egyenletek és egyenlôtlenségek Jó, hogy itt vagytok! titeket vártalak. Hadd találjam ki, hol vagyunk! Kínában. Egyenesen a császárhoz. ezt a tudást át kell ültetnetek a matematikába. Te nem hiszed ezt el? tankonyv_teljes jav_09_22.indd 189 Jól gondolod. Az 1400. évben vagyunk, a Ming dinasztia idején. Hova vezet minket? Feltárom nektek a bölcs uralkodás titkát. És mi a közös az uralkodásban és a matematikában? A SZÁMOKRA IS IGAZ LENNE AZ EGYENSÚLY? mindennek egyensúlyban kell lennie Még a számoknak is. PEDIG IGAZ! ÁÁÁÁ... 11/10/7 1:27 PM
régen és most Az ókori emberek szövegesen írták fel a problémákat, és azokat fejtették meg. Régen a matematikai problémák megoldásakor általában nem írták le sem az összefüggéseket, sem a megoldás lépéseit. Ebből arra következtetünk, hogy találgatással oldották meg őket. Találtam egy követ, aminek nem tudtam a tömegét. Amikor azonban hozzáadtam az egyhetedét és az egészhez még az egytizennegyedét is, pontosan egy mina tömegű volt. Kr. e. 1800 körül. A kínaiak ismerték a kapcsolatokat a különböző mennyiségek között, és a végeredményt a megfelelő csökkentéssel vagy növeléssel számolták ki. Az egyiptomiak gyakran szándékosan, de átgondoltan használtak helytelen megoldást, majd azt helyesre kijavították. Ennek az eljárásnak a neve regula falsi. Száz kenyércipót igazságosan ossz el tíz ember közt úgy, hogy a köztük levő csónakos, eladó és őr a többiekhez képest kétszeres mennyiséget kapjon. Rhind papirus 190 Egy hold jó minőségű föld 300 aranyba kerül, hét hold gyenge minőségű pedig 500 aranyba. Mennyi jó és mennyi gyenge földet vett a földműves, ha 100 holdért 10 000 aranyat fizetett? Az egyiptomiak használtak néhány jeltípust az egyenlőség, egyenlőtlenség kifejezésére:
egyenletek és egyenlôtlenségek 1. ÁLLÍTÁSOK ÉS NYITOTT MONDATOK 2. Egyenletek Az = (egyenlo ség) jelet a mai értelemben elo ször 1557-ben használták. 3. egyenlôtlenségek anna és Bence próbára teszi tudását A < (kisebb) és > (nagyobb) jeleket elo ször egy angol matematikus, Thomas Harriot (1560-1621) használta, azonban a gyakorlatban még sokáig használatosak és jelek is. voltak a Londonban a Hyde parkban van a Speakers Corner (Szónoksarok), ahol bárki szinte bármit hangosan kimondhat. A vélemény kimondása leheto ség az egyensúly megteremtésére. A mérleg állása, az egyensúly, illetve a billenés jól mutatják az egyenlo séget, illetve az egyenlo tlenséget. Az egyenlo ség és egyenlo tlenség fogalmát kifejezo szavakkal a sportban is gyakran találkozunk. A maratoni táv pontosan 42 195 méter hosszú. tankonyv_teljes jav_09_22.indd 191 A mai meccsen eggyel kevesebb gólt lo ttem, mint a tegnapin. Csak egy körrel rontott többet az ellenfelem, mint én. Nyertem! 191 11/10/7 1:27 PM
1. ÁLLÍTÁSOK ÉS NYITOTT MONDATOK Megtanulod, hogy: mit nevezünk állításnak, mi a nyitott mondat, hogyan írjuk le az állításokat és a nyitott mondatokat. A család tagjai arról beszélgettek, hogy ki milyen kövér. Anya és Márta néni nem akarták megmondani, hogy hány kilósak, apa pedig azt állította, hogy ô 85 kg. Mindenki kivéve anyát és Márta nénit megmérte magát. Anna pedig ezt jegyezte fel: A nagymama 78 kg, apa 87 kg, Panni (a nôvérem) 56 kg, Tóni bácsi 82 kg, Marci (az unokatestvérem) 67 kg, én 42 kg. gondolkozz! Mit mondhatnál apa állításáról? A matematikában azokat a kijelentéseket, amikrôl el lehet dönteni, hogy igaz vagy hamis, állításoknak nevezzük. Tudjuk, hogy azok az állítások, amiket Anna lejegyzett, igaz állítások. Ô ugyanis a mérések eredményét írta le. A nagymama 78 kg. Panni 56 kg. stb. Apa állítása: Én 85 kg-os vagyok. hamis, mert a mérleg 87 kg-ot mutatott. Anya és Márta néni nem mondták meg a tömegüket, és nem is mérték meg magukat. Ezért Anna ezt tudta feljegyezni: Anya kg. Márta néni kg. Ezek hiányos állítások. Nem tudjuk eldönteni, hogy igazak-e. Az üres helyre be kell írnunk egy számot, s ezután lehet csak dönteni. Az ilyen hiányos állításokat nyitott mondatoknak nevezzük. Állítás és nyitott mondat Azt a kijelentô mondatot nevezzük állításnak, amirôl eldönthetô, hogy igaz vagy hamis. A nyitott mondat hiányos állítás. Ha a nyitott mondatot kiegészítjük (szavakkal vagy számokkal), akkor állítást kapunk. Az állítás lehet ez: egyenlô. Ezt = jellel jelölhetjük. 6 2=4 7 9 = 63 56 + 25 23 = 58 Vagy ez: nem egyenlô, kisebb <, nagyobb >, kisebb vagy egyenlô, nagyobb vagy egyenlô. A számokat tartalmazó nyitott mondatokban üres kerettel jelöljük a hiányzó értéket: 6 A =4 7 9= 15 jel helyett betût is írhatunk. 6 x=4 y<9 3 a + 2 = 17 5 b FIGYELEM! A kérdô és a felszólító mondatok nem állítások. Az állítás mindig kijelentô mondat. MINTAFELADATOK 1. A felírt állítások között van-e igaz állítás? A hamis állítások helyett írj nyitott mondatokat! a) A három páratlan szám. b) A 38 nagyobb, mint a 83. c) Gyôr Magyarország fôvárosa. d) Magyarország legmagasabb hegycsúcsa a Kékes. e) 99 33 = 66 f) 87 23 = 55 Igaz állítások: a; d és e. A hamis állításokból nyitott mondatot készítünk: b) A 38 nagyobb, mint a 83. A 38 nagyobb, mint c) Gyôr Magyarország fôvárosa. 192 f) 87 23 = 55 tankonyv_teljes jav_09_22.indd 192. Magyarország fôvárosa. 87 = 55 11/10/7 1:27 PM
ÁLLÍTÁSOK ÉS NYITOTT MONDATOK 2. A nyitott mondatba helyettesítsd be a megfelelô számot, számokat úgy, hogy igaz állítást kapj! Ezt nevezzük megoldásnak. a) 8 = 56 b) 4 + > 9 a) 8 7 = 56 Behelyettesítjük a 7-et, ez igazzá teszi az állítást. b) 4 + 6 > 9 4 + 5 = 9, de a bal oldalon 9-nél nagyobb kell. Ezért 5-nél nagyobb számot kell beírnunk az üres helyre. vagy 4 + 7 > 9 vagy 4 + 8 > 9 vagy 4 +... > 9 Végtelen sok megoldás van: 6; 7; 8, Megjegyzés A nyitott mondat megoldásának nevezzük az összes számot, amire a nyitott mondat igaz. 3. A nyitott mondatba helyettesíts be pozitív egész számokat úgy, hogy hamis állítást kapj! a) 2 = 14 b) 7 < 3 a) 2 8 = 14 Bármely számot behelyettesíthetjük, kivéve a 7-et. b) Behelyettesíthetjük az 1, 2, 3, 4 számokat: 7 1 < 3 mert 7 1 = 6 6 > 3; 7 2 < 3 mert 7 2 = 5 5 > 3; 7 3 < 3 mert 7 3 = 4 4 > 3. 7 4 < 3 mert 7 4 = 3 3 = 3. 4. A nyitott mondatba helyettesíts be természetes számokat úgy, hogy igaz állítást kapj! a) 2 x + 15 = 75 b) 7 y < 3 a) 2 30 + 15 = 75 Behelyettesíthetjük a 30-at, mert 2 30 + 15 = 75. b) 7 5 < 3 7 6 < 3 7 7 < 3 Behelyettesíthetjük az 5; 6 vagy 7 számokat. GYAKORLÓFELADATOK 1. Melyek matematikai állítások? a) A hányados nem változik, ha az osztandót és az osztót ugyanazzal a számmal osztjuk. b) Mely számok a szomszédjai a 375-nek? c) A természetes számok olyan számok, amelyekkel számlálunk. d) Olvasd fel nekem ezt a verset! e) 35 + 67 = 100 f ) 56 : 8 g) 43 > 52 2. Melyek az igaz állítások? a) A 2 356 788 szám páros szám. b) A 15 ötszöröse 3. c) Ha felcseréljük a kisebbítendôt és a kivonandót, a különbség nem változik. d) A 48 a 6 többszöröse. e) 750 : 6 = 125 f ) 237 < 148 Megjegyzés igaz állítás = helyes állítás hamis állítás = helytelen állítás A matematikai állítás hamis, ha a nyitott mondatot olyan számmal egészítjük ki, amire az egyenlôség vagy egyenlôtlenség nem teljesül. 3. A 24-gyel és a 13-mal alkoss négy különbözô nyitott mondatot, majd azokat egészítsd ki úgy, hogy helyes állításokat kapj! 4. Melyik nyitott mondatot nem lehet igazzá tenni egész számmal? a) 3 = 36 b) 2 = 73 c) 8 < 24 d) + 27 = 15 e) 36 : = 39 f ) 23 7 + 9 = 193
2. EGYENLETEK Megtanulhatod, hogy: mi az egyenlet, hogyan oldunk meg egyenleteket próbálgatással és lebontogatással, hogyan oldunk meg szöveges feladatokat egyenlettel. Bence elvállalta, hogy szombat délelôtt a házuk minden ablakát megtisztítja. Ez nem kis munka, mert a háznak 14 ablaka van. Gyorsan dolgozott, így hamarosan 5 ablakkal elkészült. Elgondolkodott, hogy hány ablak van még hátra? gondolkozz! Hogyan írhatod fel Bence kérdését matematikai jelölésekkel? Anna felírta a 5 + = 14, nyitott mondatot, majd a -t kicserélte x-re. Ezt a felírást 5 + x = 14 egyenletnek hívjuk, az x-et pedig ismeretlennek. ismeretlen 5 + x = 14 MEGJEGYZÉS egyenlôség: 5 + 9 = 14 egyenlet: 5 + x = 14 az egyenlet bal oldala az egyenlet jobb oldala Oldjuk meg Anna egyenletét! 5 + x = 14. x = 9, mert 5 + 9 = 14 Ha az ismeretlen helyére beírjuk a helyes értéket, vagyis az egyenlet megoldását, akkor igaz állítást kapunk. Az egyenlet bal és jobb oldala ebben az esetben egyenlô. Így ellenôrizhetjük, hogy jó megoldást kaptunk-e. Az egyenlet megoldása 9. Bencének még 9 ablakot kell megtisztítania. Az egyenlet olyan nyitott mondat, amely egyenlôségjelet tartalmaz. A hiányzó értéket ismeretlennek nevezzük. Az ismeretlent az ábécé bármelyik betûjével jelölhetjük. Az egyenlet megoldása az a szám, amelyet az ismeretlen helyére beírva az egyenlet két oldala egyenlô. Az egyenlet megoldása 194