Magaslégköri ballon méretezése

Magaslégköri ballon méretezése Napjainkban divatos lett a nagy magasságú, a sztratoszférát is elérő ballonok felbocsátása, tudományos, ismeretterjesztő vagy akár hobbi célból is. Ez leggyakrabban úgy történik, hogy a ballont hidrogénnel vagy héliummal töltik meg, és állandó súlyú hasznos terhet rögzítenek hozzá. A rendszer addig a magasságig emelkedik, amíg (a csökkenő külső nyomásból eredő tágulás miatt) a ballon kipukkad és a hasznos teher ejtőernyővel visszahull a földre. Az ilyen ballonok optimális feltöltése egyáltalán nem nyilvánvaló: túl nagy kezdeti gáztöltet esetén hamar kipukkad, nem jut fel magasra, míg túl kicsi kezdeti gáztöltet esetén (főleg ha ez nagy önsúllyal párosul) a rendszer a felső légkörben egyensúlyba kerülhet, a felhajtó erő megegyezik a rendszer súlyával. A rendszer persze nem marad így örökre (a gáztöltet lassan szivároghat, a napsugárzás hatására anyagszakadás léphet fel), előbb-utóbb visszaesik, de ilyenkor a megtalálásra nagyon csekély az esély. Ez a cikk az optimális ballontöltet meghatározására tesz kísérletet. A felhajtóerő A ballonra ható felhajtó erő a ballon által kiszorított gáz súlya, ami a ballon mindenkori térfogatának és a környező levegő sűrűségének és a nehézségi gyorsulásnak a szorzata: (1) F felhajtóerő = ρ légkör V g Ha a ballon kezdetben V 0 térfogatú, p 0 nyomású, T 0 hőmérsékletű gázt tartalmaz, amit ideális gáznak tekintünk, akkor igaz az alábbi összefüggés: (2) V p / T = V 0 p 0 / T 0 Tehát a ballon térfogata: (3) V = V 0 (p 0 / p) (T / T 0 ) Egy érdekességet érdemes megemlítenünk ennél a pontnál. Ha a külső légkör összetétele nem változik, akkor a külső légkör sűrűsége a nyomással és a hőmérséklettel fordítottan arányos a gáztörvények szerint: (4) ρ = m/v = na / (nrt / p) = Ap / (RT) ahol n az anyagmennyiség mol-ban, A a moláris tömeg, R pedig állandó. Ha feltételezzük, hogy a külső és belső hőmérséklet mindig egyenlő (hőátadás van), és a külső és belső nyomás is egyenlő (a ballon anyaga könnyen tágul, a kifejtett erő elhanyagolható), akkor (1) (3) (4) képletekből következik, hogy a felhajtóerő állandó: F felhajtóerő = gav 0 p 0 / (RT 0 ) Valóságos esetben figyelembe kell venni, hogy a ballon anyaga erőt fejt ki a benne lévő gázra. Az így kialakuló nyomáskülönbség a gyakorlatban használt ballonoknál ugyan nagyságrendileg csak százada a Készítette: Kiss Attila József, Bp, 2013 február Page 1

légköri nyomásnak, viszont nagy magasságban már a külső légnyomás is annyira lecsökken, hogy ezt a hatást nem lehet elhanyagolni. A ballon modellje A repülési magasság számítása során két adatot kell a ballonról tudnunk: - V max a ballon maximális térfogata a kipukkadás előtt (egy 2m-átmérőjű ballon például 10m-re is ki tud tágulni) - p d ballon anyaga által kifejtett maximális nyomás (tehát a külső és belső gáz közötti nyomáskülönbség) a kipukkadás előtt (ez például 10hPa) Elhanyagoljuk azt a hatást, hogy a felszállás közben a ballon folyamatosan változó nyomáskülönbséget fejt ki a belső gázra. Kezdetben a ballon nagyobb nyomáskülönbséget fejt ki, ami egy bizonyos sugár elérése után gyorsan, majd később lassabban csökken [1]. A kipukkadás előtt a nyomáskülönbség újra nőni kezd, a ballon anyagát adó gumi felkeményedése miatt. A számítások során azt fogjuk majd vizsgálni, hogy a kipukkadási nyomás és átmérő elérése előtt egyensúlyba kerülhet-e a ballon, lecsökkene annyira a felhajtó erő, hogy nem emeli tovább a ballont. Ha a felhajtóerő nem csökken le a ballon összsúlya alá, akkor a ballon kipukkad. Itt figyelmen kívül hagytuk azt, hogy elvileg lehetőség van arra, hogy a ballon a felbocsátás korai szakaszában egyensúlyba kerül. A fellelhető adatok szerint [1] 1,38-szoros sugárnál következik be egy maximum a külső és belső nyomás között. Ez azonban a gyakorlati esetben az emelkedés olyan korai szakaszában fog bekövetkezni, amikor még bőven van felhajtóerő. A későbbi szakaszban a nyomáskülönbség lassan csökken, jelentős növekedést a felkeményedés fog csak okozni. Azt feltételezzük, hogy a felkeményedés jelentős, a nyomáskülönbség (a kezdeti csúcsot kivéve) ott éri el maximumát. Az előző fejezetben láttuk, hogy a felhajtóerő csökkenésének egyedüli oka a ballon által kifejtett nyomás. Ez felfele haladva (a csökkenő külső nyomással) válik jelentőssé, és a felkeményedéskor lesz lokális maximuma. Ezért a számításokat a kipukkadási pontra végezzük, feltételezve, hogy így az előző pontokban sem lép fel erőegyensúly, lebegés. Szintén figyelmen kívül hagyjuk azt, hogy a ballon nem pontosan gömb alakú. A katalógusban vagy egyéb tapasztalatokból a ballon kipukkadási átmérőjét tudjuk általában meghatározni, ebből a maximális térfogatot gömbtérfogattal fogjuk számolni. A számításhoz szükséges adatok A következő kiindulási adatokra lesz szükség: - felbocsátási térfogat V 0 (ez egy paraméter, ennek különböző értékeinél végezzük a számítást, az eredményeket ábrázoljuk) - felbocsátási nyomás p 0 (az átlagos légnyomást tekintjük a külső és belső nyomásnak egyaránt a felbocsátáskor) - felbocsátási hőmérséklet T 0 (várt napi hőmérséklet) Készítette: Kiss Attila József, Bp, 2013 február Page 2

- V max a ballon maximális térfogata a kipukkadás előtt (katalógusból) - p d ballon anyaga által kifejtett maximális nyomás a kipukkadás előtt (katalógusból) - ρ gáz a gáztöltet sűrűsége (a felbocsátási nyomáson és hőmérsékleten) - F min = F üres + F tartalék a gáztöltet nélküli ballon és hasznos teher súlya plusz egy biztonsági tartalék. Ez a tartalék erő gyorsítja a ballont a kipukkadási előtti szakaszban, ez garantálja, hogy a ballon eléri a kipukkadási szintet. Az üres súly egy konstans érték, amiben a gáztöltet súlya nincs benne, hiszen az a számításból fog majd adódni. - ρ légkör (p) a légkör sűrűsége a nyomás függvényében - T légkör (p) a légkör hőmérséklete a nyomás függvényében - p légkör (h) a légkör nyomása a magasság függvényében A tartalék erő méretezésekor vegyük figyelembe, hogy a felbocsátáskor a felhajtóerő lényegesen nagyobb lesz. Később lecsökken, és a kipukkadás előtt már csak a tartalék erő fog gyorsítani, de ilyenkor a légellenállás is kisebb lesz. A tartalék erő tervezésénél tehát nem szükséges túl nagy ráhagyással dolgozni. Fontosabb, hogy a ballon maximális átmérőjét és a kidurranási nyomáskülönbséget ne becsüljük alul, mert annak jelentős hatása van az eredményre. Látni fogjuk, hogy a számítás jellege miatt az optimális ballontöltet méretezéséhez nincs szükség a légköri nyomás magasságfüggésének pontos ismeretére, csak a légköri nyomás és a hőmérséklet, illetve a légköri nyomás és sűrűség viszonyára. A számítás végeredménye az optimális ballontöltet (térfogata, súlya és felhajtóereje) és a kipukkadási külső légnyomás lesz. A számításnak ebben a részében pontosan kell dolgoznunk, megfelelő biztonsági ráhagyással, hogy a ballon biztosan kipukkadjon és visszaessen. A legutolsó adatra (a nyomás és magasság összefüggésre) akkor lesz szükségünk, ha a nyomásértékből az elérhető magasságot akarjuk meghatározni. Ebben a szakaszban már nincs szükség akkora pontosságra. A légkör modellje A légkör modellezésénél az a cél, hogy adott magassághoz a légkör sűrűségét, nyomását és hőmérsékletét ismerjük. Elegendő, ha a modell 20-50km között ad jó értéket, mert a kipukkadási magasságot ebben a tartományban várjuk. A modellhez nem elméleti számításokat használunk, hanem az irodalomban található táblázatokat, kész légköri modelleket fogunk felhasználni. A fellelt adatokra illesztünk olyan egyszerűbb görbéket, amik kielégítő pontossággal adják meg a keresett paraméterek értékét. A sűrűség számításánál figyelembe vehetjük azt a tényt, hogy a légkör összetétele 80km magasságig állandó [2]. Ezt a tartományt homoszférának nevezzük (ami a troposzféra, sztratoszféra, mezoszféra együttese). Tehát a légkör sűrűsége a nyomással egyenesen és a hőmérséklettel fordítottan arányos a (4) képlet szerint. A számításoknál a felbocsátási hőmérséklet (T 0 ) és nyomás (p 0 ) alatti sűrűséget (ρ 0 ) használjuk. A sűrűség változása tehát: (5) ρ(p,t) = ρ 0 (p/p 0 ) (T 0 /T) Készítette: Kiss Attila József, Bp, 2013 február Page 3

A következő fontos adat a hőmérséklet nyomásfüggése. A nemzetközi standard légköri modell [3] szerint a hőmérséklet jelentősen változik a 20km és 47km közötti tartományban. A 20km és 32km közötti magasságokban 1K/km, 32km és 47km között 2,8K/km a változás. A teljes tartományon 216,65K és 270,65K között változik, ami nem elhanyagolható különbség. A számítást a hőmérséklet pontos követése rendkívül megbonyolítaná, viszont hatása nem olyan nagy a végeredményre, ezért egy számítás trükköt fogunk használni. A hőmérsékletet egy állandó értéknek vesszük, az alapján, hogy a kipukkadási magasságot milyen tartományba várjuk. A 25km és 45km közötti szakaszon a hőmérséklet 222K és 265K között változik. A számításnál egy közepes adatot vehetünk figyelembe, ami: (6) T fenn = 240K Ha a kipukkadási magasságot jobban behatároltuk, a hőmérsékletet pontosíthatjuk, a számítást újra elvégezhetjük, és ezt akár többször megismételhetjük (bár a gyakorlatban egy újraszámítás elég). Pontosabb hőmérsékleti modellhez a légkörmodellre illeszthetünk egy egyszerű másodfokú függvényt, ami kényelmesebb, ha programmal vagy táblázatkezelővel végezzük a számítást. A képlet 1% pontossággal illeszkedi a légköri modellhez az említett tartományon: T[K] = 0,0591 h 2 [km 2 ] 1,9163 h[km] + 231,86 A nyomás magasságváltozása gyakorlatilag exponenciálisan csökkenő. A standard légköri modell alapján -0,1441 h[km] (7) p[pa] = 93 918 e A számítás módja Feltétel a felhajtóerőre Ahhoz, hogy a ballon a kipukkadási magasságra emelkedhessen, az kell, hogy a felhajtóerő legalább az üres ballonra súlyának és a gáztöltet súlyának összegét elérje minden pillanatban. Mivel a ballon térfogata nem haladja meg a V max mennyiséget, és azt is a kipukkadáskor fogja csak elérni, ezért a kipukkadási pontban felírhatunk egy feltételt a felhajtóerőre (1) alapján: ρ légkör_fenn V max g F min + V 0 ρ gáz g A légkörmodellünket (5) és (6) behelyettesítve: (8) ρ 0 (p külső /p 0 ) (T 0 /T fenn ) V max g F min + V 0 ρ gáz g Ez a képlet átrendezve alsó korlátot ad nekünk a külső nyomásra a kipukkadás pillanatában. Feltétel a nyomásra A kipukkadáshoz szükséges az, hogy a belső és külső nyomás különbsége elérje a kipukkadáshoz szükséges mértéket, azaz: p d p belső - p külső Készítette: Kiss Attila József, Bp, 2013 február Page 4

p külső p belső - p d A ballon belső nyomására az alábbi összefüggést írhatjuk fel a gáztörvények alapján: p 0 V 0 /T 0 =p belső V max /T fenn A kettőt egyesítve: (9) p külső p 0 (V 0 /V max ) (T fenn /T 0 ) - p d Ez a képlet tulajdonképpen minimumot ad a kezdeti térfogatra a kipukkadási nyomás függvényében. Megoldás A (8) képletet és a (9) képletet egyesítve kapjuk, hogy: (10) V 0 F min / [ g (ρ 0 - ρ gáz ) ] + V max (p d /p 0 ) (T 0 /T f ) ρ 0 / (ρ 0 - ρ gáz ) Ha a ballont éppen V 0 térfogatúra fújjuk, akkor a külső nyomás a kipukkanáskor az alábbi lesz: (11) p k = p 0 (T fenn /T 0 ) F min / [ g V max (ρ 0 - ρ gáz ) ] + p d ρ gáz / (ρ 0 - ρ gáz ) A kiértékelés menete a következő. A (11) képlet alapján, egy fix fenti hőmérsékletet választva meghatározzuk p k -t, tehát a külső nyomást a szétdurranáskor illetve a (10) képlettel a gáztöltet mennyiségét. Táblázatból, vagy a (7) modellből meghatározzuk a magasságot. Ellenőrzés végett a magasságból a hőmérsékletet a modell (6) alapján meghatározhatjuk. Ha a kiindulási és a számolt hőmérséklet nagyon eltérő, akkor az új hőmérséklettel újra elvégezzük az egész számítást, szükség esetén ismételve. Ezt programmal vagy táblázatkezelővel egyszerűen megtehetjük. A gáztöltet adagolása Az optimális kezdőtérfogatból a könnyebben mérhető húzóerőt számolhatjuk ki optimális gáztöltetnél (ami a felhajtóerő mínusz a gáztöltet és az üres súly): (12) F húzóerő = F felhajtóerő - F gáztöltet - F üres = V 0 (ρ 0 -ρ gáz ) g F üres = F tartalék + V max ρ 0 g (p d /p 0 ) (T 0 /T f ) Ez az az erő, amivel az optimálisan feltöltött, teljesen felszerelt ballon húzza a kikötési pontot. Érdekesség, hogy ez az erő nem függ a gáztöltet anyagától, sem a hasznos teher súlyától (feltéve hogy a kipukkadási hőmérsékletet fix értéknek vesszük), csak a tartalékerőtől, a ballon maximális térfogatától, a kidurranási nyomástól és légkörjellemzőktől. Az erő mérésénél gondot okozhat a töltést végző cső súlya illetve általa kifejtett erő. Egy lehetséges módszer a töltőcső lecsatlakoztatása a mérés előtt, vagy bizonyos időközönként. Az erőt mérhetjük hasznos teher nélkül is, ekkor ennek pontos súlyát hozzá kell adnunk az erőhöz. A mérés lehetséges módjai: - Rugós erőmérővel közvetlenül mérjük a húzóerőt Készítette: Kiss Attila József, Bp, 2013 február Page 5

- Konyhai mérlegre helyezünk ismert tömegű testet, ehhez kötjük a ballont, és a súlyváltozást mérjük - Elkészítünk egy optimális húzóerőnek megfelelő súlyú ballasztot. A feltöltés akkor jó, ha a ballon éppen lebeg a ballaszttal. A ballasztot lecsatolva a ballon felbocsátásra kész. Irodalom [1] http://en.wikipedia.org/wiki/two-balloon_experiment http://en.wikipedia.org/wiki/file:balloonpressurecurve.jpg [2] http://hu.wikipedia.org/wiki/homoszf%c3%a9ra http://en.wikipedia.org/wiki/atmosphere_of_earth [3] http://en.wikipedia.org/wiki/international_standard_atmosphere Készítette: Kiss Attila József, Bp, 2013 február Page 6