PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012
Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8
Bevezetés Ez a rövid leírás a Statisztika c. tatárgy számítógépes vizsgáztató redszeréhez készült. Az elmélet megtalálható a Statisztika taköyvbe. A továbbiakba a számítási feladatok éháy típusát tekitjük át. A feladat megoldások sorá a kiadott Képletgyűjteméy agyba segíti a helyes eredméyek meghatározását. A tesztbe a számítási feladatok öt témakört ölelek fel: viszoyszámok, átlagok, szóródási mutatók, idexek és furfagos kérdések. A számítások sorá em érdemes kerekítei, a végeredméyt egytizedes potossággal kell megadi. A számítógépes iput ablakba, ahová a helyes eredméyt várja a program, mértékegység élkül kell beíri az eredméyt. A tizedes elválasztóra em érzékey, lehet vessző és pot is. A megoldásra összese 50 perc áll redelkezésre. Viszoyszámok 1. feladat A magyarországi búzatermések alapjá határozza meg a változás üteméek átlagát. (Az eredméyt százalékba, egy tizedes potossággal adja meg.) Év Termés (ezer t) 2005. 4126 2006. 1137 2007. 4913 2008. 1149 Legelőször a változás ütemét kell meghatározi évekét. Ezt a lácviszoyszámok mutatják. Mide termés értéket el kell osztai a megelőző év termésével. Az első évbe ics lácviszoyszám, mivel ics 2004. évi termés. Év Lácviszoyszámok 2005. ics 2006. 1137/4126 2007. 4913/1137 2008. 1149/4913 A számítások elvégzése utá: Év Lácviszoyszámok 2005. ics 2006. 0,2755695589 2007. 4,3210202287 2008. 0,2338693263 Ezutá meg kell határozi a lácviszoyszámok átlagát az alábbi képlet alapjá Lácviszoyszámok mértai átlagáak képlete: V L = 1 V L2 V L3 V L = 1 i=2 V Li 1
Az összes lácviszoyszámot össze kell szorozi, és ayiadik gyököt kell voi, aháy adatuk va. 3 0,275 4,321 0,234=0,653 A lácviszoyszámok átlaga tehát 0,653. Fejezzük ki százalékba. 0,653*100=65,3%. Ezt az eredméyt kell beíri a számítógépes teszt iput ablakába, de százalékjel élkül, máskülöbe hibát jelez a program. Tehát: 65,3 a helyes eredméy. Középértékek (átlagok) 1. feladat Számítsa ki a gazdaság kukoricaterméséek átlagát. Tábla Méret (ha) Termésmeyiség (t) T1 29 68 T5 48 189 T10 15 319 T11 51 118 T12 82 240 Öt szátóföldi tábláak meg vaak adva a tábla méretei és a tábláról betakarított összes termései. A gazdaság átlag kukoricatermése az összes termés és az összes terület háyadosa. 68+189+319+118+240 =4,15 29+48+15+51+82 A mértékegység t/ha. A számítógépes teszt iput ablakába tehát 4,15 kerül. 2. feladat Számítsa ki a gazdaság kukoricaterméséek átlagát. Tábla Méret (ha) Termésátlag (t/ha) T1 29 2,345 T5 48 3,938 T10 15 21,267 T11 51 2,314 T12 82 2,927 Öt szátóföldi tábláak meg vaak adva a tábla méretei és a tábláról betakarított termésátlagok. A gazdaság átlag kukoricatermése ebbe az esetbe is az összes termés és az összes terület háyadosa. Hogya kapjuk meg az összes termést? A termésátlagokat megszorozzuk a tábla agyságával, és összeadjuk őket. A gazdaság méretét a táblák összege adja meg. Ez egy súlyozott számtai átlag. A súlyozott számtai átlag képlete: X = f i x i f i Az f a súlyzó téyező, ebbe a példába a tábla agysága, x a kukorica termésátlaga. 2
Tábla f i x i f i x i T1 29 2,345 68 T5 48 3,938 189 T10 15 21,267 319 T11 51 2,314 118 T12 82 2,927 240 Összese 225 934 Végezzük el osztást, illetve helyettesítsük be a súlyozott számtai átlag képletébe az összegeket. X = 934 225 =4,15 A gazdaság kukorica termésátlaga tehát 4,15 t/ha. A teszt iput ablakába tehát 4,15 t kell íri, mértékegység élkül. 3. feladat Számítsa ki a gazdaság kukoricaterméséek átlagát. Tábla Termésátlag Termésmeyiség (t/ha) (t) T1 2,345 68 T5 3,938 189 T10 21,267 319 T11 2,314 118 T12 2,927 240 Öt szátóföldi tábláak meg vaak adva tábláról betakarított termésátlagok és termésmeyiségek. A gazdaság átlag kukoricatermése ebbe az esetbe is az összes termés és az összes terület háyadosa. Itt em ismerjük az összes területet. Hogya kapjuk meg az összes területet? A termésmeyiséget elosztjuk a termésátlaggal, és összeadjuk őket. Ez egy súlyozott harmoikus átlag. A súlyozott harmoikus átlag képlete: X h = f i f i 1 x i Tábla x i f i f i *1/x i T1 2,345 68 29 T5 3,938 189 48 T10 21,267 319 15 T11 2,314 118 51 T12 2,927 240 82 Összese 934 225 3
Végezzük el osztást, illetve helyettesítsük be a súlyozott harmoikus átlag képletébe az összegeket. X = 934 225 =4,15 A gazdaság kukorica termésátlaga tehát 4,15 t/ha. A teszt iput ablakába tehát 4,15 t kell íri, mértékegység élkül. 4. feladat Határozza meg az alábbi váltakozó feszültség átlagát (effektív értékét). Feszültség (V) 313 1 120 1 320 125 60 A égyzetes átlag képlete: X q = i =1 x i 2 X q = ( 3132 )+1 2 +( 120 2 )+( 1 2 )+320 2 +125 2 +60 2 =182,83 7 A egatív értékek égyzetre emelés utá pozitívak leszek. A tesztbe 182,8 t kell íri. Szóródási mutatók 1. feladat Határozza meg az alábbi mita középértékéek a 99% os megbízhatósági itervallum alsó határát. 16 54 91 9 45 A megbízhatósági itervallum más éve kofidecia itervallum meghatározásához ki kell számítai a mita számtai átlagát és stadard hibáját. A számtai átlag képlete: X = x i 4
16+54+91+9+45 =43 A stadard hiba képlete: s x = s A stadard hiba képletéek számlálójába a mit szórása áll, tehát először ezt kell kiszámítai. A szórás képlete: s= (x i x) 2 1 A képlet számlálójába az eltérés égyzetösszeg áll. Mide adatbók ki kell voi a számtai átlagot, majd égyzetre kell emeli. Ezeket a égyzeteket kell majd összegezi. adatok átlag adatok átlag (adatok átlag) 2 16 43 27 729 54 43 11 121 91 43 48 2304 9 43 34 1156 45 43 2 4 Összese: 4314 A evezőbe a megfigyelések míusz egy áll. A szórás tehát: s= 4314 4 =32,84 Ezt helyettesítsük be a stadard hiba képletébe. s x = 32,84 5 =14,69 Ezek birtokába már meghatározhatjuk a számtai átlag megbízhatósági tartomáyáak alsó határát. A leti képlet a kétoldali szimmetrikus határokat mutatja. Ebbe a példába csak a műtől balra eső részt kell haszáli. A számtai átlag megbízhatósági tartomáya: P( x z α / 2 s x μ x+z α /2 s x )=1 α A z érték 99% hoz tartozó értéke 2,58. Ez megtalálható a kiadott képletgyűjteméybe. Tehát a kofideciaitervallum alsó határa: 43 2,58*14,69=5,17 A tesztbe 5,17 lesz a helyes eredméy. 5
2. feladat Határozza meg az alábbi mita variációs együtthatóját más éve variációs koefficiesét. 16 54 91 9 45 Jelölése: V r vagy CV. Képlete: V r =CV = s x 100 Tehát a szórást és a számtai átlagot kell hozzá ismeri. Ezeket az 1. feladatba már meghatároztuk. Helyettesítsük be a képletbe. V r =CV = 32,84 43 100=76,37% A tesztbe 76,37 a helyes eredméy. 3. feladat Határozza meg az alábbi mita relatív variációs koefficiesét. 16 54 91 9 45 Relatív variációs koefficies: V r (%)= s/ x 100=100 s x Ehhez ismeri kell a mita szórását, számtai átlagát és a megfigyelések számát. Az 1. feladatba ezeket már kiszámoltuk. Most ezt fogjuk haszáli. V r (%)= 32,84/43 100=34,16% 5 A tesztbe 34,16 a helyes eredméy. 4. feladat Határozza meg az alábbi mita középértékéek a 95% os megbízhatósági itervallum felső határát. 16 54 91 9 45 6
A számtai átlag megbízhatósági tartomáya: P( x z α / 2 s x μ x+z α /2 s x )=1 α Az átlagot és stadard hibát az 1. feladatba már meghatároztuk. A 95% hoz tartozó z érték 1,96. Mivel a megbízhatósági tartomáy felső szélét kell meghatározi, ezért csak műtől jobbra eső részt kell haszáli. 43+1,96*14,69=71,79 A számítógépes vizsgáztató program eredméyablakába 71,8 t kell íri. Idexek 1. feladat Határozza meg a bolt Fisher féle áridexét. Értékesített meyiség (kg) Értékesítési ár (Ft/kg) 2008.év 2009.év 2008.év 2009.év 226 882 57 67 613 1090 459 767 Az értékesített meyiségeket q val, az árakat p vel jelöljük. A bázisidőszak (2008.) jele 0, a tárgyidőszaké 1, ezek alsó idebe kerülek. A jelöléseket haszálva a táblázat így alakul. q 0 q 1 p 0 p 1 2008.év 2009.év 2008.év 2009.év 226 882 57 67 613 1090 459 767 Képezzük a p és q keresztszorzatait. q 0 p 0 q 1 p 0 q 0 p 1 q 1 p 1 2008.év 2009.év 2008.év 2009.év 226*57 882*57 226*57 882*67 613*459 1090*459 613*459 1090*767 A szorzás elvégzése utá az alábbi táblázatot kapjuk. q 0 p 0 q 1 p 0 q 0 p 1 q 1 p 1 12882 50274 15142 59094 281367 500310 470171 836030 Összeg 294249 550584 485313 895124 7
A Fisher féle áridex: I p F = I p 0 I p 1 A gyökjelt alatt az első tag a bázisidőszaki súlyozású áridex. A bázisidőszaki súlyozású áridex képlete: I p 0 = q 0 p 1 q 0 p 0 A gyökjel alatt a második tag tárgyidőszaki áridex. A tárgyidőszaki súlyozású áridex képlete: Határozzuk meg az első tagot. I p 0 = 485313 294249 =1,65 Utáa a másodikat. I p 1 = 895124 550584 =1,63 Számítsuk ki a égyzetes átlagát. I p F = 1,65 1,63=1,6375 I p 1 = q 1 p 1 q 1 p 0 Százalékba kifejezve 1,6375*100=163,75%. A tesztbe egy tizedesre kerekítve kell az eredméyt beíri, tehát 163,8 kerül. 2. feladat Határozza meg a bolt értékidexét. Értékesített meyiség (kg) Értékesítési ár (Ft/kg) 2008.év 2009.év 2008.év 2009.év 226 882 57 67 613 1090 459 767 8
Furfagos kérdések 1. feladat A piros fűyíró egy óra alatt 8 ha, a kék 4 ha és a sárga 4 ha gyepet vág le. Együtt dolgozva háy óra alatt vágják le a 100 ha os golfpályát, ha egyszerre kezdeek? Mivel a megadott teljesítméy mutatók egyees mutatók, pl. 8 ha/óra, ezért a három teljesítméy összeadódik. 8+4+4=16 Tehát hárma órákét 16 ha gyepet vágak le. A 100 ha os területtel tehát 100/16=6,25 óra alatt végezek. 2. feladat A piros kombáj 1 óra alatt, a kék 3 óra és a sárga 30 óra alatt takarítja be az őszi búzát. Együtt dolgozva háy óra alatt végezek, ha egyszerre kezdeek? A megadott teljesítméy mutatók fordított mutatók: óra/terület, ezért az átlagteljesítméy kiszámításakor harmoikus átlagot kell számítai. 3 X h = 1 1 + 1 3 + 1 =2,195 30 A harmoikus átlag képlete: X h = 1 = 1 1 x i x i A három gép átlagteljesítméye tehát 2,195 óra. Mivel három gép dolgozik egyszerre, egyharmad idő alatt végezek, tehát 2,195/3=0,732. A tesztbe 0,7 a helyes eredméy. 3. feladat A dolgozók mukabére 2000 2005 év között 129% os mértékbe változott. Meyi volt a változás átlagos éves üteme? Ebbe a feladatba a bázisviszoyszámból kell meghatározi a változás üteméek éves átlagát. A változás üteméek átlaga: V L = 1 V B Összese hat év va 2000 2005 év között, tehát =6. A változás mértéke 129%. A számításokat em a százalékos értékekkel végezzük, tehát a 129% helyett 1,29 t haszáluk. V L = 6 1 1,29=1,052 Százalékba kifejezve 105,2%. A vizsgáztató programba 105,2 fog kerüli. 9
4. feladat A dolgozók mukabére 2009. évbe az első két hóapba havota 1,8% kal, szeptemberig havota 1,2% kal és az utolsó égy hóapba havota 5% kal változott. Háy százalékkal változott a fizetés havi átlagba? A változás mértéke az első két hóapba 100 1,8=98,2%. Szeptemberig 100 1,2=98,8%. Az utolsó égy hóapba 100+5=105%. Ezekek kell meghatározi a havi átlagát. Ez egy súlyozott geometriai átlag, ahol a súlyzótéyező a hóap. A számításokat itt is em a százalékos értékkel kell elvégezi. Ahol: : az x adatok száma f i : az x hez tartozó időszakok száma A súlyozott geometria átlag képlete: X g = Helyettesítsük be a feti képletbe az adataikat. X g = 2+6+4 0,982 2 0,988 6 1,05 4 =1,00722 f i Százalékos formába 100,722%. A változás havi üteme tehát 100,722% volt, tehát a fizetések havota 0,722% kal őttek. A teszt eredméyablakába tehát 0,7 kerül, ez adja a helyes eredméyt. x i f i 10