1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül) A tér egy σ síkjában vegyünk két egymásra mer leges egyenest, melyeket jelöljön x és y, a metszéspontjukat pedig jelölje O. A két egyenesen adjunk meg egy-egy irányítást. A két irányított egyenes egy derékszög koordináta-rendszert képez a σ síkban. Az egyeneseket mondjuk a koordináta-rendszer tengelyeinek, az O-t pedig a kezd pontnak (vagy origónak) nevezzük. Tekintsük a sík egy tetsz leges P pontját. A P pontból az x, y egyenesekhez húzott mer leges szakaszok talppontját jelelölje P x és P y. Az irányított tengelyeken az OP x és OP y irányított szakaszok el jeles hosszát jelölje x P és y P. Ezen valós számokat mondjuk a P pont koordinátáinak. (A koordináták feltüntetése: P (x P, y P ).) Legyen adva egy f : R 2 R kétváltozós függvény és egy c valós szám. Az f(x, y) = c egyenlettel leírt σ-beli alakzaton az A = { P σ f(x P, y P ) = c } ponthalmazt értjük. 1) A derékszög koordináta-rendszerrel ellátott síkban vegyük az A (a 1, a 2 ) és B (b 1, b 2 ) pontokat. Mutassuk meg, hogy a két pont távolsága AB = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2. Írjuk le egyenlettel a C(7, 4) centrumú és a P (1, 4) ponton átmen kört. 2) Vegyünk a síkban egy g egyenest és azon két pontot, melyek legyenek P 1 (x 1, y 1 ) és P 2 (x 2, y 2 ). Mutassuk meg, hogy ha g és y nem párhuzamosak, akkor az y 2 y 1 x 2 x 1 hányados nem függ a pontok megválasztásától. Ezt mondjuk a g meredekségének. 3) Egy síkbeli g egyenes áthalad az A (a 1, a 2 ) ponton és meredeksége m. Mutassuk meg, hogy az y = m(x a 1 ) + a 2 egyenlettel leírt alakzat éppen a g egyenes. 4) A síkban legyenek adva a g 1, g 2 egyenesek, melyek meredeksége m 1 és m 2. Igazoljuk, hogy g 1 és g 2 pontosan akkor mer legesek egymásra, ha fennáll az m 1 m 2 = 1 egyenl ség. (Utalás: Vegyük az y = m 1 x, y = m 2 x és x = 1 egyenlet egyenesek metszéspontjaival meghatározott háromszöget és alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt.) 5) A síkban adva van a 3x 2y + 12 = 0 egyenlet e egyenes és a C (5, 7) pont. Határozzuk meg azon C centrumú kör egyenletét, amelyet érint az e egyenes. 6) Tekintsük a síkban azt az ABCD négyzetet, amelynek egyik csúcsa az A (1, 6) pont és BD átlója rajta van a x 3y + 7 = 0 egyenlet egyenesen. Határozzuk meg a négyzet másik három csúcsának a koordinátáit. 7) Vegyük az O centrumú r = 5 2 sugarú kört. Határozzuk meg a P ( 5, 15) pontból a körhöz húzott érint egyenesek egyenletét és az érintési pontok koordinátáit. 8) Igazoljuk, hogy egy P (a, b) pontnak az y = x egyenesre vonatkozó tükörképe Q(b, a). 9) Legyen adott egy p pozitív valós szám. Tekintsük a síkban azt a parabolát, amelynek fókusza az F (0, p/2) pont és vezéregyenese az y = p/2 egyenlet egyenes. Igazoljuk, hogy a 2 p y x 2 = 0 egyenlettel leírt alakzat éppen ez a parabola. 10) Tekintsük azt a hiperbolát, amelynek fókuszai az F 1 ( 1, 1), F 2 (1, 1) pontok és valós tengelyhossza 2a = 2. Igazoljuk, hogy a 2 x y = 1 egyenlet ezt a hiperbolát írja le. Bizonyítsuk be azt is, hogy az y = 1/x egyenlet szintén hiperbolát ír le.
2. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Legyenek m és n pozitív egész számok. Vegyünk a térben egy O pontot, egy AB szakaszt és azon azt a P pontot, amelyre teljesül az AP : P B = m : n. Fejezzük ki az OP helyvektort az OA, OB vektorokkal. Jelölje F az AB szakasz felez pontját, továbbá H az A-hoz közelebbi harmadolópontját. Fejezzük ki az OF és OH vektorokat is. 2) Tekintsünk egy ABC háromszöget és egy O pontot. Mutassuk meg, hogy az ABC háromszög S súlypontjának helyvektorára fennáll OS = 1( OA + 3 OB + OC). 3) Legyenek a és b olyan vektorok, amelyek nem párhuzamosak egymással és egyenl hosszúságúak (vagyis a = b ). Mutassuk meg, hogy ekkor az a + b és a b vektorok mer legesek egymásra. 4) Tekinsünk egy ABC háromszöget. Legyen O a háromszög köré írt kör középpontja. Vegyük az a = OA, b = OB és c = OC vektorokat, továbbá azt az M pontot, melynek helyvektora OM = a+b+c. Bizonyítsuk be, hogy M az ABC háromszög magasságpontja. (Alkalmazzuk az el z feladatban szerepl összefüggést.) 5) Vegyünk egy síkot és abban egy O pontot. Az O pont körül végezzünk síkbeli elforgatást egy adott α szöggel. Egy síkbeli a vektor elforgatottját jelölje a F. Mutassuk meg, hogy tetsz leges a, b síkbeli vektorok esetén fennáll (a + b) F = a F + b F. 6) Egy parallelogramma oldalaira kifelé rajzoljunk egy-egy négyzetet. Vektorokat alkalmazva igazoljuk, hogy a négyzetek középpontjai egy újabb négyzet csúcspontjai. 7) Vegyünk a síkban egy tetsz leges ABC háromszöget. Ennek AC és BC oldalaira kifelé szerkesszük meg az ACP és BCQ szabályos háromszögeket. A CP szakasz felez pontját jelölje E, a CQ szakasz felez pontját F, az AB szakasz felez pontját pedig C 1. Vektorok alkalmazásával igazoljuk, hogy az EF C 1 háromszög szabályos. 8) Egy parallelepipedon egyik csúcsát jelölje O. Az O csúcsból az t tartalmazó lapok középpontjaiba mutató vektorok legyenek u, v és w. Fejezzük ki a parallelepipedon O kezd pontú élvektorait az u, v, w vektorokkal. 9) Legyen adott egy ABCD tetraéder. Ha vesszük az egyik csúcs és a szemközti lap súlypontjának az összeköt szakaszát, akkor azt a tetraéder egyik súlyvonalának mondjuk. Vektorok alkalmazásával bizonyítsuk be, hogy a tetraéder négy súlyvonala egyazon pontra illeszkedik és ez a pont negyedeli a súlyvonalakat. 10)* A síkban adva van egy ABCD húrnégyszög. Vegyük a húrnégyszög csúcsai által meghatározott ABC, BCD, CDA és DAB háromszögek magasságpontjait. Igazoljuk, hogy ezek a magasságpontok egy olyan négyszög csúcsai, amely egybevágó az eredeti húrnégyszöggel.
3. feladatsor (Lineáris kombinációk. Vektorok koordinátái) 1) Az a (a 0) vektorral egyirányú egységvektort jelölje a 0. Legyenek a és b egymással nem párhuzamos vektorok. Mutassuk meg, hogy az a 0 + b 0 és b a + a b vektorok iránya megegyezik, továbbá ezek felezik az a, b vektorok szögét. 2) Legyenek i és j egymásra mer leges egységvektorok. Tekintsük az a = 2 i j, b = i+j és v = i 5j vektorokat. Fejezzük ki a v vektort a v = α a+β b alakban. Határozzuk meg az α, β együtthatók értékét. 3) A szabad vektorok V terében rögzítve vannak az e 1, e 2, e 3 vektorok, amelyek lineárisan függetlenek, vagyis egy bázist alkotnak. Az a, b, c vektoroknak ezen bázisra vonatkozó koordinátái a(3, 2, 0), b( 2, 1, 1), és c(2, 4, 2). Határozzuk meg a v = 5 a + 2 b 3 c vektor koordinátáit. 4) Adva van három lineárisan összefügg vektor a, b és c, melyeknek az e 1, e 2, e 3 bázisra vonatkozó koordinátái a következ k: a(1, 2, 1), b(1, 3, 2), c(1, y, 10). Határozzuk meg a c vektor hiányzó koordinátáját. 5) Adva van négy vektor, melyeknek egy V-beli bázisra vonatkozó koordinátái a következ k: a(2, 1, 1), b( 1, 3, 0), c(1, 0, 7) és d(9, 9, 10). Állítsuk el a d vektort az a, b, c vektorok lineáris kombinációjaként, határozzuk meg az együtthatókat. 6) A térben adva vannak az O, A, B pontok, amelyek nem kollineárisak. Igazoljuk, hogy az OP = α OA+β OB helyvektorral meghatározott P pont rajta van az A, B pontok egyenesén akkor és csak akkor, ha az α, β számokra fennáll α + β = 1. 7) Legyen adott egy ABCD parallelogramma. Ennek BC és CD oldalán vegyük azon M és N pontokat, melyekre fennáll BM = 3 BC és DN = 1 DC. Jelölje P az AM és 4 3 BN szakaszok metszéspontját. Döntsük el, hogy a P pont milyen arányban osztja az AM és BN szakaszokat (AP : P M =?, BP : P N =?). 8) A síkban adva van egy ABC háromszög, melynek oldalai a = BC = 6, b = CA = 4 és c = AB = 5. Tekintsük az A csúcsból kiinduló AF súlyvonalat és a C csúcsbeli CT szögfelez t. Jelölje P a súlyvonal és a szögfelez metszéspontját. Vektorok alkalmazásával határozzuk meg, hogy a P metszéspont milyen arányban osztja a súlyvonalat és a szögfelez t (AP : AF =?, CP : CT =?). (Utalás: Vegyük az AB és AC oldalakhoz tartozó élvektorokat és azok lineáris kombinációjaként fejezzük ki a többi síkbeli vektort.) 9) Tekintsünk egy ABC háromszöget, és annak az AB, BC, CA oldalain vegyünk fel egy-egy pontot. A pontok sorrendben legyenek C 1, A 1 és B 1. Bizonyítsuk be, hogy AA 1 + BB 1 + CC 1 = 0 teljesül akkor és csak akkor, ha fennáll AC 1 AB = BA 1 BC = CB 1 CA.
4. feladatsor (Vektorok skaláris szorzata) Amennyiben a szabad vektorok V terének vesszük egy i, j, k bázisát, akkor a továbbiakban mindig feltesszük, hogy ez a bázis ortonormált. 1) A szabad vektorok V terének vegyük egy i, j, k ortonormált bázisát. Adjuk meg a v = 6 i 9 j + 2 k vektorral egyirányú v 0 egységvektor koordinátáit. 2) A szabad vektorok terében vegyük az a = 4 i 4 j 7 k és b = 3 i + 12 j + 3 k vektorokat. Határozzuk meg a két vektor skaláris szorzatát és hajlásszögét. 3) Adva vannak az a (1, 4, 1) és b (x, 1, 4) vektorok, amelyek hajlásszöge ϕ = 120. Határozzuk meg a b vektor hiányzó els koordinátáját. 4) Tekintsük azon a és b vektorokat, melyeknél az ortonormált bázisra vonatkozó koordináták a (6, 3, 12) és b ( 3, 5, 8). Bontsuk fel a b vektort az aval párhuzamos és az ara mer leges összetev k öszegére (b = b p + b m ). Határozzuk meg a b p, b m vektorok koordinátáit. 5) Az a, b vektorokról azt tudjuk, hogy különböznek a 0 nullvektortól és tetsz leges α, β együtthatók esetén α a + β b mer leges a β a α b vektorra. Határozzuk meg az a, b vektorok hajlásszögét és hosszaik arányát. 6) A térben vegyünk egy O pontot. Tekintsük az O kezd ponttal és az i, j, k alapvektorokkal meghatározott koordináta-rendszert. Tekintsük azt az ABC háromszöget, ahol a csúcspontok koordinátái: A (0, 0, 3), B (4, 4, 5), C ( 2, 4, 3). A C pontnak a g = A, B egyenesre vonatkozó tükörképét jelölje C t. Az AC vektor mer leges összetev kre való felbontásával határozzuk meg a C t pont koordinátáit. 7) A koordináta-rendszerrel ellátott térben tekintsük azt a σ síkot, amely áthalad az A(0, 3, 2) ponton és mer leges a v(2, 3, 3) vektorra. Vegyük a térben a P (7, 8, 3) pontot, melynek a σ-ra vonatkozó mer leges vetütelete P. Az AP vektor mer leges összetev kre való felbontásával határozzuk meg a P vetületi pont koordinátáit. 8) Legyenek x, y, z olyan valós számok, melyekre igaz x 2 + y 2 + z 2 4. A skaláris szorzás alkalmazásával igazoljuk, hogy fennáll 14 3x 6y + 2z 14. 9) Legyenek adva az O, A, B, C térbeli pontok. Igazoljuk, hogy a pontok által meghatározott irányított szakaszok vektoraira fennáll az OA BC + OB CA + OC AB = 0 összefüggés. 10) Tekintsünk egy ABC szabályos háromszöget. Vegyük a háromszög köré írható k kört és annak egy P pontját. Vektorok skaláris szorzását alkalmazva igazoljuk, hogy a P A 2 + P B 2 + P C 2 összeg értéke nem függ a P köri pont megválasztásától. 11)* Tekintsünk egy tetsz leges négyszöget, melynél az oldalak hossza a, b, c, d, az átlók hossza pedig e, f. Jelölje h az átlók felez pontjainak a távolságát. Vektorok skaláris szorzatának alkalmazásával igazoljuk, hogy fennáll a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = e 2 + f 2 + 4 h 2. (Használjuk ki, hogy három élvektor már meghatározza a négyszöget.)
5. feladatsor (Egyéni gyakorlás céljából az I. Zh. dolgozathoz) 1) A koordináta-rendszerrel ellátott síkban adva van egy ABCD rombusz, melynél ismert két szomszédos csúcs A(3, 1) és B(4, 7). A rombusz AC átlója párhuzamos az m = 2 meredekség egyenesekkel. Határozzuk meg a C, D csúcsok koordinátáit. 2) A koordináta-rendszerrel ellátott síkban adva van a P ( 1, 8) pont és az x 2 + y 2 8x + 4y 5 = 0 egyenlet kör. Határozzuk meg a P pontból a körhöz húzott érint egyenesek egyenletét és az érintési pontok koordinátáit. 3) A síkban adva van egy ABCD parallelogramma. Ennek oldalaira kifelé rajzoljuk meg az ABP és BCQ szabályos háromszögeket. Igazoljuk, hogy a P QD háromszög is szabályos. 4) Adva van a síkban egy ABCDEF általános hatszög. A hatszög oldalainak felez pontjai sorrendben legyenek P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6. Vektorok alkalmazásával bizonyítsuk be, hogy a P 1 P 3 P 5 és P 2 P 4 P 6 háromszögek súlypontjai egybeesnek. 5) Adva van a síkban egy ABCD parallelogramma. A BC oldalnak a B csúcshoz közelebbi harmadolópontja legyen E, a C-hez közelebbi harmadolópontját jelölje F, továbbá legyen G a CD oldal felez pontja. Vegyük az AF és EG szakaszok P metszéspontját. Döntsük el, hogy a P pont milyen arányban osztja az AF és EG szakaszokat (AP : P F =?, EP : P G =?). 6) A szabad vektorok terében adva vannak a lineárisan összefügg a, b, c vektorok, melyeknek egy i, j, k ortonormált bázisra vonatkozó koordinátái a (3, 1, 2), b (5, 4, 1) és c ( 11, y, 2). Határozzuk meg a c vektor hiányzó koordinátáját és az a, b vektorok által bezárt ϕ szöget (y =?, ϕ =?). 7) Tekintsük a derékszög koordináta-rendszerrel ellátott térben azt az ABC háromszöget, ahol a csúcspontok koordinátái a következ k: A (2, 0, 3), B (8, 2, 1), C (1, 3, 10). Ebben a háromszögben az A csúcsbeli szöge tompaszög. Határozzuk meg a C csúcshoz tartozó magasságszakasz talppontjának a koordinátáit. 8) A koordinátázott térben adva van egy ABCD paralellogramma, ahol a csúcsok ismert koordinátái a következ k: A(0, 1, 2), B( 3, 2, 4), D(x, 2, 3). Ismeretes még, hogy a paralellogramma A csúcsbeli szöge α = 120. Határozzuk meg a D csúcs hiányzó koordinátáját az x > 0 feltétel mellett, továbbá a C pont koordinátáit. 9) Tekintsünk egy ABC háromszöget. A BC szakaszon vegyük azt az M pontot, amelyre igaz BM = 1 5 BC, továbbá azt az N pontot, amelyre teljesül CN = 1 5 BC. Vektorok alkalmazásával igazoljuk, hogy fennáll az AN 2 AM 2 = 3 5 (AC2 AB 2 ) összefüggés. 10) Legyenek a és b olyan a 0tól különböz vektorok, amelyek esetében az a + 3b mer leges a 7a 5b vektorra, továbbá az a 4b, 7a 2b vektorok is mer legesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az a, b vektorok hajlásszöge 60.
6. feladatsor (Szögfüggvények. Vektoriális szorzat, vegyes szorzat) Ha koordinátákat alkalmazunk, akkor feltesszük, hogy a térben adva van egy derékszög koordináta-rendszer, melyben az i, j, k ortonormált alapvektorok jobbrendszert képeznek. 1) Bizonyítsuk be, hogy bármely α valós szám és n (n 3) egész szám esetén igazak a cos α + cos ( ) ( ) α + 2π n +... + cos α + (n 1) 2π n = 0, n 1 k=0 sin( ) α + k 2π n = 0, összefüggések. (Utalás: Vegyük egy n-oldalú szabályos sokszög élvektorait.) 2) Tekintsünk egy olyan ABC háromszöget, amelynek egyik szöge sem derékszög. A háromszög szögei legyenek α, β és γ. Mutassuk meg, hogy ezekre teljesül a tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ összefüggés. 3) A valós számok halmazán oldjuk meg az sin 6 x + cos 6 x = 7 16 egyenletet. 4) Tekintsük az a = i 3j + 2k és b(2, 5, 1) vektorokat. Adjunk meg egy olyan c vektort, amely mer leges az a, b vektorokra, továbbá az a, b, c vektorhármas egy jobbrendszert képez. 5) A térben adva van egy ABC háromszög, amelynél a csúcsok térbeli koordinátái A(2, 1, 0), B(4, 3, 3) és C(1, 1, 6). Vektoriális szorzás alkalmazásával határozzuk meg a háromszög területét. 6) A térben adva van egy g egyenes, amely áthalad az A ponton és párhuzamos egy v (v 0) vektorral. Igazoljuk, hogy egy tetsz leges P pontnak a g egyenest l mért v AP távolságára teljesül a d(g, P ) = összefüggés. v 7) Adva vannak a lineárisan független a(3, 2, 4), b( 1, 1, 4) és c(2, 3, 7) vektorok. Határozzuk meg a három vektor által kifeszített parallelepipedon térfogatát. Döntsük el, hogy az a, b, c vektorok ebben a sorrendben vajon jobbrendszert vagy balrendszert képeznek. 8) Legyen adva térben egy ABCD tetraéder. Tekintsünk azt a parallelepipedont, melyet a tetraéder AB, AC, AD élvektorai feszítenek ki. Hányszorosa a parallelepipedon térfogata a tetraéder térfogatának? 9) Adva van a térben egy ABCD tetraéder, amelynél a csúcspontok koordinátái A ( 2, 1, 3), B (2, 3, 0), C (1, 5, 2) és D (3, 1, 11). Határozzuk meg a tetraéder térfogatát és a tetraéder D csúcshoz tartozó magasságát (V =?, m =?). 10) Adva van három lineárisan független vektor a, b és c. Jelöljük V vel az általuk kifeszített parallelepipedon térfogatát. Tekintsük továbbá azt a parallelepipedont, melyet a 2a + 3b + 4c, a b + c és 2a + 4b c vektorok feszítenek ki, és jelölje ˆV ennek térfogatát. Határozzuk meg a ˆV /V hányados értékét. 11)* Igazoljuk, hogy maximum négy egységvektort lehet megadni a térben azon feltétel mellett, hogy közülük bármely két vektornak ugyanakkora legyen a hajlásszöge.
7. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazásával) Ha egy feladatban koordináták szerepelnek, akkor azok egy síkbeli koordináta-rendszerre vonatkoznak, melynek kezd pontja O és alapvektorai az i, j ortonormált vektorok. 1) A derékszög koordináta-rendszerrel ellátott síkban tekintsük azt az ABC háromszöget, melynek csúcsai az A( 1, 2), B(7, 0), C(3, 8) pontok. Határozzuk meg a háromszög területét (a determináns módszer alkalmazásával) és a háromszög M magasságpontjának a koordinátáit. 2) A koordinátázott síkban egy pontot rácspontnak mondunk, ha mindkét koordinátája egész szám. Ismeretes, hogy az A( 2, 5), B(4, 2), C(x, 1) rácspontokkal vett ABC háromszög területe 1/2. Határozzuk meg a C pont hiányzó koordinátáját. 3) Legyenek a, b, c olyan valós számok, melyekre fennáll a 2 + b 2 > 0. A koordinátázott síkban vegyük az a x + b y + c = 0 egyenlettel leírt egyenest, melyet jelöljön g. Igazoljuk, hogy egy tetsz leges P (x P, y P ) pontnak a g egyenest l mért távolságára teljesül a d(g, P ) = a x P + b y P + c egyenl ség. a2 + b 2 4) A koordinátázott síkban adva van két egyenes, amelyek nem párhuzamosak egymással és az y tengellyel. Az egyenesek meredekségét jelölje m 1 és m 2. Mutassuk meg, hogy a két egyenes ϕ hajlásszögének koszinuszára fennáll a 1 + m 1 m 2 cos ϕ = (1 + m12 ) (1 + m 22 ) összefüggés. 5) A síkban tekintsük azt a két kört, melyek középpontjai a C 1 ( 3, 0), C 2 (3, 4) pontok, a sugaraik pedig r 1 = 2 és r 2 = 5. Adjuk meg a P (2, 5) pontnak a két körre vonatkozó hatványát, továbbá határozzuk meg a két kör hatványvonalának az egyenletét. 6) A koordinátázott síkban vegyünk egy AB szakaszt, melynek hossza a + b (a b > 0). A szakaszon tekintsük azt a P pontot, amelyre fennáll AP = b és P B = a. Mozgassuk ezt a szakaszt a síkban oly módon, hogy az A végpont mindig az x tengelyre, a B pont pedig az y tengelyre essen. Igazoljuk, hogy a mozgatás során a P pont egy ellipszist ír le a síkban. (Az ellipszográf m ködési elve van leírva a feladatban.) 7) A térben adva van két egymást metsz sík σ és ϱ, amelyek nem mer legesek egymásra. Jelölje ϕ a két sík hajlásszögét. Vegyünk a σ síkban egy r sugarú kört, majd annak mer leges vetületét a ϱ síkon. Koordinátageometriai módszerrel bizonyítsuk be, hogy a kör vetülete a ϱ síkon egy olyan ellipszis, amelynek nagytengelyhossza 2r és kistengelyhossza 2b = 2r cos ϕ. 8) A σ síkon legyen adva két pont A és B, melyek távolságát jelölje a. Vegyünk egy λ (λ 1) pozitív számot és tekintsük a K = { P σ AP = λ BP } síkbeli alakzatot. Koordinátageometriai módszerrel igazoljuk, hogy a K mértani hely egy kör, melynek sugara r = λ a. (K λ 2 elnevezése: az A, B pontokhoz tartozó 1 egyik Apollóniosz-kör. Bizonyítható az is, hogy a K kör derékszögben metszi az AB szakasz Thalész-körét.)
8. feladatsor (Térbeli koordinátageometria) Az összes feladatnál feltesszük, hogy a térben adva van egy derékszög koordináta-rendszer, melyben O a kezd pont és az i, j, k ortonormált alapvektorok jobbrendszert képeznek. 1) A derékszög koordináta-rendszerrel ellátott térben vegyük az A(5, 2, 0), B(7, 1, 1), C(6, 4, 4) pontokat. Határozzuk meg a három pontra illeszked sík egyenletét. 2) Tekintsük azt a σ síkot, amelynek egyenlete x 5y + z 2 = 0. Adjuk meg azoknak a σ-val párhuzamos síkoknak az egyenleteit, amelyek a σtól d = 9 3 távolságra vannak. 3) Vegyük azt az ABCD tetraédert, amelynél a csúcsok koordinátái A (1, 3, 2), B(5, 4, 5), C(1, 1, 2) és D (4, 3, 8). Határozzuk meg annak az ABC lappal párhuzamos síknak az egyenletét, amely egy t = 4 terület háromszögben metszi el a tetraédert. 4) Vegyük a térben az A(2, 3, 1), B(6, 0, 4) pontokat és a rajtuk áthaladó g egyenest. Adjuk meg a g egyenes paraméteres egyenletrendszerét. Írjuk le a g egyenest két lineáris egyenlettel, illetve egyetlen másodfokú egyenlettel. 5) Adva van a térben a σ sík, melynek egyenlete 5x + 3y z 21 = 0. Vegyük azt az e egyenest, amelynek paraméteres egyenletrendszere x = 5 + 3t, y = 8 + 7t, z = t (t R). Határozzuk meg az e egyenes és a σ sík metszéspontjának koordinátahármasát. Ezt követ en adjuk meg az e egyenes σ-ra es mer leges mer leges vetületének az egyenletrendszerét. 6) Tekintsük a térben a 3x + y 4z + 10 = 0 egyenlet síkot és a C(8, 6, 3) pontot. Határozzuk meg azon C centrumú gömb egyenletét, amely érinti az adott síkot, illetve adjuk meg az érintési pont koordinátáit. 7) Tekintsük a 3x + y 2z 12 = 0 és 2x + 3y + z 8 = 0 egyenlet síkokat. Határozzuk meg a két sík hajlásszögét, továbbá adjuk meg a metszésvonaluk (egyik) paraméteres egyenletrendszerét. 8) A térben adva van két kitér helyzet egyenes, amelyek paraméteres egyenletrendszere x = 11 7t, y = 11 + 6t, z = 2, illetve x = 7 + τ, y = 8, z = τ. Határozzuk meg a két egyenes normális transzverzálisának a paraméteres egyenletrendszerét és metszéspontjait az adott egyenesekkel. Adjuk meg a két egyenes távolságát is. 9) Adva van egy ABCD szabályos tetraéder, amelynél három csúcs koordinátái ismertek A (0, 1, 3), B (4, 2, 2) és C (1, 2, 1). Határozzuk meg a szabályos tetraéder D csúcsának a koordinátáit. (A feladatnak két megoldása van.) 10) Adva van egy ABCDM szabályos négyzetes gúla, amelynek M(9, 4, 1) csúcsa ismert. Az ABCD négyzet benne van a 2x + y + 2z + 3 = 0 egyenlet síkban és az egyik alaplapi csúcspont A(x A, 1, 8). Határozzuk meg a négyzetes gúla összes csúcspontjának a koordinátáit.
9. feladatsor (Gyakorló feladatok a II. Zh. dolgozathoz) 1) Bizonyítsuk be, hogy fennáll a 8 cos( π 18 ) cos( π 9 ) cos( 2π 9 ) = ctg ( π 18 ) összefüggés. 2) Legyen adva három lineárisan független vektor a, b és c. Alkalmazzuk most az [a, b, c] jelölést a vektorhármas vegyes szorzatára (az (a b) c jelölés helyett). Tekintsünk egy tetsz leges v vektort. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az alábbi összefüggés [v, b, c] [a, v, c] [a, b, v] v = a + b + [a, b, c] [a, b, c] [a, b, c] c. 3) Bizonyítsuk be a kifejtési tétel alkalmazásával, hogy tetsz leges a, b, c vektorokkal fennáll az (a b) c + (b c) a + (c a) b = 0 összefüggés. (Ezt nevezik a vektoriális szorzásra vonatkozó Jacobi-azonosságnak.) 4) A koordináta-rendszerrel ellátott térben adva van egy tetraéder, amelynél a csúcsok koordinátái A(3, 0, 5), B(5, 2, 2), C(1, 0, 1) és D(11, 2, 6). Határozzuk meg a tetraéder térfogatát, az ABC lap síkjának egyenletét, a D csúcshoz tartozó magasságot és a magasságszakaszt tartalmazó egyenes paraméteres egyenletrendszerét. 5) Adva van egy e egyenes, amelynek paraméteres egyenletrendszere x = 8 + 2t, y = 9 + 2t, z = 4 + 3t, továbbá egy σ sík, amely párhuzamos evel és egyenlete 3x + by + 2z + 12 = 0. Határozzuk meg a b együttható értékét és az e egyenes σ síkra vonatkozó tükörképének az egyenletrendszerét. 6) Tekintsük az 5x + 7y + z 10 = 0 egyenlettel meghatározott σ síkot és abban az A ( 4, 5, 5), B (6, 2, z B ) pontokat. Vegyük azt a σ síkra es ABC háromszöget, ahol fennáll AC = BC és a C csúcsnál lév szög γ = 120. Számítsuk ki a C csúcs koordinátáit. 7) A derékszög koordináta-rendszerrel ellátott térben adva van egy szabályos oktaéder, melynek csúcspontjai az A, B, C, D, E, F pontok, továbbá szimmetriatengelyei az A, F, B, D és C, E egyenesek. Ismert a B (5, 4, 0) csúcspont és az A, F egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = 9+2t, y = 3 t, z = 10 2t (t R). Határozzuk meg a szabályos oktaéder csúcspontjainak a koordinátáit. 8) Adva van egy G gömb, melynek normálegyenlete x 2 + y 2 + z 2 6x 2y + 8z 74 = 0. Vegyük az x 2y + 2z 11 = 0 egyenlet σ síkot. Határozzuk meg a σ sík által a G gömbb l kimetszett kör centrumát és sugarát. 9) Tekintsünk egy parallelepipedont, amelynél az egyik testátló végpontjai A és G. Vegyük azt a tetraédert, amelynek csúcsai a parallelepipedon A-ból kiinduló éleinek a felez pontjai és a G pont. Döntsük el, hogy a három felez ponttal és a G-vel meghatározott tetraéder térfogata hányszorosa a parallelepipedon térfogatának. 10) Tekintsünk a térben egy konvex poliédert és annak egy lapját. A laphoz tartozó területvektoron azt a vektort értjük, amely mer leges a lap síkjára, a poliéderb l kifelé mutat és hossza egyenl a lap területével. Igazoljuk, hogy egy tetraéder négy lapvektorának összege azonos a 0 nullvektorral.
A 9. feladatsor példáinak megoldásai (Analitikus geometria) 9/1) Azt kell belátni, hogy igaz a 8 sin( π ) cos( π ) cos( π) cos( 2π) = cos( π ) 18 18 9 9 18 egyenl ség. Amennyiben a baloldali szorzatra háromszor alkalmazzuk a 2 sin α cos α = sin(2 α) összefüggést, akkor abból sin( 4π ) adódik. Ez viszont megegyezik a cos( π ) 18 értékkel, mivel 4π + π = π 9 18 2. (Fokban mérve: sin 80 = cos 10 9.) 9/2) Vegyük a v = α a + β b + γ c lineáris kombinációt. Az egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg skalárisan a b c vektorral. Ekkor a v (b c) = α a (b c)+0+0 egyenl séghez jutunk. Innen a felcserélési tétellel adódik, hogy [v, b, c] = α [a, b, c], (v b) c vagyis α =. Hasonlóan kaphatjuk meg a β, γ együtthatókat. (a b) c 9/3) A kifejtési tétel szerinti (a b) c = (a c) b (b c) a összefüggést kell alkalmazni. 9/4) Az OB, OC, OD élvektorok vegyes szorzata 176. Emiatt a tetraéder térfogata V t = 88. A D csúcshoz tartozó magasság m = 8, az ABC lap síkjának egyenlete 3 pedig 6x 9y 2z = 8. 9/5) Az e egyenes v(2, 2, 3) irányvektora és a σ sík n(3, b, 2) normálvektora mer legesek egymásra, tehát v n = 0. Emiatt igaz b = 6. Az e egyenes A(8, 9, 4) pontjának a tükörképe A t ( 4, 15, 4). Az egyenes tükörképének is irányvektora a v(2, 2, 3). 9/6) Világos, hogy z B = 6 és a háromszög AB oldalának felez pontja F (1, 3, 11 ). Az 2 2 F C magasságszakasz hossza F C = 1 AB tg 2 30 = 5 2. A háromszög síkjára mer leges n(5, 7, 1) vektor és az AB élvektor n AB vektoriális szorzata párhuzamos az 2 F C vektorral. A hosszból és az irányt megadó egységvektorból kiszámolható, hogy F C = ±( 1 j 7 2 2 k). Két megoldást kapunk a C csúcsra: C 1(1, 2, 9) és C 2 (1, 1, 2). 9/7) Az oktaéder Q centruma megegyezik az A, F egyenesnek és a B csúcson átmen az A, F tengelyre mer leges síknak a metszéspontjával. A mer leges sík egyenlete 2x y 2z 14 = 0. Ily módon megkapjuk a Q(3, 0 4) középpontot, amib l jön D(1, 4, 8). A csúcsoknak a Q-tól mért távolsága QB = 6. Ebb l már adódik A( 1, 2, 0) és F (7, 2, 8). Mivel QC és QE párhuzamos a QB v vektoriális szorzattal, azt nyerjük, hogy C(7, 4, 2) és E( 1, 4, 6). 9/8) A gömb centruma a Q(3, 1, 4) pont, a sugara r = 10. A Q pontból a síkhoz húzott mer leges T (5, 3, 0) talppontja lesz a kimetszett kör középpontja, a sugár ϱ = 8. 9/9) Az A csúcsból kiinduló élvektorokat célszer alkalmazni. Vegyes szorzatokkal igazolható, hogy a tetraéder és a parallelepipedon térfogatára fennáll V t = 5 48 V p. 9/10) Tegyük fel, hogy az ABCD tetraéder b = AB, c = AC, d = AD élvektorai jobbrendszert alkotnak. Ekkor a csúcsokkal szemközti háromszöglapok lapvektorai t B = 1(d c), t 2 C = 1(b d), t 2 D = 1(c b) 2 és t A = 1 (c b) (d b). 2 Ezek összege pedig 0.