1) Egyszerűsítse az MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 015. május 5. KÖZÉPSZINT I. a a a 1 3 Az egyszerűsítés utáni alak: törtet, ha a 1. ( pont) a ( pont) ) Milyen számjegy állhat az X helyén, ha a négyjegyű 361X szám 6-tal osztható? ( pont) X vagy X 8 Összesen: pont 3) "Minden szekrény barna." Válassza ki az alábbiak közül annak a mondatnak a betűjelét, amelyik tagadása a fenti kijelentésnek! A: Van olyan szekrény, amelyik nem barna. B: Nincs barna szekrény. C: Van olyan szekrény, amelyik barna. D: Pontosan egy szekrény barna. ( pont) A ( pont) 4) Az x bx 10 0 másodfokú egyenlet diszkriminánsa 49. Számítsa ki b értékét! Számítását részletezze! b 40 49 b 3 vagy b 3 Összesen: 3 pont 5) Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)! a) Minden paralelogramma tengelyesen szimmetrikus négyszög. b) A kocka testátlója 45 -os szöget zár be az alaplappal. c) A szabályos tizenhétszögben az egyik csúcsból kiinduló összes átló a tizenhétszöget 15 háromszögre bontja. ( pont) a) Hamis b) Hamis c) Igaz ( pont)
6) Adja meg a valós számok halmazán értelmezett x x függvény minimumának helyét és értékét! ( pont) A minimum helye:. A minimum értéke: 0. Összesen: pont 7) Egy mérőállomáson az egyik év júliusának tizenhárom egymást követő napján az alábbi csapadékértékeket mérték (milliméterben): ; 6; 8; 1; 1; 10; ; 49; 5; 5; 9. Adja meg az adatsor terjedelmét és mediánját! A terjedelem 48. A medián 9. 8) Rajzoljon olyan hatpontú gráfot, amelyben a pontok fokszáma: 0; 1; ; ; 3; 4. ( pont) Összesen: 3 pont ( pont) Például: ( pont) 9) Egy bomlási folyamatban a radioaktív részecskék száma kezdetben 3 6 10, amely érték percenként az előző érték századrészére csökken. Számítsa ki a radioaktív részecskék számát 10 perc elteltével! ( pont) 3 6 10 6000 ( pont) x 3 y 4 5. Adja meg a kör középpontjának koordinátáit és a kör átmérőjének hosszát! 10) Egy kör egyenlete A kör középpontja 3;4. A kör átmérője 10. ( pont) Összesen: 3 pont
11) Az ábrán látható kocka A csúcsából kiinduló élvektorai AB p ; AD q és AE r. Fejezze ki p, q, és r segítségével a GC, az AG és az FH vektorokat! GC r AG p q r FH q p Összesen: 3 pont 1) Két különböző színű szabályos dobókockával egyszerre dobunk. Adja meg annak a valószínűségét, hogy a dobott számok szorzata prímszám lesz! Megoldását részletezze! (4 pont) Az összes eset száma 36. Akkor lesz prímszám a sorozat, ha az egyik kockával 1-et és a másikkal -t, 3-t vagy 5-öt dobunk. Ezt összesen 3 6 -féleképpen tehetjük meg (ez a kedvező esetek száma). A keresett valószínűség: 6 1. 36 6 Összesen: 4 pont
II/A. 13) Az ABCD trapéz oldalainak hossza: AB 10 cm ; CD 6cm ; AD 7cm. Az A csúcsnál fekvő belső szög nagysága 70. a) Mekkora távolságra van a D pont az AB oldaltól? b) Számítsa ki a négyszög AC átlójának hosszát! (4 pont) Az E pont az AD és BC szárak egyenesének metszéspontja. c) Számítsa ki az ED szakasz hosszát! (4 pont) a) A D pont merőleges vetületét az AB oldalon jelölje T. Meghatározandó a DT szakasz. Az ATD derékszögű háromszögben: DT sin70. 7 DT 7sin70 6,58cm. b) A trapéz D csúcsnál lévő belső szöge 110. Írjuk fel az ACD háromszögben a koszinusztételt: AC 6 7 6 7 cos110. Kb. 10,66cm az AC átló hossza. c) Az AB szakasz párhuzamos a CD szakasszal, így az EDC és EAB háromszögek hasonlósága miatt: x x 7 6 10 Ebből 10x 6x 4, azaz x 10,5 cm. Összesen: 11 pont 14) a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: x 3 3x 1. (7 pont) Az f : R ; f x a x b lineáris függvény zérushelye -4. Tudjuk továbbá, hogy az x 4 helyen a függvényérték 6. b) Adja meg a és b értékét! (6 pont) a) Az egyenlet alakja x 3 esetén: x 3 3x 1, amiből x 1, ami nem megoldása az eredeti egyenletnek. Az egyenlet alakja 3 x 3 3x 1, x esetén: amiből x 1. ( pont) Ellenőrzés behelyettesítéssel vagy ekvivalenciára hivatkozva.
b) A megadott feltételek szerint a 4 b 0, ( pont) továbbá a 4b 6. Az egyik egyenletből az egyik ismeretlent kifejezve és a másik egyenletbe helyettesítve vagy a két egyenletet összeadva kapjuk, hogy b 3, a 0,75. Összesen: 13 pont 15) Zsuzsa nagyszülei elhatározzák, hogy amikor unokájuk 18 éves lesz, akkor vásárlási utalványt adnak neki ajándékba. Ezért Zsuzsa 18. születésnapja előtt 18 hónapon keresztül minden hónapban félretesznek valamekkora összeget úgy, hogy Zsuzsa 18. születésnapján éppen 90 000 forintjuk legyen erre a célra. Úgy tervezik, hogy az első alkalom után mindig 00 forinttal többet tesznek félre, mint az előző hónapban. a) Terveik szerint mennyi pénzt tesznek félre az első, és mennyit az utolsó alkalommal? (7 pont) Zsuzsa egyik testvére hét évvel idősebb a másik testvérénél. A két testvér életkorának mértani közepe 1. b) Hány éves Zsuzsa két testvére? (5 pont) a) Az egyes hónapokban félretett pénzösszegek egy olyan számtani sorozat egymást követő tagjai, amelynek első tagja ( Ft-ban ) a 1, differenciája pedig 00. A sorozat első 18 tagjának összege: a 1 17 00 18 90000, ( pont) amiből a1 3300. A 18. tag 3300 17 00 6700. Így az első alkalommal 3300 Ft-ot, az utolsó alkalommal 6700 Ft-ot tettek félre. b) Zsuzsa fiatalabb testvérének életkorát jelölje x, ekkor másik testvére x 7 éves. A feladat szövege alapján: x 7 x 1. Ebből x 7x 144 0, amiből vagy x 16, de ez az érték nem megoldása a feladatnak. vagy x 9. Zsuzsa egyik testvére 9, a másik 16 éves. Összesen: 1 pont
II/B. 16) Egy idén megjelent iparági előrejelzés szerint egy bizonyos alkatrész iránti kereslet az elkövetkező években emelkedni fog, minden évben az előző évi kereslet 6%-ával. (A kereslet az adott termékből várhatóan eladható mennyiséget jelenti.) a) Várhatóan hány százalékkal lesz magasabb a kereslet 5 év múlva, mint idén? Az előre jelzés szerint ugyanezen alkatrész ára az elkövetkező években csökkenni fog, minden évben az előző évi ár 6%-ával. b) Várhatóan hány év múlva lesz az alkatrész ára az idei ár 65%-a? (5 pont) Egy cég az előrejelzésben szereplő alkatrész eladásából szerzi meg bevételeit. A cég vezetői az elkövetkező évek bevételeinek tervezésénél abból indulnak ki, hogy a fentiek szerint a kereslet évente 6%-kal növekszik, az ár pedig évente 6%-kal csökken. c) Várhatóan hány százalékkal lesz alacsonyabb az éves bevétel 8 év múlva, mint idén? (5 pont) A kérdéses alkatrész egy forgáskúp alakú tömör test. A test alapkörének sugara 3 cm, alkotója 6 cm hosszú. d) Számítsa ki a test térfogatát! (4 pont) a) A kereslet minden évben várhatóan az előző évi kereslet 1,6 -szorosára változik, 5 így 5 év múlva az idei 1,06 1,34 -szorosára nő. Ez kb. 34%-kal magasabb, mint az idei kereslet. b) Az ár minden évben várhatóan az előző év ár 0,9-szorosára változik, így megoldandó a 0,94 0,65 egyenlet, (ahol n az eltelt évek számát jelenti.) lg 0,65 Ebből n 6,96. lg 0,94 ( pont) Azaz várhatóan 7 év múlva lesz az ár a jelenlegi ár 65%-a. c) A bevételt a kereslet és az ár szorzatából kapjuk, így 8 év múlva a jelenlegi bevétel 1,06 0,94 8 0,97 -szerese várható. ( pont) Azaz 8 év múlva a bevétel az ideinél kb.,8 %-kal lesz alacsonyabb.
d) Ábra az adatok feltüntetésével. A kúp magasságát m -mel jelölve a Pitagorasz-tétel alapján: 6 3 7 5,cm m. 1 3 5, A kúp térfogata V 3 3 49cm. Összesen: 17 pont 17) Egy webáruházba való belépés előzetes regisztrációhoz kötött, melynek során a regisztráló életkorát is meg kell adnia. Az adatok alapján a 5560 regisztráló közül 8 évesnél fiatalabb 7810 fő, 55 évesnél idősebb 4615 fő, a többiek 8 és 55 év közöttiek. a) Készítsen a létszámadatok alapján kördiagramot, kiszámítva a három körcikkhez tartozó középponti szögeket is! (5 pont) A webáruház üzemeltetői a vásárlói szokásokat szeretnék elemezni, ezért a regisztráltak közül véletlenszerűen kiválasztanak két személyt. b) Adja meg annak a valószínűségét, hogy az egyik kiválasztott személy 8 évesnél fiatalabb, a másik 55 évesnél idősebb! (4 pont) A regisztráltak egy része vásárol is a webáruházban. A vásárlók között a 8 év alattiak éppen kétszer annyian vannak, mint az 55 évesnél idősebbek. A 8 év alattiak az elmúlt időszakban összesen 19 35 700 Ft, az 55 év felettiek 17 543 550 Ft értékben vásároltak. Az 55 év felettiek átlagosan 410 Ft-al költöttek többet, mint a 8 év alattiak. c) Számítsa ki, hány 55 év feletti vásárlója volt a webáruháznak, és adja meg, hogy ezek a vásárlók átlagosan mennyit költöttek! (8 pont) a) A 8 évesnél fiatalabbakat ábrázoló körcikk középponti szöge 7810 360 110. 5560 Az 55 évesnél idősebbeket ábrázoló körcikk középponti szöge 4615 360 65. 5560 A 8 és 55 év közöttieket ábrázoló körcikk 360 110 65 185. középponti szöge Az egyes körcikkek megjelenítése a megfelelő méretben, egyértelmű jelmagyarázattal:
b) A 8 év alattiak közül egyet 7810-féleképpen, az 55 évesnél idősebbek közül egyet 4615-féleképpen tudunk kiválasztani, így a kedvező esetek 7810 4615 36043150. száma 5560 Az összes esetek száma: 3664400. 5 7810 4615 A kérdéses valószínűség 5560 0,11. c) Az 55 év feletti vásárlók számát jelölje x, ekkor a 8 év alattiak száma x. Az 55 év felettiek átlagosan 17543550, x a 8 év alattiak átlagosan 1935700 x Ft-ot költöttek. 17543550 1935700 A feladat szövege alapján felírható: 410 x x Ebből 410x 7880700, azaz x 370. 17543550 5365 370 A webáruháznak 370 olyan vásárlója volt, aki 55 évnél idősebb, és ők átlagosan 5365 Ft-ot költöttek. Ellenőrzés. Összesen: 17 pont 18) A biológiaérettségi egyik tesztkérdésénél a megadott öt válaszlehetőség közül a két jót kell megjelölni. a) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy az öt lehetőség közül kettőt véletlenszerűen kiválasztva a két jó választ találjuk el! Nóri, Judit és Gergő egy 58 kérdésből álló biológiateszttel mérik fel tudásukat az érettségi előtt. A kitöltés után, a helyes válaszokat megnézve az derült ki, hogy Nóri 3, Judit 38 kérdést válaszolt meg helyesen, és 1 olyan kérdés volt, amelyre mindketten jó választ adtak. Megállapították azt is, hogy 11 kérdésre mindhárman helyesen válaszoltak, és Gergő helyesen megoldott feladati közül 17-et Nóri is, 19- et Judit is jól oldott meg. Volt viszont 4 olyan kérdés, amelyet egyikük sem tudott jól megválaszolni. b) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy kérdést véletlenszerűen kiválasztva, arra Gergő helyes választ adott! Válaszát három tizedesjegyre kerekítve adja meg! (8 pont) Nóri a biológia és kémia szóbeli érettségire készül. Biológiából 8, kémiából 30 tételt kell megtanulnia. Az első napra mindkét tárgyból 3-3 tételt szeretne kiválasztani, majd a kiválasztott tételeket sorba állítani úgy, hogy a két tantárgy tételei felváltva kövessék egymást. c) Számítsa ki, hányféleképpen állíthatja össze Nóri az első napra szóló tanulási programját! (6 pont)
a) Az öt lehetőség közül kettőt kiválasztani 5 10 -féleképpen lehet ( összes esetek száma ). ( pont) Ezek közül egy esetben kapunk jó megoldást, így a kérdéses valószínűség 0,1. b) A pontosan két diák által jól megoldott feladatok száma: Nóri-Judit: 111 10, Nóri-Gergő:17 11 6 Judit-Gergő:19 11 8 A feladatok között 3 1110 6 5 olyan volt, amelyet csak Nóri, és 38 1110 8 9 olyan, amelyet csak Judit oldott meg helyesen. Azon kérdések száma, amelyre a három tanuló közül legalább egyikük helyes választ adott: 58 4 54. 3 38 1 49 olyan kérdés volt, amelyre Nóri vagy Judit helyes választ adott, így 54 49 5 olyan feladat volt, amelyet csak Gergő oldott meg helyesen. A Gergő által helyesen megoldott feladatok száma: 5 6 8 11 30. Így a kérdéses valószínűség 30 58 0,517. c) A három megtanulandó biológiai tételt 8, 3 a kémia tételeket 30 -féleképpen lehet kiválasztani. 3 3! 6 -féleképpen lehet sorba A kiválasztott tételeket tárgyanként rendezni. Az első tétel kétféle tárgyból választható, de a tárgyak sorrendje az első tétel kiválasztása után már adott. 8 30 A különböző sorrendek száma: 3! 3!. 3 3 Vagyis Nóri összesen 95764030-féleképpen állíthatja össze a tételek sorrendjét. Összesen: 17 pont