Vizsgálódás táblázatban, grafikonon

Átírás

1 Vizsgálódás táblázatban, grafikonon 2.2 Alapfeladat Vizsgálódás táblázatban, grafikonon 2. feladatcsomag lehetséges esetek lejegyzése, összegyűjtése események bekövetkezési esélyének érzékelése táblázatok, grafikonok vizsgálatával A feladatok listája 1. Sportversenyen (esélylatolgatás, megfigyelés, kombinativitás) 2. Választások előtti sejtések (esélylatolgatás, megfigyelés, azonosítás, megkülönböztetés, kombinativitás, rendszerezés) 3. Születésnapon (esélylatolgatás, megfigyelés, összehasonlítás, kombinativitás) Ajánlás Valóságos problémák is gyakran vezetnek többféle lehetőségre. Azt is tapasztalhatjuk, hogy az egyik esemény gyakrabban következik be, egy másik ritkábban. Ilyenkor azt sejtjük, hogy az előbbinek nagyobb a valószínűsége, mint az utóbbinak. Ha feltehetjük, hogy az egyedi lehetőségek (elemi események) bekövetkezése egyenlően valószínű, akkor ezek összegyűjtése után megerősödhet elbizonytalanodhat a sejtés. A táblázatok és a grafikonok vizsgálata segítheti annak megéreztetését, hogy mi okozza az események bekövetkezési gyakorisága közti különbségeket. ejlesztő matematika 1

2 Vizsgálódás táblázatban, grafikonon 2.2 Megoldások, megjegyzések 1. Sportversenyen 1. a) Valamilyen rendet tartva könnyebb a hiányzók megkeresése. váltót úszik egyénileg versenyez váltót úszik egyénileg versenyez D, B, T, G L, N D, T, L, N B, G D, B, T, L G, N D, G, L, N B, T D, B, T, N G, L B, T, G, L D, N D, B, G, L T, N B, T, G, N D, L D, B, G, N T, L B, T, L, N D, G D, B, L, N T, G B, G, L, N D, T D, T, G, L B, N T, G, L, N D, B D, T, G, N B, L b) A fenti táblázatból jól látszik, hogy nagyobb esélye van Daninak a váltóúszásra, hiszen a neve 10-szer szerepel a váltócsapatban, és csak 5-ször az egyénileg versenyzők között. c) Azt a 10 esetet kell megvizsgálni, amelyikben Dani váltót úszik. Ebben 3-szor fordul elő, hogy Levi és Norbi neve szerepel, és csak 1-szer, hogy egyik sem. Ezért nagyobb esély van arra, hogy Daninak mindkét barátja váltót úszik. d) A feladat egyszerű megoldása a négyféle lehetséges eset megkülönböztetése. Kettő jó Daninak, kettő kevésbé: Gy, H, M, P Gy, H, M, P Gy, H, M, P Gy, H, M, P De elképzelhető hosszabb megoldás is. Az előző feladatok alapján kétféle táblázat készítése várható: az úszásnemek alá írják a gyerekek nevét, a gyerekek neve alá írják, hogy ki miben versenyez. Mindegyik esetben 24 lehetőség van. Abban dönthetnek, hogy Dani mellé kit választanak a csapatba, hiszen ez a feladatban nem 2 ejlesztő matematika

3 Vizsgálódás táblázatban, grafikonon 2.2 rögzített. A megbeszélés során arról is szerezhetnek tapasztalatot, hogy a nevektől független a lehetséges esetek száma. Bármilyen lejegyzés alapján megállapítható, hogy ugyanannyi esélye van Daninak a kedveltebb úszásnemek közül húzni, mint a kevésbé kedveltekből. e) Egyforma esélye van a két eseménynek. Elegendő Daniék (D) és az Ellenfél (E) pályáját jelölni. Például ilyen táblázat készíthető: 1. D D D E E E 2. E D D D E E 3. E E D D D E 4. E E E D D D 2. a) 6 olyan lehetőség van, hogy ugyanabból az folyamból kerülnek ki a gyerekek (ezeket félkövér betűvel szedtük), és 9 olyan lehetőség, amelyben különböző folyamra járnak (dőlt betűtípussal jelöltük). Így ez utóbbira nagyobb az esély. 3a 3b 3c 4a 4b 4c 3a X X X X X 3b X X X X 3c X X X 4a X X 4b X 4c b) Színezéssel jelöltük a testvéreket és a köztük lehetséges mérkőzéseket. 4 olyan esemény lehetséges, hogy testvérek játsszák az első mérkőzést, 3 olyan, hogy mindkét gyerek negyedikes, és 5 olyan, hogy az egyik játékos a 4b-vel jelölt gyerek. Így az utolsónak van a legnagyobb esélye. ejlesztő matematika 3

4 Vizsgálódás táblázatban, grafikonon 2.2 c) A feltételek szerint 4a csak 3c-vel játszhat, így két lehetőség van: (3c, 4a), (3a, 4b), (3b, 4c) (3c, 4a), (3a, 4c), (3b, 4b) 3. a) Bence edz a legtöbbet, Tomi és Norbi a legkevesebbet. b) B: 2 ó 45 p, T: 2 ó, G: 2 ó 15 p, L: 2 ó 30 p, N: 2 ó c) Hétfőn és csütörtökön. d) től ig e) K.: biztos M.: hétfőn, kedden pénteken Cs.: fél órát, este 6-tól Gy.: között Á.: csütörtökön.: hétfőn, kedden és pénteken 2. Választások előtti sejtések 1. A választási lehetőségek: 1., 2. 2., 3. 3., 4. 4., 5. 5., 6. 1., 3. 2., 4. 3., 5. 4., 6. 1., 4. 2., 5. 3., 6. 1., 5. 2., 6. 1., 6. a) Egyforma színű lesz a két lufi 7-féle választás esetén: 1., 2. 2., 3. 3., 4. 4., 5. 5., 6. 1., 3. 2., 4. 3., 5. 4., 6. 1., 4. 2., 5. 3., 6. 1., 5. 2., 6. 1., 6. Egyforma alakú lesz a két lufi 4-féle választás esetén: 1., 2. 2., 3. 3., 4. 4., 5. 5., 6. 1., 3. 2., 4. 3., 5. 4., 6. 1., 4. 2., 5. 3., 6. 1., 5. 2., 6. 1., 6. Így az elsőnek van nagyobb esélye. 4 ejlesztő matematika

5 Vizsgálódás táblázatban, grafikonon 2.2 b) 5-féle választásnál lesz az egyik lufi szív alakú. 3-féle választásnál lesz mindkettő alakú. Így az elsőnek van nagyobb esélye. c) 6-féle választásnál lesz mindkettő piros. 8-féle választásnál lesz a két lufi különböző színű. Így a másodiknak van nagyobb esélye. 2. A két sütit 21-féle összeállításban lehetett megvásárolni. a) Mindkét lány fánkot, mindketten palacsintát vásároltak. Ezt 12-féleképpen tehették meg. Egyforma ízesítésű süteményt 9-féleképpen vehettek. Így az elsőnek van nagyobb esélye. b) Legalább az egyik barack: 11-féleképpen lehetséges. Legalább az egyik palacsinta: 15-féleképpen lehetséges. Így a másodiknak van nagyobb esélye. c) Volt köztük fánk, de az nem ribizli ízesítésű volt: 9-féle lehetőség. Volt köztük ribizli ízesítésű, de az nem fánk volt: 5-féle lehetőség Így az elsőnek van nagyobb esélye. 3. A választási lehetőségek száma: 28. a) A lehetőségek száma: 7. A lehetőségek száma: 6. Az első fordul elő többféleképpen. b) A lehetőségek száma: 4. A lehetőségek száma: 6. A második fordul elő többféleképpen. 3. Születésnapon 1. A három rózsa színezésére 20 különféle lehetőség van. (A rózsák sorrendje nem számít!) a) A lehetőségek száma: 4. A lehetőségek száma: 4. A két esemény bekövetkezési esélye egyenlő. ejlesztő matematika 5

6 Vizsgálódás táblázatban, grafikonon 2.2 b) A lehetőségek száma: 16. A lehetőségek száma: 10. Így az elsőnek van nagyobb esélye. c) A lehetőségek száma: 10. A lehetőségek száma: 16. Így a másodiknak van nagyobb esélye. 2. A sütemények választására 27 különféle lehetőség van. a) A lehetőségek száma: 3. A lehetőségek száma: 6. A második fordul elő többféleképpen. b) A lehetőségek száma: 18. A lehetőségek száma: 19. A második fordul elő többféleképpen. 3. A sorsolásra 10 különféle lehetőség van. a) Mindkét esemény lehetőségeinek száma: 4. A két esemény bekövetkezési esélye egyenlő. b) Mindkét esemény lehetőségeinek száma: 6. A két esemény bekövetkezési esélye egyenlő. c) A lehetőségek száma: 7. A lehetőségek száma: 6. Így az elsőnek van nagyobb esélye. 6 ejlesztő matematika

7 1. Sportversenyen 1. Az iskolai úszóbajnokságra Daniék osztályából hat gyerek nevezett. Négyen vegyes váltót úsznak, és ketten egyénileg versenyezhetnek. Azt, hogy kik úsznak váltót, úgy sorsolják ki. a) Gyűjtsd össze, milyen lehetőségek vannak a sorsolásra! Jelöld a versenyzőket a gyerekek nevének kezdőbetűjel: Dani (D), Bence (B), Tomi (T), Gergő (G), Levi (L), Norbi (N) váltót úszik egyénileg versenyez váltót úszik egyénileg versenyez b) Dani azt mérlegelte, hogy minek van nagyobb esélye: annak, hogy váltót úszik, annak, hogy egyénileg versenyez. Te mit gondolsz erről? Beszéld meg a pároddal! c) A sorsoláson először Dani húzott. Bejutott a váltót úszó csapatba. Daninak két barátja, Levi és Norbi is ott volt a versenyre jelentkezők között. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy Dani mindkét barátja is váltót úszik, annak, hogy egyik sem?... ejlesztő matematika 7

8 9 10. d) A váltóúszás versenyszámai: hát-, mell-, pillangó- és gyorsúszás. A fiúk azt is úgy sorsolták ki, hogy kire melyik fajta úszás jut. Dani abban reménykedett, hogy háton gyorson remekelhet. A sorsolás előtt minek volt nagyobb esélye: annak, hogy Dani a kedvencei közül húz, annak, hogy a kevésbé kedvelt úszások közül? Elképzelésedet a lehetséges esetek összegyűjtésel indokold! Beszéld meg a társaddal a lejegyzés módját! e) A versenyen négy csapat úszott váltót. A csapatok között a pályák sorszámát úgy sorsolták ki. Daniék csapata nem szeretett volna szélső pályán úszni, de jó lett volna számukra, ha a legnagyobb ellenfelük melletti pályán úszhatnak. Minek volt nagyobb esélye, annak, hogy a fiúk nem szélső pályán úsznak, annak, hogy legnagyobb ellenfelük melletti pályára kerülnek? 8 ejlesztő matematika

9 2. Hat gyerek nevezett a pingpongbajnokságra. Hárman harmadikosok, hárman negyedikesek. a) Hány mérkőzésre került volna sor, ha mindenki játszott volna mindenkivel egy mérkőzést? Jelöljük a harmadikos gyerekeket így: 3a, 3b, 3c, a negyedikeseket így: 4a, 4b, 4c. Jelöld a táblázatban X-szel a lehetséges mérkőzéseket! a 3b 3c 4a 4b 4c 3a 3b 3c 4a 4b 4c A szervezők a párok sorsolása mellett döntöttek. Az első pár sorsolásakor mire volt nagyobb esély: arra, hogy ugyanarról az folyamról kerülnek ki a gyerekek, arra, hogy különböző folyamra járnak?... b) A 3a-val és a 3b-vel jelölt gyerekek ikrek, és az ő bátyjuk a 4a-val jelölt gyerek. A 3c testvére a 4c. Az első pár sorsolásakor mire volt a legnagyobb esély: arra, hogy testvérek játszanak egymás ellen, arra, hogy mindkét gyerek negyedikes, arra, hogy az egyik játékos a 4b-vel jelölt gyerek lesz? A fenti táblázat megfelelő mezőinek színezésel indokold a válaszod! ejlesztő matematika 9

10 9 10. c) Egy sorsolás szerint mindenki egyetlen mérkőzést játszott. Minden párban más folyamról kerültek ki a gyerekek, és testvérek nem játszottak egymás ellen. Hogyan történhetett ez? Öt fiú ugyanabba az uszodába jár edzésre, de nem ugyanabban az időpontban. A fiúk különböző színnel jelölték, hogy mikor van edzésük. Bence: B, Tomi: T, Gergő: G, Levi: L, Norbi: N napok P T T T T T G G G G Cs N N N N L L L L L L Sz B B B B B T T T K L L L L G G G G G H B B B B B B N N N N idő (óra) 14:00 14:30 15:00 15:30 16:00 16:30 17:00 17:30 18:00 18:30 a) Ki edz a legtöbbet hetente?... Ki a legkevesebbet?... b) Melyik fiú mennyi ideig edz hetente? Bence:... Tomi:... Gergő:... Levi:... Norbi:... c) Melyik napon lehet a leghosszabb ideig megtalálni legalább az egyik fiút az uszodában?... d) Dani úgy döntött, hogy ő is ebbe az uszodába fog járni. Azt mondta, hogy ő mindennap fél órát fog úszni ugyanabban az időpontban, és ekkor biztosan lesz a fiúk közül még valaki az uszodában. Melyik időpontban fog Dani úszni járni? ejlesztő matematika

11 e) Az ellenfél csapatából is többen edzenek ebben az uszodában. Az uszoda délután 2-től este fél 7-ig van nyitva. Karcsi: csütörtökönként 1 órát edz itt, de változó időpontban ér oda. Találkozik-e valamelyik fiúval? Karikázd be! biztos lehet, de nem biztos Matyi: több mint 1 órát úszik egy-egy alkalommal, és mégsem találkozik egyik fiúval sem. Mikor járhat Matyi edzésre?... Csaba mindig ugyanabban az időpontban megy úszni, de változó napokon. Egyszer mégis ezt mondta: Én még soha nem találkoztam egyik fiúval sem. Mennyi ideig úszhat Csaba?... Gyuszi így szólt: Én csak hétfőnként érek rá. Háromnegyed órát szeretnék úszni, de nem akkor, amikor az ellenfeleim is ott vannak a vízben. Mikor kell odaérnem az uszodába? Mi lehet a válasz Gyuszi kérdésére?... Árpi is töprengett. Én is 45 percet akarok úszni, de csak hétfőn csütörtökön tudok menni. Mikor van nagyobb esélyem arra, hogy találkozom az ellenfél valamelyik tagjával? Mi lehet a válasz Árpi kérdésére?... Nem értelek benneteket! szólt eri. Én hetente háromszor is járok úszni, mindig többet úszok 1 óránál, mégsem találkozom az ellenfeleim egyikel sem. Mikor járhat eri úszni?... ejlesztő matematika 11

12 8 9. VALÓSZÍNŰSÉG 2. Választások előtti sejtések 1. Zsófi és Kriszti gyermeknapi programra mentek a szüleikkel. Sok mindent láttak, és vásároltak is. A lufiárusnál már csak hat lufi volt Mindketten megfogták egy-egy lufi zsinórját, rábízták a véletlenre, hogy melyik akad a kezükbe. A lufik sorszámával jegyezd le, melyik lufi akadhatott a lányok kezébe! A két lufi kiválasztásánál mire volt nagyobb esélyük a lányoknak? Húzd alá! a) A két lufi egyforma színű lesz. b) Az egyik lufi szív alakú lesz. c) Mindkettő piros lesz. A két lufi egyforma alakú lesz. Mindkettő alakú lesz. A két lufi különböző színű lesz. 12 ejlesztő matematika

13 2. A lufis mellett fánkot és palacsintát árultak. Mindkettőt háromféle ízesítéssel lehetett kérni: ribizli-, barack- és eperlekvárral. A lányok mindegyiket egyformán szeretik, ezért a lehetséges választásokat külön-külön lapokra írva véletlenül húztak közülük egyet-egyet Gyűjtsd össze, mit vásárolhatott a két lány! A fánkot így jelöld: a palacsintát így: Írj a rajzra r betűt, ha ribizlilekvárral volt töltve, b betűt, ha barackkal, és e betűt, ha eperrel. olytasd! r r r b Mire volt nagyobb esély? Húzd alá! a) A lányok egyforma süteményt vásároltak. b) Legalább az egyik süti barack ízesítésű volt. c) Volt köztük fánk, de az nem ribizli ízesítésű volt. Egyforma ízesítésű süteményt vásároltak. Legalább az egyik palacsinta volt. Volt köztük ribizli ízesítésű, de az nem fánk volt. ejlesztő matematika 13

14 A gyerekek még egy kabalát is választhattak. Az üzletben ilyen kabalákat árultak: maci (m) elefánt (e) oroszlán (o) m m o e Mit választhattak a lányok? Jelöld a kabalákat a nevük kezdőbetűjel! Ha kulcstartón van, akkor kör alakú, ha bábfigura, akkor téglalap alakú keretbe írd! A fenti táblázatban melyik eset fordul elő többféleképpen? Húzd alá! a) Két teljesen egyformát választottak. b) Az egyik kulcstartó, a másik bábfigura. Két macit választottak. Egyik sem kulcstartó, és nem is bábfigura. 14 ejlesztő matematika

15 3. Születésnapon 1. Három testvér egy-egy szál rózsát vásárolt édesanyjuknak a születésnapjára. A gyerekek különböző időpontban tudtak vásárolni, de ugyanabban a virágboltban. A boltban rózsaszín, piros, fehér és sárga rózsát lehetett kapni. Milyen rózsákat kaphatott a gyerekek édesanyja? Színezz! Több hely van, mint lehetőség! 8 9. Mit láthatunk édesanya vázájában nagyobb eséllyel? Húzd alá! a) Három egyforma rózsát. Mind a három rózsa más színű. b) Van a rózsák között egyforma. Van köztük piros. c) Nincs köztük rózsaszín. Nem mind egyforma. ejlesztő matematika 15

16 A születésnapra a gyerekek édesanyja háromféle süteményt készített: gesztenyést (g), mandulást (m) és almást (a). Ebéd után mindhárman egy szelet süteményt választottak. Gyűjtsd össze, hogyan választhattak! Melyik eset fordul elő többféleképpen? Húzd alá! a) Mindhárman ugyanazt választották. b) Ketten ettek egyforma süteményt. Mindenki mást választott. A sütemények között volt mandulás. 3. Délután az öttagú család leült játszani. A játékhoz két csapatot alkottak. Azt, hogy ki lesz a kétfős csapatban, úgy sorsolták ki. elírták a nevüket egy-egy cédulára: Mama (M), Papa (P), Kati (K), Tomi (T), Julcsi (J). Gyűjtsd össze, milyen lehetőségek szerepelnek a sorsolásban! 2 fős 3 fős Minek van nagyobb esélye? Húzd alá! a) A Mama és a Papa egy csapatba kerül. b) Tomi és Mama más csapatba kerül. c) A Mama és valamelyik lány egy csapatba kerül. A Papa és Tomi egy csapatba kerül. A Papa és Mama más csapatba kerül. Kati és Julcsi más csapatba kerül. 16 ejlesztő matematika