Térgeometria Megoldások

Átírás

1 Térgeometria Megoldások 1) Egy négyzet alapú egyenes hasáb alapéle 18 egység, testátlója 6 egység. a) Mekkora szöget zár be a testátló az alaplap síkjával? (4 pont) b) Hány területegység a hasáb felszíne? (A felszín mérőszámát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!) ( pont) c) Az alapél és a testátló hosszát ebben a sorrendben - tekintsük egy mértani sorozat első és negyedik tagjának! Igazolja, hogy az alaplap átlójának hossza ennek a sorozatnak a második tagja! (4 pont) a) Az ACG háromszögben a GAC ( = ) szöget keressük Az ABC derékszögű háromszögben AC = 18 AC 1 így cos = =, ( 0 90 ) AG ahonnan = 60 b) A négyzetes hasáb alapéle a = 18, magassága m = CG = 18 6 felszíne: A = a + 4a m = ,5 A hasáb felszíne 8,5 területegység c) Ha a mértani sorozat első tagja a, hányadosa q, akkor a = AB = 18 és a q = AG = 6 innen q = azaz q = A mértani sorozat második tagja tehát a q = 18 és ez éppen az alaplap átlójának hossza. Összesen: 11 pont ) Egy szobor márvány talapzatát egy 1 dm élű kocka alakú kőből faragják. Minden csúcsnál a csúcshoz legközelebbi élnegyedelő pontokat tartalmazó sík mentén lecsiszolják a kockát. a) A kész talapzatnak - hány éle, - hány csúcsa, - hány lapja van? ( pont) b) A kész talapzatnak mekkora a felszíne? (6 pont)

2 Térgeometria - megoldások c) Az ékszerész vállalta, hogy elkészít 0 db egyforma tömegű ajándéktárgyat: a szobortalapzat kicsinyített mását. Az egyes ajándéktárgyak az alábbi féldrágakövek valamelyikéből készültek: achát, hematit, zöld jade és gránát. A kész ajándéktárgyakat a megrendelő átvételkor egyben lemérte. A 0 tárgy együttes tömege megfelelt a megrendelésnek. Otthon egyenként is megmérte a tárgyakat, és kiderült, hogy a féldrágakövekből készített négyféle ajándéktárgy közül egyik sem a megrendelt tömegű. Az ugyanabból az anyagból készülteket egymással azonos tömegűnek mérte. A három achát tárgy mindegyike 1%-kal kisebb; a hat darab hematit tárgy mindegyike 0,5%-kal kisebb; a hét zöld jade tárgy mindegyik 1,5%-kal nagyobb a megrendelésben szerepelt értéknél. A gránát tárgyak tömege hány százalékkal tért el a megrendeléstől? (7 pont) a) A lecsiszolt testnek 4 csúcsa van, mert a 8 kockacsúcs helyett minden csúcsnál - új csúcs keletkezik a negyedelő pontoknál A lecsiszolt testnek 6 éle van, mert a 1 kocka élén maradnak élek, és a lemetszett háromszögek oldalai is élek: 8 = 4 és =6 A lapok száma 14, mert kockalapokból marad egy-egy nyolcszög és a lemetszett háromszögek száma 8, 6+ 8=14 b) A talapzat felszínét kiszámíthatjuk, ha a 6 db nyolcszög területéhez hozzáadjuk a 8 db szabályos háromszög területét. A nyolcszög területe: a 1 dm oldalú négyzet területéből kivonjuk a 4 db egyenlő szárú derékszögű háromszög területét, vagyis db dm oldalú négyzet területét: T nyolcszög = 1 = 16 dm ( pont) a 9 A szabályos háromszög oldala, ezért Tháromszög = = dm ( pont) 4 A = 6 T + 8 T = ,5 dm nyolcszög háromszög c) Legyen m az ajándéktárgy megrendelt tömege. Az összes tömeg 0m. Foglaljuk táblázatba a csiszolt ajándéktárgyakról tudott információkat.( pont) anyag achát hematit zöld jade gránát gyakoriság db 6 db 7 db 4 db tömeg 0,99m 0,995m 1,015m Jelöljük ( x m) -mel a gránátból készített ajándéktárgy valódi tömegét. Tudjuk, hogy a tényleges össztömeg 0m, innen 0 m = 0,99m + 6 0,995 m + 7 1,015 m + 4 xm ( pont) Ebből következik, hogy x = 0,98875 ( pont) A gránát ajándéktárgyak tömege 1,15%-kal kisebb a megrendeltnél

3 ) Az 1. ábra szerinti padlástér egy 6x6 méteres négyzetes alapú gúla, ahol a tető csúcsa a négyzet középpontja felett 5 méter magasan van a) Milyen szöget zárnak be a tetősíkok a vízszintessel (padlássíkkal)? (4 pont) Hasznos alapterületnek számít a tetőtérben a terület, amely fölött a (bel)magasság legalább 1,9 méter. b) Mennyi lenne a tetőtér beépítésekor a hasznos terület? (6 pont) A tető cseréjekor a hasznos alapterület növelésének érdekében a ház oldalfalait egy ún. koszorúval kívánják magasítani. A ház teljes magassága- építészeti előírások miatt- nem növelhető, ezért a falak magasítása csak úgy lehetséges, ha a tető síkjának meredekségét csökkentik (. ábra). Jelölje x a koszorú magasságát és T a hasznos alapterületet. c) Írja fel a T(x) függvény hozzárendelési szabályát! (6 pont) a) A padlássíkra és a tetősíkra egyaránt merőleges síkmetszetből lehet a keresett szöget meghatározni. ( pont) 5 A keresztmetszeti ábrán a keresett szöget -val jelölve, felírható, hogy tg= ahonnan 59 b) Keressük az ábrán s-sel jelölt szakasz hosszát. ( pont) Hasonlóság alapján: 1,9 5 s = ( pont) Ebből s = 1,86 A hasznos alapterület 4s 1,84 m c) Az ábra jelöléseit használva használjuk, ahol 0 x 1,9. Az ábra alapján T = 4y -et (ami a hasznos alapterület) kell kifejeznünk x segítségével. A két kisebb háromszög megfelelő szögei egyenlők, tehát hasonlóak.,1 1,9 x Így = y y 9, Innen y = 5 x 18,6 Tehát a keresett összefüggés: 4y = 5 x Ha x 1,9, akkor 6 m a hasznos alapterület

4 Összefoglalva: T ( x) 18,6, ha 0 x 1,9 = 5 - x, ha 6 1, 9 x 5 Térgeometria - megoldások 4) A csonkakúp alakú tárgyak térfogatát régebben a gyakorlat számára elegendően pontos közelítő számítással határozták meg. Eszerint a csonkakúp térfogata közelítőleg egy olyan henger térfogatával egyezik meg, amelynek átmérője akkora, mint a csonkakúp alsó és felső átmérőjének számtani közepe, magassága pedig akkora, mint a csonkakúp magassága. a) Egy csonkakúp alakú fatörzs hossza (vagyis a csonkakúp magassága) m, alsó átmérője 1 cm, felső átmérője 8 cm. A közelítő számítással kapott térfogat hány százalékkal tér el a pontos térfogattól? (Ezt nevezzük a közelítő eljárás relatív hibájának.) ( pont) b) Igazolja, hogy a csonkakúp térfogatát a fentiekben leírt útmutatás alapján kapott - közelítő érték sohasem nagyobb, mint a csonkakúp térfogatának pontos értéke! (7 pont) Jelölje x a csonkakúp két alapköre sugarának az arányát, és legyen x 1. Bizonyítandó, hogy a fentiekben leírt, közelítő számítás relatív hibájának százalékban mérve a következő függvény adja meg: ( ) ( x 1) f : 1; +, f x = 5 x + x + 1. c) Igazolja, hogy f-nek nincs szélsőértéke! (6 pont) a) A közelítő henger alapkörének sugara: = 5 cm, térfogata 5 00 = cm. A csonkakúp elméletileg pontos térfogata: ( ) = cm. 00 A közelítő érték 09 cm -rel kisebb, tehát a pontos értéktől 00 1, %-kal tér el. 15 b) Legyen a csonkakúp alapköreinek sugara R és r, magassága m. m A csonkakúp elméleti térfogata: ( R + Rr + r ) A csonkakúp gyakorlati térfogata: R + r m m R + r A két térfogat különbségéről állítjuk: ( R + Rr + r ) m 0 Szorozzuk be az egyenlet mindkét oldalát 1 -vel, bontsuk fel a zárójeleket és m az összevonások után: R Rr + r 0 ( pont)

5 Vagyis ( ) R + r 0 adódik, ami minden R és r esetén igaz. A következtetés minden lépése megfordítható, ezért az állítás igaz c) Az f függvény deriválható, a deriváltfüggvény hozzárendelési szabálya: ( x) ( x )( x + x + ) ( x ) ( x + ) ( x + x + 1) f = 5 ( x) f = 75 x 1 ( x + x + 1) Az f ( x ) = 0 egyenletnek nincs megoldása az + tehát f-nek nincs szélsőértéke ( pont) ( pont) 1; intervallumon, ( pont) 5) Az ABCDE szabályos négyoldalú gúla alaplapja az ABCD négyzet. A gúla alapéle 8 egység hosszú. Legyen F a CE oldalélnek, G pedig a DE oldalélnek a felezőpontja. Az ABFG négyszög területe 504 területegység. Milyen hosszú a gúla oldaléle? (16 pont) A GF középvonal a DCE háromszögben, így GF = 14 egység Az ABFG négyszög szimmetrikus trapéz, mivel AB CD FG és AG = BF. Legyen HF a trapéz alapokhoz tartozó magassága. A trapéz területképlete alapján HF = 504 tehát HF = 4 egység 8 14 A szimmetrikus trapéz tulajdonsága miatt HB = = 7 a HBF derékszögű háromszögben Pitagorasz-tétel alapján BF = ahonnan BF = 5 Az F pontból a BC oldalra bocsátott merőleges talppontja legyen P. Ez a pont a BC oldal C-hez legközelebbi negyedelő pontja ( pont) A negyedelő pont indoklása: például legyen Q a BC él felezőpontja. Az FP szakasz az EQC háromszög középvonala 1 BP = BC = 1 és PC = BC = A BPF derékszögű háromszögben Pitagorasz-tételt alkalmazva: PF = 5 1 = 184 Az FPC derékszögű háromszögben is Pitagorasz-tételt alkalmazva: FC = Így FC = 15,6 A gúla oldaléle EC = FC = 0,5 egység

6 Térgeometria - megoldások 6) Jancsi vázát készít. Egy 10 cm sugarú, belül üreges gömbből levágott m magasságú (m 10 ) gömbszelet határoló köréhez egy szintén m magasságú hengerpalástot ragaszt. A henger sugara megegyezik a gömbszelet határoló kör sugarával. Mekkorának válassza Jancsi a gömbszelet m magasságát, hogy a vázába a lehető legtöbb víz férjen? (A váza anyaga vékony, ezért a vastagságától eltekintünk, s hogy ne boruljon fel, egy megfelelő méretű üreges fatalpra fogják állítani.) Tudjuk, hogy ha a gömbszelet magassága m, a határoló kör sugara pedig r, akkor a térfogata: V = m ( r + m ) (16 pont) 6 Helyes ábra ( pont) A KBC derékszögű háromszög befogóinak hossza m 10 és r, átfogója 10 cm ( pont) Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt a KBC háromszögre: ( ) m r 10 + = 100 ( pont) Ebből r = 0m m A váza térfogata: V ( m) = m ( 0m m ) + m + ( 0m m ) m 6 ( pont) 4 azaz ( ) V m = m + 0m = ( 45m m ) ahol 10 m 0 A V függvény differenciálható a 10;0 nyílt intervallumon, deriváltja pedig: ( ) ( 4 60 ) 4 ( 15 ) V m = m + m = m m A 10;0 nyílt intervallumon V ( m) = 0 pontosan akkor, ha m = 15 ( m) ( pont) Az m = 15 a V függvény abszolút maximum helye is, így ekkor lesz a váza V = térfogata a lehető legnagyobb ( ) max m 15 m = m 0 V pozitív = 0 negatív V szigorúan növő helyi maximum szigorúan csökkenő

7 7) Az ABCDEFGH téglatest A csúcsból induló élei: AB = 1, AD = 6, AE = 8. Jelölje HG felezőpontját P. a) Számítsa ki az ABCDP gúla felszínét! (10 pont) b) Mekkora szöget zár be az ABCDP gúla ABP lapjának síkja az ABCD lap síkjával? ( pont) a) Az alaplap területe: T ABCD = 1 6 = 7 cm Az AB él felezőpontja legyen M, a CD él felezőpontja pedig N. Az APB háromszög egyenlő szárú, a PM merőleges az AB szakaszra. Az MNP háromszög az N csúcsban derékszögű. PM = 10 cm (a befogók 6 és 8) AB PM 1 10 Az ABP háromszög területe: TABP = = = 60 cm DC PN 1 8 A DCP háromszög területe: TDCP = = = 48 cm DP = PC = 10 cm A PBC és a PAD oldallapok egybevágó háromszögek és a két háromszög egybevágó a PBM háromszöggel 6 10 T PBC = = 0 cm = 40 cm A gúla felszíne: ( ) b) Az MN szakasz és a PM szakasz is merőleges az AB élre, ezért a kérdezett szög a PMN A PMN háromszög N-nél derékszögű ezért tgpmn PN 8 4 = = =, ahonnan PMN MN 6 5,1 Összesen: 1 pont 8) Egy fából készült négyzetes oszlop minden élének hossza centiméterben mérve -nél nagyobb egész szám. A négyzetes oszlop minden lapját befestjük pirosra, majd a lapokkal párhuzamosan 1 cm élű kis kockára vágtuk. A kis kockák közül 8 lett olyan, amelynek pontosan két lapja piros. Mekkora lehetett a négyzetes oszlop térfogata? (16 pont) Legyen a négyzetes oszlop alapéleinek hossza a (cm) és a magasság hossza b (cm). (a, b -nél nagyobb egészek). Azoknak az egységkockáknak lesz pontosan két lapja piros, melyek az élek mentén, de nem a csúcsokban helyezkednek el

8 A két db négyzetlap 8 élén 8 ( a ) a 4 oldalélén 4 ( b ) 8 ( a ) 4 ( b ) 8 Térgeometria - megoldások ilyen festett kocka van + = Innen a+ b = 1 Az élhosszak megfelelő értékei (6 pont) a 5 4 b 5 7 A három lehetséges négyzetes oszlop térfogata rendre 75 cm, 80 cm és 6 cm ( pont) 9) Egy pillepalack alakja olyan forgáshenger, amelynek alapköre 8 cm átmérőjű. A palack fedőkörén található a folyadék kiöntésére szolgáló szintén forgáshenger alakú nyílás. A két hengernek közös a tengelye. A kiöntő nyílás alapkörének átmérője cm. A palack magassága a kiöntő nyílás nélkül 0 cm. A palack vízszintesen fekszik úgy, hogy annyi folyadék van benne, amennyi még éppen nem folyik ki a nyitott kiöntő nyíláson keresztül. a) Hány deciliter folyadék van a palackban? (Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (9 pont) A palack tartalmát kiöntve, a palackot összenyomva, annak eredeti térfogata p százalékkal csökken. Egy hulladékot újrahasznosító cég (speciális gép segítségével) az ilyen módon tömörített palack térfogatát annak további p százalékával tudja csökkenteni. Az összenyomással, majd az azt követő gépi tömörítéssel azt érik el, hogy a palackot eredeti térfogatának 19,5 százalékára nyomják össze. b) Határozza meg p értékét! (7 pont) a) A fedőkör tengelyre merőleges síkmetszete, jó ábra. ( pont) 1 cos =, amiből 75,5 4 (Így a kérdéses terület az O középpontú középponti szögű körcikk és az ODC háromszög különbségeként adódik. Tkörcikk = 4 1,09 (cm ) 60 4 sin T ODC =,87 (cm ) Tkörszelet = Tkörcikk T ODC 17, (cm ) Amiből a folyadék térfogata: Vfolyadék = Tkörszelet mpalack = 17, 0 = 516,6 (cm ) Azaz 5, dl folyadék van a palackban. ( pont)

9 p p b) A feltételek szerint 1 1 = 0,195 (ahol p 50) ( pont) Rendezve: p 150p+ 405 = 0 ( pont) melynek gyökei p1 = 5, p = 115 Utóbbi nem megoldása a feladatnak ( p 50) Tehát p = 5. 10) Egy forgáskúp nyílásszöge 90, magassága 6 cm. a) Számítsa ki a kúp térfogatát (cm -ben) és a felszínét (cm -ben)! (4 pont) b) A kúp alaplapjával párhuzamos síkkal kettévágjuk a kúpot. Mekkora a keletkező csonkakúp térfogata (cm -ben), ha a metsző sík átmegy a kúp beírt gömbének középpontján? (9 pont) Válaszát egészre kerekítve adja meg! a) A kúp alapkörének sugara 6cm, alkotójának hossza 6 8, 49 cm térfogata V T m 6 6 = = = 7 6 cm felszíne A r ( r a ) 6 ( 6 6 ) 6( 1 ) = + = + = + 7 cm b) Jó ábra, tartalmazza a gömb sugarát (p), a 45 -os szöget és a síkmetszet sugarát (r) ( pont) p = 6 tg,5 amiből p,49 cm A KCE egyenlőszárú derékszögű háromszögből r = 6 p azaz r,51 cm A csonkakúp magassága (egyenlő a gömb sugarával) m,49 cm m,49 A csonkakúp térfogata V = ( R + Rr + r ) ( 6 + 6,51 +,51 ) 181 cm Összesen 1 pont

10 Térgeometria - megoldások 11) Két egyenes hasábot építünk, H1-et és H-t. AZ építéshez használt négyzetes oszlopok (négyzet alapú egyenes hasábok) egybevágóak, magasságuk kétszer akkora, mint az alapélük. A H1 hasáb építésekor a szomszédos négyzetes oszlopokat az oldallapjukkal illesztjük össze, a H hasáb építésekor pedig a négyzet alaplapjukkal- az ábra szerint. AH1 a) A H1 és H egyenes hasábok felszínének hányadosa 08, A =. Hány négyzetes oszlopot használtunk az egyes hasábok építéséhez, ha H1- et és H-t ugyanannyi négyzetes oszlopból építettük fel? (8 pont) n + + n sorozat szigorú monoton csökkenő és 4n + 1 korlátos! (8 pont) b) Igazolja, hogy ( ) a) Ha a jelöli a négyzetes oszlop alapélének hosszát, és k darabból készítjük a hasábokat, akkor H 1 felszíne: b) AH a k a k a ( a ( k ) ) 1 H felszíne: A a 4 k a a ( 4k 1) = + + = + ( pont) H H ( ) = + = + ( pont) AH 1 Az 0,8 A = feltételből k + = 0,8 ( 4k + 1) ( pont) Az egyenlet megoldása k = 6 tehát 6-6 négyzetes oszlopot használtunk fel az építéshez a ( n ) ( 4n + 1 n + ) = = a 4n + 5 n + n ( ) ( ) 1n + n = 1n + n n + n + 10 A fenti hányados minden pozitív egész n esetén 1-nél kisebb a sorozat minden tagja pozitív ezért a sorozat szigorú monoton csökkenő Ebből következik, hogy a sorozat felülről korlátos Mivel a sorozat minden tagja pozitív, így alulról is korlátos tehát a sorozat korlátos Összesen 16 pont 1) 1 a) Ábrázolja a 0;6 intervallumon értelmezett, x x 4 + hozzárendelési szabállyal megadott függvényt! (4 pont) b) Állapítsa meg a függvény értékkészletét! ( pont) c) Forgassuk meg a 0; 4 intervallumra leszűkített függvény grafikonját az x tengely körül! Számítsa ki az így keletkezett forgástest felszínét! (8 pont) H

11 a) Ábra. (4 pont) ;5 ( pont) b) Az értékkészlet c) A keletkezett forgástest egy csonkakúp ( pont) Az alapkörök sugara R = 5; r = ( pont) Az alkotó hossza Pitagorasz-tétellel: a = 4 + = 0 = 5 ( pont) Így a felszín: A = R + r + R + r a = ,78 19, ( pont) ( ) Összesen: 14 pont 1) Egy centiméterben mérve egész szám élhosszúságú kockát feldarabolunk 99 kisebb kockára úgy, hogy közülük 98 egybevágó, 1 cm élű kocka. Számítsa ki az eredeti kocka térfogatát! (16 pont) Jelölje a az eredeti kocka élhosszát, b pedig a 99., nem egységkocka élhosszát centiméterben mérve. A feltételek alapján a és b pozitív egészek, és 98 = a b = a b a + ab + b ( pont) ( ) ( ) Mivel 98 = 7 és a b a + ab + b, ezért eset lehetséges ( pont) I. eset: a b = 1 és a + ab + b = 98 Ekkor a = b+ 1 helyettesítés után a második egyenletből kapjuk, hogy b + b = 97, ami nem lehet, hiszen nem osztója 97-nek ( pont) II. eset: a b = és a + ab + b = 49 Ekkor b + b = 15, ahonnan a feltételeknek megfelelő megoldás: b = és a = 5 ( pont) III. eset: a b = 7 és a + ab + b = 14 Ekkor b + 1b = 5, ami nem lehetséges, ugyanis b pozitív egész ( pont) Azt kaptuk, hogy az eredeti kocka éle 5 cm, így térfogata 15 cm ( pont) 14) Kartonpapírból kivágunk egy 1,5 dm magasságú ABC szabályos háromszöglapot. A háromszöglapon párhuzamost húzunk a háromszög mindegyik oldalával, mindegyikből ugyanakkora 0,5 deciméternél kisebb x távolságra. Ezek az egyenesek az A1B 1C 1 szabályos háromszög oldalegyenesei. a) Írja fel az A1B 1C 1 háromszög területét x függvényében! (6 pont) b) Szeretnénk egy A1B 1C 1 alapú x magasságú, felül nyitott egyenes hasáb alakú íróasztali tolltartót létrehozni a lapból, ezért levágjuk a fölösleget, majd az A1B 1C 1 háromszög élei mentén felhajtottuk a hasáb oldallapjait. Mekkora x estén lesz a keletkezett hasáb térfogata maximális? (10 pont)

12 Térgeometria - megoldások a) Az ABC szabályos háromszög oldalhossza a =. Az ABC súlypontja 0,5 dm távolságra van a háromszög oldalegyeneseitől, s mivel x 0,5, így ez a súlypont az A1B 1C 1 háromszög az ABC háromszög belsejében van. ( pont) Az A1; B1; C 1 pontok rendre az ABC háromszög A- ból, B-ből, C-ből induló belső szögfelezőjének egyegy pontja. Jelöljük b-vel az A1B 1C 1 háromszög oldalának hosszát. Az ábra szerinti CC1T derékszögű háromszögben legyen x = C1T és y = TC y Ekkor ctg0=, így y = x ( pont) x A tengelyes szimmetria figyelembevételével: b = x ( x ) b 1- TA 1B1C = = dm b) A hasáb alaplapja A1B 1C 1 háromszög, magassága x. ( x ) 1 V ( x ) = T x = x = ( 4 x 4 x + x ) ahol 0 x A V függvény differenciálható az értelmezési tartományán és V ( x ) = ( 1 x 8 x + 1 ) 4 ( pont) ( x 8 x + 1 ) = 0 4 Megoldásai: 1 illetve x x = x V x pozitív = 0 negatív ( ) V ( x ) növő maximum csökkenő A hasáb térfogata maximális, ha az x távolságot 1 6 ( pont) dm hosszúnak választjuk

13 15) Egy üzemben 4000 cm -es, négyzet alapú, egyenes hasáb alakú, felül nyitott sütőedények gyártását tervezik. Az edények külső felületét tűzálló zománcfestékkel vonják be. (A belső felülethez más anyagot használnak.) a) Számítsa ki, mekkora felületre kellene tűzálló zománcfesték egy olyan edény esetén, amelynek oldallapjai 6,4 cm magasak! ( pont) b) Az üzemben végül úgy határozták meg az edények méretét, hogy a gyártásukhoz a lehető legkevesebb zománcfestékre legyen szükség. Számítsa ki a gyártott edények alapélének hosszát! (9 pont) c) Minőségellenőrzési statisztikák alapján ismert: 0,0 annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott edény selejtes. Egy áruházláncnak szállított 50 darabos tételben mekkora valószínűséggel lesz pontosan darab selejtes? (4 pont) a) Az edény alapéle legyen x cm hosszú 4000 = x 6, 4 x = 5 A zománccal bevonható felület területe tehát , 4 = 165cm b) Ha az edény magassága m cm, akkor 4000 = x m és a zománccal bevonandó felület területe cm - ben T = x + 4xm Az m-et a térfogatra felírt összefüggésből kifejezve és behelyettesítve T-be T = x + x Tekintsük a T : ; T ( x ) = x + x függvényt T-nek ott lehet szélsőértéke, ahol a deriváltja T ( x ) = x x T x = 0 x = 8000 x = 0 ( ) 000 Mivel T ( x) = + pozitív az x = 0 helyen x ezért a T függvénynek az x = 0 helyen abszolút minimuma van A gyártott edények alapéle 0 cm c) Egy edényt véletlenszerűen kiválasztva az 0,0 valószínűséggel lesz selejtes, tehát 0,98 valószínűséggel jó. A kérdéses valószínűség a binomiális eloszlás alapján számolható P ( selejtes) = 0,00 0,98 P 0,186 ( selejtes)

14 Térgeometria - megoldások 16) Egy üzemben olyan forgáshenger alakú konzervdoboz gyártását szeretnék elkezdeni, amelynek térfogata 1000 cm. A doboz aljának és tetejének anyagköltsége 0, cm Ft, míg oldalának anyagköltsége 0,1 cm Ft. a) Mekkorák legyenek a konzervdoboz méretei (az alapkör sugara és a doboz magassága), ha a doboz anyagköltségét minimalizálni akarják? Válaszát cm-ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! Számítsa ki a minimális anyagköltséget is egész forintra kerekítve! (1 pont) A megtöltött konzervdobozokat tizenkettesével csomagolták kartondobozokba. Egy ellenőrzés alkalmával 10 ilyen kartondoboz tartalmát megvizsgálták. Minden kartondoboz esetén feljegyezték, hogy a benne található 1 konzerv között hány olyat találtak, amelyben a töltősúly nem érte el az előírt minimális értéket. Az ellenőrök a 10 kartondobozban rendre 0, 1, 0, 0,, 0, 0, 1,, 0 ilyen konzervet találtak, s ezeket a konzerveket selejtesnek minősítették. b) Határozza meg a kartondobozonkénti selejtes konzervek számának átlagát, és az átlagtól mért átlagos abszolút eltérését! ( pont) a) Ha r a doboz alapkörének sugara m pedig a doboz magassága cm-ben mérve, V 1000 akkor V = r m ahonnan m = = r r Az alap- és a fedőlap együttes anyagköltsége r függvényében 0, r V 00 A palást anyagköltsége 0,1 r = ( pont) r r A teljes anyagköltség r 0 esetében 00 ( ) 0,4r f r = + r Az f függvénynek a pozitív számok halmazán ott lehet minimuma, ahol deriváltja f ( r ) = 0,8r r ( pont) f ( r ) = 0 ha r = 00 4, 0,8 400 f ( r) = 0,8 + 0, ezért itt valóban minimális f értéke r Minimális anyagköltséghez tartozó magasság 1000 m = 17, cm r Tehát a minimális anyagköltség forintra kerekítve 70 Ft ( pont) b) Az adatok átlaga 0,7 A minta átlagtól mért átlagos abszolút eltérése 6 0,7 + 0, + 1, +, = 0,84 10 ( pont)

15 17) Egy építőkészletben a rajzon látható négyzetes hasáb alakú elem is megtalálható. Két ilyen építőelem illeszkedését az egyik elem tetején kiemelkedő négy egyforma kis henger és a másik elem alján lévő nagyobb henger szoros, érintkező kapcsolata biztosítja. (Ez azt jelenti, hogy a hengerek tengelyére merőleges síkmetszetben a nagyobb kört érinti a négy kisebb kör, amelyek középpontjai egy négyzetet határoznak meg.) Tudjuk, hogy a kis hengerek sugara mm, az egymás melletti kis hengerek tengelyének távolsága pedig 1 mm. a) Mekkora a nagyobb henger átmérője? Válaszát milliméterben, két tizedesjegyre kerekítve adja meg! (5 pont) A készletben az építőelemek kék vagy piros színűek. Péter 8 ilyen elemet egymásra rak úgy, hogy több piros színű van köztük, mint kék. Lehet, hogy csak az egyik színt használja, de lehet, hogy mindkettőt. b) Hányféle különböző szín összeállítású 8 emeletes tornyot tud építeni? (4 pont) A gyárban (ahol ezeket az építőelemeket készítik) nagyon ügyelnek a pontosságra. Egymillió építőelemből átlagosan csupán 0 selejtes. András olyan készletet szeretne vásárolni, melyre igaz a következő állítás: 0,01-nál kisebb annak a valószínűsége, hogy a dobozban található építőelemek között van selejtes. c) Legfeljebb hány darabos készletet vásárolhat András? (7 pont) a) Jó ábra rajzolása A kis kör kp-ja egy 1 mm oldalú négyzetet alkot Ennek az átlója 1 Mivel ez éppen R + 6 ( ) 10, 97 mm d = R = 1 6 b) A piros elemek száma 5, 6, 7 vagy 8 lehet Ha a piros elemek száma k, akkor az építhető tornyok száma 8 k Így az ilyen tornyok száma összesen: = ( ) = 9 ( pont) c) Annak a valószínűsége, hogy egy kiválasztott kocka nem selejtes = 0, Annak a valószínűsége, hogy egy n kockát tartalmazó dobozban egyik kocka sem selejtes 0,99998 n Ha annak a valószínűsége, hogy a dobozban van selejtes kisebb 0,01-nál, akkor annak a valószínűsége, hogy a dobozban nincs selejtes, legalább 0,99 n 0, ,99 n Megoldandó a ( )

16 Térgeometria - megoldások A logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt n lg 0,99998 lg 0,99 lg 0,99 Ebből n 50,5 lg 0,99998 Tehát András legfeljebb 50 darabos készletet vehetett 18) Egy 15 -os emelkedési szögű hegyoldalon álló függőleges fa egy adott időpontban a hegyoldal emelkedésének irányában méter hosszú árnyékot vet. Ugyanebben az időpontban a közeli vízszintes fennsíkon álló turista árnyékának hossza éppen fele a turista magasságának. Hány méter magas a fa? Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! (1 pont) A szövegnek megfelelő, az adatokat helyesen feltüntető ábra. ( pont) Az ACB és DFE szögek egyenlők, mivel mindkettő a napsugarak és a függőleges által bezárt szög. A DEF derékszögű háromszögben: a 1 tg = = a ( pont) 6,57 BAC szög ( = ) 75 Így 78,4. (Szinusztétel az ABC háromszögben:) sin78,4 x = sin 6,57 ( pont) x 6,57 A fa tehát körülbelül 6,6 méter magas. Összesen: 1 pont 19) Aranyékszerek készítésekor az aranyat mindig ötvözik valamilyen másik fémmel. A karát az aranyötvözet finomságát jelöli. Egy aranyötvözet 1 1 karátos, ha az ötvözet teljes tömegének része arany, a k karátos 4 k aranyötvözet tömegének 4 része arany. Kata örökölt a nagymamájától egy 17 grammos, 18 karátos aranyláncot. Ebből két darab 14 karátos karikagyűrűt szeretne csináltatni. a) Legfeljebb hány gramm lehet a két gyűrű együttes tömege, ha aranytartalmuk összesen sem több mint az aranylánc aranytartalma? (4 pont) b) Kata végül két olyan gyűrűt készíttetett, amelyek együttes tömege 16 gramm. (A megmaradó 14 karátos aranyötvözetet törtaranyként visszakapta.) Az elkészült két karikagyűrű tekinthető két lyukas hengernek, amelyek szélessége (a lyukas hengerek magassága) megegyezik. Az egyik gyűrű belső átmérője 17 mm, és mindenhol 1,5 mm vastag, a másik gyűrű belső átmérője 19,8 mm, vastagsága pedig mindenhol 1,6 mm.

17 relatív gyakoriság Hány mm a gyűrűk szélessége, ha a készítésükhöz használt 14 g karátos aranyötvözet sűrűsége 15? (10 pont) cm Válaszait egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! 18 a) A 17 gramm 18 karátos ékszer aranytartalma 17 = 1,75 (gramm).( pont) 4 14 x gramm 14 karátos ékszer aranytartalma: x = 1,75 (gramm). 4 Ebből x 1,86, így a két gyűrű együttes tömege legfeljebb 1,9 gramm. m 16 b) A két gyűrű térfogatának összege V = = 1,0667 cm = 1066,7 mm. 15 ( pont) Egy gyűrű térfogata két henger térfogatának különbsége. Az egyik gyűrű belső sugara 8,5 mm, külső sugara 10 mm, és ha x a keresett szélesség, akkor V1 = 10 x 8,5 x 87,x (mm ). ( pont) A másik gyűrű belső sugara 9,9 mm, külső sugara 11,5 mm, így V = 11,5 x 9,9 x 107,6x (mm ) ( pont) V = V1 + V, azaz 1066,7 = 87,x + 107,6 x. Ebből x 5,48 mm. A gyűrűk szélessége 5,5 mm. Összesen: 14 pont 0) Egy cég a függőleges irány kijelölésére alkalmas, az építkezéseknél is gyakran használt függőónt gyárt, amelynek nehezéke egy acélból készült test. Ez a test egy cm oldalhosszúságú szabályos ötszög egyik szimmetriatengelye körüli forgatásával származtatható (lásd az ábrán). a) Hány cm a nehezék térfogata? Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! A minőség-ellenőrzés 10 darab terméket vizsgált meg. Feljegyezték az egyes darabok egész grammokra kerekített tömegét is. Hatféle tömeg fordult elő, ezek relatív gyakoriságát mutatja az oszlopdiagram. b) Készítsen gyakorisági táblázatot a 10 adatról, és számítsa ki ezek átlagát és szórását! 0,4 0, 0, 0,1 0 gramm (9 pont) (5 pont)

18 Térgeometria - megoldások a) A nehezék térfogata egy forgáskúp és egy csonkakúp térfogatának összege. A forgáskúp magassága az AFB derékszögű háromszögből: o m = cos54 ( pont) A kúp alapkörének sugara: o r = sin54 A csonkakúp h magassága a CGD derékszögű háromszögből: o h = sin7 ( pont) A forgáskúp térfogata: 1,6 1,18 V kúp A csonkakúp térfogata: 1,90 V ( csonkakúp 1,6 + 1, ) A nehezék térfogata a kettő összege: Vkúp + V csonkakúp,4 + 10,9 1,6 (cm ). b) A gyakorisági táblázat: tömeg (gramm) gyakoriság A 10 adat átlaga: = 107 (gramm). 10 ( pont) A 10 adat szórása: ( ) ( ) = 1,7 1, (gramm). ( pont) Összesen: 14 pont 1) Egy üzemben olyan digitális műszert gyártanak, amely kétféle adat mérésére alkalmas: távolságot és szöget lehet vele meghatározni. A gyártósor meghibásodott, de ezt hosszabb ideig nem vették észre. Ezalatt sok mérőeszközt gyártottak, ám ezeknek csak a 9%-a adja meg hibátlanul a szöget, a 95%-a méri hibátlanul a távolságot, sőt a gyártott mérőeszközök %-a mindkét adatot hibásan határozza meg. a) Az egyik minőségellenőr 0 darab műszert vizsgál meg visszatevéses mintavétellel a meghibásodási időszak alatt készült termékek közül. Mekkora annak a valószínűsége, hogy legfeljebb darab hibásat talál közöttük? (Egy műszert hibásnak tekintünk, ha akár a szöget, akár a távolságot hibásan méri.) (7 pont)

19 Vízszintes, sík terepen futó patak túlpartján álló fa magasságát kell meghatároznunk. A síkra merőlegesen álló fát megközelíteni nem tudjuk, de van egy kisméretű, digitális műszerünk, amellyel szöget és távolságot is pontosan tudunk mérni. A patakparton kitűzzük az A és B o pontokat, amelyek 10 méterre vannak egymástól. Az A pontból 55 -os, a o B-ből 60 -os emelkedési szög alatt látszik a fa teteje. Szögméréssel még o megállapítjuk, hogy ATB = 90, ahol T a fa talppontja. b) Milyen magas a fa? (9 pont) a) A műszerek 7%-a hibásan méri a szöget, 5%-a pedig hibásan méri a távolságot. Mivel a műszerek %-a mindkét adatot hibásan méri, ezért a hibás műszerek aránya: = 10 %. Egy hibátlan műszer választásának valószínűsége tehát 0,9. Akkor lesz köztük legfeljebb hibás, ha a hibás műszerek száma 0, 1 vagy. Annak a valószínűsége tehát, hogy a 0 kiválasztott műszer között legfeljebb hibás lesz: 0,9 + 0,9 0,1 + 0,9 0,1. ( pont) 1 A kérdezett valószínűség megközelítőleg 0,677. b) Jó ábra felrajzolása ( pont) h Az ATP háromszögből: AT = 0,700h o tg55 h A BTP háromszögből: BT = 0,577h o tg60 Az ATB derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétellel adódik: h h + = 100, o o tg 55 tg 60 Innen h 11 m. ( pont) A fa magassága tehát körülbelül 11 méter. ) Kovács úr a tetőterébe egy téglatest alakú beépített szekrényt készíttet. Két vázlatot rajzolt a terveiről az asztalosnak, és ezeken feltüntette a tetőtér megfelelő adatait is. Az első vázlat térhatású, a második pedig elölnézetben ábrázolja a szekrényt. A tetőtér adottságai miatt a szekrény mélységének pontosan 60 cm-nek kell lennie

20 Térgeometria - megoldások a) Mekkora legyen a szekrény vízszintes és függőleges mérete (azaz a szélessége és a magassága), ha a lehető legnagyobb térfogatú szekrényt szeretné elkészíttetni? (A magasság, a szélesség és a mélység a szekrény külső méretei, Kovács úr ezekkel számítja ki a térfogatot.) (8 pont) A szekrény elkészült. Az akasztós részébe Kovács úr vasárnap este 7 inget tesz be, a hét minden napjára egyet-egyet. Az ingek között van fehér, világoskék és sárga. Reggelente nagyon siet, ezért Kovács úr csak benyúl a szekrénybe, és anélkül, hogy odanézne, véletlenszerűen kivesz egy inget. b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a hét első három napján vagy három különböző színű vagy három egyforma színű inget választ? (Ha valamelyik nap viselt egy inget, azt utána már nem teszi vissza a szekrénybe.) (8 pont) a) Ha a szekrény magassága x méter, akkor szélessége az ábrán látható egyenlő szárú háromszögek miatt 4 x. ( pont) A térfogata pedig: = 0,6 ( 4 ) V x x, amennyiben 0 x. Az 0,6 ( 4 ) x x x másodfokú függvénynek két zérushelye van, a 0 és a. Így a negatív főegyüttható miatt ennek a függvénynek a maximuma a két zérushelye számtani közepénél, az x = helyen lesz. ( pont) Mivel a eleme a feladat értelmezési tartományának, ezért a legnagyobb térfogatú szekrény magassága körülbelül 1,41 méter, szélessége pedig körülbelül,8 méter lesz. ( pont) b) Az azonos színű ingeket megkülönböztetve az első három napon = 10 különböző lehetőség van a három ing kiválasztására. Kedvező esemény az, ha valamilyen sorrendben mindegyik színből pontosan egyet vagy három sárga inget választott Kovács úr. Egy adott színsorrendben = 1 különböző módon lehet három inget kiválasztani. Három adott szín sorrendje!-féle lehet, tehát három különböző színű inget! = 7 különböző módon választhat ki Kovács úr. ( pont) A három sárga inget! különböző sorrendben választhatja ki. A kedvező esetek száma:! +! = 78. A kérdezett valószínűség tehát: 78 1 = ,

21 ) Egy cm sugarú, 0 cm széles festőhengerrel dolgozva egy fordulattal körülbelül ml festéket viszünk fel a falra. (A festőhenger csúszás nélkül gördül a falon.) a) Elegendő-e 4 liter falfestéket vásárolnunk, ha a szobánkban 40 m - nyi falfelületet egy rétegben, egyszer akarunk lefesteni? (6 pont) b) Milyen magasan állna 4 liter falfesték a 16 cm átmérőjű, forgáshenger alakú festékes vödörben? Válaszát cm-ben, egészre kerekítve adja meg! (5 pont) a) Az egy fordulattal lefestett falfelület nagysága a (festő)henger palástjának területével egyenlő. ( ) T palást = 0 = 80 51, cm 40 m = cm, tehát a teljes falfelület befestéséhez kb fordulatra van szükség a festőhengerrel. 51, Ennyi fordulattal kb. 159 = 4776 ml festéket viszünk fel a falra. 4 liter festék megvásárlása tehát nem elegendő. 4 liter = 4 dm = 4000 cm b) ( ) r = 8 cm 4000 cm = 8 m 4000 Ebből m = 19,9 ( cm ). 64 A festék tehát kb. 0 cm magasan állna a vödörben. Összesen: 11 pont 4) a) Egy kocka és egy gömb felszíne egyenlő. Bizonyítsa be, hogy a gömb térfogata nagyobb, mint a kockáé! (6 pont) Két fémkocka összeolvasztásával egy nagyobb kockát készítünk. Az egyik beolvasztott kocka egy élének hossza p, a másiké pedig q p 0, q 0. (Feltesszük, hogy az összeolvasztással kapott kocka ( ) térfogata egyenlő a két összeolvasztott kocka térfogatának összegével.) b) Igazolja, hogy az összeolvasztással kapott kocka felszíne ( ) 6 p g +. ( pont) c) Bizonyítsa be, hogy az összeolvasztással kapott kocka felszíne kisebb, mint a két összeolvasztott kocka felszínének összege! (8 pont)

22 Térgeometria - megoldások a) Ha a két test felszíne egyaránt D 0,6 P 1,8 Q 0,6 A.. C A, akkor V kocka =, ( pont) 6 1 m m 1 A V gömb = ( pont) 6 A Mivel 6 6, ezért a gömb 1,8 B térfogata valóban nagyobb a kocka térfogatánál. ( pont) b) Az összeolvasztással kapott kocka térfogata p + q, ezért élének hossza p + q, felszíne tehát ( ) 6 p q +, ami valóban 6 ( p q ) c) A bizonyítandó állítás: 6 ( p q ) 6 ( p q ) + -nel egyenlő. + + Mindkét oldalt 6-tal osztva és köbre emelve (az monotonitása miatt): ( p q ) ( p q ) Elvégezve a hatványozásokat: Rendezve és a pozitív 0 ( ) x függvény szigorú p + p q + q p + p q + p q + q. ( pont) pq szorzattal osztva: 0 p + q pq. p + q + p q, ez pedig mindig igaz (hiszen a jobb oldalon két pozitív és egy nemnegatív szám összege áll). Mivel minden átalakítás ekvivalens volt, ezért a bizonyítandó állítás is igaz. 5) Egy kisüzemi meggymagozó-adagoló gép 0,01 valószínűséggel nem távolítja el a magot a meggyből, mielőtt a meggyszemet az üvegbe teszi. A magozógépen áthaladt szemek közül darab kerül egy-egy üvegbe. a) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy kiválasztott üvegben legalább darab magozatlan szem van! (5 pont) A termelés során keletkezett hulladékot nagy méretű konténerbe gyűjtik, melyet minden nap végén kiürítenek és kitisztítanak. A konténer egyenes hasáb alakú. A hasáb magassága m, alaplapja húrtrapéz, melynek méretei az 1. ábrán láthatók. A konténert vízszintes felületen, az 1,8 m m-es (tégla-lap alakú) lapjára állítva helyezik el (lásd a. ábrát). b) Számítsa ki a hasáb térfogatát! Határozza meg, hogy milyen magasan áll a konténerben a tisztításához beletöltött,7 m térfogatú folyadék! (11 pont)

23 a) 0,99 annak a valószínűsége, hogy egy adott szem meggyből az automata eltávolítja a magot. A komplementer esemény (0 vagy 1 mag kerül az üvegbe) valószínűsége ,99 + 0,010,99 ( pont) 1 10 Ezért a kérdezett valószínűség: 1 0,99 0,01 0,99 1 ami körülbelül 0,4. b) (A hasáb alaplapja az ABCD húrtrapéz.) , Az ábra jelöléseit használva, az APD derékszögű háromszögből Pitagorasztétellel: m = 1 0,6 = 0,8 (m). 1,8 + A hasáb alaplapjának (az ABCD trapéznak) a területe: 0,8 = 1,9 (m ), tehát a hasáb (a konténer) térfogata: (= 9,1),84 m. A tisztító folyadék x méter magasságban áll a konténerben. A folyadék egy olyan szimmetrikus trapéz alapú egyenes hasábot tölt meg, amelynek a magassága méter, az alaplapjának a területe pedig,7 = 1,5 (m ). Az (ábra szerinti) APD és ARS derékszögű háromszögek hasonlósága miatt SR = DP, AR AP azaz y x 0,6 = =. 0,8 4 SV = 1,8 + y = 1,8 + 1,5 x, ezért (mivel az ABVS trapéz területe 1,5 m ) 1,8 + 1,8 + 1,5 x x = 1,5 Ebből 1,5 x +,6x,7 = 0, amelynek a gyökei 0,6 és. (A nem felel meg, tehát) a tisztító folyadék 0,6 méter magasságban áll a konténerben. Összesen16 pont

24 Térgeometria - megoldások 6) Egy automatának 100 gramm tömegű hasábokat kell két egyenlő tömegű részre szétvágnia. A két darab közül az egy az A futószalagra kerül, a másik a B futószalagra. Az utolsó négy darabolásnál az automata hibája miatt az A futószalagra került darabok tömege 51 g, 5 g, 47 g, 46 g. a) Igazolja, hogy a két futószalagra került 4-4 darab tömegének átlaga különbözik, a szórása pedig megegyezik! (5 pont) Egy háromoldalú egyenes hasáb alapéleinek hossza: AB = 4, AC = BC = 1, a hasáb magassága hosszúságú. Az AB alapél egyenesére illeszkedő S sík 0 -os szöget zár be a hasáb alaplapjával, és két részre vágja a hasábot. b) Számítsa ki a két rész térfogatának arányát! (11 pont) a) A B futószalagra került darabok tömege 49 g, 48 g, 5 g és 54 g. (Az A futószalagra került darabok tömege csökkenő sorrendben 5 g, 51 g, 47 g és 46 g, a B futószalagra került darabok tömege pedig 54 g, 5 g, 49 g, 48 g, tehát) a B futószalagra került darabok tömege rendre grammal nagyobb, mint a megfelelő, A futószalagra került darabé. Ha egy adatsokaság minden adatához c-t hozzáadunk, akkor a sokaság átlaga c-vel változik, a szórása pedig változatlan marad. ( pont) Tehát a két futószalagra került darabok tömegének átlaga különböző (a különbség c = gramm), szórása pedig egyenlő. b) Helyes ábra. A 0 -os szög helyes értelmezése (például a szög jelölése az ábrán). Az ABC egyenlőszárú háromszög AB oldalához tartozó magassága (Pitagorasz-tétellel): TC =. Az S sík a CC élt a H pontban metszi. A TCH CH derékszögű háromszögből: tan0=, TC ahonnan CH = ( TC tan0 = ) =. Az ABC lapot tartalmazó rész egy tetraéder, melynek ABC lapjához tartozó magassága CH. TABC CH ( TABC = 6, ezért ) VABCH = = (,46) A másik rész térfogatát megkapjuk, ha az első rész térfogatát levonjuk az eredeti hasáb térfogatából. ( ) VABCA ' B ' C ' = TABC CC ' = 1 0,78 ( ) V ABHA ' B ' C ' = 1 = 10 17, V V ABCH ABHA ' B ' C ' 1 = =

25 7) 6 cm oldalélű tömör ABCDEFGH kocka BF élén megjelöltük az él P felezőpontját, majd a kockát kettévágtuk az E, G, P pontokra illeszkedő síkkal (az ábra szerint). a) Mekkora a kettévágás során keletkezett nagyobbik test felszíne? (8 pont) b) Mekkora szöget zár be a metsző sík és a kocka EFGH lapjának síkja? (4 pont) a) A nagyobbik testet három (6 cm oldalú) négyzet, két egybevágó derékszögű trapéz és két (nem egybevágó) egyenlő szárú háromszög határolja. A három négyzet és az EGH egyenlő szárú derékszögű háromszög területe együtt (,5 6 ) 16 cm. = ( ) A derékszögű trapézok alapjának hossza (cm-ben mérve) 6 és, magassága 6, területe 7( cm ). Az EGP egyenlő szárú háromszög EG alapjának hossza 6 ( 8,5), szárainak hossza (Pitagorasz-tétellel) ( 6,7) = =, az alapjához tartozó magassága (Pitagorasz-tétellel) ( 5 ) ( ) = 7 = ( 5,). Az EGP háromszög területe ( ) A nagyobbik test felszíne kb. ( ,0 = ) 6 = 9 6,0. 0cm. b) Ha az EG lapátló felezőpontját O-val jelöljük, akkor a keresett szög az FOP (mert FO és PO is merőleges a két sík EG metszésvonalára). Az FOP háromszög derékszögű, ( cm) FP = és ( cm) FO =. tg FOP = ( 0,7071) FOP 5, Összesen: 1 pont 8) a) Az ABCD négyzet körülírt körén felvettünk egy olyan P pontot, amelyik nem csúcsa a négyzetnek. Bizonyítsa be, hogy AP + CP = BP + DP. (4 pont) Egy cég az általa forgalmazott poharakat négyesével csomagolja úgy, hogy a poharakhoz még egy tálcát is ad ajándékba. A 0 cm (belső) átmérőjű, felül nyitott forgáshenger alakú tálcára négy egyforma (szintén forgáshenger alakú) poharakat tesznek úgy, hogy azok szorosan illeszkednek egymáshoz és a tálca oldalfalához is. b) Igazolja, hogy a poharak alapkörének sugara nagyobb 4,1 cm-nél! (5 pont)

26 Térgeometria - megoldások A pohár fala,5 mm vastag, belső magassága 11 cm. c) Igaz-e, hogy a pohárba belefér 5 dl üdítő? (4 pont) a) (AC, illetve BD a kör egy-egy átmérője, ezért) a Thalésztétel miatt APC= 90 és BPD= 90. ( pont) (A körülírt kör sugarát r-rel jelölve, a Pitagorasz-tétel miatt) AP + CP = AC = ( r ) és BP + DP = BD = ( r ). Tehát AP + CP = BP + DP, ami a bizonyítandó volt. b) Helyezzünk el négy darab 4,1 cm alapkör sugarú poharat egy négyzet csúcsaiban úgy, hogy az alapkörök középpontja négyzetcsúcs legyen, és a szomszédos csúcsokban elhelyezett poharak érintsék egymást. A négyzet oldala ( 4,1 =) 8, cm, átlója pedig (8, 11,597 ) 11,6 cm hosszú. 11,6 + 4,1 = 19,8, ezért a négyzet középpontja körül 9,9 cm-es sugárral megrajzolt körön belül lesz mind a négy pohár alapköre. Ezért ha a 4,1 cm sugarú poharakat egy 0 cm átmérőjű tálcára helyezzük, akkor azok nem érinthetik egymást és a tálca oldalfalát is a feladat szövegében leírt módon. Ehhez a poharak alapkörének sugarát növelni kell, tehát az állítás igaz c) Mivel a pohár fala,5 mm vastag, így a belső sugara nagyobb, mint 4,1 0,5 =,85 cm. ( ) A pohár térfogata: V pohár >, dl 100 cm tehát igaz, hogy belefér 5 dl üdítő a pohárba. cm. =, Összesen: 1 pont 9) Egy fémlemezből készült, forgáshenger alakú hordóban 00 liter víz fér el. a) Mekkora területű fémlemez kell a 80 cm magas, felül nyitott hordó elkészítéséhez, ha gyártása során 1%-nyi hulladék keletkezik? (6 pont) Egy kisvállalkozásnál több különböző méretben is gyártanak 00 literes, forgáshenger alakú lemezhordókat. b) Mekkora annak a 00 liter térfogatú, felül nyitott forgáshengernek a sugara és magassága, amelynek a legkisebb a felszíne? (10 pont) a) 00 liter = 00 dm 00 A hordó alapterülete = 8 5 dm, 5 a sugara pedig,8 dm., dm, A palást területe ( )

27 a hordó körülbelül 167 dm területű lemezből áll. A hordó gyártásához ,88 dm lemezre van szükség. b) (Minden hosszúságot dm-ben mérünk, r a henger sugara, m pedig a magassága.) A felül nyitott henger térfogata: r m = 00, felszíne: r + r m. 00 m = r, ezzel a 00 literes henger felszíne A ( r ) = r + r = r + r r ( pont) Az ( ) 400 A r = r + r (r > 0) függvény deriválható, és ott lehet minimuma, ahol a deriváltja A ( r ) = r r 400 r = 0, amiből r = 00 (,99). ( pont) r Az A függvény második deriváltja mindenhol pozitív, tehát a 00 ennek a függvénynek (abszolút) minimumhelye. A legkisebb felszínű, felül nyitott forgáshenger sugara körülbelül,99 dm, magassága 00, 99 dm. (A legkisebb felszín dm. r 0) Az ABCDEFGH négyzetes oszlop AE, BF, CG, DH élei merőlegesek az ABCD alaplapra. Az A csúcsból kiinduló három él hossza AB = AD = 8 egység, AE = 15 egység. a) Számítsa ki az EF és AH vektorok skaláris szorzatát! ( pont) A négyzetes oszlop köré egy P csúcspontú forgáskúpot illesztünk úgy, hogy az A, B, C, D csúcsok a kúp alaplapjára, az E, F, G, H csúcsok pedig a kúp palástjára illeszkedjenek. (A kúp és a négyzetes oszlop tengelye egybeesik.) A kúp magassága 45 egység. b) Számítsa ki a kúp felszínét! (7 pont) c) Hány olyan derékszögű háromszög van, amelynek egyik befogója 15 egység hosszú, és a másik két oldala is egész szám hosszúságú? (Az egybevágó háromszögeket nem tekintjük különbözőknek.) (6 pont)

28 Térgeometria - megoldások a) Az EF egyenes merőleges az AEHD síkra (mert merőleges két metsző egyenesére, ezért merőleges a sík minden egyenesére), ezért az EF és AH egyenesek, így az EF és AH vektorok is merőlegesek. Tehát EF AH =0. b) Jelölje O az ABCD négyzetnek (és a kúp alaplapjának) a középpontját, Q az EFGH négyzet középpontját. A kúpból az EFGH sík egy kisebb kúpot metsz ki, amely az eredetihez (középpontosan) hasonló (a hasonlóság középpontja a P pont). PQ = PO OQ = = 0, így a hasonlóság PQ 0 aránya = =. PO 45 ( pont) A kisebb kúp alapkörének sugara (az EFGH négyzet köré írt kör sugara) 8 QE = = 4 ( 5,66 ). A hasonlóság miatt a körülírt kúp alapkörének a R = 6 8, 49. ( pont) sugara ennek az 1,5-szerese: ( ) A körülírt kúp alkotója (az alapkör sugarából és a kúp magasságából Pitagorasz-tétellel) ( 6 ) ( 45, 79) a = + =. ( pont) A körülírt kúp felszíne R + R a 1446,9 (területegység). c) Az ismeretlen befogó hossza legyen b, az átfogó hossza pedig c (és mindkettő pozitív egész szám). A Pitagorasz-tétel miatt 15 + b = c, innen 5 = c b = c b c + b. ( pont) ( ) ( ) 5 = 5. Mivel 0 c b c + b, ezért a tényezőkre bontás lehetőségei: c b c + b ( pont) c lehetséges értékei rendre 11, 9, 5, 17, a hozzájuk tartozó b értékek rendre 11, 6, 0, 8. Tehát 4 megfelelő derékszögű háromszög van. ( pont) 1) Egy bűvész két egyforma dobótetraédert használ az egyik mutatványához. A dobótetraéder alakja olyan szabályos háromoldalú gúla, amelynek alapéle 6 cm hosszú, az oldalélei pedig 0 -os szöget zárnak be az alaplap síkjával. a) Határozza meg a tetraéder térfogatát! (6 pont) A tetraéderrel 1-est, -est, -ast vagy 4-est lehet dobni (a dobás eredményének az alsó lapon lévő számot tekintjük). Az 1-es, a -es, illetve a -as dobásának valószínűsége egyenlő. A 4-es dobás valószínűsége ötször akkora, mint az 1-es dobásé. b) Ha a bűvész a két dobótetraédert egyszerre dobja fel, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 6 lesz? (5 pont)

29 a) Az ábra jelöléseit használjuk. A gúla ABC alaplapjának középpontja (súlypontja) S. DS merőleges az alaplapra, a feltétel szerint pedig SBD = 0. BS az ABC szabályos háromszög magasságának (súlyvonalának) kétharmada: BS = 6 =,46 cm. ( pont) A gúla testmagassága DS = BS tg0 = cm. Az ABC háromszög területe: AB ,59 cm T = = =. 4 4 A gúla térfogata tehát: T DS V = = 6 ( 10, 4) cm b) Ha az 1-es, a -es és a -as dobás valószínűsége p, akkor a 4-es dobás valószínűsége 5p. p + p + p + 5p = 8p = 1, ezért p = 1 8 A dobott számok összege akkor lehet 6, ha az egyik tetraéderrel -t, a másikkal 4-et, vagy ha mind a kettővel -at dob a bűvész. Annak a valószínűsége, hogy az egyik tetraéderrel -t, a másikkal pedig 4-et dob a bűvész: 10 p 5p = 10p = 64 Annak a valószínűsége pedig, hogy mindkét tetraéderrel -at dob: p p = p = 64 Tehát a kérdezett valószínűségek összege (mivel független eseményekről van 11 szó) ( 0, 17) 64 Összesen: 11 pont ) Egy 18 cm-es kartonlapból (kivágással, hajtogatással) téglatest alakú dobozt készítenek. A doboz (sötétre színezett) kiterített hálóját és méreteit az ábra szerint választják meg. a) Határozza meg a doboz térfogatát, ha a = 7 cm! ( pont) b) Hogyan kell megválasztani az a, b, c, élek hosszát ahhoz, hogy a doboz térfogata maximális legyen? (9 pont) Egy téglatest bármely három csúcsa egy háromszöget határoz meg

30 Térgeometria - megoldások a) A téglatest csúcsai által meghatározott háromszögek között hány olyan van amelynek a síkja nem esik egybe a téglatest egyik lapjának síkjával sem? (4 pont) a) A szakaszok hosszát cm-ben mérve a + c = 18 miatt c = 18 7 = a + b + c = miatt b = = 11. A téglatest térfogata: abc = = 08 cm. b) A térfogatot az egyik él hosszának segítségével fejezzük ki. A a + c = 18 egyenletrendszer első egyenletéből a + b + c = c = 18 a b = a c = a 18 a = a + 15, ( ) a ezért b = + 7,5. a V = abc = a + 7,5 ( 18 a ) ( 0 a 9) a A V ( a ) = a + 7,5 ( 18 a ) ;0 a 9 függvénynek ott lehet maximuma, V ' a = 0. ahol ( ) ( ) V a = a 6a + 15a ( ) ( ) V ' a = a 1a + 15 = a + 4a 45 a + 4a 45 = 0 gyökei 5 és -9, a -9 nem lehetséges, az 5 pedig megfelel. V '' a = 6a 1 és így V '' 5 0, tehát V-nek (abszolút) maximuma van ( ) ( ) a = 5 -nél. A téglatest térfogata maximális ( 400 cm ), ha éleinek hossza a = 5 cm, b = 10 cm, és c = 8 cm. c) A téglatest 8 csúcs összesen 8 = 56 háromszöget határoz meg. Ezek közül le kell vonni azokat, melyeknek síkja egybeesik a téglatest valamelyik lapjának síkjával, Mind a hat lapon négy ilyen háromszög van, összesen tehát 4. ( pont) 56 4 =. A megfelelő háromszögek száma ( ) Alternatív megoldás: A feladat szerint nem választható olyan háromszög, amelynek két oldala a téglatest két élével azonos. Ha a háromszög egyik oldala a téglatest egy éle, akkor ennek a két végpontjához kétféleképpen választhatjuk a háromszög harmadik csúcsát, mert a kiválasztott élben csatlakozó két lap egyik csúcsa sem választható a háromszög harmadik csúcsaként. A téglatestnek 1 éle van, ezért ilyen háromszögből összesen 1 = 4 darab van.

31 Ha a háromszögnek nincs olyan oldala, amelyik a téglatest valamelyik élével azonos, akkor mindhárom oldala a téglatest egy-egy lapjának átlója. A téglatest egy adott csúcsából kiinduló három él nem közös végpontjai egy háromszöget határoznak meg. A téglatestnek 8 csúcsa van, ezért ilyen háromszögből 8 darab van. A megfelelő háromszögek száma =. Alternatív megoldás: A téglatest alsó lapjáról két szomszédos csúcsot 4- féleképpen választhatunk, ezekhez a feltételeknek megfelelően a felső lapjáról -féleképpen választhatjuk a harmadik csúcsot. Az alsó lapról két átellenes csúcsot -féleképpen választhatunk, ezekhez a felső lapról 4-féleképpen választhatjuk a harmadik csúcsot. Tehát ( = ) 16 megfelelő háromszög van, melyeknek az alsó lapon van két csúcsa, és ugyanígy 16 megfelelő háromszög van, melyeknek a felső lapon van két csúcsa. Összesen tehát megfelelő háromszög van. Alternatív megoldás: A téglatest egy kiválasztott testátlójának két végpontjához a téglatest maradék 6 csúcsának bármelyike választható a háromszög harmadik csúcsának. A téglatestnek 4 testátlója van, ezért ilyen háromszögekből összesen 6 4 = 4 darab van. Ha a háromszögnek nincs olyan oldala, amelyik a téglatest valamelyik testátlója, akkor nem lehet olyan oldala sem, amelyik a téglatest valamelyik éle, ezért mindhárom oldala lapátló. Ilyen háromszögből 8 darab van. A megfelelő háromszögek száma =