Kis-Benedek Ágnes Szimmetrikus és periodikus szerkezetek merevsége

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kis-Benedek Ágnes Szimmetrikus és periodikus szerkezetek merevsége Alkalmazott matematikus MSc Operációkutatás szakirány Szakdolgozat Témavezető: Jordán Tibor, tanszékvezető egyetemi tanár Operációkutatási Tanszék Budapest, 2012

Tartalomjegyzék Bevezető 1 1. Általános gráfmerevségi bevezető 3 1.1. Alapfogalmak............................ 3 1.2. Gráfmerevség jellemzése d = 2 esetén............... 6 2. Henneberg-típusú műveletek 9 2.1. Szimmetrikus szerkezetek - bevezető................ 9 2.2. C 3 a síkban............................. 11 2.2.1. Műveletek.......................... 11 2.2.2. Síkbeli szerkezetek alaptételeinek analógiája....... 13 3. Fix rácsú és cone (kúpos) szerkezetek 22 3.1. A generikus merevséghez szükséges kombinatorikus modell... 22 3.2. Merevségi tételek.......................... 24 3.3. Algoritmusok............................ 30 3.3.1. Algoritmus annak eldöntésére, hogy ρ(g) triviális-e... 30 3.3.2. Ross-gráf merev komponenseinek meghatározása.... 31 3.3.3. cone-laman gráf merev komponenseinek meghatározása 32 Γ = Z/3Z speciális eset................... 32 Γ = Z/kZ általános eset.................. 33 4. Matroidelméleti megközelítés 35 4.1. Hányadosgráf............................ 35 ii

TARTALOMJEGYZÉK iii 4.2. d-periodikus gráf - merevségi bevezető.............. 36 4.3. Matroidok.............................. 38 4.3.1. Matroidelméleti bevezető.................. 38 4.3.2. Matroidok és merevség................... 39 5. Friss eredmények 43 5.1. Tükörszimmetria.......................... 43 5.2. Tükörszimmetria és Diéder-csoport................ 44 Irodalomjegyzék 45

Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretném megköszönni a témavezetőmnek, Jordán Tibornak az útmutatásokat és hasznos tanácsokat, valamint hogy segített közelebbről megismerkedni ezzel a szerteágazó, érdekes témakörrel, és rendelkezésemre bocsátotta a legfrissebb eredményeket. iv

Bevezető A szerkezetek merevségének vizsgálata számos különböző alkalmazási területen felmerülő probléma. Jelen szakdolgozat a periodikus és szimmetrikus szerkezetek merevségét tárgyalja, amelyet szintén több valós életbeli probléma motivál, úgy mint a fehérjék, kristályszerkezetek és zeolitok vizsgálata. A fehérjék szerkezetének vizsgálata természetesen nagy jelentőséggel bír biokémiai szempontból. A fehérjeszerkezetek reprezentálhatók mechanikus szerkezetként, különböző korláttípusokat használva a kovalens kötés, hidrogén kötés, sóhidak és torziós szögek modellezéséhez. A kötések által alkotott hálózat elemzésére, a flexibilis és merev részek meghatározására gráfelméleti technikákat alkalmaznak. Az algoritmusnak meg kell számolnia a szabadsági fokokat ebben a hálózatban, és azonosítania kell a merev és rugalmas részstruktúrákat a fehérjében, beleértve a túlkorlátozott régiókat, melyekben több kötés van, mint az a merevség eléréséhez szükséges, valamint az alulhatározott régiókat, melyek nem merevek, azaz kötés-elfordulások lehetségesek. Az extra korlátozások száma vagy a megmaradt kötés-forgatás szabadsági fokok száma egy részstruktúrában számszerűsíti a relatív merevséget/flexibilitást, és biztosít egy rugalmassági indexet minden kötésre. Ezt a számítási eljárást először üvegszerű anyagok analízisére használták. Megközelítőleg egymilliószor gyorsabb, mint a molekuláris dinamikai szimuláció, és egyetlen statikus háromdimenziós struktúra analíziseként méri a protein fő- és oldalláncainak alapvető rugalmasságát. A természetben gyakori a szabályosság, szimmetria, és a kristálykapcsolatok is 1

BEVEZETŐ 2 befolyásolják a rugalmasságot. Ezt a fehérjék vizsgálatakor is figyelembe kell venni. Egy olyan nagyobb molekulát, amely két azonos kisebb molekula összekapcsolódásával keletkezik, dimernek nevezünk. A két összekapcsolódó molekula energiaminimalizálási okokból forgásszimmetrikusan kapcsolódik, és a molekula változásai is megőrzik a szimmetriát. A dimerek gyakori alloszterikus fehérjék, mint például a triptofán represszor, amely a DNS-hez kötődve gátolja a triptofántermelést. A triptofán a 20 standard fehérjealkotó aminosav egyike, az alváshoz szükséges neurotranszmitterek előanyaga. 1. ábra. Zeolitok. [24] A forgásszimmetrikus anyagokon kívül más szabályos elrendeződésű anyagok is vannak, mint például a periodikus kristályszerkezetek, perovszkit, kvarc, aluminoszilikátok (pl. kerámiakészítéshez) és zeolitok. A zeolitok kristályos mikroporózus szerkezetek, melyeket számos területen használnak, például molekulaszűrőként, szagelszívóknál, mosószergyártásnál, takarmánykiegészítőknél, üdítőitalok adalékanyagaként, az űrkutatásban, és számos más helyen. Manapság a szintetikus zeolitok a legfontosabb katalizátorok a petrolkémiai finomítókban. Jelentős erőfeszítések irányultak új zeolitok szintetizálására speciális pórusgeometriával.[19], [24], [18] Így nem meglepő, hogy a merevségi kérdéskör ezen ága igen aktív kutatási területnek számít.

1. fejezet Általános gráfmerevségi bevezető A következőkben végig rúd-csukló típusú szerkezeteket tárgyalunk. Először bevezetem az alapvető gráfmerevségi fogalmakat, valamint röviden ismertetem az alapvető tételeket. A fogalmak tetszőleges d dimenziós térben értelmezhetők, de a merevség tesztelése, illetve előállítási tételek d > 2 esetén nem ismertek. 1.1. Alapfogalmak A rúd-csukló szerkezeteket úgy képzelhetjük el, hogy a gráf élei merev rudak, míg a gráf csúcsai olyan csuklók, melyek mentén a rudak szabadon elfordulhatnak, de természetesen a gráf által adott struktúrát, vagyis a kapcsolódást az élek és csúcsok között végig meg kell őrizni mozgás közben. 1.1.1. Definíció. Legyen G = (V, E) egy gráf, és legyen p : V R d a pontok egy elhelyezése a d-dimenziós térben. Az éleknek a pontokat összekötő, egymást esetleg metsző egyenes szakaszok felelnek meg. Ekkor azt mondjuk, hogy a (G, p) szerkezet a G gráf egy realizációja R d -ben. 1.1.2. Definíció. A (G, q) szerkezet ekvivalens a (G, p) szerkezettel, ha a 3

FEJEZET 1. ÁLTALÁNOS GRÁFMEREVSÉGI BEVEZETŐ 4 megfelelő élek hossza a két realizációban ugyanaz, vagyis minden uv E-re p(u) p(v) = q(u) q(v) teljesül. 1.1.3. Definíció. A (G, q) szerkezet kongruens a (G, p) szerkezettel, ha bármely két pont távolsága a két realizációban ugyanannyi, vagyis p(u) p(v) = q(u) q(v) teljesül minden u, v V -re. 1.1. ábra. A két szerkezet ekvivalens, de nem kongruens R 2 -ben. 1.1.4. Definíció. A (G, p) szerkezet merev, ha létezik ɛ > 0, hogy minden olyan (G, p)-vel ekvivalens (G, q) szerkezetre, ahol u V -re p(u) q(u) < ɛ teljesül, arra (G, q) kongruens is (G, p)-vel. 1.1.5. Definíció. (G, p) folytonos mozgása (G, q)-ba: olyan P v (t) függvények (v V, t [0, 1]), melyekre teljesülnek a következők: v V -re P v (0) = p(v), P v (1) = q(v); uv E, t [0, 1]-re P u (t) P v (t) = P u (0) P v (0) ; v V, t [0, 1]-re P v (t) folytonos. 1.1.6. Tétel. [12] (G, p) pontosan akkor merev, ha bármely folytonos mozgása csak vele kongruens szerkezetbe viheti.

FEJEZET 1. ÁLTALÁNOS GRÁFMEREVSÉGI BEVEZETŐ 5 1.1.7. Definíció. (G, p) infinitezimális mozgása alatt olyan u : V R d függvényt értünk, hogy v i, v j V -re (u(v i ) u(v j ))(p(v i ) p(v j )) = 0 teljesül. Ez intuitíven azt jelenti, hogy a szerkezet pontjainak adunk egy kis kezdősebességet, és ezen irányokkal infinitezimálisan deformáljuk az egész szerkezetet. 1.1.8. Definíció. A (G, p) szerkezet merevségi mátrixát jelölje R(G, p). Ez egy E d V méretű mátrix, melyben minden élhez tartozik egy sor, és minden csúcshoz tartozik dimenziószámnyi oszlop. Az uv él sorát jelölje R(G, p) uv, ebben a sorban minden u-tól és v-től különböző pozícióban 0, az u-hoz tartozó részen p(u) p(v), a v-hez tartozó részen pedig p(v) p(u) áll: (... 0 u 1 v 1... u d v d 0... 0 v 1 u 1... v d u d 0... 1.1.9. Megjegyzés. Az u pontosan akkor infinitezimális mozgása (G, p)-nek, ha R(G, p) u = 0. 1.1.10. Megjegyzés. Ha figyelembe vesszük, hogy R(G, p) magterében biztosan szerepelni fognak a triviális mozgások (eltolás és forgatás), a következő felső becslést kapjuk: V d + 2 esetén rang(r(g, p)) d V ( ) d+1 2, míg V d + 2 esetén rang(r(g, p)) ( ) V 2. ) 1.2. ábra. Merev, de nem infinitezimálisan merev R 2 -ben.

FEJEZET 1. ÁLTALÁNOS GRÁFMEREVSÉGI BEVEZETŐ 6 1.1.11. Definíció. (G, p) infinitezimálisan merev, ha rang(r(g, p)) = d V ( d+1 ) ( 2 vagy rang(r(g, p)) = V ) 2. 1.1.12. Tétel. [20],[12] Ha (G, p) infinitezimálisan merev, akkor merev. (Fordítva nem feltétlenül igaz!) 1.1.13. Tétel. [20],[12] Ha (G, p) kellően általános helyzetű, vagyis generikus (p koordinátáinak halmaza algebrailag független Q felett), akkor már igaz, hogy (G, p) pontosan akkor infinitezimálisan merev, ha merev. Bár egy szerkezet merevsége függ a realizációtól, a fenti tétel következményeképp nem csak szerkezetek, de gráfok merevségéről is van értelme beszélni. Egy adott gráf majdnem minden realizációja hasonlóképp viselkedik merevségi szempontból. 1.1.14. Definíció. A G gráf merev, ha létezik infinitezimálisan merev (G, p) realizációja. 1.2. Gráfmerevség jellemzése d = 2 esetén A síkban ismert a merev gráfok jellemzése, létezik rájuk előállítási tétel, valamint hatékony algoritmus a merevség tesztelésére. A jellemzéshez szükség van a függetlenség fogalmának bevezetésére. 1.2.1. Definíció. A (G, p) szerkezet független, ha R(G, p) sorai lineárisan függetlenek. 1.2.2. Definíció. A G = (V, E) gráf független, ha létezik független realizációja. 1.2.3. Megjegyzés. Ha G = (V, E) független, akkor E 2 V 3. (Ez az R(G, p) rangjára vonatkozó felső becslés d = 2 esetben.) G pontosan akkor merev, ha létezik benne 2 V 3 élszámú független részgráf. Ez egy ritka tanú a merevségre.

FEJEZET 1. ÁLTALÁNOS GRÁFMEREVSÉGI BEVEZETŐ 7 1.2.4. Definíció. G = (V, E) ritka, ha X V, X 2-re i(x) 2 X 3, ahol i(x) jelöli a feszített élek számát. 1.2.5. Lemma. Ha G = (V, E) független, akkor ritka. A merev gráfok jellemzéséhez szükségünk lesz két kiterjesztési műveletre a gráfon. 1.2.6. Definíció. A másodfokú kiterjesztés jelentse azt, hogy egy új csúcsot veszünk a gráfhoz, és összekötjük két régi csúccsal. A harmadfokú kiterjesztés pedig jelentse azt, hogy egy új csúcsot veszünk a gráfhoz, választunk a régi csúcsok közül két olyat, amelyek közt vezet él, ezt az élt töröljük, majd az új csúcsot összekötjük ezzel a két régi csúccsal, és még egy harmadikkal. 1.2.7. Lemma. Legyen adott a G gráf és annak egy p realizációja a síkon. Ha a másodfokú kiterjesztésben szereplő három csúcs nincs egy egyenesen, akkor a művelet megőrzi a függetlenséget. Ha a harmadfokú kiterjesztésben szereplő három régi csúcs nem kollineáris, valamint az új csúcs rajta van a törölt él végpontjainak egyenesén, ez a művelet is megőrzi a függetlenséget. 1.3. ábra. Másod-, illetve harmadfokú kiterjesztés. (A harmadfokú kiterjesztés nem az említett merevséget megőrző módon szerepel az ábrán.) 1.2.8. Lemma. Ha a G gráf ritka, V (G) 3, elvégezhető a másod- vagy a harmadfokú kiterjesztés inverz művelete a ritkaság megőrzése mellett.

FEJEZET 1. ÁLTALÁNOS GRÁFMEREVSÉGI BEVEZETŐ 8 1.2.9. Tétel. (Laman-tétel) [14] G ritka G független. 1.2.10. Tétel. (Henneberg-féle előállítási tétel) [3] G pontosan akkor minimálisan merev (más szóval izosztatikus), ha megkapható egyetlen élből másodés harmadfokú kiterjesztésekkel. 1.2.11. Definíció. Az X = (X 1,..., X t ), X i V, X i 2 halmaz egy fedése G = (V, E)-nek, ha t i=1e(x i ) = E. A fedés értéke pedig V al(x ) = t i=1 (2 X i 3). A következő tétel ad egy Co-NP jellemzést. 1.2.12. Tétel. Lovász-Yemini tétel [13] A független élhalmazok mérete és a fedések értéke között a következő egyenlőség teljesül: max {F : F E ritka} = min {V al(x ) : X fedés}. 1.2.13. Megjegyzés. Elég ún. vékony fedésekre minimalizálni, vagyis amelyekre teljesül az X i X j 1 egyenlőtlenség. A merevség tesztelésére, illetve maximális ritka halmaz számítására létezik O(n 2 ) futásidejű algoritmus, mely a futás során végig fenntart egy optimális fedést. 1.2.14. Definíció. Egy G gráf 3Fa2 partíciója azt jelenti, hogy az élhalmazt három éldiszjunkt fára partícionáljuk, melyekre teljesül az, hogy a gráf minden pontját pontosan két darab fa tartalmazza. Egy 3Fa2 partíciót megfelelőnek (proper) nevezünk, ha a diszjunkt fáknak nincsenek nemtriviális részfái, melyek ugyanazt a csúcshalmazt feszítik. 1.2.15. Tétel. (Crapo tétele) [15] Egy G gráf pontosan akkor generikusan izosztatikus, ha van megfelelő (proper) 3Fa2 partíciója. -

2. fejezet Henneberg-típusú műveletek Érdekes kérdés, hogy szimmetrikus szerkezetek és nem feltétlenül szimmetrikus mozgások esetén megfogalmazhatók-e a korábbi síkbeli tételekkel analóg állítások. Ebben a fejezetben a 2π/3-szögű forgatás esetét tárgyalom. 2.1. Szimmetrikus szerkezetek - bevezető 2.1.1. Definíció. A (G, p) d-dimenziós szerkezet szimmetria operációja olyan x izometriája a térnek, hogy valamely α Aut(G) esetén v V -re x(p(v)) = p(α(v)) teljesül. Ezek csopotját a kompozícióra nézve a (G, p) szerkezet pont csoportjának nevezzük. Jelölje C 3 a 2π/3-as forgatást, C 3 pedig a csoportját. Adott S d-dimenziós szimmetriacsoport és adott G gráf esetén R (G,S) jelenti G azon d-dimenziós realizációit, ahol S (nem feltétlenül valódi) részcsoportja a gráf pont csoportjának. Másképp megfogalmazva R (G,S) tartalmaz minden (G, p) realizációt, amihez létezik Φ : S Aut(G) leképezés, hogy (*) v V (G) és x S esetén x(p(v)) = p(φ(x)(v)). A fenti összefüggést kielégítő szerkezetet Φ-típusúnak nevezzük, és a Φ-típusú R (G,S) -beli realizációk halmazát R (G,S,Φ) -vel jelöljük. 9

FEJEZET 2. HENNEBERG-TÍPUSÚ MŰVELETEK 10 2.1. ábra. Izosztatikus szerkezetek a síkon C 3 pont csoporttal. Az első szerkezet a háromszög prizma gráf egy realizációja R (G,C3,Φ)-ben, ahol Φ(C 3 ) = (v 1 v 2 v 3 )(v 4 v 5 v / ). A második szerkezet a K 3,3 gráf egy realizációja R (G,C3,Ψ), ahol Ψ(C 3 ) = (v 1 v 2 v 3 )(v 4 v 5 v 6 ). 2.1.2. Definíció. Tekintsük a G = (V, E) gráf ponthalmazán a K n = (V, E ) teljes gráfot, továbbá az S szimmetriacsoportot a Φ : S Aut(G) leképezéssel. A (G, p) R (G,S,Φ) szerkezet (S, Φ)-generikus, ha R(K n, p) tetszőleges részmátrixának determinána akkor és csak akkor 0, ha minden olyan p -re 0, ami kielégíti (*)-t. Intuitíven ez azt jelenti, hogy egy ilyen realizáció az Sv = {Φ(x)(v) x S} szimmetria orbitok reprezentánsainak elhelyezése generikus pozíciókba. (A többi csúcs helyzete ebből már egyértelmű.) 2.1.3. Definíció. Adott a G gráf, S szimetriacsoport, illetve a hozzá tartozó Φ : S Aut(G) leképezés. G-t (S, Φ)-generikusan infinitezimálisan merevnek (függetlennek, izosztatikusnak) nevezzük, ha G minden realizációja, ami (S, Φ)-generikus, infinitezimálisan merev (független, izosztatikus). 2.1.4. Tétel. [10] Legyen G egy gráf, S szimmetriacsoport, Φ : S Aut(G) leképezés olyan, hogy R (G,S,Φ). Ekkor a következők ekvivalensek: infinitezimálisan merev (független, izosztatikus) (G, p) R (G,S,Φ) szerkezet; G minden (S, Φ)-generikus realizácója infinitezimálisan merev (független, izosztatikus).

FEJEZET 2. HENNEBERG-TÍPUSÚ MŰVELETEK 11 2.2. C 3 a síkban A továbbiakban tekintsük az origó középpontú, 2π/3 szögű forgatást a síkban. 2.2.1. Műveletek 2.2.1. Definíció. Adott a G gráf, valamint a Φ : C 3 Aut(G) leképezés, és (G, p) R (G,C3,Φ). A (v, p(v)) csuklót C 3 fixálja Φ-re nézve, ha Φ(C 3 )(v) = v. A fixált csuklók száma (G, p)-ben j Φ (C 3 ). 2.2.2. Megjegyzés. Ha (v, p(v)) (G, p) R (G,C3,Φ)-beli csuklót C 3 fixálja Φ-re nézve, akkor C 3 (p(v)) = p(φ(c 3 )(v)) = p(v), azaz v a C 3 forgatás középpontjában fekszik. 2.2.3. Tétel. [2] Adott a G gráf, Φ : C 3 Aut(G) homomorfizmus, (G, p) egy izosztatikus szerkezet R (G,C3,Φ)-ben, továbbá a p(v) pontok feszítsék ki R 2 -et. Ekkor G teljesíti a Laman-feltételeket és j Φ (C 3 ) = 0. A tétel bizonyítása a szimmetrikus Maxwell-egyenlőségből olvasható ki. Bővebben lásd: [2]. 2.2.4. Definíció. [23] Adott G gráf, v 1, v 2 V (G), v 1 v 2, C 3 = {Id, C 3, C3} 2 a síkban, Φ : C 3 Aut(G) homomorfizmus. Vegyünk három új u 1, u 2, u 3 pontot, valamint a következő éleket: u 1 v 1, u 1 v 2, u 2 Φ(C 3 )(v 1 ), u 2 Φ(C 3 )(v 2 ), u 3 Φ(C3)(v 2 1 ), u 3 Φ(C3)(v 2 2 ). Ezt a műveletet (C 3, Φ) ponthozzáadásnak nevezzük. 2.2.5. Definíció. [23] Adott a G gráf, v 1, v 2, v 3 V (G) páronként különbözők, v 1 v 2 E(G), C 3 = {Id, C 3, C3} 2 a síkban, Φ : C 3 Aut(G) homomorfizmus, és v 1, v 2 nem lehetnek fixek Φ(C 3 )-ra nézve. Vegyünk három új u 1, u 2, u 3 pontot, töröljük a v 1 v 2, Φ(C 3 )(v 1 v 2 ), Φ(C3)(v 2 1 v 2 ) éleket, valamint húzzuk be a következő új éleket: u 1 v i, u 2 Φ(C 3 )(v i ), u 3 Φ(C3)(v 2 i ), ahol i = 1,..., 3. Ezt a műveletet (C 3, Φ) élfelosztásnak nevezzük.

FEJEZET 2. HENNEBERG-TÍPUSÚ MŰVELETEK 12 2.2.6. Definíció. [23] Adott a G gráf, v 0 V (G), C 3 = {Id, C 3, C3} 2 a síkban, Φ : C 3 Aut(G) homomorfizmus, v 0 nem fix Φ(C 3 )-ra nézve. Vegyünk három új u 1, u 2, u 3 pontot, valamint a következő új éleket: u 1 u 2, u 2 u 3, u 3 u 2, u 1 v 0, u 2 Φ(C 3 )(v 0 ), u 3 Φ(C3)(v 2 0 ). Ezt a műveletet (C 3, Φ) háromszög-kiterjesztésnek nevezzük. 2.2.7. Megjegyzés. A fenti három művelet mindegyike végrehajtható másodés harmadfokú kiterjesztések sorozataként is, tehát megőrzik a Laman-tulajdonságot. A ponthozzáadás jól láthatóan három darab másodfokú kiterjesztés szimmetrikusan elvégezve. Az élfelosztás három darab harmadfokú kiterjesztés szimmetrikusan elvégezve. A háromszög-kiterjesztéshez úgy juthatunk el, ha először u 1 -et másodokú kiterjesztéssel hozzákapcsoljuk v 1 -hez és v 2 -höz. Ezután u 2 -t harmadfokú kiterjesztéssel kapcsoljuk u 1 -hez, v 2 -höz és v 3 -hoz az u 1 v 2 él törlésével, végül u 3 -at szintén harmadfokú kiterjesztéssel hozzákapcsoljuk u 1 - hez, u 2 -höz és v 3 -hoz az u 2 v 3 él törlésével. 2.2. ábra. Ponthozzáadás, élfelosztás és háromszög-kiterjesztés. 2.2.8. Definíció. [23] Adott a G gráf, C 3 = {Id, C 3, C3} 2 a síkban, Φ : C 3 Aut(G) homomorfizmus. A G gráfnak egy (C 3, Φ) 3Fa2 partíciója olyan speciális {E(T 0 ), E(T 1 ), E(T 2 )} 3Fa2 partíció, melyben i {1, 2, 3}-ra megköveteljük, hogy Φ(C 3 )(T i ) = T i+1 teljesüljön modulo 3. (Ez egy 3Fa2 partíció faforgatási tulajdonsággal.)

FEJEZET 2. HENNEBERG-TÍPUSÚ MŰVELETEK 13 2.2.2. Síkbeli szerkezetek alaptételeinek analógiája 2.2.9. Tétel. [7] Legyen G egy izosztatikus gráf a síkban, és legyen v egy harmadfokú csúcsa, melynek szomszédai: w 1, w 2, w 3. Ekkor a v törlésével keletkező gráfban ki lehet választani w 1, w 2 és w 3 közül két olyat, hogy közéjük behúzva egy élt az új G gráf is izosztatikus legyen. A következő definíció általánosítja a szerkezet fogalmát. 2.2.10. Definíció. Legyen G egy gráf, V (G) = {v 1,..., v n }. Egy R 2 -beli keret egy olyan (G, p, q) hármas, melyre p : V (G) R 2, q : E(G) R 2 \ {0} leképezések olyanok, hogy minden v i v j E(G)-re létezik λ ij R 2, melyre p(v i ) p(v j) = λ ij q(v i v j ). (λ ij = 0 is lehetséges.) 2.2.11. Definíció. A (G, p, q) keret általánosított merevségi mátrixa R 2 -ben a következő: R(G, p, q) =. 0... 0 q(v i v j ) 0... 0 q(v i v j ) 0... 0 2.2.12. Definíció. Azt mondjuk, hogy a (G, p, q) keret független, ha R(G, p, q) sorai lineárisan függetlenek. 2.2.13. Megjegyzés. Ha a (G, p, q) keret független és v i v j E(G) esetén p(v i ) p(v j ), akkor a (G, p) szerkezet is független. 2.2.14. Tétel. [23] Legyen G egy legalább három pontú gráf, C 3 = {Id, C 3, C 2 3} a síkban, Φ : C 3 Aut(G) homomorfizmus. A következők ekvivalensek:. (A) R (G,C3,Φ) és G (C 3, Φ)-generikusan izosztatikus; (B) E(G) = 2 V (G) 3, i(x) 2 X 3 minden X V (G), X 2 esetén, továbbá j Φ(C3 ) = 0;

FEJEZET 2. HENNEBERG-TÍPUSÚ MŰVELETEK 14 (C) (K 3, Φ 0 ) = (G 0, Φ 0 ), (G 1, Φ 1 ),..., () = (G, Φ) konstrukciósorozat, amelyre G i+1 a fent definiált három művelet valamelyikével kapható meg G i -ből, Φ i+1 V (Gi ) = Φ i, továbbá Φ i+1 (C 3 ) u1,u 2,u 3 = (u 1 u 2 u 3 ), ahol a három új pontot u 1, u 2, u 3 jelöli; (D) G-nek van egy megfelelő (proper) (C 3, Φ) 3Fa2 partíciója. Bizonyítás: (A) (B): A 2.2.3 tétel éppen ezt mondja ki. (B) (C) Ez az irány teljes indukciót használva esetvizsgálattal vezethető le, felhasználva a gráf (hagyományos értelemben vett) Henneberg-felépítésére vonatkozó ismereteket. A Φ : C 3 Aut(G) létezése és j Φ(C3 ) = 0 miatt V (G) 0 modulo 3. A legkisebb ilyen gráf a K 3, amelyhez nemtriviális Φ tartozik. Az alapeset tehát kész. Tegyük fel, hogy n pontig tudjuk, hogy igaz az állítás, és tekintsünk egy (V (G) = n + 3 pontú gráfot. Ha ennek a gráfnak van v másodfokú pontja, akkor már csak az kell, hogy v, Φ(C 3 )(v) és Φ(C3)(v) 2 (egymástól különböző másodfokú) pontok közt nem vezet él. Ha vφ(c 3 )(v) E(G), akkor a szimmetria miatt ez a három pont egy háromszöget alkot, mely nem kapcsolódik a gráf többi részéhez, tehát G nem lehet Laman-tulajdonságú: E(G {v, Φ(C 3 )(v), Φ(C3)(v)}) 2 = E(G) 3 = 2 V (G) 6 = 2 V (G {v, Φ(C 3 )(v), Φ(C3)(v)}). 2 Tehát a v, Φ(C 3 )(v), Φ(C3)(v) 2 pontok olyanok, hogy az ő törlésük után keletkező gráfban a Laman-feltétel megőrződik, az indukció miatt létezik a tételbeli konstrukciósorozat, és ők a ponthozzáadás művelettel adhatók a gráfhoz a sorozat utolsó elemeként. Ha a G gráfnak nincs másodfokú pontja, akkor a Laman-feltétel garantálja, hogy van harmadfokú pontja, jelölje ezt ismét v. Négy esetet kell megkülönböztetnünk v, Φ(C 3 )(v), Φ(C3)(v) 2 elhelyezkedését tekintve:

FEJEZET 2. HENNEBERG-TÍPUSÚ MŰVELETEK 15 (1) nem vezet köztük él, de mindhárman ugyanazzal a három ponttal szomszédosak; (2) nem vezet köztük él, de bármely kettőnek van közös szomszédja; (3) nem vezet köztük él, és szomszédjaik is különbözőek; (4) vφ(c 3 )(v) E(G) (ekkor harmadik szomszédaik különbözőek, mivel nincs a forgatás által fixált pont). 2.3. ábra. Négy különböző eset a harmadfokú pont elforgatottjainak és szomszédainak kapcsolatára. Az (1) esetben a 2.2.9 Tétel miatt v leemelhető oly módon, hogy szomszédai közül kettőt éllel kötünk össze, és v-t töröljük (a harmadfokú kiterjesztés Henneberg-művelet inverzeként), valamint ugyanezt végrehajthatjuk sorban Φ(C 3 )(v)-re és Φ(C3)(v)-re 2 is, vagyis a szomszédait páronként összekötjük, míg v-t és képeit töröljük. Ekkor a Laman-feltétel megőrződik. Indukcióval erre a gráfra létezik a kívánt konstrukciósorozat, és befejező lépésként még egy élfelosztásra lesz szükségünk, hogy visszakapjuk G-t. A (2) és (3) esetben a 2.2.9 Tétel miatt szintjén leemelhető v oly módon, hogy szomszédai közül kettőt összekötünk, legyenek ezek v 1 és v 2. v elforgatottjaival ugyanezt megtesszük (de ott nem feltétlenül a szimmetrikus szomszédok közé kerül él). Így a G 0 gráfhoz jutunk. H G 0 {v 1, v 2 } részgráfra igaz lesz a következő: E(H) 2 V (H) 4. Sőt, ha G jelöli a G gráfból v és elforgatottjai törlésével kapott gráfot, minden H G -re, ahol v 1, v 2 H, ugyanez igaz.

FEJEZET 2. HENNEBERG-TÍPUSÚ MŰVELETEK 16 Illetve mivel G invariáns a forgatásra, minden olyan H részgráfra is teljesül az összefüggés, amely tartalmazza Φ(C 3 )(v 1 )-t és Φ(C 3 )(v 2 )-t, vagy Φ(C 3 ) 2 (v 1 )- t és Φ(C 3 ) 2 (v 2 )-t. Ki fog derülni, hogy {v 1, v 2 }, {Φ(C 3 )(v 1 ), Φ(C 3 )(v 2 )} és {Φ(C 3 ) 2 (v 1 ), Φ(C 3 ) 2 (v 2 )} diszjunkt párok. Tegyük fel, hogy {v 1, v 2 } = {Φ(C 3 )(v 1 ), Φ(C 3 )(v 2 )}. Ekkor v 1 = Φ(C 3 )(v 2 ) és v 2 = Φ(C 3 )(v 1 ), amiből következik, hogy v 2 = Φ(C 3 )(v 1 ) = Φ(C 3 ) 2 (v 2 ), de ez ellentmond annak, hogy nincs a forgatás által fixált pont. A többire ugyanígy. Definiáljuk a következő gráfot: G = G + {{v 1, v 2 }, {Φ(C 3 )(v 1 ), Φ(C 3 )(v 2 )}, {Φ(C 3 ) 2 (v 1 ), Φ(C 3 ) 2 (v 2 )}}. Ez kielégíti a Laman-feltételeket. E(G) = E(G ) + 3 = E(G) 6 = 2 V (G) 9 = 2 V (G) 3 rögtön adódik. Tegyük fel, hogy létezik H G, v 1, v 2, Φ(C 3 )(v 1 ), Φ(C 3 )(v 2 ) V (H) és E(H) = 2 V (H) 4. Φ(C 3 )(H)-t és Φ(C 3 )(H)-t is tekinthetjük, hasonló tulajdonságokkal. Legyen H = H Φ(C 3 )(H). Ekkor E(H ) = E(H) + E(Φ(C 3 )(H)) E(H Φ(C 3 )(H)) 2 V (H) 4 + 2 V (Φ(C 3 )(H) 4 (2 V (H Φ(C 3 )(H)) 4) = 2 V (H ) 4, mert H Φ(C 3 )(H) részgráfja G -nek, és tartalmazza Φ(C 3 )(v 1 )-t és Φ(C 3 )(v 2 )-t. H szintén tartalmazza őket, ezért E(H ) = 2 V (H ) 4. Hasonló igaz H = H Φ(C 3 ) 2 (H)- ra, E(H ) = 2 V (H ) 4, ráadásul H invariáns a forgatásra és nincs fix pontja, vagyis éleinek és csúcsainak száma 3-mal osztható. Ez ellentmond E(H ) = 2 V (H ) 4-nek. Tehát minden H G -re, ahol v 1, v 2, Φ(C 3 )(v 1 ), Φ(C 3 )(v 2 ), arra E(H) 2 V (H) 5 teljesül. (A forgatással kapott álítások igazak G invarianciája miatt.) Már csak azt kell megmutatni, hogy ez sem teljesülhet egyenlőséggel, ha H még Φ(C 3 ) 2 (v 1 ), Φ(C 3 ) 2 (v 2 )-t is tartalmazza. Indirekt tegyük fel, hogy létezik H, ami egyenlőséggel teljesíti. Akkor H elforgatottjaira ugyanez igaz. Legyen H = H Φ(C 3 )(H). Ekkor E(H ) = E(H) + (EΦ(C 3 )(H) E(H Φ(C 3 )(H) 2 V (H) 5+2 V (Φ(C 3 )(H) 5 (2 V (H Φ(C 3 )(H)) 5) = 2 V (H ) 5, mivel H Φ(C 3 )(H) is részgráfja G -nek, és tartalmazza v 1, v 2 -t és Φ(C 3 )(v 2 ), Φ(C 3 )(v 2 )-t. Így E(H ) = 2 V (H ) 5. Hasonló igaz

FEJEZET 2. HENNEBERG-TÍPUSÚ MŰVELETEK 17 H = H Φ(C 3 )(H)-ra. Csakhogy H invariáns a forgatásra, nincs fix pontja, és így pontjainak és éleinek száma 3-mal osztható, ami ellentmond a kapott egyenlőségnek. Tehát G teljesíti a Laman-feltételeket, és így az indukciós feltétel felhasználva, valamint egy élfelosztást végrehajtva készen vagyunk. A (4) esetben v-t és képeit törölve Laman-gráfhoz jutunk, amelynek az indukció szerint létezik megfelelő konstrukciósorozata, így utolsó lépésként elvégezhetjük a háromszög-kiterjesztés műveletét. (C) (D): Ismét pontszám szerinti indukciót alkalmazunk. K 3 esetén a három fa a három különböző élből áll. Ráadásul ha egy él a T 1 fában van, elforgatottja legyen a T 2 fában, míg annak elforgatottja a T 3 fában. Ezt a faforgatási tulajdonságot végig megőrizzük. (Ha egy új élről eldöntjük, hogy a T i fához kapcsolódjon, mert valamely végpontjába már vezet T i -beli él, akkor az elforgatottjába szükségképp vezet T i+1 -beli, tehát ez a tulajdonság nem kerül összeütközésbe azzal, hogy fákat építünk, vagyis összefüggő részgráfokat.) Tegyük fel, hogy n pontig igaz az állítás, és lássuk be V (G) = n+3-ra. A konstrukciósorozat G-t megelőző elemét jelölje G. Külön esetekként vizsgáljuk, hogy G előállításához mi volt az utolsó művelet. Ha az utolsó művelet ponthozzáadás, egy új pont éleit úgy rakhatjuk be két különböző fába, hogy megnézzük a két szomszédját, és mivel mindketten két-két fában vannak benne, ki tudunk választani két különböző fát az új pont éleinek számára. Ha az egyik új pont éleinél döntöttünk, elforgatottjainak tudunk úgy választani, hogy fennmaradjon a fenti faforgatási tulajdonság. Ha az utolsó művelet élfelosztás, akkor egy új pont három élét kell két különböző fába beosztani. Az új pont három szomszédja közül kettő G -ben szomszédos volt, de a köztük lévő élt a művelet során töröltük. Az új pont ezen két régi ponthoz kapcsolódó éle tehát megkaphatja a törölt él típusát. Az új pont harmadik éléhez két lehetséges fatípus tartozhat, ezek közül az egyiket még biztos nem használtuk el, tehát tudunk választani minden élhez

FEJEZET 2. HENNEBERG-TÍPUSÚ MŰVELETEK 18 megfelelő fát. Az új pont elforgatottjainak válasszuk úgy a címkézését, hogy fennmaradjon a faforgatási tulajdonság. Ha az utolsó művelet háromszög-kiterjesztés volt, mindhárom új pont egy-egy régi ponthoz kapcsolódik, és itt kihasználjuk, hogy végig fenntartottuk a faforgatási tulajdonságot. Ugyanis emiatt ha az egyik új és az egyik G -beli pontot összekötő él típusa T i lett, az elforgatottja T i+1 -beli, annak az elforgatottja pedig T i+2 -beli lesz (modulo 3 számolva). Ezek után vegyünk egy olyan élet, mely két új pont közt vezet. Ennek az élnek a típusát a végpontjaihoz kapcsolódó két él típusától függően szabadon megválaszthatjuk, és a faforgatás szabályainak megfelelően a többi már adódik. Vagyis G-nek is létezik (C 3, Φ) 3Fa2 partíciója. (D) (A): Crapo eredeti eredményére Tay adott egy bizonyítást, amelyhez hasonló megközelítés használható ennek az iránynak a belátására. Tegyük fel, hogy {T 0, T 1, T 2 } egy megfelelő (C 3, Φ) 3Fa2 partíció. A 2.1.4 alapján elegendő találni egy (G, p) R (G,C3,Φ)-t, ami izosztatikus. Mivel az élhalmaz három fa uniója, E(G) = 2 V (G) 3. találni, amelyre (G, p) R (G,C3,Φ) független. Így elég olyan p realizációt Legyen a 0 = (0, 0), a 1 = (1, 0) és a 2 = ( 1 2, 3 2 ). Jelölje V i azon pontok halmazát, melyek nincsenek benne T i -ben. Ekkor (G, p, q) legyen a következő: p(v) = a i, ha v V i ; a 2 a 1 = ( 1, 3 ), ha e E(T 2 2 0) q(e) = a 0 a 2 = ( 1 2, 3 ), ha e E(T 2 1) a 1 a 0 = (1, 0), ha e E(T 2 ) A hozzá tartozó R(G, p, q)-t módosítsuk úgy, hogy felcseréljük az oszlopait: a páratlanadik oszlopokat vesszük előre egymás után (sorrendjüket nem módosítva), majd a párosadik oszlopokat (sorrendjüket szintén nem módosítva). Ezután ha szükséges, cseréljük fel a sorokat is úgy, hogy először a T 0 - beli élek, aztán a T 1 -beli élek, aztán pedig a T 3 -beli élek sorai következzenek. Ezek a műveletek nem befolyásolják a sorok összefüggőségét, így elég a kapott R (G, p, q) mátrix sorainak függetlenségét belátni R(G, p, q) sorainak függet-

FEJEZET 2. HENNEBERG-TÍPUSÚ MŰVELETEK 19 lenségéhez. Jelölje az e élhez tartozó sort F e. 1 2 1 2 1 2 1 2.. 1 2 1 2 1 3 2 2 3 3 2 2 1 3 2 2. 3 3 2 2 3 2 1 1 0... 0...... 1 1 0 0. 3 2 Indirekt tegyük fel, hogy e E(G) α ef e = 0, úgy hogy α e 0 valamely e E(G)-re. Tegyük fel, hogy α e 0 valamely e T 2 -re. Mivel T 2 fa, v s V (T 2 ), amelyre e E(T 2 ) = C 0. A 3Fa2 partíció tulajdonságai miatt v s-nek benne kell lennie valamelyik másik fában is, tegyük fel, hogy ez T 1. Ekkor e T 0 -ra (F e ) s = 0, (F e ) V (G) +s = 0. Az indirekt feltevés miatt e E(T 1 ) α e(f e ) s = C. Ekkor viszont a mátrix speciális alakja miatt e E(T 1 ) α e(f e ) V (G) +s = e E(G) α e(f e ) V (G) +s = 3C 0. Tehát ebben az esetben ellentmondásra jutunk, vagyis minden e E(T 2 )-re α e = 0. Törölhetjük a T 2 -nek megfelelő sorokat R (G, p, q)-ből, és elég a maradékról belátni a függetlenséget. megtehető a mátrix alkalmas bázistranszformációja után a fentihez hasonló érveket alkalmazva. A következő teendő (G, p, q) pontjainak szimmetrikus széthúzása. Tegyük fel, hogy V i 2. Mivel {T 0, T 1, T 2 } egy megfelelő partíció, < V 0 > T i nem összefüggő valamely i {1, 2}-re. Tegyük fel, hogy i = 2-re nem összefüggő, ekkor az elforgatottjaik, azaz < V 1 > T 0 és < V 2 > T 1 szintén nem lesznek összefüggőek. Legyen A a < V 0 > T 2 egy összefüggő komponensének csúcshalmaza. Legyen t R, p t : V (G) R 2, q t : E(G) R 2 a következő: Ez

FEJEZET 2. HENNEBERG-TÍPUSÚ MŰVELETEK 20 ( 1t, 3t) 2 2, ha v A (1 + t, 0), ha v Φ(C 3 )(A) p t (v) = ( 1 2 (1 t), 3 (1 + t)), ha v Φ(C 2 3) 2 (A) p(v), különben. q t (e) = (1 + 1t, 3 t), ha e E 2 2 A,V 1 \Φ(C 3 )(A) (1 + 3t, 3 t), ha e E 2 2 A,Φ(C 3 )(A) ( 1 t, 3 ), ha e E 2 2 Φ(C 3 )(A),V 2 \Φ(C 3 ) 2 (A) ( 1 3t, 3 (1 + t)), ha e E 2 2 2 Φ(C 3 )(A),Φ(C 3 ) 2 (A) ( 1(1 t), 3 (1 + t)), ha e E 2 2 Φ(C 3 ) 2 (A),V 0 \A ( 1, 3 3t, ha e E 2 2 Φ(C3 ) 2 (A),A q(e), különben., ahol E X,Y jelenti az X és Y köztes éleinek számát valamely X, Y V (G) diszjunkt halmazokra. Ekkor (G, p, q) = (G, p 0, q 0 ). Ha t -t változónak tekintjük, a (G, p t, q t ) pontosan akkor lineárisan összefüggő (R[t ] fölött), ha minden E(G) E(G) s részmátrix deteminánsa azonosan 0. Ezek t -ben polinomiálisak, így azon t -k halmaza, amelyekre R(G, p t, q t ) sorai nem lineárisan függetlenek, egy F varietást alkotnak, amelynek komplementere ha nemüres, sűrű nyílt halmaz. Mivel t = 0 / F, majdnem minden t-re a mátrix sorai lineárisan függetlenek lesznek, azaz létezik t 0 0, amire (G, p t0, q t0 ) keret független. Az eljárást folytatva eljutunk egy olyan (G, p, q) kerethez, amelyben minden uv E(G)- re p(u) p(v). Így a 2.2.13 miatt (G, p) egy független szerkezet R (G,C 3,Φ)-ben. Vagyis a tételt beláttuk. 2.2.15. Megjegyzés. Az előző tételhez hasonló eredmények ismertek C -re, ami a π-szögű forgatás csoportja, valamint C S -re, ami a tükrözés csoportja. Sejtés, hogy C 2v -re és C 3v -re is levezethető ilyen típusú tétel, de komplikáltabb módon. [22] Schulze eredményei olyan szempontból gyengébbek, mint a periodikus eset hasonló eredményei, hogy csak izosztatikus szerkezetekről szól, viszont olyan szempontból erősebbek, hogy ezek olyan szerkezetekről is információt

FEJEZET 2. HENNEBERG-TÍPUSÚ MŰVELETEK 21 adnak, amiktől nem követeljük meg a szimmetriát, csak épp mellékesen szimmetrikusak.

3. fejezet Fix rácsú és cone (kúpos) szerkezetek Ebben a fejezetben olyan R 2 -beli speciális gráfok merevségének tesztelésére adunk algoritmusokat, melyekhez szimmetriára, illetve periodikusságra vonatkozó extra feltételek is tartoznak. 3.1. A generikus merevséghez szükséges kombinatorikus modell A szerkezet speciális struktúrája miatt nem az egész szerkezetet, hanem az ún. színezett gráfot vizsgáljuk a fejezet során. 3.1.1. Definíció. Legyen G = (V, E) egy véges irányított multigráf, továbbá legyen adva egy hozzá tartozó γ = (γ ij ) ij E, γ ij Γ csoport. A (G, γ) párt színezett gráfnak nevezzük. Egy adott periodikus vagy szimmetrikus szerkezethez tartozó színezett gráfot úgy konstruálhatunk meg, hogy a pont-orbitokat összehúzzuk pontokká, az él-orbitokat összehúzzuk élekké, továbbá a pont-orbitok és él-orbitok incidenciáját megtartva az éleket tetszőleges módon megirányítjuk. Ez egy véges gráfreprezentációját adja a pont-orbitoknak és él-orbitoknak. Egy ij E 22

FEJEZET 3. FIX RÁCSÚ ÉS CONE (KÚPOS) SZERKEZETEK 23 élhez tartozzon egy címke vagy szín, amit úgy kapunk meg, hogy felemeljük az ij élt az eredeti gráf egyetlen olyan ij élévé, melynek töve egy i-hez tartozó kiválasztott i reprezentánselem. Ekkor az ij él feje γ ij j, ahol j a j választott reprezentánseleme. Ez a γ ij lesz az ij él színe. Ez a gráf az egyes orbitokról egy-egy csúcsot tartalmaz, és a címkézett élek mutatják a teljes szerkezet struktúráját. Ennek a fogalomnak a bevezetését az a tény indokolja, hogy a gráfhoz kapcsolódó extra periodicitási/szimmetria feltételek miatt bizonyos csúcsok kénytelenek együtt mozogni. 3.1. ábra. Periodikus szerkezet és egy hozzá tartozó színezett gráf. 3.1.2. Megjegyzés. Fix rácsú periodikus szerkezetre Γ = Z 2 ; míg k 2 egész cone (kúpos) gráfra Γ = Z/kZ. 3.1.3. Definíció. Azokat a mozgásokat tekintjük megengedett folytonos mozgásoknak, amelyek megőrzik a csúcs-él kapcsolatokon és a rudak hosszán kívül az adott periodicitási, ill. szimmetria feltételeket is. 3.1.4. Definíció. Egy fix rácsú szerkezet merev, ha az egyetlen megengedett mozgás az eltolás; míg egy kúpszerkezetet akkor hívunk merevnek, ha az egyetlen megengedett mozgás a középpont körüli forgatás. 3.1.5. Definíció. Egy szimmetrikus/periodikus szerkezet minimálisan merev, ha merev, de bármely él-orbit rúdjainak eltávolítása után már nem az.

FEJEZET 3. FIX RÁCSÚ ÉS CONE (KÚPOS) SZERKEZETEK 24 3.2. Merevségi tételek A következőkben az ilyen típusú gráfok merevségének vizsgálatához szükséges definíciók és tételek szerepelnek. A továbbiakban jelölje n a pontok, m pedig az élek számát a gráfban. 3.2.1. Definíció. Legyen a G ciklikus teréből Γ-ba képező ρ függvény a következő: ρ(c) = ij C,előre-él γ ij ij C,hátra-él γ ij, ahol C fix bejárású kör G-ben. 3.2.2. Definíció. ρ(g ) jelöli G Γ-képét, amit triviálisnak nevezzük, ha minden G által feszített C kör ρ(c) képe az identitás. Különben nemtriviális. Jelölje n a G gráf csúcsainak, m pedig az éleinek számát. 3.2.3. Tétel. [8] Egy generikus fix rácsos szerkezet a hozzárendelt (G, γ) színezett gráffal minimálisan merev (1) m = 2n 2; (2) G nemüres részgráfra, amelynek pontszáma n, élszáma m, és triviális a Z 2 -képe, teljesül a következő: m 2n 3; (3) G nemüres részgráfra, amelynek pontszáma n, élszáma m, és nemtriviális a Z 2 -képe, teljesül a következő: m 2n 2. Azokat a gráfokat, melyek teljesítik a tételben szereplő három feltételt, Ross-gráfoknak hívjuk. Ha csak a (2) és (3) feltételek teljesülnek, a gráf Rossritka. 3.2.4. Definíció. A 3.2.3 alapján a maximálisan merev részszerkezet általános fix rácsú szerkezetben megfelel azon G-beli maximális részgráfnak, ahol m = 2n 2. Ezeket nevezzük (G, γ) merev komponenseinek. 3.2.5. Tétel. [9] Egy generikus cone (kúpos) szerkezet a hozzárendelt színezett gráffal minimálisan merev (1) m = 2n 1;

FEJEZET 3. FIX RÁCSÚ ÉS CONE (KÚPOS) SZERKEZETEK 25 (2) G nemüres részgráfra, amelynek pontszáma n, élszáma m, és triviális a Z/kZ-képe, teljesül a következő: m 2n 3; (3) G nemüres részgráfra, amelynek pontszáma n, élszáma m, és nemtriviális a Z/kZ-képe, teljesül a következő: m 2n 1. Az ilyen gráfokat nevezzük cone-laman-gráfoknak. analóg módon, csak épp 2n 2 helyett 2n 1-gyel.) A Ross- és cone-laman gráfok matroidcsaládok. [9] (A Ross-gráfokkal 3.2.6. Lemma. [8] Legyen (G, γ) egy színezett gráf. ρ(g) triviális G minden T feszítő erdőjére ρ triviális minden T által indukált alapkörre. Következzenek a (k, l)-ritkasággal kapcsolatos alapfogalmak. ([16]) Ezek a (k, l)-ritkasági fogalmak a megfelelő matroid alapfogalmainak felelnek meg, ez indokolja az elnevezéseket is. 3.2.7. Definíció. A (k, l)-ritkaság azt jelenti, hogy m kn l teljesül minden részgráfra. Ha m = kn l, a gráf (k, l)-gráf. 3.2.8. Definíció. A (k,l)-kör olyan gráf, ami nem (k, l)-ritka, de bármely élét elhagyva már az. Ezek mindig (k, l 1)-gráfok, és a megfelelő matroid köreit alkotják. 3.2.9. Definíció. A G gráf (k, l)-bázisa alatt olyan maximális G részgráfot értünk, amely (k, l)-ritka. A definíció megfelel a matroid bázis fogalmának. 3.2.10. Definíció. Ha a G gráf (k, l)-bázis, ij E(G) E(G ), akkor a 0(k, l)-alapkör ij-re és G -re az egyetlen (k, l)-kör G + ij-ben. 3.2.11. Megjegyzés. Egy gráf (2, 3)- tulajdonságú Laman-gráf. A későbbi algoritmusokhoz felhasználjuk a pebble game -et, amely egy egyszerű és elegáns kombinatorikus módszer, csupán a gráf irányításának megfelelő változtatását használja. A (k,l)- pebble game segítségével O(1) idő ellenőrizni, hogy egy ij él feszített-e valamely (k, l)-komponensben. O(n 2 ) idő frissíteni a komponenseket, ha egy G + ij (k, l)-ritka. Továbbá O(n) idő szükséges adott (k, l)-ritka gráfra alapkör számításához.

FEJEZET 3. FIX RÁCSÚ ÉS CONE (KÚPOS) SZERKEZETEK 26 3.2.12. Definíció. (Legkisebb közös ős fában) Legyen T r-gyökerű fa, i, j V (T ). Ekkor i és j legkisebb közös őse T -ben az a csúcs, ahol az egyértelmű i r-út és a j r-út először találkoznak. Ez O(n) előprocesszálás után O(1) időben számítható. (Bővebben: [4].) 3.2.13. Lemma. [21] Legyen G egy gráf, és tegyük fel, hogy a Laman-körök G-ben éldiszjunktak. Ekkor minden G-beli Laman-bázisra ugyanaz az alapkör, és minden Laman-kör G-ben egy alapkör. Bizonyítás: Legyen G egy Laman-bázisa L. A matroidtulajdonság miatt minden Laman-kör egyúttal Laman-alapkör L-re, vagy előáll kör eliminációs lépésekkel. Az éldiszjunktságra vonatkozó feltevés miatt a második eset nem fordulhat elő, tehát az állítás igaz, mivel L-t tetszőlegesen választottuk. 3.2.14. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy színezett gráf, és tegyük fel, hogy G egy (2, 2)-gráf. (G, γ) Ross gráf G-ben minden L Laman-bázisra a Lamankör minden ij E E(L)-re nemtriviális Z 2 -képpel rendelkezik. Bizonyítás: (G, γ) legyen a feltételeknek megfelelő. Figyeljük meg, hogy minden G-beli G (2, 2)-blokknak tartalmaznia kell Laman-kört, ugyanis egy G -beli Laman-bázis nem tartalmazhatja az összes élt, mert túl sok van. De ha bármely G (2, 2)-blokknak triviális a Z 2 -képe, akkor a részgráfjainak is az, aminek tartalmaznia kell Laman-kört. Emiatt (G, γ) pontosan akkor Rossgráf, ha minden Laman-körnek nemtriviális a Z 2 -képe. Még azt kell belátnunk, hogy minden Laman-kör helyett elég csak a Laman-alapkörökre megkövetelnünk a nemtrivialitást. A Laman-körök (2, 2)- blokkok G-ben, és nem tartalmazhatnak kisebb (2, 2)-blokkokat. Mivel G (2, 2)-gráf, így a G-beli (2, 2)-blokkok közül bármely kettőre igaz az, hogy vagy éldiszjunktak, vagy (2, 2)-blokkban metszik egymást. Ebből következik, hogy a Laman-körök, amik nem tartalmaznak kisebb (2, 2)-blokkot, éldiszjunktak, vagyis a 3.2.13 alapján az állítás igaz.

FEJEZET 3. FIX RÁCSÚ ÉS CONE (KÚPOS) SZERKEZETEK 27 3.2.15. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy színezett gráf Γ = Z/kZ csoporttal, és tegyük fel, hogy G (2, 2)-kör. (G, γ) pontosan akkor cone-laman gráf, ha bármely élt eltávolítva G-ből Ross-gráfot kapunk. Bizonyítás: Ha létezik olyan él, melynek törlése után nem Ross-gráfot kapunk, akkor ez a gráf tartalmaz triviális képű részgráfot, amely nem Lamanritka. Mivel ez az eredeti G gráfnak is részgráfja, G nem lehet cone-laman. Tehát az állítás balról jobbra iránya igaz. Legyen G egy (2,2)-blokk G-ben. Mivel G (2,2)-kör, G G. Legyen ij E(G) E(G ), ekkor a feltétel miatt G ij Ross-gráf, tehát G -nek nemtriviális a Γ-képe. Mivel G tetszőleges volt, az állítás másik iránya is igaz. 3.2.16. Lemma. [21] Legyen G egy (2, 1)-gráf. Ekkor a (2, 2)-körök G-ben éldiszjunktak. 3.2.17. Lemma. [21] Legyen G egy (2, 1)-gráf, G pedig Laman-kör G-ben. Ekkor G -t vagy tartalmazza egy (2, 2)-kör vagy G Laman-alapkör. Bizonyítás: Legyen L egy tetszőleges Laman-bázis. Terjesszük ki egy R (2,2)-bázissá. Ha G éldiszjunkt minden (2,2)-körtől, akkor része R-nek. Minden Laman-kör alapkör L-re nézve, tehát ekkor G Laman-alapkör. Tegyük fel, hogy G metsz egy G (2,2)-kört, a metszetüket jelölje G, az uniójukat G. Mivel G (2,2)-gráf, a következőt kapjuk: 2 V (G ) 2 E(G ) = 2 V (G ) 2 + 2 V (G ) 1 E(G ) 2 V (G ) 2 + 2 V (G ) 1 2 V (G ) + 1 = 2 V (G ) 2. Mivel minden megfelelő G gráf Laman-ritka, G G = G -t kapjuk, twhát G egy (2,2)-kör. 3.2.18. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy színezett gráf. (G, γ) cone-laman gráf (1) G egy (2, 1)-gráf; (2) minden G-beli R (2, 2)-bázisra az ij E(G) E(R) éllel kapott G alapkör bármely élét eltávolítva Ross-gráfot kapunk; (3) minden L Laman-bázisra G-ben a Laman-alapkör Γ-képe nemtriviális.

FEJEZET 3. FIX RÁCSÚ ÉS CONE (KÚPOS) SZERKEZETEK 28 Bizonyítás: Elég belátni, hogy minden Laman-kör Γ-képe nemtriviális. A 3.2.17 alapján két típus van: amelyek nem metszenek más Laman-kört, tehát Laman-alapkörök valamely Laman-bázisra, illetve amelyek (2, 2)-körök részgráfjai, ezek pedig éldiszjunktak a 3.2.16 miatt. Ezek után a 3.2.15 lemmából megkapjuk a kívánt állítást. A következő lemmákhoz szükségünk lesz egy G-hez tartozó G irányítatlan gráf definiálására. A G gráfot úgy kapjuk G-ből, hogy minden csúcsot három példányban veszünk fel, és az ij irányított, γ színű élnek megfelelően behúzunk az új gráfban három új élt: i k j k+γ (k = 0, 1, 2) modulo 3 számolva. Ehhez tartozik egy π : G G természetes fedőleképezés, ami i k -t i-be, i k j k+γ -t ij-be viszi. A fedőleképezés definíció szerint olyan folytonos leképezés, amelyre véve a képtér egy elemét, annak létezik olyan nyílt környezete, amelynek ősképe előáll páronként diszjunkt nyílt halmazok uniójaként úgy, hogy π minden ilyen nyílt halmazt homeomorf módon képez le. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy a G gráfot rátekerjük G-re. A π 1 az i fölötti fiber, vagyis i ősképeinek halmaza. 3.2.19. Lemma. [21] Legyen (G, γ) Z/3Z-színezett gráf, G G. Ekkor ha G Z/3Z-képe triviális, akkor π 1 (G ) megegyezik a G három diszjunkt példányával. Ha G Z/3Z-képe nemtriviális, akkor π 1 (G ) összefüggő. 3.2.20. Lemma. [21] (G, γ) Z/3Z-színezett gráf. Ha G Laman-ritka, akkor (G, γ) cone-laman-ritka. Bizonyítás: A bizonyítás kontrapozitív módon történik, tegyük fel, hogy (G, γ) nem cone-laman-ritka. Legyen G G, ekkor két esetet kell megkülönböztetni. Először tegyük fel, hogy G képe triviális és m 2n 2. A 3.2.19 miatt π 1 (G ) három diszjunkt másolata G -nek, de ekkor ellentmondást kapunk, mert ekkor G nem lesz Laman-ritka. A második eset az, hogy G képe nemtriviális és m 2n. A 3.2.19 miatt π 1 (G ) összefüggő és megegyezik a G orbitjaival, így 3n pontja és legalább

FEJEZET 3. FIX RÁCSÚ ÉS CONE (KÚPOS) SZERKEZETEK 29 6n éle van, ami szintén ellentmondásra vezet. 3.2.21. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy Z/3Z-színezett gráf. Ha a G nem Laman-ritka, akkor (G, γ) nem cone-laman-ritka. Bizonyítás: A bizonyítás ismét kontrapozitív módon történik. Tegyük fel, hogy G nem Laman-ritka. Ekkor tartalmaz egy G Laman-kört, legyen O az orbitja. Ismét két esetet különböztetünk meg. Először tegyük fel, hogy O három példányú másolata G -nek. Ekkor π(o) is egy másolata G -nek triviális képpel, ami megsérti a cone-laman-ritkaságot, tehát ebben az esetben az állítás igaz. A másik eset az, hogy O összefüggő, így γ {0, 1, 2}-re α γ (G ) és α γ+1 (G ) metszete nemüres. Legyen A = G α 1 (G ). Minden páronkénti metszet izomorf A-val. Legyen B = G α 1 (G ) α 2 (G ). Ekkor E(O) = 3 E(G ) 3 E(A) + E(B). Mivel G Laman-kör, A és B is Laman-ritkák. Így a fenti egyenlőség jobb oldala akkor minimális nemüres A és B esetén, ha A és B (2,3)-szorosak. Emiatt O-nak kétszer annyi éle van, mint pontja. A 3.2.19 lemma miatt π(o) képe nemtriviális, tehát megsérti a cone-laman-ritkaságot, vagyis az állítás igaz. 3.2.22. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy Z/3Z-színezett gráf. G G egy cone-laman merev komponens π 1 (G ) egy szimmetrikus (2,3)-komponense G-nek. Bizonyítás: Következik a 3.2.20 és 3.2.21 lemmákból. 3.2.23. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy színezett gráf, Γ = Z/3Z. (G, γ) cone-laman G Laman-gráf. Sőt, (G, γ) merev komponensei megfelelnek G merev komponenseinek. Bizonyítás: Következik a 3.2.20, 3.2.21 és 3.2.22 lemmákból. Tegyük fel, hogy G összefüggő, T feszítőfa r gyökérrel. P i jelöli az r-ből i-be vezető utat T -ben.

FEJEZET 3. FIX RÁCSÚ ÉS CONE (KÚPOS) SZERKEZETEK 30 3.2.24. Definíció. (ρ Γ-képe) A ρ Γ-képét jelölje σ ij, amit definiáljunk a következőképp. Először számítsuk ki az r gyökérponthoz tartozó értékeket: σ ri = jk P i,elore el γ jk jk P i,hatra el γ jk. Ezután megadhatjuk a többi pontpárhoz tartozó értékeket: legyen σ ij = σ ri σ rj, ha j P i. Ha σ ji -t már definiáltuk, σ ij = σ ji. 3.2.25. Lemma. Legyen (G, γ) összefüggő színezett gráf, T gyökeres feszítőfa, ij E(G) E(T ), és legyen i és j legkisebb közös őse a fában x. Ha C az ij-vel vett alapkör T -re, ρ(c) = σ xi + γ ij σ jx. 3.2.26. Lemma. Legyen (G, γ) összefüggő. Létezik O(n + m) algoritmus annak eldöntésére, hogy ρ(g) Γ-képe triviális-e. 3.3. Algoritmusok Az elméleti háttér után következzenek a fő kérdéseket megoldó algoritmusok. ([21]) Három fő problémát szeretnénk algoritmikusan kezelni: a merevség tesztelését, nem merev gráf maximális merev részgráfjának meghatározását, valamint egy gráf maximális részgráfjának keresését adott független hosszkorlátoknak megfelelően. 3.3.1. Algoritmus annak eldöntésére, hogy ρ(g) triviális-e A következő algoritmus segítségével ellenőrizhetjük, hogy ρ(g) triviális-e. Input: (G, γ). Lépések: T gyökeres feszítő fa keresése. σ ri kiszámítása i V (G)-re.

FEJEZET 3. FIX RÁCSÚ ÉS CONE (KÚPOS) SZERKEZETEK 31 ij E(T )-re T -beli alapkör képének számítása. Output: Ha létezik alapkör, amelynek képe nemtriviális, akkor ρ(g) nem triviális. Különben ρ(g) triviális. Az algoritmus helyessége következik a 3.2.6 lemmából, hiszen az algoritmus épp egy feszítőfa alapköreit vizsgálja meg. Futásidő: A feszítő fa keresése O(m) időt vesz igénybe. σ ri kiszámítása O(n) idő alatt történik. Az alapkör képének számítása O(n + m) időben történik, mert ennyi időt vesz igénybe a fabeli legkisebb közös ősök meghatározása, utána pedig körönként O(1) idő szükséges. Tehát összesen O(n + m) idő alatt ér véget az algoritmus. 3.3.2. Ross-gráf merev komponenseinek meghatározása A következő algoritmus segítségével meghatározhatjuk egy Ross-gráf merev komponenseit. Input: (G, γ). Algoritmus: A pebble game -et fogjuk használni (2,2)- és (2,3)-ritka gráfokra párhuzamosan. Kezdésként inicializáljuk egyenként a (2,2)- és (2,3)-komponenseket. Ezután ij E(G)-re: Ha ij-t feszíti egy (2,2)-komponens a (2,2)-ritka gráfban, eldobjuk ij-t, és a következő éllel folytatjuk. Ha nem feszíti egyik (2,3)-komponens sem, adjuk hozzá az általunk épített (2,2)- és (2,3)-ritka gráfokhoz is, és frissítsük a komponenseket. Különben használjuk a (2,3)- pebble game -et a legkisebb G (2,3)-blokk azonosítására, ami ij-t feszíti. Hozzáadjuk G -höz ij-t és kiszámítjuk a

FEJEZET 3. FIX RÁCSÚ ÉS CONE (KÚPOS) SZERKEZETEK 32 Z 2 -képét. Ha triviális, eldobjuk ij-t, és a következő éllel folytatjuk. Ha nemtriviális, ij-t a (2,2)-ritka gráfhoz adjuk és frissítjük a komponenseit. Az outputot a (2,2)-ritka gráf (2,2)-komponensei adják. A matroidtulajdonság garantálja, hogy a mohó megközelítés jó eredményt ad. Definíció szerint egy Ross-gráf merev komponensei pontosan a (2,2)- komponensek. Az első lépés biztosítja, hogy egy (2,2)-ritka gráfot tartunk fent, a második és harmadik lépés helyességét a 3.2.14 lemmából látjuk, mivel új (2,2)-blokkok létrejöttekor az szükséges, hogy nemtriviális Z 2 -képpel rendelkezzenek. Az utolsó lépés pedig biztosítja, hogy minden lépésben frissítsük a merev komponenseket. Futásidő: Az első kettő, valamint az utolsó lépés összesen O(n 2 ) időt vesz igénybe az algoritmus futása során. A harmadik lépés O(n) időbe telik, és mivel Θ(m) iterációban hajtjuk végre, végül egy O(nm)-es, futásidőt kapunk, vagyis az algoritmus O(n 3 ) futásidejű. 3.3.1. Megjegyzés. Ha csak azt akarjuk eldönteni, hogy a gráf merev-e, leállhatunk az első olyan élnél, amit el kell dobnunk. Emiatt, mivel O(n) élünk van, a futásidő O(n 2 ) lesz. 3.3.3. cone-laman gráf merev komponenseinek meghatározása Γ = Z/3Z speciális eset A következő algoritmusok segítségével meghatározhatjuk egy cone-laman gráf merev komponenseit. Először nézzük azt a speciális esetet, amikor Γ = Z/3Z. Input: (G, γ).

FEJEZET 3. FIX RÁCSÚ ÉS CONE (KÚPOS) SZERKEZETEK 33 A korábban említett G megkonstruálása. (2,3)- pebble game használatával G merev komponenseinek meghatározása. Output: A G szimmetrikus merev komponenseinek megfelelő G-beli részgráf. Az algoritmus helyessége a 3.2.23 lemmából azonnal következik. A futásidő O(n 2 ). Γ = Z/kZ általános eset Most tekintsük az általános esetet, vagyis legyen Γ = Z/kZ. Input: (G, γ) és k. Output: a (2,1)-komponensek az általunk épített (2,1)-ritka gráfban. Algoritmus: Kezdének (2,1)-, (2,2)- és (2,3)- pebble game. Aztán ij E(G)-re: Ha ij-t feszíti egy (2,1)-komponens a (2,1)-ritka gráfban, eldobjuk ij-t, és a következő éllel folytatjuk. Ha ij-t nem feszíti egyik (2,3)-komponens sem, ij-t hozzáadjuk mindhárom ritka gráfhoz, amit építünk, majd frissítjük a komponenseket, és a következő éllel folytatjuk. Ha ij-t nem feszíti egyik (2,2)-komponens sem, ellenőrizzük, hogy a Laman-alapkörnek a (2,3)-ritka gráfban nemtriviális-e a Z/kZ-képe. Ha nem, eldobjuk ij-t. Különben ij-t hozzáadjuk a (2,1)- és (2,2)-ritka gráfokhoz és frissítjük a komponenseket. Különben ij-t nem feszíti egy (2,1)-komponens sem. Megkeressük azt a G minimális (2,2)-blokkot, ami feszíti ij-t, és ellenőrizzük, hogy G + ij