A folyáshatár hőmérsékletfüggése intermetallikus ötvözetekben

A folyáshatár hőmérsékletfüggése intermetallikus ötvözetekben Cserti József Eötvös Loránd Tudományegyetem Szilárdtest Fizika Tanszék Kandidátusi értekezés 1993

. Köszönetnyilvánítás Köszönetemet szeretném kifejezni Prof. V. Viteknek, aki a dolgozatomban leírt munkámat írányította és a magas szintű munkafeltételeket bizosította számomra. Hálás vagyok Dr. M. Khanthanak, akivel a kutatásaim legnagyobb részét végeztem. Külön köszönet illeti Dr. Tichy Gézát, aki mindvégig bátorított a dolgozat megírásában és a kézirat gondos átolvasásával, tanácsaival segítette a munkámat. I

II

Tartalomjegyzék. Köszönetnyilvánítás............................... I 1. Bevezetés 1 2. Áttekintés 5 2.1. A folyáshatár az L1 2 és a DO 19 ötvözetekben................ 6 2.2. Az atomok közti kölcsönhatás jellege ötvözetekben............. 14 2.3. Általánosított rétegződési hibák, γ-felületek................. 19 2.4. Egyenes diszlokációk elmozdulástere anizotrop közegben.......... 23 2.5. Diszlokációtársulások L1 2 és DO 19 ötvözetekben............... 28 3. A diszlokációk magszerkezetének szimulációja L1 2 ötvözetben 31 3.1. Számítási módszer [53, 54]........................... 32 3.2. L1 2 ötvözet az {111} síkon metastabil CSF hibával: (Ni 3 Al) [53, 54]... 34 3.3. L1 2 ötvözet az {111} síkon instabil CSF hibával: (Cu 3 Au) [53, 54].... 38 4. A diszlokációk magszerkezetének szimulációja DO 19 ötvözetben 41 4.1. A potenciál kiszámítása DO 19 kristályszerkezetben [60, 61]......... 42 4.2. Síkhibák stabilitása: γ-felületek [60, 61]................... 48 4.3. Az 1/3[ 12 10] szuperparciális magszerkezete DO 19 kristályszerkezetben [60, 61]........................................ 54 4.4. A DO 19 hexagonális és az L1 2 köbös szerkezetű anyagok plasztikus tulajdonságainak diszkussziója [53, 60, 61].................... 58 5. A folyáshatár hőmérsékletfüggésének egy modellje L1 2 ötvözetekre 61 5.1. A mozgó diszlokációk megakadásának folyamata [67, 69].......... 62 5.2. A diszlokáció elszakadása a rögzítési pontoktól [68, 69]........... 71 5.3. A modell alkalmazása Ni 3 Al és Ni 3 (Al, Ta) ötvözetekre [67, 68, 69].... 81 III

6. Összefoglalás 89 IV

1. fejezet Bevezetés Napjainkban az anyagok mechanikai tulajdonságainak kutatásában előtérbe kerültek a fémközi vegyületek, más néven intermetallikus ötvözetek, mint például Ni 3 Al, Pt 3 Al, Ti 3 Al, Al 3 Ti stb. A kísérletek szerint ezen anyagok közül többnek a mechanikai szilárdsága, azaz a folyáshatára nő a hőmérséklet növelésével. Az ilyen ötvözetekben az egyik alkotó gyakran az alumínium és ezért sűrűségük jóval kisebb, mint a hagyományos acél-ötvözetek sűrűsége. Ezekkel a tulajdonságokkal rendelkező anyagok kiválóan alkalmasak a magas hőmérsékletnek és nagy mechanikai igénybevételnek kitett eszközök pl. turbina lapátok gyártásához. A kerámiák rigedségük miatt nem alkalmazhatók kritikus helyeken és így az intermetallikus ötvözetek látszanak igen igéretesnek. A fémek mechanikai tulajdonságai sokszor javíthatók úgy is, hogy különféle feszültségeknek teszük ki ezeket és így a megmunkálás megkeményíti az anyagot. A jelenség magyarázata a fémek kristályszerkezetében rejlik. Egy adott fém mechanikai tulajdonságait a bennük lévő hibák, azaz a kristályban található atomi rétegek kapcsolódásainak az ideális esettől való eltérése határozza meg. Ez a felismerés a harmincas évektől kezdődően egyre intezívebb kutatást eredményezett ezen a területen. Ma már az anyagtudomány kutatói előre megtervezett módon hozzák létre a különböző hibákat a fémes kristályban, hogy a céljuknak megfelelő tulajdonságokkal rendelkező anyagokat állítsanak elő. A fémek ötvözésével más fématomok hozzáadásával újabb tipusú hibák is létezhetnek az ötvözetben. Ezzel megnő a lehetőség a még bonyolultabb hibaszerkezetek kialakítására és így szinte rendelésre tervezett ötvözetek állíthatók elő. Természetesen egy ilyen technológiai művelethez az adott ötvözet mikroszerkezetének és a deformáció következtében fellépő atomi átrendeződéseknek a pontos ismeretére van szükség. Az anyagok képlékeny tulajdonságai sok esetben magyarázhatók a bennük lévő diszlokációk mozgásá- 1

val. Ötvözetekben a rétegződési hibák és a különféle diszlokáció-tipusok mozgékonysága együttesen határozzák meg azok plasztikus tulajdonságait. Itt jegyezzük meg, hogy ebben a dolgozatban az anyagok képlékeny (plasztikus) tulajdonságai közül csak a folyáshatár hőmérsékletfüggését tanulmányozzuk az egykristályok diszlokáció-reakcióira korlátozódva; nem célunk más plasztikus tulajdonság vizsgálata, mint pl. a folyásfeszültségnek a deformációtól való függése. Az ötvenes években kiderült, hogy az anyag plasztikus viselkedésében alapvető szerepe van a diszlokációk magszerkezetének, azaz a diszlokáció vonalának néhány atomtávolságon belüli tartományában lévő atomok elrendeződésének. A külső mechanikai feszültség hatására a diszlokáció elmozdul eredeti helyéről és ezt a mozgást a diszlokáció magszerkezete nagymértékben befolyásolja. Korábban a diszlokációknak, mint vonalhibáknak egy a rugalmasságtan alapján jól kidolgozott elméletével sikerült megmagyarázni az anyagok plasztikus viselkedésének főbb vonásait. Azonban a diszlokációk rugalmasságtani leírása nem alkalmas a vonalhiba közelében lévő atomi elrendeződések kiszámítására és ilymódon a diszlokáció magszerkezetét sem lehet figyelembe venni. Az egyre nagyobb kapacitású számítógépekkel több száz, ma már néhány ezer atomot tartalmazó kristályban lehet vizsgálni a különféle rétegződési hibákat és diszlokációkat ill. azok magszerkezetét. Egy új vizsgálati módszer kezdődött ezen a területen, amelyet a témában közölt publikációk emelkedő száma is mutat. Az ilyen jellegű kutatásokban alapvető kérdés az atomok közti kölcsönhatás ismerete, amely a fémek elektronszerkezetének mind pontosabb leírását eredményezi. Ma már számos törekvés irányul arra, hogy az ún. első elvek alapján (csak kevés számú bemenő paraméterrel) származtassák a potenciálokat. Az atomi kölcsönhatásokat ismerve tanulmányozhatók a különböző rácshibák és így az anyag mikroszerkezetéből a makroszkopikus tulajdonságokra lehet következtetni. Természetesen a számítógépes lehetőségek növekedésével a vizsgálható kérdések köre is bővül. Ebben a dolgozatban az intermetallikus ötvözetek plasztikus tulajdonságai közül csak a folyásfeszültség hőmérsékletfüggésével foglalkozunk. Nem célunk az alakítási keményedés részleteinek tanulmányozása. A dolgozatban az A 3 B típusú fémközi vegyületek közül is csak az L1 2 és DO 19 kristályszerkezetű anyagokat vizsgáljuk. Azonban számos más rácsszerkezetű intermetallikus ötvözet is létezik. Nemrégiben jelent meg Yamaguchi és Umakoshi kitűnő összefoglalója az intermetallikus ötvözetek deformációs viselkedéséről [1]. A dolgozat áttekinti a lehetséges kristályszerekezeteket és a különböző anyagok 2

plasztikus tulajdonságainak kísérleti eredményeit. Mivel a terjedelmes cikk ismertetése nem lehet feladatunk, itt csak röviden említjük meg a sok fajta kristályszerkezet általuk történő felosztását: 1. Az fcc alapú szuperrácsok (a) L1 2 (b) L1 0 (c) L1 2 -ből származtatott hosszú periódusú rácsok (DO 22, DO 23 ) 2. A bcc alapú szuperrácsok (a) B 2, DO 3, L2 1 (b) C11 b 3. hcp alapú szuperrácsok (a) DO 19 (b) DO a Az egyes kristályszerkezetek elemi cellája megtalálható ebben az összefoglalóban. Számos ötvözet kristályosodik az egyes kristályszerkezetben, ezeket elméleti úton vagy számítógépes szimulációkkal a dolgozatban leírt módon tanulmányozzák és mindezzel párhuzamosan intenzív kísérleti kutatás is folyik. Ezen anyagok közül több mutat anomális viselkedést a folyásfeszültségben, ami technológiai szempontból nagy érdeklődést vált ki világszerte. A következő fejezetben áttekintjük azokat a legfontosabb kísérleti eredményeket és módszereket, amelyek meghatározók ezen a területen és amelyet mi is felhasználtunk a kutatásainkban ill. a későbbi fejezetek ismertetésében. Az új tudományos eredményeinket a dolgozat 3 5. fejezeteiben ismertetjük. A 3. fejezetben az L1 2 kristályszerkezetű ötvözetekben található diszlokációk és azok magszerkezetének numerikus módszerrel történő vizsgálatát mutatjuk be. A 4. fejezetben megadjuk azt a módszert, amellyel az atomi kölcsönhatást származtattuk a DO 19 kristályszerkezetű anyagban. Ezt a potenciált használva tanulmányoztuk a különböző diszlokációk magszerkezetét ill. bizonyos következtetéseket vontunk le az ilyen rácsszerkezetű ötvözetek plasztikus viselkedését illetően. 3

A 5. fejezetben ismertetjük azt a modellt, melyet az L1 2 szerkezetű Ni 3 Al ötvözet folyásfeszültségének anomális hőmérsékletfüggésére dolgoztunk ki. A dolgozat utolsó fejezetében foglaljuk össze a kapott tudományos eredményeinket. 4

2. fejezet Áttekintés 5

2.1. A folyáshatár az L1 2 és a DO 19 ötvözetekben Az anyagok fizikai és a mechanikai tulajdonságait az anyagban lévő kiterejedt kristályhibák, mint pl. diszlokációk, szemcsehatárok, a különböző fázisok közötti határfelületek stb. nagymértékben befolyásolják. Bizonyos esetekben a mechanikai tulajdonságokat jól lehet magyarázni makroszkópikus modellekkel, a lineáris rugalmasságtan alkalmazásával. Jó példa erre a diszlokációk rugalmasságtani elmélete, mellyel sok kérdést sikerült tisztázni. A területnek kitünő áttekintése található Hirth és Lothe [2], Nabarro [3] ill. Kovács István és Zoldos Lehel magyarul megjelent művében [4]. A kristályos anyag plasztikus viselkedését általában az anyagban lévő diszlokációk mozgása határozza meg. Az anyag deformálhatóságának egyik fontos jellemzője az ún. folyáshatár. A külső erőhatásnak (pl. húzás, nyomás, csavarás) bizonyos küszöbértéke alatt az anyag rugalmasan deformálodik, azaz az erőhatás megszüntetésével visszanyeri eredeti állapotát. Ha azonban az erőhatás nagyobb az anyagra jellemző küszöbértéknél, akkor a deformáció maradandó lesz, az alakítás képlékeny. Ezt a küszöbértéket folyáshatárnak nevezik. A gyakorlatban a folyáshatárt egy előre megadott plasztikus deformációhoz tartozó feszültséggel azonosítják. Elsőként lapcentrált köbös (fcc) anyagok folyáshatárát tanulmányozták. A diszlokációknak az időközben jól kidolgozott elméletével kitünően meg tudták magyarázni azt a tényt, hogy ezekben az anyagokban a folyáshatár elég alacsony és közel független a hőmérséklettől. A szennyezések hatására a folyáshatár növekszik, míg a hőmérséklet növelésével fokozatosan csökken egy bizonyos értékig, majd állandó marad a hőmérséklet függvényében. Tércentrált köbös anyagban (bcc) a folyáshatár hasonlóan viselkedik a hőmérséklet növelésével, mint a szennyezett lapcentrált köbös anyagokban. Így sokáig úgy vélték, hogy a bcc kristályszerkezetű anyagok plasztikus viselkedése is magyarázható a külső szennyezők jelenlétével, ám a tiszta, szennyezőktől mentes bcc anyagok folyáshatára is jóval nagyobb, mint a lapcentrált köbös anyagoké. A számítógépes szimulációkkal sikerült megmutatni, hogy a diszlokácók magszerkezete a felelős a bcc anyagok plasztikus viselkedéséért [5, 6]. A diszlokáció magja három egymással 120 -ot bezáró irányban hasad fel és így nagyobb külső feszültség hatására lehet a diszlokációt elmozdítani. A bcc anyagok plasztikus viselkedésében a diszlokáció magjának felhasadása ugyanazt a szerepet játsza, mint amit az fcc anyagoknál a szennyezők. Megfigyelték egyes egykristályokon végzett kísérletekben, hogy a folyáshatár irány- 6

függő és jól magyarázható a Schmid-törvénnyel [7]. A mai ismereteink alapján ezt úgy fejezzük ki, hogy a diszlokáció mozgatásához szükséges csúsztató feszültség (resolved shear stress) τ rss = ˆbσn, (2.1) ahol σ a rendszerre ható feszültségtenzor, n a csúszási sík normálvektora, a ˆb egységvektor és a Burgers-vektor irányába mutat. A lapcentrált köbös rácsban a négy {111} síkon három különböző Burgers-vektor összesen 12 csúszási rendszert eredményez, és mindegyikhez egy τ rss csúsztató feszültség tartozik. A külső feszültség növelésével a legnagyobb τ rss érték átlépi az ún. τ crss kritikus csúsztató feszültség értékét és ekkor a maximális τ rss - hez tartozó csúszási rendszer aktívizálódik. Ezen csúszási rendszer megadja azt a síkot, amelyen azok a diszlokációk mozdulnak el, melyeknek a Burgers-vektora ezt a csúszási rendszert határozza meg. Így az anyagok folyáshatárát a τ crss -sel adhatjuk meg. A továbbiakban a kutatások középpontjába került a diszlokációk magjának vizsgálata. A diszlokációknak a rugalmasságtan kontinuum elméletével történő leírása nem alkalmazható a diszlokáció vonalának közelében, ahol az elmélet szerint a fizikai mennyiségek szingulárisak. Másrészt a kontinuum elmélet nem veszi tekintetbe a rács szerkezetének részleteit (kivéve a rugalmas állandók anizotropiáját). A diszlokáció elmozdításához szükséges feszültség kiszámításához figyelembe kell venni a diszlokáció magját is. Az első ilyen elméletet Frenkel és Kontorova [8] dolgozta ki, majd Peierls [9] és Nabarro [10] fejlesztette tovább. A végső modelljük alapján a diszlokáció mozgatásához szükséges τ p kritikus csúsztató feszültség (más néven Peierls-feszültség) τ p = 2G α e 4πξ b, (2.2) ahol G a nyírási rugalmassági együtható, b a Burgers-vektor abszolút értéke, α = 1 csavar-, illetve α = 1 ν éldiszlokációra (ν a Poisson szám), ξ a diszlokáció magjának szélessége. Feltételezve, hogy ξ b és ν = 1/3, τ p = 10 5 G adódik. J. Friedel [11] szerint ez olyan kicsi érték, hogy már a termikus fluktuációk is mozgathatnák a diszlokációt. Az eredeti Peierls Nabarro-modellben ξ = d/2α, ahol d a szomszédos kristálysíkok közti távolság. Ebből következik, hogy a mag szélessége a szoros illeszkedésű síkban a legnagyobb és a csúszás síkja is ez a sík lesz. Taylor és munkatársai [12, 13] megmutatták, hogy ez az állítás általában nem mindig igaz. Az atomisztikus számolásokkal elsőként V. Vitek tanulmányozta a bcc kristályban az 1/2 < 111 > Burgers-vektorú csavardiszlokáció magjának szerkezetét [5, 6, 14]. Az 7

eredmények segítségével sikerült tisztázni a bcc fémek plasztikus tulajdonságainak főbb vonásait [14]. Azóta a diszlokációk magjának atomisztikus számolásokkal történő vizsgálata igen elterjedt módszernek bizonyult. A deformáció hatására az atomok elmozdulnak eredeti helyükről, a diszlokáció magjában az atomok átrendeződnek. A jelenség modellezésére nagyteljesítményű számítógépekre van szükség. Ma már az anyagok plasztikus viselkedésének számos kérdését sikerült tisztázni a diszlokációk magjának felhasadását tanulmányozva. A területnek rendkivül nagy irodaloma van, így itt csak Tichy Géza művét említjük, amelyben a kitünő összefoglalás mellett bőséges hivatkozás található az eredeti munkákra [14]. Ugyanebben a munkában található a tiszta fémek plasztikus deformációjának legfontosabb osztályainak (lapcentrált köbös fémek, szoros illeszkedésű hexagonális kristály, tércentrált köbös anyagok) ismertetése is. Ebben a dolgozatban az ún. L1 2 és DO 19 kristályszerkezetű ötvözetekkel kapcsolatos kutatásainknak az eredményeit tárgyaljuk. A kapott eredmények ismertetése előtt tekintsük át az ilyen kristályszerkezetű anyagok esetében a folyáshatárral kapcsolatos fontosabb kísérleti tényeket. Mindkettőben a kétfajta fématom rendezett módon helyezkedik el, összetételük az A 3 B szerkezeti képlettel írható le. Az ilyen anyagokat rendezett kétalkotós ötvözeteknek hívják. A folyáshatár L1 2 kristályokban Az A 3 B szerkezeti képletű rendezett L1 2 ötvözet rácsa a lapcentrált köbös anyagok kristályszerkezetéből származtatható úgy, hogy a csúcsokon B típusú atomok és a lapközepeken pedig A típusú atomok helyezkednek el. A rácsszerkezet az 2.1 ábrán látható. A legismertebb L1 2 ötvözetek: Ni 3 Al, Ni 3 Se, Ni 3 Ge, Zn 3 Ti, Zn 3 Al, Pt 3 Al, Cu 3 Au. Az L1 2 ötvözetben a kisebbségi atomok kis fajsúlyú, nagy rácsállandójú fém vagy metalloid atomok, míg a többségi atomok minden esetben jóval kisebb rácsállandójú fématomok. Az ötvözet rácsállandója lényegében megfelel a többségi atom rácsállandójának. A plasztikus tulajdonságaikat tekintve két osztályba sorolhatók: az egyik Ni 3 Al-hoz hasonló, a másik a Pt 3 Al-hoz hasonló viselkedést mutat. A 2.2 és a 2.3 ábrán a folyáshatár hőmérsékletfüggése látható a két osztálynak megfelelően. A 2.2 ábra a Ni 3 Al osztályába sorolható ötvözetek [15], míg a 2.3 ábra Pt 3 Al és annak az osztályának plasztikus viselkedését mutatja [16]. A két osztály között a leg- 8

2.1. ábra. Az L1 2 kristályszerkezet. Az A 3 B képletű rácsban a fehér körök az A, a fekete körök a B atomokat jelképezik. fontosabb eltérés, hogy az előbbiben a folyáshatár hőmérséklet görbének maximuma van; a hőmérséklet növelésével a folyáshatár anomális módon más anyagok viselkedésével ellentétben növekszik egy bizonyos hőmérsékletig és csak utána csökken [17, 18]. Az egyik legtöbbet vizsgált L1 2 ötvözet az Ni 3 Al, amely a következő kísérletileg kimutatott tulajdonságokkal rendelkezik: 1. A folyáshatár maximumának megfelelő hőmérséklet alatt az < 110 > {111} csúszásrendszer, míg fölötte az < 110 > {001} aktív [19]. 2. Főleg egyenes csavardiszlokációkat találunk az elektronmikroszkópos felvételeken [20, 21]. 3. A csúcs hőmérséklete és nagysága erősen függ az egykristálynak az alkalmazott külső feszültséghez viszonyított irányítottságától, és attól, hogy a terhelés húzás vagy nyomás [17]. Azokban az anyagokban (pl. Cu 3 Au), ahol a rend rendezetlen fázisátalakulás hőmérséklete alacsony, a folyáhatár hőmérséklet görbén található csúcs azzal magyarázható, hogy a rendezetlenség növekedésével egyre több akadály keletkezik, amelyek gátolják a diszlokációk mozgását. Ez a magyarázat a többi ötvözetre (pl. Ni 3 Al) nem helytálló, mivel a folyáshatár maximumához tartozó hőmérsékleten az ötvözet még rendezett. Ezek 9

2.2. ábra. A folyáshatár hőmérsékletfüggése Ni alapú L1 2 ötvözetben. az intermetallikus ötvözetek még az olvadási hőmérsékleten is erősen rendezettek. Nem lehet a jelenséget azzal sem magyarázni, hogy az anyagban kialakuló diszlokáció erdő akadályozza a diszlokációk mozgását. Az L1 2 rácsban a legrövidebb Burgers-vektor a < 100 > vektor, de az (111) síkon mozgó szuperdiszlokáció Burgers-vektora még ennél is nagyobb (< 101 > vektor). Ez jóval hosszabb az fcc anyagban található 1/2 < 101 > Burgers-vektornál. Ismeretes, hogy egy diszlokáció keltéséhez szükséges energia arányos a Burgers-vektor abszolútértékének négyzetével, ezért az L1 2 kristályban nagyobb energiára van szükség a diszlokáció-erdő kialakulásához, mint az fcc anyagban. Ezen anyagok mechanikai szilárdságának anomális viselkedése a hőmérséklet függvényében egy belső mechanizmusra, a diszlokáció magszerkezetének az átalakulására vezethető vissza. A dolgozatban az egykristályokban lejátszodó diszlokáció reakciók és a diszlokációk magszerkezetének tanulmányozásával probáljuk értelmezni ezt az anomális viselkedést. Numerikus számolásokkal sikerült tisztázni az L1 2 anyagokban lévő hosszú egyenes csavardiszlokációk magjának lehetséges szerkezeti átalakulásait. Az L1 2 ötvözetekkel kapcsolatos számítógépes szimulációk és elméleti megfontolások eredményeit a 3. és az 5. fejezetben ismertetjük. 10

2.3. ábra. A folyáshatár hőmérsékletfüggése Pt 3 Al egykristályban. A folyáshatár DO 19 kristályokban A dolgozat 4. fejezetében részletesen ismertetjük a DO 19 kristályszerkezetű ötvözetek plasztikus tulajdonságainak vizsgálatában elért eredményeinket. A DO 19 ötvözet úgy nyerhető az L1 2 -ből, mint a hexagonális szoros illeszkedésű rács a lapcentrált köbösből. A 2.4 ábra a DO 19 kristály szerkezetét mutatja. Az elemi cellában 8 atom van (6 A atom és 2 B atom). A hexagonális kristálynak az alapsíkjára merőlegesen háromfogású szimmetriája van. Ezt a szimmetriát tükrözi az ún. négyes indexelés [4]. Legyen a 1, a 2, a 3 az alapsíkon fekvő három egymással 120 -os szöget bezáró legrövidebb rácsvektor. Jelöljük a hexagonális rács alapsíkjára merőleges irányú legrövidebb rácsvektort c-vel. Ekkor feltéve, hogy i + j + k = 0 az [ijkl] négyindexes vektorjelölésből a következő képlettel lehet meghatározni a tényleges vektort: [ijkl] = ia 1 + ja 2 + ka 3 + lc. A négyes idexelésben az első három index összege mindig zérus. Az alapsík négyes idexelésben: (0001), a prizmatikus síkoknál a negyedik index mindig zérus, míg a piramidális síkokra ez az index nem zérus. 11

2.4. ábra. A DO 19 kristályszerkezet. Az A 3 B képletű rácsban a fehér körök az A, a fekete körök a B atomokat jelképezik. Itt jegyezzük hogy a DO 19 rácsban az indexelésekre az irodalomban is elfogadott szokást követjük, azaz a rácsállandókat és a Miller-indexeket a hexagonális rácsra vonatkoztatjuk és nem a DO 19 szerkezet elemi cellájára. Így pl. a DO19 = 2a hcp = 2a és c DO19 = c hcp = c (2.4 ábra). A legismertebb DO 19 kristályszerkezetű ötvözetek: Mn 3 Sn, Ti 3 Al, Mg 3 Cd, Cd 3 Mg, Ti 3 Sn. A DO 19 ötvözetek plasztikus tulajdonságai legalább olyan összetettek, mint az L1 2 anyagoké. Az Mn 3 Sn ötvözetekben is megfigyelték a folyáshatár hőmérsékletfüggésének anomális viselkedését az alapsíkon [22, 23]. Míg Mn 3 Sn-ben az alapsík az elsődleges csúszási sík, a Ti 3 Al-ban az {10 10} prizmatikus sík [24]. Mindkét esetben a csúszás iránya < 12 10 >. A 2.5 ábrán az Mn 3 Sn ötvözet folyáshatárának hőmérsékletfüggése látható adott orientáció mellett [23]. A folyáshatár anomális hőmérsékletfüggése szembeötlő. Ti 3 Al-ben a folyáshatár csökken a hőmérséklet növekedésével, mind az alap, mind a prizmatikus síkon. A piramidális síkon azonban az {11 21} < 1 120 > csúszási rendszer erősen anomális hőmérsékletfüggést mutat, és a maximális feszültség 1000 K hőmérséklet körül van [24]. A 4. fejezetben számítógépes szimulációval vizsgáljuk egy általunk szerkesztett modell-potenciál segítségével a DO 19 kristályban a különböző diszlokáció-magszerekezeteket. 12

2.5. ábra. A folyáshatár hőmérsékletfüggése Mn 3 Sn-ben. Azonban ezeknek az anyagoknak a folyáshatár hőmérsékletfüggését még nem sikerült egy megbízható elmélettel magyarázni és további kutatásokra van szükség. 13

2.2. Az atomok közti kölcsönhatás jellege ötvözetekben Az anyagok makroszkópikus tulajdonságait a bennük lévő mikroszkópikus folyamotok hozzák létre. A kristályos anyagok számos tulajdonsága csak egy mikroszkópikus modell segítségével érthető meg, és így a kristályszerkezet ill. a hibák atomi leírására van szükség. Az egyik legjellemzőbb példa az anyagok plasztikus deformációja, amelynek mint 60-as években már kiderült több jellemzője nem magyarázható a diszlokációk kontinuum elméletével. A kísérleti eredmények eltérést mutattak a Schmid törvénytől tércentrált köbös szerkezetű fémekben, intermetallikus ötvözetekben a folyásfeszültség anomális hőmérséklet-függését figyelték meg (áttekintő irodalom: [25, 26, 27]). A kristályban található kiterjedt hibák atomisztikus modellezéséhez ismerni kell az atomok közti kölcsönhatást. Különböző módon lehet származtatni a kölcsönhatásokat (potenciálokat). Lehet kevés számú kísérleti adatból teljesen elméleti megfontolások alapján szerkeszteni potenciált. A kvantummechanika keretén belül az első elvekből kiindulva adiabatikus közelítéssel elvben megkaphatjuk az atomok közti kölcsönhatást leíró potenciált. Azonban ez a gyakorlatban nehezen véghezvihető módszer, hiszen a vizsgált rendszer általában több ezer atomot tartalmaz; ezért közelítésekre és egyszerűsítő feltevésekre van szükség. Az ún. félempirikus potenciálok esetén a függvényalakot elméleti alapon határozzuk meg, míg a bennük szereplő paramétereket a kísérleti adatokhoz illesztjük (kohéziós energia, vakancia-képződési energia, rugalmas együtthatók, síkhibák energiái). Végül a potenciál lehet teljesen empirikus, amikor nagy számú kísérleti adathoz illesztjük a potenciált. Elsőként a párpotenciált használták a kristályhibák modellezésére, melynek két fajtáját mutatjuk be. A Lennard Jones [28] potenciál V (r) = A r n B r m, (2.3) ahol n = 12, m = 6 választás a leggyakoribb. A másik az ún. Morse potenciál [29] ( ) V (r) = V 0 e 2α r r 0 r 2e α r r 0 r. (2.4) Belátható [14], hogy párpotenciál esetén mindig teljesül a Cauchy reláció, mely pl. köbös kristályra C 1122 = C 1212 ; vagyis C 12 = C 44. (2.5) Ez az összefüggés ionkristályra elég jól teljesül, de fémekre jelentős az eltérés. Fémek esetében a pszeudópotenciál közelítés [30, 31] ad jó leírást. Az ilymódon leszármaztatott 14

potenciál két tagból áll; az egyik párpotenciálok összege, míg a másik egy térfogattól függő tag E = 1 W (r ij ) + E 1 (V ), (2.6) 2 ij ahol r ij az i és a j atomot összekötő vektor, V a kristály térfogata. A térfogatfüggő tag bevezetésével a Cauchy reláció már nem teljesül és ekkor C 1122 C 1212 = 2 E 1 V 2 V 0 + 2 E 1 V. (2.7) Így lehetségessé vált az összes rugalmas együtthatóra illeszteni a potenciál paramétereit. Ezzel a módszerrel kapott potenciálokat alkalmazták különböző kristályhibák (diszlokációk, rétegződési hibák, szemcsehatárok) vizsgálatára [32, 33, 34]. Azonban ez a fajta potenciál csak akkor ad jó eredményt, ha az anyag sűrűsége nem függ a helytől, hiszen a teljes anyag térfogata szerepel benne. Legtöbb számítógépes szimulációban a térfogat rögzített és így a térfogatfüggő tag nem játszik szerepet a számolás során; hasonló eredményeket kapunk, mintha párpotenciállal számoltunk volna. Jelentős előrelépés történt ezen a területen egy ún. soktest kölcsönhatást leíró potenciál bevezetésével, amellyel a lokális elektronsűrűség hatása vehető figyelembe. Két egymástól független megközelítés terjedt el: a beágyazott atom módszer (Embededd atom method, EAM) [35, 36] és a szorosan kötött elektron-közelítésen alapuló Finnis Sinclairmodell (FS)[37]. A két potenciálnak hasonló alakja van E = 1 V (r ij ) f(ϱ i ), (2.8) 2 ij i ahol ϱ i = Φ(r ij ). (2.9) i Az első tag az ionokból származó taszító jellegű párpotenciál, a második tag az elektronok által létrehozott vonzó jellegű potenciál, mely azonban nem párpotenciál. A ϱ i fizikai interpretációja különböző az EAM ill. az FS tipusú potenciálok esetében. Az előbbiben ϱ i a környező atomok által létrehozott elektronsűrűség az i-dik beágyazott atom helyén és a (2.9) egyenletnek megfelelően a Φ(r ij ) párpotenciálok összegével egyenlő. Az i-dik rácspontban lévő atom energiája ebben a közelítésben megegyezik a homogén ϱ i töltéssűrűségű elektrongázba ágyazott atom energiájával. Az f függvény alakja a beágyazott atom tipusától függ. Az FS potenciál esetében a Φ(r ij )-k a szorosan kötött elektron-közelítésben szereplő átfedési integrálok függvényei és az f függvény a négyzetgyök függvénnyel azonos. 15

Ebben a dolgozatban a Finnis Sinclair-potenciált használtuk a rácshibák modellezésére. A (2.8) egyenletben a második tagot Finnis és Sinclair eredetileg a szorosan kötött elektron-közelítésből származtatta le. Egy ettől eltérő származtatást mutatott be Tichy Géza [14]. Most egy vele közösen kidolgozott újabb származtatást ismertetünk. Legyen az elektron energiája egy adott atomon E 0 és az ugrási tag az i-dik atomról a j-dik atomra K ij, ekkor a Hamilton-operátor atomhely reprezentációban [14] E 0 K 12... K 1N K 21 E 0... K 2N Ĥ =....... (2.10) K N1 K N2... E 0 A Hamilton-operátorban K ij ugrási tagok kis perturbációnak tekinthetők a diagonális elemekhez képest Ĥ = Ĥ0 + Ĥ, (2.11) ahol és a perturbáció (Ĥ0) ij = E 0 δ ij (2.12) 0 K 12... K 1N Ĥ K 21 0... K 2N =....... (2.13) K N1 K N2... 0 Alkalmazzuk a kevésbé ismert Brillouin Wigner-féle pertubációszámítást [38], mely szerint második közelítésben az energia-sajátértékek: E i = E 0 i + Ĥ ii + i j Ĥ ij 2. (2.14) E i Ej 0 Itt Ĥ ij a Ĥ operátor mátrixeleme a Ĥ0 operátor sajátfüggvényei szerint. Fontos megjegyezni, hogy a perturbációs sorban az egyes tagok nevezőjében is ugyanaz az E i energia szerepel, mint ami az egyenlet bal oldalán van. Ez a leglényegesebb különbség a közismertebb Rayleigh Schrödinger-féle perturbációszámításhoz képest. (2.12)-ból látható, hogy Ei 0 = E 0 minden i-re és a (2.14) egyenletet felhasználva a (2.10) Hamilton-operátor sajátértékeit meghatározó egyenlet a perturbáció másodrendjéig i j Ĥ ij 2 E i = E 0 +, (2.15) E i E 0 16

melyből az i-dik atom energiája (2.13) felhasználásával E i = E 0 K ij 2. (2.16) Mivel a feszültség és a rugalmas együtthatók kifejezésében a V (r ij ) potenciál első és második deriváltja jelenik meg [14], a második deriváltnak folytonosnak kell lenni. A leggyakoribb módszer, hogy a potenciál-függvényt szakaszonként harmadrendű polinomokból állítják elő. Ezzel a numerikus számításokat lehet gyorsítani egy többszáz vagy ezer atomot tartalmazó blokk esetében, hiszen ilymódon az atomok közt fellépő erőket viszonylag gyorsan meghatározhatjuk. A potenciálokban szereplő paramétereket mindkét modellben úgy határozzák meg, hogy egy adott anyag esetén a rácsállandó, a kohéziós energia, a vakancia-képződési energia és a rugalmas együtthatók megegyezzenek a kísérletileg mért értékekkel. Az FS modell ötvözetekre való kiterjesztése esetén V és Φ függ az i-dik és a j-dik pontban lévő atom tipusától. Ebben a munkában a kétkompenensű ötvözeteket vizsgáljuk, így a V és a Φ párpotenciáloknak három különböző függvényére van szükség. Jelöljük ezeket V AA, V AB, V BB, Φ AA, Φ AB, Φ BB -vel, ahol az indexek az atom tipusára vonatkoznak. Feltesszük, hogy ezek a függvények függetlenek az ötvözet koncentrációjától és ezért V AA, V BB, Φ AA, Φ BB kifejezések a megfelelő tiszta fémre vonatkozó függvényekkel egyeznek meg [39, 40]. A Φ AB függvényt úgy választottuk meg, hogy az a Φ AA és a Φ BB mértani közepe legyen; összhangban az átfedési integrálok interpretációjával. Így a hat illesztendő függvény közül csak a V AB függvényt kell illeszteni az adott ötvözet tulajdonságaira. A potenciálok megszerkesztésénél az a cél, hogy reprodukálja: 1. a kristályszerkezetet 2. az ötvezet tulajdonságait, pl. rendezési energia 3. rugalmas együtthatókat és esetleg a fonon-spektrumot 4. az anyag bizonyos paramétereit (pl. rétegződési hiba energiája, vakancia-képződési energia, anti-fázisú határ energia). Az anyag fenti tulajdonságai az egyensúlyi állapotra jellemzőek; a lokális környezet nagyobb deformációi a rendszert a nemegyensúlyi állapotba viszik. Felmerül a kérdés vajon elegendő az anyag egyensúlyi állapotára jellemző fizikai mennyiségek illesztése vagy más szempontokat is figyelembe kell venni. A tapasztalat szerint az empirikusan megszerkesztett potenciáloknak biztosítani kell, hogy 17 i j

1. az adott kristályszerkezet stabil legyen a különböző szimmetriával vagy kémiai renddel rendelkező alternatív szerkezetekhez képest 2. mechanikailag stabil legyen a kis és nagy homogén deformációkkal szemben. Ilyen feltételek mellett elkerülhető a kiterjedt hibák körül kialakuló instabil, fizikailag nem magyarázható szerkezetek keletkezése. Sok atomisztikus számításban nem egy specifikus ötvözetet vizsgálnak, hanem bizonyos fizikai paramétereknek a kristályhibákra gyakorolt hatását tanulmányozzák. Ezért a megszerkesztett potenciálok nem egy kiválasztott anyagra jellemzőek, csak az előbb említett feltételeknek tesznek eleget. A 4.1 szakaszban a DO 19 szerkezetre illesztettünk potenciált a fenti elveknek megfelelelően. Végezetül megemlítjük, hogy történtek az első elvekből kiinduló számolások is [41, 42], melyek hasonló eredményeket adtak, mint amit a fél-empirikus FS potenciál alkalmazásával kaptak a rácsállandó ill. rugalmas együtthatókat illetően [40]. Sajnos a korlátozott számítógépes kapacitás miatt az így kapott potenciálokat még nem lehet hatékonyan alkalmazni a kiterjedt kristályhibák tanulmányozásában, ezért a fél-emprikus potenciálok használata még nélkülözhetetlen. 18

2.3. Általánosított rétegződési hibák, γ-felületek A síkhibák közül az ún. rétegződési hibáknak döntő szerepe van a diszlokációk felhasadásában [2]. Ezek az alábbiakban definiált általánosított rétegződési hibáknak speciális esetei. Vágjuk el a végtelen méretű kristályt egy síkjával párhuzamosan és toljuk el a felső 2.6. ábra. Az általánosított rétegződési hiba létrehozása adott kristálysíkon részt az alsóhoz képest egy adott f vektorral a vágási sík mentén, ahogy az a 2.6 ábrán látható. Az így keletkezett hibának az egységnyi felületre vonatkoztatott γ(f) energiája az ismert atomi kölcsönhatás alapján kiszámítható. Ebben a számolásban a rendszer energiáját úgy határozzuk meg, hogy az atomokat a rájuk ható erőnek a hiba síkjára merőleges irányú komponensével arányos módon elmozdítjuk, de a hiba síkjával párhuzamosan nem engedjük meg az atomok elmozdulását. A keletkezett új atomi elrendeződésben ismét kiszámítjuk az egyes atomokra ható erőket és újra elmozdítjuk az egyes atomokat az előzőhöz hasonló módon. Ezt a relaxációs folyamatot addig csináljuk, amíg az atomokra ható erőnek a síkra merőleges komponense kisebb nem lesz egy bizonyos kritikus érténél. Ekkor befejezzük az atomok további mozgatását, a relaxációt. A kapott atomi elrendezésből meghatározhatjuk a a rendszer teljes energiáját. Ha a teljes energiából levonjuk az ideális rács energiáját, akkor megkapjuk az f vektorral jellemzett általánosított rétegződési hiba energiáját. Ha a kristálysík ismétlési cellájában lévő összes f vektorra kiszámítjuk a megfelelő rétegződési hibának az egységnyi felületre vonatkoztatott energiáját a fenti relaxációs módszerrel, akkor egy energia elmozdulás felületet kapunk, amelyet γ-felületnek neveznek. Elsőként Vitek vezette be ezt a fogalmat a bcc szerkezetű fémekben lévő metastabil 19

rétegződési hibák tanulmányozására [6]. Ezen a felületen található lokális minimumok megadják a vizsgált síkon a lehetséges metastabil rétegződési hibákat. Itt jegyezzük meg, hogy az atomokat azért kell rögzíteni a vágási síkkal párhuzamos irányban, mert máskülönben az atomok elegendő idejű relaxáció után visszakerülnének az energia minimumot jelentő ideális kristályrácsnak megfelelő helyzetbe. Ugyanakkor ebben a számolásban az f vektor a γ-felület független változója és így feltétlenül rögzíteni kell a relaxáció során. A továbbiakban a kapott metastabil rétegződési hiba energiáját úgy lehet pontosabban kiszámítani, hogy most már megengedjük az atomoknak a vágási síkkal párhuzamos elmozdulását is. A tapasztalat szerint ez az energia csak kevéssel tér el a γ-felület alapján kapott értéktől, de a hibát jellemző vektor különbözhet a lokális minimum helyétől. Az összes lehetséges metastabil rétegződési hibát csak a megfelelő γ-felület kiszámításával kaphatjuk meg, azonban bizonyos esetekben a kristály szimmetriájából is következtethetünk ezek létezésére. Ha az f vektorral jellemzett általánosított rétegződési hiba esetén az ideális rácsban találunk egy tükörsíkot, amely átmegy az f vektor végpontján és merőleges a hiba síkjára, akkor a γ-felület iránymenti deriváltja zérus lesz a tükörsíkra merőleges irányban. Ha az adott f vektorhoz találunk legalább két ilyen nem párhuzamos tükörsíkot az ideális rácsban, akkor a γ-felületnek extrémuma (minimum, maximum vagy inflexiós pont) van a felület f pontjában, mivel a γ-felületnek az első deriváltja zérus lesz ebben a pontban. Az, hogy ez az extrémum megfelel egy minimumnak, gyakran a legközelebbi szomszédok közti kölcsönhatások nagyságából állapítható meg. Így a kristály szimmetriájából előre megtudhatjuk, hogy vajon léteznek-e metastabil rétegződési hibák az adott kristálysíkon. Természetesen egy ilyen analízisből nem lehet az összes metastabil rétegződési hibát megtalálni, mivel az atomi kölcsönhatások részleteitől függően lehetnek más, a szimmetriából nem következő metastabil helyek is a γ-felületen. Példaként megvizsgáljuk az L1 2 kristályszerkezet {111} ill. {001} síkjának megfelelő γ-felület speciális pontjait. A 2.7 ábra az atomok elrendeződését mutatja az (111) síkon. A kis körök az X atomot, a nagy körök az Y atomot reprezentálják az X 3 Y ötvözetben. A γ-felületet úgy kapjuk, hogy az A és a B réteg között elvágjuk a kristályt, majd a B és a fölötte lévő többi réteget eltoljuk egy f vektorral. A 2.7 ábrán három hibavektor látható: antifázisú határ (APB) f A = 1/2[1 10] elmozdulásvektorral, komplex rétegződési hiba (CSF) f C = 1/6[1 21] elmozdulásvektorral és a szuperrács intrinszik rétegződési hiba (SISF) f S = 1/3[1 2 1] elmozdulásvektorral. 20

2.7. ábra. Az atomok elhelyezkedése három szomszédos (A,B,C) (111) síkon L1 2 rácsban Amint a 2.7 ábrán látható az APB-nek megfelelő f A vektor esetén csak egy tükörsíkot találunk, amelyet m 1 -gyel jelöltünk és párhuzamos az 1/2[11 2] iránnyal. Így nem következik a szimmetriából, hogy az APB az (111) síkon metastabil hiba. Azonban alkalmaztak olyan potenciálokat, amikor az APB instabil volt [43, 44]. Másrészt még ha az APB metastabil is, a megfelelő hibavektor nem feltétlenül egyezik meg a 1/2[1 10] vektorral; lehet az [11 2] vektorral párhuzamos komponense is [43]. A CSF hiba esetén is csak egy tükörsíkot találunk: az m 3 -mal párhuzamos és az f C vektor végpontján megy át. A CSF vagy stabil vagy instabil az adott potenciáltól függően [43, 44]. Más a helyzet az SISF hiba esetén. Három az (111) síkra merőleges tükörsíkot találunk ekkor, melyeket a 2.7 ábrán m 1, m 2, m 3 -mal jelöltünk. A γ-felületnek extrémuma van az f S pontban és mivel az első és második legközelebbi szomszédok szeparációja ill. stöchiometriája nem változik az ideális rácshoz képest, ez a pont valószínűleg minimum pont a felületen. Így az SISF metastabil hiba bármely L1 2 szerkezetben kristályosodó anyagban megtalálható. Különböző potenciálokat alkalmazva a γ-felületen az SISF hiba minden esetben minimumhely [43, 44, 45]. L1 2 szerkezetben a (001) síkon egyszerűbb a helyzet. Két tükörsík található az f = 1/2[1 10] hibavektorhoz, amelyek merőlegesek a (001) síkra és párhuzamosak az [1 10] és az [110] iránnyal. Ezért a γ-felületnek extrémuma van az f pontban és a szomszédok 21

közötti kölcsönhatásokat figyelembe véve valószínűleg minimum [43, 44, 45]. DO 19 kristályszerkezetben az alapsíkon az L1 2 szerkezetben kapott γ-felülethez hasonló eredmény várható, mivel az atomok elrendeződése azonos. A DO 19 ráccsal kapcsolatos eredményeket részletesen tárgyaljuk a 4. fejezetben. Szimmetria-megfontolások alapján előre megállapíthatjuk a γ-felület szélsőértékeinek helyét. A γ-felület ismeretében meghatározhatók a lehetséges metastabil rétegződési hibák, amelyek vagy a kristály szimmetriájából következnek, vagy az atomi kölcsönhatások jellegéből adódnak. Az utóbbi esetre látunk példát a DO 19 kristályszerkezet prizmatikus síkjára vonatkozó γ-felület esetében. Ha az atomok között párkölcsönhatást teszünk fel, akkor a rétegződési hibák energiája kifejezhető az AA, BB, AB atomok közti párpotenciálokkal. Vezessük be a rendeződési energiát ˆV (k) = 2[ 1 VAA (r k ) + V BB (r k ) ] V AB (r k ), (2.17) ahol V αβ (r k ) a párpotenciál az α típusú atom és a tőle k-dik legközelebbi szomszédtávolságra (r k ) lévő β típusú atom között. Az alábbi táblázatban megadjuk a különböző síkhibák energiáját az L1 2 rácsszerkezetre [1]. Sík Hibavektor Hiba A hiba energiája 1/2 < 110 > APB (2 ˆV (1) 6 ˆV (2) )/ 3a 2 {111} 1/6 < 112 > CSF [2 ˆV (1) 6 ˆV (2) + +4V AA (r ) + 4V AB (r )]/ 3a 2 1/3[21 1] SISF 2[3V AA (r ) + V BB (r )]/ 3a 2 {001} 1/2 < 110 > APB 2 ˆV (2) /a 2 2.1 táb. A különböző síkhibák energiája L1 2 rácsban, a rácsállandó: a és r = (2/ 3)a. Hasonló számolást végeztünk a DO 19 kristályráccsal kapcsolatban is. A kapott eredményeket a 4.2 részben foglaltuk táblázatba. 22

2.4. Egyenes diszlokációk elmozdulástere anizotrop közegben Ebben a részben röviden áttekintjük a diszlokáció elmozdulásterének számítási módját az anizotrop anyagra vonatkozó rugalmasságtan elmélete alapján. Az elméletet elsőként Eshelby és társai [46] dolgozták ki 1953-ban, majd Foreman [47] megadta a diszlokáció energiájának számítási módját. Az elméletet Stroh [48], Spence [49], Chou [50] és mások fejlesztették tovább. Bizonyos értelemben különböző, de azonos eredményekre vezető új módszert dolgozott ki Seeger és Schoeck [51]. Eshelby számítási eljárását amelyett Hirth és Lothe [2] részletesen tárgyal könyvében az alábbiakban röviden ismertetjük. Lineáris közelítésben a σ ij feszültségtenzor és az ε kl deformációtenzor között a kapcsolat ahol ε kl = 1 2 σ ij = C ijkl ε kl, (2.18) ( uk x l + u l x k ). (2.19) Itt u k (x) az x pontban az elmozdulás vektor k-adik komponense és C ijkl együtthatók négyindexes tenzora. Az azonos indexekre összegezni kell. A σ ij feszültségtenzornak az alábbi egyensúlyi egyenleteket kell kielégíteni a rugalmas σ ij x j = 0 i = 1, 2, 3. (2.20) Válasszuk a koordinátarendszer x 3 tengelyét (z-tengely) párhuzamosan a diszlokáció vonalával és legyen a C ijkl rugalmas együtthatók tenzora ebben a rendszerben adott. Végtelen hosszú, egyenes diszlokáció esetén az elmozdulástér, a deformációtenzor és a feszültségtenzor függetlenek x 3 -tól. A probléma egyszerűsítése érdekében a következő konvenciót vezetjük be: az α és β indexek az 1,2 értéket, míg az i és j indexek az 1,2,3 értéket vehetik fel. A fenti konvenciót használva a (2.18) és (2.19) egyenletekből nyerjük σ iα = C iαkβ u k x β, (2.21) ahol kihasználtuk a C ijkl tenzor jól ismert szimmetria tulajdonságait C ijkl = C jikl = C ijlk C ijkl = C klij. 23

Behelyettesítve (2.21)-t a (2.20) egyensúlyi egyenletbe, az u k elmozdulásra a következő parciális differenciálegyenletet kapjuk C iαkβ Keressük az egyenlet megoldását az alábbi alakban 2 u k = 0 i = 1, 2, 3. (2.22) x α x β u k = A k f(η), (2.23) ahol η = x 1 + px 2 (2.24) és ahol p ill. A k konstansok. A fenti megoldást (2.22)-be írva [ Ci1k1 + (C i1k2 + C i2k1 )p + C i2k2 p 2] A k 2 f η 2 = 0 (2.25) egyenletet kapjuk. A 2 f/ η 2 tényezővel egyszerűsítve az A k -ra vonatkozó három lineáris egyenlet a ik A k = 0, (2.26) ahol a ik = C i1k1 + (C i1k2 + C i2k1 )p + C i2k2 p 2. (2.27) Az egyenletnek akkor van triviálistól különböző megoldása A k -ra, ha az a ik 3x3-as mátrix determinánsa zérus. Ez hatodrendű egyenletet jelent p-re, melynek gyökei p n, n = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Minden p n -hez tartozik egy A k (n) megoldás, amely kielégíti a (2.26) egyenletet. Mivel a polinom együtthatói valós számok, a gyökök páronként komplex konjugáltak p 4 = p 1 p 5 = p 2 p 6 = p 3. Tekintve, hogy u k valós függvény a (2.23) egyenlet a következő alakba írható [ 3 ] u k = Re A k (n)f n (η n ). (2.28) n=1 f n három egyenlőre ismeretlen analitikus függvényt jelöl, amelyeket a határfeltételekből határozhatunk meg. Az u k elmozdulás-vektor többértékű függvény a diszlokációt tartalmazó tartományban. Gondolatban vágjuk el az anyagot az x 1 tengely mentén a diszlokáció vonaláig az 24

x 2 tengelyre merőleges síkkal és a sík fölötti részt toljuk el az alsó részhez képest a b Burgers-vektorral. Ekkor u k analitikus és egyértékű függvény a vágási felületen kivül és b-vel ugrik a vágási felületen, ha az alábbi határfeletételt írjuk elő u k = { uk (x 1, 0 + ) u k (x 1, 0 ) = b k, ha x 1 > 0 0, ha x 1 < 0, (2.29) ahol b k a b Burgers-vektor k-adik komponense. A másik határfeltételt abból a megfontolásból kapjuk, hogy egyensúlyban a diszlokációt körülvevő bármely felületre ható erő zérus. Legyen ez a felület henger alakú, amely tartalmazza a diszlokációt, ekkor a henger egységnyi hosszára ható teljes erő zérus: (σ i1 dx 2 σ i2 dx 1 ) = 0 i = 1, 2, 3. (2.30) Az integrálás az (x 1, x 2 ) síkon a diszlokáció vonalát körülvevő kontúr mentén történik. A fenti két határfeltétellel összhangban az f n függvény legáltalánosabb alakja ahol a D(n) együtthatókra a következő egyenleteket kapjuk f n (η n ) = D(n) 2πi ln η n, (2.31) [ 3 ] Re ±A k (n)d(n) n=1 [ 3 ] Re ±B i2k (n)a k (n)d(n) n=1 = b k, k = 1, 2, 3 = 0, i = 1, 2, 3 (2.32) és B ijk (n) = C ijk1 + C ijk2 p n. (2.33) Az egyenletekben a + előjelet kell venni, ha p képzetes része pozitív és a előjelet, ha az negatív. n = 1, 2, 3. A D(n) valós és képzetes részére hat egyenletünk van. Végül a (2.28) és a (2.31)-ből u k elvben meghatározható u k = Re [ 1 2πi 3 ] A k (n)d(n) ln η n, (2.34) n=1 ahol η n -t p n (2.24)-be való behelyettesítésével kapjuk. Feszültségek és energiák 25

A feszültségtenzort közvetlenül a (2.18) (2.19) és a (2.34) egyenletekből számíthatjuk ki σ ij = Re [ 1 2πi 3 n=1 ] B ijk A k (n)d(n)ηn 1. (2.35) A diszlokáció energiája egyenlő a fent említett vágási művelet során végzett munkával és így a diszlokáció egységnyi hosszára vonatkoztatott energia ahol a K energia együtthatót a következő módon definiáljuk w = Kb2 4π ln R r 0, (2.36) [ 3 ] Kb 2 = b i Im B i2k A k (n)d(n). (2.37) n=1 Itt r 0 a belső, R a külső levágási rádiusz. Az r 0 az atomok távolságának nagyságrendjébe esik, ahol a deformáció igen nagy, és a makroszkopikus elmélet nem alkalmazható. R a diszlokáció hosszával megegyező nagyságrendű. Ezt a kifejezést először Foreman vezette le [47]. K értéke izotrop közegben csavardiszlokációra µ, éldiszlokáció esetén µ/(1 ν). Párhuzamos és egyenes diszlokációk között ható erő A rugalmasságtan szerint a diszlokáció egységnyi hosszára ható erő [4] F k = ε kji σ jl b l ξ i, (2.38) ahol ξ i a diszlokáció vonalával párhuzamos egységvektor, ε kji pedig a Levi Civita-szimbólum. A fentiek alapján anizotrop közegben két párhuzamos és egyenes diszlokáció között fellépő erőt úgy számolhatjuk ki, hogy először az (2.35) egyenlet segítségével kiszámoljuk a diszlokáció által létrehozott feszültséget. Ez a feszültségtér hatni fog a másik diszlokációra, és így az előbbi (2.38) egyenletből számíthatjuk ki a diszlokációk között ható erőt. Ebben a részben leírt elmélet általános esetben magában foglal egy hatodfokú egyenlet megoldását p-re, ezért nem lehet minden esetben analitikus megoldást találni. Ilyenkor numerikus módszerekre van szükség [52]. Azonban szimmetria-megfontolásokkal gyakran egyszerűsíteni lehet a problémát. Jó példa erre az az eset, amikor a diszlokáció vonala merőleges a kristályszerkezet valamely tükörsíkjára. Ekkor belátható [2], hogy az a ik 3x3-as 26

mátrix determinánsa egy 1x1-es és egy 2x2-es aldetermináns szorzatával egyenlő. Ez annak felel meg, hogy a diszlokáció Burgers-vektora felbomlik csavar- és élkomponensre. Így csavardiszlokációra az 1x1-es determinánsból p-re kapunk egy másodfokú egyenlet, míg éldiszlokáció esetén a 2x2-es determináns p 2 -ben vezet másodfokú egyenletre, ezek mindkét esetben könnyen megoldhatóak. A különböző speciális eseteket részletesen taglalja Hirth és Lothe a diszlokációkról szóló könyvében [2]. Ebben a dolgozatban a mindenkori esetnek megfelelően az itt vázolt elméletet alkalmaztuk a diszlokációk terének vagy kölcsönhatásának a kiszámításához. 27

2.5. Diszlokációtársulások L1 2 és DO 19 ötvözetekben A γ-felületek tárgyalásakor láttuk, hogy milyen módszerrel lehet megkeresni az adott kristálysíkon található metastabil rétegződési hibákat. Ebben a részben azt vizsgáljuk meg, hogy ezek a hibák milyen kapcsolatban vannak az ún. parciális diszlokációkkal az L1 2 és a DO 19 kristályszerkezetű ötvözetekben. L1 2 szerkezet Az L1 2 rácsban a legrövidebb Burgers-vektor az < 110 > vektor, amely a szuperrács egyik transzlációs vektora. Ez az (111) síkon felhasadhat az [ 101] = 1/2[ 101] + 1/2[ 101] [ 101] = 1/3[ 1 12] + 1/3[ 211] (2.39) egyenletek valamelyike szerint [43, 14]. Az első esetben egy antifázisú határ (APB), a második esetben egy szuperrács intrinszik rétegződési hiba (SISF) keletkezik a két szuperparciális diszlokáció között. A másik lehetséges disszociáció az (111) síkon az 1/2[ 101] szuperparciális, amely az APB hibát hozza létre további felhasadása a 1/2[ 101] = 1/6[ 211] + 1/6[1 12] (2.40) egyenletnek megfelelően közben létrehozva a komplex rétegződési hibát (CSF) a két ún. Shockley parciális diszlokáció között. A fenti egyenletek csak a lehetséges felhasadásokat veszik számba, de hogy ezek közül melyik valósul meg, az az anyagtól függ ill. a számítógépes vizsgálatokban az adott anyagnak megfelelő potenciáltól. Azt a γ-felületek ismertetésénél láttuk, hogy az (111) síkon az APB hiba nem minden esetben stabil és így a (2.39)-ben az első egyenlet szerinti felhasadás nem valósul meg instabil APB hiba esetén. Ekkor csak (2.39) második egyenlete szerint mehet végbe a felhasadás és egy SISF hiba keletkezik a két parciális diszlokáció között [14]. Hasonlóan a (2.40) egyenlet alapján a felhasadás csak abban az esetben jön létre, ha a CSF hiba stabil az (111) síkon [43, 14]. A {001} síkon csak az APB rétegződési hiba létezik, úgy hogy az < 110 > szuperdiszlokáció két 1/2 < 110 > szuperparciálisra hasad, miközben közöttük egy APB keletkezik. Ez a parciális diszlokáció is felhasadhat a (2.40) egyenlet szerint ha az {111} síkon a CSF hiba stabil. 28

DO 19 szerkezet A 2.3 szakaszban áttekintettük a lehetséges rétegződési hibákat a DO 19 szerkezetben, azonban a stabilitásukat elméletileg csak a γ-felületek kiszámításával állapíthatjuk meg. Így szükségünk van az atomok közti potenciálra. A 4. fejezetben taglaljuk azt a munkát, amely során konstruáltunk egy potenciált, majd ezzel meghatároztuk a γ-felületeket az alapsíkon és a prizmatikus síkon. Látni fogjuk, hogy pl. az alapsíkon mind a három rétegződési hiba stabilnak adódik. Itt most csak az alapsíkon történő felhasadást említjük meg. DO 19 rácsban az alapsíkon a 2/3 < 11 20 > szuperrács diszlokáció felbomolhat két 1/3 < 11 20 > szuperparciális diszlokációra, miközben egy APB hiba keletkezik köztük. Ez utóbbi parciális is felhasadhat, de mint látni fogjuk, sokkal bonyolultabb módon, mint az L1 2 rácsban. A számítógépes szimulációkban ismernünk kell a felhasadt diszlokációk közti egyensúlyi távolságot. Az fcc rácsban a két Shockley parciális diszlokáció közti távolságot izotrop közegben viszonylag egyszerűen kiszámíthatjuk [4]. A hiba keletkezésekor fellépő erő tart egyensúlyt a hibát határoló két parciális között ható taszító erővel. Ez utóbbi erő a távolsággal fordítva arányos és az arányossági tényező a rugalmas együtthatóktól és a Burgers-vektorok nagyságától függnek. Így az arányossági tényező ismeretében az egyensúlyi feltételből meghatározhatjuk a keresett egyensúlyi távolságot. A legnehezebb az arányossági tényező kiszámítása és anizotrop közegben gyakran csak numerikus úton lehet számolni. A 2.4 szakaszban az anizotrop rugalmasságtan néhány elemének tárgyalásakor leírtuk azt az eljárást, amellyel meghatározható a két párhuzamos diszlokáció között fellépő erő. Ilymódon kiszámítható a fenti arányossági tényező. Bizonyos esetekben ez a tényező egzaktul is meghatározható, mint pl. fcc rácsban az (111) síkon a két párhuzamos Shockley parciális esetén [2]. A 3. és a 4. fejezetben számítógépes szimulációkkal vizsgáljuk meg az itt tárgyalt felhasadások során keletkezett parciális diszlokációk magszerkezetét az L1 2 és a DO 19 kristályrácsban, figyelembe véve a kristály anizotrop voltát is. 29