Orosz Gyula, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Orosz Gyula; dátum: 005. november A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I III. példatárát. I. rész 1. feladat Pista kíváncsi volt, hogy szabályos-e házilag gyártott dobókockája, ezért 100-szor feldobta a kockát, s a dobási eredményeket lejegyezte. Összesítés után az alábbi táblázatot kapta: A dobott szám: 1 3 4 5 6 Előfordulások száma: 11 15 17 19 10 8 Mennyi a 100 dobás eredményéből álló adathalmaz a) módusza; b) mediánja; c) átlaga? (). feladat Hány centiméterrel kell megnövelni egy kör sugarát, ha azt szeretnénk, hogy a keletkezett új kör kerülete 0 cm-rel legyen nagyobb a réginél? () 3. feladat Egy könyvkereskedő az egyik könyv árát 5%-kal leszállította, s így a vevők 8%-kal több könyvet vásároltak. Hány százalékkal nőtt a könyv eladásából származó tervezett bevétel, ha az összes könyvet sikerült eladni? () 4. feladat Melyik igaz, melyik hamis az alábbi állítások közül? (Válaszait indokolja!) a) Van olyan deltoid, amely valamelyik átlójának behúzásával felbontható két egybevágó háromszögre. b) Minden deltoid felbontható valamelyik átlójának behúzásával két egyenlő szárú háromszögre. c) Ha egy deltoid húrnégyszög, akkor van két szemköztes derékszöge. d) Ha egy húrnégyszögben két szemköztes szög derékszög, akkor a négyszög deltoid. () 5. feladat Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amellyel 666-ot megszorozva négyzetszámot kapunk eredményül? () 1
Orosz Gyula, 005. november 6. feladat Mely pontokban metszi a derékszögű koordinátarendszer x és y tengelyét az f: x log (x + 8) függvény grafikonja? 7. feladat x Oldja meg a valós számok halmazán: 0. 3 x () () 8. feladat Egyenlő szárú háromszög szárainak hossza 10 cm, területe 5 cm. Mekkora lehet a háromszög alapja? () 9. feladat Egy számsorozat bármely tagja az előző tag háromszorosa. Határozza meg a sorozat 0. tagját, ha a 1. tag értéke! 81 () 10. feladat Az e egyenes áthalad a derékszögű koordinátarendszer A( ; 3) és B(1; 9) pontjain. Határozza meg az egyenes egyenletét! () 11. feladat Öt cédulára felírtuk az 1,, 3, 4, 5 számokat, majd az összekevert cédulákat véletlenszerűen egymás mögé téve egy ötjegyű számot kaptunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az így kapott szám osztható 6-tal? ()
Orosz Gyula, 005. november II./A rész 1. feladat A föld felszínéről kilőtt lövedék levegőben megtett röppályáját az f(x) = x 0,1x függvény grafikonja írja le. (A függvény a felszíntől mért magasságot adja meg a vízszintes elmozdulás függvényében.) A lövedék épp a tervezett célban csapódik a földbe. a) Mi az f függvény - fizikai tartalomnak megfelelő - értelmezési tartománya? b) Mekkora a lőtávolság? c) Mekkora a lövedék által elért legnagyobb magasság? d) Ábrázolja a függvényt! (1) 13. feladat Hány olyan négyjegyű természetes szám van, amely -vel osztva 1, 3-mal osztva és 5-tel osztva 3 maradékot ad? (1) 14. feladat Az alábbi táblázatban az 1990 és 00 közötti néhány évben a személyi sérüléssel járó közúti közlekedési balesetekről soroltunk fel néhány adatot. 1990 000 001 00 Balesetek száma 7 801 17 493 18 505 19 686 Ebből: járművezető hibája 3 890 15 30 16 35 17 317 gyalogos hibája 346 1886 031 001 műszaki hiba 41 19 8 105 Ittasan okozott balesetek száma 458 06 138 440 Ebből: járművezető hibája 3741 187 198 09 gyalogos hibája 507 33 08 6 Meghalt személyek száma 43 100 139 149 Sérült személyek száma 36 996 698 4 149 5 978 a) Egy-egy átlagos napra hány baleset, ittasan okozott baleset, személyi sérülés, halállal végződő sérülés jutott 1990-ben és 00-ben? (365 nappal számoljunk.) () b) Mekkora 1990-ben és 00-ben a gyalogosok hibájából, illetve a műszaki hibából történt balesetek százalékos aránya? () c) Határozzuk meg, hogy 1990-ben és 00-ben az ittasan okozott balesetek hány százalékát okozták az ittas gyalogosok! Állapítsuk meg azt is, hogy 001-ben és 00-ben az előző évihez képest hány százalékkal változott az ittas járművezetők, illetve az ittas gyalogosok által okozott balesetek száma! (6 pont) 3
Orosz Gyula, 005. november II./B rész A 15-17. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania. 15. feladat Oldja meg a 3 4 x x+ + 5 0 egyenlőtlenséget, ha x <! (17 pont) 16. feladat Egy épület a lábától egyenletesen lejtő úton mért 4 méter távolságból 35 50, és a lejtőn 8 méterrel még lejjebbről 19 30 -es szög alatt látszik. a) Mekkora távolságra van légvonalban az épület teteje a második mérési ponttól? b) Milyen magas az épület? (17 pont) 17. feladat D P C Az ABCD négyzet oldala 10 egység hosszúságú. Egy P pont az ábra szerinti AC egyenesen A-tól és C-től távolodva mozog v sebességgel úgy, hogy kezdetben a C pontban van. Határozzuk meg az ABP háromszög kerületét és területét A B a) az eltelt idő függvényében; b) a P pontnak az AD egyenestől való távolsága függvényében! (17 pont) 4
Orosz Gyula, 005. november Orosz Gyula 005. novemberi feladatsorának megoldásai és pontozási útmutatója I. rész 1. feladat a) A módusz 6; b) a medián 4; c) az átlag 11 1 15 17 3 19 100 4 10 5 8 6 = 3,86. Összesen:. feladat Ha a kör eredeti sugara r cm, és x cm-es a növelés, akkor (r + x) = r + 0. Innen x = 10 3,18 (cm). Összesen: 3. feladat Ha B jelöli a tervezett bevételt, akkor az új bevétel B 0,95 1,08 = 1,06B. A növekedés,6%-os volt. Összesen: 4. feladat a) Igaz. A tükörtengely átló behúzásával minden deltoid két egybevágó háromszögre bontható. b) Hamis. Ellenpélda a konkáv deltoid. c) Igaz. Húrnégyszögben két-két szemközti szög összege 180, s a deltoidnak mindig van két tükrös helyzetű szemköztes szögpárja. d) Hamis. Ellenpélda pl. a nem egyenlő oldalú téglalap, vagy az ábrán látható, nem tengelyesen szimmetrikus négyszög. Összesen: 5. feladat 666 = 3 37, a keresett szám 37 = 74. (Pontosan azok a számok négyzetszámok, amelyek prímtényezős felbontásában minden prím páros kitevőn szerepel.) Összesen: 5
Orosz Gyula, 005. november 6. feladat Az f függvénygörbe y = log (x + 8) egyenletéből: ha x = 0, akkor y = 3; ha pedig y = 0, akkor x = 7. Az f függvény görbéje az y tengelyt a (0; 3), az x tengelyt pedig a ( 7; 0) pontban metszi. Összesen: 7. feladat Egy tört akkor negatív, ha a számlálója és a nevezője ellentétes előjelű. A számláló pozitív és a nevező negatív, ha x > 3; a számláló negatív (ill. zérus) és a nevező pozitív, ha x. Eredmény: x ] ; ] ]3; ]. Összesen: 8. feladat A szárakat b-vel, az általuk bezárt szöget -val jelölve a trigonometrikus területképlet b b sin alapján t =. Innen 5 = 50sin, vagyis sin = 0,5. Két megoldás van: 1 = 30 vagy = 150. Összesen: 9. feladat A mértani sorozat hányadosa 3, így a 0. tag 81 8 3 = 3 4 = 16. 10. feladat 9 3 Az egyenes meredeksége m = =, 1 ( ) az egyenlete e: y = x + 7. 11. feladat A számjegyek összege 15, a szám mindig osztható 3-mal. Az utolsó helyiértéken vagy 4 állhat. Összesen: Összesen: Az öt egyformán valószínű lehetőségből kettő felel meg, a keresett valószínűség 5. Összesen: 6
Orosz Gyula, 005. november II./A rész 1. feladat x 0,1x = x(1 0,1x), így a fv. képe olyan parabola, melynek t.metszete x=0 és x=10. a) A szöveg alapján a függvény értelmezési tartománya a kilövés időpontjától a földre érkezés időpontjáig, a föld felszínével párhuzamosan megtett útszakasz: D f = [0; 10]. b) A lőtávolság 10 (egység). c) A parabola maximumpontja a zérushelyek átlagánál van. f(5) =,5 (egység). Összesen: 1 Megjegyzések: a) A függvény grafikonjának ábrázolásáért - annak tartalmától és pontosságától függően - arányos részpontszám adható. b) Pl. indoklás nélkül is elfogadható az ax + bx + c másodfokú kifejezés szélsőérték b helyére a tanult x összefüggés alkalmazása. a 13. feladat I. megoldása Ha a keresett számok -vel osztva 1 maradékot adnak, akkor páratlanok; továbbá ha 5-tel osztva 3 maradékot adnak, akkor 3-ra végződnek. (A 8 végződés nem lehetséges.) Az 1003, 1013, 103, 1033, számok közül a legkisebb megfelelő az 1013. Mivel [; 3; 5] = 30, a keresett számok egy 30 különbségű számtani sorozat elemei: 1013, 1043, 1073, 1103, 9983. 9983 1013 30 = 99, tehát a tagok száma 300. Összesen: 1 13. feladat II. megoldása A keresett négyjegyű számok egyesek helyén álló (utolsó) számjegye 3-as. A tízesek és a százasok helyiértékén álló két számjegy 10 10 = 100-féle értéket vehet fel. Végül az ezres helyiértéken lévő számjegy lehet 1, 4 vagy 7, ha az utolsó három számjegy maradéka 3-mal osztva 1;, 5 vagy 8, ha az utolsó három számjegy maradéka 3-mal osztva 0; 3, 6 vagy 9, ha az utolsó három számjegy maradéka 3-mal osztva. Vagyis az első számjegy az utolsó három számjegytől függetlenül mindig 3-féle lehet; így a megfelelő négyjegyű számok száma 3 100 = 300. Összesen: 1 7
Orosz Gyula, 005. november 13. feladat III. megoldása (befejezés) 30 szomszédos egész szám között mindig pontosan egy olyan szám van, amely eleget tesz a feltételeknek. Az 1000-től 9999-ig terjedő számok felbonthatók 300 darab 30 szomszédos számból álló blokkra, így tehát összesen 300 megfelelő szám található. 14. feladat Az adatokat az alábbi táblázatokban tüntettük fel. (A feladat szövege az 1990-es és 00- es értékekre kérdez rá; a teljesség kedvéért feltüntettük a közbülső számadatokat is.) a) 1990 000 001 00 Balesetek száma 7 801 17 493 18 505 19 686 ebből egy nap átlagosan 76, 47,9 50,7 53,9 Ittasan okozott balesetek száma 458 06 138 440 ebből egy nap átlagosan 11,7 5,6 5,9 6,7 Meghalt személyek száma 43 100 139 149 ebből egy nap átlagosan 6,7 3,3 3,4 3,9 Sérült személyek száma 36 996 698 4 149 5 978 ebből egy nap átlagosan 101,4 6, 66, 71, b) 1990 000 001 00 Balesetek száma 7 801 17 493 18 505 19 686 Ebből: gyalogos hibája 346 1886 031 001 százalékos arány 1,3 10,8 11,0 10, műszaki hiba 41 19 8 105 százalékos arány 0,87 0,74 0,44 0,53 c) 1990 000 001 00 Ittasan okozott balesetek száma 458 06 138 440 Ebből: járművezető hibája 3741 187 198 09 gyalogos hibája 507 33 08 6 egyik sem 10 5 Gyalogosok aránya (%) 11,9 11,3 9,7 9,3 Tehát az ittasan okozott balesetek 11,9, illetve 9,3%-át okozták az említett két évben az ittas gyalogosok. Ittas járművezetők esetében 000 és 001 között 187-ről 198-ra, 001 és 00 között 198 09 198-ról 09-re nőtt a balesetek száma. A növekedés 1, 055 és 187 198 1, 1457 miatt rendre 5,5%, illetve 14,6%. Ittas gyalogosok esetében 000 és 001 között 33-ról 08-ra csökkent, 001 és 00 08 6 között pedig 08-ról 6-ra nőtt a balesetek száma. 0, 897 és 33 08 1, 0865, így a változás 10,7%-os csökkenés, illetve 8,7%-os növekedés. Összesen: 1 8
Orosz Gyula, 005. november 15. feladat Feltétel: ha x <, akkor < x <. II./B rész Az y = x helyettesítéssel az egyenlőtlenség 3y 8y + 5 3y 8y + 5 = 0, ha y = 1 vagy y = 3 5, így 0 alakba írható. B E h A 3y 8y + 5 = 3 y 1 y 5 3 0, ha y 5 1 vagy 3 y. Visszahelyettesítve és az exp.. fv. szigorúan monotonitását felhasználva x 1, ha x 0; 5 vagy x 5, ha log 3 3 0,737 x. A feltétellel összevetve kapjuk az eredményt: < x 0 vagy 0,737 x <. Összesen: 17 pont Megjegyzés: A másodfokú egyenlőtlenség megoldásakor a grafikus módszer is alkalmazható. x C z y A szinusztétel alapján D z y 16. feladat Az ábra szerinti AB épület h magasságát keressük, ha az AD lejtő C és D pontjából az ACB = = 35 50 és ADB = = 19 30 látószögeket mértünk. Az ábra jelöléseivel x = 4 méter és y = 8 méter. a) A keresett z távolságot a BCD háromszögből határozhatjuk meg, melyben három adatot ismerünk: CD=8, CDB = =19 30 és BCD =180 ACB = 144 10. Ekkor persze CBD =180 (19 30 +144 10 ) = 16 0. sin sin BCD CBD sin BCD sin144 10' innen z y 8 58,879 58,3m. sin CBD sin16 0', b) A BCD háromszögből először meghatározzuk a BC oldalt: sin sin19 30' innen BC y 8 33,353 33,m. sin CBD sin16 0' BC y sin sin CBD, 9
Orosz Gyula, 005. november Ekkor az ABC háromszögben ismert két oldal és a közbezárt szög, a keresett h szakaszt a koszinusz-tétellel határozhatjuk meg. h = x + BC x BC cos, innen h = 4 + 33,353 4 33,353 cos35 50, h 19,678. Az épület magassága h 19,7 méter. Összesen: 17 pont Második megoldás a b) feladatra: Észrevehetjük, hogy z kiszámításával az ADB háromszögben három adat ismert: BD = z = 58,879; AD = x + y = 5; és ADB = = 19 30. A keresett AB = h szakaszt közvetlenül (BC kiszámolása nélkül) meghatározhatjuk a koszinusz-tétel segítségével. h = z + (x + y) z (x + y) cos, innen h = 58,879 + 5 58,879 5 cos19 30, h 19,678 19,7. Az épület magassága h 19,7 méter. D Megjegyzések: Ha a megoldó helytelenül alkalmazta a mértékegység átváltást (pl. 19 30 helyett 19,30 kal számolt), de egyébként megoldása tartalmilag hibátlan, akkor 15 pontot kaphat. 17. feladat = A 50 a) Ha az eltelt idő t, akkor PC = vt, PP = BC + 5vt területegység (ábra). C B P P PC vt AB PP' = 10, s a terület T = A koszinusz-tételből BP = BC + CP BC CP cos135, innen BP = 100 1 v t 10 vt, a háromszög kerülete K = AB + AP + PB = 1 10 10 vt 100 v t 10 vt egység. b) A P pont és az AD egyenes távolsága megegyezik PP -vel. Ha PP = z, akkor AP = z, CP = ( z 10), 1 BP 100 ( z 10) 10 ( z 10) z 0z 100. 10z A terület T 5z, a kerület K 10 z z 0z 100 egység. Összesen: 17 pont 10