FIZIKA BSc, III. évfolyam / 1. félév Optika előadásjegyzet SKALÁR DIFFRAKCIÓ. dr. Erdei Gábor,

Átírás

1 FIZIKA BSc III. évoam /. éév Opta őaásjgt SKALÁ DIFFAKCIÓ r. r Gábor Ajánott roaom Aapogama Kn-Furta Optcs chtr Bvtés a morn optába Born-Wo Prncps o optcs Gooman Introucton to Fourr optcs Dracó: magaru énhajás a a jnség amor a én trjés rána a gomtraag mghatároható rántó jntősn tér Sommr. A énhajás átaában aor rén ésrvhtő vátoást ha a sugárás útjába a huámhossáva össmérhtő nagságú aaá s vag átaánosságban a ög tuajonsága n κ a huámhossa össmérhtő távoságon bü vátona mg. Faat: Ha aott ütn smrt a omp térrő osás hogan határoható mg a térrősség g a ütn ívü ső pontban? Ftét:. a nuás térosás sí ütn aott. a üt üönböő pontja öött őbn áanó a ásüönbség térb ohrnca 3. a mgvágító naáb ω örrvncájú monoromatus huám őb ohrnca 4. saár öítés: csa g térrősség vtoromponnst vsün gmb mn rána a éntrjés során nm váto mg jntősn NA < 06; a üönböő ránú omponnst gmástó üggtnn tntjü 5. a trjés térbn a ög jmőn vátoása huámhossn tartománon hanagoható törésmutató absorpcó huámgnt hasnáható 4 /

2 Dracós mo A racó során aauó térosás ogható végtn sámú otonos osású m huámomponns áshs suprpoícójaént. hh oan m huámoat césrű váastan am trjés anatusan írható és égít a huámgntt. Két aapvtő gmássa vvans tárgaásmó ét: pontorrásora bontás Hughns-Frsn v m ogaoun síhuámora bontás Fourr-opta M a továbbaban a pontorrásora bontássa ogaoun. Huámgnt A saár térrősség omp mnnség próbaüggvénünbn a potív ástrjés mósrét aamau aa a ástagot mnnho mgsorou -: t r t r. Vsgáatanho a őüggtn saár huámgntbő Hmhot-gnt nuun nn a mgoását rssü aott prmtét stén: Grn-tét t r t r με 0 r r 0. t A vtés aapja és nuás pontja a matmatábó smrt Grn-tét: ha aott ét ttsőgs omp üggvén G és am otonosa és a ső és máso parcás rvátja s otonosa g A árt ütn és aon bü aor ga a övtő össüggés: G GV G ng A V A n 3 aho V a A áta bárt térogat. A üt ntgrá véggtapogatja a A üt pontjat mt P -v jöün. n pontoban a ütnormás n mn ránítottsága a tét értmébn mng é mutat a vsgát V térogatbó. 4 /

3 A = S + Sε θ' n P S ' Sε ε P' n V Hmhot és Krchho ntgrátét Amnnbn P a A ütn aott és m g n bü P' pontban rssü P' értéét aor a 3 éptt tovább aaítan. A aább vtés a racós ntgrá aapja amn bmutatásaor Krchho mósrét övtjü. Korábban Hmhot hanghuámora végt a sámoást. Krchho a G ún. Grn-üggvént a övtőéppn váastotta mg: G P 4 am nm más mnt g a P' pontbó nuó gömbhuám gségn amptuóva a trjés rán a ponns őjébő áts. rr trméstsn érvéns a Hmhotgnt: G G 0 5 A -r vonatoó gntt és 5-öt bhttsítv 3 ba oaába: GV G G V 0 V G. 6 Vags a Grn-tétbő nn mara homogén orrásmnts huámgntt égítő omp és G üggvén stén: A G ng A 0 V n. 7 A P' pontban G-n snguartása van matt t árn a vsgáatbó. nn érébn a A ütt césrű ét résbő össáítan: A S 8 aho S a térogatot ívürő báró üt Sε pg a P' pont öré húott ε sugarú gömb. 7 a övtő móon írható át: S G n ng A G n ng A S S. 9 4 / 3

4 G üggvén n ránú rvátja a hánaosrváás és a áncsabá aamaásáva: ng n gra cos n A Sε ütn a övtő áításo gaa: cos ; G P ; gra cos. 0 n G. t gmbvév és ha ε 0 aor 9 ba oaábó a övtő s: S G n ng A 4π n 4πP. A üt ntgráást aért véghttü n gsrűn mrt és nn rvátja otonosa a vsgát térogatban íg P'-né s és mv ε tart nuáho érté a Sε üt mntén onstansna tnthtő. -t bhttsítv 9-b mgapju Hmhot és Krchho ntgrátétét am nm más mnt a rstt össüggés P'-r aho P a S ütn aott: P 4π S Frsn-Krchho racós ntgrá n n A 3 3 össüggést a optában átaában a aább ábrán átható rnésr césrű mghatáron ambn sámunra a Σ-va jöt níás aprtúra ontos u. nn a sí ütén tntjü smrtn a P térsősségt amt a baró érő mgvágítás oo. S S ρ Σ P' n P ' A ntgráást a S árt ütn végü am most ét résbő á: S S S. 4 4 / 4

5 Mgmutatható hog ha ρ és P gaább oan gorsan tűn S-n mnt g gömbhuám Sommr-é sugárás tét aor a ntgrá S-n nuáho tart: vags 3-bő mara: S n n A 0 5 P 4π S n n A. 6 Anna érébn hog a ntgráást n jn a S végtn sí ütr végn Krchho a övtő határtétt sabta mg:. Σ aprtúrán bü: P = vátoatan. Σ aprtúrán ívü: P = 0 és gra = 0 tétn ösönhtőn a ntgráást már csa a Σ aprtúrára sámon: P 4π n n A. 7 gsrűségü és őnösségü nér mnttő tét aapvtő probémáat vt ö. A hog a térrősség uganaora Σ-n bü aprtúra néü mnt aprtúráva a éptnség ahog a s hog P a aprtúrán ívü érus. Bármé absorbns ögt hün ugans g sugáró térb a mnnéppn móosítja a térrősség osását. A hatás vsont átaában hanagoható: ha Σ >. A más probéma hog matmataag gaoható hog ha g otonos üggvén érté és a rvátja s g végs ntrvaumon érus aor a üggvén mnnho onstans nua. A míttt övttnség oását a MSc-s Fa opta tárgban ogju mgapn aho a Grn-üggvént nm 4 sgítségév náju hanm ompbb móon. A rmén a agh-sommr racós ntgrá s am nm sgnánsan pontosabb mnt a 7-bó sármatatott ntbb bmutatásra rüő racós ntgrá csupán matmataag orrt a vtés. A 7 gntbn srpő Grn-üggvéngrans sámoásáho tssü hog a vsgát P' pont vsonag távo van a Σ aprtúrátó. Konrétan: 4 / 5. 8 π Mv érté gn nag nm tú sgorú tétés ráaásu a saár öítés matt snθ' < 0.6 ; cosθ' > 0.8 a mnnéppn tétnün hog Σ mért < '. n G n cos cos 9 vags a üt ntgrábó a övtő mara: P 4π n cos A. 0 N jtsü hog θ' őjs mnnség. A utosó épés hog mgaju a Σ aprtúrát mgvágító sugárást aa -t. A gsrűség véért gn g pontorrás Q am a aprtúrátó bara h.

6 θ Q θ' A P Σ ' θ; A P' θ''; A A Q pontorrás és a aprtúra P pontja öött távoság a sugárás amptuója 0: P 0. A 8 tétéss tt s éhtün mv Σ mért < a saár öítés matt vags: amv a grans: π 4 / 6 n cos cos. 3 t bhttsítv 0-ba mgapju a Frsn-Krchho racós ntgrát: P 0 cos cos A. 4 A jés értméséh ősör at ésrvnn hog matmataag nm üönbötthtő mg g oan pontorrás ása am a P' pontban van és a P é trj attó am P-bn van és P' é trj. Vags 4-t oghatju úg hog a tromos tér a P' pontban írható m gömbhuámo össgént hasonóan a Hughns-Frsn v mgáapításáho. Ann a éng térés hog tt a m gömbhuámoat osnusos ránaratrstáva gmb vnn vaamnt srp g / onstans soró. Érms mggn a épt smmtráját: a Q-ba htt orrás P'-bn pont aora térrősségt ho étr mnt a P'-b htt pontorrás Q-ban. a Hmhot-é rcproctás tét. A míttt matmata nonstncá nér 4 mgpőn jó hasnáható és a st többségébn gn pontos rmént sogátat. A 4 ntgrá még mng nhn értéhtő mn anatusan mn numrusan. A épt gsrűsítés érébn tovább öítést vtün b. során a aábbaban jutun a Hughns-Frsn vh a Frsn- maj a Fraunhor-öítésh. Kötér racó Hughns-Frsn v A saár öítés matt már mgövttü hog a Σ aprtúra mért jmő mérténé és ' gn jmőn nagobb. bbő oóag aamahatju a aább öítést: cosθ és cosθ' 5

7 am aor érvéns ha snθ' < 05 ; cosθ' > A Frsn-Krchho ntgrábó thát mara: 0 A 6 P A 0 bbn a össüggésbn a aprtúrát mgvágító M sugárást gtn pontorrás Q aotja. Mv a P térosás írható sámos pontorrásbó sármaó sugárás suprpoícójaént a nt épt gsrűn átaánosítható: P P A. 7 nn hasnáataor csa arra gn hog a P trt aotó pontorráso mngér tjsüjön a saár racó áta mgövtt ötés: Σ <. A 7 öítés a omp onstanst sámítva a Hughns-Frsn vn mg. Frsn-öítés Amnnbn annra távo mgün P'-v a aprtúrátó hog ' ' a 7 össüggés tovább gsrűsíthtő. A ' ' öítést a nvőbn övtnü aamahatju a ponnsbn nm. A ás ugans ' üggvénébn rnívü gorsan váto matt ' Taor-soros öítését aamau. A övtő össüggés aapján ' íg írható: b b b a öítés oan mntha a Hughns-é gömbhuámo huámrontjat ' görbüt sugarú parabous ütn tntnén am aor érvéns ha a 8 srnt négts és magasabb rnű tago áta ooott ástoás hanagoható: π π [ra] bbn a stbn a racós ntgrá Frsn-öítését apju onvoúcós írássa: tét aapján aor hasnáható ha P' pont g bonos távoságná mssbb van a Σ aprtúrátó. P. g Ø0 mm átmérőjű 633 nm huámhossúságú érnaábná ' >> 9 mm. A ntgráj é a aprtúra és a P' pont öött ' távoságon snvtt ástoás gomtra opta öítésbn sámoható értéét mtü g omp onstans ormájában. 4 / 7

8 4 / 8 Távotér racó Fraunhor-öítés A Frsn-öítés Fourr-transormácós írásmója 3 átaaításáva: 3 A ntgráj őtt most már a Σ aprtúra öéppontjára cntrát ' sugarú gömbhuám tjs ástoása van mv. Amnnbn őn nag távoságra vagun a aprtúrátó a ngranus ponnsébn évő aább tag hanagoható: π [ra]. 33 a tétés mgapju a racós ntgrá ggsrűbb jését: 34 amt távotér vag Fraunhor-öítésn nvn. 34 tuajonéppn nm más mnt D Fourr transormácó és térrvncáa. méttőü a D Fourr transormácó épt: g g G π F ; ;. 35 A nvr transormácó sgítségév önnbbn értmhtjü 34 jést. hh ősör átrnü 34-t hog a új össüggés jobb oaa pontosan Fourrtransormát aaú gn:. 36 A ba oa nvr Fourr-transormátja thát nm más mnt P: π 37 ahová bhttsítv a térrvncá 35 éptét mgapju a nvr Fourrtransormát jésé: ntgranusában a ponncás jés síhuámoat ír amt úg értmhtün hog a D Fourr-transormácó harmonus síhuámora bontást jnt. A anaóga mnaonátan nm töéts mv a nvr transormácó éptébn mgjn g gömbhuám ástagja s am aor tűnn ha a P' pontoat nm g sí ütn hanm g a Σ aprtúra öéppontjára cntrát gömbön vnnén. A síhuámösstvő huámsámvtor-omponns a övtő:

9 4 / 9 ;. 39 A 33 tét értméséh a Frsn-öítésné bmutatott sámpéáva év most at apju hog ' >> 395 mm aa a Frsn-öítésh épst ét nagságrn mssbb mnnün a aprtúrátó hog a Fraunhor-öítés érvéns gn. Maga a hanagoás at jnt hog a Σ aprtúrában évő térosást öítőg síhuámna tntjü pontosabban oan huámna am nm soban tér g síhuámtó. A tét vsgáata annra ontos hog a jést átrnv átmérőjű ör aaú aprtúrára nátá a ún. Frsn-sámot: F. 40 Ha F << aor Fraunhor-racóró ha F aor Frsn-racóró bséün. A 34-bn srpő / omp onstans gaábó most nrt értmt: a ratáó Σ aprtúra és a tő nag ' távoságra a -tngn évő pont öött ásüönbség nm a gomtra optaag sámoható ' hanm g hh épst 90 oa sttttt érté! N jtsü hog tárgaásunban a ás a trjés ránában növs a vaóságban csön aa és. A jnségt ásanomáána nv mrt oan mntha a racó matt ssé mgnőn a huámhoss. Fraunhor-racó hasnáása A Fraunhor-racós ntgrá gsrűbb stbn anatusan s értéhtő. sőént néü mg g tégaap aaú aprtúra távotér racós épét. A P térrősség a aprtúrán bü gn onstans aon ívü nua: rct rct ha 0 ha rct a a a 4 am a -tng ránába trjő homogén síhuámna mg a Σ aprtúrán történő áthaaás után. t bírva 34-b:. 4 A ntgrá anatusan értéhtő: S I snc snc v v snc snc 43 Σ

10 aho a snc üggvén nícója: snπ snc. 44 π A ntntásüggvén -r normát jgts aaja a aább ábrán tnhtő mg...0 Δ' snc [-] At a pontot a - tv a -tngn aho a ntntás ső érushét vs Nqustaprtúrána nv:. 45 Kör aaú aprtúra távotér racós ép a nth hasonóan határoható mg csa a D Fourr-transormácó htt nn hngroornátarnsrbn írt mgőjét a ún. Han-transormácót végn. [-] Σ A vtés mőésév a rmén: I r v v J r S 8 r r 46 aho Jπ a ún. sőrnű Bss-üggvén argumntumána nícója pg: r. 47 π A racós ot -r normát ntntásosását bbn a stbn Ar-otna nv. A tégaapaprtúra racós épév össvtv mgáapíthatju hog a mémamumo tt soa sbb. 4 / 0

11 J π/π [-] Δr' A ső érush nv Ar-ráus érté Jπ = 0 π = aapján: Frsn-racó hasnáása r. 48 A övtőbn at vsgáju mg hog mént sámoható a térosás g ás gömbhuám ' ' óussíjában. A huám görbüt sugara ρ a Σ aprtúrában. [-] v. ' v. ' Σ P ás gömb huámront ρ görbüt sugár gömbhuám ' = ρ Q Ftét: ρ > Σ paraás öítés hog a Frsn-öítés érvéns gn. A mgvágítás thát g Q pontorrás am é tart a én: 0 4 / P 49 aho a térrősségamptuót onstansna tntjü a Σ aprtúrában. A ponnsbn smét másornű Taor-soros öítést aamaun: P A Frsn-öítés Fourr-transormácós 3 éptéb httsítv P-t amor ' = ρ: 0. 5 ormaag mgg a Fraunhor-racó 34 éptév csa ' htt ρ-srp a éptbn! Mv a ratáó naáb ását a Q öéppontú gömbhuámého vsonítottu a gomtra optaag mghatároható ρ ástoás s a éptbő. A ásanomáa matt a ás tt s st 90 -ot.

12 Amnnbn a Σ aprtúrában g véonncs h ρ = aor a baró érő sugárás Fourr-transormátja a ncs óussíjában jn mg. p = / ' ρ = θ A Fraunhor-racóná tanuta aapján a óussí pontjana a övtő térrvncá tthtő mg: ; tv π π π ; π 5 Ha a ncs aprtúrájána síjában a bépő tér g oan síhuám am θ és θ sögt ár b a -tng a óussíban apott térosás g oan óusot s amn a öéppontja '. ' távoságra toó a opta tngtő. Thát a D Fourrtransormát g aott térrvncájú omponnsén aag g mghatároott sögű síhuám mg. A bépő síhuám -ránú huámhossabó: 53 p ; p aho hasnátu hog paraás öítésbn: tanθ θ. A 5 ntgrá a Fraunhor-öítésné aamaott móon értéhtő ambő ör aprtúráná ás gömb huámront stén mgapju a már bmutatott Ar-otot. t a rmént hasnáva a átmérőjű véonncs épsíban mért Ar-ot sugara a övtő: r. 54 Átaános stbn a huámront nm ás hanm abrrácóa trht: OPD P 0 55 aho OPD opta úthoss üönbség írja a huámront ás gömbtő vaó térését. A tromos térrősség absoútérté négtébő mgapju a sámunra átaában gnább érs ntntásosást: v I S v 0 OPD In stbn a 49- bvttt ás gömbhuámot Gauss-é rrncagömbn nv. Mgjgnő hog mgő mósr ht oan ncsrnsrt trvn am nm csa a paraás öítésbn Fourr-transormána; t Fourr-transormácós ncsén nv /

13 Fraunhor-racó aamaása: távcső bontóépsség objtív aprtúrars átmérő = ouár Δθ agh-é bontás rtérum: ét vuásan még bontható racós ot gén a ső mnmuma gbs a más mamumáva...0 J π/π [-] Δθ Távcsőné a a aprtúra mn étrjön a énracó a objtív ncs v. tüör aprtúrája. A öraprtúra Fraunhor-racós mojébő a távcső sögbontása: [-] r tg 57 Frsn-racó aamaása: mrosóp bontóépsség objtív ; ; NA θ aprtúrars Ø = n' θ' ép ouár Δr tárg n ' Δr' tt a s sög matt tjsü a paraás öítés Köraprtúrás ncs agh-bontása a époaon. 54: r tg 06 sn 58 r 4 / 3

14 A mrosópobjtív ún. apanatus épőrnsr bbő oóag tjsít a ún. Abb-é snustétt: ambő a tárgoa bontás: Magaráat. p. Born-Wo: Prncps o Optcs. r n sn r nsn r nsn NA 4 / 4