljétek meg, hogyan kéne okosan úgy elrendezni a számokat, hogy ne maradjon ki egy se, és egyiket se írjátok le kétszer!......... b) Mennyi ezeknek a számoknak az összege? Állítsátok növekvő sorba az összegyűjtött számokat! Mennyi az első és utolsó szám összege? Rendezzétek olyan számpárokba az összegyűjtött számokat, melyeknek szintén ennyi az összegük! Számoljatok szorzással! Ebbe a táblázatba rendezzétek a gyűjtött számokat! Az azonos számjeggyel kezdődő számok egy oszlopba kerüljenek, és a számok soronként és oszloponként is növekedjenek! Először számoljátok ki soronként a számok összegét, majd adjátok össze az így kapott számokat! Beszéljétek meg, hogyan lehetne minél egyszerűbben számolni! 6 Fejlesztő matematika
3. Megéri? 1. Furfangos mester műhelyében új étkezőgarnitúra készült. A mester ezzel a táblával várta a vevőket: Mindenki kedvére választhat fizetési módot! Fizess a székekért 5-5 ezer garast, az asztalért pedig 20 ezer garast! Vagy fizess csak az utolsó széklábért! Az első székláb ára 2 garas, s mindegyik az előző kétszeresét éri. Elég, ha az utolsó széklábat kifizeted, az asztalt ingyen adom mellé. Mit gondolsz, melyik lehetőséget érdemes választani? a) Számold ki, mennyibe kerül, ha a székekért és az asztalért fizetsz! b) Számold ki, mennyit kell fizetned, ha a második lehetőséget választod! Írd le sorban a széklábak árát! 2, 4, 8,...... c) Ellenőrizd számításodat számológéppel! Először kétszerezd az első székláb árát! Így üsd be a gépbe: 2 2 = A következő széklábaknál lehet, hogy elég csak az = jelet benyomni! Fejlesztő matematika 7
2. Áni, Máni és Fáni azon vitatkozott, kinek a nyaklánca értékesebb. a) Áni nyakláncán 8 gyöngy van. Az első 15 garast ér, és minden további gyöngy 15 garassal kerül többe az előzőnél. Írd rá mindegyik gyöngyre az árát, és számold ki, mennyibe kerül a nyaklánc! 15 b) Máni nyakláncán is 8 gyöngy van. Az első gyöngy 5 garast ér, és minden további gyöngy az előző háromszorosát éri. 5 Számold ki, mennyit ér Máni nyaklánca!... (A számoláshoz használhatsz számológépet.) c) Fáni nyakláncán is 8 gyöngy van. Az első gyöngy 10 garast ér, és minden további gyöngy az előző kétszeresét éri. 10 Számold ki, mennyit ér Fáni nyaklánca!... (A számoláshoz használhatsz számológépet.) 8 Fejlesztő matematika