Máté Márton MŰSZAKI MECHANIKA KINEMATIKA

Átírás

1

2 áé áon ŰSZKI HNIK KINTIK

3 ŰSZKI TUDÁNYS FÜZTK. ISSN 68 8

4 ŰSZKI TUDÁNYS FÜZTK. áé áon ŰSZKI HNIK KINTIK RDÉYI ÚZU-GYSÜT Kolosá

5 kön megjelenésé ámog: Sülőföl lp ekook: Sel Gög, skolc geem Bó Domokos, Spen geem áé áon Kj: él úeum-gesüle Felelős kó: Bó nnmá Soosekeső: B nkő lsósekeső: Snck hál Boíóe: Könce lemé űsk sekeső: áé áon Nom munkálok: omc Tpo Kf., osásáhel Tel./F: Descee I Bbloec Nţonle Române ÁTÉ, ÁRTN űsk mechnk knemk / áé áon. - luj-npoc: Socee ueulu elen, Bblog. ISBN

6 Tlom lősó FJZT. Z NYGI NT KINTIKÁJ.. lpfoglmk..... ng pon mogáspméee ng pon pálgöbéje ng pon sebessége ng pon gosulás nomáls gosulás. llee pálgosulás sámíás Geome lklmás ng pon knemkáj polákoonáákbn mogás polákoonáák éelmee sjáosság ng pon sebessége polákoonáás felíásbn ng pon gosulás polákoonáás felíásbn sögsebesség-eko.... FJZT. RV TSTK KINTIKÁJ..lpfoglmk..... gseű mogások hló mogás Vekomóse... 4 B. ámóse Helálló engel köül fogás

7 Tlom. Vekomóse sebességeloslás gosuláseloslás... B. ámóse ogásöén máokkl sebesség máos lkj gosulások sámíás máokkl Össee mogások csmogás Vekomóse sebességeloslás gosuláseloslás B. ámóse csmogás mámoellje sebesség máos lkj gosulás máos lkj síkmogás Vekomóse sebességeloslás sebességpólus pólusgöbék Gkol műsk lklmások Gfkus móseek gosuláseloslás gosuláspólus gosulás uljonság gosulás geome éelmeése... 7 B. ámóse sebességeloslás máos áglás pólusgöbék máos lkj pólusgöbék kölcsönös bukolás Gosuláseloslás máokkl gosuláspólus gömbmogás gömbmogás megháoás gömbmogás sbságfok gömbmogás pálegenlee egenleek állános lkj B. pálgöbe áglás ule-sögekkel pálgöbe áglás kooná-engelek köül fogásokkl sebességeloslás Vekomóse B. ámóse Álló és mogó lpfelüleek

8 Tlom...6. gosuláseloslás Vekomóse B. ámóse gosuláspólus leheséges helee mee es sb mogás mogás leíás mee es eg ponjánk pálgöbéje Vekomóse... 9 B. ámóse sebességeloslás.... Vekomóse... B. ámóse pllnn fogásengel léeésének feléele pllnn csengel gosuláseloslás.... Vekomóse... B. ámóse gosuláspólus.... FJZT. RTÍV ZGÁS.. elí mogás éelmeése elí mogás ele elí mogás memk moellje Veko bsolú és hel eálj ng pon elí knemkáj ng pon páláj elí mogásbn Vekomóse... 4 B. ámóse ng pon sebessége elí mogásbn Vekomóse B. ámóse ng pon gosulás elí mogásbn Vekomóse... 5 B. ámóse ng es elí knemkáj ng es köeíe mogásánk sjáosság ng es o ponjánk pálá elí mogásbn ng es o ponjánk sebessége elí mogásbn Vekomóse B. ámóse

9 Tlom.4.4. ng espon gosulás elí mogásbn Vekomóse... 6 B. ámóse Függelék... 7 ppen... 7 Iolom Knemcs (Summ)... 8 onens... 8 Knemk (Zusmmenfssung) Inhl nemcă (Reum) upns

10 lősó nfomk, uomálás és sámíásechnk óás fejlőése nomán mnennp éleünk nellgens gépek, esköök, enseek nélkül elképelheelenné le séüleesen felgosul lágunkbn. Nem lehe fgelem nélkül hgn én, hog mneek, égső soon, ng enseek műköésé solgálják, íg kpcsolóó mechnk öénseűségek smeee mnen kobn nélkülöheelen. esköök, gépek, enseek műköésének áláásábn u csk ménök heles megolás láln. gkol uománok jelenko műelőe hául fel, hog moen eljáások segíségéel lálják meg klsskus, öök éénű smeeek megköelíésének mójá, mellel uomános fejlőés hékonbb mogóugójá hoák lée. űsk mechnk Knemk kön elsősobn mechonk és gáásechnológ skos hllgókho sól, e hsnos lehe bák sámá, k éekel lpeő knemk smeeek elsjáíásábn. ng pon és ng mee es mogásánk ok léneges sjáosság áj fel, melek smeeében hllgó blomml láh nek mechnká épülő sknágk elsjáíásáho, mn gépsekeen, gépelemek, lmn obok. kön háom fejeee gol. első ng pon mogásá, mások mee es műsk lklmásokbn előfouló mogás, míg hmk elí mogás sjáosság áj fel. bemuo öénseűségek memk leíásábn öekeem, hog eeke mn eko-, mn peg mámóseel ágljm, úg, hog lágossá egem lsó sámá ké móse egenéékűségé. mámóse megééséhe süksége n lsónk lpeő nlkus mén smeeeke, kooná-nsfomácó lpos smeeée, és máműeleeke unosn kell un keeln. ké móse össehsonlíó jellegű hsnálál seeem oln álágín ekomóse fppáns egseűségée és elegncájá, mel fk mennségek köö össefüggéseke kfeje, páhumosn mámóse sukuál jellegéből óó gen ng előnée, m főképp gépesíe sámolásbn, lmn moell-lkoásbn hsnosíhó. könben felá klsskus smeeek nemels semléleben, eukles geome gságánk elfogásábn gökeenek. nennp 9

11 lősó éleünkben, komkus kölekeés és nnolágo lesámí, fenebb megfoglmo, öbb ésos llee éeees felsmeéseke épülő köelíés még mng megfelelő, és műsk ng egsenc embehe köelenül kpcsolóó eüleé mnen őkben jól fogj solgáln. egöbb llusácóm sánékosn kéel, hgomános móon jolm meg, hog eel s felhíjm fenebb kööl gonol lsó fgelmé. úon seeném kösöneeme kfejen Sel Gög pofesso únk skolc geemől, lmn Bó Domokos ocens kollégámnk Spen geemől, munkám önelen ámogásáé, megjegéseké, jslké, mnek eeméneképpen kön lm mnősége jelenősen jul. Reménkeem, hog skeül lsóbn felkelenem mámóse hsnál án éeklőés, és ugnkko álágínom mechnk öökéénű eejée, sépségée lmn nélkülöheelen fonosságá. osásáhel,. május -án áé áon

12 . Fejee ng pon knemkáj.. lpfoglmk knemk állánosn foglm mechnkánk ág, mel ng es, llee esek egüesen és ömöen ng enások, mogásá sgálj geome semüegen keesül, nélkül onbn, hog fgelembe enné mogás ( heleáloás) ok, eeke léehoó eőke. jelen nkön ng esek lább moelljee, köekeő ng enások koláo fgelmé mogások geome leíásá solgáló esköök áglás soán: ng pon, llee ponok ( ng pon oln es, melnek mogás egelen kgo ponjánk mogásál kellő ponossággl leíhó), oábbá mee es, és mee esekből felépülő enseek ( mee es bámel ké különböő ponjánk állnó áolság). Hoáessük ehhe, hog mee es eg kgo ponjánk mogás ng ponok mogásál kpcsolos esköökkel sgálhó. mogások geome semüegen á öénő sgálánk, knemk elemésnek célj, hog sgál ng enás mogásá mnőségleg és mennségleg s kfejee. műsk mechnk gépelemek és mechnmusok jellegees mogásnk leíásál fogllkok bőebben. mogás mnőség leíás l mogásípus onosíásá ék. Bámel ng enás égehe egseű g össee mogás. egeseű mogás köelenül onosíhó. össee mogások állábn öbb egseű mogásból épülnek fel. össee mogások kéféleképpen áglhók: bsolú mogáskén, eg ögíe heleű onkoás enseben; elí mogáskén, eg ögíe heleű és eg mogó onkoás enseben egejűleg, fgelembe ée enseek egmásho sonío mogásá. mogás mennség leíás o pon ébel heleének őbel áloásá feje k. sgál ng enás o ponjánk helee mogás soán álok. áloás koonáák őől ló függőségében nlánul meg. g esőlegesen álso, ögíe koooná-enseben, sgál enás bámel ponjá felállíhók koonáfüggének:

13 ng pon knemkáj hol,, sgál pon koonáá, áloó peg ő. () egenleense geome éelmeése eg égöbe, mel sgál enás ekne ponjánk mén hele. göbé pálgöbének neek. (), (), () függének sgál pon helekoánk össeeő: j () k () (). áb. ng pon mogás fen megállpíások mogás égő ng enás mnen ponjá éénesek. legegseűbben ng pon knemkáj íhó le l móon. mn má előő ollon ulunk, mee es knemkájábn s álolnul éénesek ng pon onkoó megállpíások, llee eemének. jelen, hog mee es lmel kgo ng ponjá ekne, nnk mogássgálá, skeel lklmhók ng ponok mogásál kpcsolos össefüggések pálgöbék, onkoó sebességek, és gosulások sámíás soán. oábbkbn specáls mogások éslees áglásá keül mj so... ng pon mogáspméee... ng pon pálgöbéje egen ng pon, melnek heleeko eéksögű, jobbsoású kooná-enseben, mogás sgálánk kee, őpllnábn (. áb). o, ő eleléel, pon heleeko les. Éseeheő, hog mogás geome éelmeése heleeko áloás. ekomennségek áloásánk sgálko ké sempono kell éelmen: eko ánánk, lmn bsolú éékének áloásá. elköekeőkben e megállpíás léneges seepe kp. pálgöbe egenlee () -he hsonló pmekus függénekkel célseű leín.

14 ... ng pon sebessége ng pon mogáspméee sebességeko heleeko őbel áloásá feje k. o, éges, őnellum l beköekee heleeko-áloás. ábán s felünee. köepes sebesség heleeko-áloás és ennek beköekeéséhe sükséges őm hános: m () H mogás sgál snén ponból nul, e más őnellum eje k, előbből különböő heleeko- áloás kelekek, melnek köekeében () képleel sámío köepes sebesség-éék s különbön fog. H sgál őnellum égelenül kcs, kko heleekoáloás s égelenül kcs les, gs () köepes sebesség nfnemáls köneeée les éénes. köepes sebesség háééke, h, ponbel pllnn sebesség: lm lm (4) Fgelembe ée heleko () kfejeésé, sebességeko köekeő lko öl: j k j k (5) pllnn sebességeko óegenese pálgöbe énője. én pllnn sebesség efnícójánk geome köekeméne, ugns csökkenéséel pálgöbe íe és húj köö eléés g csökken, meg, héeseben, hú énőé álk. állíás másképpen s boníhó. H pálgöbé nem ő, hnem s íkooná, mn pmée függénében eknk, kko s lkú. íkooná őfüggő, ehá s s. íkooná segíségéel o ő l mege ú háohó meg, nélkül, hog ennek ébel lkjáól nfomácó nújn. s() függén sklás mogásöénnek neek. Felhsnálás különösen bükös és kos mechnmusok eeésében jelenős. íkoonáál pmeál, e őfüggő pálgöbe ehá s móon íhó fel. sebesség megháoásáho ő sen eálás fgelembe ée, hog mogásöén s íkoonáán keesül függ őől láncsbálll kell elégen:

15 ng pon knemkáj s s s fen képleben s/ pálsebesség (e s előjeles mennség poí, h ekne ng pon poí kooná ánábn moog, ellenkeő eseben negí), egségeko peg ( Fêne-féle első képleből köekek) pálgöbe énő-egségeko. el goluk, hog pllnn sebességeko pálgöbe énője. íkooná elem megáloás, íkooná-nöekmén nlánlón s (7) énő egségeko snén () pmekus egenleek ő sen eálásál lehe megháon: k H (8) képle sen felí énő-egségeko s/ pálsebességgel soouk, és fgelembe essük s/ -e onkoó (7) kfejeés, kko eeménül sebességeko (5) kfejeésé kpjuk. j (6) (8)... ng pon gosulás. áb. ng pon gosulás előbbekben áglk lpján beláhó, hog ng pon pllnn sebességeko pon pálgöbe menén elfogll heleéől függ, ehá ánábn és bsolú éékében s áloh. oábbkbn feléeleheő, hog e áloás mogás befolásolj. sebességeko áloásá. áb semléle. koonáenseben legen mogó ponnk őpllnbn elfogll helee, és sebessége. ő múl pon -be ékek, hol sebessége les. 4

16 őnellum há- sebességeko o ő l áloás, és nos köepes gosulás: m ng pon mogáspméee kácsk sebesség áglásko, h őnellum nulláho, kko köepes gosulás kfejeésében háééke kell én, hog / ípusú háolnság elűnjön. köepes gosulás-eko - sámío háééke pllnn gosulás: lm lm () őől, ehá pllnn gosulás képleének megháoás sebességeko (6), énő egségeko függénében felí lkjából legegseűbb. Fgelembe kell enn, hog énő-egségeko íhoss-koonáán keesül függ s. ásés Fêne-féle mások össefüggés éelmében énő-egségekonk s íhoss-kooná sen eálj főnomáls-án egségekoánk és pálgöbe göbüle sugánk hános. neeke fgelembe ée, és (6) elácó sen eál, köekek: s s s s s s s () s s s (9) pllnn gosulásekonk, () elácó lpján, köekeő uljonság onosíhók: állános eseben gosuláseko énőán, és főnomáls án sen ségolhó; gosulásekonk soh nncs bnomáls ánú össeeője, mnen eseben pálgöbe smulósíkjáb lleskek; h pálsks egenes, kko göbüle sugá égelen, íg gosuláseko énőánú les; s h sebesség moulus állnó, kko, ehá gosuláseko nomálánú les; gosuláseko énő ánú össeeője sebesség moulusánk áloásá, míg nomál ánú össeeője sebességeko ánánk őbel áloásá muj; 5

17 ng pon knemkáj ngencáls ánú össeeő lehe poí g negí, ól függően, hog sebességeko bsolú ééke nöeksk g csökken, ellenben nomálánú össeeő mng poí énő és nomáls áll kfesíe hel kooná-enseben mel nomáls éelmeése sen göbüle köéppon felé mu.. áb gosuláseko nomál, llee énő án sen ségolásá üne fel. egfgelheő, hog gosuláseko és énőeko án köö sög.áb. gosuláseko komponense g s () képleel háohó meg. gosuláseko össeeő mogás sgálá éelmee eéksögű koonáenseben heleeko késees, ő sen eálásál állíhók elő: j k gosuláseko moulus (), llee () elácó segíségéel köekeőképpen fejeheő k: () 4 s (4)..4. nomáls gosulás, llee pálgosulás sámíás gosuláseko eüleenek sámíás álso kooná-enseben sonlg egseű, e eek ekoösseeők nem mng solgálnk elégséges nfomácó mogás sjáosságól, hsen,, llee engeleke éelmee eüleekben keeek nomál, llee ngencáls gosulás hás. o eseben sükség lehe nomáls gosulás és pálgosulás smeeée. 6

18 ng pon mogáspméee egegseűbb pálgosulás megháoás, hsen án egbeesk pálgöbe énőjéel. (7) képle lpján s/ pálsebesség ő sen eálj mg keese pálgosulás: s gosuláseko pálánú össeeője pálgosulás énőekol (8. képle) ló sokén fejeheő k: j k (5) nomálgosulás össeő sokkl könnebb sámín ngencáls gosulás össeeőből, mn nomáleko és nomálgöbüle kfejeéséel. Fgelembe ée, hog, nnen, () és (5) kfejeésekkel nomálánú gosuláseko: k..5. Geome lklmás ménök felok memk megfoglmásábn sámln oln ese meül fel, hol o göbe göbüleének megháoás oko gono, ugns ffeencálgeomeából smeees képleek lklmás sok eseben gen bonolul sámíásokho ee. fogskeékhjások eeésében elengeheelen kpcsolóó poflgöbék, llee felüleek göbülee köö elácók smeee. eseben knemk meggonolások lpján leeee össefüggések bonulnk egseűbbnek. pálgöbe o ponjábn efnálhónk feléelee és eko, ( pálgöbe sm, pmekus függéne leglább egse eálhók), ehá éénes össefüggés. H egbeejük e uóbbnk íkooná sen s s eáljá és s Fêne-féle képlee kko kpjuk, hog: j (6) 7

19 ng pon knemkáj 8 s s s s s (7) H pálgöbe lkj sme, és esőlegesen u lkbn pmeál, lmn nomál-egségeko sme, kko pál o ponbel göbüleének sámíásá (7) elácó köekeőképpen hsnálhó fel: u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u (8) el pálgöbe o ponbel göbülee egéelműen megháohó, h (8) képleben seeplő eálk ekne ponho oó u pmée éékée sámíjuk... ng pon knemkáj polákoonáákbn... mogás polákoonáák éelmee sjáosság Bonos eseekben pálgöbe memk kfejeése polákoonáákbn egseűbb. lőnös ebben eseben sebesség és gosulás megháoásá polákoonáás kfejeéseke hsnáln. egjegeük, hog jelen.. sksbn leeee össefüggések csk kko éénesek és hsnálhók, h pálgöbe síkgöbe. egen () pálgöbe ögíe kooná-enseben, melnek poláegenlee (4. áb). H pon pálgöbe menén elmoul, kko polásög ő függénében álok, em célseűbb göbe polákoonáás lkjánk ő sen pmeálás: (9) ponho köjük pon mogásá köeő kooná-ense. nnek engele mng áhl ogón s, köekeésképp egbeesk polásugál. engel peg úg kpjuk meg, hog elfogjuk engel

20 ng pon knemkáj polákoonáákbn ogóbn ómuó jáásál ellenkeő ánb 9-kl. ké koonáengelhe oó egségekook ene e és e jelöl. ő eleléel ogó új heleé jelöl, koonáengeleké peg össhngbn eel megállpoássl és. Nlánló, hog e és e egségekook polásögön keesül ő függéne. e egségekol e () pon heleko. 4. áb. ng pon mogás polákooonáákbn sebesség pon heleekoánk ő sen eálj. eg kell jegen, hog köekeőkben, kfejeések egseűsíése céljából, polásugá ő sen eálj l () kfejeés kell éen. Nlánló 4. áb lpján, hog e heleko e cos sn j lkbn íhó fel kooná-enseben. és j állnó egségekook segíségéel. Iő sen eálj 9

21 ng pon knemkáj j cos sn j e e sn cos () e képle jobbollán, söglees áójelben álló uolsó g egségeko / e /. áskén foglm oln egségeko, mele helen, ehá e egségeko lklms elfogásál kpunk meg. képle sen elfogás ómuó jáásál ellenées ánb öénk, elfogás söge peg / e / nem más,. ek uán nlánló, hog mn koonáengelhe oó e egségeko. előbb elmonok lpján, ekneel még 4. ábá s, nem nehé ellenőn, hog e e e e... ng pon sebessége polákooonáás felíásbn sebessége () heleeko ő sen eálásál kpjuk: e e e e e egfgelheő, hog sebességekonk ké, egmás meőleges össeeője n: e és e. sebesség polásugá őegség l nöekeésé jelen, h állnó polásög, míg sebesség polásög őegség l áloásánk eeméne, h nem álok sugá. H polásög állnó m, kko pál eg ogón áhló egenes les, sebességeko peg ee lleskek. H sugá állnó, és polásög álok, pálgöbe kö lko öl. sebességeko és sugá köö söge és sebességek ánából lehe megháon: () (4) g (5) (5) össefüggés ffeencálgeomeából sme, és o ponbn éelmee polásugá, llee göbe énője áll beá sög. Beláhó, hog (5) kfejeés lpján polásugá és énő söge, knemk megköelíéssel, egseűbben leeeheő. sebességeko bsolú ééke, (4) képle lpján,

22 ng pon knemkáj polákoonáákbn (6)... ng pon gosulás polákooonáás felíásbn gosulás, ká Desces-féle kooná-enseben, sebességeko eálásál kphó meg. (4) kfejeés, ő sen eálás uán, köekeő lko öl: e e e e e gok e és e sen csopoosíásál gosuláseko köekeő les: e e (7) 5. áb. ngencáls és nomál ánú gosulásösseeők polákooonáákbn (7) kfejeés gosulásnk polásugá, llee ee meőleges án eső eülee lm. ngencáls, llee nomál ánú gosulás fenekől állábn különbök. ek megháoás 5. áb lpján leheséges. () pálgöbe ponjábn leő ng pon gosulásekoá, llee kooná-enseekhe soníják, melek engelenek egségeko polákooonáás felíásbn hsnál e és e, llee énő, és nomál egségeko. ké kooná-ense köö kpcsol sögű elfogás. megfelelő nsfomácós má lklmásál gosulás-

23 ng pon knemkáj ekonk emlíe kooná-enseekben éelmee össeeő köö kpcsol köekeőképpen íhó fel: cos sn sn cos Fgelembe ée sög (5) kfejeésé, gosulás e és e egségekook sen kfejee polákomponense (7) elácó segíségéel, lmn (8) máegenlee, gosulás nomál, llee ngencáls össeeő köekeők lesnek: cos sn sn cos..4. sögsebesség- eko () képleeke eeő gonolmene soán golás ne, hog egségekook ő sen eálásko ké eko () elfoul ómuó jáásál ellenéesen / söggel; (b) egségn bsolú ééke -l soók. e (8) (9) és e H kooná-sík meőleges k egségeko eknjük úg, hog j k ( háom egségeko ámskoó kooná-ense jobbsoású), kko bámel, síkb lleskeő ekonk k -l blól ló ekoso emlíe síkbn ómuó jáásál ellenéesen, / söggel elfoul. H skláéékhe eg oln eko csolunk, melnek bsolú ééke sklál megegeő, án-egségeko peg mogás síkjá meőleges k, kko können beláhó, hog () képleek köekeőképpen s felíhók: e e e () e e e eko sögsebesség-ekonk neek, és elköekeőkben jelölése. () ekoáls felíás osson-féle képleek sjáos esee. későbbekben eek állános lkj lklmás ne mee es mogásnk nulmánoásábn.

24 . Fejee. ee esek knemkáj.. lpfoglmk mee esek knemkáj műsk mechnkánk ése, mel ng esek mogásá nulmáno, különös ekneel lábbk: jellegees ponok pálgöbéjének megháoás; esponok sebességenek megháoás; esponok gosulásnk megháoás. pálgöbék, sebességek és gosulások megháoásánk gkol seepe gen jelenős mechnmusok eeésében. felsool mennségek képek nmk sámíás lpj, mel mechnmus génbeéelé háo meg, és íg méeeés knulóponjá képe. emk semponból sgál, o espon pálgöbéjé,, függénkén lehe felfogn, hol ő, (), (), () peg lleő espon kooonáánk őfüggéne, eg álló kooná-ensehe soní. álló kooná-enseen kíül célseű eg, esel meeen köö kooná-ense s éelmen, mele es geome sjáosságnk fgelembeéeléel éemes megálsn. mogás soán eshe ögíe és álló kooná-ense köö kpcsol mnen őpllnbn smenek ekne. ké koonáense hsnálánk előne knemk elemés máos móseében lágosok meg. sebesség-, lmn gosuláseko, ká mogás égő mee es o ponjánk heleeko, mn álló, mn eshe köö és eel egü mogó koooná-enseben éelmeheő. mee esek knemkáj sebességfüggén, llee gosulásfüggén megháoásá ű k célul. ek függének, pálgöbéhe hsonlón, egáloós és háom pméees ekoáls függének, melek őben eemenek kpcsolo sebesség llee gosulás, és espon helepméee köö. m eeke függéneke sebesség-, llee gosuláseloslásnk s neek. mee es mogás öbbféleképpen osálohó. kooná-ense állábn on es moellje, melhe ekne ng pon g mee es mogásá soníjuk. H mogás lmel ögíenek ekne más néen bsolú kooná-enseben semléljük, kko e bsolú mogásnk neeük. éek onbn sámln oln gkol ese s, mko mogás elee eg oln kooná-enseben sgáljuk, mel mg s moog bsolúnk ekne kooná-ensehe képes.

25 . Fejee. ee esek knemkáj eseben mogó kooná-ense elí kooná-ense, ebben megfgel mogás peg elí mogás. ké kooná-ense bsolú, llee elí mnőségé sgál soán mgunk álshjuk meg, leheőleg úg, hog legegseűbb felíású megolásnk jon hele. mogások, jellegük lpján, ké csopob soolhók: egseű mogások; össee mogások. gseű mogások ok mogásípusok, melek má nem bonhók fel oább egseűbb össeeőke. ee es eseében ké egseű mogás léek: hló mogás, és helálló engel köül fogás. Össee mogásoknk neek egseű mogásokból előállíhó, gkolbn jelenkeő és kemel sjáosságokkl enelkeő, lább felsool mogásípusok: csmogás; síkmogás; gömbmogás g helálló pon köül fogás; állános mogás. jelen jegeben mnen oln mogás, mel előállíhó egseű fogó, llee hló mogások lmlen össeéelekén, össee mogásnk eknünk. Ugnkko skolombn fellelheők eől eléő éelmeések s [4, 6, 7], hol csmogás, síkmogás, gömbmogás, lmn állános mogás s egseű mogáskén éelmek, mel eg, ében álló heleű kooná-ensehe soníják. össee mogás sgálhó úg s, mn öbb, egseű mogás össeéele; len semponból mogás lehe egseűen g öbbsöösen össee. ek éslees sgál Felülegeneálás elmélee nágbn kp hele. köekeőkben felsool mogásípusok éslees eleméséel fogllkounk... gseű mogások 6. áb. hló mogás ál... hló mogás. Vekomóse ee es kko ége hló mogás, h bámel ké espon llese egenes mogás soán önmgál páhumos m. 4

26 hló mogás hló mogás ál 6. ábán láhó. mee es mogás jobbsoású kooná-ensehe sonío. mogás sjáosságnk éelmében mogás soán esőlegesen álso sks s önmgál páhumos m., llee helekook őben álonk, e eko sem bsolú éékben, sem ánábn nem álok, ehá őben állnó. eg kell jegen, hog skáól eléően, keőponj elmoul, ehá eko nem köö. llenben komponense nem álonk, mel önmgál páhumos m, és bsolú ééke sem álok, eülee állnók lesnek. fen elmonok fgelembe ée, legen pon sks esőleges ponj, és legen e eko egségeko. és ponok heleko köö fennáll e () össefüggés. H =, kko nlánló, hog. () össefüggés ő sen eálásál és esponok sebessége köö fennálló lább össefüggés kpjuk: () () elácó hló mogás jellemő sebességeloslás. Éelmeése, hog mogás égő mee es bámel ponjánk, o őpllnbn, sebessége ugn. Fgelembe ée, hog mee esben sks kjelölése, íg e egségeko án s esőleges, () elácó bámel esponpá éénes. gosuláseloslás sebességeloslásho hsonló. sebességek elácójá ő sen eál, () nnek éelmében hló mogás soán mee es ponjnk o őpllnbn ekne gosulásuk onos. H () ekoössegben ekook ő függénekén eknjük, kko () ekoösseg mee es különböő ponj áll leí pálgöbék ekoegenlee köö fennálló össefüggés. Kemeljük, hog ő függelen áloó, míg e egségeko, llee pmée őben állnó mennségek. uóbbk ééké és ponok egmásho sonío helee háo meg. () ekoegenle máos lkbn köekeő: e e e (4) 5

27 . Fejee. ee esek knemkáj 7b. áb. Feguson-féle, fölmogás semléleő, bolgókeekes mechnmus 7. áb. óáskeék és pon kooonáá köö, őől függelenül, különbség állnó. Geome semponból e én golj, hog pon pálgöbéje, és pon pálgöbéje egbeágó. Hló mogás égő mee es ponj egbeágó pálgöbéke ínk le. hló mogás nem éesenő össe egenes onlú mogássl! uóbb hló mogás sjáos esee, eenkíül engeeg gkol ese léek, hol hló mogás jellemő pálgöbéje nem egenes. 7. ábán semlélee óáskeék, melnek kos mng függőlegesek mnk, és kosá mnen ponj ugn óáskeék-áméőjű kö íj le, csk eek köépponj lleskenek különböő poícókbn. 7b. ábán Feguson híes mechnmusánk ekonsukcój láhó, melben bámenne s hheelennek űnk első láás fölgömbó lpk mogás soán önmgál páhumos m. Innen s Feguson-féle poon elneeés. 7c. áb konsukő eee já é. B. ámóse máos mogáseleméshe ké kooná-ense megálsás sükséges: eg álló S ense, lmn eg, sgál mee eshe ögíe és eel egü mogó, S ense. mee es geomeáj S enseben sme e mámóse lklmásánk lpfeléele. mogás smeee feléele, hog mnen őponbn megháoo ehá felíhó álló és mogó kooná-ense köö nsfomácós má. mogás köekeméneképpen, nsfomácós má eleme őfüggők. mámóse lklmásáho sükséges lpsmeeek ö össefogllój függelékben lálhó. 6

28 hló mogás 7 hló mogás sjáosság fgelembe ée gs én, hog bámel ké espono öseköő sks mogás soán önmgál páhumos m kjelenheő, hog S -ből S -b ló nsfomácó má mng nslácós má, ehá fogó és (lás Függeléke) egségmá les. mogás soán őben áloó elemek íg nem lesnek másk, mn mogó S ense ogójánk S -ho sonío kooonáá ( nslácó-koonáák), íg sbon álso espon homogén koonáá köö elácó (5) máegenle j. Fgelembe ée, hog őől függő koonáák csupán mogó ense ogójánk kooonáá, pon sebességének össeeő S -bn ő sen eálás lklmásál köekeők: l (6) 7.c. áb. Feguson Selec echncl ecses 77-bn ko műében fellelheő eee j

29 . Fejee. ee esek knemkáj Vlágosn lásk, hog oácós és ő sen eálj nullmá. Köekeésképpen: fen képle éelmeése bn áll, hog esőleges espon sebessége megegek mogó koonáense ogójánk sebességéel, gs mnen espon ugnoln sebességű. (7) elácó ő sen eál, egenle jobbollán álso espon gosulásekoánk össeeő jelennek meg:... Helálló engel köül fogás.vekomóse ee es kko ége helálló engel köül fogás (öen: fogómogás), h es egmésól különböő ké ponj nuglombn m mogás soán. Könnű belán, hog ké emlíe ponon áhló egenes öbb ponj s moulln m. egenes fogómogás engelé képe. fogómogásnk sámln műsk lklmás n. Gkollg lg lálhó oln gép, melnek ne lenne leglább eg helálló engel köül fogómogás égő lkése. fogómogás mennség elemése 8. ábán felünee geome elemek és ekook segíségéel öénk. helálló kooná-enseben () jelöl fogásengel. ponbn öf á síko. fogásengel heleé egéelműen megháo öféspon és () engel áneko. uóbb egségekonk eknjük. Jelölje ene és mee es eg esőleges ponjánk heleé és őpllnbn. egen oábbá és ugneen pon fogásengel lmel B ponjá onkoó heleko. el mee es mogásá sgáljuk, nlánló, hog bámel háom különböő espon lko háomsög oulln m mogás soán. ponon áhló és fogásengele meőleges síko ponbn öf fogásengel. Teknsük mos B eéksögű háomsöge. háomsög B és csúcs nuglombn n, mel fogásengelen lálhó. Íg ő múl háomsög B helebe keül. Nlánló, hog befogó hoss állnó m mogás soán. ás skkl kfejee, pon fogás- (7) (8) 8

30 Helálló engel köül fogás engelől mé áolság mogás soán nem álok. fenebb monok lpján kjelenhejük, hog helálló engel köül fogómogás égő es ponjnk pálgöbé fogásengele meőleges síkokbn fekő köök. köök sug megegenek ekne ponok fogásengelől ló áolságl. 8. áb. fogómogás ál... sebességeloslás sebesség- llee gosuláseloslás megháoásko smenek eknjük mogás égő es geomeájá álso S kooná-enseben. mee es ponjánk ogó onkoó heleeko. 8. áb lpján felíhó, hog B B (9) kálso pon heleko nlánlón ő függéne. sebesség megháoás céljából ő sen kell ehá eáln (8) egenlee. eálás soán fgelembe kell enn, hog csk eko őfüggő és íg / sámíás 8. ábán felünee háomsög segíségéel égeheő el: 9

31 . Fejee. ee esek knemkáj lm sn ' lm lm e lm e képleben sgál ponnk fogásengelől mé áolság, ' ' e ' egségeko peg ponból ponb mu. Nlánló, hog egenlő sáú háomsög lpján fekő ké sögnek háééke 9, h háomsög csúcsáho oó köéppon sög éusho. Köekeésképp háeseben különbségeko meőleges les sugá. mogás soán heleko csk áná áloj, bsolú ééke állnó m. egen heleko és () fogásengel áll beá sög. Nlánló áb lpján, hog B háomsög söggel semben fekő befogój pon köpálájánk sn sug. Beheleesíe sugá ééké sebesség fen képleébe kpjuk, hog: sn lm e fen képleben álló háéék köpálán mogó pon heleé megó köpon sög őbel áloásánk sebessége. nnek lpján, ssée még () képle kpcsán monok s, sklás lkú sögsebessége ' (4) lm (4) móon éelmeük. sámíás képleek enseeése ége célseű sögsebessége ekoáln, gs köpon sög egségn ő l öénő pllnn áloásáho án és áníás eneln. Kössük () engel e, e ánekoá Ω ponho. oínk eknjük Δθ sögelfoulás, h e eko égponjából ekne Ω sík, eko ómuó jáásál ' ellenéesen foul el Δθ söggel ' ekob. Éelmeük eek uán mee es sögsebesség-ekoá (4) képle segíségéel, mn e. Nlánló, hog e ekoáls sonk bsolú ééke sn és jobbkésbálnk megfelelően lm e áneko (e köpál énő egségeko ponbn). Össeee e eemén (4) képleel kpjuk,

32 hog helálló engel köül fogómogás eseén Helálló engel köül fogás sebességeloslás sámíásánk össefüggése. képleben seeplő sögsebességeko helálló engel köül fogómogás lpeő jellemője, peg mee es eg esőleges ponjánk heleko fogásengel lmel sbon kálso jelen eseben B ponjáho soní. álló S koonáenseben sögsebességeko án őben áloln, áníás (előjele) és ngság son őfüggő lehe. sgál pon koonáá őben snén áloók. (4) ekoegenle, má-lkbn, köekeő les: (4) képleben álló,, lmn null neek jelek, hog és ekook koonáá S álló heleű kooná-enseben eknjük. sebesség bsolú éékének eloslás helálló engelű fogómogás eseén lneás. Vlóbn, fgelembe ée (4) elácó és 8. ábá, ekoso ngság sögsebességeko ngságánk és sgál pon fogásengelől ló áolságánk so. el es mee, eko megháoó / sögáloás mnen fogásengele meőleges síkbn állnó (ellenkeő eseben különböő síkokbn lleskeő esponok egmásho soní el kéne mouljnk). Kjelenheő, hog o sugú, fogásengellel egbeeső engelű köhengeen lleskeő esponok sebességének bsolú ééke egenlő. sebességekook án eméseesen o espon heleéől függően különböő, e mng meőleges ekne pono fogásengellel össeköő sks.... gosuláseloslás gosulás sámíás sebesség ekoegenleének ő sen eálásál öénk. Fgelembe ée (4) egenlee, / eál nem más mn söggosulás-eko. Ián megegek sögsebességeko ánál. Ngság fogómogásho oó () köpon sög ő sen mások eálj. egenle jobb ollán megjelenő / eál (4) képle sen sámíjuk. beheleesíés uán, khsnál késees ekosol kpcsolos kfejés éel, köekek: (4)

33 . Fejee. ee esek knemkáj 9. áb. gosuláseko és össeeő: ngencáls és nomál ánú gosulás (44) Fgeljük meg, hog gosuláseko ké össeeőe bonhó. ös- seeő sebességekol megegeő ánú, míg össeeő és ekook poneál össegekén, e ké eko áll kfesíe síkbn feksk. geome sonok 9. áb semléle. egen e heleko áná kjelölő egségeko, e peg koábbn -l jelöl fogásengel án-egségeko. ekkel jelölésekkel fenebb ekne gosulás-össeeő köekeőképpen íhó fel: cos e e (45) Fgeljük meg, hog fen különbség ksebbíenője B háomsög B befogójál, míg konnó ugnennek háomsögnek B áfogójál ános. ekoműelehe oó á ekoháomsög ehá B háomsöggel hsonló, és oll ennek megfelelő olll páhumosk. különbségeko, ennek köekeménekén, befogól páhumos, egébkén peg pon áll leí köpál köépponj felé mu. gosulás (45) képleel sámío össeeőjé nomál gosulásnk, míg össeeő ngencáls g énőánú gosulásnk neek. Össegee,

34 Helálló engel köül fogás helálló engelű fogómogás égő es o ponjánk gosulásá ngencáls, llee nomálgosulás-ekook össege háo meg: (46) gosulásösseeők bsolú ééke (46) képleek, lmn 9. áb lpján sámíhók: sn (47) sn Innen onnl ók gosulás bsolú ééke: 4 sn (48) előőekben leeee képleek lpján gosuláseloslás köekeő sjáosság emelheők k: ká sebességeloslás eseében, gosuláseko mnké össeeője és ennek köekeménekén eeő gosulás s egenesen ános sgál espon fogásengelől mé áolságál ((47) és (48) képleek); fogásengel ponjnk gosulás éelemseűen null; h éus söggosulás ééke, kko nomálánú gosuláseko ebben eseben egenlees fogómogásól besélünk; bámel ponbn onos nomál, llee eeő gosuláseko áll beá sög ééke hsen (.áb) g (49). ábán ngencáls, llee eeő gosulás lneás eloslásá fogásengelől ló áolság függénében llee B háomsög semléle. H ponbn sme ngencáls és nomálgosulás ééke, kko können megsekesheő eeő gosulás. esőleges sugú köpálá leíó pon ngencáls gosulásá sks, eeő gosulásá peg B sks j, melek llee B égponj -ből -he, llee B-he húo páhumosok ják.

35 . Fejee. ee esek knemkáj B. ámóse... ogásöén máokkl mámóse, kácsk hló mogás eseében, álló heleű S és eshe köö, ele egü mogó, S kooná-ense kpcsolánk smeeée épül. mogás égő es geomeáj sme kell legen eshe köö S mogó kooná-enseben. mennben álló S koonáenseben, mnen őpllnbn, megháohók bámel espon koonáá, kko sme álló és mogó kooná-ense köö kpcsol nsfomácós má. nsfomácós má eleme ehá ő függénekén foghók fel. helálló engel köül fogómogás eseén hsnál kooná-en-. áb. gosulás geome uljonság seeke. áb semléle. S álló kooná-enseben es fogásengele pon koonáál, lmn és sögek segíségéel hó meg. B sks fogásengel eülee sík. Nlánló, hog B háomsög síkj sík meőleges. fogómogás égő mee eshe ögíe S kooná-ense mogás nulmánoásánk kee pllnábn heleben lálhó. Vegük ése, hog első ne kooná-ense, mások őpllno onosíj. S kooná-ense heleé oábbkbn snén állónk eknjük és megkülönböeés keéé S móon jelöljük. o ő eleléel mogó ense helebe keül. l ő l fogás égő es söggel foul el fogásengel köül. sámíások egseűsíése céljából mogó ense leheőleg úg kell felenn, hog egk engele fogásengellel egbeessék. Jelen eseben, össhngbn. ábál, fogásengel engel. el sög őfüggő, célseű e - nek jelöln. álso kooná-enseek engelenek egségeko ene, j, k,, j, k llee, j, k. Felessük, hog S kooná-ense engele B síkbn feksk. Köekeésképpen j B sík meőleges, ehá síkkl páhumos, án peg, sjáos heleéből óón, engel ánál 9+ 4

36 Helálló engel köül fogás sn cos sn cos cos cos cos sn B cos sn sn sn sn cos // sn cos cos sn söge áj be.. áb lpján ellenőheő, hog S kooná-ense, j k egségekonk oslopmá őpllnbn köekeők:, sn cos sn cos cos sn sn j cos cos sn ; k (5) cos sn egjegeük, hog ké egségeko smeeében hmk nlkus úon s sámíhó j k lmn eel eklens képleekből. ogó,,. áb. mámóse lklmo kooná-ensee koonáá S -bn smenek ekneek. Jelölje ene és mee es lmel ponj S llee S -bel helekonk megfelelő oslopmá. Beláhó, hog oslop őfüggelen, mel S mee 5

37 . Fejee. ee esek knemkáj esel egü moog. el S kee őpllnbn elfogll S heleéhe soní elmoul, íg pon S - éelmee oslop őfüggő; beláhó, hog pllnbn. oábbkbn áb, homogén koonáák éelmeése, lmn egségekook köö fennálló (5) képle felhsnálásál beláhó, hog bámel őpllnbn eljesül lább nsfomácós egenle: sn cos sn cos cos sn sn cos cos sn, cos sn S mogóense állános heleé S -ho () pméeel megháoo engel köül fogás j meg. Köekeésképp, és köö kpcsol lább móon íhó fel: cos sn sn cos Beheleesíe (5) egenlee (5)-be, S -ből S -b ló ámene má előbbekben felí ké nsfomácós má so les:,,, (5) (5) (5) Felhíjuk köülméne fgelme, hog fen egenleben egeül. függ () -n keesül őől sebesség máos lkj (5) máegenle ő sen eálj sebességeko össeeő, míg ő sen mások eál gosuláseko össeeő j meg álló S enseben. Köekeésképp sn cos cos sn,,, (54) (54) egenle leheőé es mogás égő mee es geomeájánk smeeében e eméseesen S kooná-enseben smejük 6

38 Helálló engel köül fogás sebességeko komponensenek onnl sámíásá S állóenseben, felée hog sme / pllnn sögsebesség. oábbkbn ugncsk helálló S koonáenseben sámíjuk sebességeko össeeő, oslopmáo. sámíás elégésée sükség n eko S -ból S -b nsfomáló, má. n smeees, ekoösseeőke nsfomáló homogén máo úg állíjuk elő, hog megfelelő koonánsfomácó homogén máánk fogóésé eg null sol és eg null osloppl egésíjük k., lklms álkíásál és (5) khsnálásál álkíás, ésleesen, köekeő sámíások jelen:,,, sn cos sn cos cos sn, cos sn,, Fgelembe kell enn, hog, sgál espon homogén koonáánk felíás S -bn. sámíások elégése uán keese sebességoslop köekeő lko öl: (55) (56) (56) elácó egenéékű (4)-ml. különbség, hog (56) S koonáenseben n felí. bben lágosn lásk sögsebesség-eko feesmmekus má, m gkol sámíásokbn sokkl előnösebb (54) elácóból onbn nem űnk k! (54) össefüggés elsősobn é előnös, me sebességeko-össeőke mee es sjá enseéből e helkoonáákkl j meg álló S enseben. el mogás sme, egseű 7

39 . Fejee. ee esek knemkáj nsfomácó lklmásál bámel, monjuk S, kooná-enseben felíhó sebességeko onkoó nsfomácós má, llee ennek megfelelő smeeében: (57)...5. gosulások sámíás máokkl gosulás megháoás (54) egenle ő sen eálásál öénk: cos sn,, sn cos, sn cos cos sn Nem nehé belán, hog kpcsos áójelben seeplő máok köül első ngencáls-,(e ugns söggosulássl ános) mások peg nomálgosulás ééké j meg (e ugns sögsebesség négeéel ános). Bá konké sámíások égehjás soán fen lk, hsonlón sebességmeő eseéhe, előnösebb, lábbkbn ekoáls lkkl ló össehsonlíás keéé külön s felíjuk gosulás. koonánsfomácó lpján kjelenheő, hog gosulások ekneében fennáll, össefüggés. hho, hog e megjelenjen gosulásmeő képleében, oább álkíások n sükség:,...,,,...,,,... fen műelesobn seeplő első ké soóéneő éseemén nem más mn,,, gs S -ből S -b ló nsfomácó má. Vlágos, hog,... és eel gosulás oslopmá S -ben 8

40 Helálló engel köül fogás 9,... műelesol sámíhó, m, fgelembe ée első kfejeés, köekeőképpen lkul: cos sn sn cos cos sn sn cos sn cos cos sn cos sn sn cos (58) g kjelöl műeleek elégése uán: (59) (59) képle első gj ngencáls gosulás, mások peg nomálgosulás. Können beláhó, gosulás ekoáls kfejeésé ekne, hog kooná-nsfomácó eálásál leeee képle úg s megkphó, hog ekosook felíásko első soóéneő ekneében éelemseűen onkoó feesmmekus máo, mások ekneében peg onkoó oslopmáo hsnáljuk. égeemén onosságánk beláás hmenű máok kegésíésé génl nnk éekében, hog negeenű máok kpjunk: jobbollon eg éus oslop, uolsó so uán peg eg éus so sükséges kegésíés. oslopmáok eseén peg homogén koonáák éemes áén uolsó elem lklms megálsásál.

41 . Fejee. ng esek knemkáj / kfejeés söggosuláseko bsolú ééke. nomálgosulás kfejeésében seeplő négees má feesmmekus má négeének hsonló kegésíeje. fenebb monok lpján lágosn lásk nlóg ekomóse és mámóse köö. ekomóse egseűbb kfejeéseke eeméne, son ügeln kell, hog kfejeésben seeplő mnen eko ugnbbn kooná-enseben legen felí. mámóse első láás bonolulbbnk űnk, e hsnál lénegesen egseűbb, mko sámoln kell, mguk sámíások peg köelenül kóolhók, h pogmo kell ín... Össee mogások... csmogás csmogás egenes onlú hló mogás és helálló engel köül fogás kombnácójából hohó lée. csmogás égő mee es o heleű engel menén hló mogás ége, mköben e engel köül foog. bben eseben fogásengele lleskeő esponok káólg hló mogás égenek, míg engelen kíül eső esponok mogás egenes onlú nslácó, és fogásengel köül oácó supeponálásánk eeméne. csmogás úg s felfoghó, hog fogómogás égő es engele sjámg menén moul el e nslácó, mköben eméseseűen mgál s ponj s. nslácó, llee elfoulás köö mng léek össefüggés. H sklás lkbn eknjük mogásöén, kko nslácó née s s, elfoulás née peg lko éeleük fel. Toább feleés, hog kpcsol kölcsönösen egéelmű (bjekí), köekeésképp léek lkú nefüggén. Vssheleesíe e képlee engelmenén mé íkoonáá ó skláöénbe, megkpjuk í- és sögkooná köö kpcsolo: s s (6) csmogásnk sámos gkol lklmás sme. ek ípusáól függően más és más lehe (6) össefüggés lkj. leggkbbn lneás kpcsol foul elő: s p csköések, llee cskpcsok eseében. Können beláhó, hog eljes köülfoulásho s p engelánú elmoulás ok. lójábn cs meneemelkeése. s kolshó képleből, hog p ánosság éneő nem más, mn sögelfoulásho oó elmoulás, mele cs pméeének neenek, és elméle moellek előseeeel hsnálják [9]. H ő sen eáljuk e 4

42 lneás kpcsolo, kko sögsebesség és engelmen sebesség köö kpunk össefüggés: s p p (6) csmogás másk ng lklmáscsopo ébel bükös mechnmusok fogllj mgáb (. áb). ek célj állnó sögsebességű fogómogás áloó sebességű lneás elmoulássá lkíás. bben eseben mechnmus mogásáel öéne geome g knemk jellegű lehe. H mogásáel öén geome, kko o éékű sögelfoulás eee go előí engelmen helebe kell, hog ho, sögelfoulás éékének megfelelő elmoulássl. menben mogásöén knemk jellegű, kko eeő g állnó sögsebessége melle eee g o őpllnbn mogásöénnek megfelelő sebességgel kell moogjon. ekkel poblémákkl mechnmusok uomán fogllkok ésleesebben. H első, geome célkűés eknjük, kóko lágos, hog s f függén nem felélenül lneás, és ebben eseben engelánú sebesség: s f f (6) Vlágos, (6) és (6) össefüggések lpján, hog f/ pllnn cspmée. mennben hjás knemk, úg mogásöén lkj p, h állnó sögsebesség. bben eseben úöén negálássl kphó: s. áb. Tébel bükös mechnmus p (6) köekeőkben csmogás égő mee es sebesség- llee gosuláseloslásá mn eko-, mn peg mámóseel áeknjük.. Vekomóse csmogás jellemő. áb semléle. helálló koonáense síkjá () csengel ponbn öf. csengel egsee fogásengel és egenes onlú hló mogás án s egben. ekne mee es ponjánk heleé, őpllnbn, () engel B 4

43 . Fejee. ng esek knemkáj ögíe ponjából knuló pon helebe keül. nnek ponnk heleko. heleko lkú nöekméne ké össeeőe bonhó:. áb. csmogás ekomoellje eko háo meg. ő elele uán B ponho sonío (64) össeeő keőponj heleko csúcs egébkén peg csengele meőleges síkbn feksk. össeeő keőponj eko égponj, és páhumos csengel ánál. csengele meőleges és l páhumos össeeőe öénő felbonás lójábn csmogás helálló engel köül fogás és csengellel páhumos egenesonlú hlómogás öénő felbonás. H onosn éus (mnen őpllnbn éus) helálló engelköül fogás leíó össeeő, kko pon elem elmoulás hló mogásho ok, mg csmogás peg hló mogássá egseűsök. H peg csengel-ánú hló mogás ó elem elmoulás onosn éus, kko sgál es fogómogás ége () engel köül. 4

44 csmogás... sebességeloslás sebességeloslás (64) elácó ő sen eálásál, és. áb fgelembeéeléel sámíhó: lm lm lm első háéék ponosn megegek helálló engel köül fogás eseén ekne háéékkel és íg o láo sebességmeő eeméne. mások háéék mng páhumos () engellel, jelölje e. Éemes e össeeő (6) képle lpján pllnn sögsebességgel kfejen. Fgelembe ée engelköül fogásból óó sebesség (4) képleé, lmn sámíásál kpcsolosn monok (65) össefüggés köekeő lko öl: p (66) (65) 4. áb. sebességeloslás csmogás eseén 4

45 . Fejee. ng esek knemkáj sebességeko komponense 4. áb semléle. csmogás sebességének engelánú, lmn ngencáls össeeője úgneee hooó hengefelüle énő síkjá fesí k. ekne espon csengelhe sonío áolság nem álok csmogás soán, íg hengesugá állnó m. 4. ábán hsnál jelölésekkel sn (67) Köekeésképpen pon () páláj () hengefelüleen feksk, és, állános eseben, eg áloó pméeű hengees csonl. pllnn sebesség mng csonl énője. engelánú és ngencáls ánú össeeők hános megháo sebességeko őléssögé csengele meőleges sík: p p g (68) Vegük ése, hog o őpllnbn őléssög ngensének eloslás hpebolkusn csökken csengelől ló áolsággl. nnek megfelelően, sebességán és csengel söge (mel e uóbb őléssög pósöge) hpebolkusn nöekő. ngencáls sebességkomponens csengelől mé áolsággl ánosn nöeksk, ugnúg mn fogómogás eseében. engelánú sebességkomponens, eg o őpllnbn, mee es mnen ponjábn onos.... gosuláseloslás egen e () csengel án-egségeko. e őben állnó, mel csengel helee ögíe. Fgelembe ée e, (65) l sebesség köekeőképpen íhó fel: p e (69) gosulás (69) elácó ő sen eálásál háohó meg: p p p e e (7) Össeee (7) képlee fogómogás gosuláseloslásál, (44)-es és (46)-os képleek, lágosn kűnk, hog csmogás gosuláseko háom, egmás meőleges össeeőe bonhó: fogásból sámó ngencáls komponense; 44

46 csmogás fogásból sámó nomálkomponense; hlómogásból sámó engelánú komponense. ek lább móon különíheők el egmásól: p p e (7) háom, egmás meőleges össeeő án ükö, hog csmogás fogómogás, llee ennek engele menén öénő hló mogás álshó sé. Íg gosuláseko első lépésben csengellel páhumos ( ) és csengele meőleges síkb eső ( ) össeeőke bonhó fel. ások lépésben csengele meőleges síkb eső eüle eg, csengel meső ( ) és eg ee meőleges ( ) össeeőe bonjuk fel. Vegük ése, hog és komponensek nem onosk gosulás nomál-, llee ngencáls össeeőel, hsen gosuláseko ngencáls össeeője pálgöbe énője, ee meőleges komponens nomálgosulás son pál göbüle köépponj felé ánío, ké komponens peg pálgöbe (mos csonl) smulósíkjábn feksk. pálgöbe smulósíkjáb lleskeő ngencáls, llee nomálkomponens úg háohjuk meg legkönnebben, hog ksámíjuk pál énőánú és nomálánú egségeko, eeke bonjuk fel (7) képle áll mego össeeőke, mj előbb egségekook sen össegeük. sámíás lábbk smeek. Feléeleük, hog o őpllnbn sme mogás égő mee es helee helálló kooná-enseben, gs sme eko.. áb jelöléseel B B j B k, hol,, koonáák ő függéne álonk, e B pon csengel ögíe ponj. enkíül sme o pllnbn áls sebesség, pllnn p() cspmée, () csengel e egségeko lmn e skláso, m nem más, mn pllnn sklás sögsebesség. pllnn sebességeko (68) lpján: 45

47 . Fejee. ng esek knemkáj 46 B B B B B B B B B p p p p (7) (7) sebességkomponensekkel pálgöbe énő-egségeko köekeő móon sámíhó: k j (7) ngencáls gosulás megháoásko, (7) képle áll mego komponensek ánú eülee sámíásko, fgelembe kell enn, hog o eko és egségeko sklás so nem más, mn o eko egségeko ánú koonááj. fgelembe ée, (7) és (7) képleekből megkpjuk ngencáls gosuláseko: e p p * (74) Vegük ése, hog (74) kfejeésben seeplő egesso null, mel sebességeko pálgöbe énője. el e p p * (75) ngencáls gosulás. I söglees áójelben álló sklá peg nlánlón pálgosulás. nomálgosulás bsolú ééké nnk fgelembeéeléel sámíjuk, hog eljes gosulás bsolú ééke felbonásáól függelen és íg kéféleképpen íhó fel: * * (76) H (76) össefüggésbe heleesíjük (7) és (75) kfejeéseke, és ké oll felcseéljük, kko kpjuk, hog:

48 csmogás 47 * e p p e e p p skláso uljonság fgelembe ée, fen kfejeés köekeő lk hohó: * * e p p p p e p p e p p p p Nlánló, hog e egesso null, mel söggosuláseko és csengel egségeko kollneásk. kfejeés egseűsíése uán ók, hog * * (77) gs *. ásés, 4. ábán megfgelheő, hog sebességeko ngencáls és engelánú össeeője eg oln síko fesí k, mel fogásengellel páhumos. gosulás nomálkomponense peg ee sík meőleges. Innen egéelmű, hog csmogás soán kelekeő nomálgosulás onos ngencáls sebesség eálásából kelekee nomálkomponenssel, gs engelánú hlás semmben sem befolásolj nomálgosulásösseeő áná és ngságá. Köekeeésképpen fennáll, hog: * * (78) B. ámóse... csmogás mámoellje mámóse lklmás, hsonlón helálló engel köül fogás eseéhe, feléele helálló S, mee eshe ögíe és eel egü mogó S, oábbá S, kooná-enseek, lmn kööük fennálló nsfomácós máok smeeé. emlíe kooná-enseek egmásho soní-

49 . Fejee. ng esek knemkáj 5. áb. csmogás mámoellje o helee 5. ábán láhó. memk moell fogómogásko felhsnál moelle épül, mele engelánú hló mogás egésí k. S kooná-ense = őponnk megfelelő heleében S koonáenseben (5) egenle j meg egségekook komponense. S kee helee és S köö kpcsolo peg (5) máegenleben seeplő, má íj le. csmogás jellemő () engel köül elfoulás () sög háo meg. egben S és S kooná-enseek köö fogómá pméee. engelmen elmoulás s() íkooná j meg. függén, bükös mechnmusok eseén sögelfouláson keesül függ őől. s f (79) engelánú sebesség (79) ő sen eálj. (6) képleel ujuk sámín. 48

50 csmogás 49, nsfomácós má kegésül engel ánábn ége s() méékű elmoulássl, íg lkj köekeő les: cos sn sn cos, s (8) el mee es esőleges ponjánk kooonáá S álló enseben köekeők:,,, cos sn sn cos s (8)...4. sebesség máos lkj (8) elácó ő sen eálásál oslopmásl mego esőleges espon sebességének komponense lehe megháon S enseben:,,, f sn cos cos sn (8) (8) elácóbn seeplő, má eálj ké ése bonhó: T R f sn cos cos sn f sn cos cos sn,

51 . Fejee. ng esek knemkáj Jól láhó, hog R má fogásból sámó sebességkomponens, T má peg engelmen hlásból eeő j. R má onos fogómogás leeee, (5) elácóbn seeplő mál. sebesség oslopmá, felbonás lpján köekeő les:, R, T (8) H (8) egenlee blól, -l,, neéel soouk, kko sebesség oslop S -bn ók. Vegük ése, hog T má és oslop so nem más, mn T uolsó oslop. elmonok lpján, sámíás köekeő: f,,, R,, T R (84) Vlágosn lásk, hog csmogás sebességeloslás nem más, mn fogómogás sebességeloslásánk kegésíése csengel menén ló hló mogás sebességéel. H (84) egenleben, oslopo blól lkbn felí egségmásl soouk, és megfgeljük, hog,,,, ekomóseel leeee képleek máos lkjá lálunk: R,, f f (85) Vegük ése, hog (85) képleben seeplő feesmmekus má (55) má-egenleben seeplőel onos. hló sebesség oslopmá S helálló, lmn S mogó ense köös engelének ánábn ló hlás sebességé feje k, mel csk hmk eleme nulláól különböő. 5

52 csmogás gosulás máos lkj gosulás (8) sebességegenle ő sen eálásál háohó meg:,,,,, cos sn sn cos sn cos cos sn T R, f f (86) (86) egenle eplc móon lm gosulás, llee össeeőnek homogén ekokooonáá S helálló kooná-enseben:, sn cos cos sn (86.), cos sn sn cos (86b.)

53 . Fejee. ng esek knemkáj, f f (86c.) ekomóseel leeee képleekkel ló eklenc gosulás eseében s kmuhó. Hngsúlouk, hog háom gosulás-össeeő álló S kooná-enseben íuk fel, mee eshe ögíe és ele egü mogó S enseben éelmee, homogén esponkoonáák függénében. fenebb hngoo egenéékűség kmuásánk éekében (86.), (86b.), és (86c.) máegenleeke blól, másl soouk, és eel sámío gosulás-össeeőke S -ben ( mee eshe kpcsol koonáense nulás heleéel megegeő helálló enseben) éelmeük. ek uán esponkoonáák fejeük k S -ben, úg, hog oslopo blól soouk,, egségmásl, ká sebességgel kpcsolos, előbbekben ágl móseben. műeleek elégése uán ekomóseel leeee gosulásmeő máos lkjá kpjuk. mlékeünk, hog espon muó heleko (ekomoell,. áb) mn áná, mn bsolú ééké sebesség eleméseko felhsnál, e onkoó sámíások megsméele, lább máos kfejeéseke kpjuk: ε T f f (87) 5

54 síkmogás... síkmogás síkmogás oln sjáos mogásfj, mel sámos sekee elem eseén előfoul. Síkmogás égenek ugúkok belsőégésű moookbn, bolgóműes sekeeek bolgókeeke, ffeencáls bükös sekeeek pnó, obook sjáos lkése. H lmel síkbel sekee elemenek mogásá sgáljuk, kko mng megjelenk eges elemek elí síkmogás. ee es kko ége síkmogás, h n háom nem kollneás ponj, melek köös síkj mogás soán páhumos m eg o, ögíe heleű síkkl. uóbb mogás lpsíkjánk neeük. (6 áb). 6. áb. síkmogás megháoás fen állíás lpján, egseű geome meggonolássl, lább éseéeleke ehejük: h mee es háom nem kollneás ponj mng eg, lpsíkkl páhumos síkbn m mogás soán, kko, es meeségéből köekeően, össes öbb, o síkbel ponj s ebben síkbn m; h léek leglább eg oln síkj mee esnek mel páhumos m mogás lpsíkjál, kko égelen sámú len sík léek, (eek mee es lpsíkkl páhumos síksol ló mesése) ennélfog mee es ponj lpsíkkl páhumos síkokbn moognk; mee es elfoulásánk engele mng meőleges lpsík, ellenkeő eseben ugns lenne oln espon, mel elhgná sjá mogás síkjá.; bámel, lpsík meőleges egenese lleskeő esponok páláj egbeágó, sebessége és gosulás peg onos. uolsó megjegés lpján kmonhó, hog síkmogás elégséges lpsíkkl páhumos, egébkén esőleges síkbn sgáln. Nem sé állánosságo, h mogás sgáláho sükséges kooná-ense egk síkj lpsíkkl páhumos, g l egbeesk. esnek mogás lpsíkjáb eső meseé efeenc-selénnek g lpselénnek neeük. síkmogás sgál elő célseű megjegen, hog hló mogásnk s lehe oln sjáos esee, melben síkgöbék esponok pálá; helálló engel köül fogó mogás égő es ponjnk pálgöbé s fogásengele 5

55 . Fejee. ng esek knemkáj 7. áb. síkmogás geomeáj meőleges, páhumos síkokbn fekő köök. nké specáls eseben efnálhó mogás sámá eg lpsík. fgelembe ée kjelenheő, hog síkmogás fogó mogás, és eg specáls hló mogás kombnácój mele jellemő, hog fogásengel helee őfüggő, mköben es hló mogás s ége! síkmogás jellegének sáás ége célseű 7. áb elemése. B háomsög mogás síkjábn feksk és őpllnbn B helee fogllj el. őpllnbn peg legen B háomsög helee. B háomsöge síkmogássl kéféleképpen hohjuk B helebe. első móse ké lépéses: elcsúsjuk B háomsöge B helebe, ol móon, hog síkom oll önmgukkl páhumosk mnk, euán peg B csúcs köül söggel égső B helebe fogjuk. mások móse lénege, hog egelen lklmsn álso külső pon köül fogássl houk B háomsöge égső B heleébe. pon, llee B B sksok feleő meőlegesenek mesésponj. Vlóbn, B =B, = és B = B, honnn eens B és B háomsögek egbeágóság. köös csúcs één nlánló, hog ké háomsög köül elfoíássl egmássl feésbe hohó. Fgelembe ée, hog B és égső heleű B háomsögek megfelelő oll köö sög, oábbá, hog B páhumos B ollll, köekek, hog B és B háomsögek megfelelő oll köö sög s. el goluk, hog első móse eklns mások móseel, egelen pon köül elfoulássl. 54

56 síkmogás mogás folonos; ké, különböő eshele köö égelen sok, köbeeső hele léek, hog éges őnellum s égelen sok, nfnemáls, nellum össegének eknheő. nfnemáls ő l mee es elmoulás égelenül kcs, íg esponj égelenül kcs s pálíeke ínk le. ek pálíek égelenül kcs (nfnemáls) köíekkel heleesíheők. Fgelembe ée egelen fogás leheőségé, ké különböő eshele köö, kmonhó, hog o pllnbn síkmogás égő es égelenül ks elfoulás ége lpsík meőleges, áloó heleű engel köül. uóbb pllnn fogásengelnek neeük. Kmonhó, hog síkmogás égelenül sok, áloó heleű fogásengel köül égehjo nfnemáls méeű elem fogások soo. jelen, hog eges ponok pálgöbének nfnemáls sks pálgöbék smulóköenek íe és ekne pon pllnn fogásengelől mé áolság nem más, mn pál o ponbel göbüle sug. oábbkbn síkmogás jellemő sebesség-, llee gosuláseloslás nulmánoásá keül so, eko- llee mámóseel.. Vekomóse ekomóse geome moellje 8. ábán láhó. Feleésünk sen mogás lpsíkj S álló heleű kooná-ense síkjál páhumos, mogás égő mee es efeenc-seléne peg ebben síkbn feksk. es ponjáho köjük eshe meeen ögíe, S jelű kooná-ense. egen B efeenc -selén esőleges ponj. mogás soán B pon koonáá álló S enseben pfüggőek, S -ben peg állnók. S ense egségeko nlánlón őfüggőek ( mee es pllnn fogások síkmogás jellemő heleeko 8. áb. sooá íj le). áb lpján és B ponok heleko köö köekeő össefüggés íhó fel: (88) B (88) egenle mnegk gj őfüggő. és B ekook mn ánuk, mn peg bsolúééküke ekne őfüggőek. el semben B eko csk áná ekne álok, mel es mee. áskén foglm é álonk B össeeő álló S kooná-enseben me eko mogás soán elfoul. B 55

57 . Fejee. ng esek knemkáj... sebességeloslás esőleges B pon sebességeko (88) egenle ő sen eálj. képleben seeplő ekook kooná-ánok sen felbonásánk fgelembeéeléel sámíhó: B B B j j j B B B í (89) eg kell fgeln, hog B és ponok koonáá őfüggők, míg B pon -ho sonío elí heleé kfejeő B eko eseében, j egségekook (más néen básekook) függenek őől, B és B koonáák peg nem. (88) egenle ő sen eálj (89) képleek fgelembeéeléel, llee () l osson-féle képleek éelemseű lklmásál háohó meg ( osson-féle képleeke és j egségekook ő sen e eáljnk sámíásko hsnáljuk fel): j j (9) B B B B j 9. áb. síkmogás hló és fogó jellege 56

58 síkmogás eemén bl ollán álló első ké g pon, jobb ollon álló első ké g peg B pon sebessége. H kemeljük eko és khsnáljuk, hog egühój pon B elí heleko, kko kpjuk hog: (9) B (9) képleből kűnk, hog síkmogás égő mee es o ponjánk sebességé kko lehe megháon, h sme: eg o espon sebességeko (jelen eseben e pon, mel egbeesk mogó koonáense ogójál); sgál esponnk (B) o esponho sonío sebessége (e csk fogásból eehe, es meeségéből óón). sebesség képleének gfkus semléleése, lmn fen megjegések gfkus golás 9. ábán láhók. mee esnek mogás lpsíkjáb eső efeenc-seléné üne fel ké, egmásho égelenül köel heleben. knulás helenek megfelelő őpllnbn, llee B sgáln kíán ponok helee. uán ő elel, őpllnnk megfelelő hele - e, llee B -e móosul. el elel ő nfnemálsn kcs, pon sebességének ' les án. síkselén, elem ő l, új hel- eébe keül, köekeő ké egseű mogás supepocój één. ek ánú egenes onlú hló mogás; ponon áhló, lpsík meőleges () engel köül nfnemáls fogás. (9) képleel mego sebesség fen ké nfnemáls mogásból sámó sebesség ekoössege. B pon sebessége különbök pon sebességéől, mel kegésül fogásból sámó B ggl. előőeke ésn sméele hngsúlouk, hog képleben álló sögsebességeko ponho köönek gonoljuk, án peg meőleges lpsík. H mee es ponj hele eg másk,snén lpsíkbn fekő pono álsnánk és eel ínánk fel B pon sebességé, (9) képle fomálsn áloln mn, csupán ne hele kellene - ín. sögsebességeko óegenese ponból ponb keül, mköben áníás és bsolú ééke egébkén áloln kell, hog mjon. állíás köekeő móon láhó be. Téeleük fel, hog lmn, össhngbn fenekkel, B pon sebessége kéféleképpen íhó fel: Innen B B B B 57

59 . Fejee. ng esek knemkáj 58 B B (9). áb, lmn (9) képle lklmásál kpjuk, hog: B B B B B B B B B uolsó össefüggés golj egenlősége. ekoso ugns csk kko lehe null h éus áójelen leő különbség ééke, mel. áb. o pon sebességének különböő ponok sebességéel ló felíás

60 B síkmogás meőleges ekook, oábbá B pon nem esk egbe ponl. fen gonlmeneből lágosn kűnk, hog síkmogás, o őpllnbn, egelen sögsebességeko jellem. mee es sebességállpoá, eg o őpllnbn esponokho oó sebességek össessége háo meg. ( sebességek megoslásánk, sebességmeőnek g sebességeloslásnk s sokák neen). Össhngbn fenekkel kjelenheő, hog sebességállpoo mee es lmel kgo ponjánk sebessége, lmn sögsebesség-eko egéelműen megháo. Können beláhó ehá, hog sebességeloslás, mee es kálso ponjánk függénében, égelenül sok móon lehe felín. égeemén mégs áloln, me ponok elí heleeko álso ponho képes álonk. nnélfog o, elem őnellumbn öén síkmogás égelenül sokféleképpen lehe elem hló-, és elem fogómogás-össeeőke bonn.... sebességpólus (9) képleben seeplő különbség pon -ho sonío elí sebessége., B, ponok elí heleko köö össefüggés ekne, ugnkko fgelembe ée, hog síkmogás o őpllnbn egelen sögsebességeko jellem, áíhó képle: (9) B B B B fen össefüggésből lágosn kűnk, hog mee es ké ponjánk egmásho sonío elí sebessége nem óh semm másból, csk fogásból, hsen elí heleko ngság állnó. (9) elácó, kssé álkío fomábn, fogskeékelméleben lpeő jelenőségű Wlls féle kpcsolóás éel boníásánk lpképlee. előbb áol nlkus úon elé, köekeeések melle feleheő kéés, hog síkmogás elem ő l mege sksá hogn lehene, egéelműen megháohó móon, elem mogásokkl egenéékűé enn? ásképpen foglm, léek-e eg oln pon, mel mee es össes öbb ponjáól é különbök, me sebessége, o őpllnbn, jellegees, sjáos éék? mogás éges őben éges, ehá, mennben léek len sélsőéék, e csk lokáls mnmum lehe. Fgelembe ée 7. ábán bemuo geome sekesés, mnek geome éelme, hog síkom ké, különböő helee úg függ össe, hog első hele egelen fogássl áheő mások helebe (ehá null elolássl!!!), kjelenhejük, hog: elem síkmogás úg íhó le legegseűbben, h soníás ponnk e (9) képleben ol éus sebessége. oábbkbn cél éus sebességű pon megháoás eg o őpllnbn.. áb mee es lpseléné ábáolj, eg esőleges őpllnbn. mee eshe köö S kooná-ensenek es ponj o- 59

61 . Fejee. ng esek knemkáj 6 gój. H sme mogásöén, kko smenek eknhejük ogó helekoá S kooná-enseben, llee engel és engel áll lkoo söge. egen I mee es on ponj lpsíkbn, melnek éus sebessége egelőe csk feléeleük, hog n len pon. feléel elfogásál és (9) képle fomáls lklmásál íhó, hog: I I (94) (94) ekoegenlee elősö S ögíe kooná-enseben eknjük. Nlánló, hog egenlee smee-len I I eko ksámíásá hsnáljuk fel. megolás éekében so-ouk meg fen egenlee blól -l ekoálsn, mj lklmuk ké-sees ekosol kpcsolos kfejés éel. Kpjuk, hog: I I I I egenle blollán mások g null, mel meőleges helekook. nnélfog I, és nnen egéelműen megháohó nullsebességű I pon heleeko: I I I (95) null sebességű pono sebességpólusnk neek. Koonáánk sámíásá célseű (95) képlee máokkl felín: / / I I sámíások elégése uán megkpjuk sebességpólus koonáá ögíe S enseben:. áb. sebességpólus megháoás

62 I I síkmogás... pólusgöbék jelen pgfusbn (95) képle jelenésé kíánjuk sán. síkmogás mnen őpllná egelen sebességpólus háohó meg. nnek koonáá őfüggőek, ehá sebességpólus s, mee es mogás l, lmlen mee es mogás áll megháoo pálá í le. heleáloásnk ké ok lehe: mee es elmoulás; különböő őpllnokbn mee es különböő lpsíkponj ( mogó kooná-ense különböő ponj) keülnek so null sebességű helebe. Nlánló, hog pólus helálló S kooná-enseben o pálá í le. pálá helálló, g öen álló pólusgöbének neeük. álló só mn jelő ul, hog e göbe nem moog S kooná-enseben. Vegük ése, hog sebességpólus helee mee eshe köö koonáenseben s őfüggő, ennélfog éelme n póluspon páláj keesésének S mogó kooná-enseben s. pólus S -ben leí pálájá mogó pólusgöbének neeük. lábbkbn megháouk mogó ( S kooná-enseben megfgel) pólusgöbe egenleé. ekomóseben e gen können meglósíhó, h (95) képlee. áb lpján geome semponból éelmeük. el I /, peg S ogó heleeko S ögíe kooná-enseben, / ekoso nem lehe más, mn I eko, I sebességpólus heleko S kooná-ense ogójáho soní. mogó pólusgöbe egenleének megás ( I eko ponho sonío koonáánk felíás) S mogó koonáenseben ekoso kíásá génl ugnebben koonáenseben. lem sámolássl kpjuk, hog: képleben álló I I és S kooná-enseben. (96) (97) ene pon ké sebességkoonááj 6

63 . Fejee. ng esek knemkáj (96) képle álló pólusgöbe pmekus egenlee,, másképp sebességpólus pálgöbéjének pmekus egenlee feje k álló S enseben. (97) képle eel semben mogó pólusgöbe pmekus egenlee feje k eshe köö S kooná-enseben. skolombn hsnálják még polhógöbe megneeés s. Éemes meggonoln, hog bá I pon pllnn sebessége null, helee mégs álok mn álló, mn peg mogó kooná-enseben. jelensége pólusánolásnk s sokás neen. pólus ánolásából köekek, hog bámel elem őnellumnk megfelel eg s elmoulás álló pólusgöbén, eg s peg mogó pólusgöbén. pólus null sebessége, és ennek ellenée boníhó heleáloás lásólg ellenmonásos. ellenmonás olj fel, hog pólus eshe köö lpselénben elmoul. Íg lágossá álk, hog pon kcseélőése-ánolás m keül so S -ben s í leíásá. s í s megfelelője állóenseben, mköben I nem moul, csk köülöe foul el selén! Íg ögön beláhó, hog s s. ásosobn, ponosn I feléelből köekek, hog I pon elmoulás sebességéhe nem jául hoá mee es heleáloás, csk, hog null sebesség köeelménének elege eő pon seepé eg másk pon fogj beölen. nnek lpján, álló, lmn mogó ceno kölcsönös heleée onkoólg köekeő ké állíás lósínűsíheő: ké pólusgöbének köös énője n pllnn sebességpólusbn. mogó pólusgöbe göül álló pólusgöbén. fen ké állíás sgoú memk boníásá mámóse áglásko kööljük. egjegeük, hog, különbsége kell enn póluspon, mn espon síkmogásbel pllnn null sebessége llee pólus mn geome pon pólusgöbén éelmee ánolás sebessége köö. első mee es mogásánk jellemője. mások nnk uljoníhó, hog pólus megáloj helé mogás soán eshe köö lpselénben Gkol műsk lklmások sebességpólus megháoás, gkol lklmások soán, nemcsk (95) és (96) képleekkel öénhe. sebességpólus-koonáák ó képleekből köekek, hog sámíásáho smen kell leglább eg espon heleé, sebességé és sögsebességeko bsolú ééké. feléele mogásöén smeeé. H mogásöén nem sme, hnem éppen ennek megállpíás cél, kko pólus megháoásá síkmogás égő sekee eges gjál kpcsolos kénseek ehek leheőé. pólus egéelműen megháohó, h sme eg ponbn sebességeko és eg másk ponbn peg sebesség án. eljáás. ábán semlélee fogús mechnmus B hjóúj eseén semlélejük. 6

64 . áb. Tolús mechnmus ál síkmogás mechnmus eleme fogú, B hjóú, mel B-ben csuklól kpcsolók ísnes kénsepáláho köö () csúskáho ( uóbb ugú belsőégésű moook eseén). fogú sögsebességű fogómogás ége. csúsk mogás egenesonlú. B hjóú oln síkmogás égő elem, melnek ponjábn sme pllnn sebesség, lmn B ponbel sebesség án. el síkmogás pllnn sebességpólus köül elem fogómogások össessége, B sebességpólus egéelműen megháohó, h meőlegeseke húunk és B ponokbn, llee sebességek án. ké meőleges mesésponj I pólus. Nlánló, hog k ujuk sámín I pon koonáá ögíe kooná-enseben hjók helé megháoó sögkooná függénében, llee ő függénében s, h sme mogásöén. I áolság bokábn e elem geome megfonolásokkl sámíhó B hjóú jellemő pllnn sögsebességekoánk bsolú ééke / I. ábáól leolshó, hog poí előjele, h poí. smeeében B hjóú bámel ponjá sámíhó pllnn sebesség: I k I (98) I (98) képle sebességeloslás háo meg. fogómogás sjáosság sgál őpllnábn éénesek síkmogás égő mee ese s. I pólusól egenlő áolság léő (onos sugú I köépponú köön fekő) esponoknk onos bsoluéékű pllnn sebessége. sebeség-eko án (98) képle éelmében áloó, e sebesség mng énője könek. 6

65 . Fejee. ng esek knemkáj...5. Gfkus móseek sebesség bsolúééke egenesen ános esponok pllnn sebessépólusho sonío áolságál. uljonságo lehe felhsnáln sebességeloslás gfkus megháoásáho. eljáás. áb semléle. Rjoljuk meg pon sebességekoá lmlen lépékben ponho kööen. Jelölje sebességeko égponjá. Kössük össe e pono I pólussl. egen oábbá B IB sugú kö (B esőleges espon) I egenessel ló mesésponj. Állísunk meőleges I egenese B ponbn és legen uóbb és I egenes mesésponj. Nlánló, hog B eko B pon sebessége. éjük fel ennek hossá B ponból B sugú kö B ponbel énője menén. Tegük e ol móon hog B egenessks ómuó jáásál egeően legen elfoghó 9-kl B pon köül BI egenesbe h sögsebesség poí. llee ómuó jáásál ellenéesen h sögsebesség negí. kko B eko B pon sebességeko. sebességeloslás-függén gfkus ábáolás sebességáb. sebességáb knulóponj eg, o őpllnho oó I pólus esőlegesen fele I megfelelője. I ponból nulnk, B,,..., esőlegesen álso esponok sebességekol ekpolens I ' ',I'B',I'',...,I' ' ekook (4. áb). sebességáb gkol lklmásoknál láhó hékonság Bumese- féle éele épül. Bumese- féle éel kmonj, hog síkmogás égő mee es háom, esőleges,b, ponjábn sebesség-ekook B égponj sebességábán eg oln háomsöge lkonk, mel B háomsöghö hsonló, és ehhe képes sögsebesség fogás ánábn 9-kl el n fog. éel boníás 4. ábán éslelheő geome össefüggéseken lpsk. I, IB, I, pllnn sebességpólusból sámo helekook meőlegesek, sebességeke és íg: I I' ' B, ; IB I' B' B ; I I' ' ;. áb. sebességeloslás gfkus megháoás Innen IB ' I' B' BI B' I' ' I ' I' ' Fgelembe ée, hog síkmogás eseén sögsebességeko meőleges helekook és hog sebesség- 64

66 síkmogás ekook bsolú ééke egenesen ánosk helekook bsolú éékeel felíhó, hog nnek lpján kjelenheő, hog I IB I I' ' I' B' I' ', IB I' ' B', IB I' B' '. hsonló háomsögek elhelekeése köekeében onnl ók, hog IB négsög oll ene meőlegesek I B oll. Innen peg köekek B és B háomsögek hsonlóság, m éel boníás s egben. Bumese- féle éelnek gkol lklmás eges esponok sebességének sekeséssel öénő megháoás. mennben sme sebességáb ké pon, ké pon áll megháoo egenes bámel ponjá megsekesheő sebesség. egen 4. ábán B sks ponon úl meghossbbíásán pon. ponbn sebessége úg háouk meg, hog sebességábán B egenes -en úl meghossbbíásán úg essük 4. áb. sebességeloslás és Bumese éele 65

67 . Fejee. ng esek knemkáj fel pono, úg, hog eljesüljön sebesség I sks hoss gosuláseloslás B B B' ' k egenlőség. keese B' ' gosulás megháoás sebességképle ő sen eálásál öénk. Knulópon mee es esőleges B ponjánk B B (9) össefüggéssel kfejee sebessége. eálás nomán: B B B B B B B B B B Fgelembe ée, hog B skláso null, B pon gosulásánk képlee köekeőképpen lkul: (99) B fenek sen mee es gosulásállpoá e mee es ponjho oó gosulások össessége g másképp gosulások megoslás eg o őpllnbn, össhngbn fenekkel, lmel kgo ponjánk gosulás, sögsebessége, lmn sögggosulás egéelműen megháo. Jól láhó, hog B pon gosulás pon gosulásából és B pon - ho sonío mogásánk gosulásából eők össe. (98) képle jobbollán álló kfejeés ké uolsó gj onos helálló engel köül fogás éénes gosulásképleel. nnek ok, hog síkmogás eg hló és eg fogó mogás supeponálás. B pon mogás ehá pon pllnn hló mogásánk, és köül pllnn fogásnk össege. Köekeésképp (99) képle, fen meggonolások lpján, (99b) B B B B lkbn s felíhó, hol B B B () elí gosulás. Jól láhó, hog kfejeés első gj énőánú össeeő, míg mások nomálánú össeeő. uóbb án heleekoél megegeő, áníás peg eel ellenées, gs elí fogásköpon felé mu. B 66

68 síkmogás...7. gosuláspólus kácsk pllnnn sebesséállpo sgálko, mos s feleők kéés, hog léek e oln pon, melnek gosulás mogás eg o őpllnábn éus. 99. képleből keül, hog mennben lmel B pon ponho sonío elí gosulás ellenées pon pllnn gosulásál, kko B pon gosulás éus. les, gs síkmogásho oó hló és fogómogások gosulás kolják egmás. Jelölje oábbkbn J gosuláspólus, pono, melnek éus gosulás. el mogás eg o őpllnábn, ( sgál őpllnábn) smenek eknjük pon gosulásá, sögsebessége és söggosulás, J pon gosulásekoánk elűnése ké oln skláegenleel egenéékű, melekben eko koonáá lneásn seepelnek. áskén foglm, J nnk elönésée, hog léek-e oln J pon hol éus gosulás, kell megsgáln, hog kééses egenleeknek n-e megolásuk eko. sámíások célj mos má éus gosulású J pon -ho sonío S koonáensebel helekoánk, llee álló S kooná- J ensebel J bsolú helekoánk megháoás. é (98) egenleben esőleges pon B neé J-e íjuk á, mj íg kpo képle blollá éussl essük egenlőé. Éemes e eemén még blól ekoálsn ekol megsoon: J J ekosoo lpegenleből kell kfejen: J J keős ekoso felbonásko hsnáljuk k, hog és meőlegesek, ehá sklásouk éus. lem álkíásokkl kpjuk, hog J J J J J J J J ekook Innen, onnl ók J pon, gosuláspólus heleko ogójú, mogó S kooná-enseben: J () 4 ekoso kfejéséel megkpjuk J pólus mogó kooná-ensebel J J, helé: 67

69 . Fejee. ee esek knemkáj J J 4 4 () () l pmekus egenleekben ő pmée. Geome éelmeésük sen fen egenleek on síkgöbe egenlee, mel pllnn gosuláspólusok mén helé j meg S mogó enseben. göbé gosulások mogó pólusgöbéjének neeük. gosulások álló pólusgöbéje gosuláspólusok mén hele ögíe heleű S kooná-enseben. gosulások álló pólusgöbéjének egenlee können meg lehe kpn () ekoegenleből, h heleko J és ponok álló ensebel helekonk különbségekén íjuk fel: J J felhsnál S koonáenseben ekne () egenleből onnl ók gosulások álló pólusgöbéjének pméees egenlee: J J J 4 4 J () gosulások álló és mogó pólusgöbé mng pllnn J pólusbn mesk egmás, e nem göülnek le csúsásmenesen egmáson, mn sebesség pólusgöbé!...8. gosulás uljonság H gosuláspólus sme gosulású ponkén hsnáljuk gosulások sámíás soán, kko egseűsök esőleges másk, monjuk B pon, gosulásá ó képle. állános gosulás-össefüggés lklmuk J pon (99. képle), mj fgelembeéeléel köekeő egenlee kpjuk: J B BJ BJ (4) gosuláseko bsolú éékének sámíásko k kell hsnáln köülmén, hog, lmn páonkén meőlegesek egmás. 5. áb lpján B, BJ BJ (5) 4 4 BJ BJ BJ BJ BJ 68

70 síkmogás 5. áb. gosuláspólus és gosuláseko össeeő (5) képleből lásk, hog síkmogás eseében gosulás bsolú ééke egenesen ános pólusól mé áolsággl. H (4) képleel mego gosuláseko sklásn megsoouk BJ helekol, kko B gosuláseko, és emlíe heleko sögé köekeőképpen háohjuk meg: B BJ BJ BJ BJ cos B BJ BJ 4 (6) képleből köekek, hog /, BJ 4 sögé. lem gonome lpössefüggésekből köekek, hog (6). Jelölje kegésíő g (7) 69

71 . Fejee. ee esek knemkáj...9. gosulás geome éelmeése (6) és (7) képleekből lásk, hog gosuláseko és gosuláspólusho sonío elí heleko köö sög, o őpllnbn állnó. egsekesheő gosuláspólus bbn eseben, mennben sme eg o ponbn gosuláseko, söggosulás, és sögsebesség bsolú ééke g peg ké különböő ponbn gosulásekook án, söggosulás, és sögsebesség bsolú ééke. 6. áb. o pon gosulásekoánk gfkus sekesése J,, B,, B B,, J,, B B 7. áb. gosulásáb sekesése és Bumese- féle éel 7

72 síkmogás sekesés 6. ábán semlélejük. első eseben sekessük meg ponbn lmlen lépékben gosulás, mj méjük fel ugneen ponbn áná kjelölő söge ómuó jáásál egeően, h poí söggosulás ( áb e esee semléle), llee ómuó jáásál ellenéesen, h negí söggosulás. egjegeük, hog éemes sög felméésenek sbálá lleően ssén 5. ábá. (5) képle megj heleko hossá. éjük fel e áolságo ponól J J J áná kjelölő J egenesen, ol móon, hog egenessks gosulássl beá kssebk söge legen. felmé egenessks másk égponj J pllnn gosuláspólus. mások eseben joljuk meg gosulások án ó egeneseke és B ponokbn, mj méjük fel mnké ponbn fenekkel össhngbn söge. íg kpo egenesek mesése nlánlón J pon les. mások eseben joljuk meg gosulások án ó egeneseke és B ponokbn, mj méjük fel mnké ponbn fenekkel össhngbn söge. íg kpo egenesek mesése nlánlón J pon les. (5) össefüggés sen gosulás bsolú ééke ános gosuláspólusól mé áolsággl. gosulás án peg úg kphó meg, hog J ponból kééses ponb muó heleko eloljuk kééses ponb, mj peg elfogjuk o söggel söggosulás megsb móon (ómuó jáásál ellenéesen h poí, egeően, h negí). 6. áb fenek khsnálásál üne fel pon gosulásánk sekesésé. Éemes leolsn ábáól B ponho oó gosulás sekesésé s. I oko lásólg nehésége, hog B nncs j J egenesskson. nehéség felolhó h áfogjuk B pono J egenese, mel áfogássl kpo pon gosulás B pon gosulásánk bsolú ééke. (6) össefüggés geome éelmeése úg foglmhó meg, hog pólusból bámel pon gosulás ugnon sög l lásk. Vlóbn, 6. ábán J skson fele espon gosuláseko J egenessel, (6) elácó éelmében, snén söge lko. Können beláhó, hog ekook égponjnk mén hele eg egenes, és ebből sámó ánosság Thlés-éel éénesí, m boníj feleés. ká sebességek eseében, gosuláseloslás s megsekesheő gosulásáb, mel síkmogás égő mee es lpselénének gosulásállpoá jelení meg. gosulásáb esponok gosulás köös J eeőponb felée semléle J kooná-enseben, melnek és engele llee engellel páhumosk. sekesés 7. áb áolj. áb bloll ésén láhó síkmogás égő mee es háom, nem kollneás,, B, és ponj. Feléeleük, hog sme 7

73 . Fejee. ee esek knemkáj gosuláseko, sögsebesség-, llee söggosulás-eko, és íg smenek eheő gosuláspólus pllnn J helee s. áb felüne B pon és pon gosulásánk sekesésé: elősö gosulások bsolú éékenek megfelelő sksok sekesjük meg ugnúg, mn 6. áb eseén. B pon foí fgelme, gosulás bsolúéékének smeeében és sög felhsnálásál ánhelesen s ók B pon gosulás B ponho kööen. páhumos elolássl heleük á J '' ensebe. áheleés és ponok eseén s ugníg öénk. Fgeljük meg 7. ábán plelogmmák! gosulásábá s éénes Bumese- féle éel: gosulásáb B háomsöge hsonló mee es, B, ponj áll megháoo háomsöghö, és hho képes söggel n elfoul, söggosuláseko áníásánk megfelelően: ómuó jáásál ellenéesen h söggosulás poí és l egeő ánbn, h söggosulás negí. éel golás ( 99.) és () össefüggéseke lpo. lső lépéskén kfejeük (99.)-ból ké esőleges espon gosulásánk különbségé, jelen eseben B és ponok gosulásánk különbségé: B B Vegük ése, hog egenle bl ollán álló ekokülönbség bsolú ééke gosulásáb B sksál egenlő, másés peg B bsolú éékéel, és B ponok heleko különbségének bsolú éékéel egenesen ános. uóbb nem más, mn gosulásáb B sks. Nlánló, hog gosulások különbsége és helekook különbsége áll beá sög peg (6) képlee eeõ gonolmeneel ók: B B B B B cos 4 4 B B B B el fenek bámel ké pon éénesek, können beláhó eek lklmhóság kééses háomsögek és, llee B és B oll s, mnek köekeében B és B háomsögek hsonlóság egéelműé álk. B. ámóse... sebességeloslás máos áglás. máos áglás kooná-nsfomácón és máegenleek eálásán lpsk. Ismenek éeleük fel síkmogás égő sekee elem mogásöéné, mel h e sme, kko bámel őplln felíhó helálló S és mee eshe köö és eel egü mogó S kooná-enseek köö nsfomácó. mogásöén kko smejük, h smeees mee es o ponjánk páláj, és lpsíkbn fekő esőleges ké ponjá össeköő B B 7

74 síkmogás egenes engellel beá söge. Nem sé állánosságo, mennben sme pálájú espon les S ogój, sme án peg engel. fenebb megfoglmo feléelek memk lkj köekeő: (8), kooná-enseeke 8. áb semléle. mogás lpsíkj sík. bben smenek eknjük lább ekook: mogó ogó helekoá S koonáenseben; mee es lpsíkbn fekő egébkén esőleges B ponjánk helekoá S kooná-enseben. felsool ekook koonáá mn S álló-, mn S mogó kooná-enseben felíhók. geome sonok semléleő 8. ábáól leolshó, hog fennáll B (9) B egenle. és B pon koonáá őfüggőek S - bn. B pon S -bel koonáá őfüggelenek. (8) mogásöén lpján, B pon S és S ensebel homogén koonáá köö köekeő ösefüggés áll fenn: B B (.) nsfomácós má eg fogás és eg elolás (nslácó) supepocój: cos sn T sn cos cos sn 8. áb. mámóse lpj sn cos (b.) 7

75 . Fejee. ee esek knemkáj 74 mlékeünk, hog básekook kölcsönös meőlegessége m fogómá oogonáls, és eemnáns egségn, íg ˆ T, hol Ê móosío negeenű egségmá, melnek jobb lsó sokeleme éus. (b.) felbonássl () össefüggés köekeőképpen íhó: B B B T () B pon sebességé helálló S enseben () képle ő sen eálásál háoák meg: B B T B () oább sámíásokho sükség les köekeo éseeméneke: ; ; ; sn cos cos sn T el () képle uolsó gj pon S ensebel sebessége e T eáljánk heleesíése uán onnl köekek () egenle lább lk íhó á: B B B () () képle lklms gkol sámíások elégésée, mel fel bemenő ámskok; eek mogás égő es geomeáj, llee mogásöén nsfomácós másl mego lkj. nnk beláásáho, hog () egenle lójábn megegek sebességek köö össefüggés jelenő (9) egenleel, onos álkíások n sükség. B oslopo, blól, ˆ lkbn felí egségmásl sooák:

76 heleko S -bn felí koonáánk Vlóbn, ρ B síkmogás B B B (4) B ρ B nsfomácó B oslop. Tehá egéelmű, hog e nem más, mn B pon és pon S - bel koonáánk ( ké pon S -bel helekonk) különbsége. fen (4) képle jobbollából, fgelembe ée feesmmeus olá, llee fk jelenésé, onnl lásk, hog onos ekoáls áglásmó (9) egenleéel.... pólusgöbék máos lkj pólusgöbék sebességpólusok mén hele, álló S, llee mogó S kooná-enseekben. () képle lklms álló pólusgöbe megháoásá. ssen egbe B pon pllnn I pólussl. kko blollon éusmá áll. Soouk meg íg óó egenlee blól sögsebességmásl. Kpjuk, hog: bben képleben I I B (5) D egjegeük, hog D máo uóbb képle éelme. el síkmogásbn sebességnek csk ké,, llee ánú össeeője n, eemén semmben sem álok, h D máo Ê móosío egségmásl heleesík. Fenek fgelembeéeléel (5) (6) I lk hohó. egenle álló pólusgöbe egenlee máokkl felí. mogó pólusgöbe egenleé úg háouk meg, hog ksámíjuk sebességpólus helé mogó S kooná-enseben, kooná-nsfomácó lklm S -ból S -be. hhe sükségünk les má neének felbonásá, lább kööl sámíásokkl: 75

77 . Fejee. ee esek knemkáj 76 cos sn sn cos cos sn sn cos cos sn cos sn sn cos sn cos T T T nnek fgelembeéeléel (6) képleből kpjuk, hog T I I (7.) fen egenle jobbollán álló első g é null-oslop, me ssnsfomálj pon koonáá S -ból S -be (ogó). uolsó g peg é űnk el, me éus T má első háom oslop. feesmmekus sögsebességmá áloln mnké koonáenseben, fennáll o o össefüggés, mel e uljonságo feje k. függelékben ésleesen boníjuk, hog j j j S kooná-ensee ló áéés céljából (7.)- onos álkíások lklmunk: ˆ I (7b.) (7b) kfejeés muj, hog mogó pólusgöbe egán sámíhó S, g peg S koonáensebel sebességek smeeében.... pólusgöbék kölcsönös bukolás pólusgöbék mogás soán sebességpólusbn énkenek. lőbb kjeleneük, hog mogó pólusgöbe álló pólusgöbén legöül. H megfgelő mogó S kooná-ensehe köö, kko sámá álló pólusgöbe

78 síkmogás 77 mogó pólusgöbéhe sonío mogás les éslelheő. pólusgöbe-elméle lklmásbn pélául fogskeékkpcsolás elméleében hjópá gjnk egmésho sonío mogás síkmogás, ehá pólusgöbéke hjás gjho köö kooná-enseekben éelmeük. nnek köekeében nlánlóá álk pólusgöbék kölcsönös legöülésének foglm, mnek sgoú memk boníásáho kell megmun, hog pólusánolás sebessége ké pólusgöbén onos. álló pólusgöbe (6) egenleének ő sen eálj pólusánolás sebessége feje k álló pólusgöbén: ε I (8.) (7b) ő sen eálj pólus ánolás sebességé eeméne mogó cenoán: ε ε I (8b.) mogó pólusgöbe sebességekoá á kell ín S ensebe hho, hog össehsonlíhó legen álló pólusgöbe pólusánolás sebességéel (8.). nnek éekében (8b.) egenlee, blól, másl meg kell soon: ε ε ε ε I (8c.) (8c.) és (8.) egbeeéséből onnl köekek, hog csk kko állh fenn egenlőség, h (9) uóbb képle golásánál khsnáljuk mj, hog éus éékű ˆ so ő sen eálj, fennáll

79 . Fejee. ee esek knemkáj 78 () egenle emlékeejük ehelü olsó () egenlee köeő leguolsó éseeméne, lmn (5) képlee köeő képleso, m feesmmekus má négeé áglj, és beee D máo. feneke fgelembe ée, (9) egenle bloll köekeőképpen lkíhó á: D D eemén állíásunk sgoú golásá jelen: pólusgöbék csúsásmenesen göülnek le egmáson, mel pólusbn onos pólusánolás sebessége. mlékeünk, hog e köekeeés ekomóse smeeéseko logk meggonolások lpoon ol kjelene. fogskeékkpcsolás elméleében kemel fonosságú lklmás ne pólusgöbék elmélee. kpcsolóás sjáosságnk feláás leheelen pólusgöbék egmáson öénő legöülésének nulmánoás nélkül.... Gosuláseloslás máokkl gosulás sebesség ő sen eálásál háohó meg. () képle lpján íhjuk, hog: B B B B () () össefüggés lpján felíhó, hog: ˆ, össefüggés: D ε ε () () képle ()-be öénő heleesíéséel, oábbá D éelmeésének és nsfomácó sbálánk khsnálásál kpjuk, hog: B B B B B B ρ ρ ε ε D ε

80 síkmogás eemén felíásko khsnáluk, hog S kooná-ense ogójáho felí B heleko koonáánk nsfomálj S koonáensebe B B ρ m B és ponok S - bel koonáánk különbségekén állíhó elő. nnek lpján gosulás égleges máos lkj köekeőképpen íhó fel: B B ε B () képle ugnoln sekeeű, mn ekoos áglásmó eseén: pon gosulás ögíe kooná-enseben; B ε B pon pon köül elfoulásából óó ngencáls gosulás; B B pon pon köül elfoulásából óó nomálgosulás. gosulás máos lkjá S mogó koonáenseben () egenleből kpjuk meg, h éggsoouk blól nsfomácós másl: B B B ε B onos álkíásokkl, má koábbn s láo lépésekkel, felíású egségmá megfefelő felhsnálásál kpjuk, hog B gseűsíe B B ε ε B B B B ε B (4)...4. gosuláspólus gosuláspólus máos sámíásánk menee hsonló ekomóse eseén bemuo sámíásho. nnek megfelelően lokláljuk () egenlee J pon (íjunk J- B helée egenleben): J J J ε (5) Soouk mos égg egenlee blól ε -l és hsnáljuk k eköben, hog ε ε D. Kpjuk, hog J ε ε J D 79

81 .Fejee. ee esek knemkáj Heleesísük mos ebbe egenlebe (5) egenleből J J ε soo. Beheleesíe e nsmmekus gosulásmásl soo lkb, köekek, hog ε J 4 J ε J D Innen, gosuláspólus helé S koonáenseben megó má: J 4 ε 4 ; (6) T gosuláspólus heleé mogó kooná-enseben úg háouk meg, hog S -ból S -be lkíó nsfomácó máál, blól ásoouk (6) egenlee. sámíás mogó pólusgöbe máos egenleéel kpcsolos gonolmene sméléséel égeheő el (ssulunk eel kpcsolbn (7b) képlee eeő gonolmenee). helü csk égeemén kööljük: 4 J 4... gömbmogás ε ˆ ε 4 4 (7)... gömbmogás megháoás gömbmogás gépése lklmásokbn, elsősobn obook, eges hjóműeke és ébel mogás meglósíó különböő mechnmusok gonolunk, gkn fellépő mogás. obook eseében, h ké sekee eleme (obok) gömbcsukló kö össe, egk sekee elem másk sekee elemhe sonío mogás gömbmogás les. Hsonló hele kko s, mko egmás meső engelű fogskeékhjás (kúpfogskeékhjás) bosíj mogásáel. bben eseben kúpfogskeékpá bámelk gj gömbmogás ége másk keékhe soní. gépjáműek hjóműeben nélkülöheelen ffeencálmű (9. áb) kúpkeeke s gömbmogás égenek. Gömbmogásól kko besélünk, h mogó es eg ponj moulln m mogás soán. pono gömbmogás köépponjánk, g pólusánk neek. Heleé ekne pólus lehe sgál mee es eg ponj, g peg esen kűl, e nnk felsínéhe meeen köö móon helekek el. 8

82 gömbmogás 9. áb. Dffeencálmű [hp:// es ponj ehá oln gömbfelüleeken moognk, meleknek pólus köös köépponj, suguk peg espon pólusho sonío áolság. Innen ee mogás nee s. Sokás mogás helálló pon köül fogásnk s neen. gömbmogás éelmeése síkmogás eseében lklmo gonolmeneel s leheséges. Kálshó eg esőleges sugú lpgömb, melnek köépponj egbeesk mogás pólusál. lpselén mogás égő mee es lpgömbön elhelekeő ponjnk hlm lkoj. mogás sgálko lpselén lpgömbön ló elmoulásá eknjük. gömbmogás geome éelmeése. ábán láhó. áb egán semléle lpgömbö, lmn mogás leíásáho sükséges pméeeke, oábbá felüne helálló S és eshe köö S kooná-ense engele s. egen és b lpgömbön kálso, egmásól különböő egébkén esőleges, ké espon mogás őpllnábn. egjegeük, hog nem sé állánosságo köülmén, hog e ké pon. kooná-síkbn feksk, mel e köülmén nem hsnáljuk mj k gonolmene soán. ( mogás elemése, ká síkmogás eseében, mogás égő es ké, esőlegesen álso, ponjánk nulmánoásál lósul meg. Bámel más pon, es meesége folán, kálso ponokho köö, ehá eekkel egü moog.) ő eleléel, + pllnbn, b í b helebe keül. kee és égső heleeke lleően megsekesheőek, llee b b egenlő sáú háomsögek, melek [ ], llee [ b ] ekoáls síkokbn helekenek el. egen m, llee m b b sksok feleőponj. [S ], llee [S b ] síkok egésől m, llee m feleő meőlegesek, másésől [ ], llee [ b ] síkok ponbn állío 8

83 .Fejee. ee esek knemkáj meőleges egenesek fesík k. Vlágos, hog [S ] sík bámel ponj és ponokól egenlő áolság lálhó. Ugne éénes, [S b ] síko ekne, b és b ponok née s. S és S b síkok [ ] [S ] [Sb ] mesésonlánk bámel ponjá éénes és b b egenlőség, ehá smmekus kee és égponokho. ásés, sekeséséből óón, [] egenes meőleges, llee b b sksok, léek ké oln,. áb. []- meőleges (köekeésképp egmássl gömbmogás éelmeése páhumos), sík meleknek egk óegenese llee b b. fenebb monok lpján beláhó, hog [] köül fogássl egőben ju el -e, és b b -e. H őnellum nulláho, kko és b b íek, llee sksok elem hossúságúk lesnek, e geome sekesés íg s éénben m, [] egenes pllnn fogásengel seepé öl be.... gömbmogás sbságfok gömbmogásnk sbságfok. nnek golásá eknsük gömbmogás égő mee es háom, nem kollneás és nem felélenül egelen pólusköépponú gömbe lleskeő,, B, ponjá., B, ponok koonáá nlánlón őfüggőek S kooná-enseben. össesen 9 őfüggő koonáá jelen, melek 6 kénsefeléelnek köelesek elege enn. kénsefeléelek ekne ponok pólusól és egmásól mé áolságnk állnóságá fejek k: R, B, l, j, k, B, j j j k, j k (8) 8

84 gömbmogás Nlánló előőek lpján, hog (8) ösefüggésekkel mego 6 kénsefeléel 9 koonáából csupán hám hg sbon, íg gömbmogásnk, síkmogásho hsonlón, háom sbságfok. háom sb kooná onbn nem köheő ugnon ponho! nen pon eg o sugú, pólusköépponú gömb pálá í le, mnek köekeében o pon koonáánk négeössege páló gömb sugánk éékée állnósul íg legfeljebb ké kooná lehe függelen, hmk kénsefeléelből ók. megm sbságfoko peg eg, előbből különböő pon egelen koonáájáho lehe kön. Ugnkko gömbmogás pólus helálló: mogásbn ehá nncs elolóás (nslácó). bből ók, hog mnháom sbságfok lójábn elfoulás jellegű. egjegeük, hog o eseben különbsége kell enn sbságfok geome éelmeése és mogás leó koonáák memk megás köö. (8) egenleekben sb helkoonáák sám háom, ugnkko mg fomlmus nem ükö köelenül, hog gömbmogás égő es háom egmás köeő fogássl ju el egk heleéből máskb. gömbmogás mee es égelenül sok, egmásól különböő, e póluson mng áhló engelek köül ége, elem fogásnk soo. háom sbságfoko,. áb segíségéel, pusán geome gonolmeneel s k lehe mun. gonolmene célj nnk sáás, hán függelen pmée kell mee es heleé egéelműen megháoó b gömb í helének megásáho: pon R sugú gömbön sbon moogh, íg heleé ké gömb sögkooná (eek monjuk () egenes és koonáengel áll kfesíe gömb fősík koonásíkkl lkoo mesésonl, lmn engel köö sög e ábán éus éékű, llee (b) egenes és konáengel köö sög e ábán 9 egéelműen megháo. ké sb kooná, mnek eméseesen ké sbságfok felel meg. Toábbmene nlánló, hog b pon ponól b áolság fekő oln gömb köön feksk, () melnek síkj meőleges sugá, (b) köépponj peg sugáon n. b pon helé een köön eg sklápmée (monjuk kö eg ponjáól mé íkooná, g peg engel köül elfoulás söge) egeelműen megháo. pmée oább sbságfoko jelen. mogásnk ehá lóbn sbságfok. H mogás folonos őben, kko úg eknheő mn égelenül sok, égelenül kcs őnellum-különbségekkel előálló esheleek soo. eseben mee es ké, égelenül köel, eshele köö elmoulás oln elem fogómogás, melnek engele áhl póluson. engel, síkmogás eseéhe hsonlón, pllnn fogásengelnek neeük. 8

85 .Fejee. ee esek knemkáj... gömbmogás pálegenlee. egenleek állános lkj gömbmogás égő mee es ponjnk pálá gömbfelüleeken feksenek. s nlánló emelle, hog póluson áhló egenesek ponjnk pálá oln kúpfelüleeken feksenek, melek csúcs mogás pólus, eégöbéje peg egenes lmel ponjánk páláj. eges pálgöbék, llee kúpfelüleek mogásöén smeeében háohók meg. mogásöén öbbféleképpen hó meg. nháom sbságfokho ok eg-eg egmásól függelen őfüggén, mel es heleé egéelműen megó geome mennsége feje k (lklms sög-, g hosskooná). mogásöén, fel sjáosság lpján, úg kell megfoglmn, hog sgál sekee felépíésé s fgelembe ée, memklg leheő legegseűbb legen.. koábbkh hsonlón künee seepe kp sgálokbn álló, oábbkbn S, és eshe köö, l egü mogó ( oábbkbn S ) kooná-ense. Állános eseben úg fejeheő k legkönnebben mogásöén, h mnen őpllnbn sme ké kooná-ense köö kpcsol. Ismenek eknjük mogás égő es geomeájá, S koonáenseben. esőlegesen álso espon ebben kooná-enseben állnó heleko j (9) k lkbn íhó fel. S és S kooná-enseek köö kpcsolo peg j k j j k () k j k egenleense j meg. ánkosnusok lko nsfomácós má e soko móon jelöl oogonlás 9 ánkosnus köö 6 függelen össefüggés felíásá es leheőé, íg háom sbságfok fennm. jelen, hog elben klenc ánkosnus köül bámelk háom elegenő mogás leásáho egen (), (), (), mogás eg-eg sbságánk megfelelő, egmásól függelen, egébkén őől függő pmée. Fgelembe ée, hog állános eseben ánkosnusok beeee háom pmée függéne, áíhó () egenle: 84

86 gömbmogás 85,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, k j k j k j () H (9) egenlebe heleesíjük () egenleel kfejee egségekook, kko pon pálájánk ekoegenleé kpjuk, ögíe S kooná-enseben: k j () B. pálgöbe áglás ule-sögekkel mogó és álló kooná-ense köö kpcsolo, mogásöén, ule sögek (eek ponos éelmeésée még sséünk) segíségéel s le lehe ín. kko háom sbságfoknk megfelelő, őől függő, sögkooná seepé ölk be. mogásöén, ule sögek segíségéel lább móon hó meg:. ; ; () sámíások. áb lpján égeheők el.. áb ule-féle sögek efnícój

87 .Fejee. ee esek knemkáj mogás keeeko egbeesk álló és mogó kooná-ense. o ő eleléel mogóense helebe keül.,, koonáengelek heleé háom ule sög megsb fogás háo meg: sög álló kooná-ense engele köül elfoulás (fogás) söge, m,, helebe s á,, kooná-engeleke.; sög engel köül elfoulás (fogás) söge, e b, b, b helebe s á,, kooná-engeleke; sög engel köül fogás söge, e égső,, helebe s á b, b, b kooná-engeleke; Vegük ése, hog álló kooná-enseel keeben egbeeső mogó kooná-ense ké oább, S és S b jelű, kooná-enseen keesül ju el égső heleébe. söggel öénő fogás S kooná-ense S b, söggel öénő fogás S kooná-ense S b be, és égül söggel öénő fogás S b kooná-ense mee es égső állpoáho köö S kooná-ensebe s á. ké segékooná-ense mogó es ké köbülsö (mogás köben) heleéhe ok. Fgelembe ée fogások soenjé, lmn eek sjáosság, mee es esőleges ponjánk koonáá álló enseben b b (4) képleel háohók meg. nsfomácó má. áb lpján íjuk fel; eek ene S -ból S -b, S b -ből S -b, és égül S -ből S b -be öénő nsfomácó má: b cos sn cos sn sn cos sn cos ; b cos sn sn cos ; (5) (4) és (5) össefüggések mnegke függ ule-sögeken keesül őől, köekeésképp o helekoú espon pálgöbéjének pmekus egenlee (4) máegenleből, (5) fgelembeéeléel, elem sámíá-sokkk kpjuk: 86

88 gömbmogás cos cos sn cos sn cos sn sn cos cos sn cos cos cos sn sn sn cos cos cos sn sn cos sn sn sn sn cos cos (6). pálgöbe áglás kooná-engelek köül fogásokkl fen bemuokho hsonló lkbn ók pálgöbe egenlee, h nem ule sögeke, hnem kooná-engelek köül elfoulások eeke lábbk ésleek eknjük pméenek. ( koább jelöléseke s hsnáljuk mj, e e nem okoh féleéés.). áb lpján álló S koonáenseel keeben egbeeső heleű S mogó kooná-ense elősö köül fogjuk el söggel, íg S helebe houk; mj köül fogjuk el söggel, hog S b -el egbeessen, legégül peg b engel köül söggel., és sögek ő függéne. pálgöbé mos s (4) egenle j meg, e mások nsfomácós máok:. áb. kooná-engelek köül fogások ensee 87

89 .Fejee. ee esek knemkáj b cos sn sn cos cos sn sn cos ; b cos sn sn cos ; (7) fenebb bemuo ké móse különbségének lénege, e smé hngsúlon kánjuk, hog koná-engelek köül fogásnál mogó ensenek álló ensehe sonío heleé háom koonáengel köül fogás háo meg, ellenében ule-söges felíássl, hol engelek köül kése fogunk sebességeloslás.vekomóse gömbmogás égő mee es o ponjánk sebessége pllnn fogásengel smeeében háohó meg legkönnebben. el mogás égelenül kcs, áloó heleű engelek köül fogások soo, meg kell háon pllnn fogásengel, és pllnn sögsebessége. ekomóse pllnn sögsebességeko heleének és bsolú éékének geome éseéelek lpján öénő megháoásá jelen. egen mogó koonáense helee o őpllnbn (), () és () sögfüggének pllnn éékéel megháoo. lem ő elele uán eek sögek elem méékben megálonk. áloás lneál lkbn lább móon íhó fel: (8) ek sen mogó kooná-ense elem ő elele uán eg égelenül köel, új helebe keül, melnek ule-söge, llee nfnemáls éékkel különbönek őbel éékekől. ek sögáloások ule-féle 88

90 gömbmogás sögek elsőenű ffeencálj. elsőenű eálk geome éelmeésé. áb semléle. ule-sögek áloásá kfejeő nfnemáls elfoulások elem ő elele uán heleüke nem áloó fogásengelek köül öénnek. /, /, / mennségek ule-sögek áloásánk megfelelő sklás sögsebességek. ek előjeles mennségek...4. ponbn áglkkl egeő gonolmenee lklm elem fogások engelee fenebb emlíe sklás sögsebességeknek eko-éelmeés s unk ekook óegenese, és engelek, meleknek S kooná-enseben felí egségeko ene köekeők: k, cos sn j, k sn sn sn cos j cos k. áb. ule sögek segíségéel éghe fogás sögsebesség-ekook sklás sögsebességek és fen képleekkel mego egségekook so. Vegük ése, hog. és. ábákon felünee poí áníásoknk ómuó jáásál ellenées ánú elfoulás felel meg.,, sögsebesség-ekook össeeő S kooná-enseben: 89

91 .Fejee. ee esek knemkáj k cos sn j sn sn sn cos j cos k (9) Ném fgelemmel leolshó.-s ábáól, hog ule sögek áloásá kfejeő sögsebesség-ekook S eshe köö koná-enseben sn sn sn cos j cos k cos sn j (4) k gömbmogás pllnn sögsebességeko fen háom-háom eko össege mn helálló, mn mogó kooná-enseben ehá: ; (4) egjegeük, hog fen össeg ekonk (lsó) nese konáense jelöl, melkben ekokoonáák eknjük. I és oábbkbn s, éus ne S helálló, -es ne peg mogó S koonáensee onkok. (9), llee (4) kfejeéseknek (4) képlebe ló heleesíéséel megkpjuk pllnn sögsebesség koonáá: sn sn cos sn cos sn cos sn sn cos sn cos sn cos (4) (4) (4) képleek ellenőése ne nsfomácó égehjásá génl. nem nehé fel, h fgelembe essük nsfomácós máok oogonlásá. mee es o ponjánk sebessége pllnn sögsebesség-eko és heleko ekoáls so mnké koonáenseben:, ; (44) 9

92 gömbmogás Ugníg háohó meg pllnn fogásengel koonáengelek köül fogásokkl mego mogásöéne née., és b engelek köül fogások,, sögee éénesek (8) képleekkel fomlg egeő (45) össefüggések. nfnemáls sögáloásokho s, ká előő eseben, sögsebességekook enelünk hoá eek össeeő. áb lpján lehe megháon. helálló és mogó konáense engelehe oó sögsebesség-ekook kfejeése lább össefüggésekkel ok: cos j sn k (46) sn cos sn j cos cos k cos cos cos sn j sn k cos sn j (47) k pllnn sögsebesség mos s eek össege:, ; (48) B. ámóse mámóse, hsonlón egekhe, álló és mogó kooná-enseek köö nsfomácón lpul. kooná-enseek köö nsfomácós má ő függéne, ánkosnusok peg mogásöén megsb móon álonk. H ő sen eáljuk (4) egenlee, kko megkpjuk on pon S kooná-enseben megfgel sebességé, melnek S koonáensebel homogén koonáá oslopmá lm: 9

93 .Fejee. ee esek knemkáj 9 b b (49) sámíások elégése uán, b b b b b b (5) sebességmá, hol eál máok (5) lpján íhók fel: sn cos cos sn ; sn cos cos sn ; sn cos cos sn b b (5) (5) és (5) egenleek megják S kooná-enseben megfgel sebessége, h sme mogásöén, lmn ekne espon koonáá eshe köö, S mogó kooná-enseben. Tehá e egenle mogóensebel koonáákho csol állóenseben kfejee sebessége. ől eléő ekoáls ásmóú egenleek hsnál, hol bennük seeplő lmenn mensége eg és ugnon kooná-enseben eknjük. H ehá máos ásmó eseén s cél, hog mnen éneő ugnbbn enseben ( jelen eseben e álló, kooná-ense) legen kfejee, kko sgál espon koonáá s ebbe kooná-ensebe kell nsfomáln. eseben (5) egenle köekeő lko öl: b b b b b b

94 gömbmogás 9 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b (5.) (5) és (5) képleek lpján kpjuk meg(5.) össefüggésben seeplő, ő sen eálk lmó gok: sn sn cos sn sn sn cos cos sn cos ; cos sn cos sn ; b b b b Vegük ése, hog össes éseemén feesmmekus má, ehá eek össege s feesmmekus les. sámíások eeméne

95 .Fejee. ee esek knemkáj 94 (5) lkú ömö egenle. bben feesmmekus má nem onosn éus eleme lább képleekből sámíhók: cos sn cos sn cos sn sn (5) Össeee (5) és (4) képleeke, onnl lásk, hog (5) össefüggésben álló feesmmekus má nem más, mn álló koonáenseben felí pllnn sögsebességeko feesmmekus má, ehá (54) H mogásöén nem ule-sögekkel, hnem, és b engelek köül fogásokkl íjuk fel, kko s ugnee e eeméne juunk, l különbséggel, hog ebben eseben sögsebességeko koonáá (46) és (48) egenleekből sámíjuk. mennben sebessége mogó kooná-enseben kell megháon, (49) egenleel o oslopmáo á kell nsfomáln álló S enseből S mogó ensebe: b b b b b b b b b b b b b b b b b b (55) sámíások gonlmenee és mósee onos álló ensebel és fenebb áekne sámásokého. égeemén

96 gömbmogás (56) hol sögsebességmá eleme (4) képleből eheők. gkol felok megolásábn mámósenek hln előne nnk, melek köül felélenül meg kell emlíen köekeőke: sámíások sukuálásánk leheősége, m egseű ésmáok megjelenéséel lósul meg; mogásöén lpján egseűbb felín álló és mogó koonáense köö nsfomácó, mn geome megfgelések lpján megháon sögsebességeko össeeő, bámelk ensehe soní; mámóse kálón lklmhó h eeke sámíások lgomáln és sámíógépe nn áll sánékunkbn Álló és mogó lpfelüleek lpfelüleeknek neeük pllnn fogásengel mén hele álló, llee mogó kooná-enseben. síkmogás sgálko beeee sóhsnál lpján, pllnn fogásengelek áll mogás soán mogó kooná-enseben lkoo felüle mogó lpfelüle, helálló koonáenseben megfgel felüle peg álló lpfelüle. gömbmogás lpfelülee oln kúpok, meleknek köös lkoój pllnn fogásengel, lmn és csúcs álló és mogó kooná-ense köös ogój. Gömbmogás eseében pllnn fogásengel helee egseűbben ók, mn síkmogás eseén, mel mng áhl ogón, áná peg mogásöén segíségéel egseűen meg lehe háon. pllnn sögsebességeko koonáánk smeeében lpfelüleek pmekus egenlee álló és mogó kooná-enseben egán őől függő ánú fogásengel pmekus egenleéből lehe leeen: u, hol képleben álló u pmée, ne peg, össhngbn egekkel, álló, llee mogó kooná-ense onosíj. H kfejeük fen egenleekből helkoonáák, kko kpjuk, hog: ; 95

97 . Fejee. ee esek knemkáj 96 ;,,, u u u u u u (57) (57) pmekus egenleek álló, llee mogó lpfelüleek egenlee. lpfelüleek, síkmogás pólusgöbéhe hsonlón, csúsásmenesen göülnek le egmáson. en állíás golásáho kell megmun, hog ké felülenek mnen pllnbn n köös énősíkj, eenfelül énkeés ponokbn éus ké felüle egmásho sonío sebessége. ké lpfelüle sjáosság bbn áll, hog onlfelüleek, köös ponjk mnen eseben pllnn fogásengelen nnk. Köös énősík kko léek, h mnen énkeés ponbn egbeesk ké lpfelüle nomálsánk án. sgoú memk golásho jelölések oább ponosíásá n sükség. 9. ollon, (4) képle uán bekeésben kjeleneük, hog ekook lsó nee ekokoonáák kooná-enseé jelöl: köekeeesen helálló S kooná-ense, peg mogás égő eshe köö, mogó S kooná-ense jele. ké lpfelülehe oó ké nomáleko hooásá ugncsk, llee neek jelölk, e eek áójelbe e felső neek: íg pélául n eko mogó lpfelüle nomáleko, melnek koonáá S -bn nnk felí. köös énősík léeése kko és csk kko leheséges, h ké felüle nomáls eko köö eljesül ;., n n (55) egenleenseel mego felüleek eseében nomáleko ;, q k j k j u u u k j n q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q össefüggéssel sámíják. uóbb egenle máokkl s felíhó: ;, q q q q q q q q q q q q q q ε n (58)

98 gömbmogás (58) máegenleben álló ε q má söggosulás-má. söggosulás- máo sögsebesség koonáánk ő sen eáljból épíjük fel. emlíe koonáák mogásöén lkjáól, kooná-enseek köö kpcsol memk lkjáól függenek, és (4) és (4), llee (46), (47) és (48) képleek segíségéel sámíhók k. ké nomáleko páhumosságá csk kko ujuk können 4. áb. helálló és mogó lpfelüle ellenőn, h ok ugnbbn kooná-enseben íjuk fel. álló lpfelüle nomálekoánk koonáá mogó S kooná-enseben lább nsfomácól lehe megháon: n n ε (59) Vegük s ése, hog mogó lpfelülee nomálekoá ó n ε képle jobbollánk ké soóéneoje kfejeheő álló kooná-ensebel megfelelőkkel. H emelle fgelembe essük (7) képlee eeő gonolmene soán má felhsnál és. Függelékben fomálsn s gol össefüggés, kko onos álkíásokkl íhjuk, hog ε ε ε ε n n n (6) m jelen, hog megegek ké nomáls.áll boníouk, hog ké lpfelülenek mnen őpllnbn köös énősíkj n, m pllnn fogásengelen hl á. ásés, pllnn fogásengelen léő esponoknk éus pllnn sebessége. Úg s foglmhunk, hog éus énkeés ponokbn mogó lpfelüle álló lpfelülehe sonío (elí) sebessége, gs csúsásmenesen göül mogó lpfelüle álló lpfelüleen. kánuk goln. lpfelüleek elí heleé 4. áb semléle. 97

99 . Fejee. ee esek knemkáj...6. gosuláseloslás.vekomóse gömbmogás égő mee es o ponjánk gosulásá sgál espon sebességekoánk ő sen eálásál kpjuk meg, mn álló, mn mogó kooná-enseben. oábbkbn ne éékée éénesek előbbekben e kköések: null ééke álló, ééke peg mogó kooná-ensee onkok. / opeáo (44) sebességképlee kell lklmn, e ugnkko nlánlón fgelembe kell enn pllnn sögsebesség-koonáák onkoó (4) és (4), llee (46), (47) össefüggéseke mogásöén felíás mójánk függénében: (6) söggosuláseko koonáá álló enseben (4) össefüggés eálásál ónk: cos sn sn cos sn sn sn cos cos cos sn sn cos sn cos sn sn cos (6) Hsonló móon sámíhók söggosuláseko koonáá mogóenseben: cos sn sn cos sn cos cos sn sn cos sn cos sn sn cos sn cos sn (6) 98

100 , gömbmogás, 9, H mogásöén koonáengelek köül elfoulások, mn sögkoonáák felhsnálásál íjuk fel, kko söggosulás-koonáák (47) és (48) össefüggések ő sen eálásál kpjuk meg. gömbmogás eseében sámoln kell l köülménnel, hog sögsebesség-eko án ellenében eg nulmánoo mogások sögsebesség-ekoál nem állnó. Íg nnk őbel áloás mn ngságá, mn peg áná s én. Köekeésképpen és ekook állábn nem egengelűek (nem páhumosk). sögsebesség- és söggosulásekook kölcsönös heleé 5. áb semléle. mee es ponj sugú gömbön moog, és pllnn heleé heleeko háo meg. mogás o pllnbn és ekook háoák meg. háom eko ábán felünee legállánosbb eseben köekeő háom síko háo meg:, és ekook áll kfesíe sík;, és ekook áll kfesíe sík;, és ekook áll kfesíe sík. 5. áb. gosuláseko össeeő és eek helee 99

101 . Fejee. ee esek knemkáj pon sebessége, efnícójából óón, meőleges heleko és, éelmeésé s fgelembe ée, meőleges, sík. Hsonló uljonságú gosulásösseeő s, mel, sík meőleges. és ekook oln síko lkonk, mel -ben én sugú gömbö, és íg meőleges, és, síkok. Tóegenesek söge megegek ehá, és, áll beá söggel. gosulásösseeő gömb -bel énősíkjábn ké össeeőe bonhó fel: eek sebességel páhumos, llee meőleges. Nlánló, hog össeeő ng pon ngencáls gosulás. össeeő peg, síkbn feksk, hsen meőleges sebességeko. ásés, gosulásösseeő s, síkbn feksk. ng pon nomálánú gosulásá és ekook össege j. Köekeésképpen, espon gosulás :, ; (64) lkbn íhó fel. ngencáls és nomálgosulás sámíásá 5. áb lpján lehe elégen. ngencáls gosulás gosuláseko eülee sebesség áná. é elősö sebesség ánáho oó egségeko háouk meg: e, ; (65) 5. ábából lágosn kűnk, hog gosuláskomponensnek éus eülee sebesség áná. eeméne, hog ngencáls össeeő káólg komponensből kelekehe: e e (66) komponensnek fogásengel s lmó eüleé, síkb eső e -e meőleges, és gömb ponbel énősíkjáb fekő egségeko segíségéel sámíjuk. megháoásko fgelembe essük, hog, e, kölcsönösen meőlegesek egmás és íg: e, ; (67) e

102 egségeko smeeében, lább képleből ók: gömbmogás eko ánú össeeője,, el espon nomálgosulás (66) és ekoáls össege: (68) össeeő (69) nomálgosulás pon heleeko és pllnn sögsebességeko, síkbn feksk, és pálgöbe ponbel göbüle áll kfesíe köépponjánk ánáb mu. pálgöbe ponbel smulósíkjá ngencáls és nomál ánú gosulás-össeeők háoák meg. sámíás lehe egseűsíen, h fgelembe essük, hog ngencáls gosulás-össeeő ponbel pllnn sebességgel onos ánú; e eseben pálgöbének o ponjáb enel Fêne-féle ekoháms báseko és mogás knemk jellemő köö köekeő össefüggések állíhók fel: (7) hol hmk eko bnomáls ánú egségeko. Ismé hngsúlouk, hog gömbmogás, knemk jellemők semponjából bbn különbök síkmogásól, hog söggosulás-eko és sögsebesség-eko állábn,, síkok. ée nem onos ánú, gs nem esnek egbe és ké sík egmássl beá söge nomálsk segíségéel sámíhó: ccos (7) kko les null, h sgál esponok, síkbn feksenek, g peg h mogásöén köekeménekén eg o őpllnbn onos sögsebesség-eko és söggosulás-eko án.

103 . Fejee. ee esek knemkáj B. ámóse mámóse lklmás ögíe S és eshe köö, mogó S kooná-enseek köö kpcsol, lmn sebesség máos fomlmusá épül koábbkho hsonlón s sebességmá ő sen eálálj eeméne gosulásmáo. gkol sámíások sámá legcélseűbb h gosulásmáo ögíe S kooná-enseben íjuk fel, e képleekben ekne espon S kooná-ensebel koonáá hsnáljuk, mel eek őfüggelen mennségek. m sebesség (5) l előállíásából nulunk k, és e eáljuk ő sen. b b b b b b b b b b b b b b b b b b (7) (7) képleben seeplő máok (7), ő sen első eáljk peg (5) képleek ják. ő sen mások eálk köekeőképpen lkulnk: cos sn sn cos sn cos cos sn cos sn sn cos sn cos cos sn b

104 gömbmogás cos sn sn cos sn cos cos sn b (7) (7) képleel öénő sámíás, fgelembe ée lklmnó (7), (5) és (7) máok, első láás kénelmelennek űnhe; h son e fomlmus eg mechnmus mogó elemének sámíógépes elemésée hsnáljuk fel, kko hln máos móse előne. ekoáls lk és máos lk egenéékűsége (54) egenle ő sen eálásál golhó. Vlóbn ε (74) m nem más, mn (6) képle máos lkj, álló kooná-enseben ekne. mogóensehe sonío gosuláskoonáák megháoásá kooná-nsfomácól leheséges. (7) képleből knul kpjuk, hog b b b b b b b b b b b b b b b b b b (75) sámíás mó csk kko hsnálhó, h má smejük mn sögsebesség-, mn peg söggosulás-máo álló kooná-enseben. H felíjuk sögsebesség- llee söggosulás feesmmekus má álló enseben, kko (59) össefügés s fgelembeée (74) máegenle köekeő lkb hó á:

105 . Fejee. ee esek knemkáj 4 ˆ ˆ ˆ ε ε ε ε ε (76)...7. gosuláspólus leheséges helee gosuláspólus mogó esnek ponj, melnek eg o őpllnbn éus gosulás. síkmogás sgálko goluk, hog ennél mogásípusnál mng léek álló és mogó pólusgöbe. gömbmogás eseében, ekneel gömbmogás sjáosságá, mogás pólus mng kelégí null gosulás feléelé. Feleők onbn, emésees móon, kéés, hog n-e helálló pon köül fogó esnek más oln ponj s, hol éus éékű gosulás. kéés megálsolás ;, (77) feléel eljesülésének sgálá génl. sgálo helálló kooná-enseben égeük el. H, ekoáls sook ksámíás uán köekeő lko öl (77) egenle: (78) (78) máegenle köekeő homogén lneás egenleenseel les egenéékű, melben gosuláspólus,, kooná smeelenek: (79) helálló pon koonáá fen egenleense áls megolás. géb, álsól eléő megolások keesésée feléeleheő, hog ense főmáánk ngj ksebb, mn (h éus egühómá eemnáns). ense főeemnáns köekeő:

106 gömbmogás 5 (8) eemnáns ksámolásko el lehe egmásól különíen káólg sögsebesség-koonáák lmó gok, és eges gok. eemén jelenősen egseűsök, h fgelembe essük, hog -á önmgábn lmó goknk éus össege, íg főeemnáns sámíás képlee Ö les. Teljes nége lkú kfejeés léehoásál fen eemnáns sámíásá oább lehe egseűsíen. Fgelembe ée ekosokén felí ekook sklás soánk képleé, gs c b b c c b sámío főeemnáns köekeő lk hohó: (8) (8) képleből lágosn lásk, hog (79) egenleensenek kko, és csk kko lehenek álsól eléő megolás, mennben sögsebességeko és söggosuláseko ekoáls so null. köekeő eseekben leheséges:.) sögsebesség-eko null; b.) söggosulás- eko null; c.) sögsebesség- és söggosulás-ekook egánúk. ) eseben, fgelembe ée pólus uljonságá, es nuglm állpobn n, b) eseben peg sögsebességeko őben állnó kell legen, m helálló engelű mogás (fogó- llee csmogás) eeheő ss, ennélfog e ké ese nem jellemő gömbmogás. köekeőkben c) ese köekeméne sgáljuk. sgál soán eknsük, ekook koonáá (4), llee (6) képleek lpján. mennben ké eko óegenese köös, koonáák ánosk, ehá felíhó, hog:

107 . Fejee. ee esek knemkáj 6 (8) Tegük egmássl egenlőé első és mások, llee első és hmk öe. sámíások elégése uán, eeke nem ésleeük, lább ffeencálegenle-ense kpjuk: cos cos sn sn cos sn sn sn cos cos cos sn sn cos sn (8) (8) nemlneás másoenű ffeencálegenle-ense háom smeelen függén lm. Köekeésképpen, még bbn eseben s, h neán sme egk függén háom köül, eg másoenű, késmeelenes ffeencálegenle-ense kpunk. lósnűsí, hog égelen sok oln specáls ese leheséges, mko gömbmogás soán köös sögsebesség- és söggosulásekook óegenese, ennélfog léek gosulás-pólusengel. Vegük ése, hog éusól különböő (8) eemnáns első eleméhe oó leemnáns: 4 (84) nnek lpján (79) egenle megolhó, pméee. megolás nem más, mn keese, éus gosulású ponok mén hele álló kooná-enseben, pllnn gosulás-pólusengel: (85)

108 mee es sb mogás..4. mee es sb mogás..4.. mogás leíás ee es kko ége sb mogás, h nncsenek mogás koláoó kénseek. Íg mn h sbságfok megm. jelen, hog es eg esőleges ponj sbon moogh ében, mköben es lleő ponon áhló, őben áloó ánú engel köül s foogh. koább eseekhe hsonlón, mogás eg helálló (bsolú) S kooná-enseben sgáljuk, míg es geomeájá eshe köö, ele egü mogó S kooná-enseben juk meg. Il móon mogás sgál mogó kooná-ense állóho sonío mnenko heleének smeeén lpul. g es helee ében egéelműen megháoo, h smejük háom, nemkollneás ponjánk koonáá. Jelölje eeke ponok ene, B, koonáá peg,,, B, B, B,,,. el es mee, B háomsög lkjá és méeé mogás soán megő, ehá ollk hoss nem álok: B B B B B B B B (87) (87) egenleek klenc koonáá előí és es meeségé kfejeő háom kénsefeléel jelenk. Köekeésképpen fennmó sbságfokok sám h, gs össes leheséges. sbságfokok geome jelenésé 6. ábán semlélejük. eolshó ábáól, hog nem lehe mn h sbságfoko ké ponho kön. Téeleük fel ugns, hog pon sbon moogh, háom sbságfok. Bámelk pono álsjuk s hoá, monjuk B pono keül, hog nnk má csk ké koonáájá lehe sbon megálsn, mel hmk bból köekek, hog B oll hossúság állnó. Feléeleén, hog B, és B függelen, B kooná (87) első egenleéből köekek. Toábbá képeljük el, hog és B köépponokkl ké oln gömbö sekesünk, melek sug, llee B ollk hossál egenlő. ké gömb mesésonl eg kö, melnek egk, esőleges ponj les háomsög hmk, gs csúcs. csúcs helee köön má egelen pméeel, pélául o éékű köpon söggel hó meg. fenek lpján eg können áláhó geome jelenés enelheő mee es sb mogás eseén mogás h sbságfokáho. mee es sb mogásánk másk leheséges geome leás gömbmogáson lpul. 7. áb sgál ágá képeő mee ese, álló S és mogó S kooná-enseeke s semléle. 7

109 . Fejee. ee esek knemkáj 6. áb sbságfok geome éelmeése állános mogás eseén mee es ponjáho ( S koonáense ogójáho) eg oább, kooná-ense köjük. nnek engele, feleés sen, páhumosk mnk mogás soán S kooná-ense engeleel. mee es mogásánk leásáho smenünk kell pon mogásá e háom helkooná smeeé éele fel és háom sbságfoko jelen, oábbá mee es mogásá koonáenseben. újbb háom kooná és oább háom sbságfok. Köekeésképp mogásöén lább egenleek jelenk: f g h (88) 8

110 mee es sb mogás 7. áb. lklmo kooná-enseek 8.áb. állános mogás éelmeése ule-sögekkel..4.. mee es eg ponjánk pálgöbéje. Vekomóse Ismenek eknjük mee es esőlegesen álso ponjánk koonáá mogó S enseben. álso pon pálgöbéjének pmekus egenlee úg kpjuk meg, hog (88) mogásöén khsnálásál felíjuk pon koonáá álló S enseben. 8. áb lpján felíhó, hog álso pon heleko, álló kooná-enseben, mng mogóensebel heleko, lmn mogó ogó helekoánk össege: f g j k j k (89) h k heleko őfüggő. mogó ogó heleko koonáá f, g, h őfüggének. ekne espon j mogó koonáensebel heleko csk mogó kooná-ensehe soní konsns, mel fogás m, j, k bás őfüggő. Nlánló 8.-s áb lpján, hog -ből -be ló nsfomácó ugn, mn gömbmogás eseén mogó enseből álló ensebe öénő koonánsfomácó. Fgelembe ée gömbmogás nsfomácójá leíó (5) ésmáok, mogóense básánk őfüggéne köekeőképpen sámíhók: 9

111 . Fejee. ee esek knemkáj j k ' b b j j j k j k j k k k cos cos sn cos sn sn cos cos cos sn sn sn cos sn sn cos cos sn sn cos cos cos sn cos sn sn cos sn cos (9) (9) má első, mások és hmk oslopánk első háom eleme ene, j, és k egségekook koonáá. Nlánló, hog eek koonáák ule-sögeken keesül függnek őől. eljesség keéé külön s kíjuk egségekook álló enseben: cos cos sn cos sn sn cos cos cos sn j sn sn k j cos sn sn cos cos (9) sn sn cos cos cos j sn cos k k sn sn cos sn j cos k sgál pon (89) l heleko (9) egségekook heleesíése uán pálgöbe ekoegenlee: f cos cos sn cos sn cos sn sn cos cos sn sn g sn cos cos cos sn sn sn cos cos cos cos sn h sn sn sn cos cos k j (9) Beláhó, hog pálgöbe egenlee megleheősen bonolulk. Ugnkko éseeheő, hog (9) ekoegenle bámel espon pál-

112 mee es sb mogás göbéjének ksámíásá lklms, h pon mogóensebel koonáá megfelelő pon koonáál heleesík. B. ámóse mámóse lpj mogó és álló kooná-enseek köö kooná-nsfomácó. Fgelembe ée, hog mogás soán helálló és mogóense kölcsönös helee álok (8. áb), können beláhó, hog esőlegesen álso espon álló ensebel, őfüggő koonáá képek áll leí pálgöbe pmekus egenlee. mogóenseből álló ensebe ló álkíás máegenlee: hol (9) f g h peg (9) oácós má. másoás eeménekén kpjuk nsfomácós máo: cos cos cos sn sn sn f sn cos sn sn cos cos sn cos sn sn cos sn g cos cos sn cos cos cos (94) sn sn sn cos cos h el pálgöbe máos lkj: (95) H mee es sb mogás eseén pálgöbe egenleé nem ule-sögekkel, hnem koonáengelek köül fogások sögeel kánjuk felín, kko nsfomácós máo fenebb bemuo móon sámíjuk, l különbséggel, hog ekko S segéense és S mogóense köö nsfomácó máá. áb lpján leeee () képleek segíségéel íjuk fel.

113 . Fejee. ee esek knemkáj eko- és mámóse össehsonlíás kpcsán smé hngsúlouk, mn hogn eg sgál mogásípusok mnegkénél megeük, hog mámóse fő előne enseeesége, és könnebb lgomálhóság gép sámíások eseén. (94) má köekeő felbonás lklmuk: h g f cos cos sn sn sn sn cos cos cos cos sn sn sn cos cos cos sn sn sn cos cos sn sn cos sn cos sn cos cos, h g f R (96) képleben álló R má oácós ése, gs ánkosnusok lko -s má,, peg -s éusmá. fen felbonás fgelembeéeléel (95) l mogásöén ( pálgöbe egenlee) h g f, h g f ρ R R (97) hol ρ pon mogóense ogójáho sonío helekoánk, peg ogó helekoánk homogén koonáá lmó má,. nkeő álló enseben kpuk meg. (97) képle mechnk lmá ekne megegek ekomóseel felí (89) egenleel. képleben álló lmenn helkoonáá helálló enseben íuk fel. egjegeük, hog ekomóse lklmásko külön gono kelle foín, hog műeleekben seeplő ekook ugnon kooná-enseben legen kfejee. mámósenél e nem jelen gono nsfomácós má elee lm ánkosnusok.

114 mee es sb mogás..4.. sebességeloslás sebességeloslás heleko (mogásöén) ő sen eálj. nnek sámíás eko- llee mámóse lklmás eseén (89), llee (95) képleek ő sen eálásá génl..vekomóse heleko eálásánál fgelembe essük, hog mogóensebel heleko csk áná áloj, bsolú ééké nem, ehá csk mogó kooná-ense egségeko kell eáln. ek sámíás () l osson-féle képleek éelemseű lklmásá génl. sámíások lábbk ésleek: f g j h k j k j k j k (98) képleben: mogó kooná-ense ogójánk sebességeko; mogó ogóho köönek e sögsebesség-eko; álso espon heleko mogó ogóho képes. Innen lágosn lásk, hog sebességeko ké ésből áll: mogó kooná-ense ogójánk elmoulásából óó sebesség-össeeőből; mogó kooná-ense ogóján áhló pllnn fogásengel köül, elem elfoulásból óó, össeeőből. (98) el mogásöén memk megfoglmásábn elfoulás fomálsn onos gömbmogás kpcsán beeee elfoulássl, pllnn sögsebességeko komponense álló enseben (4), mogó enseben peg (4) képleekből sámíhók. (98) képle lklmásko mnen eko ugnbbn kooná-enseben e ká álló, ká mogó s lehe kell felín. mennben sebessége álló kooná-enseben kjuk felín, eko (koonáá (4) képleből ( S ense egségeko előállíásábn peg (9) képleből kell heleesíen:

115 . Fejee. ee esek knemkáj f g j h k cos cos sn cos sn cos sn sn cos cos sn sn sn cos cos cos sn sn sn cos cos cos cos sn sn sn sn cos cos k j (99) H sebességeko mogó S enseben kjuk felín, kko sögsebesség-koonáák (4) képleből, álló kooná-ense egségekonk koonáá peg (9) l má oogonlásá fgelembe ée, nnk soból, mng első háom eleme ée kell heleesíen: f cos cos sn cos sn cos sn sn cos cos j sn sn k g sn cos cos cos sn sn sn cos cos cos j cos sn k h sn sn sn cos j cos k f cos cos sn cos sn g sn cos cos cos sn h sn sn f cos sn sn cos cos g sn sn cos cos cos h sn cos f sn sn g cos sn h cos k () fen ké össefüggés sonlg bonolul sekeeű. egseűbb áeknheőség ége célseű konké eseben (98) képlee lklmn, úg. hog képleben seeplő lmenn eko ugnbbn kooná-en- seben íjuk fel. 9. ábáól leolshó, hog, mel (98) sebességképle álló enseben köekeő lko öl: () fogásból óó össeeő j 4

116 mee es sb mogás 9. áb. sögsebességeko nomék Hngsúlon kíánjuk, hog () sebességképle mee es esőlegesen álso ponjánk sebességé álló kooná-enseben feje k, és ehhe káólg álló kooná-enseben felí ekook hsnál fel. Vlóbn, mogó S ense ogójánk sebessége, g peg fogásból óó sebesség. Fgeljük meg, hog uóbb ekoso fomálsn onos eőeko ponnomékánk kfejeéséel! úg selkek, mn eg oln eő, melnek ámás ponj pon, fogásból óó sebesség peg ká nomék. pon elí heleko ponho. Íg fogásból óó sebesség nem más, mn ponb helee sögsebességeko nomék ponbn. Tömöen össefogll monhjuk, hog mee es sögsebessége oln eőkén selkek, melnek sebesség nomék. nnek fgelembeéeléel () lpján móon íhó egenlenek ( sebességek köö össefüggésnek) köekeő ols: h smejük eg o ponbn (jelen eseben ponbn) sebessége ( eő noméká), és sögsebessége ( eő), kko eg másk ponbel (jelen eseben ponbel) sebesség (nomék) úg sámíhó, hog o ponbel (jelen eseben ponbel) sebességhe (nomékho) hoájuk 5

117 . Fejee. ee esek knemkáj 6 o ponho (jelen eseben ponho) köönek ekne sögsebesség (eő) noméká másk pon (jelen eseben pon). eemén mee es bámlen mogás, gs eg mogások bámelke eseén álolnul éénes. fen elmonok fogskeék kpcsolóás sgálábn lklmo kooná-enseek ogó felí lklmák. Vssée () képlee és 9-es ábá beláhó hog helálló kooná-ense ogójáho köönek ekne pllnn sögsebesség-ekoól sámó sebességkomponens, m peg ponho köönek gonol sögsebesség-eko nomék pon. fen kjeleneek lpján sebesség o kooná-enseben ló kfejeésée köekeő állános jellegű eljáás lklmák: sögsebességeko, llee sögsebesség-ekook kee ámás ponjukból kálso kooná-ense ogójáb helek á, és új hele lpján felíhó sebessége kegésík ponho köönek él sögsebességeko nomáékál ogó née. B. ámóse. máos sámíás ρ kooná- nsfomácón lpul. S -ből S -b öénő nsfomácó máá (96) össefüggés lpján ké ése bon lklmuk:, h g f ρ R ő sen eálás köekeő műeleek égehjásá génl: h g f h g f, ρ R ρ R Innen

118 mee es sb mogás 7 h g f ρ ρ () fen képle lágosn muj koább eemén msen sb mogás égő mee es esőleges ponjánk sebessége ké sebességeko össege: első mee es eg kálso ponjánk sebessége (jelen eseben e mogó kooná-ense ogój), mások peg ponho sonío fogásból óó sebesség. el semmlen megköés nem eünk pon kálsásá lleően, sb mogás égő mee es eseében egseű égelenségn mogásöén felíásá onkoó leheőségek sám. gkoló ménök ehá, eg konké lklmásbn lko kell, hog kálss, melk leheő legegseűbb sámíás képleeke ee. () össefüggés lklmás feléele, hog sme mee es mogóensebel geomeáj ( smeee mnen espon), oácós má eálj, llee ogó sebessége ( ennek heleé megó f, g, h koonáák ő sen eálj). gkol felok sgálábn e képle jánlo, egseűsége és áeknheősége m. H sebességképle mnen gjá álló enseben óhjjuk kfejen, kko ρ oslopmáo álló enseből kell ánsfomáln: ρ () mlékeeésül megjegeük, hog fen képleben seeplő nemá fogóése oácós má nsponálj, nslácós és uolsó oslop peg ogó koonáá lm mogó koonáenseben. ek kfejeése eee má megfelelő oslopnk sklás soából nek, köekeőképpen: T T T (4)

119 . Fejee. ee esek knemkáj 8 (4)-ben jelölés má -ek oslopá jelen, felső neben álló T peg nsponálás jele. H () elácó ()-be heleesíjük, kko sebességmá képlee köekeőképpen lkul: gömbmogás sgálko goluk, hog /. Éemes s felén, hog gömbmogás eseében egbeesk álló és mogóense ogój. jelen, hog nsfomácós má s fogómá, megegek fomálsn sb mogás eseée éénes nsfomácós má fogóéséel. nnek lpján Khsnál uóbb képlee onos álkíásokkl foljuk leeeés: ˆ oábbkbn kfejeés sgálá foíjuk fgelme. el homogén fogómá, so ogó S mogó-ensebel koonáá s á ensebe. peg nem más, mn heleko háom koonááj álló kooná-enseel páhumos heleű enseben. Tekneel össefüggése s nlánló,

120 mee es sb mogás hog pon állóensebel koonáá kpjuk ellenkeő előjellel. Íg felíhó, hog, és eel sebességképle máos lkj köekeő les: (5) (5) képle ekomóseel leeee () össefüggés máos lkj. első egenlőségjel uán mások g lójábn ponho köönek gonol sögsebesség nomék pon, mások egenlőségjel uán kfejeés köépső gj peg pllnn sögsebességeko nomék ogó. Teméseesen e k lehee oln fejen lkbn s, ebben eseben ekoso sbál sen előjel áloo oln. sebességmá mogó kooná-enseben (5) képlee nsfomácójál sámíhó. Vssée () képlee és sebességmá sekeeé íhjuk, hog mn má öbbsö láuk, felhsnál. s. Függelékben leeee össefüggés, soouk meg fen egenleben feesmmekus máo, jobból, ˆ mál. onos álkíásokkl kpjuk, hog: ˆ ˆ Vegük fgelembe, hog pon heleko ogó helekoánk és helekonk össege. Fennáll ehá homogén koonáák lmó oslopmáok ekneében ρ egenle. s felhsnál, megkpjuk sebességmá égleges lkjá mogó koonáenseben: ρ ρ (6) 9

121 . Fejee. ee esek knemkáj pllnn fogásengel léeésének feléele Jogos felenn kéés hsonlón síkmogás, llee gömbmogás eseéhe -, hog léenek-e mee es sb mogás esén oln esponok, melek sebessége éus éékű mogás eg o őpllnábn. H léek len I pon eg o őpllnbn, kko ké különböő espon sebessége köö kpcsolo ó (98) képle sen fenn kell álln I (7) egenlenek. hho, hog (7) egenle eljesüljön, egenleben seeplő ekook lább feléeleknek kell, hog elege egenek: ) mogó ogó sebessége ugnoln ánú mn fogásból óó I sebességeko;, b) ponho köönek gonol I ké félée osj. c) I ekook áll kfesíe sík ee heleko bbn félében helekek el I melben mng fennáll, hog áníás ellenées áníásál ( ké eko előjelben különbök egmásól). heleko csk ok I ponok muh, mele eljesül, hog sn I I, geome össefüggéseke 4.áb semléle. ) feléel köekeméne, hog, sebesség meőleges I és ekook áll kfesíe Q sík, ehá I és mennben e feléel eljesül, állános mogásnk öéne meg kell engeje, hog álso pon sebessége pllnn sögsebességeko meőleges legen. bben eseben lásólgos ellenmonás meül fel, sb mogás sjáosíás één. H lposbbn megsgáljuk meőlegesség feléel, e eljesülhe, nélkül, hog mogás síkmogássá ( sögsebességeko án mng meőleges bámel pon sebességée), g ká gömbmogássá ( null sebességű pon sebességeko elleg meőleges bámlen ánú sögsebességeko) egseűsöne. helálló engelű fogó-, llee csmogás elee ká. Íg oln mogásöén, melnek egelen megköése, hog kálso pon sebessége meőleges legen mnenko sögsebességeko, sb mogás kegóáb soolhó. b) feléel eljesíése bbn áll, hog I pon ekoso áníásánk megfelelő félébe kell lleskejen. 4. áb semléle I pon heleé. első feléel s fgelembe ée heleeko és pon sebességeko meőlegesek, íg I pon leheséges hele sebességeko óegenesée meőleges félsík sűkül.

122 mee es sb mogás Nlánló, hog mennben léek egelen I pon mele c) feléel eljesül, úg emlíe feléel egseű égelenségn pon eljesüln fog, és een ponok mén hele eg, sögsebességeko óegeneséel páhumos egenes. keese mén hel, pllnn fogásengel (8) áolság helekek sögsebességekoól. eemén j sög 9-n éékée kpjuk. I ásés j eko, I I j eéksögű háomsög áfogój, (7) feléelnek elege es. elmonok lpján lesögeheő, hog mennben álso 4.áb pllnn fogásengel leheőségének sgál pon sebessége és pllnn sögsebességeko egmás meőlegesek kko égelen sámú pon g (7) kköés, gs o őpllnbn égelen sámosságú éus sebességű ponj n sgál esnek. sb mogás, ebben pllnbn, lál mén hel köül nfnemáls fogássl eklens. eemén nlkus úon s megkphjuk, legegseűbben kko, h mogó kooná-enseben sámolunk. I pon felí (6) máössefüggés köekeő,,,-ben lneás egenleenseel egenéékű: (9) Éseeheő, hog (9) egenleense főeemnáns éus, mel feesmmekus. Íg ense ngj ksebb, mn. Feléeleén, hog mogás nem egseűsök hló mogássá, gs, kko ense ngj. Vlóbn, h, első ké egenlee hsnáljuk fel,, smeelenekben; h, kko első és hmk egenlee álsjuk, smeelenekben; h peg, kko mások és hmk egenlee,-ben.

123 . Fejee. ee esek knemkáj Teknsük első ké egenlee hol, pmée. egenleense megolhó, h egelen kkeskus eemnáns éus, gs sámíások elégése uán kpjuk, hog () Vegük ése, hog fen kfejeés és ekook -gel éggsoo sklás so. knulás feléel éelmében, ehá () egenle kko, és csk kko g, h és ekook meőlegesek egmás. Vlágos, hog (9) egenleense csk bbn eseben megolhó, h és elege esnek meőlegesség feléelnek. (9) egenleense megolás köekeő: () el megolás - ben lneás, köekek, hog éus sebességű ponok o őpllnbn eg egenese lleskenek. () képleeke - sjáosí, kpjuk lál egenes és sík S öfésponjánk koonáá: ; ; S S S () / pméecseéel lmn fen eemén fgelembeéeléel () egenleek köekeő lk hohók:

124 mee es sb mogás () o o o * S 4. áb sebesség kfejeése pllnn fogásengel segíségéel () () felíásból láhó, hog keese mén hel sögsebességekol páhumos egenes. éus sebességű ponok egenese sebességeloslás sámíásá lénegesen egseűsí. emlíe egeneshe köö sebességfelíás 4. ábán semlélejük. ekook mogó (eshe köö) kooná-enseben íjuk fel. esőlegesen álso espon sebességé mogó ogó sebessége, és fogásból óó sebesség össege j. ásés, fgelembe ée () egenes, ugn sebessége kfejehejük ee helee sögsebességeko és pon engel esőlegesen álso ponjáho sonío helekoánk ekoáls soál. 4. ábán láhó ponb helee * sebességeko, eko és eek össege. pon sebessége ugnkko S -kén s felíhó, hsen