Szolnoki Tudományos Közlemények XIV. Szolnok, 1. Prof. Dr. Szabolcsi Róbert 1 MECHANIKAI LENGŐ RENDSZEREK RENDSZERDINAMIKAI IDENTIFIKÁCIÓJA I. BEVEZETÉS, MOTIVÁCIÓ, PROBLÉMAFELVETÉS A műszaki gyakorlatban számos alkalommal találkozhatunk olyan feladattal, amikor dinamikus rendszerek minőségi jellemzőinek javítása érdekében szükséges a dinamikai rendszerek modell-, és arametrikus identifikációja. A szerző a cikkben egy teljesen új műszaki robléma megoldásával foglalkozik: a feladat egy vélhetően lengő jellegű, és nagy értékű holtidővel rendelkező összetett, mechanikai lengő rendszer modell-, és arametrikus identifikációjának végrehajtása a rendszer adott, rendelkezésre álló bemeneti-, és kimeneti idősorai alaján. A feladat megoldása során várható olyan új, araméterezett rendszerdinamikai modellek meghatározása, amelyek alkalmasak arra, hogy asszív, vagy aktív beavatkozással javítsuk a dinamikus rendszerek minőségi jellemzőit. MODEL AND PARAMETER IDENTIFICATION OF THE MECHANICAL SYSTEMS During imroving dynamic erformances of the mechanical systems one often can face the roblems and questions of the model and arameter identification. This aer deals with solution of the new roblem associated with roblems of identification of the mathematical models of the mechanical system token into consideration as the black-box one. The exected results can be used for the design of both assive and active susension systems imroving dynamical erformances of the given mechanical system. II. SZAKIRODALMI ÁTTEKINTÉS A szerző a [6, 7] cikkeiben a ilóta nélküli reülőgéek térbeli mozgásának rendszerdinamikai identifikációjával foglalkozott, ahol bemutatta a modell-, és a arametrikus identifikáció fontosabb lééseit. Dinamikus rendszerek modell-, és arametrikus identifikációját a MATLAB rogramcsomag [4, 5] System Identification Toolbox segédrogramja [] támogatja, és teszi lehetővé. A modell-identifikáció során felhasználható lineáris, és nemlineáris rendszerdinamikai modelleket Pokorádi mutatta be, és vizsgálta azok ontosságát, illetve azok modell-, és arametrikus bizonytalanságait [3]. 1 Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem, Bolyai János Hadmérnöki Kar, Had- és Biztonságtechnikai Mérnöki Intézet, Katonai Robotika Tanszék, okleveles mérnök ezredes, tudományos és nemzetközi kacsolatok dékánhelyettes, egyetemi tanár. H-1581 Budaest, Pf. 15., Email: szabolcsi.robert@zmne.hu. A cikket lektorálta: Prof. Dr. Pokorádi László, Debreceni Egyetem egyetemi tanár, műszaki tudomány kandidátusa
A rendszerdinamikai identifikáció során taasztalt holtidők matematikai modellezésével a szerző korábban bemutatott már új eredményeket [1]: igazolta, hogy a holtidő Padéaroximációval való közelítése során a %-os ontatlanság eléréséhez az ötödrendű Padéaroximáció alkalmazása szükséges. III. NÉHÁNY GONDOLAT A MODELL, ÉS PARAMETRIKUS IDENTIFIKÁCIÓ FONTOSABB LÉPÉSEIRŐL A dinamikus rendszerek identifikációja, és annak roblémaköre, valamint a feladattal kacsolatos megoldandó feladatok köre régóta ismert a szakemberek számára. A feladat megoldása igazán akkor vált egyszerűvé, amikor annak megoldását már számítógées rogramok is támogatták [, 4, 5]. Az identifikáció roblémája az 1. ábrán szemléltettük. 1. ábra. Dinamikus rendszer rerezentációja. Az 1. ábra laján az identifikálandó rendszer matematikai leírása a következő []: y( t) g( u, ) e( t), (3.1) ahol: y (t) - a rendszer kimeneti jele; g( u, ) - az u bemeneti jeltől, és a rendszeraramétertől függő dinamikus modell matematikai rerezentációja; e (t) - külső zaj, ami nem mérhető, és nem irányítható. Lineáris rendszerdinamikai esetre a (3.1) egyenlet az alábbi alakban is felírható: y( t) Gu( t) He( t), (3.) ahol: G a kimenet-, és a bemenet közötti kacsolatot leíró oerátor (átviteli függvény), H a külső additív zaj rendszerre gyakorolt hatását hivatott leírni []. A hivatkozott irodalmak az identifikáció, és az ahhoz kacsolódó analízis, és szintézis feladatokat az alábbi fontosabb léésekben javasolják végrehajtani [, 4, 5, 6, 7]: 1. A kísérleti modell/rendszer adatainak meghatározása.. A black-box rendszer adatainak előzetes vizsgálata, és előkészítése az elkövetkező identifikációhoz (adatok megjelenítése, az off-set-ek és lineáris trendek eltávolítása, a szükséges szűrések elvégzése, újra mintavételezés végrehajtása, új tartományok idő-, és frekvenciatartomány meghatározása). 3. A dinamikus modellek becslése, és azok validálása. 4. Az identifikáció során kaott rendszermodell vizsgálata, és annak szükség szerinti transzformációja (lineáris rendszer analízis, rendszermodell fokszám-redukció, a folytonos-folyamatos rendszermodell konverziója szakaszos-szaggatott, más szóval, mintavételes/digitális modellre. 5. Az identifikált modell alkalmazása az előzetesen meghatározott irányítástechnikai feladatokra: szimuláció, redikció, szabályozók előzetes tervezése.
Irányítástechnikából ismeretes, hogy az identifikáció iteratív folyamat, aminek eredményekéen a rendelkezésre álló bemeneti-, és kimeneti jelek alaján meghatározzuk az identifikálandó rendszer modelljét, és a modell aramétereit. Az idenfitikáció iteratív folyamata az alábbi léésekből áll []: 1. A rendelkezésre álló adatok előkészítése az identifikációra a. Adatok imortálása a MATLAB munkaterületi memóriafelületére. b. Az adatok behívása a System Identification Toolbox rogram grafikus felületére, vagy a MATLAB főablakában adat-objektum létesítése. c. Az identifikálandó rendszer bemeneti-, és kimeneti jeleinek megjelenítése úgy idő-, mint frekvenciatartományban. d. A bemeneti-, és a kimeneti jelek idősorainak előkészítése az identifikációra: az állandó off-set-ek és lineáris trendek eltávolítása, a hiányzó adatok interolációja. A nagyfrekvenciás zajok kiszűrése, illetve az identifikáció során alkalmazott idősorok újra mintavételezése javíthatja az identifikációs eredményeket.. Lineáris, vagy nemlineáris modellek identifikációja. a. Az identifikált modell analízise frekvenciatartományban. b. Az identifikált modell analízise időtartományban. c. Az identifikált rendszer (folyamat, vagy irányított szakasz) SISO -modellje átviteli függvényének meghatározása. d. Az identifikált rendszer (folyamat, vagy irányított szakasz) MIMO 3 -modellje állaot-tér modelljének meghatározása. e. Nemlineáris, Black Box modell meghatározása. f. Közönséges differenciál, vagy differencia-egyenletek meghatározása (Grey Box modell-identifikáció). 3. Az identifikált modell validálása. a. Ha nem sikerül megfelelő, kielégítő ontossággal bíró matematikai modellt identifikálni, akkor meg kell változtatni az identifikáció során alkalmazott matematikai modell struktúrát, vagy az identifikáció algoritmusát [3]. Az identifikáció során kaott eredmények esetenként javíthatóak, ha a bemeneti jelhez sztochasztikus jelet adunk. 4. Az identifikált modell analízise idő-, és frekvenciatartományban. IV. MECHANIKAI LENGŐ RENDSZER MODELL, ÉS PARAMETRIKUS IDENTIFIKÁCIÓJA A vizsgált mechanikai lengő rendszer a háromdimenziós (3D) térben, hatszabadságfokú mozgást kées végezni: a 3D, derékszögű, Descartes-koordináta-rendszerben az egyes tengelyek mentén egyenesvonalú, illetve a tengelyek körül forgómozgást végezhet. A mechanikai lengő rendszer vizsgálatára adatgyűjtő rendszer került kifejlesztésre. SISO Single Inut Single Outut: Egy bemenetű, egy kimenetű, egyváltozós. 3 MIMO Multi Inut Multi Outut: Több bemenetű, több kimenetű, többváltozós. 3
az(t) az(t) Az adatgyűjtő rendszer vezeték nélküli érzékelőkből (gyorsulásmérők), és adatgyűjtő közonti egységből áll. Az érzékelők lesugárzott jelei gyorsulás, sebesség, illetve koordinátaaraméterek. A rendszerdinamikai identifikációt az érzékelők lesugárzott gyorsulásaraméterei alaján végezzük el. A dinamikus mechanikai lengő rendszer bemeneti-, és kimeneti jelei a., és a 3. ábrán láthatóak. 6 BEMENET - Függoleges gyorsulás [m/s ] idosora 4 - -4-6 -8 5 1 15 5 3 Ido [s]. ábra. Mechanikai rendszer bemeneti jelének idősora. 15 KIMENET - Függoleges gyorsulas [m/s ] idosora 1 5-5 -1 5 1 15 5 3 Ido [s] 3. ábra. Mechanikai rendszer kimeneti jelének idősora. 4
A MATLAB rogramcsomag [4, 5] System Identification Toolbox segédrogramja [] az alábbi túlcsillaított modell rerezentációkat kínálja fel választási lehetőségként: K, (4.1) K, (4.) 1 st K (1 st )(1 st ), (4.3) 1 K (1 st )(1 st )(1 st ), (4.4) 1 3 A MATLAB rogramcsomag [4, 5] System Identification Toolbox segédrogramja [] az alábbi alulcsillaított modell rerezentációkat kínálja fel választási lehetőségként: K 1 T s ( T (1 T K s ( T )(1 st, (4.5), (4.6) ) A MATLAB rogramcsomag [4, 5] System Identification Toolbox segédrogramja [] a (4.1)-(4.6) modellek holtidős-, integráló-, és valós differenciáló modelljeit is felkínálja választási lehetőségként. Az arányos, kéttárolós, alulcsillaított (lengő), differenciáló, holtidős rendszermodell az alábbi átviteli függvénnyel adható meg []: K(1 st ) e z 1 T s ( T s, (4.7) A továbbiakban válasszuk K(1 st ) e z 1 T s ( T s. (4.8) A (4.1)-(4.7) egyenletekben: K - erősítési tényező; T, T i - időállandók; - csillaítási tényező; - holtidő. Tekintettel a vizsgált mechanikai lengő rendszer összetett feléítésére (csuklós, kacsolt tagok) sejteti, hogy a rendszer holtidős lesz. A holtidő a (4.8) egyenlet s e számlálójában az exonenciális függvénnyel definiált. A gyakorlatban igyekszünk a nemlineáris függvények, jelenségek kiküszöbölésére. A holtidők esetében a Padéaroximációt használjuk az exonenciális függvény lineáris közelítésére. V. HOLTIDŐ KÖZELÍTÉSE PADÉ-APPROXIMÁCIÓVAL A holtidő lineáris közelítését vizsgáljuk a 4. ábrán. A 4. ábrán: G ( rendszerdinamikai átviteli függvény; G ˆ( s ) a közelítő rendszer rendszerdinamikai átviteli függvénye; Go ( önmagában stabilis, szabályos, holtidő-mentes dinamikus modell; - holtidő; Pd ( Nd ( / Dd ( a holtidőt közelítő racionális tört. 5
A holtidő közelítése az alábbi módon fogalmazható meg: az eredeti, átviteli függvénnyel megadott holtidős rendszert közelítsük a s G( e G ( (5.1) o Gˆ ( P ( G ( (5.) d átviteli függvénnyel, ahol Pd ( Nd ( / Dd ( a holtidőt közelítő racionális tört. Máskéen fogalmazva: keressük azt a P d ( átviteli függvényt, amely esetén a G ˆ( s ) modell a lehető legjobban közelíti az eredeti, holtidős, G ( rendszert. o 4. ábra. Holtidő modellezése. Az aroximációs hiba, e (, az egyes rendszerek ( G ( és G ˆ( s ) ) válaszjeleinek különbsége. Az y ( és az y ˆ( válaszjeleket összehasonlítva, megállaíthatjuk, hogy a G ( és G ˆ( s ) rendszerek hogyan közelítik egymást, más szóval, a Pd ( közelítő függvény s e mennyire ontosan rerezentálja az holtidőt. Szabályozástechnikában e feladatot modell-követési feladatnak nevezik. A modell-követési hiba értékét az alábbi egyenlettel adható meg [1]: MME ˆ su u e u su u Az (5.3) egyenlet a bemeneti jel euklidészi, második hibajel euklidészi, második normája y yˆ u. (5.3) u normájának, és az e y yˆ e hányadosának suremuma, más szóval, a modellkövetési hiba a bemeneti jel, és a hibajel energiái hányadosának maximuma. Szabályozástechnikából ismeretes, hogy a modell-követési hiba az alábbi egyenletekkel írható le [1]: ahol: MME MME H MME, (5.4) L MME G Gˆ, (5.5) H H MME L j sug( j) Gˆ( j) su G ( j) e P ( j) d. (5.6) Könnyen belátható, hogy kis értékű MME esetén az eredeti G (, és a közelítő G ˆ( s ) L rendszerek Nyquist-diagramjai közötti eltérés kis értékű. E megállaítás csak és kizárólag 6
akkor igaz, ha a G o ( önmagában stabilis, szabályos, holtidő-mentes dinamikus rendszert rerezentál. A modell-követés feladata a következő módon is megfogalmazható: G o ( önmagában stabilis, szabályos, holtidő-mentes dinamikus rendszer esetén határozzuk meg azt a P d ( átviteli függvényt, amely megfelelő ontossággal írja le az s e holtidőt: az MME L modellkövetési hiba kisebb, mint egy előre megadott ozitív skalár tűrésmező, > [1]. A holtidő Padé-aroximációs közelítése az alábbi egyenlettel történik [1]: e s P d N ( D d d n ( 1) ck s ( k ( n k k c s k k k ahol az (5.7) egyenlet együtthatói az alábbi kélettel számíthatóak: c k k k, (5.7) (n k)! n! ; n 1,, 3, 4, ; k,1,, 3,, n. (5.8) n! k! ( n k)! Az (5.8) egyenlet alaján megállaítható, hogy az (5.7) átviteli függvény számlálója és nevezője n-edrendű olinomja a komlex frekvenciának. A gyakorlatban felmerül a kérdés, mi az a minimális fokszám, amely esetén az aroximációs hiba kisebb, mint egy előre megadott tolerancia? Az aroximációs hiba az alábbi egyenlet segítségével határozható meg: n1 e 4n, ha j 4 e e Pd ( j) n. (5.9) 4n, ha e Az (5.9) egyenletet felhasználva, az adott ontosságot biztosító modell-aroximáció szükséges rendszámát az alábbi műveleti sorral lehet meghatározni [1]: 1. A G o ( j) átviteli függvény abszolút értékre határozzuk meg azt az x frekvenciát, amelyre igaz, hogy és első léésben legyen n 1.. n 1 esetén legyen G ( j), x, (5.1) 4n n max x,, (5.11) e és a következő egyenlet segítségével határozzuk meg a hibajel abszolút értékét: G ( ) ˆ G ( j) ( j), e n 1 4n 4n, ha e. (5.1) 4n ha n e 7
3. Legyen 1 E( n) max ( ) ;, x. (5.13) Ha E ( n) 1, akkor befejezettnek tekinthetjük az aroximációs folyamatot, amikor teljesül, hogy MME. (5.14) Ha E (n) >1, akkor növeljük n értékét 1-el és folytassuk újra a. lééssel, amíg nem teljesül, hogy E ( n) 1. 4. Számítsuk ki az aroximációs hibát az alábbi egyenlet segítségével, L j G ( j) e Pd ( j) (5.15) majd grafikus úton ábrázoljuk, és határozzuk meg annak maximális értékét, hogy az kisebb-e, mint a megadott statikus ontatlanság,. 4 A nagyontosságú számítások esetén, a statikus ontosság általában (1 1 ) értékű. Szabályozástechnikából ismeretes, hogy egyes minőségi jellemzők (l. tranziens idő, x ss() ) meghatározása más ontossági, illetve ontatlansági követelmény mellett számítható. A dinamikus ontosság általában, % és 5% között változik, még igényes szabályozásokban is. Nyilvánvaló, hogy a matematikai ontosság és a szabályozási rendszerekben elvárt ontosság lényeges mértékben eltérnek egymástól holtidő közelítésének rendszáma tehát komromisszum révén határozható meg [1]. Ha a statikus hiba,, akkor a minimálisan szükséges aroximációs fokszám n 5. A holtidő közelítésére tehát az alábbi egyenletet használjuk majd [1]: 1! 3! 3 4! 4 5! 5 1 s ( ( ( ( s e P! 4! 6! 8! 1! d (. (5.16) 1! 3! 3 4! 4 5! 5 1 s ( ( ( (! 4! 6! 8! 1! VI. MECHANIKAI LENGŐ RENDSZER IDENTIFIKÁCIÓJA A vizsgált bonyolult feléítésű mechanikai lengő rendszer feléítésénél fogva, tartalmaz rugót, csillaítót, a szerkezeti feléítése miatt edig vélelmezetten holtidős. Az előzetes elméleti, és gyakorlati megfontolások alaján az identifikált modellt az alábbi alakban keressük: K(1 st ) e z 1 T s ( T s. (6.1) A (6.1) egyenletben: K - erősítési tényező; T, T z - időállandók; - csillaítási tényező; - holtidő. Az identifikáció során a MATLAB rogramcsomag [4, 5] System Identification Toolbox segédrogramja segítségével identifikált modell aramétereit az 1. táblázat, és az 5. ábra mutatja be. 8
Phase (deg) Magnitude (db) K T, s T z, s, s,5177,1371 5,3 -,9514,47 1. táblázat 5. ábra. MATLAB rogramcsomag [4, 5] System Identification Toolbox ablaka []. Az identifikált dinamikus rendszer Bode-diagramja a 6. ábrán látható. Bode Diagram Gm = 1.4 db (at 66 rad/sec), Pm = Inf -1 - -3-4 -5 18 7 36-36 1 1 1 1 1 3 1 4 1 5 1 6 Frequency (rad/sec) 6. ábra. Az identifikált mechanikai rendszer Bode-diagramja, és minőségi jellemzői. 9
y3(t) y(t) A 6. ábrán jól látható, hogy a mechanikai rendszer erősítési tartaléka 1,4 db, míg a fázistartalék a végtelenhez tart. Az identifikált mechanikai rendszer átmeneti függvénye a 7. ábrán, míg az egységsebesség bemeneti jelre adott válaszfüggvénye a 8. ábrán látható..8 Átmeneti függvény.6.4. -. -.4 -.6 -.8 -.1 -.1..4.6.8 1 1. 1.4 Ido [s] 7. ábra. Az identifikált mechanikai rendszer átmeneti függvénye..35 Rendszerválasz az egységsebesség-függvény bemeneti jelre.3.5..15.1.5 -.5..4.6.8 1 1. 1.4 Ido [s] 8. ábra. Az identifikált mechanikai rendszer válasza az egységsebesség-ugrásfüggvény bemeneti jelre. 1
y(t)-y4(t) y4(t) A 7., és a 8. ábrákon jól látható, hogy az identifikált rendszer holtidős, és az átmeneti függvény korlátos, kisebb lengésekkel áll be a stacioner állaot. Az identifikált dinamikus rendszer válasza az egységnyi amlitúdójú, előjelváltó négyszögjel bemeneti jelre a 9. ábrán látható. 1.3 Rendszerválasz a négyszögjel bemeneti jelre.8.5.6.4. -. -.4 -.6..15.1.5 -.5 -.8 -.1-1..4.6.8 1 1. 1.4 1.6 1.8 Bemeneti jel. -.15..4.6.8 1 1. 1.4 1.6 1.8 Ido [s] Válaszjel. 1 Rendszerválasz a négyszögjel bemeneti jelre.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8-1..4.6.8 1 1. 1.4 1.6 1.8 Ido [s] 9. ábra. Az identifikált mechanikai rendszer válasza a négyszögjel bemeneti jelre. A 9. ábrán jól látható, hogy az identifikált rendszer tranziens folyamata néhány előjelváltó lengés után lecseng, és beáll az új egyensúlyi állaot. VII. DISZKUSSZIÓ Az identifikált modell araméterei reálisak. A kaott holtidő értéke alaján megállaíthatjuk, hogy a mechanikai lengő rendszer a többi időállandóhoz kéest is nagymértékben holtidős. A holtidő értéke új szerkezeti megoldásokkal, ontosabb gyártástechnológiai tűrésekkel akár lényeges mértékben csökkenthető. A holtidő közelítésére alkalmazott ötödrendű Padé-aroximáció elég ontos közelítést jelent, viszont bonyolulttá teszi a mechanikai rendszer matematikai modelljét. Amennyiben kevésbé igényes szabályozással van 11
dolgunk, akár kevésbé ontos, de egyszerűbb matematikai modellt is alkalmazhatunk a holtidő közelítésére. A gyakorlatban, első léésben még az elsőrendű aroximációval is találkozunk, ami nagyon egyszerű matematikai leírást ad, viszont meglehetősen ontatlan. Mivel a modell bonyolultsága a jelenleg meglévő és alkalmazott számítógées rogramok számára nem jelent túlságosan nagy teljesítményigényt, ezért javasolt a magasabb rendű, de ontosabb aroximációs összefüggések használata. A arametrikus identifikáció eredményei reálisak, alkalmasak arra, hogy azok alaján a mechanikai lengő rendszer áttervezésre kerüljön: aktív-, vagy asszív eszközökkel javítható a rendszer lengéskée, csökkenthető annak lengési hajlama. VIII. EREDMÉNYEK, KÖVETKEZTETÉSEK A dinamikus rendszerek modell-, és arametrikus identifikációja könnyen végrehajtható a MATLAB rogramcsomag [4, 5], és a System Identification Toolbox [] segédrogram segítségével is. A szükséges előzetes adat átalakítások után a szerző bemutatta egy erősen lengő, dinamikus mechanikai rendszer modell-, és arametrikus identifikációját. Elméleti, és gyakorlati megfontolások után a szerző PDTH-tagot (arányos, differenciáló, kéttárolós lengő, holtidő választott ki modellként. Az identifikált rendszer frekvenciatartományban nagyon jó minőségi jellemzőket mutat, míg időtartományban erősen lengő jellegű, tehát szükséges a szabad lengéseinek csillaítása. FELHASZNÁLT IRODALOM [1] RÓBERT SZABOLCSI: Modeling of the Human Pilot Time Delay Using Padé Series, International Journal of Academic and Alied Research in Military Science AARMS, HU ISSN 1588-8789, Vol. 6., Issue 3, (45-48), 7. [] LENNART LJUNG: System Identification Toolbox 7, Getting Started Guide, The MathWorks, Inc., 8. [3] PROF. DR. POKORÁDI LÁSZLÓ: Rendszerek és folyamatok modellezése, ISBN 978-963-98-6-1, Camus Kiadó, Debrecen, 8. [4] MATLAB 7 (R1b), Getting Started Guide, The MathWorks, Inc., 9. [5] SIMULINK 7 (R1b), Getting Started Guide, The MathWorks, Inc., 9. [6] PROF. DR. SZABOLCSI, RÓBERT: Identification of the UAV Mathematical Models, CD-ROM Proceedings of the VI th International Conference New Challenges in the Field of Military Sciences, ISBN 978-963-8776-4-6, 18-19 November 9, Budaest, Hungary. [7] PROF. DR. SZABOLCSI, RÓBERT: UAV Satial Motion Model Identification, Reüléstudományi Közlemények, On-line folyóirat, 1/., Különszám, HU ISSN 1789-77X, "Reüléstudományi Konferencia 1 6 éves a szolnoki reülőtisztkézés" tudományos konferencia kiadványa, 1. árilis 16. (htt://www.szrfk.hu/rtk/index.html). 1