2012 Matematika Segítő Minden jog fenntartva

Átírás

1 2012 Matematika Segítő Minden jog fenntartva

2 Szöveges feladatok tanulmány Mivel a Matematika Segítő Blogon nagyon sokan érdeklődtek a szöveges feladatok megoldásának módjai iránt, ezért úgy határoztam, hogy ebből a témából nemcsak egy-egy bejegyzést, hanem egy egész hírlevél-sorozatot fogok indítani. Mivel amúgy is hat fő szöveges feladattípust különböztetünk meg, ezért kézenfekvő, hogy az egyes típushoz tartozó megoldási javaslatokat külön-külön, hétről-hétre kapják meg a hírlevélre feliratkozók. Íme ezek közül az első, mely a számok és mennyiségek közötti összefüggések felismerésével foglalkozik. Matematika Segítő 2/22.

3 1/6. Számok és mennyiségek közötti összefüggés Hogyan lehet felismerni, hogy egy feladat ebbe a típusba tartozik? Ha ismerjük a feladatok minden típusát illetve azok jellemzőit, akkor már könnyű helyzetben vagyunk. Mi jellemző a számok és mennyiségek közötti összefüggések típusú feladatra? Íme néhány kulcs-kifejezés: - Két szám összege (különbsége/szorzata/hányadosa) - Két mennyiség összege (különbsége/szorzata/hányadosa) - Gondoltam egy számot - Két kosárban együtt /Két polcon együtt - Három kosárban együtt /Három polcon együtt - Ha egy szöveges feladatban a fenti szövegrészleteket olvassuk, akkor nagy valószínűséggel ebbe a csoportba tartozik. Matematika Segítő 3/22.

4 Mivel a matematikát igazából csak a sok gyakorlás eredményeként tudjuk teljesen magunkévá tenni, ezért mutatok néhány megoldási trükköt természetesen feladatokon keresztül. 1. feladat: Két szám összege 28, különbsége 4. Melyik ez a két szám? Mint látható, nagyon rövid maga a feladat szövege, néhányan már talán tudják is a megoldást, ám minket ebben az esetben nem fog érdekelni maga a megoldás. Ugyanis az esetek többségében ez azt jelentené, hogy ezt az egy feladatot meg tudom oldani, pedig annak nagyon kicsi a valószínűsége, hogy egy felmérőben, egy vizsgafeladatban ugyanezekkel a számokkal találkozzunk. A megoldás menete során kövessük a Matematika Segítő blog: Szöveges feladatok megoldása bevezetés című bejegyzésben leírtakat: Matematika Segítő 4/22.

5 ( zoveges-feladatok-megoldasa-bevezetes.html) 1: Elolvassuk a feladat szövegét elejétől a végéig Matematika Segítő 5/22.

6 2: Elolvassuk a feladat szövegét és értelmezzük a feladatot Észrevesszük, hogy melyik feladattípusba tartozik az ilyen szövegezésű feladat. Mivel két számról szól, ezért egyértelmű a feladattípus. 3: Rajzolunk Ahhoz, hogy rajzolni tudjunk, el kell képzelnünk a feladat történetét. Miről is szól? Mit látunk a fejünkben? Ebben az esetben kell látnunk két számot (jelölhetjük az egyiket téglalappal, a másikat pedig körrel), amiket, ha összekapcsolunk és elképzeljük, hogy összeadjuk őket, akkor éppen 28-at kapunk. Ám, ha (alatta) újra elképzeljük (ugyanazt) a két számot, majd összekapcsoljuk és azt képzeljük, hogy kivonjuk az egyiket a másikból, akkor pedig 4- et kell kapnunk. Itt a rajzolásnál kell elkészítenünk a megfelelő táblázatnak a keret-szerkezetét, hogy a következő Matematika Segítő 6/22.

7 lépésben feltölthessük adatokkal, azaz jöhet a feladattípusra jellemző táblázat: Persze ehhez tudnunk kell, hogy a táblázat hány sorból és oszlopból álljon. A sorok száma ebben a feladattípusban általában 2 esetleg 3 (a fejsort is beleszámítva). Ami az oszlopok számát illeti, a feladat szövegében megadott elemek (itt: számok) számától függ. Mégpedig a következőképpen: Ha a feladat szövege két számot említ, akkor 4 oszlopot kell rajzolnunk, ha három számról szól, akkor 5 oszlopot, majd így tovább, mindig két oszloppal többet célszerű rajzolnunk. Miért is van szükség erre a +2 oszlopra? Az alábbi táblázat mutatja az aktuális feladatnak megfelelő fejsort, kitöltve, magyarázattal: Ebbe az oszlopba tudjuk felírni, hogy mi is történik a Ebbe az oszlopba kerülnek a feladatban szereplő egyes Ide kerülnek az első/egyik számra vonatkozó Ide kerülnek a második/másik számra vonatkozó számokkal. (Általában az összegüket lépések nevei információk információk ismerjük.) Megnevezés I. szám II. szám Összegük Amennyiben három számról szól a feladat, akkor a II. szám után a III. szám feliratú mező következik, majd az Összegük mező. Ugyanígy Matematika Segítő 7/22.

8 tudjuk folytatni a táblázat fejsorát több szám esetén is. 4: Kigyűjtjük az adatokat kész a táblázat, most töltsük ki az egyes cellákat tartalommal! (Az,,, jelek mutatják a kitöltés sorrendjét.) Megnevezés I. szám II. szám Összegük 1. rész x 28-x 28 : Ha nincsen külön megadva, hogy melyik részről van szó (pl. változtatás előtt/után), akkor egyszerűen csak 1. rész -t vagy 1. -et írunk. : A feladat szövegéből azonnal tudjuk, hogy a számok összege 28, csak el kell jutnunk odáig az olvasásban. : Mennyi lehet az egyik szám? Mivel nem tudjuk, ezért jelöljük ismeretlennel! Általában az x -et használjuk, persze lehetne bármilyen más betű az angol abc betűi közül. (A ty, mint változó használata azért okoz problémát, mert nem lehet tudni egyértelműen, hogy ez egy betű vagy kettő, Matematika Segítő 8/22.

9 hiszen jelenthetné ugyanez a felírás a t y szorzatot is.) : Ha x az egyik szám, akkor mennyi lehet a másik? Erre a kérdésre úgy tudunk a legegyszerűbben válaszolni, hogy behelyettesítünk az x helyére néhány értéket. Pl. ha az egyik szám a három lenne, akkor a másik a 25, ha az egyik az 5, akkor a másik a 23, ha az egyik a 9, akkor a másik a 19. Néhány számpár után meg tudjuk állapítani, hogy hogyan számítottuk ki a második számot. Ebben az esetben úgy kaptuk meg a 25-öt, hogy a 28-ból elvettük a 3-at, a 23-at úgy kaptuk, hogy a 28-ból elvettük az 5-öt, végül a 19-et úgy kapjuk meg, hogy a 28-ból elveszünk a 9-et. Ezek analógiájára megállapíthatjuk, hogy a második számot úgy kaphatjuk meg, hogy a 28-ból elvesszük az első számot. Ha tehát az első szám x, akkor a második: 28-x kell, hogy legyen. Matematika Segítő 9/22.

10 5. Megkeressük az adatok és az ismeretlen közötti kapcsolatot A feladat szövegét tovább olvasva láthatjuk, hogy a különbség 4. Ennek az adatnak a felhasználásához nem kell bővítenünk a táblázatot, hanem azt kell végiggondolnunk, hogy mit jelent a két szám különbsége. Természetesen arra a következtetésre juthatunk, hogy a két számot ki kell vonni egymásból ahhoz, hogy 4-et kapjunk; pl. az első számból elvesszük a másodikat. Mivel a táblázatból ki tudjuk olvasni, hogy mennyi az első és mennyi a második szám, ezért máris rátérhetünk a következő lépésre: 6. Felírjuk az egyenletet (egyenlőtlenséget) Mint az előbb már kikövetkeztettük, azt kell felírnunk: ha az első számból elvesszük a második számot, akkor 4-et kapunk eredményül. A táblázat szerint az első szám az x, a második szám pedig a Matematika Segítő 10/22.

11 28-x, ezért egyszerű a dolgunk, csak felírjuk, hogy: x (28 x) = 4 Látható, hogy közben egy nagyon-nagyon fontos ismeretet használtunk fel, mégpedig azt, hogy a 28-x az úgy, ahogy van, a második számot jelenti. Mivel azok összetartoznak, együtt vannak, ezért ezt nekünk is jelölnünk kell. A legegyszerűbb módja ennek a (gömbölyű) zárójel használata. 7. Megoldjuk az egyenletet (egyenlőtlenséget) Innentől kezdve már csak kézügyesség kérdése, hogy meg tudjuk-e oldani a szöveges feladatunkat. Azt szokták mondani, hogy a szöveges feladatokban az a nehéz, hogy eljussunk az egyenlethez vagy az egyenlőtlenséghez. Ha már megvan, akkor annak a megoldása már nem okoz problémát. Tegyünk eszerint mi is, tehát oldjuk meg az egyenletet! (Az elsőfokú, egyismeretlenes egyenletek megoldásához a Matematika Segítő Blog-on ezzel Matematika Segítő 11/22.

12 azonos című bejegyzésben találhat további információt.) x (28 x) = 4 / zárójel felbontása (z.f.) x 28 + x = 4 / összevonás (ö.v.) 2 x 28 = 4 / x = 32 / :2 x = 16 (A fenti levezetésből is kitűnik, hogy milyen jelentőséggel bír az összetartozó kifejezések zárójellel történő összekapcsolása.) 8. Kiszámoljuk a szükséges értékeket Mit jelent az, hogy a szükséges értékeket? Nézzük meg újra a feladat szövegét! Mi a kérdés? Melyik ez a két szám? Akkor viszont egyértelmű, hogy a két számnak az értékét kell kiszámítani. Ezt a legkönnyebben a táblázatban tehetjük meg, ahova ilyenkor vissza szoktunk lépni, DE nem ceruzával, hanem kék színessel. Ezzel jól láthatóvá válik, hogy mi az, amit az adatok kigyűjtésekor írtunk a táblázatba és mi az, amit később. Matematika Segítő 12/22.

13 Tehát kék színes a kézbe és töltsük ki a táblázatot! Megnevezés I. szám II. szám Összegük 1. rész x = x = Mint látható, az első szám értékét az egyenlet megoldása adja, hiszen ott azt kaptuk, hogy az x értéke a 16, vagyis ebben a feladatban, ahol x -et használtunk, az mindenhol a 16-ot jelenti. Ezt tudva behelyettesítünk a második számnál található kifejezésbe az x helyére 16-ot. Amint ezzel végeztünk, be is írhatjuk a második számhoz, hogy az 12. Matematika Segítő 13/22.

14 9. Ellenőrizzük a feladatot. Mivel már tudjuk, hogy mi az egyik és mi a másik szám, jöhet az ellenőrzés. Mi alapján ellenőrizzünk? Természetesen a feladat szövege alapján. Nagyon fontos: Nem az egyenletet kell ellenőriznünk, hiszen annak felírása is lehet hibás, hanem a feladat szövegének kell eleget tennünk! Két szám (a 16 és a 12) összege 28. Ellenőrzés: = 28. IGAZ! különbsége 4 Ellenőrzés: = 4. IGAZ! Mivel a feladat szövegének minden állításával egyezőt kaptunk, ezért jöhet a következő lépés: 10. Írunk szöveges választ. Mivel szöveges feladatot oldottunk meg, ezért írunk szöveges választ. Ennek megfogalmazása legyen lényegre törő, tömör, rövid. Matematika Segítő 14/22.

15 Mi alapján fogalmazzuk meg a kérdést? Erre a legjobb megoldás, hogy feltesszük magunknak a feladat kérdését, mintha valaki tényleg kérdezné tőlünk, majd megfigyeljük, hogy élőben mit válaszolnánk rá röviden. Pl.: Melyik ez a két szám? A két szám a 16 és a 12. Tehát a mi szöveges válaszunk a feladat kérdésére a következő: A két szám a 16 és a 12. Természetesen ez nem az egyetlen jó szöveges válasz ehhez a feladathoz. Az alábbiak szintén helyes válaszok lehetnek a feladat befejezéseként: A két szám: 16; 12. A számok: 16; 12. A keresett számok a 16 és a 12. Az egyik szám a 16, a másik a 12. stb. Matematika Segítő 15/22.

16 2. feladat: Gondoltam egy számot. Megszoroztam 4-gyel, hozzáadtam 5-öt, majd elosztottam 3-mal, hozzáadtam 7-et és eredményül 13-at kaptam. Melyik számra gondoltam? Nézzük meg ezt a feladatot is lépésenként haladva, külön-külön. Ugye emlékszünk az egyes lépésekre? 1: Elolvassuk a feladat szövegét elejétől a végéig 2: Elolvassuk a feladat szövegét és értelmezzük a feladatot Látjuk, hogy ez a feladat szintén a számok, mennyiségek közötti összefüggések feladattípushoz tartozik. Matematika Segítő 16/22.

17 3: Rajzolunk Ennél a szövegezésű feladatnál eltekintünk a rajztól, ugyanis ezt sajnos nem tudjuk lerajzolni úgy, hogy az segítsen a feladat megoldásában. Annyit tudunk megtenni, hogy felírjuk: A gondolt szám: 4: Kigyűjtjük az adatokat Mivel az a kérdés, hogy melyik számra gondoltunk, így azt jelenleg még nem tudjuk, az lesz az ismeretlen. Ezt jelöljük x-szel. Fel is írhatjuk, hogy A gondolt szám: x. Ami a többi számot illeti, egyelőre nem foglalkozunk velük. 5. Megkeressük az adatok és az ismeretlen közötti kapcsolatot Matematika Segítő 17/22.

18 Elérkeztünk a feladatban szereplő műveletekhez. Nézzük végig, hogy miképpen juthatunk el a gondolt számtól (x) a végeredményig (13)! Ehhez haladjunk a feladat szövegében nagyon apró lépésenként: Gondoltam egy számot: x megszoroztam 4-gyel: 4 x hozzáadtam 5-öt: 4 x+5 elosztottam 3-mal: (4 x+5):3 hozzáadtam 7-et: (4 x+5):3+7 eredményül 13-at kaptam: (4 x+5):3+7 = Felírjuk az egyenletet (egyenlőtlenséget) Ha végignézzük az előző gondolatsort, akkor látható, hogy gyakorlatilag már fel is írtuk az egyenletünket. Ugyanis az utolsó sorban szereplő felírás éppen azt tartalmazza, legfeljebb egy kicsit átalakítjuk, hogy könnyebben átlátható legyen. Matematika Segítő 18/22.

19 7. Megoldjuk az egyenletet (egyenlőtlenséget) (Az elsőfokú, egyismeretlenes egyenletek megoldásához a Matematika Segítő Blog-on ezzel azonos című bejegyzésben találhat további információt.) / 3 (tört megszüntetése) 4 x = 39 / összevonás (ö.v.) 4 x+ 26 = 39 / 26 4 x = 13 / :4 x = 3,25 8. Kiszámoljuk a szükséges értékeket Mivel ennél a feladatnál csak a gondolt szám szerepelt, így itt nincs mit kiszámítanunk, jöhet a következő lépés. Matematika Segítő 19/22.

20 9. Ellenőrizzük a feladatot. Helyettesítsünk be a feladat szövegébe a kapott eredményt: Gondoltam egy számot (3,25). Megszoroztam 4- gyel (3,25 4 = 13), hozzáadtam 5-öt (13+5 = 18), majd elosztottam 3-mal (18:3 = 6), hozzáadtam 7- et (6+7 = 13) és eredményül 13-at kaptam. Mivel látható, hogy egyeznek az eredmények, ezért haladhatunk tovább, jöhet az utolsó lépés. 10. Írunk szöveges választ. Visszatekintünk a feladat szövegére, hogy mi is volt a kérdés, majd válaszolunk rá: A gondolt szám a 3,25. Természetesen itt is írhatunk más választ: pl.: A 3,25-ra gondoltam. Matematika Segítő 20/22.

21 Ezennel be is fejeztük a számok és mennyiségek közötti összefüggések felismerésével foglalkozó szöveges feladataink megoldását, részletesen, minden egyes pontnál egy kicsit elidőzve. A következő lépés az az, hogy a fent olvasottakat elmélyítsük, amit csak feladatok megoldásán keresztül lehet megvalósítani. Tehát a következő lépés, mint ahogy az a viccből is ismert Egy férfi sétál tanácstalanul az utcán, kezében hegedűtok. Megkérdez egy járókelőt: Uram, meg tudná mondani, hogy jutok el az Operába? A férfi végigméri, elgondolkodik, majd így válaszol: Gyakorolni, gyakorolni, gyakorolni. Matematika Segítő 21/22.

22 További kérdése van? Tegye fel a oldalon, vagy a matematikasegito.blogspot.com blogon, vagy a Matematika Segítő Facebook oldalán. Matematika Segítő A következő (II.) kötet várható érkezése: 1 hét múlva címe: Számok helyiértékével kapcsolatos feladatok Matematika Segítő 22/22.