SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK REZGÉSTAN GYAKORLAT Kidogota: Dr. Nagy Zotán egyetemi adjunktu 7. feadat: Kéttámaú tartó (rúd) hajító regéei (kontinuum mode) y v( t ) K = 8m E ρai = = Fetéteeük hogy a rúd a y íkban vége hajító regéeket. A tengey a keretmetetek immetria tengeye eért a rúd igénybevétee egyene hajítá. Kidogoá: Adott: a két végén megtámatott hoúágú rúd anyaga é geometriája: A= mm = 8m E= N/mm I = 7855mm ρ =78 kg/m. Feadat: a) A hajító kontinuum-regéek differenciáegyenetének megodáa a eő három aját körfrekvencia meghatároáa. b) A rúd eő három aját körfrekvenciájáho tartoó regékép meghatároáa é emétetée. a) A hajító kontinuum-regéek differenciáegyenetének megodáa a eő három aját körfrekvencia meghatároáa: A hajító kontinuum-regé mogáegyenete: v I E v v = = c. t A differenciá egyenetben v= v( t) a rugama á pontjainak (a K keretmetet S pontjának) y irányú emoduáa é c = a hajító regé (regéhuám) terjedéi ebeé- I E ge a rúdban. A megodát Fourier móderre egy cak a heykoordinátátó függő W( ) é egy cak a időtő függő Tt () függvény oratának aakjában kereük: ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( + ε) = ( ) ( ) v t ach k ah k aco k ain k co t W T t aho k = = c I E A megodában erepő a a a a áandók a rúd két végére feírt peremfetéteekbő határoható meg: dv A = heyen v ( = t) = é Mh ( = ) t = IE ( = ) t = I ( ) Ev = t = d amibő v ( = t) =.
A = heyen v ( = t ) = é amibő v ( = t) =. dv h M ( = t) = I E ( = t) = I Ev ( = t) = d A megodát beheyetteítve a peremfetéteekbe: ach ( k ) + ah ( k ) + aco( k ) + ain ( k ) co( t+ ε) = = = = = k ach( k ) + ah( k ) aco( k ) ain( k ) co( t+ ε) = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ε) ach k + a h k + a co k + a in k co t+ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ε) ch + h co in co + =. k a k a k a k a k t A peremfetéteekbő egy homogén ineári agebrai egyenetrendert kaptunk a a a a a áandókra. Et mátrio formában feírva: a a = Aa =. ch( k) h( k) co( k) in( k) a ch( k) h( k) co( k) in( k) a A homogén ineári egyenetrendernek akkor van nem éru megodáa ha a A mátri determinána éru. A determinánt kifejtve: A ( k) ( k) det = h in =. Mive a h() függvény cak =-ná éru eért a máik oró tényeőnek ke érunak ennie: in k = ha k= iπ ( i =... ). ( ) Ebbő a fetétebő kapjuk a hajító kontinuum-regé aját körfrekvenciáit: i i π π I E k i = = iπ k i = = iπ i = i c= i ( i =... ) c c. A fenti négy imeretene homogén ineári agebrai egyenetrenderbe ( ) in k = -t beheyetteítve: a + a = a a =. ach( k) + ah( k) + aco( k) = ach( k) + ah( k) aco( k) = A eő két egyenetbő: a = a = a harmadik egyenetbő a = megodá adódik viont a a tetőege érték ehet (a eőő feadatokho haonóan.)
A mogáegyenet megodáa: v( t) = a ( k ) ( t+ ε) = W( ) T( t) in co i ( i =... ) b) A rúd eő három ajátfrekvenciájáho tartoó regékép meghatároáa é megrajoáa: I E 7855 A öefüggében erepő c = = 58 m/ áandó fiikai jeentée: a hajító regé (regéhuám) terjedéi ebeége a rúdban. A ρ 78 A regéképeket a W = W( ) függvény ábráoááva kapjuk: ( ) in i Wi = Wi = a c. π Legyen a továbbiakban a = így v( ) = Wi ( ) = in i. i i= - eő aját körfrekvencia eő regékép: W 5 + A eő aját körfrekvencia: π = c = 58 8 = 9. A eő regékép: W = W( ) = in π 5 = 8m Jeemő értékek a = é = heyen: W = W( ) = in π = W = W() = in π =. A regéképen a függvényértékek a emoduá nagyágát é irányát i emétetik mert ebben a eetben a rúd köépvonaára merőege emoduáok épnek fe.
i= - máodik aját körfrekvencia máodik regékép: W 5 5 + = 8m - A máodik aját körfrekvencia: π = c = 58 8 = 565. A máodik regékép: W = W( ) = in π Jeemő értékek a = é = heyen: W = W( ) = in π = W = W() = in π =. i= - harmadik aját körfrekvencia harmadik regékép: W 5 + + A harmadik aját körfrekvencia: π = c= 9 58 8 = 59. A harmadik regékép: W = W( ) = in π 5 - = 8m Jeemő értékek a = é = heyen: W = W( ) = in π = W = W() = in π =.
8. feadat: Befaaott kör keretmetetű rúd hajító regéei (kontinuum mode) y = E ρ A I K v(t) S = vt () Adott: a egyik végén befaaott kör keretmetetű hoúágú rúd anyaga é geometriája: A= mm = 5m ρ = 78 kg/m E= N/mm I = 7855mm. Feadat: a) A hajító kontinuum-regéek differenciáegyenetének megodáa a eő három aját körfrekvencia meghatároáa. b) A rúd eő három aját körfrekvenciájáho tartoó regékép meghatároáa é emétetée. Fetéteeük hogy a rúd a y íkban vége hajító regéeket. A tengey a keretmetetek immetria tengeye eért a rúd igénybevétee egyene hajítá. Kidogoá: a) A hajító kontinuum-regéek differenciáegyenetének megodáa a eő három aját körfrekvencia meghatároáa: A hajító kontinuum-regé mogáegyenete: v I E v v = = c. t aho c = c I E A ρ I E a hajító regéhuám terjedéi ebeége a rúdban. A ρ 7855 58 m/. 78 = = A differenciáegyenetben a v v( t) = a rugama á pontjainak (a K keretmetet S úypontjának) y irányú emoduáa. A megodát Fourier móderre egy cak a heykoordinátátó függő W( ) é egy cak a időtő függő Tt () függvény oratának aakjában kereük: ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( + ε) = ( ) ( ) v t a ch k a h k a co k a in k co t W T t aho k = = c A ρ. I E A megodában erepő a a a a áandók a rúd két végére feírt peremfetéteekbő határohatók meg: A = heyen v ( t) ϕ = t = v = t =. A A = heyen = heyen = = é ( ) ( ) dv h M ( = t) = I E ( = t) = I Ev ( = t) = v ( = t) =. d dv Ty( = t) = IE ( = t) = I ( ) Ev = t = v ( = t) =. d A megodát beheyetteítve a peremfetéteekbe: 5
ach ( k ) + ah ( k ) + aco( k ) + ain ( k ) co( t + ε) = = = = = kah ( k ) + ach ( k ) ain ( k ) + aco( k ) co( t + ε) = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ε) ch + h co in co + = k a k a k a k a k t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ε) h + ch + in co co + =. k a k a k a k a k t A peremfetéteekbő egy homogén ineári egyenetrendert kapunk a a a a a áandókra. Et mátrio formában feírva: a a = Aa =. ch ( k) h ( k) co( k) in ( k) a h ( k) ch ( k) in ( k) co( k) a A homogén ineári egyenetrendernek akkor van nem éru megodáa ha a A mátri determinána éru. A determinánt kifejtve: A k ( k ) det = ch( ) co + =. A egyenet baodaán áó függvényt ábráova kapjuk a éruheyeket: i i Zéruheyek a ábrábó: i= k= 875. i= k = 69. További éruheyek: i = k = 7855. i= k = 996. A hajító kontinuum-regé aját körfrekvenciái: - A eő aját körfrekvencia: 875 k = 875 k = 6
I E 875 875 = k c= k = c= = - A máodik aját körfrekvencia: 69 k = 69 k = 58 56. 5 I E 69 69 = k c= k = c = - A harmadik aját körfrekvencia: 7855 k = 7855 k = 58. 5 I E 7855 7855 = k c= k = c = 58 686. 5 b) A rúd eő három aját körfrekvenciájáho tartoó regékép meghatároáa é emétetée: A regéképek meghatároááná a differenciá-egyenet megodáának a Rayeigh-fée (vagy Krüov-fée) függvényekke feírt aakját hanájuk fe: ( ) = D ( ) + D ( ) + D( ) + D ( ) ( ) = D ( ) + D ( ) + D ( ) + D ( ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) v S k T k k V k v k V k S k T k U k v I Ek D U k D V k D S k D T k v IEk DT k DU k DV k D S k aho: S( k) = ch ( k) co ( k) T( k) h ( k) in ( k) + = + U( k) = ch ( k) co ( k) V( k) h ( k) in ( k). = A peremfetéteekbő feírt homogén ineári agabrai egyenetrenderbe beheyetteítjük a aját körfrekvenciákat (a egyenetrendernek cak eekre van triviáitó küönböő megodáa). - A eő aját körfrekvenciáho tartóó regékép: S() T() U() V() D V() S() T() U() D U( k ) V( k ) S( k ) T( k ) D T( k ) U( k ) V( k ) S( k ) D 7 W( ) = ch ( k ) co( k ) h ( k ) in ( k ) = D = D = D = D = 7. 875 875 7 875 875 W ( ) = ch co h in 7
( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) W 5 ch 69 co 69 67 h 69 in 69. A W ( ) eő regékép emétetée: 56. - A máodik aját körfrekvenciáho tartóó regékép: A homogén ineári egyenetrender megodáa: D = D = D = D = 8. 69 69.8 69 69 W ( ) = ch co h in W ( ) = 5 ch ( 988 ) co ( 988 ).59 h ( 988 ) in ( 988 ). A W ( ) máodik regékép emétetée:. - A harmadik aját körfrekvenciáho tartóó regékép: A homogén ineári egyenetrender megodáa: 8
D = D = D = D = 999. 7855 7855 999 7855 7855 W ( ) = ch co h in W ( ) = 5 ch ( 57) co ( 57) 995 h ( 57) in ( 57 ). A W ( ) harmadik regékép emétetée: = 686 9. feadat: Mindkét végén befaaott kör keretmetetű rúd hajító regéei (kontinuum mode) Adott: a mindkét végén befaaott kör keret- metetű hoúágú rúd y E ρai v( t) anyaga é geometriája: A= mm = 5m ρ = 78 kg/m K E= N/mm I = 7855mm. = 5m = = Fetéteeük hogy a rúd a y íkban vége hajító regéeket. A tengey a keretmetetek immetria tengeye eért a rúd igénybevétee egyene hajítá. Feadat: a) A hajító kontinuum-regéek differenciáegyenetének megodáa a eő három aját körfrekvencia meghatároáa. b) A rúd eő három aját körfrekvenciájáho tartoó regéképeknek meghatároáa é emétetée. Kidogoá: a) A hajító kontinuum-regéek differenciáegyenetének megodáa a eő három aját körfrekvencia meghatároáa.: A hajító kontinuum-regé mogáegyenete: v I E v v = = c. t aho c = I E A ρ a hajító regéhuám terjedéi ebeége a rúdban. 9
I E 7855 c = = 58 m/. A ρ 78 A differenciáegyenetben a v v( t) = a rugama á pontjainak ( a K keretmetet S úypontjának ) y irányú emoduáa. A megodát Fourier móderre egy cak a heykoordinátátó függő W( ) é egy cak a időtő függő Tt () függvény oratának aakjában kereük: ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( + ε) = ( ) ( ) v t a ch k a h k a co k a in k co t W T t A ρ aho k = =. c IE A megodában erepő a a a a áandók a rúd két végére feírt peremfetéteekbő határohatók meg: A = heyen v ( = t) = é ϕ ( = t) = v ( = t) =. A = heyen v ( = t ) = é ϕ ( = t) = v ( = t) =. A megodát beheyetteítve a peremfetéteekbe: ach ( k ) + ah ( k ) + aco( k ) + ain ( k ) co( t + ε) = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ε) a ch k + a h k + a co k + a in k co t+ = kah ( k ) + ach ( k ) ain ( k ) + aco( k ) co( t + ε) = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ε) k ah k + a ch k a in k + a co k co t+ =. A peremfetéteekbő egy homogén ineári egyenetrendert kapunk a a a a a áandókra. Et mátrio formában feírva: a ch ( k) h ( k) co( k) in ( k) a a h ( k) ch ( k) -in ( k) co ( k) a = Aa =. A homogén ineári egyenetrendernek akkor van nem éru megodáa ha a A mát- det A= ch( k) co k =. ri determinána éru. Kifejtve: ( )
A egyenet ba odaán áó függvényt grafikuan ábráova kapjuk a éruheyeket: Zéruheyek a ábrábó: i= k= 7. i= k = 785. További éruheyek: i = k = 9956. i= k = 7. A hajító kontinuum-regé aját körfrekvenciái: - A eő aját körfrekvencia: 7 k = 7 k = I E 7 7 = k c= k = c= - A máodik aját körfrekvencia: 785 k = 785 k = 58 657. 5 I E 785 785 = k c= k = c = - A harmadik aját körfrekvencia: 9956 k = 9956 k = 58 65. 5 I E 9956 9956 = k c= k = c = 58 5. 5 b) A rúd eő három aját körfrekvenciájáho tartoó regékép meghatároáa é emétetée: A regéképek meghatároááná a differenciá-egyenet megodáának a Rayeigh-fée (vagy Krüov-fée) függvényekke feírt aakját hanájuk fe: ( ) = D ( ) + D ( ) + D ( ) + D ( ) ( ) = D ( ) + D ( ) + D ( ) + D ( ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) v S k T k U k V k v k V k S k T k U k v IEk DU k DV k DS k D T k
( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) v IEk DT k DU k DV k D S k aho: S( k) = ch ( k) co ( k) T( k) h ( k) in ( k) + = + U( k) = ch ( k) co ( k) V( k) h ( k) in ( k). = A peremfetéteekbő feírt homogén ineári agabrai egyenetrenderbe beheyetteítjük a aját körfrekvenciákat (a egyenetrendernek cak eekre van triviáitó küönböő megodáa). - A eő aját körfrekvenciáho tartóó regékép: S() T() U() V() D V() S() T() U() D S( k) T( k) U( k) V( k) D V( k) S( k) T( k) U( k) D W( ) = ch ( k ) co ( k ) 986 h ( k ) in ( k ) = D = D = D = D = 986. 7 7 986 7 7 W ( ) = ch co h in 7 7 986 7 7 W ( ) ch co = h in. 5 5 5 5 A W ( ) eő regékép emétetée: 657. - A máodik aját körfrekvenciáho tartóó regékép: A homogén ineári egyenetrender megodáa: D = D = D = D = 8. 785 7.85 8 785 785 W ( ) = ch co h in
785 785.8 785 785 W ( ) ch co = h in. 5 5 5 5 A W ( ) máodik regékép emétetée: 6 5. - A máodik aját körfrekvenciáho tartóó regékép: A homogén ineári egyenetrender megodáa: D = D = D = D = 9999. 9956 9956 9999 9956 9956 W ( ) = ch co h in 9956 9956 9999 9956 9956 W ( ) ch co = h in. 5 5 5 5 A W ( ) harmadik regékép emétetée: = 5.