MATEMATIKA 8. Eszterházy Károly Egyetem Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Átírás

1 MATEMATIKA 8. Eszterházy Károly Egyetem Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

2 A kiadvány -tól tankönyvvé nyilvánítási engedélyt kapott a TKV/ számú határozattal. A kiadvány megfelel az 5/0. (XII..) EMMI rendelet:. sz. melléklet: Kerettanterv az általános iskolák 5 8. évfolyama számára..0. előírásainak. A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Tananyagfejlesztő: GEDEON VERONIKA, PARÓCZAY ESZTER, SZÁMADÓ LÁSZLÓ, TAMÁS BEÁTA, DR. WINTSCHE GERGELY Alkotószerkesztő: DR. WINTSCHE GERGELY Vezetőszerkesztő: TÓTHNÉ SZALONTAY ANNA Tudományos szakmai szakértő: RÓZSAHEGYINÉ DR. VÁSÁRHELYI ÉVA Pedagógiai szakértő: ILLÉS JÁNOS Olvasószerkesztő: DARCSINÉ MOLNÁR EDINA, CZOTTER LÍVIA Fedélterv: OROSZ ADÉL Látvány- és tipográfiai terv: GADOS LÁSZLÓ, OROSZ ADÉL IIlusztráció: LÉTAI MÁRTON Szakábra: SZALÓKI DEZSŐ Fotók: Pixabay; WikimediaCommons; Kováts Borbála; Wikipedia; Flickr; Laura Lauragais; MorgueFile; Létai Márton; dr. Wintsche Gergely, Márton Tünde A tankönyv szerkesztői ezúton is köszönetet mondanak mindazoknak a tudós és tanár szerzőknek, akik az elmúlt évtizedek során olyan módszertani kultúrát teremtettek, amely a kísérleti tankönyvek készítőinek is ösztönzést és példát adott. Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják. Eszterházy Károly Egyetem, 07 ISBN Eszterházy Károly Egyetem 00 Eger, Eszterházy tér. Tel.: (+6-) Fax: (+6-) Vevőszolgálat: vevoszolgalat@ofi.hu Kiadásért felel: dr. Liptai Kálmán rektor Raktári szám: FI / Műszakiiroda-vezető: Horváth Zoltán Ákos Műszaki szerkesztő: Orosz Adél, Koródiné Csukás Márta Grafikai szerkesztő: Kováts Borbála, Márton Tünde Nyomdai előkészítés: Gados Dániel, Gados László Terjedelem: 4,7 (A/5) ív, tömeg: 44,4 gramm. kiadás, 07 Az újgenerációs tankönyvek az Új Széchenyi Terv Társadalmi Megújulás Operatív Program..-B/ számú, A Nemzeti alaptantervhez illeszkedő tankönyv, taneszköz és Nemzeti Köznevelési Portál fejlesztése című projektje keretében készült. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg. Európai Szociális Alap

3 Néhány elírást, tévedést javítottunk az itt felsorolt feladatokon. Sok közülük eredeti formájában is megoldható volt, csak nem feltétlenül eredményezett szép megoldást. Ezeknek itt közöljük a megoldását. Néhány feladatban csak pontosításokat hajtottunk végre, de ezek lényegileg nem befolyásolták a megoldásokat, ezeknek a feladatoknak a számát csak felsoroljuk. A megoldáskötet leckéinél már a javított feladatok, és azok megoldása szerepel. A szerkesztő és a szerzők Sajtóhibát javítottunk, illetve pontosítottunk, de a megoldást érdemben nem befolyásolja. A 09 évi nyomásba ezek a feladatok már a javított változatban kerülnek be. I/. lecke 4. feladat I/. lecke. feladat I/. lecke 6e. feladat IV/4. lecke 4. feladat IV/9. lecke 5. feladat V/8. lecke b. feladat VI/. lecke 8. feladat Gyakorló.../. feladatsor. feladat Gyakorló.../. feladatsor 4. feladat Gyakorló.../. feladatsor 6. feladat Gyakorló.../. feladatsor 4. feladat Gyakorló.../. feladatsor 8. feladat Sajtóhibát javítottunk, illetve pontosítottunk, és a megoldást érdemben befolyásolja, ezért itt megadjuk a mostani feladat megoldását is. A feladatok között már a javított feladatot, és annak megoldását közöljük. A 09 évi nyomásba ezek a feladatok már a javított változatban kerülnek be. III/8. lecke 8. feladat Egy deltoidnak 5 cm és cm hosszúságú oldalai vannak. Mekkora annak a körnek a sugara, amelyre az ilyen deltoid minden csúcsa illeszkedik? A: 6 cm; B: 6,5 cm; C: 8,5 cm; D: 9 cm; E: Ilyen kör nem minden esetben létezik. A helyes válasz: E.

4 IV/. lecke e. feladat Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket a racionális számok halmazán! Ábrázold a meg oldásokat számegyenesen! e) 9, +, x $ -54, x- 6, 4 e) x $ -7,68 IV/8. lecke. feladat Ha bankban tartom a pénzemet, az biztonságosabb, mintha itthon tartanám, ráadásul évente 0,4%-ot kamatozik is. Ha van egy kevés megtakarításom, azt érdemesebb inkább le kötni, hiszen akkor félévenként % a kamat. Ha két évig bent hagyom a pénzem, akkor már úgynevezett kamatos kamattal számolhatok. Ez azt jelenti, hogy egy év elmúltával már a kamattal megnövekedett pénzem kamatozik tovább a következő évben. a) Számítsd ki, mennyi pénzem lesz egy év múlva, ha Ft-ot tartok a bankban! b) Hány forinttal gyarapodik a pénzem abban az esetben, ha évre lekötöm? a) ,004 = Ft, ha nem kötöm le. Ha lekötöm a pénzt, akkor ,04 = Ft. b) Éven belül egyszerű kamatozással számolunk, azaz ha fél évre % a kamat, akkor egy évre 4%. Mivel egy év után kamatos kamattal kell számolni, ezért év után, ,04,04,04 = , Ft. A pénzem tehát 8 70 Ft-tal gyarapodik. Megjegyzés: A feladatot úgy is lehet érteni, mintha félévente tőkésedne a lekötés után járó kamat. Ebben az esetben ,0,0,0,0,0, Ft. Ebben az esetben 8 94 Ft-tal gyarpodik a pénzem. 4

5 IV/9. lecke a. feladat Oldd meg az egyenleteket a racionális számok körében! a) x- 4+ 5x- = 7-4x + a) x x - = 7-4x + 8x - 6 = 0-4x x = 6 x = 6 VI/6. lecke. feladat A szabályos hatszög keresztmetszetű toronyra rézlemezből tetőt terveznek. A tető olyan gúla lesz, amelynek oldallapjai egyenlőszárú háromszögek. A háromszögek alapja 4 m, a szárai pedig m hosszúak. a) Mekkora felületet kell rézlemezzel borítani? b) A vágások és az átfedések miatt a megvásárolt lemez mennyiségének a 8%-a hulladék lett. Hány m lemezt vásároltak összesen? Sajnos ezekkel az adatokkal nincs megoldása a feladatnak. 5

6 Tartalom Bevezetés.... I. SZÁMOK ÉS BETŰK. Mit tudunk a halmazokról? Mit tudunk a racionális számokról?.... Racionális számok úton-útfélen A racionális számokon túl, a négyzetgyök fogalma Számok négyzetgyöke Hatványozás nemnegatív kitevő esetén Hatványozás egész kitevővel Pozitív számok normálalakja Algebrai alapfogalmak Egytagú kifejezések szorzása.... Többtagú kifejezések szorzása, kiemelés Többtagú kifejezések szorzata Összefoglalás III. A PITAGORASZ-TÉTEL. Szerkesztések, mérések A Pitagorasz-tétel Számítások síkban Számítások térben Szabályos háromszög, négyzet, kocka Nevezetes derékszögű háromszögek A kör és a derékszögű háromszög Összefoglalás... 9 II. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK. Egybevágósági transzformációk Vektorok Eltolás Forgassuk el! Középpontos hasonlóság Szerkesztések Hasonlóság Összefoglalás

7 Tartalom V. FÜGGVÉNYEK, VALÓSZÍNŰSÉGEK, SOROZATOK IV. EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK. Egyenletek Egyenlőtlenségek Szöveges feladatok számokról, életkorokról Szöveges feladatok összekeverésről Szöveges feladatok mozgásról, munkáról Szöveges feladatok a geometria köréből Vegyes feladatok Pénzügyi feladatok Összefoglalás Egyenes arányosság.... Lineáris függvények Lineáris függvények vizsgálata Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Fordított arányosság Példák nemlineáris függvényekre Olvassunk a grafikonról! Készítsünk grafikont szabály alapján! Gyakoriság, relatív gyakoriság, átlag Játék Valószínűség Valószínűségszámítási feladatok Keressünk összefüggéseket! Sorozatok Számtani sorozat Összefoglalás VI. FELSZÍN, TÉRFOGAT. Mit tanultunk eddig? Gúlák Kúpok A gömb Alkalmazások Összefoglalás... GYAKORLÓ FELADATSOROK FELVÉTELIRE

8

9

10 I/. Mit tudunk a halmazokról? Döntsd el, melyek alkotnak halmazt az alábbiak közül! Választásodat indokold! a) A kétjegyű páros számok; b) A hét munkanapjai; c) A nyár legszebb pillanatai; d) Egy megszerkesztett háromszög fölötti pontok. Halmazt alkotnak: a; b; mert ezen meghatározások alapján minden dologról egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy a halmazba tartozik-e vagy sem. Sorold fel a következő halmazok elemeit! a) Az osztályod keddi órái; b) Magyarország három legnagyobb hegycsúcsa; c) A 5-nél kisebb prímszámok; d) A 0-nél kisebb természetes számok négyzetének utolsó számjegye. a) egyéni eredmények b) Kékes-tető (Mátra), 04 m; Pezsgő-kő (Mátra), 97m; Galya-tető (Mátra), 964 m c) ; ; 5; 7; ; ; 7; 9; ; 9; d) 0; ; 4; 5; 6; 9; Add meg elemeik felsorolásával az A és B halmazokat! A = {-nál kisebb, 4-gyel osztható természetes számok} B = {5-nél nem nagyobb, -mal nem osztható pozitív egész számok} A = {0; 4; 8; ; 6; 0} B = {; ; 4; 5; 7; 8; 0; ; ; 4} 4 Döntsd el, hogy az alábbi halmazok közül melyik részhalmaza a másiknak! Írd le jelölésekkel is! a) A = {a hét napjai} B = {péntek, vasárnap} b) A = {a tavaszi hónapok} B = {az év első hat hónapja} c) A = {; ; 6; 8; 0} B = {; ; ; 4; 6; 7; 8; 0} d) A = {a hárommal osztható kétjegyű számok} B = {olyan természetes számok, amelyek számjegyeinek összege osztható hárommal} e) A = {a pozitív számok} B = {a nullánál nagyobb páros számok} a) B A (vagy A B) b) A B (vagy B A) c) A B (vagy B A) d) A B (vagy B A) e) B A (vagy A B) 0 Számok és betûk

11 Mit tudunk a halmazokról? I/. 5 Ábrázold Venn-diagramon az alábbi halmazokat a füzetedben! A = {-0; -7; -4; -; ; ; 8; 9} B = {-9; -6; -; ; ; 4; 6; 9} a) Határozd meg az A, B halmaz elemeit! b) Hány elemből áll az A + B halmaz? a) A, B = {-0; -9; -7; -6; -4; -; ; ; 4; 6; 8; 9} b) A + B = {-; ; ; 9}. Az A + B négy elemből áll. 6 Ha az A halmaznak 5 eleme van, a B halmaznak 9 eleme van, és az A + B halmaz 6 elemű, akkor hány eleme van az A, B halmaznak? A, B elemszáma: = 8. 7 Az A halmaznak eleme van, az A, B halmaznak 4 eleme van, a metszetben pedig 0 elem van. Hány elemű a B halmaz? Jelöljük B elemszámát x-szel. Ekkor 4 = + x - 0 x = B halmaznak eleme van. 8 a) Hány kétjegyű páros szám van? b) Hány hárommal osztható kétjegyű szám van? c) Hány hattal osztható kétjegyű szám van? d) Hány olyan kétjegyű szám van, amely osztható kettővel vagy hárommal? a) 90 db kétjegyű szám van, ebből minden második páros, tehát 45 db kétjegyű páros szám van. b) 0 db hárommal osztható kétjegyű szám van. c) Az a) és b) rész közös elemei adják a hattal osztható kétjegyű számokat. (A két halmaz metszete.) 5 ilyen szám van. d) Az a) és b)-ben megadott halmazok uniójának elemszámát keressük = 60 ilyen szám van. Számok és betûk

12 I/. Mit tudunk a halmazokról? 9 Egy 5 tagú csoportban mindenki beszéli az angol és a német nyelv valamelyikét. Kilencen beszélnek közülük németül, tízen angolul. Hányan beszélik mindkét nyelvet? A csoportban hányan beszélnek csak angol nyelven? Jelöljük x-szel a mindkét nyelvet beszélők számát. Ekkor x = 5 x = 4 Négy tanuló beszéli a két nyelv mindegyikét. 0 Egy iskolában 48 diák vett részt egy matematika-tesztversenyen, 5-en pedig egy túrával egybekötött matekversenyen. olyan diák volt, aki csak a tesztversenyen vett részt. a) Hány olyan tanuló volt, aki mindkét versenyen részt vett? b) Hány olyan tanuló volt, aki csak a túrával egybekötött versenyen vett részt? a) 48 - = 7 7 olyan tanuló volt, aki mindkét versenyen részt vett. b) 5-7 = 8 8 tanuló vett részt csak a túrával egybekötött versenyen. Számok és betûk

13 Mit tudunk a racionális számokról? I/. A csoport Jelöld a felsorolt számok helyét a szám egyenesen! 5 ;,5; - 4 ; ; 7, - 4 Írj a betűk helyére két-két számot úgy, hogy teljesüljön a megadott reláció! a) a, b) -6, b - 8, c) c 5 0 a) Például a = 4 ;, mert,6 a, 5 b) Például b =-9,;- c) Például c = ; 4, mert 4 c 0, illetve 4 44 c 4 40 Lehet-e két racionális szám szorzata egész szám? Igen, például ha egymás reciprokai. 4 Add meg a felsorolt számok két-két tört alakját! 0 ;,5; -; = 5 = 5,,5 = = 5 (A szám értéke a 0 -del egyenlő.) 4 - =- 6 =- 5 = 7 = 75, Végezd el a műveleteket! a) ]-6g? b) , - c) 5, -< c 4 - m$ 5 F : 05, a) -7 b) 4,8 c) Számok és betûk

14 I/. Mit tudunk a racionális számokról? B csoport Jelöld a felsorolt számok helyét a szám egyenesen! ; - 7 ; -,5; 5, ; Írj a betűk helyére két-két számot úgy, hogy teljesüljön a megadott reláció! a) a 7, b) -6, b - c) c a) Például a = ; 5,, mert,4 a,7 5 b) Például b =-5,;- 9, mert -,6 b -, o c) Például c = ; 0,, mert 7 8 c 6, illetve 7 < c < 4 Lehet-e két racionális szám hányadosa egész szám? Igen, például 6 : 5 5 = 4 Add meg az alábbi számok két-két tört alakját! 7 ; 4; -,; = = 75, 4 = 0 = , =- 0 =- 5 = 9 = 5, o o 5 Végezd el a műveleteket! a) (-56)@ b) 86, - 7, + c) + : a 6 k a) -7 b) 5,45 = 09 c) Számok és betûk

15 Mit tudunk a racionális számokról? I/. C csoport Jelöld a felsorolt számok helyét a szám egyenesen!,8; - 5 ; ; 6, - ; Írj a betűk helyére két-két számot úgy, hogy teljesüljön a megadott reláció! a) 4 a 48, b) -8, b - c) c a) Például: a = 9 ; 47,, mert 4, 4857 o o a 4,8 b) Például: b =-6, ;-, mert -,8 b -,4 c) Például: c = 4 ; 6, mert c 4 00, illetve 6 0 c 6 00 Mit nevezünk egy szám reciprokának? Azt a számot, amellyel megszorozva a számot -et kapunk. 4 Add meg az alábbi számok két-két tört alakját! ; -5;,5; = = 6-5 =- 0 =-50, 4 5, = 5 = 7 - =- =-, Végezd el a műveleteket! a) (-)@ b) - 0, c) 5, 8 b -a- $ - 4 kl a k a) - b),75 = 5 4 c) -,5 = - Számok és betûk 5

16 I/. Mit tudunk a racionális számokról? D csoport Jelöld a felsorolt számok helyét a szám egyenesen! - 7 ;,6; 9 ; 7, - ; Írj a betűk helyére két-két számot úgy, hogy teljesüljön a megadott reláció! a) 8 a 84, b) -57, b c) 9 c a) Például: a = 8,; 85,, mert 87, o o a 8,4 b) Például: b =-54, ;- 7, mert -5,7 b -5, 5 c) Például: c = 0, 90; 0, 90, mert 0,9 c 090, oo vagy c Mit nevezünk egy racionális szám abszolút értékének? Egy szám abszolút értéke a szám 0-tól való távolsága. Ez a számmal egyenlő, ha nem negatív, az ellentettje, ha negatív. 4 Add meg a felsorolt számok két-két tört alakját! ; 6,8; -4; 5 8 = = 6, o 68, = 68 = = =- 5 = = 5, Végezd el a műveleteket! a) (-4)@ b) a- 5 k c) 7 $ - 6 : a) -64 b),9 = 9 c) Számok és betûk

17 Racionális számok úton-útfélen I/. Fogalmazd meg, mit nevezünk racionális számnak! Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként. Keress több olyan tört alakú számot, amelynek tizedes tört alakja végtelen szakaszos tizedes tört alakú! Például:, 5, 7 6 Vannak-e nem racionális számok? Igen, amelyek tizedes tört alakja nem szakaszos végtelen. Például: 0, Mely racionális számok tizedes tört alakja lesz véges tizedes tört alakú? Azok, amelyek egyszerűsített (tovább már nem egyszerűsíthető) tört alakjának nevezőjében csak -es és 5-ös prímtényező szerepel. 5 Igaz-e, hogy a racionális számok tizedes tört alakja véges vagy végtelen szakaszos tizedes tört? Igen 6 Igaz-e, hogy két racionális szám összege is racionális szám? Igen, mindig található közös nevező, aminek segítségével összeadhatjuk a számokat. 7 Csoportosítsd a racionális számokat tizedes tört alakjuk szerint! Lehetnek véges tizedes törtek, amelyek egész számok vagy van értékes jegyük a tizedesvessző után is, illetve végtelen szakaszos tizedes törtek. 8 Adj meg egy olyan tizedes törtet, amely nem szakaszos! Lásd. feladat. Számok és betûk 7

18 I/. Racionális számok úton-útfélen 9 A Föld időzónákra osztható. Az alábbi városok különböző időzónákban találhatók. Az ábrán látható órák a helyi időt mutatják az adott városokban. A feladat megoldásához használhatod a földrajzi atlaszodat is. a) Anna budapesti idő szerint éjjel -kor hívja fel Bangkokban élő barátnőjét. Hány óra van ekkor Bangkokban? b) Thomas Londonban él. Reggel 7:45-kor hívja fel Los Angelesben élő barátját. Hány óra van ekkor Los Angelesben? c) A Helsinkiben élő Aino délután fél 4-kor hívja fel a budapesti Grétit. Hány óra van ekkor Budapesten? d) Milyen nap és hány óra van a fenti városokban akkor, amikor Budapesten hétfő reggel 8 óra van? a) 4:00 óra b) :45 óra. c) Délután fél három. d) Londonban reggel 7 óra, Los Angeles előző nap óra, Helsinki reggel 9 óra, Bangkok óra. 0 Panni a december havi zsebpénzének részéből ajándékokat vesz, negyedrészét elkölti az iskolai 7 büfében. A maradék pénz felét félreteszi, másik felét pedig kölcsönadja kisöccsének. a) A pénzének hányadrészét teszi félre Panni? b) Mennyi pénze volt decemberben, ha az iskolai büfében 400 Ft-ot költött el? c) Mennyi pénzt adott a kisöccsének? a) 9 56 b) 5600 Ft. c) 900 Ft-ot. 8 Számok és betûk

19 Racionális számok úton-útfélen I/. Egy kábeltévé-szolgáltató cég szeretne néhány új tv-csatornát indítani, a két már foglalt tv-csatorna között. A szomszédos adások között legalább 8 MHz sávszélességnek kell lennie, hogy az adások ne zavarják egymást. Az alábbi ábrán pontokkal jelöltük a jelenleg foglalt frekvenciákat MHz a) Legfeljebb hány szabad csatornahely van? b) Milyen sávszélességre kerül a tizedik új csatorna, ha 50 MHz után minden lehetséges helyre kerül egy adó? a) 4 b) 60 MHz-re. Tóni bácsi egyik nap délután -ig értékesítette az összes eladásra szánt epret. Reggel egy vendéglő tulajdonosa a teljes mennyiség kétötöd részét vásárolta meg, a délelőtt további részében a maradék egyharmadát vitték el, délután, az utolsó vevő érkezése előtt elfogyott a még meglévő készlet háromnegyede, így az utolsó vevő már csak 6 kg-ot tudott venni a befőzéshez. a) Az összes eper hányadrésze fogyott el a délelőtt folyamán? b) Hány kg epret vitt a piacra Tóni bácsi? c) Hány kg-ot vitt el a vendéglős? d) Hányszor több eper fogyott el délelőtt az utolsó vevő által megvásárolt mennyiségnél? a) + $ = része fogyott el délelőtt b) 60 kg-ot. c) 4 kg-ot. d) Négyszer több. a) Volt 4,6 euró spórolt pénzem, de a 60%-át elköltöttem a bécsi karácsonyi vásárban. Hány euróm maradt? b) Ft-ból 8 40 Ft-ot költöttünk utazásra. A pénz hány százalékát költöttük el? c) Az iskola tanulóinak 4%-a, 74 fő volt már idén színházban. Hány diák jár a suliba? a) 9,84 euro maradt. b) 5%-át költöttünk. c) 700 fő. Számok és betûk 9

20 I/. Racionális számok úton-útfélen 4 a) Egy görkori árát a tavasz folyamán 0%-kal emelték. Mennyibe kerül a Ft-os korcsolya az áremelés után? b) Egy görkorizáshoz használt bukósisak ára a 0%-os áremelés után 00 Ft-ba került. Mennyi volt az eredeti ára? c) Egy 4000 Ft-os széldzseki árát először 0%-kal megemelték, majd az ősz folyamán 5%-kal csökkentették. Mennyibe került a széldzseki a kétszeri árváltozás után? d) Mennyibe került eredetileg az a görkorizáshoz ajánlott kesztyű, melynek az eredeti árát 0%-kal felemelték, majd a későbbiek során 0%-kal csökkentették, és ekkor 080 Ft-ot kellett fizetni érte? a) 7 80 Ft-ba. b) 750 Ft. c) 4080 Ft-ba. d) 000 Ft-ba. 0 Számok és betûk

21 A racionális számokon túl, a négyzetgyök fogalma I/4. Rajzolj egy a fentihez hasonló halmazábrát a füzetedbe! Írd a felsorolt racionális és irracionális számokat a megfelelő helyre a halmazábrában! 0,7; ; ; -0, ; 4 ; 0,45678 ; 05, o ; - 4 Racionális számok: 0,7; ; -0, ; 4 ; 05, o ; Habár a -0, számról ez nem dönthető el egyértelműen ennyi információ alapján. Ha úgy folytatódik, hogy mindig két 0 és egy 6-os jegy, vagy bármilyen szakaszosan ismétlődő jegyek, akkor racionális számot kapunk. Ezt sugallja a felírás, de bizonyosságot nem jelent. Irracionális számok: ; 0,45678 Habár a 0,45678 számról ez nem dönthető el egyértelműen ennyi információ alapján. Ha úgy folytatódik, hogy a számokat soroljuk fel egymás után, akkor irracionális számot kapunk, mert nem lesz benne szakasz. - 4 Döntsd el az alábbi állításokról, melyik igaz, melyik hamis! Válaszodat indokold! a) A véges tizedes törtek racionális számok. b) A végtelen szakaszos tizedes törtek irracionális számok. c) A végtelen, nem szakaszos tizedes törtek irracionális számok. d) A racionális és irracionális számok együtt a természetes számok halmazát alkotják. e) Ha egy pozitív egész számból gyököt vonunk, irracionális számot kapunk. a) Igaz, mert két egész hányadosai. b) Hamis. c) Igaz. d) Hamis, ezek a valós számok. e) Hamis, például: 9 = Számok és betûk

22 I/4. A racionális számokon túl, a négyzetgyök fogalma Válaszd ki azokat a számokat, amelyek valamely egész szám négyzetei! Számold ki, mely számok négyzetei! Vigyázz, több megoldás is létezik, hiszen pl.: 00 = 0 = ^-0h. 8; 6; 54; -49; 9; 0,5; 44; 8; 69; 8 8 = 9 = ]-9g 6 = 6 = ]-6g 9 = = ]-g 44 = = ]- g 69 = = ]- g 4 Számold ki a négyzetgyökök értékét! Vigyázz, ide csak pozitív számot írhatsz! a) 00 b) 49 c), d) 06, e) 00, f) 69, g) 4 h) a) 00 = 0 b) 49 = 7 c), =, d) 06, = 06, e) 00, = 0, f) 69, =, g) 4 9 = h) 5 Adott a négyzet területe. Határozd meg a négyzet oldalának hosszát és a kerületét! a) T = 49 cm b) T = 8 dm c) T =,69 m d) T = 6 mm 44 a) A négyzet oldala: 7 cm, kerülete 8 cm. b) A négyzet oldala: 9 dm, kerülete 6 dm. c) A négyzet oldala:, m, kerülete 5, m. d) A négyzet oldala: mm, kerülete mm. 6 Adottak a téglalap oldalai. III. Számold ki a téglalap területét! III. Add meg a vele egyező területű négyzet oldalának hosszát! III. Hasonlítsd össze a téglalap és a négyzet kerületét! a) a = 5 m, b = 0 m b) a = dm, b = 7 dm c) a = cm, b =, dm d) a = 4 cm, b = 6 cm a) Téglalap területe: 00 m, a vele egyenlő területű négyzet oldala 0 m. A téglalap kerülete 50 m, négyzet kerülete 40 m. A téglalap kerülete 0 méterrel hosszabb. b) Téglalap területe: 8 dm, a vele egyenlő területű négyzet oldala 9 dm. A téglalap kerülete 60 dm, négyzet kerülete 6 dm. A téglalap kerülete 4 deciméterrel hosszabb. c) Téglalap területe: 64 cm, a vele egyenlő területű négyzet oldala 8 cm. A téglalap kerülete 68 cm, négyzet kerülete cm. A téglalap kerülete 6 centiméterrel hosszabb. d) Téglalap területe: 44 cm, négyzet oldala cm. A téglalap kerülete 80 cm, négyzet kerülete 48 cm. A téglalap kerülete centiméterrel hosszabb. A négyzet kerülete mindig kisebb = 9 5 Számok és betûk

23 Számok négyzetgyöke I/5. Írd a füzetedbe a helyes állítások betűjelét! a) 44 = b) 00 = 0 c) 89 = d) 56 = 6 e) 65 = 5 f) 89 = 7 g) = 00 h) 6 = 9 a) 44 = d) 56 = 6 e) 65 = 5 f) 89 = 7 h) 6 = 9 Számold ki a felsorolt négyzetgyökök értékét! Használhatod a zsebszámológépedet! a) 06, b) 5, c) 96, d) 4 e) 4 f) 5 8 g) 9 49 h) a) 06, = 0, 4 b) 5, =, 5 c) 96, =, 4 d) 4 = 8 e) 4 = f) 5 8 = 5 g) = h) = 5 Az alábbiakban néhány kör területét adtuk meg cm -ben. Számold ki a kör sugarának és kerületének hosszát! a) T = 00 r b) T = r c) T = 5 r d) T = 89 r e) T = 44 r f) T = 6 r a) r = 0 K = 0 r b) r = K = r c) r = 5 K = 0 r d) r = 7 K = 4 r e) r = K = 4 r f) r = 9 K = 8 r 4 Kisebb, nagyobb vagy egyenlő? Tedd ki a megfelelő relációs jelet! A füzetedben dolgozz! a) 5 5 b) 0 c) 8 ` 9 j d) 6 4 e) 06, _-i f) 6 ` 4 j a) 5 = 5 b) 0 c) 8 = ` 9 j d) 6 4 e) 06, _-i f) 6 ` 4 j Számok és betûk

24 I/5. Számok négyzetgyöke 5 Számítsd ki az alábbi négyzetek területét és oldalának hosszúságát, ha egy négyzetrács oldalának hosszúsága egység! Az első négyzet területe 5 : =,5 egység, oldalának hossza.,54 egység. A második négyzet területe 5 - = egység, oldalának hossza.,6 egység. A harmadik négyzet területe 5-8 = 7 egység, oldalának hossza. 4, egység. 6 Egy négyzet területe 44 cm. a) Mekkora a négyzet oldala? b) Hányszorosára változik a területe, ha az oldalát a kétszeresére növeljük? c) Hányszorosára változik az oldalak hosszúsága, ha a területét az ötszörösére növeljük? d) Mekkora lesz annak a négyzetnek az oldala, amelynek területe feleakkora, mint az eredeti négyzet területe? a) cm. b) Négyszeresére nő. c) 5 -szörösére nő. d) 7 cm. 8,485 cm. 4 Számok és betûk

25 Hatványozás nemnegatív kitevő esetén I/6. Keresd meg a helyes válaszokat! Lehet, hogy egy feladatnál több helyes megoldást is találsz. Hány darab hármas kitevőjű hatványt találsz a felsoroltak között? 7 ; 7 ; 7 b 5 l ; 0,64 5 ; ; (-,) ; a) b) c) d) 4 e) egyet sem d) 4 darab Számold ki a 0 értékét! a) b) 0 c) 00 d) 5 e) 04 e) 04 Mennyi az alapja annak a hatványnak, melynek a kitevője, a hatványértéke 44? a) b) c) 7 d) 44 e) 0 76 b) 4 Mennyi a kitevője annak a hatványnak, melynek az alapja a- 5 k, a hatványértéke 6? 65 a) b) c) 4 d) 8 e) 6 c) 4 5 Mennyivel egyenlő a szorzat? a) 8 6+ b) 8 6 $ c) 8 9 d) 8 e) 8 6- a) és c) = Melyik egyenlő az b l hatvánnyal? a) 0,5 b) 7 c) a 7 k d) a 6 k e) 7 f) (-0,5)4 e) 7 Számok és betûk 5

26 I/6. Hatványozás nemnegatív kitevő esetén 7 Melyik osztás eredményeképp kaphatjuk meg a 4 hatványt? a) b) c) 4 d) c) és e) = 4 0 e) Válaszd ki a helyes állítást! a) = b) = c) 5 9 = d) = e) = 6 0 b) = 7 d) = e) = Válaszd ki, mennyivel egyenlő a ( ) hatvány! a) 5 b) 6 c) 6 d) e) 64 b) és e) 6 = 64 0 Válaszd ki a hamis állításokat! a) Minden szám nulladik hatványa önmaga. b) Azonos alapú hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy a közös alapot a kitevők szorzatára emeljük. c) Hatványt úgy hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők összegére emeljük. d) Azonos kitevőjű hatványokat úgy is összeszorozhatunk, hogy az alapok szorzatát a közös ki tevőre emeljük. e) Azonos kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapokat elosztjuk, és a kapott hányadost a kitevők hányadosára emeljük. a) HAMIS. Minden szám nulladik hatványa önmaga. Helyesen: Minden szám nulladik hatványa. (0 0 külön kérdés, mi nem értelmeztük, de szokták -nek tekinteni.) b) HAMIS. Azonos alapú hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy a közös alapot a kitevők szorzatára emeljük. Helyesen: Azonos alapú hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük. c) HAMIS. Hatványt úgy hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők összegére emeljük. Helyesen: Hatványt úgy hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük. 6 Számok és betûk

27 Hatványozás egész kitevővel I/7. Írd fel az alábbi hatványokat negatív kitevő használata nélkül! a) - b) - c) 0 - d) -4 e) (-4) - f) (-6) - - a) = -4 d) = 4 - b) = - e) ]- 4g = ] - 4g - c) 0 = = f) ]- 6g = - ] 6g Írd át az alábbi hatványokat tört nélküli alakban! Alkalmazd a negatív kitevőjű hatványokat! a) b) 4 5 c) 49 d) 0 4 e) 0,00 f) 0, a) 4 4 = - b) 5 5 = - c) 49 7 = = 49 d) = - e) 0, 00 = 0 = - f) 0, = Döntsd el, melyik egyenlőség igaz! 9 7 a) 8 4 ^-h 8 8 = b) = ^- h c) ^-h 0 88 = 0 d) = e) 5 ^-9h 5 5 = - f) 9 7 =- - ^-9h a) = 8 -. Igaz. b) Hamis. 88 c) =. Igaz. d) Hamis. Sőt a kifejezésnek nincs értelme, mert 0-val nem lehet osztani. e) 5 5 f) 0 ]-9g ]-9g = 5 -. Igaz. 7 5 =-9 -. Igaz. 5 Számok és betûk 7

28 I/7. Hatványozás egész kitevővel 4 Keresd meg az egyenlő kifejezéseket! a) 5 - b) -5 c) - d) 0-6 e) 4 - A) a) a D 5 b) b A c) c E d) d B 0 e) e C 4 B) = -5 = - = -6 = - = C) 64 D) 5 E) 5 Végezd el az alábbi műveleteket, majd állapítsd meg, melyik műveletsor eredménye kisebb, mint 0-6! a) b) c) d) e) f) a) 9 = 64 5 b) = 56 c) 7 7 d) 8 8 e) f) 0 0 = 8 = = = 6 = Számok és betûk

29 Hatványozás egész kitevővel I/7. 6 Írd át a megadott hatványokat negatív ki tevő használata nélkül, és számítsd ki a hatványok értékét! a) -4 b) 8 - c) -9 d) 6 - e) (-0) -5 f) (-) -7 g) 5 - h) (-5) - -4 a) = 4 = 8-9 c) = 9 = 5-5 e) ]- 0g = - 5 =- ] 0g b) 8 = = d) 6 = = f) ]- g = - 7 =- ] g 8 7 Válaszd ki, melyik felírás azonos a ^-4$ 7h 6 hatvánnyal! a) 4 6 $ 7 b) 4$ c) - 4 $ 7 d) 6 e) 8 6 f) ]- 4$ 7g = ]- 8g = 8, ezért az e)-vel egyenlő. 8 Hasonlítsd össze az alábbi kifejezéseket, és keresd meg a nagyobbat! Ha jól dolgoztál, a helyesen kiválasztott kifejezésekhez tartozó betűkből egy értelmes magyar szót tudsz kirakni. Melyik ez a szó? a) K 5-9 E b) A 4 48 E - a) K 5-9 E b) A 4 48 E - c) R 5 T 0 c) R 5 T 0 d) M -6 A 6 e) D 6 67 S 6-5 d) M -6 A 6 e) D 6 67 S 6-5 f) A 06 E 5 4 f) A 06 E 5 4 g) G ^-7h ^-7h 5 K (-) -8 g) G ^-7h ^-7h 5 K (-) -8 EERMDEK, az értelmes magyar szó: MEREDEK Számok és betûk 9

30 I/7. Hatványozás egész kitevővel 9 Válaszd ki a helyes állítást! 5 a) = a 7 k b) = a- 7 k c) e) = a 7 k f) = ^- h Igaz egyenlőség a d). 4 = 9 a 7 k d) = 9 a- 7 k Számold ki a hatványok értékét! a) a k b) - a k c) - - a 4 k d) a 4 k e) (0,) - f) (-0,) - g) (0,) - h) (0,) i) (0,5) -8 j) (0,5) k) (0,0) - l) (0,0) a) b l = 4 9 b) b l - = 9 4 c) b l - = 4 4 d) b l - = 6 4 e) 0, - = 000 f) (-0,) - = -000 g) 0, - = 5 h) 0, = 0, i) 05, 8 = b l = = 56 j) 05, = 8 k) 0,0 - = l) 0,0 = 0, Számok és betûk

31 Pozitív számok normálalakja I/8. Írd fel a következő számokat 0 hatványaként! a) b) c) d) a) 0 6 b) 0 0 c) 0-9 d) 0-4 Írd fel a következő számokat normálalakban! a) b) c) 0,00684 d) 0, a), b) 8, c), d) 7, 0-0 Írd át a normálalakban megadott számokat helyiértékes alakba! a) b) 6, 0 - c), 0-5 d) 4, a) = 0,05 b) 6, 0 - = 0,006 c), 0-5 = 0,0000 d) 4, = 0, Számítsd ki a műveleteket! Az eredményt normálalakban add meg! 5 7 a) ^46, $ 0 h$ ^05, $ 0 h; 8 ^46, $ 0 h$ ^05, $ 0 h; 9 - ^46, $ 0 h$ ^05, $ 0 h; 46, 0 - ^ $ h$ ^05, $ 0 h; -4-9 ^46, $ 0 h$ ^05, $ 0 h 9 4 b) ^4, 8$ 0 h: ^, 7$ 0 h; 7 ^4, 8$ 0 h: ^, 7$ 0 h; 5 - ^4, 8$ 0 h: ^, 7$ 0 h; - 4, ^ $ h: ^, 7$ 0 h; -8 ^4, 8$ 0 h: ^, 7$ 0 h a), 0, 0, 0 7, 0-6, 0 - b) Számok és betûk

32 I/8. Pozitív számok normálalakja 5 Egy fényév az a távolság, amelyet a fény légüres térben egy év alatt megtesz. Egy fényév körülbelül 946, $ 0 5 méter. A fényév meghatározásához hasonlóan beszélhetünk fény óráról, fénypercről és fénymásodpercről is; ahány métert a fény megtesz egy óra, egy perc, illetve egy másodperc alatt. a) Számold ki, hány métert tesz meg a fény egy óra alatt! b) A Nap Föld-távolság körülbelül 8, fényperc. Fejezd ki ezt a távolságot méterben is! c) A Föld Hold-távolság, fénymásodperc. Fejezd ki ezt a távolságot méterben is! A megadott adattal számolva: a) (9, ) : (65 4)., méter/óra (Ez nem a pontos érték, mivel a fényévnek sem a pontos értékét használtuk a számoláshoz. Pontosabban méter.) b) fényóra : 60 8,., méter. (Ez nem a pontos érték, mivel a fényévnek sem a pontos értékét használtuk a számoláshoz. Pontosabban, méter.) c) fényóra : 600,., méter. (Pontosabban, méter.) 6 Végezd el a műveleteket! Az eredményt normálalakban add meg! 5 a) ^, $ 0 h$ ^6, $ 0 h 8-5 b) ^4, $ 0 h$ ^5, $ 0 h -8 c) ^4, $ 0 h$ ^9, $ 0 h 6 d) ^78, $ 0 h: ^$ 0 h -5 e) ^0, 5$ 0 h: ^, 5$ 0 h -9-7 f) ^9, $ 0 h: ^, $ 0 h a), b), c) 7, d),6 0 e) f) Számok és betûk

33 Algebrai alapfogalmak I/9. Írd fel algebrai kifejezésekkel! a) x és y összegének az ötszöröse b) x és y különbségének a fele c) x és y szorzatának a négyszerese d) x és y hányadosának a háromszorosa e) x és y összegének a 5 4 része f) x háromszorosának és y négyszeresének az összege g) x kétszeresének és y hatszorosának a hányadosa h) az x-nél hárommal nagyobb szám kétszerese i) az y-nál öttel kisebb szám negyede j) x és y különbségének az abszolút értéke a) (x + y) 5 b) (x - y) : c) 4xy d) $ x y e) 4 4 _ x+ yi $ _ x + y i vagy 5 5 f) x + 4y g) x y h) (x + ) i) ^y - 5h vagy y j) x - y Fogalmazd meg szövegesen az alábbi algebrai kifejezéseket! a) a+ b b) ^a+ bh $ 7 c) a- 8b d) ab e) a + b f) a + b + a) Az a kétszeresének és b-nek az összege. b) A a és b számok összegének hétszerese. c) Az a háromszorosának és b nyolcszorosának különbsége. d) Az a és b szorzatának kétszerese. e) Az a harmadának és b háromszorosának összege. f) Az a-nál eggyel nagyobb, és a b-nél eggyel nagyobb számok hányadosa. Számok és betûk

34 I/9. Algebrai alapfogalmak Számítsd ki az alábbi kifejezések helyettesítési értékét! a) 5 ^ - xh, ha x = 4 b) 4xx ^ - 7h, ha x = c) x -, ha x =- d) x + x-, ha x =-, 8- x 6 a) -4 b) - c) -,56 = - 9 d) -4,6 5 4 Válaszd ki azokat az algebrai kifejezéseket, amelyek együtthatója 8! Számítsd ki a helyettesítési értéküket, ha a =- ; b =! a) 4 a b b) - 8ab c) 8a e) ^ a b h f) 4b a a) a4b = 8ab helyettesítési értéke -8; d) 8 = 8 $ helyettesítési értéke -8; ab ab e) (a b ) = 8 a b helyettesítési értéke 8; h) (a) = 4a = 8a helyettesítési értéke. d) 8 ab g) 8 ^ abh h) ^ ah 5 Számítsd ki az alábbi kifejezések helyettesítési értékét az a és b megadott értékeivel! I. 4a+ b+ a- 7a+ 9b+ a- b a) a = 5, ; b =-9, b) a =- ; b = 5 9 II. -^a- 5h+ 54 ^ -bh-^a- bh a) a = ; b =- b) a =- ; b = 5 III. ab ab ab 4 a) a = ; b =- b) a = ; b =- 6 4 Számok és betûk

35 Algebrai alapfogalmak I/9. Először célszerű összevonni az egyneműeket. I. 4a + b + a - 7a + 9b + a - b = -9a + 8b a) -4, b) 6 II. - (a - 5) + 5(4 - b) - (a - b) = - a b - a + 6b = 48-5a - 4b a) 4 b) 8 III. Sajnos most nem lehet összevonni. Ha akarunk kiemelhetünk, de nem érdemes. ab ab ab= abb - b+ 5 al 4 4 a) -,5 = - 67 b) a) A nyolcadik osztályba tanuló jár. A nyolcadikosok átlagsúlya x kg. November közepén érkezik az osztályukba Pista, aki 56 kg. Fejezd ki az így már főből álló osztály tanulóinak átlagsúlyát! b) Pankának hétvégére k órányi tanulnivalója volt. Szombat délelőtt megtanulta a harmadát, délután a maradék negyedét. Hány órányi tanulnivalója maradt Pankának vasárnapra? a) x + 56 kg b) k órányi 7 Gergő rengeteg fényképet készített az iskolai farsangon. Szeretné kiszámolni, hány mega byte helyet foglal, ha mindet feltölti a gépére. A fájl méretét a következő képlettel tudja meghatározni: x$ y$ Szm M =, ahol 8 $ 04 $ 04 M: a fájl mérete megabyte-ban, x: a kép szélessége, y: a kép hosszúsága, Szm: a kép színmélysége. (Ez a szám mutatja meg, hány bit határozza meg egy adott pont színét. Minél nagyobb a színmélység, annál szebb a kép, viszont annál nagyobb helyet foglal.) a) Mekkora méretű fájlt kap Gergő, ha 50 darab felbontású képet készített, melyek színmélységét 4 bitre állította? b) Hogyan változik a fájl mérete, ha a fel bontást ra csökkenti? c) Hogyan változik a fájl mérete, ha a színmélységet bitre állítja? a) 44,6 Megabyte b) 56,7 Megabyte c) 9,68 Megabyte Számok és betûk 5

36 I/0. Egytagú kifejezések szorzása Végezd el az alábbi műveleteket! a) a $ a b) b $ 5b c) c $ 4c $ 6c d) -7d $ ^-9h d e) e $ ^-5he $ ^-he a) a b) 0b c) 7c 9 d) 6d 9 e) 0e 6 Végezd el az alábbi műveleteket! 4 5 a) 5x $ 7y $ x$ y b) 8x $ ^-hy $ x $ ^-5hy c) 4x $ y $ _-x $ y i d) 4 x $ y $ 5x $ ^-6hy 5 e) 6x 5 x y 8 9 $ a $ x $ 4y ka 7 k a) 0x 4 y 9 b) 40x 6 y 9 c) -4x 6 y d) -x y e) 54x y Páros munka: Alkoss padtársadnak minél több algebrai kifejezést az alábbi számok és betűk felhasználásával! A különböző értékeket szorzással kapcsold össze! Oldjátok meg egymás feladatait, majd javítsátok is ki társatok megoldásait! ; ; ; 5; a; b Egyéni eredmények, megoldások. 4 Végezd el az alábbi műveleteket! Add meg a legegyszerűbb alakot! xy 4xy 4 4 a) $ b) x xy xy 0xy $ c) $ d) 5 5 4xy 6y 5x 6xy a) xy b) x y c) y y - x y = = d) 5 5 x 5x 5 9xy 4x 8xy $ 7y y = x 4x 4 y Számok és betûk

37 Egytagú kifejezések szorzása I/0. 5 Keresd meg, melyik feladathoz melyik megoldás tartozik! Írj feladatot a fel nem használt megoldáshoz! a) xy xy $ _ i $ x y 6 a 7 k A) 5 xy 4 9 b) xy xy 5 a- $ $ - 9 k a 6 k B) 5x y 6 c) x 0y $ C) 0 x y 8 5xy 9 d) 6xy 8 6y 5xy $ D) 7x 5 9xy 4y E) xy a) E) xy 7 0 b) C) x y 9 5 c) A) xy 4 9 d) B) 5x y D)-hez feladat, például: 4xy 4x 7 4 6x y xy $ $ 8 4xy xy 7 Számok és betûk 7

38 I/. Többtagú kifejezések szorzása, kiemelés Írd fel kétféleképpen az alábbi téglalapok területét! a) 4 b b) g h i c) a c d) e) 6 f f) m m n n k e p d q r a) a(4 + b) = 4a + ab b) (g + h + i) = g + h + i c) c(d + ) = cd + c d) k(m + n) = km + kn e) e(6 + f) = 6e + ef f) p(q + r + 4) = pq + pr + 4p A nyári szünetben az iskola egy részén kicserélik a járólapokat. a) Írd fel az alaprajz segítségével, melyik helyiségbe hány m járólap kerüljön! b) Írd fel szorzat alakban, hány m járólapra van szükség a felújítás során! Hányféle felírást találtál? a b c természettudományi informatikaterem 8. b terem d e folyosó tanári f g h 7. c 8. a nyelvi e labor szertár a) A területeket m -ben adtuk meg. 8.b osztályterem: 9 a természettudományi terem: 9 b informatika terem: 9 c folyosó: 6 (a + b + c - e) = 6 d tanári: 9 e 7.c osztályterem: 0 f 8.a osztályterem: 0 g nyelvi labor: 0 h szertár: 7 e b) Például: 5(a + b + c) + 5(d + e) 8 Számok és betûk

39 Többtagú kifejezések szorzása, kiemelés I/. Sok a cm élű kockánk van. Ezekből a kockákból téglatesteket építettünk. Írd fel a téglatestek felszínét és térfogatát! a) b) c) d) a) A = 6a V = 4a b) A = a V = 5a c) A = 0a V = 9a d) A = 8a V = 8a 4 Írd át szorzat alakba az alábbi összegeket! a) a+ b b) x- y c) ac + bc + dc d) bd - bg e) 4a+ 6ab- 0ac f) 8ab + ab a) (a + b) b) (x - y) c) c(a + b + d) d) b(d - g) e) a(7 + b - 5c) f) 4ab( + b) 5 Keresd az egyenlő algebrai kifejezéseket! Amelyiknek nincs párja, ahhoz írj te egyet! a) 7x^5-4yh b) 0xy- 4xy c) 6xy + y d) 5x^4- yh e) 6xy^y- xh f) 6x xy g) 4xy^5x- yh h) 0x- 5xy i) 4y^5x- h j) 5x- 8xy k) y^x+ h l) xy - 8xy a) j) 7x(5-4y) = 5x - 8xy b) g) 0x y - 4xy = 4xy(5x - y) c) k) y(x + ) = 6xy + y d) h) 5x(4 - y) = 0x - 5xy e) l) 6xy(y - x) = xy - 8x y Nincs párja: f) 6x + xy = x(x + y) i) 4y(5x - ) = 0xy - 8y Számok és betûk 9

40 I/. Többtagú kifejezések szorzása, kiemelés 6 Egyszerűsítsd az alábbi törteket! a) 5a + 5 b) 4 - b 0 5 c) d) ab + a e) 8ab + 0ab 4a 6ab f) a) 5a + 5 5] a + g = = a ] b b) - g = b ] c d c) - g = 4c- d 6e e a] b a d) + g = b+ a 4a 4 ab] 4a b e) + 5 g = 4a+ 5b 6ab a] b a f) - 5 g b 5a = - ab b c- 9d 6e ab - 55a ab 7 Igazold az a) és b) állításokat algebrai kifejezések felhasználásával! a) Ha egy 5-tel osztható számhoz egy 0-zel osztható számot adunk, akkor az összeg mindig osztható 5-tel. b) Ha egy 7-tel osztható számból elveszünk egy 8-cal osztható számot, akkor a különbség osztható 9-cel. a) 5k + 0l = 5(k + l) és ez a kifejezés 5-nek többszöröse, tehát osztható öttel. b) 7k - 8n = 9(k - n) lásd a) rész. 40 Számok és betûk

41 Többtagú kifejezések szorzata I/. Írd fel a téglalapok területét kétféleképpen! Vízszintes oldalak: Függőleges oldalak: a) a + b + b) 4 + x x + c) a + b c + d) a + b a + b e) a - b - a) (a + )(b + ) = ab + a + b + 6 b) (4 + x)(x + ) = 6x + x + 8 c) (a + b)(c + ) = ac + a + bc + b d) (a + b) = a +ab + b e) (a - )(b - ) = ab - a - b + 6 Szorozd össze az alábbi kifejezéseket! Ahol tudsz, végezz összevonásokat! a) ^a+ h^a+ h b) ^a- h^a+ h c) ^a+ h^a+ h d) ^a-h^a-h e) ^a- h^a+ h f) ^a+ bh^a + h g) ^a+ bh^a+ bh h) ^a-5bh^5a-bh i) ^a+ bh^a- bh j) ^ab-ab h^a -h a) a + a + b) a + a - 6 c) a + a + d) a - a + e) 4a - f) a + a + ab + b g) a + 4ab + 4b h) 0a - 9ab + 0b i) a + ab - b j) a b - a b - a b + ab Egy e oldalú négyzet egyik oldalát egységgel csökkentettük, a másik oldalát 5 egységgel növeltük. a) Szemléltesd egy ábrán a négyzet oldalhosszainak változását! b) Írd fel kétféleképpen az így nyert téglalap területét! a) b) (e - )(e + 5) = (e - ) e + (e - ) 5 (= e + e - 5) Számok és betûk 4

42 I/. Többtagú kifejezések szorzata 4 Az alábbi téglatestek a élű kockákból épültek. a) Írd fel a téglatestek felszínét és térfogatát! b) Rajzolj egy akkora téglatestet a füzetedbe, amelyik annyi kockából áll, mint az a) részben látható négy téglatest összesen! Írd fel a térfogatát kétféleképpen! a) A(kék) = a V(kék) = a a a = a A(citrom) = 94a V(citrom) = a 4a 5a = 60a A(piros) = 5a V(piros) = a a 4a = 4a V(zöld) = 6a V(zöld) = a a 5a = 0a b) V(össztérfogat) = 6a, például egy 6 7 élű kocka. 5 Alkoss a kifejezésekből négy darab hármas csoportot úgy, hogy egy csoportban két ki fejezés szorzata a harmadikat adja! a) ^x + h b) ^x - 4h c) ^ - xh d) 9x + x- 6 e) ^x - h f) x - 0x+ g) ^x - h h) ^x - h i) - x + x+ j) ^x + 4h k) 9x - l) ^x + h a) és g) szorzata k) (x + )(x - ) = 9x - b) és h) szorzata f) (x - 4)(x - ) = x - 0x + c) és j) szorzata i) ( - x)(x + 4) = -x + x + l) és e) szorzata d) (x + )(x - ) = 9x + x Számok és betûk

43 Összefoglalás I/. Adott az A és B halmaz. A = {4-nél kisebb, 5-tel nem osztható természetes számok} B = {6-nál nem nagyobb, -mal osztható pozitív egész számok} a) Ábrázold Venn-diagramon a két halmazt! b) Add meg az A + B halmazt az elemei felsorolásával! c) Hány elemű az A, B halmaz? a) b) A + B = {; 6; 9; } c) A, B = {; ; ; 4; 6; 7; 8; 9; ; ; ; 5} az A, B elemű. Legyen A = {trapézok}; B = {deltoidok}; C = {húrnégyszögek} halmaza. Határozd meg az alábbi halmazokat! a) A + B b) B + C c) A + C a) A + B = {rombuszok} b) B + C = {derékszögű deltoid} c) A + C = {húrtrapéz} Egy osztálykiránduláson mindenki kapott egy kétgombócos fagyit a kirándulásra beszedett osztálypénzből. A 5 fős osztályból -en kértek vaníliát, 7-en epret és 0-an se vaníliát, se epret nem kértek. a) Hányan kértek olyan fagyit, amelyik vaníliát vagy epret tartalmazott? b) Hányan kértek vanília-eper összetételű fagyit? a) 5-0 = 5-en kértek vaníliát vagy epres fagyit. b) Jelöljük x-szel a vanília-eper összetételű fagyit kérők számát x = 5 x = 4 4-en kértek vanília eper összetételű fagyit. Számok és betûk 4

44 I/. Összefoglalás 4 Egy iskolában 5-en tudnak úszni, korcsolyázni pedig 88 tanuló tud. 45-en úszni és korcsolyázni is tudnak. a) Hányan tudnak úszni, de korcsolyázni nem. b) Az iskola tanulói közül 4-en se korcsolyázni, se úszni nem tudnak. Hányan járnak az iskolába? a) 5-45 = 07 tanuló tud úszni, de nem tud korcsolyázni. b) Korcsolyázni vagy úszni = 95 tanuló tud, Az iskola létszáma = 7 fő. 5 Egy iskolai táborban zenefelismerő (audiokvíz), illetve filmfelismerő (videokvíz) vetélkedőt tartottak. Minden jó válaszért egy pont járt. A nyolcadikosok csapata 8 pontot, a hetedikesek csapata 6 pontot szerzett. Mindkét csapat 8 kérdésre adott jó választ. Hány kérdés volt a vetélkedőn? Csak azt tudjuk megmondani az adatok alapján, hogy legalább = 6 kérdés volt a vetélkedőn, hiszen ha egyik csapat sem tudta a választ, akkor egyik csapat sem kapott pontot. Akkor állíthatnánk csak, hogy 6 kérdés volt, ha tudnánk, hogy minden kérdést legalább az egyik csapat meg tudott válaszolni. 6 Végezd el az alábbi műveleteket! a) ^-4h@ b) ^-5h$ 6-^- 8h@ + ^-96h: ^-8h c) d) 6 + 9, e), : a - $ : 5, 4 k 5 D f) + : - $ a) 55 b) -8 c) 66,5 = d) 4,0 = 40 e) f) Számok és betûk

45 Összefoglalás I/. 7 Töltsd ki az alábbi keresztrejtvényt, és add meg a megfejtést! Dolgozz a füzetedben! I. I. Az első öt természetes szám. II. II. A -97 ellentettje. III. III (-57) IV. IV. V. V. Az első négy prímszám. VI. VI. Ennek a számnak a 7-szerese a VII. VII. Ahányadik hatványa a -nek a VIII. VIII. Az a szám, melynek a normálalakja IX., X. IX. A 4 szám értéke. 6 5 X. A $ d 7 n kifejezés értéke. A megoldáshoz kapcsolódik Szász Pál matematikus 95-ben írt verse is. Vajon hogyan? Nézz utána az interneten! Nem a régi s durva közelítés, Ha itt végezzük húsz jegyen. Mi szótól szóig így kijön De rendre kijő még tíz pontosan, Betűiket számlálva. Azt is bízvást ígérhetem. Ludolph eredménye már, IV. I. 0 4 II. 9 7 III V. 5 7 VI. 5 9 VII. VIII IX X. 4 Pí-versike, az internetről: A szavak betűszáma sorban a pi értékét adja meg 0 tizedesjegy pontossággal. (A kettős betűk kettőnek számítanak, a szóköz és az írásjelek semminek.) Vagyis:, Számok és betûk 45

46 I/. Összefoglalás 8 Melyik a nagyobb: a) 7 5 -nek a fele vagy 7 5 -nek az -szerese? b) a 0,5-nél 5 -dal nagyobb szám vagy a 5 -nek a harmada? 8 4 c) reciproka vagy 9 és 4 hányadosa? a) 5 -nek a fele = 5 -nek az -szerese. 7 7 b) 0,5-nél 5 -dal nagyobb szám: 8 4 a 5 -nek a harmada: c) reciproka: 7 és 4 hányadosa: Igaz-e, hogy két racionális szám a) összege; b) különbsége; c) szorzata d) hányadosa is racionális szám? Melyik esetben kell valamilyen kikötést tenned? Minden állítás igaz, a hányados esetén kell kikötést tenni, mert az osztó (a nevező) nem lehet 0. 0 Számold ki! Ha az eredmény nem egész szám, akkor kerekítsd két tizedes jegyre! a) b) c) d) 4 e) 9 f) 6 g) 5 h) 6 i) 8 j) k) l) 4 a) = b). 4, c). 7, d) 4 = e) 9 = f) 6 = 4 g) 5 = 5 h) 6 = 6 i) 8 = 9 j) = k) = l) 4 = 46 Számok és betûk

47 Összefoglalás I/. Számold ki! Ha az eredmény nem egész szám, akkor kerekítsd úgy, hogy három nem nulla tizedesjegy legyen a számban! a) b) 000 c) 00 d) 0 e) f) 0, g) 00, h) 0, 00 i) 0, 000 j) 0, 0000 a) = 00 b) 000., 6 c) 00 = 0 d) 0., 6 e) = f) 0,. 0, 6 g) 00, = 0, h) 0, 00. 0, 06 i) 0, 000 = 00, j) 0, , 006 Mekkora a kocka éle, ha a felszíne a) 96 cm ; b) 76 m ; c) 04 dm ; d),94 km ; e),5 m ; f) 0,06 mm? a) 4 cm; b) m; c) dm; d) 0,7 km; e),5 m; f) 0, mm. Írd fel az alábbi kifejezéseket egyetlen szám hatványaként! 4 7 a) 9 $ 9 b) a $ 5 k a 5 k c) 6 d) 5 8 : 5 7 a 6 7 k a 7 k e) ^8 0 h 5 f) ca k m g) 8 $ 9 h) a $ k a k i) 4 j) a) 9 b) f) b l 5 c) 6 8 d) 5 b l 8 g) 7 6 h) b 5 l 6 e) b l 5 i) 6 j) 6 4 Írd fel a felsorolt bolygók Naptól mért átlagos távolságát normálalakban! a) Föld: km b) Mars: km c) Vénusz: km d) Jupiter: km e) Neptunusz: km f) Plútó: km a) Föld: km =, km b) Mars: km =, km c) Vénusz: km =, km d) Jupiter: km = 7, km e) Neptunusz: km = 4, km f) Plútó: km = 5,9 0 9 km Számok és betûk 47

48 I/. Összefoglalás 5 Írd át tört alakba a megadott hatványokat, majd számítsd is ki az értéküket! Állítsd a számokat csökkenő sorrendbe! a) -6 b) 4 - c) (-5) - d) (-) -4 a) = 6 64 b) 4 = 64 c) ]- 5g (-5) - -6 = 4 - (-) -4 = 5 d) ]-g 4 = 8 6 Keresd meg a párokat! a) Az összegük 00 b), 0,9 48, 0, 59,6 48, 9,9 5,8 89,9 49,4 40,4 88,9 99, 5,9 90, 50,6 c) Szorzatuk d) ,5 0, Egyenlők Összegük 0-0,8 0,5 0,45 0,54 0,99 0-0,55 0,999 0,46 0,5 0,9-0, e) Egyenlők , , ,5 0 6, f) Egyenlők a (a + ) a - a + a a a (a + 8) a a + a (a - )(a - ) (a + )(a + ) (a - )(a + ) a + 4a + 4 a + 8a + 5 6a + 6a (a - )(a - ) (a + )(a + 5) a - 6a + 9 a - 48 Számok és betûk

49 Összefoglalás I/. a), + 88,9 = 00 0,9 + 99, 48, + 5,9 0, + 89,9 59,6 + 40,4 48, + 5,8 9,9 + 90, 49,4 + 50,6 d) ,9 = 0, ,5 + - vagy 0,5 + 0,5 0,45 + 0,55 0,54 + 0,46 0, ,5 + 0,5 vagy 0, , b) 00 = 0 5 = 5 64 = 6 6 = 6 4 = 8 8 = 5 0 = 04 = 0 e) = =,5 0 7,5 0 8 = =, = = = =,5 0 6 c) = vagy 0, ,5 vagy 5 0, f) aa ] + g= a + a a - a + = ] a - g] a - g a$ a = a a^a+ 8h= 6a+ 6a ] a+ g] a+ g= a + 4a+ 4 ] a- g] a+ g = a - a + 8a+ 5 = ^a+ h^a+ 5h ] a-g] a- g= a - 6a+ 9 7 Végezd el a műveleteket! Használd a számok normálalakját! Következtess az a) feladat eredményéből a többire! a) 0, ; b) 0, ; c) 0, ; d) 0, ; e) : 6 00; f) : 6; g) : ; h) : a) 0, = 47,8 b) 0, = 0,478 c) 0, = 0, d) 0, = e) : 6 00 = 5,6 f) : 6 = g) : = 0,006 h) : = 0,056 8 Egy kocka élének hossza a egység. Számold ki a felszínét és a térfogatát! Add meg az eredményeket normálalakban! a) a = 4, 0 7 b) a =,9 0-7 a) A =, területegység V = 7, térfogategység b) A = 9, területegység V = 6, térfogategység Számok és betûk 49

50 I/. Összefoglalás 9 Végezd el a felsorolt műveleteket, add meg a legegyszerűbb alakot, majd számítsd ki a ki fejezések helyettesítési értékét, ha x = és y =-! 4 a) 4x $ y $ 7x$ 5y b) 6x y 4 8y 9 8xy y 4 6 5xy xy $ $ $ x c) $ d) $ 4 7x 6xy 4x 0xy a) 80x y 7 = -5 b) 44x 4 y = -9 c) 9x 0 y 4 = 9 d),5x y = Egyszerűsítsd az alábbi kifejezéseket! a) 5a b) 4a- b 5ab 7 c) d) 9a+ ab e) 6a- a ab 0a - 8a f) a) b b) a - b c) d) + 4b e) - a f) b b 5a - 4 a a + 9 a + 0ab + 5b 0a 0a Igaz vagy hamis? Javítsd ki a hibásakat a füzetedben! a) ^a+ h^a+ h = a + a+ b) ^a+ h^- ah= 7a- a + 6 c) ^-ah^a- h =-4 - a d) ^a+ bh^a- bh= a - ab+ b e) ^e+ h^e- h = e - 9 f) ^f+ h^f+ h= f + g) x x x a + + = + x+ x ka k h) a + x x, x k] + g = a) Helyesen: (a + )(a + ) = a + a + b) Igaz: (a + )( - a) = 7a - a + 6 c) Helyesen: ( - a)(a - ) = -4 - a + 4a d) Helyesen: (a + b)(a - b) = a + ab + b e) Igaz: (e + )(e - ) = e - 9 f) Helyesen: (f + )(f + ) = f + f + g) Helyesen: x x b + lb + l= + x+ x 4 h) Igaz: c + x m] x x, x + g = Számok és betûk

51

52 II/. Egybevágósági transzformációk Egybevágók-e a képen látható síkidomok? A B Igen, egybevágók! Ez másolópapírral ellenőrizhető. Válogasd ki a tükrös háromszögpárokat! A B C D E F G H Az A és C középpontosan tükrös. A B és D középpontosan tükrös. Az F és G tengelyesen tükrös. Rajzolj vonalzóval egy négyszöget a füzetedbe! Válaszd ki az egyik oldalát tengelynek, az egyik csúcsát középpontnak. Szerkeszd meg a négyszög tengelyes és középpontos tükörképét! 5 Geometriai transzformációk

53 Egybevágósági transzformációk II/. 4 Ábrázold koordináta-rendszerben az A(-; -), B(4; ), C(; 4), D(-; ) koordinátákkal megadott négyszöget! Add meg az ABCD négyszög a) x tengelyre vett AlBlClDl tükörképét; b) y tengelyre vett AmBmCmDm tükörképét! a) Al(-; ), Bl(4; -), Cl(; -4), Dl(-; -). b) Am(; -), Bm(-4; ), Cm(-; 4), Dm(; ). 5 Használd az előző feladat pontjait! Milyen négyszög a) a BCClBl; b) a CDmDCm; c) az ABCBm? a) húrtrapéz b) Téglalap c) Trapéz (szimmetrikus trapéz) (CB párhuzamos ABm) Geometriai transzformációk 5

54 II/. Egybevágósági transzformációk 6 Ábrázold koordináta-rendszerben a P(; -), Q(5; ), R(-; 4), S(-; 0) koordinátákkal megadott négyszöget! Add meg a PQRS négyszög a) origóra vett PlQlRlSl tükörképét; b) K(; ) pontra vett PmQmRmSm tükörképét! a) Pl(-; ), Ql(-5; -), Rl(; -4), Sl(; 0). b) Pm(; 5), Qm(-; ), Rm(5; -), Sm(7; ). 7 Használd az előző feladat pontjait! Milyen négyszög a) a PQPlQl; b) az SQSmQm; c) a KQSmPm? a) b) Paralelogramma. Paralelogramma. 54 Geometriai transzformációk

55 Egybevágósági transzformációk II/. c) Általános négyszög. 8 Az első ábrán látható ABC és AlBlCl háromszög tengelyesen tükrös, a második ábrán középpontosan tükrös. a) Add meg a tükörtengely és a koordináta-rendszer tengelyeinek metszéspontját! b) Add meg a középpontos tükrözés középpontjának koordinátáit! y C y A B C 0 x B B A C 0 A x A a) Az x tengelyen: (-; 0), az y tengelyen: (0; ). b) (-; -) C B Geometriai transzformációk 55

56 II/. Vektorok Rajzolj a füzetedbe két-két vektort, amelyek a) egyenlő hosszúak, de nem egyenlők; b) párhuzamosak és nem egyenlők; c) párhuzamosak, egyenlő hosszúak, de nem egyenlők; d) egyenlők! a) b) c) d) Rajzolj a füzetedbe két tetszőleges a és b vektort! Szerkeszd meg a következő vektorokat: a) a + b; b) a - b; c) b - a; d) a; e) -b; f) a - b! a) b) c) d) e) f) 56 Geometriai transzformációk

57 Vektorok II/. Rajzold meg koordináta-rendszerben a PQ -t, ha P(; ), Q(4; 6)! Hol van a PQ -val egyenlő vektor a) B végpontja, ha kezdőpontja A(-; ); b) C kezdőpontja, ha végpontja D(4; )? a) B(-; 4); b) C(; -). 4 Rajzold meg koordináta-rendszerben az AB -t, ha A(; ), B(-; 4)! Hol van az AB ellentett vektorának a) P végpontja, ha kezdőpontja Q(-4; ); b) R kezdőpontja, ha végpontja S(; -)? a) P(0; ); b) R(-; ). 5 Írj összefüggéseket a megadott vektorok között az ábra alapján! F E D AB + AF = AE ; AE + AB = AD ; AE =- DB ; AF + AB = AD AB - AF = FB. A B C Geometriai transzformációk 57

58 II/. Vektorok 6 Rajzolj egy ABCD paralelogrammát! Igaz-e, hogy a) AD = AB + BC + CD ; b) AC = AB + BD + DC ; c) AB = AD + DB + CB ; d) AC + DB = AB? a) Igaz. b) Igaz. c) Hamis. d) Igaz. 58 Geometriai transzformációk

59 Eltolás II/. Rajzolj egy ABC háromszöget a füzetedbe! Told el a háromszöget úgy, hogy az eltolás vektorát szemléltető irányított szakasz legyen a) AB ; b) BA ; c) $ AB ; d) $ AB! a) b) c) d) Geometriai transzformációk 59

60 II/. Eltolás Rajzolj egy ABCD paralelogrammát a füzetedbe! Az átlók metszéspontja legyen K. Told el a paralelogrammát úgy, hogy az eltolás vektorát az alábbi irányított szakaszok szemléltessék: a) AB ; b) AC ; c) AK ; d) KB! a) b) c) d) Rajzolj egy szakaszt és egy rá nem illeszkedő pontot! Told el a szakaszt úgy, hogy a felezőpontja az adott pontba kerüljön! 4 Adva van az ABCD paralelogramma C és D csúcsa. Az A csúcsa az a, a B csúcsa a b fél egyenesre illeszkedik. Szerkeszd meg a pa ra lelogrammát! a D C b Az eltolás után a D pont Dl képe az a egyenesre, a C pont Cl képe a b egyenesre kellene, hogy kerüljön. Szerkesszünk a D ponton át a-val, a C ponton át b-vel egy-egy párhuzamos egyenest. Ezek metszéspontja legyen M. Az a és b egyenesek metszéspontját jelöljük E-vel. Az ME segítségével mindent a helyére tolhatunk, ahogyan ezt az ábra is mutatja: Dl = A és Cl = B. 60 Geometriai transzformációk

61 Eltolás II/. 5 Egy trapéz párhuzamos oldalainak hossza 0 cm és cm, szárainak hossza pedig 6,5 cm és 7,5 cm. Szerkeszd meg a trapézt! Ha a trapéz BC szárát eltoljuk a CD -ral (ahol D = Cl), akkor kapjuk az ABlCl háromszöget, amelynek mindhárom oldalhosszát ismerjük, tehát egyértelműen megszerkeszthető. (ACl = 6,5 cm, ClBl = CB = 7,5 cm, ABl = AB - = 0 - = 7 cm.) Ezután a DC segítségével megkapjuk a trapéz B és C csúcsait is. 6 Az ABCDEF szabályos hatszög közép pontja legyen K, a területe pedig 747 cm. Told el a hatszöget az AK -val! a) Milyen síkidom lesz az eredeti és a képként kapott hatszög közös része? b) Mekkora a közös rész területe? c) Mekkora a két hatszög egyesítésével kapott síkidom területe? a) Rombusz. b) 747 : = 49 (cm ). c) = 45 (cm ). Geometriai transzformációk 6

62 II/. Eltolás 7 Készíts mintát eltolással a füzetedben lévő négyzethálóra a megadott minták segítségével! a) b) a) b) 8 Készíts mintát a füzetedben lévő négyzethálóra a két különböző színű csempe felhasználásával! A minta eltolás segítségével alakuljon ki! Az ábrádon jelöld az eltolás vektorát! 6 Geometriai transzformációk

63 Eltolás II/. 9 Az ABC, az AlBlCl és az AmBmCm háromszögek egymás eltoltjai. B C A B y A K A 0 C x B C a) Add meg annak a K kezdőpontú vektornak a P végpontját, amely az ABC háromszöget az AlBlCl háromszögbe tolja! b) Add meg annak a K végpontú vektornak a Q kezdőpontját, amely az AmBmCm háromszöget az ABC háromszögbe tolja! a) P(6; 4). b) Q(7; 0). Geometriai transzformációk 6

64 II/4. Forgassuk el! Rajzolj a füzetedbe egy négyzetet! Forgasd el 90 -kal az egyik oldalának felezőpontja körül! Milyen síkidom lesz az eredeti és a képként kapott négyzet közös része? A két négyzet közös része is egy négyzet lesz. Rajzolj a füzetedbe egy rombuszt! Forgasd el az átlók metszéspontja körül -90 -kal! Milyen síkidom lesz az eredeti és a képként kapott rombusz közös része? A két rombusz közös része egy nyolcszög lesz. 64 Geometriai transzformációk

65 Forgassuk el! II/4. Egy rombuszt az átlóinak metszéspontja körül 90 -kal elforgattak. Az eredeti és a képként kapott rombusz közös része szabályos nyolcszög lett. Mekkorák az eredeti rombusz szögei? A szabályos nyolcszög belső szöge 5 -os, ezért az eredeti rombusz szögei 5 és 45 nagyságúak. 4 Add meg azokat a 0 és 60 közé eső szögeket, amelyekkel egy szabályos a) hatszöget; b) nyolcszöget a középpontja körül elforgatva az eredeti és a képként kapott sokszögek egybeesnek! a) 60 ; 0 ; 80 ; 40 ; 00. b) 45 ; 90 ; 5 ; 80 ; 5 ; 70 ; 5. 5 Rajzolj egy kört a füzetedbe! Forgasd el ezt a kört a körvonal valamely K pontja körül 60 -kal, 0 kal, -60 -kal és -0 -kal is! Végezetül tükrözd az eredeti kört a K pontra! Vizsgáld meg az így kapott ábrát! Tengelyesen szimmetrikus? Középpontosan szimmetrikus? Forgásszimetrikus? Az ábra tengelyesen szimmetrikus (OO 5, O O 4 és O O tengelyekre, illetve a szemközti körök közös K pontra illeszkedő érintőire), középpontosan szimmetrikus (K pontra) és forgásszimmetrikus (K pontra, 60 ; 0 ; 80 ; 40 ; 00 ). Geometriai transzformációk 65

66 II/5. Középpontos hasonlóság Rajzolj egy négyszöget a füzetedbe! a) Nagyítsd az egyik csúcsából a kétszeresére! b) Kicsinyítsd a felére az egyik oldal felezőpontjából! a) b) Rajzolj egy kört a füzetedbe! a) Nagyítsd a körvonalat az egyik pontjából a háromszorosára! b) Kicsinyítsd a felére a középpontjából! a) b) 66 Geometriai transzformációk

67 Középpontos hasonlóság II/5. Válaszd ki azokat a háromszögpárokat, amelyek középpontosan hasonlók! Középpontosan hasonló háromszögek: kék-lila, piros-zöld, narancssárga-zöld. A kék-lila középpontosan tükrösek, vagyis - arányú középpontos hasonlóság van közöttük. 4 Rajzolj a füzetedbe két pontot! Az egyik legyen A, a másik pedig Al. Szerkeszd meg az O középpontot, ha a középpontos hasonlóság aránya a) m = ; b) m =- ; c) m = ; d) m = 4! a) b) c) d) Geometriai transzformációk 67

68 II/5. Középpontos hasonlóság 5 Rajzolj egy háromszöget és a) nagyítsd az egyik csúcsából -szeresére; b) nagyítsd egy belső pontjából --szorosára; c) kicsinyítsd egy külső pontjából -szeresére; 4 d) kicsinyítsd egy oldal felezőpontjából a - -szeresére! 4 a) b) c) d) 68 Geometriai transzformációk

69 Középpontos hasonlóság II/5. 6 Nagyítsd az origóból a kétszeresére az A(; ), B(; ), C(4; ), D(; -) csúcsokkal megadott négyszöget! Add meg a képként kapott négyszög csúcsainak koordinátáit! A képként kapott négyszög csúcsainak koordinátái: Al(; 4), Bl(4; 6), Cl(8; ), Dl(4; -). 7 Az A(; ), B(; ), C(; 5), D(7; 5) csúcsokkal megadott négyszöget középpontosan kicsinyítettük egy negatív aránnyal. Tudjuk, hogy Al(-; -), Bl(-; -). Add meg a középpont és a hiányzó képpontok koordinátáit! A középpont koordinátái: K(-; -). A hiányzó képpontok koordinátái: Cl(-; -4), Dl(-5; -4). Geometriai transzformációk 69

70 II/5. Középpontos hasonlóság 8 Keresd meg az ábrán a két középpontosan hasonló háromszöget! Add meg a középpontos hasonlóság középpontjának koordinátáit! Add meg a középpontos hasonlóság arányát! y 0 x A piros és a zöld háromszög középpontosan hasonló. A középpont: (; ). m = - vagy m = -. 9 Rajzold meg az ábrát a füzetedben is! a) Rajzold meg az ABC háromszög K középpontra vonatkozó 4 arányú képét! Add meg az így kapott AlBlCl háromszög csúcsainak koordinátáit! b) Rajzold meg a PQR háromszög K középpontra vonatkozó - arányú képét! Add meg az így kapott PlQlRl háromszög csúcsainak koordinátáit! c) Milyen kapcsolat van az ABC és a PQR három szögek között? a) Al(; 5), Bl(5; 5), Cl(; ). b) Pl(-4; ), Ql(-5; ), Rl(-4; ). c) Egymás eltoltjai. K y A C B 0 x P Q R 70 Geometriai transzformációk

71 Szerkesztések II/6. Kicsinyítsd a KLMN téglalapot a K középpontból úgy, hogy az M csúcsa a KM szakasz egy előre adott, tetszőleges pontja legyen! Adott az ABCD trapéz. Tudjuk, hogy egy középpontos hasonlóság az AB szakaszt a CD szakaszba transzformálja. Szerkeszd meg egy tetszőleges E pont képét! Szerkeszd meg egy tetszőleges AB szakasz képét, ha adott a középpontos hasonlóság K középpontja és a) m = 4; b) m = ; c) m = 8; d) m = 5 ; 4 8 e) m =- 4; f) m =- ; g) m =- 8; h) m =- 5! 4 8 a) b) Geometriai transzformációk 7

72 II/6. Szerkesztések c) d) e) f) g) h) 7 Geometriai transzformációk

73 Szerkesztések II/6. 4 Szerkeszd meg egy tetszőleges ABC háromszög képét, ha adott a középpontos hasonlóság K középpontja és a) m = ; b) m = ; c) m = 8 ; d) m =- ; e) m = ; f) m = 4 ; g) m = 9 ; h) m =- 5! a) b) c) d) e) f) Geometriai transzformációk 7

74 II/6. Szerkesztések g) h) 5 Az adott AB szakaszt vágd két részre egy C ponttal úgy, hogy a) AC : CB = : 5; b) AC : CB = 5 : ; c) AC : CB = 4 : 5; d) AC : CB = : 7! a) b) c) d) 6 Az adott AB szakasz B ponton túli meghosszabbításán szerkeszd meg azt a D pontot, amelyre a) AD : DB = 4 : ; b) AD : DB = 5 : ; c) AD : DB = 6 : ; d) AD : DB = 8 :! a) b) 74 Geometriai transzformációk

75 Szerkesztések II/6. c) d) 7 Egy oszlop teljes hosszán óra alatt mászik végig egy csiga. Szerkesztéssel jelöld be a tartózkodási helyét 8 perc, perc és 40 perc mászás után! C = 8 perc; D = perc; E = 40 perc 8 Képzeld el, hogy az ABCD négyzet kerületén egy cérna fut körbe. Az A csúcsot rögzítettük. Ezek után a cérnából létrehozzuk a négyzettel azonos kerületű AEF szabályos háromszöget. Szerkesztéssel jelöld a négyzet ábráján, hogy a cérna mely pontjai adják majd a háromszög csúcsait! Szerkesztés menete: a négyzet AB oldalát négyszer egymás mellé másoljuk, mintha kifeszítenénk a cérnát egyenesre, ez az AK szakasz. Az AS félegyenes segítségével megszerkesztjük a harmadát, az AH szakaszt. Megszerkesztjük az E pontot (a H pontot a B pont körül 90 fokkal forgatjuk), ezután az E pontnak a C pont körüli -90 fokos forgatásával az F pontot is megkapjuk. Ezek után a cérna E és F pontját megfogva, kifeszítjük az AEF szabályos háromszöget. Az A csúcs a helyén marad. Geometriai transzformációk 75

76 II/7. Hasonlóság Rajzolj egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget, és felezd el az átfogóhoz tartozó magasság mentén! Mutasd meg, hogy az így kapott háromszögek hasonlók az eredetihez! CATB = CBTB = 45, mert az ABC háromszög egyenlő szárú derékszögű. CTAB = CTBB = 90, mert a háromszög magassága merőleges a szemközti oldalra. Vagyis CAT és CBT is egyenlő szárú derékszögű háromszög. Ezért: CATi + ABCi és CBTi + ABCi. Rajzolj egy derékszögű háromszöget! Rajzold meg az átfogóhoz tartozó magasságot! Mutasd meg, hogy az így kapott háromszögek és az eredeti háromszög hasonló! a és b pótszögek. CTBB = 90, mert a háromszög magassága merőleges a szemközti oldalra, azaz ACBB = CTBB = 90. TCBB = a, mert a TCB háromszögben a b szög pótszöge, tehát TCBB = TACB = a. Vagyis CBTi + ABCi. Ugyanígy megmutatható, hogy ACTi + ABCi. 76 Geometriai transzformációk

77 Hasonlóság II/7. Számítsd ki a hiányzó szakaszok hosszát! a) C 0 cm A C cm B 5 cm 0,5 cm B b) C 6 cm 5 cm A 9 cm B C cm ABCi + ABlCli, ezért a megfelelő oldalaik aránya egyenlő. a) AB : ABl = BC : BlCl, innen BC = 9. AB : ABl = AC : ACl, innen ACl =,5 és CCl = ACl - 0 =,5-0 =,5. b) BlCl : BC = ACl : AC, innen BlCl =,5. AB : (AB + BBl) = AC : ACl, innen AB = 8. 4 Egy zöld háromszög oldalainak aránya 6 : 6 :. Egy hozzá hasonló piros háromszög kerülete 85, cm. Mekkora a piros háromszög oldalainak hossza? 85, = 6x + 6x + x, innen x =,4 cm. 6x = 6,4 = 74,4 (cm) és x =,4 = 6,4 (cm). A piros háromszög oldalainak hossza 74,4 cm, 74,4 cm és 6,4 cm. 5 Egy térképen az : arányszámot látjuk. Ez azt jelenti, hogy ami a térképen cm, az a valóságban cm. Ezen a térképen Miskolc és Nyíregyháza,9 cm-re, Nyíregyháza és Debrecen,9 cm-re, Debrecen és Miskolc pedig,6 cm-re van egymástól. Határozd meg a vá rosok egymástól való távolságát légvonalban! Miskolc és Nyíregyháza távolsága:, , azaz cm = 7,5 km. Nyíregyháza és Debrecen távolsága:, , azaz cm = 47,5 km. Debrecen és Miskolc távolsága:, , azaz cm = 90 km. 6 Két település távolsága légvonalban 45 km, de a térképen csak,9 cm. Add meg a térkép léptékét! Számoljuk ki, hogy a két település valós távolsága hányszorosa a térképen mért távolságának: :,9 = Tehát a térkép léptéke (arányszáma): : B Geometriai transzformációk 77

78 II/7. Hasonlóság 7 Egy háromszögben az oldalhosszak: cm, 6 cm, 4 cm. Képzeld el azt a hozzá hasonló három szöget, amelyben a leghosszabb és a legrövidebb oldal hossza közötti eltérés 9,9 cm! Mekkora ennek a háromszögnek a középső oldala? A háromszögek oldalainak aránya : 6 : 4, a leghosszabb és a legrövidebb oldaluk különbsége pedig úgy aránylik a középső oldalukhoz, mint (4 - ) : 6 = : 6. Az eredeti és a hasonló háromszögben ez az aránypár : 6 = 9,9 : x. Innen x = 6,8 cm. 8 Melyik igaz, melyik hamis? a) Két különböző négyzet mindig hasonló. b) Két különböző téglalap mindig hasonló. c) Két különböző paralelogramma mindig hasonló. d) Két különböző félkör mindig hasonló. e) Két különböző negyedkör mindig hasonló. f) Két különböző körcikk mindig hasonló. g) Két különböző szabályos hatszög mindig hasonló. a) Igaz. b) Hamis. c) Hamis. d) Igaz. e) Igaz. f) Hamis. g) Igaz. 9 Két négyzet hasonlóságának aránya 4. Egy-egy oldaluk hosszának összege 66,5 m. a) Milyen hosszúak az oldalak? b) Add meg a két négyzet kerületének arányát! Milyen viszonyban van ez az arány a hasonlóság arányával? c) Mekkora a négyzetek területe? d) Add meg a két négyzet területének arányát! Milyen viszonyban van ez az arány a hasonlóság arányával? a) x + 4x = 66,5 innen x = 9,5. A két négyzet oldalának hossza 9,5 = 8,5 (cm) és 4 9,5 = 8 (cm). b) A két négyzet kerülete 4 cm és 5 cm. A kerületek aránya: 4 : 5 = : 4. Ez az arány egyenlő a hasonlóság arányával. c) A két négyzet területe: 8,5 = 8,5 (cm ) és 8 = 444 cm. d) A területek aránya: 8,5 : 444 = 9 : 6 = : 4. Ez az arány a hasonlóság arányának a négyzete. 78 Geometriai transzformációk

79 Hasonlóság II/7. 0 Olvasd el a lecke végén lévő Tudtad? részt, majd a szöveg alapján oldd meg a következő feladatokat! a) Add meg az A-as papír méreteit milliméter pontossággal! b) Mekkora a területe az A5-ös papírnak? c) Hányad részét adja az A0-s papírnak egy A-es és egy A-as papírlap együtt? d) Melyik két különböző méretű lap területe lesz összesen 875 cm? e) Vágd a megkezdett módon darabra a szöveg mellett látható ábrát! Milyen méretű papírból lesz két darab? a) Az A-as papír méreteit a tankönyv ábrája alapján, az A0-s papír méreteiből számoljuk ki. Az A-as papír hosszabbik oldala az A0-s papír rövidebb oldalának a fele, azaz 84 : = 40,5. 4 (mm). (A szabványban ezt 40 mm-nek veszik.) Az A-as papír rövidebb oldala az A0-s papír hosszabb oldalának a negyede, azaz 89 : 4 = 97,5. 97 (mm). b) Az A5-ös papírt az A0-s ötszöri félbehajtásával kapjuk, amelynek területe m. : : : : : = : = 0,05 (m ), azaz,5 cm. c) Az 8 5 részét. d) A területek sorban: A0-ás cm, A-es cm, A-es 500 cm, A-as 50 cm, A4-es 65 cm. Vagyis egy A-as és egy A4-es lap területe együtt 875 cm. e) Az A0-esből. Geometriai transzformációk 79

80 II/8. Összefoglalás Adott a tükrözés tengelye. A sík mely egyenesei esnek egybe a tengelyes tükörképükkel? Azok, amelyek merőlegesek a tükrözés tengelyére, illetve maga a tengely. Nevezz meg olyan síkbeli alakzatokat, amelyeknek végtelen sok szimmetriatengelye van! Kör, egyenes, félsík. Húzz egy egyenest a paralelogramma átlói nak metszéspontján át! Mutasd meg, hogy ez az egyenes a paralelogrammát két egybevágó síkidomra vágja!. eset: az egyenes az egyik átló Ekkor a két síkidom két háromszög lesz, melyeknek három oldala páronként egyenlő hosszú, az egyik maga az átló, a másik két pár a paralelogramma szemközti oldalai. Ezért a két háromszög egybevágó.. eset: az egyenes nem átló Ekkor a két síkidom két trapéz. Az egyik trapéz négy csúcsát a K pontra tükrözve a másik trapézt kapjuk, így a két síkidom valóban egybevágó. 4 Az ABCDE szabályos ötszög AB oldalát milyen forgatás viszi a CD oldalba? Az ötszög középpontja körüli 44 -os, vagy -6 -os forgatás, illetve az AB és DC egyenesek metszéspontja körüli -6 -os, vagy 4 -os forgatás. 80 Geometriai transzformációk

81 Összefoglalás II/8. 5 Az ABCD húrtrapéz egyik szárát forgatással a másik szárba akarjuk transzformálni. a) Hol lesz a forgatás középpontja? b) Mekkora lehet a forgatás szöge, ha a trapéz egyik szöge 70? a) A trapéz köré írható körének a középpontjában, vagy a szárak metszéspontjában. b) A kör középpontjából nézve a forgatás szöge az AKCB. Tudjuk, hogy AK = BK = CK = DK a kör sugara, és a trapéz szimmetriája miatt AKDi, BKCi, egyenlő szárúak, és KADB = KDAB = = KCBB = KBCB = a. AKDB = 80 - a, a háromszög szögeinek összege miatt. KDCB = KCDB = 0 - a, mert a trapéz tompaszögei 0 -osak. DKCB = 80 - (0 - a) = a, a háromszög szögeinek összege miatt. A keresett AKCB = AKDB + DKCB = = 80 - a a = 40. A szárak metszéspontjából nézve a forgatás szöge 40. Geometriai transzformációk 8

82 II/8. Összefoglalás 6 Egy egyenlő szárú háromszögnek van 0 -os szöge. Milyen forgatással lehetne az egyik szárát a másikba transzformálni? Két eset van. I. eset: Ha a háromszög szögei 0, 75, 75, ekkor a forgatás középpontja a szárak metszéspontja, a forgatás szöge 0 (vagy -0 ). II. eset: Ha a háromszög szögei 0, 0, 0, ekkor a forgatás középpontja a szárak metszéspontja, a forgatás szöge 0 (vagy -0 ). 7 Rajzolj egy AB szakaszt! Oszd fel olyan részekre, amelyek aránya a) : 5; b) : ; c),5 : 8; d) :,5! a) b) c) d) 8 Geometriai transzformációk

83 Összefoglalás II/8. 8 Legyen adott az ABCD négyszög AB oldalának B-n túli meghosszabbításán egy Bl pont. Rajzold meg az ABCD négyszög A középpontú nagyított képét úgy, hogy a B képe Bl legyen! 9 Az előző feladat jelöléseit használva legyen az ABCD négyszög kerülete 6 cm, az AB oldal 8 cm, az AlBl oldal pedig 0, cm hosszú. Mekkora az AlBlClDl négyszög kerülete? A két négyzet hasonlósága miatt a kerületek aránya megegyezik a megfelelő oldalak arányával. K AlBlClDl : K ABCD = AlBl : AB; K AlBlClDl : 6 = 0, : 8; innen: K AlBlClDl =,5 cm. 0 Legyen adott az ABCD trapéz AB alapján egy Bl pont. Kicsinyítsd a trapézt az A csúcsából úgy, hogy a B képe Bl legyen! Milyen négyszög a BlBDDl négyszög? A középpontos hasonlóság tulajdonságai miatt DB DlBl, ezért a BlBDDl négyszög trapéz. Geometriai transzformációk 8

84 II/8. Összefoglalás Adott egy deltoid és egy téglalap. Szerkessz az adott deltoiddal hasonló deltoidot úgy, hogy kerülete az adott téglalap kerületével legyen egyenlő! Egy szög egyik szárára felmérjük az adott téglalap oldalait sorban egymás után, vagyis ezen a száron megkapjuk a téglalap kerületével azonos hosszúságú szakaszt. A szög másik szárára felmérjük az adott deltoid oldalaival egyenlő hosszúságú szakaszokat, majd az előző feladatban látott módon megkapjuk az új deltoid oldalhosszait. Ekkor a szerkesztés már kivitelezhető! Egy tervrajzon a méter hosszú folyosót a mérnök 7, cm-nek, szélességét pedig,5 cm-nek rajzolta. Milyen széles a folyosó? A tervrajzon és a valóságban lévő folyosó két hasonló téglalapnak tekinthető, ezért megfelelő oldalaik aránya egyenlő. Legyen a folyosó szélessége x, ekkor : 7, = x :,5. Innen x =,5 m. Vagyis a folyosó,5 méter széles. Egy hatszög oldalainak hossza: cm,,4 cm, cm,,8 cm,,5 cm, 5, cm. A hozzá hasonló hatszög leghosszabb oldala,4 cm. Mekkora ennek a hatszögnek a kerülete? A hatszög kerülete k = +,4 + +,8 +,5 + 5, = 8,9 cm. A hasonlóság tulajdonsága miatt kl : 8,9 =,4 : 5,. Innen kl = 85,05 cm. Vagyis a hasonló hatszög kerülete 85,05 cm. 4 Egy téglalapot az egyik középvonala az eredetihez hasonló két téglalapra vág. Határozd meg a két oldal arányát az eredeti téglalapban! A középvonal miatt al = b és bl = a. Helyettesítsünk be a hasonlóság arányába: a : b = al : bl a : b = b : a a = b a : b = : a : b = : Vagyis az eredeti téglalapban a két oldal aránya :. 84 Geometriai transzformációk

85 Összefoglalás II/8. 5 Rajzolj cm-es oldalhosszal egy négyzetet és mellé egy cm-es átmérőjű kört. Add meg azt a vektort, amivel úgy tolhatod el a kört, hogy a középpontja a négyzet átlóinak metszéspontjába kerül! Végezd el az eltolást! Az eltolás vektora: EF. 6 Egy paralelogramma kerülete 4 cm, a rövidebb oldalának a hossza 8 cm. Milyen hosszú annak az eltolásnak a vektora, amelyik az egyik rövid oldalt a másikba tolja? A paralelogramma másik oldalának hosszával egyenlő, azaz cm. 7 Rajzolj egy ABCD téglalapot! A téglalap ábráján jelöld a DA, DB, DC vektorokat! Döntsd el, hogy melyik igaz, melyik hamis a következő állítások közül! a) DA + DC = DB. b) DA + DB és DC párhuzamos egymással. c) A DA, DB DC mindegyike nem lehet azonos hosszúságú. d) DC - DA = DB. e) DA + DB és DC egyenlő hoszú. f) Lehet olyan eset, hogy DA + DB és DA - DB merőleges egymásra. a) Igaz. b) Hamis. c) Igaz. d) Hamis. e) Igaz. f) Hamis. 8 Ha a PA szócskát egy vízszintes vektorral eltoljuk, akkor az eredeti és a kép összeolvasásával értelmes szót kapunk: PAPA. Adj meg néhány ilyen szócskát! Gondolhatsz több betűből állóra is! Például: MA, TA, ELEM, ET. Geometriai transzformációk 85

86 II/8. Összefoglalás 9 Ha egy kétjegyű számot egy vízszintes vektorral eltolunk, akkor az eredeti és a kép összeolvasásával négyjegyű számot kapunk. Például ha a a kiinduló szám, akkor lesz az összeolvasás eredménye. a) Milyen a számokon értelmezett művelet hozza létre ugyanezt a számot egy kétjegyű szám esetén. b) Mi a helyzet, ha háromjegyű számból indultunk ki? a) A kétjegyű számot meg kell szorozni 0-gyel. b) A háromjegyű számot meg kell szorozni 00-gyel. 0 A képen látható nyomtatott betűket rajzold le a füzetedbe, és a bejelölt pont körül forgasd el 90 kal, 80 -kal és 90 -kal! a) b) c) a) b) c) Rajzold le a füzetedbe a képen látható szabályos sokszögeket! Fejezd be a rajz mintázatát úgy, hogy mindegyik grafikád forgásszimmetrikus legyen! a) b) c) a) b) c) 86 Geometriai transzformációk

87 Összefoglalás II/8. A képen látható virágokat úgy tekinthetjük, hogy forgásszimmetrikusak. Hány fokos forgásszimmetriáról beszélhetünk? Add meg a legkisebb szöget! a) b) c) d) a) 60. b) 45. c) 0. d) 90. Egy szabályos hatszög egyik oldalát milyen transzformációk viszik át a szemközti oldalba? Tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, eltolás. 4 Egy szabályos nyolcszög két nem párhuzamos oldalát milyen szögű forgatás viszi át egymásba? A következő esetek vannak: 5, 90, Az ABC háromszög AB oldala 6 cm hosszú. A BC oldalt három egyenlő részre vágjuk, és az osztópontokon át az AB oldallal párhuzamos egyeneseket rajzolunk. Milyen hosszúságú szakaszai lesznek ezeknek az egyeneseknek a háromszög belsejében? C x y x = cm, y = 4 cm. A 6 cm B 6 Egy derékszögű háromszög oldalainak hossza 8 cm, 45 cm, 5 cm. Mekkora darabokra vágja az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót? Legyen a rövidebb darab hossza x cm. Ekkor a hasonlóság miatt: x =, vagyis x = (cm). A másik darab hossza: 5 - = (cm) Geometriai transzformációk 87

88 II/8. Összefoglalás 7 Mindkét fényképen a Duna Aréna látható. A nagyobb képen az épület magasságát bal oldalon,6 cmnek, a tetejének az éleit pedig 5, cm-nek és,7 cm-nek mértük. A másik képen 0,9 cm az épület magassága. Határozd meg mérés nélkül, hogy mekkorának látszanak az épület tetejének élei ezen a képen!,95 cm és 0,9565 cm. 8 A képen látható csokoládéból annyit szabad letörnöd és megenned, hogy a megmaradt darab alakja felülnézetben hasonló legyen az eredetihez. Hányadrészét eheted meg a csokoládénak? Az eredeti csokoládé 6-szor 4-es. A megmaradt csoki -szor -es. Vagyis a háromnegyed részét szabad megenni. 88 Geometriai transzformációk

89

90 III/. Szerkesztések, mérések Egy négyzet oldala,5 cm hosszú. a) Szerkesztéssel és méréssel határozd meg, hogy hány milliméter hosszú az átlója! b) Add meg számolással az átlójának hosszát! (Gondolj arra, hogy a négyzet egy deltoid, így a területét kétféleképpen is meg tudod határozni!) a) A négyzet átlója kb. 49 mm hosszú. b) A négyzet területe kétféleképpen is kiszámítható, az átló hosszát jelölje e. A terület egyrészt a két oldal szorzatával, másrészt a két átló szorzatának a felével egyenlő: e$ e e t =,5,5 =,5 (cm ) és t = =. e Vagyis = 4, 5, e = 4,5. e = 4, 5. 4,95 (cm). Egy szabályos háromszög oldala 4 cm hosszú. a) Hány milliméter hosszú a magassága? b) Mekkora a területe? a) A háromszög magassága kb. 5 mm hosszú. 4$, 5 b) t = = 7 (cm ). Egy derékszögű háromszög befogói 7 cm és 6 cm hosszúak. Mekkora a háromszög át fogójának a hossza? Mekkora a kisebb hegyesszöge? Szerkessz és mérj! A kivitelezés előtt gondolj a hasonlóságra! A háromszög átfogója kb. 68,5 cm hosszú. A kisebb hegyesszöge kb. -os. 4 Egy dühös madár ül a 4 méter magas torony tetején. A vadász a torony lábától 5 méterre van, és a puskacsövét méter magasra emeli. Hány métert kell megtennie a golyónak, míg elér a dühös madárig? Mérj az ábra alapján! Az ábrán például a 4 méter magas torony 8 mm (a 5 méter távolság 70 mm, a méter magasság 4 mm). Vagyis ami a képen x mm, az a valóságban x méter. A golyó útját 74 mm-nek mértük, vagyis valójában 7 m. 90 A Pitagorasz-tétel

91 Szerkesztések, mérések III/. 5 Egy rombusz minden oldalának és az egyik átlójának a hossza is 6 cm. Mekkora a másik átló hossza? A másik átló hossza kb. 7,7 cm. 6 Egy tanterem hossza 8 méter, szélessége 6 méter, magassága méter. Milyen hosszú zsinórt lehet kifeszíteni a terem két legtávolabbi csúcsa között? Szerkessz : 00 arányú segédábrákat! A két legtávolabbi csúcs távolsága a segédábrán kb. 5, cm, ami a valóságban 040 cm, azaz 0,4 m. 7 Egy kocka alakú kamra élei méter hosszúak. A mennyezet közepén egy plafonba simuló világítótest van. Milyen messze van ez a világító test a kamra csúcsaitól? A fenti sarkoktól kb., méterre, a lenti sarkoktól pedig kb.,7 méterre van. A Pitagorasz-tétel 9

92 III/. Szerkesztések, mérések 8 Egy padlástéri szoba egyik függőleges fala húrtrapéz alakú, melynek méretei 5 m, m, m és m. Milyen magas a szoba? A szoba magassága kb.,8 m. 9 A Pitagorasz-tétel

93 A Pitagorasz-tétel III/. Számítsd ki a derékszögű háromszög hiányzó oldalhosszát! Használd a Pitagorasz-tételt! a) a = 8 cm, b = 5 cm b) a = cm, b = 5 cm c) a = 0 dm, b = 7 dm d) a = dm, b = 4 dm e) a = 6 cm, c = 65 cm f) b = 7 cm, c = 97 cm g) a = 7 m, c = 66 m h) b = 5 m, c = 98 m a) c = 7 cm; b) c = 7 cm; c) c. 8,8 dm; d) c. 40 dm; e) b = 6 cm; f) a = 65 cm; g) b. 6,8 m; h) a. 8,4 m. Létezik-e olyan háromszög, amelynek oldal hosszai az alábbiak? Ha igen, akkor állapítsd meg, milyen háromszögről van szó! a) a = 6 cm, b = cm, c = 40 cm b) a = 5,6 mm, b = 9 mm, c = 0,5 mm c) a = 7,8 dm, b = 6 dm, c = 7,8 dm d) a = 8 m, b = 9 m, c = 49 m a) Nem létezik, mert b) Létezik. Hegyesszögű, mert 5, ,5. c) Létezik. Derékszögű, mert 7,8 + 6 = 7,8. d) Létezik. Tompaszögű, mert Egy kétágú létra zárt állapotban,4 méter magas. Ha kinyitjuk, akkor lábai, méterre vannak egymástól. Milyen távolságra van a vízszintes talajtól a kinyitott létra legmagasabb pontja? Az egyenlő szárú háromszög magassága felezi az alapot, ezért talppontja az alap végpontjától 0,6 m-re van. Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt a derékszögű háromszögre: 0,6 + m =,4, innen m., m. A Pitagorasz-tétel 9

94 III/. A Pitagorasz-tétel 4 méteres távolságot áthidaló,,5 méter hosszú, egyenes csúszdát építettek. Milyen magasról indul a csúszda? Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt: + m =,5, innen m.,8 m. 5 Milyen messze van a 9,6 cm és cm be fogójú derékszögű háromszög derékszögű csúcsa az átfogótól? A háromszög átfogójának hosszát számítsuk ki a Pitagorasz-tétellel: 9,6 + = c, innen c = 4,6 m. A háromszög területét kétféleképpen is kiszámolhatjuk, ebből megkapjuk a kérdéses magasságot: 96, $ 4, 6 $ m =, innen m. 7, cm. 6 Egy padlástéri szoba egyik függőleges fala húrtrapéz alakú, méretei pedig 5 m, m, m és m. Számítsd ki a szoba ezen falának területét! A fal területének kiszámolásához tudnunk kell a magasságát, ezt a derékszögű háromszögben Pitagorasz-tétellel számoljuk ki: + m =, innen m.,8 m. ] + 5g$ 8, t = =, m. 94 A Pitagorasz-tétel

95 A Pitagorasz-tétel III/. 7 Egy fészer ajtaja 90 cm széles és 0 cm magas. Egy átlós vaspánttal szeretnénk megerősíteni. Milyen hosszúságú ez a vaspánt? A vaspánt hossza: ,5 cm. 8 Maximum milyen hosszúságú lehet annak a szakasznak a hossza, amelyet egy cm-szer 5 cm-es téglalap alakú papírlapra rajzoltunk? A szakasz maximális hossza: ,8 cm. 9 Egy homlokzatra készülő felirathoz betűket festenek. A betűk 9 cm széles és 80 cm magas téglalapra kerülnek. A rajz mutat néhány vázlatot. a) Milyen hosszú vonalból áll a Z betű? b) Mennyivel hosszabb vonal szükséges az N betűhöz, mint a Z betűhöz? c) Hasonlítsd össze az M és az N betű vonalának hosszát! d) Hány százaléka az Y megrajzolásához szükséges vonal hossza a Z megrajzolásához szükséges vonal hosszának? a) Az átló hossza: = 89 (cm). Vagyis a Z vonalának hossza: = 67 (cm). b) Az N betű két-két szára 4-4 cm-rel hosszabb, mint a Z betű alja és teteje. Vagyis 8 cm-rel hosszabb. c) A két vonal hossza egyenlő. d) Az Y ferde vonalai együtt egy átlót tesznek ki, vagyis a hosszuk: 89 cm. A függőleges darab hossza 40 cm. Vagyis a teljes hossz: 9 cm. 9 A keresett százalék:. 77,%. 67 A Pitagorasz-tétel 95

96 III/. A Pitagorasz-tétel 0 Az ABC háromszög oldalainak hossza a = 6, b = 8 és c = 0 egység. a) Milyen hosszú a c oldalhoz tartozó magasság? b) Milyen hosszú az a oldalhoz tartozó súlyvonal? c) Milyen hosszú a b oldalhoz tartozó súlyvonal? d) Milyen hosszú a c oldalhoz tartozó súlyvonal? Az ABC háromszög derékszögű, mert = 0. 6$ 8 0 $ mc a) A háromszög területe alapján =. Átrendezve m c = 4,8 cm. b) Az a oldalhoz tartozó súlyvonal hossza 8 + = = 7. 8, 54 cm. c) A b oldalhoz tartozó súlyvonal hossza = = 5. 7, cm. 0 d) A c oldalhoz tartozó súlyvonal hossza = 5 cm, a Thalész tétel alapján. Ha még nem ismerjük a Thalész tételt, akkor számolgathatunk is. Legyen T a c oldalhoz tartozó magasság talppontja, K pedig a c oldalhoz tartozó súlyvonal talppontja, akkor TB hossza 6-4, 8 =,6 cm. Innen TK hossza 5 -,6 =,4. CTK derékszögű háromszögre,4 + 4,8 = 5, tehát a súlyvonal 5, azaz 5 cm. A parkban, ahol Barbara futni szokott, van egy téglalap alakú sétány, amelynek rövidebb oldala 6 méter. Az egyik átlója mentén is kiépítették az utat, ez 85 méter hosszú. a) Készíts vázlatrajzot a parkról! Az átlós szakasz legyen AB, a téglalap másik két csúcsa pedig Q és R. b) Tegnap délután Barbara bemelegítésként a B A R B A R A útvonalat futotta végég. Hány métert futott összesen? a) b) A téglalap hosszabb oldala: AR = 85-6 = 77 (m). A Barbara által megtett útvonal szakaszainak hossza: BA + AR + RB + BA + AR + RA = = = 47 (m). 96 A Pitagorasz-tétel

97 alapvonal büntetőterület A Pitagorasz-tétel III/. A képen egy futballpálya vázlata látható. Ez a pálya 0 méter hosszú és 76 méter széles. oldalvonal felezővonal kezdőkör büntetőpont kapuelőtér kapu gólvonal a) Milyen messze van a kezdőkör közepe a pálya oldalvonalától és a gólvonaltól? b) Milyen messze van a pálya két legtávolabbi pontja egymástól? c) Mekkora a felezővonal által kialakított félpálya átlójának hossza? d) Milyen messze van a kezdőkör közepe a pálya csúcsaitól? a) A kezdőkör közepének távolsága az oldalvonaltól: 8 m. A kezdőkör közepének távolsága a gólvonaltól: 55 m. b) A két legtávolabbi pont távolsága: , 7 (m). c) A félpálya átlójának hossza: , 8 (m). d) A kezdőkör közepe és a pálya csúcsainak távolsága: , 85 (m). Megjegyzés: Természetesen ezt a választ azonnal megkapjuk, ha a b) részben kapott távolságnak vesszük a felét. A Pitagorasz-tétel 97

98 III/. Számítások síkban Képzeld el, hogy egy km hosszú egyenes út két végén rögzítettek egy 00 m hosszú kötelet! Milyen magasra kellene emelni középen a kötelet, hogy feszes legyen? Számolás előtt tippelj! Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt: m = 000,5, innen m.,6 m Vagyis,6 méter magasra kell emelni a kötelet középen. Boldizsár egy méter hosszú és 6 méter széles medencében 8 hosszt úszott a méteres pályán. Gáspár gyorsabb, és azt gondolta, vicces, ha átlósan úszik, ezért ugyanannyi idő alatt ő 8-szor tette meg a medence két szemközti csúcsa közötti távolságot. Hány méterrel úszott többet Gáspár, mint Boldizsár? A Gáspár által megtett hossz kiszámítható a Pitagorasz-tétellel: 6 + = x, innen x. 6,7 m, azaz egy hossz alatt Gáspár 6,7 - =,7 méterrel úszik többet Boldizsárnál, ez 8 hossz alatt 8,7 = 66,6 méterrel volt több. Két, egymástól 0 méterre lévő épület között kifeszítettek egy huzalt, amelynek két végét azonos magasságban rögzítették. Közepén egy tábla lóg, ezért a huzal közepe 40 cm-rel alacsonyabban van, mint a rögzítési pontok. Milyen hosszú a huzal? A huzal felének a hosszát Pitagorasz-tétellel számítsuk ki: 0,4 + 0 = x, innen x. 0,008 m, vagyis a huzal hossza 0,06 m. 98 A Pitagorasz-tétel

99 Számítások síkban III/. 4 Be lehet-e tolni egy 90 cm széles és m magas ajtón egy, m oldalhosszúságú, négyzet alakú bútorlapot? Az átló hosszát Pitagorasz-tétellel számítsuk ki, ezen múlik, hogy befér-e a bútorlap. 0,9 + = x, innen x.,9 m, azaz a bútorlap nem fér be az ajtón. 5 A gyerekek deltoid alakú sárkányt készítenek, melynek két átlója egy 60 cm és egy 4 cm hosszú nádszál. A rövidebb átló harmadolja a hosszabbat. A nád végeit egy vékony huzallal kötik össze. Milyen hosszú ennek a huzalnak a hossza, ha a kötésekre plusz 8 cm-t fognak elhasználni? A deltoid kerületének kiszámításához a két oldalának hosszát határozzuk meg Pitagorasz-tétellel. 0 + = x, innen x = 9 cm + 40 = y, innen y. 45, cm A huzal hossza , + 45, + 8 = 66,4 cm. A Pitagorasz-tétel 99

100 III/. Számítások síkban 6 Egy téglalap alakú telek egyik oldalának hossza 8 méter, a két szemközti csúcsának távolsága pedig 5 méter. Mekkora a telek kerülete, illetve területe? A telek másik oldalának a hosszát a Pitagorasz-tétellel számoljuk ki: 8 + x = 5, innen x = 45 m, ennek ismeretében a telek kerülete és területe: k = (8 + 45) = 46 m és t = 8 45 = 60 m. 7 Kerítést szeretnénk készíteni az 86 m területű, derékszögű háromszög alakú zöldséges kertünk köré. A kert 4 méter hosszúságú befogója mentén már elkészültünk vele. Milyen hosszú kerítést kell még készíteni, ha teljesen körbe akarjuk keríteni a kertet? A másik befogó hossza: 4 $ b 86 =, innen b = 66 m Az átfogó hossza: = c, innen c. 78, m Vagyis még 44, m hosszú kerítést kell készíteni. 8 Add meg a derékszögű háromszög be fogóihoz tartozó súlyvonalak hosszára vonatkozó képleteket, ha a befogók hossza a és b! a sa = + b 4 b sb = + a 4 00 A Pitagorasz-tétel

101 Számítások térben III/4. Megadtuk egy téglatest három oldalának hosszát. Milyen hosszúak a téglatest lapátlói és a testátlója? a) a =, b =, c = b) a = 5, b = 7, c = 0 a) lapátlók: 5., és 8.,8 testátló: b) lapátlók: 74. 8,6 és 5., és 49., testátló: 74., Egy téglatest alakú szoba egyik alsó sarkából el kellene jutni a szoba legtávolabbi csúcsába. A használható útvonalak a következők: a test átló; egy lapátló és utána egy él; három él valamilyen sorrendben. Hányféle útvonal van összesen? A testátlót használva egyféleképpen juthatunk el a legtávolabbi csúcsba. A kiindulási pontból három lapátlót választhatunk, amin végighaladva már csak egy élen keresztül juthatunk célba, ez tehát három további útvonal. Ha a három él valamelyikén indulunk el, akkor mindhárom esetben a legtávolabbi csúcsot tartalmazó oldallap átellenes sarkába jutunk, ahonnan két útvonal van éleken keresztül a célba, ez még hat lehetőség. Vagyis összesen 0 útvonal létezik. Egy téglatest alakú szoba méretei 5 m, 4 m és,4 m. Hány különböző hosszúságú útvonal van az előző feladatban leírt útvonalak között? Add meg ezeket! Öt különböző hosszúságú út van a leírtak között. A legrövidebb út a testátló, ennek hossza kb. 6,8 m. A lapátló és él típusú utak különböző hosszúak: ,4. 6,4 +,4 = 8,8 m 5 + 4, ,5 + 4 = 9,5 m 4, ,7 + 5 = 9,7 m A három él típusú utak ugyanolyan hosszúak: ,4 =,4 m. A Pitagorasz-tétel 0

102 III/4. Számítások térben 4 Egy téglatest testátlója 0 cm. Lehet-e a téglatest minden élhossza centiméterben mérve egész szám? A testátló kiszámítása: 0 = a + b + c. Az a, b és c élek akkor lehetnek egész számok, ha a, b és c négyzetszámok, azaz a 00 felbontható három négyzetszám összegére. A négyzetszámok 00-ig:, 4, 9, 6, 5, 6, 49, 64, 8. a = 8 esetén b + c = 9, de ilyen négyzetszámok nincsenek, ezért a 8 nem lehet a három közt. a = 64 esetén b + c = 6, de ilyen négyzetszámok nincsenek, ezért a 64 nem lehet a három közt. a = 49 esetén b + c = 5, de ilyen négyzetszámok nincsenek, ezért az 5 nem lehet a három közt. a = 6 esetén b + c = 64, de a 6-nál kisebb négyzetszámok közül bármely kettő összege kisebb lesz 64-nél. Tehát nem lehet a téglatest minden élhossza egész szám. 5 Egy 6 cm-szer 6 cm-es keresztmetszetű, m magas, függőlegesen álló négyzetes oszlopon négy hangya mászik. Mindegyik az alsó alaplap egy-egy csúcsából indult. Tudjuk, hogy a hangyák egyenes útvonalának a vízszintessel bezárt szöge mindig ugyanannyi. Milyen hosszú utat tesznek meg, amíg az oszlop aljától feljutnak az oszlop tetején lévő csúcsig, ha a) az első hangya csak egy lapon; b) a második hangya két lapon; c) a harmadik hangya három lapon; d) a negyedik hangya négy lapon mászott? a) 00,6 cm b) 0,5 cm c) 05,7 cm d) 0 cm 0 A Pitagorasz-tétel

103 Számítások térben III/4. 6 Egy téglatest három különböző lapján 5 cm, 5 cm és 60 cm a lapátlók hossza. Milyen hosszú a testátló? A téglatest éleit a, b és c-vel, a testátlót d-vel jelöljük. A lapátlókra vonatkozó Pitagorasz-tételek: 5 = a + b 5 = c + b 60 = a + c A három összefüggés bal és jobb oldalait összeadva: = a + b + c + b + a + c 8 = (a + b + c ) 69 = a + b + c Valamint: d = a + b + c Innen d =. A Pitagorasz-tétel 0

104 III/5. Szabályos háromszög, négyzet, kocka Mekkora a szabályos háromszög magassága és területe, ha az oldalhossza a) 6 cm; b) 5 cm; c) cm; d) cm? a) m = 6 $.,5 cm t = 6 $. 9,7 cm 4 b) m = 5 $. 45 cm t = 5 $. 70,9 cm 4 c) m = $ =,5 cm t = $., cm 4 d) m = $ = cm t = $. 5, cm 4 Megadtuk a négyzet átlójának hosszát. Milyen hosszú az oldala? a) dm b) dm c) 6 dm d),4 dm a) a = =, a = dm b) a = = 5,, a., dm c) a = 6:. 4, dm d) a = 4, :. 0,99 dm Add meg a szabályos háromszög oldalának és magasságának a hosszát, ha a területe a) 00 m ; b) 400 cm ; c) 9 m ; d) 8 m! t = a $ t $ 4, innen a = 4 a) a = 00 $ 4. 5, m m = 5, $., m b) a = 400 $ 4. 0,4 cm m = 0, 4 $. 6, cm c) a = 9$ $ 4 = 6 m m = 6 $. 5, m d) a = 8 $ $ 4 = 8 m m = 8 $. 5,6 m 04 A Pitagorasz-tétel

105 Szabályos háromszög, négyzet, kocka III/5. 4 Mennyivel hosszabb a kocka testátlója, mint a lapátlója, ha az éle cm hosszú? A lapátló hossza, a testátló hossza. A különbség -. 7 cm, ennyivel hosszabb a testátló. 5 Mekkora az ábrákon látható színes sok szögek területe, ha a kockák éle 8 cm hosszú? a) b) c) d) a) t = 8$ 8$. 90,5 cm b) t = ^ $ 8h $. 55,4 cm 4 c) t = 8$ 4$. 45,5 cm d) A háromszög alapja 4$, a magassága 8 + ^ h = 7 vagy a magasság másképpen: 80 -_ i = 7. t = 4$ $ 7 = 4 cm 6 Az Elsőbbségadás kötelező! tábla egy 450 mm oldalhosszúságú szabályos háromszög. Körben egy 6 cm széles piros sáv van rajta. a) Mekkora az oldalhossza a belső fehér szabályos háromszögnek? b) Mekkora a piros rész területe? a) Az ábrán látható két derékszögű háromszög egy egyenlőoldalú háromszög két fele. A 45 cm-es oldal két végénél lévő szakaszokon x. A fehér háromszög oldala mindkét végénél ugyanannyival rövidebb, mint a pirosé, ennek hossza a két kis egybevágó háromszögben a Pitagorasz-tétellel kiszámítható: x = ,4 cm A fehér háromszög oldalának hossza: 45-0,4 = 4, cm b) t = ^4, h $. 5,6 cm 4 A Pitagorasz-tétel 05

106 III/5. Szabályos háromszög, négyzet, kocka 7 Egy 5 méter széles és,5 méter magas falat szabályos hatszögletű burkolólapokkal szeretnénk befedni. A lapok oldalainak hossza 4 cm. A burkolólapokat tizenkét darabos csomagokban lehet megvásárolni. Hány csomaggal kell venni, ha a szabások miatt a burkolandó felületnél 5%-kal többet kell számolnunk? A fal területe 5,5 =,5 m. Ennél 5%-kal többet kell számolni, azaz a burkolandó felület,5,05 =,5 m = 50 cm. A burkolólap területe hat szabályos háromszögre bontva kiszámítható: t = 6$ 4 $. 509, cm. 4 A szükséges burkolólapok száma 50 : 509,. 58 db. A szükséges csomagok száma 58 : =,5. db. Vagyis csomag burkolólapot kell venni. 8 Egy szabályos hatszögletű faládika belseje 5,5 cm magas. A szemközti oldallapjai a doboz belsejében 9,5 cm-re vannak egymástól. Mekkora a doboz térfogata? A doboz szabályos hatszög alapú hasáb, ha az alapját hat egybevágó szabályos háromszögre bontjuk, egy ilyen háromszög magasságának a hossza 9,5 : = 4,75 cm. 4,75 = a, innen a = $ 475,. 5,5 cm. Az alaplap területe t alap = 6 t háromszög = 6$ 55, $. 78,6 cm. 4 V doboz = t alap m = 78,6 5,5 = 4, cm. 9 Mekkora a kocka felszíne és térfogata, ha a a) lapátlója; b) testátlója 5 cm hosszú? a) Ha a lapátló 5 cm, akkor az a $ = 5 összefüggés alapján a = 5. 0,6 (cm). Vagyis: A = 6 0,6 = 674,6 (cm ), V = 0,6 = 9,06 cm. Megjegyzés: Pontos értékekkel számolva: A = 675 cm. V. 9,4 cm. b) Ha a testátló 5 cm, akkor az a a $ = 5 összefüggés alapján a = 5. 8,7 (cm). Vagyis: A = 6 8,7 = 454,4 (cm ), V = 8,7 = 658,50 cm. Megjegyzés: Pontos értékekkel számolva: A = 450 cm. V. 649,5 cm. 06 A Pitagorasz-tétel

107 Szabályos háromszög, négyzet, kocka III/5. 0 Egy téglatest két élének hossza cm és cm, a testátlója pedig cm hosszú. Milyen hosszú a harmadik él? Tudjuk, hogy = + + c, azaz c = A harmadik él hossza: c = 7 44 = (cm). Az ABCDEFGH kockát szétvágtuk az AFH sík mentén. A kisebb test felszíne 00 cm. Mekkora a kocka éle? E H F G Legyen a kocka éle a! Ekkor AFH háromszög egy egyenlőoldalú háromszög, melynek éle: a, ezért területe: a a =. A levágott test másik 4 három lapja egymással egybevágó derékszögű háromszög. Területük egyen- A D B C ként: a. Ezért az egész test felszíne: A = a + $ a Ebből kiemeléssel és a felszín mérőszámát behelyettesítve: ^ + ha 00 = Rendezve: $ 00 a + = Ebből: a.,6 (cm) Tehát a kocka éle: a.,6 cm. Képzeld el a nyolc darab egyforma, cm élű kockából elkészíthető összes lehetséges téglatestet! Add meg az így kapott téglatestek lap átlóinak és testátlóinak hosszát! Három eset van. I. eset: -szer -szer 8 cm. Lapátlók hossza: cm, 65 cm, testátló hossza: 66 cm. II. eset: -szer -szer 4 cm. Lapátlók hossza: 5 cm, 7 cm, 0 cm, testátló hossza: cm. III. eset: -szer -szer cm. Lapátlók hossza: 8 cm = cm, testátló hossza: cm = cm. A Pitagorasz-tétel 07

108 III/5. Szabályos háromszög, négyzet, kocka Egy,4 cm élű dobókocka egyik lapján hat pötty helyezkedik el az ábrán látható módon. Milyen messze vannak ezek a szemközti lap közepén található pöttytől? Kétféle távolságot kapunk. Számoljunk milliméterben! I , (mm). II , (mm). 4 Egy átlátszó dobókocka tetején négy piros pötty van, de az ábrán a kocka átláthatósága miatt a szemközti lap három pöttyéből a középső is látszik. Mekkora a kocka éle, ha ez a középső pötty a fentiektől pontosan 45, cm-re van? Legyen a kocka éle 4a hosszúságú. Ekkor a + a + (4a) = 4,5, azaz 8 a = 4,5. Mivel a = 4, ezért a =. Tehát a kocka élének hossza cm. 08 A Pitagorasz-tétel

109 Nevezetes derékszögű háromszögek III/6. Megadtuk a derékszögű háromszög be fogóinak hosszát. Pitagorasz-féle háromszöget alkotnak-e? a) a = 8, b = 45 b) a =, b = 56 c) a = 4, b = 79 d) a = 6, b = 77 a) Igen, c = 5 cm. b) Igen, c = 65 cm. c) Nem. d) Igen, c = 85 cm. Egy háromszög minden oldalhosszának mérőszáma egész szám, a kerülete pedig 8 egység. Mutasd meg, hogy egy ilyen háromszög nem lehet derékszögű! A 8-at minden lehetséges módon bontsuk fel három egész szám összegére: + + 6, + + 5, + + 4, + + 4, + +. A háromszög egyenlőtlenség miatt ezek közül csak a,, számhármas lehet egy háromszög oldalainak hossza, viszont a Pitagorasz-tétel megfordítása miatt ez nem derékszögű. Három egymást követő pozitív egész szám lehet-e pitagoraszi számhármas? Igen, ilyen a, 4, 5 számhármas. 4 A 7, 48, 55 egy pitagoraszi számhármas állítja Előd. Aztán észreveszi, hogy valamelyik számban a két számjegyet felcserélte. Segíts megtalálni a hibát! A két számjegyet az első két szám valamelyikében cserélhette fel. A Pitagorasz-tétellel ellenőrizzük: 84-55! 7, vagyis nem a 84 számjegyeit cserélte fel = 48, vagyis a 7 számjegyeit cserélte fel. 5 Két Pitagorasz-féle háromszög össze illesz tésével készíts olyan háromszöget, amelyben az oldalhoszszak mérőszáma és a terület mérőszáma is egész szám (vagyis készíts Hérón-féle háromszöget)! Válasszunk két Pitagorasz-féle háromszöget, melyek közül az egyik akkorára nagyítható, hogy legyen a másikkal azonos hosszúságú befogója. Például az 5, és oldalút kétszeresére nagyítva (az oldalhosszak 0, 4, 6 lesznek) összeilleszthető a 7, 4, 5 oldalúval. Az így kapott háromszög oldalainak hossza: 7; 5 és 6. A területe 7 $ 4 = 04 területegység. A Pitagorasz-tétel 09

110 III/6. Nevezetes derékszögű háromszögek Másik megoldás a tankönyvben is szerepel:. A, 4, 5 oldalú derékszögű háromszög nagyításával létrehozható, 6, 0 oldalú derékszögű háromszög és az 5,, oldalú derékszögű háromszög.. A, 4, 5 oldalú derékszögű háromszög nagyításával létrehozható 9,, 5 oldalú derékszögű háromszög és az 5,, oldalú derékszögű háromszög. És egy harmadik megoldás:. Az. és. pont két nagyított háromszöge is megfelelő: 9,, 5 és a, 6, 0 oldalú derékszögű háromszögek. 6 Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogója azonos hosszúságú egy félbevágott szabályos háromszögből kapott derékszögű háromszög hosszabb befogójával. A két háromszög összeillesztésével is nevezetes három szöget kapsz. Határozd meg a szögeinek az arányát! Ugye látod a háromszög nevezetességét? Így illeszthetjük össze a két derékszögű háromszöget háromszöggé: A szögek aránya: 45 : 60 : 75 = : 4 : 5. (Itt a szögek arányára kaptuk a híres arányt, de ez a háromszög nem derékszögű!) 7 Határozd meg azokat a Pitagorasz-féle három szögeket, amelyek területe 0 egység! A két befogó szorzata ennek a kétszerese, azaz 60. Bontsuk fel a 60-at az összes lehetséges módon két egész szám szorzatára, majd vizsgáljuk meg, hogy a hozzájuk tartozó átfogó egész szám-e. A lehetséges szorzatok: 60, 0, 0, 4 5, 5, 6 0. Ezek közül csak az 5 és befogójú derékszögű háromszög átfogója egész szám,. 8 A koordináta-rendszerben a K(; ) középpontú körre illeszkedik a a) P(5; ) pont; b) Q(5; 7) pont. Add meg a körvonalra illeszkedő további rácspontokat! a) A rácspontok: (5; ), (4; 0), (; 0), (; ), (; ), (; 4), (4; 4). 0 A Pitagorasz-tétel

111 Nevezetes derékszögű háromszögek III/6. b) Pitagorasz-tétellel az ábrán jelölt derékszögű háromszögben kiszámítható, hogy a kör sugara egység. (A rácspontokat középpontos és tengelyes tükrözéssel, 90 fokos forgatással, valamint a középponton áthaladó vízszintes és függőleges egyenes körrel való metszéspontjait bejelölve találhatjuk meg.) A rácspontok: (6; ), (5; -), (8; -0), (; -), (-; -0), (-9; -), (-0; ), (-9; 7), (-; 4), (; 5), (8; 4). 9 A következő állításokat a leckében szereplő tíz Pitagorasz-féle háromszögről fogalmaztuk meg. Döntsd el, hogy erre a tíz háromszögre vonatkozóan melyik kijelentés igaz, illetve melyik hamis! a) Az átfogó hosszának mérőszáma mindig páratlan szám. b) A számhármas valamelyik tagja osztható öttel. c) Van közöttük olyan, amelyben mindkét befogó hosszának mérőszáma páratlan szám. d) Mindegyik háromszög területének mérőszáma egész szám. e) Van közöttük olyan számhármas, amelyikben nincs hárommal osztható szám. f) Van olyan, amelyikben az átfogó hosszának mérőszáma osztható hárommal. (Annak megválaszolása, hogy ezek a kijelentések minden Pitagorasz-féle háromszögre ér vényesek-e, nem könnyű feladat, ezért ezt nem is szerepeltetjük feladatként.) a) Igaz. b) Igaz. c) Hamis. d) Igaz. e) Hamis. f) Hamis. A Pitagorasz-tétel

112 III/7. A kör és a derékszögű háromszög Rakd növekedő sorrendbe az ábrán látható AQB, APB, ARB, AKB, AHB szögeket! A K R Q P H B APBB AQBB AHBB ARBB AKBB Az ABC hegyesszögű háromszögben a ma gasságok talppontjai legyenek P, Q és R, a magasságpont pedig legyen M. A megadott hét pontból az összes lehetséges módon válaszd ki azokat a pontnégyeseket, amelyek egy körre illeszkednek! ABPQ, BCQR, CARP, MARQ, MBPR, MCQP. A Pitagorasz-tétel

113 A kör és a derékszögű háromszög III/7. Egy kör alakú medence szélén hárman üldögélnek. Bendegúzzal szemben (a medence legtávolabbi pontjánál), tőle 5 méter távolságra Dömötör ücsörög, akitől Ferdinánd csak 4 méterre van. Milyen messze van Ferdinánd Bendegúztól? A Thalész tétel miatt a három fiú egy derékszögű háromszög csúcsaiban ülnek. Ferdinánd és Bendegúz távolsága Pitagorasz-tétellel kiszámítható. BF = , m. 4 Egy derékszögű háromszögnek adott az átfogója és az egyik befogója. Szerkeszd meg a háromszöget! Szerkesztés menete: Az átfogó legyen a kiindulás. A megszerkesztendő C pont illeszkedik az AB oldal Thalész-körére, valamint az A középpontú, befogó sugarú körre. (A két kör metszéspontjai egybevágó háromszögeket határoznak meg, tehát a szerkesztés egyértelmű.) 5 Hány darab derékszögű háromszöget határoz meg az ábrán látható hét pont? Sorold fel a háromszögeket! B C A K D F E Az AD, BE és CF szakaszokhoz tartozó Thalész-körön van a hatszög további négy csúcsa, ezért megfelelő háromszög van: ADB, ADC, ADE, ADF, BEC, BED, BEF, BEA, CFD, CFE, CFA, CFB. 6 Hány darab derékszögű háromszöget határoz meg az ábrán látható nyolc pont? A B C D Az előző feladat gondolatmenetét követve a derékszögű háromszögek száma: 4. H G F E A Pitagorasz-tétel

114 III/7. A kör és a derékszögű háromszög 7 Igaz-e a következő állítás? Válaszodat indokold! Ha egy háromszög két rövidebb oldalára mint átmérőre egy-egy kört rajzolunk, akkor a két kör a harmadik oldalon metszi egymást. Igaz, mert a harmadik oldalhoz tartozó magasság talppontja illeszkedik mindkét oldal Thalész-körére, tehát ez a pont a körök metszéspontja. 8 Magyarázd el, hogy miért egyenlő szárú az ábrán látható PQF háromszög! C P Q A F B Az AB Thalész-körén amelynek F a középpontja rajta van P és Q is, ezért FP = FQ 9 Igazak-e a következő állítások? a) A derékszögű háromszög átfogójának hossza kétszer akkora, mint az átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza. b) A szabályos hatszög bármely két szomszédos csúcsához található egy olyan harmadik csúcs, amivel derékszögű háromszöget alkotnak. c) A szabályos ötszög csúcsaiból kiválasztható három olyan, amelyek derékszögű háromszöget határoznak meg. a) Igaz. b) Igaz. c) Hamis. 4 A Pitagorasz-tétel

115 Összefoglalás III/8. Melyik vonal hosszabb? Először tippelj, aztán számolj! A piros ferde szakaszai Pitagorasz-tétellel: 5 egység. A piros vonal hossza összesen: = 5 (egység). A zöld vonal minden ferde szakasza egyenlő, Pitagorasz-tétellel: A zöld vonal hossza összesen: 4 Vagyis a piros vonal a hosszabb.. 50,48 (egység). egység. Egy fáskamra ajtaja 95 cm széles és méter magas. Szeretnénk átlósan rászerelni egy vaspántot, hogy erősebb szerkezetű legyen. Milyen hosszú lehet ez a pánt maximálisan? A pánt hossza maximálisan: , 4 (cm). Az : 00-as arányú felülnézeti tervrajzon az AB szakasz hossza 5 cm. A szakasz két vége között a valóságban méter szintkülönbség van. Milyen hosszú a szakasz valójában? Az 5 cm táv a valóságban 0 méter. Így a kérdéses távolság a 0 méter és méter befogójú derékszögű háromszög átfogója, tehát: m,. 4 Egy méter széles, téglalap alakú kert egyik sarkában egy kerti csap található. Egy 5,5 méteres locsolócső pontosan átér a kert legtávolabbi sarkába. a) Mekkora a kert területe? b) A kert köré kerítést szeretnénk építeni. Mennyi dróthálót kell vásárolnunk a kerítéshez, ha a méter széles bejárati kaput már elkészítettük? a) A kert hossza: 5, 5 - = 5, (m). Vagyis a területe:,5 = 70 (m ). b) A drótháló hossza: ( +,5) - = 66 (m). A Pitagorasz-tétel 5

116 III/8. Összefoglalás 5 Egy 4 cm oldalhosszúságú négyzetbe a lehető legnagyobb méretű nyomtatott Z betűt írtuk. Milyen hosszú vonalat húztunk? A vonal hossza: ,7 (cm). 6 Rajzolj a négyzethálóra egy a) 5 ; b) 0 ; c) ; d) 8 egység hosszúságú szakaszt! a) b) c) d) 7 Szabályos háromszöget szeretnénk rajzolni a koordináta-rendszerbe. Két csúcs koordinátái ismertek: A(; ), B(8; ). Add meg a harmadik csúcs koordinátáit! Mivel a szabályos háromszög oldala 6 egység hosszúságú, ezért a magassága. Ezek alapján meg tudjuk adni a két esethez tartozó megoldást. II. eset: C (5; + ). II. eset: C (5; - ). 8 Egy négyzet alakú szobát parkettáznak. A négyzet átlója,8 méteres. Mekkora felületet kell parkettázni? Milyen hosszú lesz a szoba falai mentén futó szegőléc? A parkettázandó rész területe: 8, $ 8, = 7, (m ). A négyzet oldalának hossza: 8,. 7, (m). A falak mentén futó szegőléc hossza: 4,7 = 0,8 (m). 6 A Pitagorasz-tétel

117 Összefoglalás III/8. 9 Egy,5 méter magas kétágú létrát úgy nyitottak ki, hogy a lábai a vízszintes talajon 90 cm-re vannak egymástól. Milyen távolságra van a talajtól a létra legmagasabb pontja? A legmagasabban lévő pont távolsága a talajtól: (cm). 0 Van egy-egy 7 cm, 0 cm, 4 cm, 5 cm és 6 cm hosszúságú pálcánk. Hányféle háromszög állítható össze három pálcából? Van-e közöttük derékszögű? Gyűjtsük össze a számhármasokat:. 7, 0, 4,. 7, 0, 5,. 7, 0, 6, 4. 7, 4, 5, 5. 7, 4, 6, 6. 7, 5, 6, 7. 0, 4, 5, 8. 0, 4, 6, 9. 0, 5, 6, 0. 4, 5, 6. Nem ad háromszöget az.,. és. eset. Vagyis 7-féle háromszög állítható össze. Ezek közül derékszögű háromszöget ad a 4. és a 8. eset. Melyik hosszabb: a cm élű kocka vagy a 8 cm, cm és 6 cm élű téglatest testátlója? Tippelj, majd számolj! A kocka testátlójának hossza:. 08, (cm). A téglatest testátlójának hossza: , (cm). Vagyis a téglatest testátlója hosszabb, mint a kockáé. A Pitagorasz-tétel 7

118 III/8. Összefoglalás Hány darab szakaszt határoz meg az ábrán látható öt pont? Keresd meg az egyenlő hosszúságú szakaszpárokat! y B A C 0 x D E Az öt pont által meghatározott szakaszok: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Egyenlők: AC = AE = BD = 5, CD = DE = 5. Milyen hosszúak az ábra színes szakaszai? A 0 x 9 C y P 6 B CB = 9-0 = (egység). Vagyis y = - 6 = 5 (egység), x = = 5 (egység). 4 Egy dühös madár ül a 4 méter magas torony tetején. A vadász a torony lábától 5 méterre van, és a puskacsövét méter magasra emeli. Hány métert kell megtennie a golyónak, míg elér a dühös madárig? Használd a Pitagorasz-tételt! Ezt a kérdést a fejezet elején szerkesztéssel és méréssel tudtuk megválaszolni. A Pitagorasz-tétel ismeretében számolással most már sokkal gyorsabban megtehető ez. A golyó útjának hossza: ] 4 - g + 5 = 7 (m). 8 A Pitagorasz-tétel

119 Összefoglalás III/8. Az ezen az oldalon található, 5. tesztkérdésekhez mindig egy helyes válasz tartozik. 5 Egy kör 65 cm és 7 cm hosszúságú húrja merőleges egymásra, és egyik végpontjuk közös. Mekkora a kör sugara? A: 68,5 cm; B: 97 cm; C: 48,5 cm; D: 94 cm; E: Ilyen kör nem létezik. A Thalász-tétel szerint a háromszög derékszögű, Pitagorasz-tétellel az átfogójának a hosszát kell meghatároznunk. Ennek fele lesz a kör sugara. A helyes válasz: C. 6 Hány darab igaz a következő négy állítás közül? Ha egy háromszög minden oldalának hossza méterben kifejezve páratlan szám, akkor az nem lehet derékszögű háromszög. Három egymást követő egész szám nem lehet egy derékszögű háromszög oldalainak hossza. Ha egy háromszögnek van egység hosszúságú oldala, akkor az nem lehet Pitagorasz-féle háromszög. Van olyan Pitagorasz-féle háromszög, amelynek az átfogója egység hosszúságú. A: 0; B: ; C: ; D: ; E: 4. Az állítások sorban: igaz, hamis, igaz, igaz. A helyes válasz: D. 7 Egy 5 egység hosszúságú szakasz mindkét végpontja illeszkedik egy-egy tengelyre, és mindkét koordinátája egész szám. A szakasz nem illeszkedik egyik tengelyre sem. Milyen messze van az origó a szakasztól? A: ; B: 4; C: 5; D:,4; E: Az előzőek egyike sem. Meg kell mondanunk, hogy milyen messze van az 5 egység átfogótól a és 4 egység befogójú derékszögű háromszög derékszögű csúcsa. Azaz a magasság hosszát kell megadnunk. Írjuk fel a háromszög területét kétféleképpen: $ 4 = 5 $ m. A helyes válasz: D. 8 Egy deltoidnak 5 cm és cm hosszúságú oldalai vannak, és csúcsai egy körre illeszkednek. Mekkora ennek a körnek a sugara? A: 6 cm; B: 6,5 cm; C: 8,5 cm; D: 9 cm; E: Ilyen kör nem minden esetben létezik. A helyes válasz: B. A Pitagorasz-tétel 9

120 III/8. Összefoglalás 9 A képen látható 50-szer 60 cm-es törölközőn három párhuzamos csík van. Melyik állítás igaz? A: A három szakaszból lehetne háromszöget szerkeszteni. B: Egy 0,9 m tetejű asztalt ezzel a törölközővel pontosan le lehetne fedni. C: A párhuzamos csíkok távolsága 0 cm. D: A legrövidebb csík nem éri el az 50 cm-t. E: A leghosszabb csík hossza milliméter pontossággal 6,6 cm. Az (A) hamis. A két rövid csík hosszának az összege egyenlő a harmadik hosszával. A (B) hamis. A törölköző területe is ennyi, de az asztallap alakja nem feltétlenül ilyen. A (C) hamis. A törölköző bal szélén láthatók a 0 cm-es szakaszok, de ez nem a távolság. A (D) hamis. A törölköző sarkában lévő derékszögű háromszögnek az egyik befogója 50 cm. A helyes válasz: E. Megjegyzés. Ha azonnal ráérzünk az (E) válaszra, akkor Pitagorasz-tétellel beláthatjuk a választásunk helyességét. A leghosszabb csík hossza: , 6 (cm). 0 Egy 0 cm magasságú szabályos háromszög oldalának hossza melyik megadott mennyiséghez van a legközelebb? A: 5 cm; B: 7 cm; C: 8 cm; D: cm; E: 4 cm. A háromszög oldalának hossza: $ 0., 09 (cm) A helyes válasz: D. 0 A Pitagorasz-tétel

121 Összefoglalás III/8. Két különböző kocka testátlóinak különbsége cm. Mekkora az oldalaik különbsége? A: Ennyi adatból nem mondható meg; B: cm; C: cm; D: cm; E: cm. Egy a élű kocka testátlójának hossza: a. Egy b élű kocka testátlójának hossza: b. Tudjuk, hogy a - b =, azaz ] a- bg =. Vagyis az élek különbsége: a- b = = $ =. A helyes válasz: D. Két egyenlő hosszúságú 6 cm hosszúságú szakaszból T betűt alakítottunk ki. Milyen messze van a betű vízszintes szárának egyik vége a függőleges szár aljától? A: cm; B: cm; C: 45 cm; D: 7 cm; E: 9 cm. Pitagorasz-tétellel: 6 + = 45. A helyes válasz: C. Attila és Bálint az iskola egyenes kerítéséhez rögzítette egy 5 méter hosszúságú kötél mindkét végét. A rögzítési pontok egymástól 4 méterre vannak. Cili megfogta a kötél közepét és addig távolodott a kerítéstől, amíg a kötél feszes nem lett. Milyen távolra került ekkor a kötél közepe a kerítéstől? x =, 5 - = 5, (m). 4 Egy derékszög alakú képtámasz asztalon fekvő része 8 cm hosszú, a ferde része pedig 6 cm-es. a) Hány fokos szögben áll a vízszintes asztalhoz képest a kép? b) Mekkora a képtámasz függőleges oldala? a) 60 -os. b) x = 6-8 = 9 = 8., 9 (cm). A Pitagorasz-tétel

122 III/8. Összefoglalás 5 Az asztalon öt különböző hosszúságú hurkapálca van. A hosszuk 7 cm, 5 cm, 0 cm, 4 cm és 5 cm. a) Hányféleképpen választhatunk közülük hár mat úgy, hogy egy háromszöget lehessen összeállítani a három szakaszból, mint oldalból? b) Melyek lesznek derékszögű háromszögek az előzőek közül? a) Az összes lehetséges választás: 7, 5, 0; 7, 5, 4; 7, 5, 5; 7, 0, 4; 7, 0, 5; 7, 4, 5; 5, 0, 4; 5, 0, 5; 5, 4, 5; 0, 4, 5. A háromszög-egyenlőtlenség a.,. esetben nem teljesül, tehát 8 különböző háromszöget lehet összeállítani. b) Derékszögűek: 7, 4, 5 és a 5, 0, 5. 6 A szoba sarkából elindult egy hangya. Az útja egy vízszintes, egyenes szakasznak tekinthető a padlón. Amikor megállt, akkor az egyik faltól 9 mm-re, a másiktól pedig 80 mm-re volt. Mennyire távolodott el a saroktól? x = = 89 (mm). 7 Mekkora a területe a következő, oldalaikkal megadott háromszögeknek? a) 6 cm, 6 cm, 65 cm; b) 8 cm, 45 cm, 5 cm; c) cm, 6 cm, 6 cm; d) 5 cm, 5 cm, 56 cm. a) Mivel = 65, ezért a háromszög derékszögű. T = 6 $ 6 = 504 (cm ). b) Mivel = 5, ezért a háromszög derékszögű. T = 8 $ 45 = 60 (cm ). c) A háromszög egyenlőszárú, ezért az alaphoz tartozó magasság Pitagorasz-tétellel: m = , 9 (cm). T $ 60, 9 = = 974, 4 (cm ). Pontosabb értékkel számolva T körülbelül 974,95 cm. d) A háromszög egyenlőszárú, ezért az alaphoz tartozó magasság Pitagorasz-tétellel: m = 5-8 = 45 (cm). T = 56 $ 45 = 60 (cm ). A Pitagorasz-tétel

123 Összefoglalás III/8. 8 Tudjuk, hogy az ABCD deltoidnak csak az A csúcsánál van derékszög. Az AB és az AD oldalak hossza 6 cm, a másik két oldal pedig 0 cm hosszú. Milyen hosszúak az átlók? DB = , (cm). Tudjuk, hogy AE = BE = DE =. A BCE derékszögű háromszögre a Pitagorasz-tétel: EC = 0 - ^ h = 00-8 = 8. Vagyis: AC = AE + EC = + 8., (cm). 9 Mekkora a kerülete a rácsra rajzolt sokszögeknek? A szomszédos párhuzamos egyenesek 5 mm-re vannak egymástól. a) b) a) K = , (mm). b) K = , 4 (mm). 0 Adjunk képletet a rombusz oldalhosszára, ha az átlói e és f egység hosszúak! a = e f e + f e + f b l + c m = =. 4 A Pitagorasz-tétel

124 III/8. Összefoglalás Megmértük egy fiók belső részét: szélessége 40 cm, hosszúsága 60 cm, mélysége cm. Elfér benne egy 7 cm-es vékony, egyenes fémrúd? A téglatest alakú fiók két legtávolabbi pontját összekötő szakasz a testátló: , 7. Vagyis elfér benne. Van három darab egyforma zsömlénk, amelyek félgömbnek tekinthetők. A körlapjaik sugara 6 cm. Úgy tettük körlapjaikkal egy tányérra a zsömléket, hogy páronként egymáshoz érnek. Milyen messze van egy zsömle teteje, a) egy másiknak a tányéron lévő közepétől; b) a másik kettőnek az érintkezési pontjától? a) Legyen az egyik zsömlének a teteje T, az asztalon lévő körlapjának a közepe A, egy másik zsömlének az asztalon lévő körlapjának a közepe pedig B. Az adatok alapján: AT = 6 cm, AB = cm. Az ABT derékszögű háromszögre a Pitagorasz-tétel: BT = 6 + = 80., 4 (cm). b) Legyen a harmadik zsömlének az asztalon lévő körlapjának a közepe C. Az ABC háromszögről tudjuk, hogy az egy cm oldalú szabályos háromszög. A BC felezőpontja legyen F. Ezért az ABC háromszög magasságára felírható: AF = - 6 = 08. Az FTA derékszögű háromszögre a Pitagorasz-tétel alapján: FT = = 44 = (cm) vagy: TCF derékszögű háromszögből: 80-6 = TF TF = cm. 4 A Pitagorasz-tétel

125

126 IV/. Egyenletek Oldd meg az egyenleteket az egész számok halmazán! a) 5x - 0 = 5 b) 4 (x - ) = 8 c) x + = 8x - 6 d) 5x + - x = -8 + x Az a) és b) feladatot célszerű lebontogatással, a c) és d)-t mérlegelvvel megoldani. Minden esetben végezzünk ellenőrzést. a) x = 7 b) x - 8 = 8 x = 6 x = c) x + = 8x - 6 /- x = 8x - 8 /-8x 4x = -8 /:4 x = -7 d) Összevonás után x + = -8 + x /- x = -9 + x /-x -x = -9 / (-) x = 9 Oldd meg az egyenleteket a racionális számok halmazán a lebontogatás módszerével! a) ^x + 6h : 8-7 = b) x a + 4 $ 9 = 7 k ^x + h$ 4 -, ^x - 5h c) = 6 d) = 6 5 4, e) 5 x 9 a - $ = 78, k 5 Javaslat: Az egyenleteket a lebontogatás módszerével célszerű megoldani. Az ellenőrzést fejben végezzük el ott, ahol a számolás nem bonyolult. a) (x + 6) : 8-7 = (x + 6) : 8 = 9 x + 6 = 7 x = 66 x = b) c x + 4m 9 = 7 x = (7 : 9-4) x = - 6 Egyenletek, egyenlôtlenségek

127 Egyenletek IV/. c) d) ] x + g$ 4 = 6 5 x = 6 5 : 4 - x = 4,5 -, ] x - 5g = 6 4, x = 6,4 : (-,) + 5 x = e) b 5 x - l $ 9 = 7,8 5 x = b78, : 9 + l : 5 (7,8 = 5 x = 9 átalakítás könnyítheti a számolást.) 5 Oldd meg az egyenleteket a racionális számok halmazán! a) 8x- ^x+ 4h = x -6 b) 4 ^ x- 9h= 5^6 + xh c) -8 ^ - 7xh+ 6 = 4-4^x- 9h d) x- 7+ 6^x- 8h= 9-^5-4xh+ x e) 5 ^ x - h+ = 8 x ^ h f) 7 9 x x 6 ^- - h= 5-7 ^ h g) 77, ^ x-, 6h=, ^ x+ 07, h - 089, h) 4, x 59, 9 04, x 5 ^ - h + = 0 a - k Mérlegelvvel oldjuk meg az egyenleteket. Először végezzük el a zárójelfelbontást és a lehetséges összevonásokat. Ellenőrzés során az egyenlet jobb és baloldalába is helyettesítsünk be! a) 8x - (x + 4) = x - 6 /zf. 8x - x - = x - 6 /öv. 5x - = x - 6 /+ 5x = x - 4 /-x x = -4 /:(-4) x = -7 Ellenőrzés: baloldal: 8 (-7) - (-7 + 4) = (-) = -47 jobboldal: (-7) - 6 = -47 b) 4(x - 9) = 5(6 + x) /zf. 8x - 6 = 0 + 5x /+6 8x = x /-5x x = 66 x = Egyenletek, egyenlôtlenségek 7

128 IV/. Egyenletek c) -(8-7x) + 6 = 4-4(x - 9) /zf x + 6 = 4-8x + 6 /öv. x - 8 = 40-8x /+8 x = 58-8x /+8x 9x = 58 x = d) x (x - 8) = 9 - (5-4x) + x /zf. x x - 48 = x + x /öv. x - 55 = 9x - /+55 x = 9x + 54 /-9x 4x = 54 /:(-) x =,5 e) 5(x - ) + 5 = 4 (8x + 6) /zf. 5x ,6 = 6x + 4,5 /öv. 5x - 4,4 = 6x + 4,5 /-5x -4,4 = x + 4,5 /-4,5 x = -8,9 f) 6 7 (-9 - x) = (5x - 7) /zf x = 5 x x = 5 x 6 x = 0 /+/ g),7(7x -,6) =,(x + 0,7) - 0,89 /zf.,9x - 4,4 = 6,x +,7-0,89 /öv.,9x - 4,4 = 6,x +,8 /-6,x 5,7x - 4,4 =,8 /+4,4 5,7x = 5,7 /:5,7 x = h) (4, - x) + 5,9 = b, x - 5 l , - x + 59 = 6, x x + 77 = 0, 8 x - 45 / x + 77 = 0,8x x = 0,8x - 45 /+0x 6 = 0,8x - 45 / = 0,8x /:0,8 x = 0-45 / közös nevezőre hozás 0 8 Egyenletek, egyenlôtlenségek

129 Egyenletek IV/. 4 a) Gondoltam egy számra. Hozzáadtam a háromszorosát, így 54,8-et kaptam. Melyik számra gondoltam? b) Gondoltam egy számra. Hozzáadtam a felét, így 74,7-et kaptam. Melyik számra gondoltam? a) Legyen a gondolt szám x. x + x = 54,8 x =,7 Ellenőrzés szövegbe helyettesítéssel. b) Legyen a gondolt szám x. x + x = 74,7 x = 74,7 x = 49,8 Ellenőrzés szövegbe helyettesítéssel. 5 a) Egy szám és a számnál 5-tel kisebb szám összege,. Melyik ez a két szám? b) Egy szám és a nála 9-cel nagyobb szám összege 47,8. Melyik ez a két szám? Az ellenőrzéseket a szöveg alapján végezzük el. a) x + (x - 5) =, /öv x - 5 =, /+5 x = 8, x = 4,5 b) x + (x + 9) = 47,8 x = 9,4 6 Kristófnak és Eszternek összesen Ft zsebpénze van. Amikor mindkettőjük zsebpénze megkétszereződik, Kristófnak annyi zsebpénze lesz, mint Eszternek most. a) Mennyi pénze van most Kristófnak? b) Mennyivel volt több pénze Eszternek? Jelöljük Kristóf pénzét x-szel, ekkor Eszternek ( x) Ft-ja van. Ekkor x = x x = 5000 a) Kristófnak most Ft-ja van. b) Eszternek eredetileg Ft-ja volt, így 5000 Ft-tal több pénze volt, mint Kristófnak. Egyenletek, egyenlôtlenségek 9

130 IV/. Egyenletek 7 A jégkásának elfogyott a negyede, meg még 6 liter jegyezte meg Panni. Én úgy látom, a 60%-a maradt meg mondta Jerry. Mennyi jégkása volt eredetileg a gépben, ha mindkét gyereknek igaza volt? x liter jégkása volt. Elfogyott x + 6 liter, maradt 0,6x liter. 4 x ,6x = x 0,85x + 6 = x x = 40 Eredetileg 40 liter jégkása volt a gépben. Ellenőrzés szöveg alapján. 8 a) Két szám különbsége 7, összege 7. Melyik ez a két szám? b) Két szám különbsége 8, összege 4. Melyik ez a két szám? c) Két egész szám különbsége, szorzata 70. Melyik ez a két szám? a) Legyen az egyik szám x, a másik szám x + 7. Ekkor x + x + 7 = 7 x = 5 Az egyik szám 5, a másik. b) Legyen az egyik szám x, a másik szám x + 8. x + x + 8 = 4 x = - Az egyik szám -, a másik 6. c) Ezt a feladatot egyenlettel felírva nem tudjuk megoldani. Gondolkodjunk másképp! Keressünk két olyan számot, amelynek szorzata 70. Írjuk fel 70 pozitív osztópárjait. -70; -5; 5-4; 7-0. Ezek közül csak a 7-0 jó. A kapott számok ellentettje is megoldás. 0 Egyenletek, egyenlôtlenségek

131 Egyenletek IV/. 9 a) Egy számnak és a kétszeresének a szorzata. Melyik ez a két szám? b) Egy számnak és a háromszorosának a szorzata 4. Melyik ez a két szám? Jelöljük x-szel a kiindulási számot! Ennek segítségével felírhatók az alábbi egyenletek: a) x x = x = x = 6 x = 4 vagy x = -4 A keresett számok 4; 8 vagy -4; -8. b) x x =, melyet átrendezve megkapjuk, hogy x =, melyből az x = vagy az x = - megoldásokat kapjuk. 4 4 A keresett számok ; vagy - ; -. 0 Ali, Bali és Cili életkora egész szám. Hány éves Ali, Bali és Cili? Keresd meg az összes megoldást, ha a következő négy állítás közül pontosan az egyik hamis! a) Ali és Bali együtt évesek. b) Bali és Cili együtt évesek. c) Ali és Cili együtt 6 évesek. d) Ali, Bali és Cili együtt 9 évesek. Vizsgáljuk meg mind a négy esetet. Jelöljük a gyerekek életkorát nevük kezdőbetűjével. Ha az a) hamis, akkor a többi igaz: A b) és d) állítás összevetéséből adódik, hogy Ali 6 éves, c) és d) állításból Bali éves, így Cili 0 éves. Ha a b) állítás hamis, akkor Cili 7 éves, Bali éves, Ali 9 éves. Ha a c) állítás hamis, akkor Cili 7 éves, Ali 6 éves és Bali 6 éves. Ha a d) állítás hamis, akkor összeadva a), b), c)-t, a gyerekek együttes életkorának kétszeresét kapjuk. Ez 8 év. A fele nem egész szám, így ebből nem adódik megoldás. Egyenletek, egyenlôtlenségek

132 IV/. Egyenlőtlenségek Igaz vagy hamis? a) Ha egy egyenlőtlenség mindkét oldalát negatív számmal szorozzuk, a relációs jel megfordul. b) Ha egy egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanannyival csökkentjük, a relációs jel megfordul. c) Ha egy egyenlőtlenség mindkét oldalát pozitív számmal szorozzuk, a relációs jel nem fordul meg. d) Ha egy egyenlőtlenség mindkét oldalát negatív számmal osztjuk, megfordul a relációs jel. a) Igaz b) Hamis c) Igaz d) Igaz Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket a racionális számok halmazán! Ábrázold a meg oldásokat számegyenesen! a) x-7 8 -x b) 8+ x $ -4x- 6 c) -4x-4 $ --x d) 5, x- 4, 0, 7+, 5x e) - 9, +, x $ -54, x-6, 4 Alkalmazzuk a mérlegelvet, figyelve arra, hogy a relációs jel iránya megváltozik minden olyan esetben, ha negatív számmal szorzunk vagy osztunk. a) x 5 = 75, 4 b) x $ - c) x # - d) x 5 e) x $ -7 Egyenletek, egyenlôtlenségek

133 Egyenlőtlenségek IV/. Add meg azokat az egészeket, amelyekre a) -9 a # 9 b) 0 # 4b c) - 5c # d) - 4d a) -9 a # 9 - a # a = -; -; 0; ; ; b) 0 # 4b 0 # b b = 0; ; c) - 5c # c = -; -; 0; ; d) - 4d d = -, -; -; 0; ; 4 Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket a ra cionális számok halmazán! Ábrázold a meg oldásokat számegyenesen! a) ^x- h 5x+ 9 b) 5 ^ -xh# 4^-4x- 6h c) -5^6- xh ^x+ 5h d) 8 ^, x-, 7h# 6-^9, x- 86, h e) -5, - ^, x-0, 4h ^-, -, 6xh$ ^-5h Alkalmazzuk az egyenleteknél tanult eljárást: zárójelfelbontás, összevonás, mérlegelv. a) x - 6 5x + 9 x -5 b) (5 - x) # 4(-4x - 6) 5-6x # -6x # -0x -,9 $ x c) - 5(6 - x) (x + 5) x 9x + 5-4x 44 x - Egyenletek, egyenlôtlenségek

134 IV/. Egyenlőtlenségek d) (,8x -,7) # 6 - (,9x - 8,6),6x - 7,4 # 6 -,9x + 8,6 x # 4 e) -5, - (,x - 0,4) (-, -,6x) (-5) -5, -,x + 0, x - x 5 a) Ha - # x #, akkor mennyi lehet az x? Add meg a választ algebrai alakban és ábrázold számegyenesen is! b) Ha - # x #, akkor mennyi lehet az x? Add meg a választ algebrai alakban, és ábrázold számegyenesen is! a) Próbáljunk ki több számot a megadott számközben. Tapasztalat alapján megállapíthatjuk, ha - # x #, akkor 0 # x # 4. b) Az abszolút érték definíciója alapján, ha - # x #, akkor 0 x. 6 Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket a racionális számok halmazán! Ábrázold a megoldásokat számegyenesen! a) x + 4x - 7 b) x 5 $ 5 4x c) - x + # x + 5 d) 7x + 6- x 4x+ 5 6 a) x + 4x - 7 x + 8x - 4 x 7 7 b) x $ - 5-4x 4 x $ -0-6x 4 Egyenletek, egyenlôtlenségek

135 Egyenlőtlenségek IV/. x $- 8 c) - x+ # x+ 5 / x - 6 # 5x + 5 x $- d) 7x + 6- x 4x+ / 6 6 4x x 4x + x - 7 Ha az a b egyenlőtlenség nem igaz, az azt jelenti, hogy a $ b. Milyen relációs jelet használnál, ha a) nem igaz, hogy a b; b) nem igaz, hogy a # b; c) nem igaz, hogy a $ b. a) a # b b) a b c) a b 8 Péter 5 kg-mal nehezebb, mint Kata, de 5 kg-mal könnyebb, mint Zoli. Ági 7 kg. Legfeljebb hány kg lehet Péter, ha egyszerre négyen beszállhatnak egy 00 kg teherbírású liftbe? Jelöljük Kata tömegét x-szel. Ekkor Péter x + 5 kg tömegű, Zoli x + 0 kg tömegű. x + x x # 00 x # 4,6. Péter tömege legfeljebb 57,6 kg lehet. 9 Apa háromszor olyan nehéz, mint Jancsika, és 8 kg-mal nehezebb, mint anya. a) Legfeljebb hány kg lehet apa, ha egy 60 kg-ot elbíró tandembiciklire még épp rá ülhetnek hárman? b) Legfeljebb hány kiló lehet Jancsika, ha mindhármuk súlya egész szám? Egyenletek, egyenlôtlenségek 5

136 IV/. Egyenlőtlenségek Jancsika x kg, apa x kg, anya x - 8 kg. x + x + x - 8 # 60 x # 78. 5, 4 7 a) Apa legfeljebb 76, kg lehet. b) Jancsika legfeljebb 5 kg lehet. 0 Ha a kádban fürdést egy ember egyetlen hónapra zuhanyzásra cseréli, akkor körül belül,5 m vizet takaríthat meg. Legalább hány napon kellene embernek fürdés helyett zuhanyoznia, hogy egy Velencei-tónak megfelelő vízmennyiséget spórolhassanak meg? (A Velencei-tó vízkészlete kb. 4 millió m.) Egyenlőtlenség felírásával: Jelöljük a hónapok számát x-szel. x, $ x $,64 Legalább,64 hónapig (számoljuk hónapot 0 nappal) azaz legalább 50 napig kellene a fürdést zuhanyzásra cserélni. Egy erdőben háromszor annyi tölgyfa van, mint bükkfa, ezek száma együttesen kevesebb, mint 000. Ha a tölgyfákhoz ültetnének még 00 db fiatal tölgyfát, akkor a tölgyek száma 700-nál több lenne. a) Legfeljebb hány bükkfa van az erdőben? b) Mennyi tölgyfa lehet az erdőben? a) Legfeljebb 49 bükkfa lehet az erdőben, mert ha 50 db lenne, akkor együttesen 000 db fa lenne. Ekkor viszont legfeljebb 747 tölgyfa lenne. b) A bükkfák száma x; a tölgyek száma x. x x 00 Ez azt jelenti, hogy 600-nál több tölgyfa van. Így a tölgyfák száma több mint 600, és kevesebb mint 748. Ennél többet is tudunk a tölgyfákról. A számuk -mal osztható. Így a tölgyfák száma lehet 60, 606, 609, 6, 65,..., 744, 747. Anna és Bori szeretnének megvenni egy kirakót 500 Ft-ért. Anna összegyűjtött pénze Bori pénzének kétszeresénél 00 Ft-tal több. Anyától kaptak még 50 Ft-ot, és még így sem tudták megvenni a játékot. a) Mennyi pénze lehet Annának és Borinak külön-külön? Nagyi megszánta őket, és mindegyiknek adott 00 Ft-ot, így már elegendő pénzük volt, sőt a vásárlás után maradt is. 6 Egyenletek, egyenlôtlenségek

137 Egyenlőtlenségek IV/. b) Mennyi pénzük lehetett a lányoknak, ha tudjuk, hogy pénzük értéke 0-zel osztható? a) Bori pénze x Ft, Anna pénze x + 00 x + x x 50 x 76,6 Bori pénze maximum 75 Ft, Anna pénze legfeljebb 50 Ft. b) Amikor nagyi adott nekik pénz akkor x + x x 950 x 650 A táblázat azt mutatja, mennyi pénze lehetett a lányoknak. Bori pénze (Ft) Anna pénze (Ft) Egyenletek, egyenlôtlenségek 7

138 IV/. Szöveges feladatok számokról, életkorokról Anna 4 éves, apukája 4. Hány év múlva lesznek ketten együtt 00 évesek? x év múlva mindketten x évvel idősebbek lesznek. 4 + x x = 00 x = Válasz: év múlva lesznek együtt 00 évesek. Ellenőrzés szöveg alapján. Gergő 5 éves, anyukája 5. a) Hány évvel ezelőtt volt Gergő negyedannyi idős, mint az anyukája? b) Hány éves volt akkor Gergő? x évvel ezelőtt: (5 - x) 4 = 5 - x x = 6 a) 6 évvel ezelőtt volt Gergő negyedannyi idős, mint anyukája. b) Gergő ekkor 9 éves volt. Ellenőrzés szöveg alapján. Simi és Samu ikrek, kishúguk, Janka 4 évvel fiatalabb náluk. Hárman együtt 9 évesek. Hány éve volt Janka feleannyi idős, mint Samu? Az ikrek x évesek, Janka x - 4 éves. x + x + x - 4 = 9 x = Az ikrek évesek, Janka 7 éves. Három évvel ezelőtt volt Janka feleannyi idős, mint testvérei. 4 Amikor Ádám született, édesanyja 4 éves volt. Hány év múlva lett az édesanyja a) 5-ször annyi idős, mint Ádám; b) -szor annyi idős, mint Ádám; c) -szor annyi idős, mint Ádám; d) -szer annyi idős, mint Ádám? Ha Ádám x éves, édesanyja 4 + x éves. a) x 5 = 4 + x x = Egy év múlva. c) x = 4 + x x = év múlva. Ellenőrzés szöveg alapján. b) x = 4 + x x = Két év múlva. d) x = 4 + x x = 4 4 év múlva. 8 Egyenletek, egyenlôtlenségek

139 Szöveges feladatok számokról, életkorokról IV/. 5 Hány éves most az az ember, aki 6 év múlva ötször annyi idős lesz, mint amennyi 8 évvel ezelőtt volt? Most x éves. x + 6 = 5 (x - 8) x = 4 éves. 6 Dávid nagypapája 0 évvel idősebb, mint Dávid életkorának háromszorosa. 5 évvel ezelőtt nagypapa még -szer annyi éves volt, mint Dávid. Melyikük hány éves jelenleg? Dávid életkora: x Nagypapa életkora: x évvel ezelőtt: x = (x - 5) x = 0 Dávid most 0 éves, nagypapája 70. Ellenőrzés szöveg alapján. 7 Bence éppen hetedannyi idős, mint szülei életkorának az összege. Tavaly apukája még négyszer annyi idős volt, mint Bence, és 5 évvel volt idősebb az anyukájánál. Melyikük hány éves? Foglaljuk táblázatba az adatokat! tavaly idén Bence x x + Apa 4x 4x + Anya 4x - 5 4x = 4x - 4 A szöveg alapján felírható a következő egyenlet: (x + ) 7 = 4x + + 4x x = 0 Bence tavaly volt 0 éves. Most Bence éves, apa 4 éves, anya 6 éves. Ellenőrzés szöveg alapján. Egyenletek, egyenlôtlenségek 9

140 IV/. Szöveges feladatok számokról, életkorokról 8 Egy kétjegyű szám egyik számjegye a másik kétszerese. Ha a számhoz hozzáadjuk a számjegyei felcserélésével kapott számot, akkor egy olyan kétjegyű számot kapunk eredményül, melynek számjegyei megegyeznek. a) Melyik ez a szám? b) Hány ilyen számot találtál? Az első feltételnek megfelelő számok: ; 4; 6; 48; 84; 6; 4;. a) b) Hat ilyen szám van: ; ; 4; 4; 6; 6. 9 Sorold fel azokat a kétjegyű a) számokat, ahol a számjegyek összege 7; b) páratlan számokat, ahol a számjegyek összege 5; c) páros számokat, ahol a számjegyek összege 0! A számjegyek egyjegyű nemnegatív egész számok. a) 89; 98 b) Az egyik számjegynek legalább 6-nak kell lenni. 69; 87 c) 8; 46; 64; 8 0 Egy kétjegyű szám első számjegye 6-tal kisebb, mint a második. Ha ezt a számot ki vonjuk a számjegyei felcserélésével kapott számból, akkor 54-et kapunk. Melyik ez a szám? Célszerű a leckében szereplő táblázatot alkalmazni. Eredeti szám:0 (x - 6) + x Felcserélt szám: 0 x + x - 6 Összefüggés közöttük: 0 x + x [0 (x - 6) + x] = 54 Megoldva az egyenletet azonosságot kapunk, azaz minden olyan kétjegyű szám jó megoldás, ahol az első számjegy 6-tal kisebb, mint a második. 7; 8; 9. Másik megoldás: összesen szám jöhet szóba, ezeket kipróbálva látjuk, hogy mindegyik megfelel a feltételnek, így kész vagyunk, nem kell egyenlet sem. Egy kétjegyű szám első számjegye 5-tel nagyobb, mint a második. Ha ennek a számnak a kétszeresét hozzáadjuk a számjegyek fel cserélésével kapott számhoz, eredményül 7-et kapunk. Melyik ez a szám? Eredeti szám: 0 (x + 5) + x Felcserélt szám: 0 x + x + 5 [0 (x + 5) + x] + 0 x + x + 5 = 7 x + 05 = 7 x = A keresett szám a 7. Ellenőrzés szöveg alapján. 40 Egyenletek, egyenlôtlenségek

141 Szöveges feladatok számokról, életkorokról IV/. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. Ha a szám négyszereséhez hozzáadjuk a számjegyek felcserélésével kapott szám hatszorosát, 650-et kapunk. Melyik ez a kétjegyű szám? Legyen a kétjegyű szám első számjegye x, a második számjegye - x. Eredeti szám: 0 x+( - x) = 9x + Felcserélt szám: 0 ( - x) + x = 0-9x (9x + ) 4 + (0-9x) 6 = x = 650 x = A keresett szám a 8. Edit, Emil, Enikő és Elemér testvérek. Elemér két év híján kétszer annyi idős, mint Edit. Emil 0 évvel fiatalabb, mint Elemér. Enikő épp feleannyi idős, mint testvérei életkorának az összege. Négyen együtt 69 évesek. Hogy hívják az ikreket? Edit: x éves Elemér: x - Emil: x Enikő: x + x - + x - = 5 x - 4 x+ x- + x - + 5x - 4 = 69 5x - 4 = 8 x = Edit éves, Elemér éves, Emil éves, Enikő éves. Edit és Emil ikrek. 4 Gazsi levelet írt az édesapjának. A levélben ennyi állt: Apa megfejtette a rejtvényt, jót mosolygott és átutalta a pénzt. Mennyi pénzre volt szüksége Gazsinak, ha a különböző betűk különböző számokat jelölnek az összeadásban? Ft-ra volt szüksége Gazsinak. Egyenletek, egyenlôtlenségek 4

142 IV/4. Szöveges feladatok összekeverésről Számítsd ki az alábbi mennyiségeket! a) Mennyi az epertartalma dl 6%-os epres joghurtnak? b) Mennyi a gyümölcstartalma 4 liter 5%-os almalének? c) Mennyi a kakaótartalma 5 dkg 70%-os csokoládénak? a) 0,06 = 0, dl az epertartalma. (0, dl = ml.) b) 4 0,5 = liter. c) 5 0,70 = 7,5 dkg. Határozd meg, hány gramm cukrot tartalmaznak az alábbi élelmiszerek, majd számold ki, hány darab kockacukornak felel meg ez a mennyiség! Egy kockacukor tömege kb., g. Figyelj az általad fogyasztott ételek cukor tar talmára! a) 8 grammos, 9,6%-os cukortartalmú tejszelet b) 60 grammos, 7,5%-os cukortartalmú ke tchup c) 0 grammos, 9%-os cukortartalmú müzliszelet d) 00 grammos,,%-os cukortartalmú, meggy ízű joghurt e) 500 ml-es,,%-os cukortartalmú, szén savas üdítőital f) 90 grammos, 9,7%-os cukortartalmú, gyümölcsös bébiétel a) 8 0,96 = 8,88 gramm, kb. két és fél kockacukor. b) 60 0,75 = 8 gramm, kb. 8 és fél kockacukor. c) 0 0,09 =,8 gramm, kb. fél kockacukor. d) 00 0, = 6,6 gramm, kb. kockacukor. e) 500 0, = 66 gramm, 0 kockacukor. f) 90 0,097 = 8,4 gramm, kb. 5 és fél kockacukor. Hány százalék a kakaótartalma annak a tábla csokoládénak, amelyik 00 grammos, és 76 gramm kakaó van benne? = 8%-os a kakaótartalom Egyenletek, egyenlôtlenségek

143 Szöveges feladatok összekeverésről IV/4. 4 a) 5 liter,4%-os sótartalmú tengervízhez 5 liter édesvizet öntünk. Hány százalékosra változott így a tengervíz sótartalma? Feltételezzük, hogy liter tengerviz kb. kg. b) Hány liter édesvizet kell önteni 5 liter,4%-os sótartalmú tengervízhez, hogy,5%-os sós vizet kapjunk? a) A feladat szerint 5 l kb. 5 kg, és 5 kg tengervízben 5 0,04 = 0,5 kg só van. Édesvíz hozzáöntésével a sótartalom nem változik, ezért 05, 00 =,55%-os lett a keverék 0 sótartalma. b) 05, 00 =,5 5 + x x = 9 kg, azaz 9 liter édesvizet kell hozzáönteni. 5 Az egyes országokban igen különböző a megítélése annak, hogy mekkora klór koncentrációra van mg mg szükség a strandok medencéinek fertőtlenítéséhez. Ez az érték 0, -től, -ig változhat. l l a) Számold ki, hány gramm klórt tartalmaz egy 0 0 méteres úszómedence a két szélsőséges esetben! b) Hány százalék a klórtartalma a medencében lévő víznek? a) Az úszómedence 400 m = dm = liter vizet tartalmaz, ha teletöltik. mg 0, klórkoncentráció esetén 0, = mg = 0 gramm. l mg, klórkoncentráció esetén, = mg = 480 gramm. l 0 gramm b) 0 gramm esetén 00 = 0,0000%-os a klórtartalom gramm 480 gramm klór esetén ennek négyszerese, azaz 0,000%-os. Vagy számolhatunk a megadott 0, mg, illetve, mg mennyiségekből: l l 0, mg l = 0,000 g 000 g = 0, = 0,0000% 6 Mennyi vizet öntsünk liter 00%-os almaléhez, hogy 65%-os almalevet kapjunk? 00 = 65 + x x., liter vizet kell önteni a liter 00% almaléhez. Egyenletek, egyenlôtlenségek 4

144 IV/4. Szöveges feladatok összekeverésről 7 Összeöntünk liter 0%-os és liter 00%-os gyümölcslevet. Hány százalékos lesz az így nyert ital? $ 0, + 00 = 5%-os az összekevert ital. 5 8 Mennyi vizet kell elpárologtatni 85 kg 6%-os sóoldatból, hogy 8%-os sóoldatot kapjunk? Jelöljük az elpárologtatott víz mennyiségét x-szel! 85 0,06 = (85 - x) 0,08 Az egyenletet megoldva megkapjuk, hogy,5 kg vizet kell elpárologtatni. (Ha feltételezzük, hogy liter viz kb. kg, akkor ez kb.,5 liter víz.) 9 Egy kereskedő két termelőtől vásárolt barackot. Az egyiktől kilónként 00 Ft-ért 80 kg-ot, a másiktól kilónként 40 Ft-ért 0 kg-ot. Az összes barackot összeöntötte. a) Átlagosan hány Ft-ba került a barack kg-onként? b) Hány kg-ot kellene még vásárolnia az olcsóbb fajtából, hogy a kilónkénti ára 60 Ft legyen? a) 00 $ $ 0 = 64 Ft az egységár. 00 kg b) (0 + x) = 60 (00 + x) x = kg olcsóbb barackot kellene még vásárolnia. 0 Két hordó áll a pincében. Az egyikben 00 li ter víz van, a másikban pedig 00 liter alkohol. Zsiga egy pohár vizet átmer az alkoholos hordóba. Megkeveri, majd ebből a keverékből merít át egy pohárnyit a vizeshordóba. A vizeshordóban lesz több alkohol, vagy az alkoholoshordóban lesz több víz? A második merítés után mindkét hordóban 00 liter folyadék van. A második átöntés után annyi alkohol hiányzik az alkoholos hordóból, amennyi alkohol a vizes hordóban van. De ekkor a vizes hordóból ugyanennyi víz került át az alkoholos hordóba. Így tehát a vizes hordóban ugyanannyi alkohol van, mint amennyi víz van az alkoholos hordóban. 44 Egyenletek, egyenlôtlenségek

145 Szöveges feladatok mozgásról, munkáról IV/5. Dóri és Dani, az egyéves ikrek négykézláb mászva közlekednek a lakásban. Amikor délután meghallják, hogy megérkezett apa, közös szobájukból teljes gőzzel a bejárat felé indulnak. Dóri mp alatt métert, Dani pedig 5 mp alatt métert tesz meg. a) Ki a gyorsabb? b) Ki mennyi idő alatt teszi meg a szükséges métert? Dóri sebessége: v = m = 05, m s s Dani sebessége: v = m = 06, m 5 s s Dani a gyorsabb. Dóri 4 mp alatt teszi meg az utat, Dani 0 mp alatt. Én 8 km -val szoktam hazafelé biciklizni dicsekszik Imi. h Az semmi válaszol Laci. Én a múltkor úgy száguldoztam, hogy 4 métert tettem meg másodpercenként. a) Ki a gyorsabb? b) Ki hány km-t tesz meg a 0 perces hazaút alatt? a) Laci sebessége: v = 4 m = 4,4 km. s h Így Imi a gyorsabb. b) 0 perc = óra. A megtett útjuk: Imié: s = 8 km = 6 km. Lacié: s = 4,4 km = 4,8 km. Egyenletek, egyenlôtlenségek 45

146 IV/5. Szöveges feladatok mozgásról, munkáról Szili és Boti km-re laknak egymástól. Délelőtt 0 órakor elindultak egymás felé, mert megbeszélték, hogy a Botiéktól 4 km-re lévő parkban találkoznak. Szili biciklivel ment, Boti görkorival. Szili átlagsebessége 6 km. h a) Hány órakor találkoztak? b) Mekkora volt Boti átlagsebessége? c) Fél órát beszélgettek a parkban, aztán Szili biciklivel hazavitte Botit, majd hazakerekezett. Hány órára ért haza Szili? a) Szili 8 km-t tett meg 6 km átlagsebességgel, ehhez fél órára volt szüksége. Így fél -kor találkoztak. h b) Boti 4 km-t tett meg fél óra alatt, így az ő átlagsebessége 8 km. h c) Szili a beszélgetés után 6 km-tett meg, ehhez egy órára volt szüksége. Így Szili órára ért haza. 4 Alabárból Balabárba 9 órakor elindult egy terepjáró, 0:5-kor pedig egy motor. A terepjáró órakor negyed órára félreállt tankolni, majd folytatta az útját. A két jármű :45-kor egyszerre érkezett meg Balabárba. A motoros fél perc alatt tett meg km-t. a) Milyen messze van Alabártól Balabár? b) Mekkora a terepjáró és a motoros átlag sebessége? a) A motoros mentideje óra, sebessége 0 km. h A megtett út s = 0 7 km = 80 km. b) A motoros átlagsebessége már szerepelt a szövegben: km-t fél perc alatt tett meg, tehát 0 km h. Az átlagsebesség = összes út összes idő. A terepjáró átlagsebessége: v = 80,75 = 74 km h. 74,67 km h. 5 Latouret őrmester kivezényli Galamb közlegényt, hogy ásson egy 0,5 m széles, 6 m hosszú,,5 m mély lövészárkot a sivatag szélén. Egyedül 4 óra alatt végezne az ásással. a) Galamb barátja, Troppauer Hümér, a költő, szintén 4 óra alatt ásná ki egyedül a lövész ár kot. Mennyi idő alatt ásnák ki ketten együtt? b) Közös barátjuk, Minkusz is 4 óra alatt végezne a munkával egyedül. Mennyi idő alatt ásnák ki hárman együtt? c) Ha az ezred minden katonája 4 óra alatt ásná ki a lövészárkot, akkor igaz-e, hogy ezer katona 86,4 másodperc alatt ásná ki az árkot együtt? 46 Egyenletek, egyenlôtlenségek

147 Szöveges feladatok mozgásról, munkáról IV/5. a) Ketten együtt óra alatt ásnák ki a lövészárkot. b) Hárman együtt 8 óra alatt végeznek. c) Ha ezer katona két oldalról odaállna,, cm hely jutna fejenként. Elvileg kiszámolható lenne, de ezer katonát nem lehet ilyen kis helyre odavezényelni. 6 Én egy óra alatt összepakolom a lakást, neked viszont másfél óráig tart. Csináljuk meg együtt! javasolja Judit az öccsének. Hány perc alatt végeznek, ha közösen raknak rendet? Felírhatjuk az alábbi egyenletet: x + x =, melyet megoldva kapjuk, hogy x = 6, azaz ketten 6 perc alatt összepakolnak A vegetáriánus vámpír 0 perc alatt hámoz meg egy tál vérnarancsot. Felesége 0 perc alatt készül el vele. Hány perc alatt végeznek, ha együtt dolgoznak? Az előző feladathoz hasonló gondolatmenettel dolgozva: x + x =, melyet megoldva megkapjuk, hogy perc alatt kész a vérnarancs pucolás Aladár,5 óra alatt tölti fel egyedül az összes farsangi képet és videót a netre. Ha Kriszta is segít neki, akkor 87,5 perc alatt végeznek. Mennyi idő alatt végezne Kriszta egyedül a feltöltésekkel? Írjuk táblázatba az adatokat: Aladár Kriszta A táblázat alapján felírhatjuk az egyenletet: 87, 5 875, + = 50 x 87, 5 6, 5 = x 50 5 = 6, 5x x = 0 Tehát Kriszta 0 perc alatt végez egyedül a feltöltésekkel. egész munka perc alatt 87,5 perc alatt 87, 5 50 perc , 5 x perc x x Egyenletek, egyenlôtlenségek 47

148 IV/5. Szöveges feladatok mozgásról, munkáról 9 A városi sportpályának három különböző teljesítményű és márkájú fűnyíró robotja van. Az Atolosz óra alatt, a Portolosz 4 óra alatt, az Aramosz 6 óra alatt nyírja le a füvet a foci pályán. a) Hány perc alatt végez a fűnyírással az Atolosz és a Portolosz, ha együtt dolgoznak? b) Hány perc alatt vágja le a füvet a Portolosz és az Aramosz? c) Mennyi idő kell a három robotnak, ha egyszerre dolgoznak? a) x + x = egyenletből megkapjuk, hogy a két robot óra. 0 perc alatt végez. 4 7 b) x + x = egyenletből megkapjuk, hogy a két robot,4 óra = 44 perc alatt végez. 4 6 c) x + x + x = egyenletből megkapjuk, hogy a három robot o, óra = 80 perc alatt végez Egyenletek, egyenlôtlenségek

149 Szöveges feladatok a geometria köréből IV/6. Egy háromszögben az oldalak aránya : 4 : 7, kerülete pedig 08 cm. Mekkorák az oldalai? Az arányoknak megfelelő oldalak 9 cm, 6 cm és 6 cm. Vigyázat!!! Ezek a hosszak nem lehetnek egy háromszög oldalai! Egy háromszögben a szögek aránya : : 5. a) Lehet-e a háromszög egyenlő szárú? b) Mekkorák a szögei? a) Mivel nincsenek egyenlő szögei, nem lehet egyenlőszárú háromszög. b) A keresett szögek: 6 ; 54 ; 90. Egy egyenlő szárú háromszög két oldalának aránya : 7, kerülete pedig cm. Mekkorák a háromszög oldalai? Két esetet különböztethetünk meg. II. eset: az oldalak aránya : : 7, ekkor az oldalak 5 cm, 5 cm, 9 cm (Ez NEM lehet egy háromszög három oldala!) II. eset: az oldalak aránya : 7 : 7, ekkor az oldalak 9 cm, 9 cm, 9 cm. A feladatnak egy megoldása van. 4 Egy derékszögű háromszög egyik befogójának hossza a másik befogó harmada. Ha a befogókat - cm-rel növeljük, a háromszög területe 8 cm -rel nő. Mekkora az eredeti háromszög területe? cm a 8 cm a Jelöljük a két befogót a-val és a-val. Ekkor felhasználva a háromszög területképletét felírhatjuk: a$ a ] a+ g] a+ g + 8 = / ; zárójelfelbontás a + 6 = a + a + 6a + 4 /összevonás a + 6 = a + 8a + 4 /-a 6 = 8a + 4 /-4 = 8a /: 8 a = 4 Az eredeti háromszög területe 4 cm. cm Egyenletek, egyenlôtlenségek 49

150 IV/6. Szöveges feladatok a geometria köréből 5 Egy szabályos sokszög belső szögeinek összege 60. Hány oldalú a sokszög? Az n oldalú szabályos sokszög belső szögeinek összege (n - ) 80 képlettel kiszámolható, így megoldva az (n - ) 80 = 60 egyenletet megkapjuk, hogy a keresett sokszögnek 4 oldala van. 6 Két négyzet oldalainak aránya 4 : 5, kerületük összege 08 cm. a) Mekkorák a négyzetek oldalai? b) Mekkorák annak a négyzetnek az oldalai, amelynek területe megegyezik a fenti négyzetek területének összegével? a) A négyzetek oldalai között fennálló arányosság a kerületek között is igaz, így a két négyzet kerülete 48 cm és 60 cm, amelyekből meghatározhatjuk a keresett oldalhosszakat cm és 5 cm. b) A területeket összeadva + 5 = 69, melyből a nagy négyzet oldala 69. 9, cm. 7 Egy konvex sokszögnek összesen 90 átlója van. Hány oldalú a sokszög? Jelöljük n-nel a konvex sokszög csúcsainak számát! Ekkor nn ] - g = 90 egyenletet kapjuk. n(n - ) = 80 Az egyenletet próbálgatással oldhatjuk meg, mert a pozitív egész számok halmazán keressük a megoldást. A sokszögnek 5 csúcsa van. 8 Egy derékszögű háromszög belső szögeinek aránya : :. Hány fokos szöget zár be egymással a derékszögű csúcsból induló magasságvonal és a belső szögfelező? A háromszög egy szabályos háromszög felének, belső szögei 0, 60, 90. Lerajzolva a háromszöget és felhasználva az adatokat megkapjuk, hogy a keresett szög Egyenletek, egyenlôtlenségek

151 Szöveges feladatok a geometria köréből IV/6. 9 Egy konvex sokszögnek kétszer annyi átlója van, mint oldala. Hány oldalú a sokszög? Jelöljük n-nel a sokszög oldalainak számát. Ekkor felírhatjuk a következő egyenletet: nn ] - g = n Rendezve: n(n - ) = 4n n - n = 4n n = 7n ebből megkapjuk, hogy a keresett síkidom egy hétoldalú sokszög. 0 A paralelogramma egyik oldala 5 cm-rel nagyobb, mint a másik oldal kétszerese, kerülete pedig 8 cm. a) Mekkorák a paralelogramma oldalai? b) Mekkora a területe, ha a hosszabbik oldalhoz tartozó magassága egyenlő a két oldal különbségének ötödével? a) Az adatok alapján jelöljük a paralelogramma oldalait a-val és a + 5-tel és írjuk fel a kerületét! K = 8 = (a + a + 5) egyenletből megkapjuk, hogy az oldalai 45,5 cm és 96 cm hosszúak. b) A magassága (96-45,5) : 5 = 0, cm, így a területe T = 96 0, = 969,6 cm. Egyenletek, egyenlôtlenségek 5

152 IV/7. Vegyes feladatok Kicsit csöpög a csap, így óránként másfél liter víz csöpög el feleslegesen. A vízdíj területenként igen változó, egy országon belül többszörös díjkülönbség is előfordulhat. Például míg Budapesten 8 m Ft, addig Pécsett 45 m Ft a vízdíj. a) Mennyi víz folyik el így feleslegesen egy év alatt? b) Körülbelül mekkora lenne annak a kockának az éle, amelyikbe ez a vízmennyiség pontosan belefér? (Használj számológépet!) c) Egy gyerek átlagosan,5 liter vizet iszik naponta. Hány gyereknek lenne meg az egy napra szükséges ivóvize az egy hónap alatt elcsöpögő vízből? d) Hányszor tudnál belőle lezuhanyozni? (Nézz utána, átlagosan mennyi vizet használ el egy ember zuhanyzáskor!) e) Mennyivel fizet többet a feleslegesen elfolyt vízért egy pécsi lakos, mint egy budapesti? f) Nézz utána, mennyibe kerül nálatok m víz, és számold ki, hogy hasonló helyzetben mennyi pénzt pazarolnátok el! g) Nézz utána, hol a legdrágább a víz a világon! a) 65 4,5 = 40 l. b) 40 l = 40 dm = a, így okostelefonnal köbgyököt vonva megkaphatjuk, hogy a.,59 dm..,4 m élű kockába férne bele. c) 0 4,5 = 080 l, ami 70 gyerek napi vízszükségletét fedezné. d) A zuhanyzáshoz 60 liter víz is elegendő, így egy év alatt 40 : 60 = 9 zuhaznyozás, egy hónap alatt ennek tizenketted része, kb. 8 zuhanyozás jön ki ennyi vízből. e) Napi 6 liter, évi 40 liter víz folyik el feleslegesen. Ez Pesten 864,5 Ft, míg Pécsett 5584,5 Ft, így kerekítve 70 Ft-tal többet fizetnek érte Pécsett egy év alatt. Egy hónap alatt ennek tizenketted része, kb. 0 Ft a különbség. f) g) A NatGeo szerint a világ legdrágább vízdíját Koppenhágában kell megfizetni: Dánia fővárosában ugyanis,4 USA-dollárba kerül egy köbméternyi víz. A víz értéke azonban felbecsülhetetlen, hisz Földünk számos helyén nem jutnak elegendő vízhez az emberek. ( Az ötfős Kertész család síelni megy Ausztriába. Együtt készülődik apa, anya, a 4,5 éves Geri, a 9 éves Alma és a éves Dia. A sípályát már kiválasztották, a síbérleteket pedig interneten keresztül előre kifizették, mert így olcsóbb volt. Most szállást keresnek. Az egyik lehetőség, hogy megszállnak Magyarországon, és napi 00 km-t autóznak (50 km-t a sípályáig, majd ugyanennyit vissza a szállodáig). A másik lehetőség, hogy megszállnak egy osztrák szállodában a sípálya mellett. Az árakat táblázatba foglaltuk: 5 Egyenletek, egyenlôtlenségek

153 Vegyes feladatok IV/7. Magyar szálloda Osztrák szálloda Felnőtt 0 4 éves gyerek 4 8 éves gyerek 8 4 éves gyerek 7500 Ft/fő/éj (félpanzióval) ingyenes a felnőtt ár 50%-a a felnőtt ár 70%-a 0 euró/fő/éj (félpanzióval) ingyenes a felnőtt ár 40%-a a felnőtt ár 75%-a a) Számold át forintba az euróban megadott osztrák árakat! (Nézz utána az interneten, hány Ft-ért tudsz eurót váltani!) b) Számold ki, melyik szállodában mennyibe kerül éjszaka az 5 fős családnak! c) Mennyibe kerül a napi 00 km megtétele, ha az autó 7,6 liter benzint fogyaszt 00 km-en? (Nézz utána az aktuális benzináraknak!) d) Számold ki, mennyibe kerülne egy 5 napos, 4 éjszakás szállás a Kertész családnak Magyar országon és Ausztriában! A magyarországi szállás esetén a plusz benzinköltséget is add hozzá a költségekhez! e) Mennyibe kerülne ez a túra a te családodnak? f) Hány forinttal kell kevesebbet fizetni az osztrák szállodában, ha a szállás félpanzió nélkül csak euró/fő/éj egy felnőttnek? g) Ha a Kertész család az árat félpanzió nélkül kéri, itthonról kell ennivalót vinniük, ami Ft pluszköltség. Mennyibe kerül ezzel együtt a szállás és az étkezés? h) Te melyik szállodát választanád? Miért? Indokold meg a választásodat! a) Foglaljuk táblázatba az árakat, euro jelenleg kerekítve Ft. felnőtt 0 4 éves gyerek 4 8 éves gyerek 8 4 éves gyerek osztrák szálloda 990/fő/éj 756/fő/éj 704,5/fő/éj b) Egy éjszaka az egész családnak: Magyarországon: 9 50 Ft Ausztriában: 6 6 Ft c) A benzint 400 Ft átlagárral számolva 040 Ft. liter 00 km d) 4 éjszakára az egész családnak: Magyarországon, ha 4 napon síelnek (4-szer 00 km plusz utat jelent): 9 60 Ft Tételesen: A szállás a két felnőttnek Ft, a két nagyobb gyereknek Ft, a kisgyereknek Ft. A benzinköltség 60 Ft. Ha mind az 5 napon mennek síelni, akkor a benzinköltség 5 00 Ft-ra módosul, így az egész költség 00 Ft lesz. Ha csak napon mennek síelni, akkor a benzinköltség csak 9 0 Ft, így a teljes költség 6 0 Ft. Ausztriában: Ft e) Egyéni válaszok. f) + 0,4 + 0,75 = 6 855,4 Ft/éj/Kertész család kerülne, ami 9765,6 Ft-tal olcsóbb lenne. g) 4 4,6 Ft lenne az osztrák szállás a hazai pluszköltséggel, félpanzió nélkül. h) Egyéni válaszok. Egyenletek, egyenlôtlenségek 5

154 IV/7. Vegyes feladatok Néhány barát elindult a hétvégi Élj egészségesen! félmaraton futóversenyen ( km). A start 9:00 órakor volt, 8000 indulóval. a) Péter tervezett átlaga 5,5 perc volt km-enként. Hány órakor ér célba, ha végig tartani tudja ezt a tempót? b) Sanyi is 5,5 perces átlagtempót tervezett, de sikerült gyorsabban futnia, így 5 perc mp alatt futott le km-t. Hány perccel előbb ért célba, mint Péter? c) Hány km -val futott Sanyi? h d) Gergő km -s átlagsebességgel futott. Hány perc alatt fut le km-t? Hány méter van még hátra h Sanyinak, amikor Gergő beér a célba? e) Hány perc alatt futott le km-t az az induló, aki :45-re ért célba? f) A férfi félmaraton világcsúcsát az eritreai származású Zersenay Tadese tartja 58:-as idővel. Hány métert fut perc alatt? Hány perc alatt fut km-t? g) Te hány perc alatt futsz le km-t? Ha ezt a tempót tartani tudnád, le bírnád-e futni órán belül a félmaratont? a) Péter 5,5 perc alatt lefutja a távot, így 0 : 55 : 0-kor ér célba. b) Sanyi perc másodperc alatt lefutotta a félmaratont, így perc 7 másodperccel, azaz,45 perccel előbb célba ért. c) Sanyi 5, 8o perc alatt futott le km-t, így 60 : 5, 8o.,5 km -val futott. h d) Gergő 5 perc alatt lefut km-t, így 05 perc alatt lefutja a félmaratont. Ekkor Sanyinak még 8,05 percet kell futnia ahhoz, hogy beérjen a célba, ami,495 km még, azaz 495 méter. e) 65. 7,86 perc. 7 perc 5 s. f) perc alatt: : 58, 8o km = 0,597 km = 59,7 m futott le a világcsúcstartó. km-t: 58, 8o : =,78 perc alatt fut le. g) Egyéni válaszok. 54 Egyenletek, egyenlôtlenségek

155 Pénzügyi feladatok IV/8. A nagybátyám bankban dolgozik. Tegnap délután sokat beszélgettem vele, és a következőket tudtam meg: Ha bankban tartom a pénzemet, az biztonságosabb, mintha itthon tartanám, ráadásul évente 0,4%- ot kamatozik is. Ha van egy kevés megtakarításom, azt érdemesebb inkább le kötni, hiszen akkor évenként 4% a kamat. Ha két évig bent hagyom a pénzem, akkor már úgynevezett kamatos kamattal számolhatok. Ez azt jelenti, hogy egy év elmúltával már a kamattal megnövekedett pénzem kamatozik tovább a következő évben. a) Számítsd ki, mennyi pénzem lesz egy év múlva, ha Ft-ot tartok a bankban! b) Hány forinttal gyarapodik a pénzem abban az esetben, ha évre lekötöm? a) ,004 = Ft, ha nem kötöm le. Ha lekötöm a pénzt, akkor ,04 = Ft. b) Éven belül egyszerű kamatozással számolunk, ami egy évre 4%. Mivel egy év után kamatos kamattal kell számolni, ezért év után, ,04,04,04 = , Ft. A pénzem tehát 8 70 Ft-tal gyarapodik.. Sokan úgy döntenek, hogy a pénzüket valamilyen ingóságba fektetik. Az autó erre nem jó megoldás, hiszen annak a megvásárlás pillanatától csökken az ára. A használat során bekövetkező értékvesztést nevezik amortizációnak. Egy autó értéke az első évben 0%-kal, a másodiktól a hatodik évig évente 0%-kal csökken Ft-ért vásároltam új autót. a) Mennyit ér az autóm év múlva? b) Mennyit ér az autóm év múlva? c) Mennyit ér az autóm 6 év múlva? d) Nézz utána az interneten, melyik Magyarországon gyártott típus kerül új korában Ft-ba! e) Nézz utána az elektromos autók átlagos amortizációjának. Melyik típusú autó veszít többet az értékéből azonos időtartam alatt, a benzines vagy az elektromos? a) ,8 = Ft-ért tudnám eladni a kocsit év után. b) ,9 = Ft-ot érne év múlva. c) ,9 5 = Ft-ot kapnék érte 6 év múlva. d) Például a kecskeméti Mercédesz gyárban találunk pár hasonló árkategóriájú autót. e) Saját kutatómunka. Típustól függhet a válasz. Egyenletek, egyenlôtlenségek 55

156 IV/8. Pénzügyi feladatok Sok ember úgy gondolja, hogy a lakás vásárlás a jó befektetés. Ha készpénzből ki tudjuk fizetni, egyszerű a dolgunk. Ha lakáshitelt kell rá felvennünk, akkor már nagyobb a kockázat. A felvett kölcsön után nemcsak a felvett összeget kell visszafizetnünk, hanem a kamatot a pénz használatának árát is meg kell fizetnünk. a) Hány forintot fizetünk vissza a banknak, ha Ft hitelt vettünk fel lakás vásárlásra, és 0 éven keresztül havi Ft a törlesztőrészlet? b) Hány forintot fizetünk vissza a banknak, ha Ft hitelt vettünk fel lakás vásárlásra, és 5 éven keresztül havi Ft a törlesztőrészlet? a) = Ft-ot kell visszafizetni a banknak. b) = Ft-ot kell visszafizetni a banknak. 4 A barátomnak ikrei születtek, ezért vásárolt a családjának egy új, nagyobb lakást. Összegyűjtött egy jelentősebb összeget, hitelt is vett fel, így 0 éven keresztül havi forintot törleszt a banknak. A régi lakását kiadta, ami reményei szerint fedezi majd az új lakás törlesztő részletét és azt a pluszköltséget is, amennyivel az új lakás rezsije több lett. Hány forintért kellene kiadnia a régi lakását, ha a törlesztőrészleten túl a Ft-os rezsikülönbözetet is ebből szeretné fizetni? A tervezett havi bevétel = 9 50 Ft kell hogy legyen. Megjegyzés: az ingatlankiadást adó is terheli, a jövedelem 5%-a. Ha ezt is hozzászámoljuk, akkor 9 50 $ 00, azaz kerekítve Ft jön ki Egyre több ember vásárol részvényt, ettől remélve a meggazdagodást. A részvény bármikor megvehető és eladható. Árfolyama állandó mozgásban van, akár egyetlen napon belül is több százalékot emelkedhet vagy csökkenhet. Itt nagyon nagy összegeket lehet gyorsan el veszíteni vagy nyerni, ezért nagy elővigyázatosságot igényel a részvényekkel való kereskedés! A részvények adásvétele nagyon sok matematikai ismeretet igényel a pénzpiac területéről. a) dollárért mobiltelefon-részvényeket vásároltam. Az értéke első nap 4%-kal növekedett, a második nap 4%-kal csökkent. Mennyit ér most a részvényem? b) Egy másik alkalommal 5000 dollárért vásároltam részvényeket. Az értéke első nap,5%-kal nőtt, második nap,9%-kal csökkent, harmadik nap pedig,8%-kal ismét csökkent. Mennyit ér most a részvényem? a) 0 000,04 0,96 = 9984 dollárt ér most a részvény. b) 5000,05 ( - 0,09) ( - 0,08) = 5000,05 0,9808 0,986 = 5006,56 dollárt ér most a részvény. 56 Egyenletek, egyenlôtlenségek

157 Pénzügyi feladatok IV/8. 6 Magyarországon 946-ban sikerült világrekordot dönteni, de erre nem lehetünk büszkék. Sokáig az akkori magyar infláció volt a legmagasabb, az ilyen magas inflációt hiperinfláció nak nevezik ban pengő volt a magyar fizetőeszköz neve és gyorsan elértéktelenedett. Egy kiló kenyér például 945 augusztusában 6 pengőbe került, ezzel szemben a következő év május elején már 8 millió, míg június végén már 5,85 milliárd (!) pengőt kellett érte kifizetni. Az infláció tetőpontja aztán az 946-os év július hónapja lett, amikor egy hónap alatt billiót romlott a pengő értéke, vagyis az árak átlagosan 5 óránként megduplázódtak. alapján a) Hányszorosára nőtt a kenyér ára 45 augusztusa és 46 májusa között? Hány százalékos ez az emelkedés? b) Hányszorosára nőtt a kenyér ára 45 augusztusa és 46 június vége között? Hány százalékos ez az emelkedés? c) Írd le a billiót ( billió = 0 ) szöveg helyett nullákkal, majd normálalakban is! a) & 00%, azaz százharminchárommillió százalékos emelkedés volt, 6 meg még egy kicsi. b) , 5 & 7 5%, ez már csak kb százalékos emelkedés egy hónap alatt. c) = 4,9 0 6 Egyenletek, egyenlôtlenségek 57

158 IV/8. Pénzügyi feladatok 7 A grafikon alapján válaszolj a kérdésekre! A számításokhoz használj zsebszámológépet vagy mobiltelefont! a) Melyik évben volt a legmagasabb az infláció? b) Mennyit veszített az értékéből 000 Ft 99 és 000 között? c) Mennyit veszített az értékéből 000 Ft 00 és 00 között? d) Keresd meg az interneten, hogy mi az elnevezése a negatív inflációnak! a) 99-ben 5% b) Kiszámoljuk 99 január és 00 január között, azaz a grafikon alapján az adatok Év Százalékos emelkedés 5,0,0,5 8,8 8,,6 8, 4, 0, 9,8 Hányszoros,5,,5,88,8,6,8,4,,098,5,,5,88,8,6,8,4,,098. 6,55, azaz az árak az adott időszakban kb. 6,5-szeresükre nőttek. Ez azt jelenti, hogy kb. 650 Ft 00 január elsején kb. annyit ért, mint 000 Ft 99-ben. Visszafelé gondolkodva azt jelenti, hogy az 99-es 000 Ft-nak az értéke 00 január elsején már csak 000 : 6,5 = 60 Ft volt. c) Hasonlón kiszámolva 00 január és 0 január között,09,05,047,068,06,09,08,06,04,049.,75, azaz az árak a 000-es években 0 év alatt,7-szeresükre nőttek. Ez azt jelenti, hogy kb. 74 Ft 0 január elsején kb. annyit ért, mint 000 Ft 00-ben. Visszafelé gondolkodva azt jelenti, hogy a 00-es 000 Ft-nak az értéke 0 január elsején 000 :,7 = 577 Ft volt. d) Defláció 58 Egyenletek, egyenlôtlenségek

159 Összefoglalás IV/9. Oldd meg az egyenleteket a racionális számok körében! a) x- 4+ 5x- = 7-4x + b) _ x- i- 4 _ - xi+ 7 = 0 -_ x + i c) x- + x+ 4 = x a) x x - = 7-4x + 8x - 6 = 8-4x x = 4 x = Ellenőrzés! b) (x - ) - (4 - x) + 7 = 0 - (x + ) x x + 7 = 0 - x - 8x - = 7 - x 9x = 8 x = Ellenőrzés c) x- + x+ 4 = x x - + 5x + 0 = 0x x + 8 = 0x - 60 x = 6 Ellenőrzés! Oldd meg az egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! A megoldást ábrázold szám egyenesen! a) 5-8x 5x- 8 b) 0_ x- 7i - _ 4+ xi - 5 $ - _ x - i c) _ 4x+ i $ - 4 $ -8x- _ - xi d) x + - 7x + $ x a) 5-8x 5x - 8 x x Egyenletek, egyenlôtlenségek 59

160 IV/9. Összefoglalás b) 0(x - 7) - (4 + x) - 5 $ - (x - ) 0x x - 5 $ - x + 6 7x - 87 $ 8 - x x $ 9,5 c) (4x + ) - 4 $ -8x - ( - x) x $ -8x x x - $ -6x - 6 8x $ 5 x $ 6 5 d) x + - 7x + $ x x + 5-5x + 0 $ 6x x $ 6x - x # Karcsi 8 év múlva harmadannyi idős lesz, mint édesapja most. Most életkoruk összege 44 év. a) Hány éves Karcsi most? b) Hány éves az édesapja? Karcsi most x éves, 8 év múlva x + 8 éves, így édesapja most (x + 8) éves. Ekkor x + (x + 8) = 44 x = 5 a) Karcsi most 5 éves. b) Édesapja 9 éves. Ellenőrzés szövegbe történő behelyettesítéssel. 60 Egyenletek, egyenlôtlenségek

161 Összefoglalás IV/9. 4 Kata 6 évvel fiatalabb édesanyjánál, évvel idősebb öccsénél, Bálintnál. Hármuk életkora összesen 65 év. Hány évesek külön-külön? Kata x éves, édesanyja x + 6 éves, Bálint x - éves x + x x - = 65 x = 4 Kata 4 éves, édesanyja 40 éves, öccse éves. Ellenőrzés szövegbe történő behelyettesítéssel. 5 Hány éves most az az ember, aki 5 év múlva kétszer annyi idős lesz, mint 0 évvel ezelőtt? Az ember most x éves. x + 5 = (x - 0) x = 5 5 éves az ember. 6 Gondoltam egy számot. Ha a kétszereséhez 00-t adunk, akkor az ötszörösénél 48-cal kisebb számot kapunk. Melyik számra gondoltam? A gondolt szám x. x + 00 = 5x - 48 x = 48 A gondolt szám a x = Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. Ha az eredeti számhoz hozzáadjuk a számjegyek felcserélésével kapott kétjegyű szám kétszeresét, akkor 8-at kapunk. Melyik ez a kétjegyű szám? Tízes Egye Szám Eredeti x - x 0x + - x = 9x + Felcserélt - x x 0( - x) + x = 0-9x A szöveg alapján 9x + + (0-9x) = 8 x = 5 A kétjegyű szám 58. Ellenőrzés szöveg alapján. Egyenletek, egyenlôtlenségek 6

162 IV/9. Összefoglalás 8 Gondoltunk három különböző pozitív egész számot. Ezeket páronként összeadtuk, és a következő összegeket kaptuk: a) 6, 8, 0; b) 99, 00, 0. Melyik három számra gondoltunk? a) Legyen a három szám a; b; c. a + b = 6 a + c = 8 b + c = 0 Összeadva a három egyenletet: (a + b + c) = 4 a + b + c = Ebből és az elsőből c = 6. Tovább végiggondolva b = 4 és a =. b) Az a) alapján a három szám: 49; 50; 5. Ellenőrzés. 9 Egy természetes szám végéről elhagyva az egyes számjegyet egy új számot kapunk. Az új szám végéről elhagyva a hatos számjegyet egy újabb számot kapunk. Az eredeti, az új és az újabb szám összege 76. a) Melyik az újabb szám? b) Mennyi lehet a legújabb szám? Használd fel, hogy a szám legfeljebb négyjegyű lehet, és az egyes helyiértéken, tízes helyiértéken 6 áll. Rövid próbálgatás után kapjuk, hogy az eredeti szám nem lehet 000 valamennyi, mert akkor az eredeti, az új és a legújabb szám összege több, mint 00 lenne. Nem lehet 86 vagy kevesebb, mert az viszont nem lenne elegendő. Tehát az eredeti szám 96, az újabb szám 96, a legújabb 9. A feladat megoldható egyenlet felírásával is. Például x legyen az és 6 előtt álló számjegyekből alkotott szám (lehet több számjegy is, nem csak egyetlen). Ekkor felírható az egyenlet: (00x ) + (0x + 6) + x = 76 Ebből x = 9, tehát az eredeti szám: Három egymást követő hárommal osztható szám a) összege 78; b) szorzata 608. Melyik ez a három szám? a) Legyen a középső szám x. Ekkor x - + x + x + = 789 x = 6 A három szám 60; 6; 66. b) Próbálgatással megtalálható a három szám: ; 4; 7. 6 Egyenletek, egyenlôtlenségek

163 Összefoglalás IV/9. Az asztalon 8400 Ft van. Kétszer annyi kétszázast láthatunk, mint ezrest. Százforintosból annyi van, mint amennyi az előző kettőből összesen. Van az asztalon ötezres is, de ebből van a legkevesebb. Hány darab pénz van az asztalon? 5000-esből db van. Pénzegység Darab Érték 00 Ft-os x 00x 00 Ft-os x 400x 000 Ft-os x 000x 00x + 400x + 000x = 400 x = Összesen db pénz van az asztalon. Ellenőrzés szöveg alapján. Egy hegedű tokkal Ft. Egy hegedű vonóval, Ft. Egy hegedűt vonó és tok nélkül Ft-ért adnak. Mennyibe kerül egy hegedű tokkal, vonóval? A hegedű 5900 Ft, a tok 900 Ft, a vonó 900 Ft, így együttesen Ft. Péter adott Ágnesnek annyi pénzt, amennyi Ágnesnek éppen volt. Ekkor ugyanannyi pénzük lett. Ezután Ágnes visszaadott Péternek egy ezrest, így Ágnesnek csak feleannyi pénze maradt, mint Péternek. Hány forintjuk volt eredetileg? Eredetileg Ágnesnek x Ft-ja volt, Kapott x Ft-ot, így Péternek is x Ft-ja lett. (x - 000) = x x = Ft-ja volt eredetileg Ágnesnek. Péternek pedig Egyenletek, egyenlôtlenségek 6

164 IV/9. Összefoglalás 4 0 liter 0%-os oldathoz legalább hány liter 80%-os oldatot öntsünk, hogy a keverék 50%-os legyen? mennyiség (liter) töménység (%) tömény anyag 0%-os 0 0% 0 0, = 80%-os x 80% x 0,8 Keverék 0 + x 50% (0 + x) 0,5 0 0, + x 0,8 = (0 + x) 0,5 x = 0 litert kell a 80%-os oldatból beleönteni. Ellenőrzés szöveg alapján. 5 Milyen töménységű lesz 0 liter 5%-os sóoldat, amelyből 5 liter víz elpárolgott? Feltételezzük, hogy liter tengerviz kb. kg. 0 liter, azaz kb. 0 kg 5%-os sóoldat sótartalma kb. kg tömény só. 5 liter oldatban kg só van, így a töménysége = 0,067, tehát 6,7%-os a töménység. 5 6 Egy négyzet alakú füves rész egyik oldalát 0%-kal növelték meg, a másikat pedig 5 m-rel. A területe 00,8 m -rel nőtt. a) Mekkora volt, és mekkora lett a füves rész területe? b) Hány százalékkal nőtt meg a füves rész területe? a) Ha eredetileg a oldalú volt a füves terület, akkor a növelés után,a (a + 5) =,a + 6a területű lett, a növekedés,a + 6a - a = 0,a + 6a = 00,8. 5-tel szorozva, kapjuk, hogy a + 0a = 504. Ezt csak próbálgatással tudjuk megoldani. a = 0 kevés, a = 5 sok. Hogy 4-re végződjön, próbáljuk ki az a = értéket = 504 megoldás. (Nem vizsgáljuk, hogy van-e másik megoldás is.) Tehát megoldást kapunk, ha eredetileg egy méteres terület volt, amely helyett egy 4,4 7 méteres terület lett. A növekmény 4,4 7 - = 44,8-44 = 00,8 m. b) 44,8 : 44 =,7, tehát a terület 70%-kal nőtt meg. 64 Egyenletek, egyenlôtlenségek

165 Összefoglalás IV/9. 7 Egy 0 0 méteres négyzet alakú parkban két, egyenként 4 méter széles murvás utat építenek úgy, hogy a két út középvonala a négyzet alakú terület két átlójára illeszkedjen. a) Hány köbméter murvát rendeljenek, ha egy négyzetméterre 4 cm vastagon terítik el? b) Hány méter szegélykő kell az utak széléhez? a) Az úttal nem fedett részekből egy négyzetet lehet összerakni, amelynek oldala , 4 m, tehát területe kb. 59 m. Az egész park területe: 0 = 900 m. A murvás út területe: = 07 m. Ezt kell 4 cm vastagon murvával borítani, tehát kb. 07 0,04 =,8 m. m murva szükséges. b) A négyzet két szomszédos csúcsa között + ^0-4 h $ +. 40, m szegélykő kell, tehát összesen kb. 6 m szegélykőre lesz szükség (felfelé kerekítettünk). Ennyi szegélykő kell, ha a sarkokba, azaz az utak kiindulási helyeinél is szegélyköveznek. Ha csak az utaknak a park belsejébe eső részét kell szegélykövezni, akkor a két út szegélye az úttal nem fedett részekből összerakott négyzet átlójának kétszerese. Tehát 4^0-4 h $ = ,7 (m), azaz 8 méter szegély kell. 8 Ha három évig bent hagyod az forintodat a bankban, akkor évente,4% kamatot fizetnek, és az alapösszeg %-át pluszban jóváírják a. év végén. Hány forintod lesz összesen a harmadik év végén? (A költségektől tekintsünk el.) , , = = Ft Egyenletek, egyenlôtlenségek 65

166 IV/9. Összefoglalás 9 Elhelyeztünk a bankban Ft-ot egy évre lekötve, amelyre a bank évi,% kamatot fizet. A kiszámított kamatból levonnak 5% kamatadót, amelyet a bank befizet az államnak, ugyanakkor havi 690 Ft kezelési és számlavezetési díjat is felszámolnak. a) Mennyivel nő a számlán lévő összeg egy év múlva? b) Hogyan változik a számlán lévő összeg egy év múlva, ha az éves kamat 0,8%? A költségeket nem a valós számfejtés szerint írjuk le, hanem csak évente összesítve. a) Ft éves,% kamata 000 Ft. Ennek 85% marad a számlán, ez 0 00 Ft. Ez csökken havi számlavezetési díjjal, ami 880 Ft, tehát a számlán lévő összeg csupán 90 forinttal nő. b) A számolás hasonló, a kamat mértéke 8000 Ft, ennek 85%-a 6800 Ft, ami csökken 880 Ft-tal, tehát a számlán lévő pénzmennyiség 480 Ft-tal csökken. Csoportmunka Háromfős nyomozócsoportotok végre a siker előtt áll. A műkincstolvajok nyomán eljuthattok abba a titkos föld alatti kazamatarendszerbe, ahol az ellopott kincseket őrzik. Oldjátok meg először az A feladatsort, majd a B feladatsort. Az egyes feladatsorokban lévő számokat adjátok össze! Az így kapott két szám szorzata lesz a széfet nyitó kód. Vigyázzatok, csak 45 percetek van egy-egy feladatsorra! Osszátok el ügyesen a feladatokat! A feladatsor. Oldd meg az alábbi feladatokat! a) Egy számnak és a felének az összege 96,5. Melyik ez a szám? b) Egy pozitív számnak és a nyolcszorosának a szorzata 50. Melyik ez a szám? c) Egy szám és a hétszeresénél -vel kisebb szám különbsége 68. Melyik ez a szám? d) Add össze a fenti feladatok végeredményeit! Ez lesz a kódhoz szükséges első szám. Jelöljük a keresett számokat x-szel! a) x = b) x =,5 c) x = - d) Az első szám a,5. 66 Egyenletek, egyenlôtlenségek

167 Összefoglalás IV/9.. Oldd meg az egyenleteket! Szorozd össze a megoldásokat, és megvan a kódhoz szükséges második szám! a) ^4-9xh$ - =-9 b) 5x- 7 = 0-4x c) ^x+ 5h-4 ^ x- 7h= 5^9-xh- 4^x+ h d) $ x x : 5 ^ - h + = a k a 4 k a) x = 6 b) x = c) x =,5 d) x = 0 A kódhoz szükséges második szám: 6,5 0 = A moziban 75-nél több, de 85-nél kevesebb néző volt. Kétszer annyi gyerek volt köztük, mint felnőtt. A felnőttek között a nők és a férfiak aránya : volt. Hány gyerek volt a moziban? Ez a kódhoz szükséges harmadik szám. A moziban lévő felnőttek számát jelöljük x-szel, ekkor x gyerek volt a moziban. 75 x + x 85 Mivel x egész szám, ezért a megoldások 59; 60; 6 lehetnek. Azonban a nők és férfiak száma összegének 5-tel oszthatónak kell lenni, így x értéke csak 60 lehet. Tehát 0 gyerek volt, ami a kódhoz szükséges harmadik szám. 4. A nyári hőségben almafröccsöt készítettünk: 00%-os almalevet öntöttünk fel szódával. Mennyi szódát öntsünk 6 liter almaléhez, hogy 60%-os almafröccsöt kapjunk? Az eredmény lesz a kódhoz szükséges negyedik szám. Jelöljük x-szel a szóda mennyiségét! Felírhatjuk a következő egyenletet: 6 00 = 60(6 + x), melyet megoldva kapuk, hogy a negyedik szám a 4. Egyenletek, egyenlôtlenségek 67

168 IV/9. Összefoglalás 5. Egy háromszög oldalainak aránya : 4 : 5, kerülete 0 cm. a) Mekkorák a háromszög oldalai? b) Hány fokos a háromszög legnagyobb szöge? c) Számold ki a háromszög területét! Ez a kódhoz szükséges ötödik szám. a) A x + 4x + 5x = 0 egyenletből megkapjuk, hogy a háromszög oldalai: 7,5 cm; 0 cm;,5 cm. b) Vegyük észre a ; 4; 5 Pitagoraszi számhármast, így a legnagyobb szöge 90. c) A területe a befogók szorzatának felével egyenlő, azaz 7,5 cm, ami a keresett ötödik szám. B feladatsor. Az öcsém és én együtt 48 cm magasak vagyunk. Az apukánk háromszor olyan magas, mint a köztünk lévő magasságkülönbség. Hárman együtt 440 cm magasak vagyunk. Hány cm magas vagyok? Ez a végeredmény lesz a kódhoz szükséges első szám. Ha az öcsém x cm, akkor én 48 - x cm vagyok. Apukánk (48 - x) cm magas (48 - x) = 440 Az egyenletet megoldva kapjuk, hogy a magasabb gyerek 56 cm magas. Ez az első szám.. A parkban emberek és kutyák sétálnak. Hány ember és hány kutya sétál a parkban, ha összesen a) 5 fejük és 0 lábuk van? b) 5 fejük és 88 lábuk van? c) Add össze az a) és b) feladatban szereplő kutyák számát! Ez a kódhoz szükséges második szám. Jelöljük x-szel az embereket, 5 - x-szel a kutyákat! a) Felírhatjuk az alábbi egyenleteket: x + 4 (5 - x) = 0, melyeket megoldva kapjuk, hogy: 4 kutya és 7 ember sétált a parkban. b) Az előző feladathoz hasonlóan: x + 4(5 - x) = 88, melyeket megoldva kapjuk, hogy: 4 kutya és 8 ember sétált a parkban. c) = 57 a kódhoz szükséges második szám. 68 Egyenletek, egyenlôtlenségek

169 Összefoglalás IV/9.. a) Gondoltam egy kétjegyű számra, melynek egyik számjegye -mal nagyobb a másiknál. Ha a számjegyeket felcseréljük, az új szám az eredeti 7 4 része lesz. Melyik számra gondoltam? b) Gondoltam egy kétjegyű számra, amely számjegyeinek összege 0. Ha a jegyeket felcseréljük, az új szám az eredeti szám ötszörösénél 4-gyel kevesebb. Melyik számra gondoltam? c) Szorozd össze a fenti két eredményt! Ez a kódhoz szükséges harmadik szám. Az alábbi feladatok próbálgatással is megoldhatók. a) 6 b) 9 c) A harmadik szám: 6 9 = Bandi és Dezső egy 000 m hosszú, kör alakú pályán a startvonaltól egyszerre, de ellenkező irányba indul futni. Bandi 6 métert, Dezső 6,5 métert tesz meg másodpercenként. a) Hány km -val futnak a fiúk? h b) Hány másodperc múlva találkoznak? c) Add össze az a) és b) feladatokban eredményként kapott számokat! Ez a kódhoz szükséges negyedik szám. a) Bandi,6 km -val, míg Dezső,4 km -val fut. h h b) 80 másodperc múlva találkoznak. c),6 +, = 5 a negyedik szám. 5. Minden évben a nyolcadikosok feladata, hogy a farsangi mulatság után kitakarítsák az iskolát. Az A osztály 80 perc alatt, a B osztály mivel kevesebben vannak óra alatt végezne a munkával. Hány percig tart, ha összefognak, és együtt dolgoznak? Az eredmény a kódhoz szükséges ötödik szám. Jelöljük x-szel a közösen takarításra fordított időt, így felírhatjuk a következő egyenletet: x 80 + x =, melyet megoldva kapjuk, hogy a két osztály együtt 48 perc alatt végez. Ez a kódhoz 0 szükséges ötödik szám. Egyenletek, egyenlôtlenségek 69

170 IV/9. Összefoglalás Az öt-öt szám összeadása után kapott két számot szorozzátok össze, így kapjátok meg azt a hétjegyű kódot, amivel bejuthattok a páncélszekrénybe. A hétjegyű kód: (Az A csoport eredménye 74, a B csoport eredménye 58.) Sikerült? Hurrá! Lefoglalhatjátok a lopott kincseket. 70 Egyenletek, egyenlôtlenségek

171

172 V/. Egyenes arányosság a) A suli büféjében négy pogácsa 40 Ft-ba kerül. Mennyit kell fizetnünk hét pogácsáért? b) A csiga 4 óra alatt métert tett meg. Mennyit tesz meg óra alatt? c) Gáspárnak minden hétköznap van edzése, minden nap ugyanannyi. Ha három nap alatt 7,5 órát edzett, hány órát tölt edzésen 5 nap alatt? d) Az 5,6 kg-os dinnye 756 Ft-ba került. Mennyit kell fizetni a 8,4 kg-os dinnyéért? a) 595 forintot. b) 8,5 métert. c) 6,5 órát. d) 4 Ft-ot. Négy magyar fiatalember tartja a folyamatos csocsózás világrekordját. A játékot reggel 0:09-kor kezdték, és másnap :06-kor fejezték be. a) Hány percet pihentek ez idő alatt, ha óránként 5 percet engedélyezett a Guinness-rekordok szabályzata? b) Hány percet csocsóztak összesen? a) Összesen 6 órát és 57 percet játszottak, így 6 5 = 80 percet pihentek. b) = 07 percet csocsóztak. A házunk alapja téglalap, egyik oldala 4 méter hosszú, a tervrajzon azonban csak 0 cm. Mekkora az épület alapterülete, ha a ház másik oldala a tervrajzon,5 cm? Ha a 4 méter a tervrajzon 0 cm-nek felel meg, akkor a,5 cm (4,5) : 0 = 5 méternek felel meg, így a ház alapterülete: T = 4 5 = 60 m. 4 A világ legnagyobb, 40 méter átmérőjű pizzáját Rómában készítették. A 5,6 tonnás pizzán öt séf dolgozott 48 órán keresztül folyamatosan. A pizzát 54 adagban tudták csak megsütni. a) Számold ki, hány kg pizza volt egy adagban! b) Hányszorosa a pizza súlya egy normál (kb. 70 gramm) pizza súlyának? c) A hagyományos, cm-es átmérőjű, 8 szeletes pizzából egy nyolcadikos átlagosan 6 szeletet tud megenni. Számold ki, hány nyolcadikos lakna jól a világ legnagyobb pizzájából a megadott adatok alapján! a) : 54 = 4,89 kg pizza volt egy adagban. b) 4890 : 70 = 6,79-szerese egy normál pizza súlyának. c) Az óriási pizza : darab hagyományos pizzának felel meg, ez = = szelet, ami : nyolcadikost lakatna jól. 7 Függvények, valószínûségek, sorozatok

173 Egyenes arányosság V/. 5 A csapból percenként 8 liter víz folyik a kádba. Mennyi idő alatt telik meg a 0 literes kád, ha csak a kétharmadáig töltjük meg? a) Ábrázold grafikonon a kádban lévő víz mennyiségét az eltelt idő függvényében! b) Add meg a grafikon hozzárendelési szabályát! c) Hogyan módosul a grafikon, ha a víztakarékos csapon csak,5 liter folyik percenként? d) Mennyi idő alatt lesz üres a kád, ha liter 6 másodperc alatt folyik le? Ábrázold grafikonon a kádban lévő víz mennyiségét az idő függvényében! A kád bár 0 literes, csak 80 liter vizet töltünk bele, ami 0 perc alatt készen van. a) b) A hozzárendelési szabály: f(x) = 8x c) Mivel 8 liter helyett csak,5 liter folyik percenként, így perc alatt telik meg a kád. Függvények, valószínûségek, sorozatok 7

174 V/. Egyenes arányosság d) Ha liter víz 6 másodperc alatt, akkor 80 liter víz 40 másodperc, azaz 4 perc alatt folyik le. 6 A japán mágnesvasút, ami egy tesztszakaszon másodpercig 60 megdöntötte a gyorsasági világrekordot. a) Számold ki, hány km-t tett meg másod percenként a mágnesvasút! b) Ábrázold a megtett utat az idő függvényében! km -s sebességgel száguldott, h a) 60 : 600 = 0,675 km-t tesz meg másodpercenként. b) 74 Függvények, valószínûségek, sorozatok

175 Egyenes arányosság V/. 7 Válaszd ki az egyenes arányosságot ábrázoló grafikonokat! a) b) c) y y y 0 x 0 x 0 x d) e) f) y y y 0 x 0 x 0 x Az a), e), és f) függvények egyenes arányosságot ábrázolnak, mert átmennek az origón. 8 Ábrázold az alábbi függvényeket koor di náta-rendszerben! a) a: x 7 x b) b: x 7 - x c) c: x 7 x d) d: x 7 - x e) e: x 7 4 x f) f : x 7 - x 4 5 a) b) Függvények, valószínûségek, sorozatok 75

176 V/. Egyenes arányosság c) d) e) f) 76 Függvények, valószínûségek, sorozatok

177 Lineáris függvények V/. Reggel három család indult el a Tölgyerdei Nomád Táborba (rövidítve TNT). A 0 km-t mindhárom autó óra 0 perc alatt tette meg. A Szalay család 8 órakor, a Kellei család két órával hamarabb, a Litkei család pedig órával később indult. a) Ábrázold egy koordináta-rendszerben a há rom család által megtett utat az idő függ vé nyében! b) Olvasd le a grafikonokról, melyik család hány órakor érkezett meg! c) Fogalmazd meg, miért párhuzamosak a gra fikonok! a) b) A Szalay család 0.0-kor, a Kellei család 8.0-kor, míg a Litkei család.0-kor érkezett meg a TNT-be. c) A grafikonok meredeksége egyezik, hisz az autók sebessége azonos. Csoportosítsd a füzetedben azokat a hozzárendelési szabályokat, amelyek grafikonjai párhuzamosak egymással! a: x 7 x b: x 7 x c: x 7 x - 4 d: x 7 x - e: x 7 5+ x f : x 7 - x + 4 g : x x h: x 7 --x i: x x j: x 7 x + k: x 7 - x + 4 l: x 7-075, + x 5 Az alábbi csoportok grafikonjai párhuzamosak egymással: a c e i k g b j d l f h Függvények, valószínûségek, sorozatok 77

178 V/. Lineáris függvények Add meg az alábbi függvények meredekségét! Válassz ki három függvényt, és ábrázold a füzetedben! f : x 7 x - g : x 7 - x + h: x 7 x + k: x 7 - x l: x 7 - x + 5 m: x x p: x 7 x - 5 s: x 7-4 Táblázatba rendeztük a függvények meredekségét: függvény f g h k l m p s meredekség 4 Ábrázold a füzetedben az alábbi függvényeket, és add meg a meredekségüket! f : x 7 x + 4 g : x 7 - x + h: x 7 x - i: x 7 - x + j: x x k: x 7 5 l: x 7 08, x m: x 7-0, x - A meredekségeket itt is táblázatba foglaltuk: - 0 függvény f g h i j k l m meredekség - 0 0,8 0, 78 Függvények, valószínûségek, sorozatok

179 Lineáris függvények V/. Függvények, valószínûségek, sorozatok 79

180 V/. Lineáris függvények 5 Megadtuk egy lineáris függvény grafikonjának két pontját. Ábrázold a pontokat a füzetedben egy koordináta-rendszerben! Add meg a függvény hozzárendelési szabályát és meredekségét! a) A(0; -); B(; ) b) A(-; 7); B(; -) c) A(-4; ); B(4; ) a) b) c) a) f : x 7 x - ; m = b) f : x 7 -x + 5; m = - c) f : x 7 - x + ; m = Rajzolj a füzetedbe egy koordináta-rendszert, és egy olyan egyenest, amelyik nem lineá ris függvény! Bármilyen y tengellyel párhuzamos egyenes megfelel. 80 Függvények, valószínûségek, sorozatok

181 Lineáris függvények V/. 7 Ábrázold a füzetedben az f : x 7 x - 6 függvényt, és válaszd ki a helyes állításokat! A hibás állításokat javítsd ki! 4 a) A függvény meredeksége m =. b) A függvény nem megy át az origón. c) A függvény nem egyenes arányosság. d) Ha az x értéke 4-gyel nő, a függvény értéke is 4-gyel nő. e) Ha az x értéke -gyel nő, a függvény értéke -del nő. 4 f) A P(; -4) pont rajta van a függvény grafikonján. a) Hamis, hiszen m =. 4 b) Igaz. c) Igaz. d) Hamis, a függvény értéke -mal nő. e) Igaz. f) Hamis, a P pont alatta van. 8 Ábrázold a füzetedben az f : x 7-5, x + 4 függvényt, és válaszd ki a hamis állításokat! a) A függvény meredeksége m =- 5. b) A függvény átmegy az origón. c) A függvény egyenes arányosság. d) Ha az x értéke 4-gyel nő, a függvény értéke is 4-gyel nő. e) Ha az x értéke -vel nő, a függvény értéke 5-tel nő. f) A P(4; -6) pont rajta van a függvény grafikonján. a) Igaz. b) Hamis. c) Hamis. d) Hamis. e) Hamis. f) Igaz. Függvények, valószínûségek, sorozatok 8

182 V/. Lineáris függvények vizsgálata Állapítsd meg az alábbi hozzárendelési szabályok alapján, hogy melyik függvény grafikonja lesz növekedő, csökkenő, illetve konstans! a) a: x 7 8x - 7 b) b: x 7 0, x + 5 c) c: x 7-6x + d) d: x 7-7 x 5 e) e: x x f) f : x 7 - x 8 g) g : x 9 7 x h) h: x 7-75, 4 a) növekedő b) növekedő c) csökkenő d) csökkenő e) növekedő f) csökkenő g) növekedő h) konstans Megadtuk néhány függvény hozzárendelési szabályát. a: x 7 x - ; b: x e: x 7 - x ; :, 7 x + 6; c: x 7 - x + 6; d: x f x 7 05x- 4; g : x 7-5 x ; h: x 7 7 x x Sorold fel azoknak a hozzárendelési szabályoknak a betűjelét, melyekre teljesül, hogy a) párhuzamosak az x 7- x függvény grafikonjával! b) ott metszik az y tengelyt, ahol az x 7- x+ 6 függvény grafikonja! c) van közös pontjuk az x 7 x+ függvény grafikonjával! 4 d) csökkenő függvények! a) c; e b) b; c; h c) a; b; c; e; g; h d) c; e; g; h 8 Függvények, valószínûségek, sorozatok

183 Lineáris függvények vizsgálata V/. a) Ismerjük az alábbi lineáris függvények meredekségét és tengelymetszetét. Add meg a hozzárendelési szabályt! Ábrázold a grafikonokat a füzetedben! Meredekség Tengelymetszet f(x) m = 7 b = - g(x) m = -5 b = 6 h(x) m = 0 b =,5 i(x) m = 7 b = - b) Ismerjük az alábbi lineáris függvények meredekségét és azt a P pontot, ahol a függvények metszik az x tengelyt. Add meg a hozzárendelési szabályt! Ábrázold a grafikonokat a füzetedben! Meredekség Metszéspont az x tengelyen p(x) m = 7 P(-; 0) q(x) m = 7 P(; 0) r(x) m = s(x) m = P(-; 0) - P(0; 0) 4 a) f(x) = 7x - g(x) = -5x + 6 h(x) =,5 i(x) = x - 7 Függvények, valószínûségek, sorozatok 8

184 V/. Lineáris függvények vizsgálata b) p(x) = 7x + q(x) = 7x - 4 r(x) = x + s(x) = - 4 x 84 Függvények, valószínûségek, sorozatok

185 Lineáris függvények vizsgálata V/. 4 Add meg az alábbi függvények meredekségét, majd határozd meg, hol metszik a koor dinátatengelyeket! a) f : x 7 x + 6 b) g : x 7 x - 4 c) h: x 7 - x + d) i: x 7-45, x meredekség x-tengely metszet y-tengely metszet a) f(x) - 6 b) g(x) c) h(x) d) i(x) -4, Határozd meg a grafikonok alapján a hozzá rendelési szabályokat! Add meg a függvények meredekségét és tengelymetszetét is! h y g k y f 0 x 0 x j f(x) = x - 4 g(x) = x + h(x) = -x + j(x) = x - 4 k(x) = - 4 x + Függvények, valószínûségek, sorozatok 85

186 V/. Lineáris függvények vizsgálata 6 Mi a közös az alábbi függvényekben? Ábrázold őket közös koordináta-rendszerben, és írd mellé a közös tulajdonságukat! a) x 7 x; x 7 4x; x 7 5, x; x 7 x 5 b) x 7- x+ ; x 7-x- 4; x 7 - x; x 7- x+ c) x 7 4x- ; x 7- x- ; x 7 05, x- ; x 7- d) x 7 x+ ; x 7 ; x 7- x+ ; x 7 x+ a) Mindegyik függvény grafikonja átmegy az origón. c) Mindegyik grafikon a (0; -) pontban metszi az y tengelyt. b) Mindegyik grafikonnak azonos a meredeksége. d) Mindegyik grafikon átmegy az (; ) ponton. 86 Függvények, valószínûségek, sorozatok

187 Lineáris függvények vizsgálata V/. 7 A lineáris függvényeknek ismerjük két pontját. Ábrázold a függvényeket, határozd meg a meredekségüket, és válaszd ki, mely függvények növekedők! a) A(0; -) B(; 7) b) A(-; ) B(4; 4) c) A(; 4) B(; -) d) A(; 5) B(7; 9) a) a : x 7 x - ; m = A függvény növekvő. c) c : x 7 -x + 7; m = - b) b : x 7 x + ; m = A függvény növekvő. d) d : x x ; m = 4 5 A függvény növekvő. Függvények, valószínûségek, sorozatok 87

188 V/. Lineáris függvények vizsgálata 8 Egy taxitársaság díjai a következők: alapdíj: 450 Ft, viteldíj: 80 Ft, várakozás: 70 Ft. km perc Állapítsd meg, melyik esetben lineáris függvénye a fizetendő ár a megtett kilométerek számának! Rajzolj km Ft diagramot! a) 4 km-t teszünk meg, várakozás nélkül. b) 4 km-t teszünk meg, de közben megállunk egy helyen, ahol a taxi 6 percig vár. c) Indulásnál vár ránk a taxi 5 percet, aztán elmegyünk a km-re lakó nagymamához. d) Elmegyünk a nagymamához, 5 percig vár ránk a taxi, aztán hazamegyünk. a) Lineáris függvény; f(x) = 80x c) Lineáris függvény; f(x) = 80x = 80x b) Nem lineáris függvény. d) Nem lineáris függvény. 88 Függvények, valószínûségek, sorozatok

189 Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása V/4. Ábrázold az alábbi függvényeket! f : x 7 - x + ; g : x 7 x - 4; h: x 7-5, x + 6. Adj meg függvényenként három olyan pontot, a) amely a függvény grafikonjára illeszkedik; b) amely a grafikon alatt van; c) amely a grafikon felett van! a) b) c) Végtelen sok az alábbi tulajdonságokkal rendelkező pont van, tetszőlegesen megadtunk - pontot. Táblázatba szedtük a megoldásokat. f : x 7 -x + g : x 7 x - 4 h : x 7 -,5x + 6 a) rajta a grafikonon A(-; 5) B(-; ) C(0; ) A(-; -6) B(0; -4) C(; -) A(0; 6) B(; ) C(4; -4) b) a grafikon alatt A(-; 4) B(-; ) C(0; 0) A(-; -7) B(0; -5) C(; -) A(0; 5) B(; 0) C(4; -5) c) a grafikon felett A(-; 6) B(-; 4) C(0; ) A(-; -5) B(0; -) C(; -) A(0; 7) B(; ) C(4; -) Függvények, valószínûségek, sorozatok 89

190 V/4. Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Ábrázold az x 7 5 x- 4 függvényt, és döntsd el, a grafikonokhoz képest (alatta, rajta vagy fölötte) hol helyezkednek el a megadott pontok! A(; ) B(; 4) C(4; 6) D(-; -7) E(0; 0) F(-4; -4) G(00; 44) y x A grafikonon vannak: A; F; C A grafikon alatt vannak: D; G A grafikon felett vannak: B; E 90 Függvények, valószínûségek, sorozatok

191 Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása V/4. Ábrázold a két függvényt közös koordináta-rendszerben! Add meg a metszéspontjuk koordinátáit! Jelöld az x tengelyen is azt a pontot, ahol a két függvény értéke egyenlő! a) f : x 7 x - 4; g : x 7 - x + 4 b) h: x 7 x + ; i: x 7 x - c) j: x 7 x + ; k: x 7 -x - a) b) c) a) M(; -) b) M(-; -4) c) M(-; ) Függvények, valószínûségek, sorozatok 9

192 V/4. Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása 4 Oldd meg az egyenleteket grafikusan! a) - x+ 5 =- x+ 4 b) - x = x- 5 c) x- = x+ 4 a) b) c) a) M(-; 6) x = - b) M(; ) x = c) M(8; 5) x = 8 9 Függvények, valószínûségek, sorozatok

193 Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása V/4. 5 Használd az előző feladat ábrázolásait! Jelöld az x tengelyen azokat a pontokat, ahol a) - x+ 5 - x+ 4; b) - x x- 5; c) x- x+! 4 a) b) c) a) x - b) x c) x 8 Függvények, valószínûségek, sorozatok 9

194 V/4. Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása 6 Oldd meg az egyenlőtlenségeket a grafikus módszer segítségével! a) - 4x+ 6 x- b) 5 x x- 6 c) x -5 - x - a) b) c) a) x b) x 6 c) x 94 Függvények, valószínûségek, sorozatok

195 Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása V/4. 7 Amikor a rendőrök észrevették a tőlük 00 méterre álló tolvajt, azonnal üldözőbe vették. A gördeszkás tolvaj 0 m sebességgel menekült, a motoros rendőrök 8 m -mal üldözték. Mennyi idő alatt érték s s utol? Oldd meg a feladatot grafikusan! A rendőrök,5 mp múlva utolérték a tolvajt. 8 Daniéknál leállt az internet és mindenképpen szerette volna megkapni az iskolai bulin rögzített videót. Nem úgy volt, hogy félúton találkozunk?! bosszankodott magában Dénes, miközben (immár két és fél órája) 0 km sebességgel tekert a bringáján Dani felé. Ha ma egyedül le kell tekerjem oda-vissza összesen 0 km-t, hogy odaadhassam neki ezt a pendrive-ot, h tuti gutaütést kapok. Dani persze elaludt, és csak egy órája indult el. Az órája szerint 500 métert tett meg percenként. Mennyi idő múlva találkoztak? Oldd meg a feladatot grafikusan! Fél óra múlva találkozott a két fiú. Függvények, valószínûségek, sorozatok 95

196 V/5. Fordított arányosság Tudok segíteni valamiben? kérdezte Laci. Persze válaszolta Eszter mosolyogva. Meg tudnád oldani, hogy egy nap 4 helyett 6 órából álljon? Semmi akadálya vigyorgott Laci, de akkor csak 40 perces lesz egy óra. Ha rögzítjük, hogy egy nap 440 percből áll, hány perces lesz egy óra, ha egy nap a) ; b) 6; c) 5; d) 40; e) 48; f) 60 órából áll? a) 0 perc b) 40 perc c) 88 perc d) 6 perc e) 0 perc f) 4 perc Értéktáblázat segítségével ábrázold a füzetedben az alábbi függvényeket! a) f : x 7 b) g : x 7 c) h: x 7 0 x x x a) 96 Függvények, valószínûségek, sorozatok

197 Fordított arányosság V/5. b) c) Függvények, valószínûségek, sorozatok 97

198 V/5. Fordított arányosság Ha ezeket mind egyedül szerelem össze, a prospektus szerint 60 órám rámegy bosszankodott Pista bácsi. Majd mi segítünk! válaszolták a gyerekek, unokák és szomszédok. Hány óra alatt végeznek a szereléssel, ha a) ketten; b) hárman; c) négyen; d) öten; e) tizenöten; f) húszan; g) harmincan; h) ezren dolgoznak rajta? I. Foglald táblázatba megoldásaidat! II. Ábrázold koordináta-rendszerben a táblázat összetartozó értékeit! Feltételezzük, hogy mindannyian egyforma munkatempóban dolgoznak. óra fő fő fő 4 fő 5 fő 5 fő 0 fő 0 fő 000 fő 0 óra 0 óra 5 óra óra 4 óra óra óra 0,06 óra =,6 perc Azért jegyezzük meg, hogy matematikailag,6 perc jön ki, de 000 ember igen nehezen old meg egyszerre egy ilyen szerelést! Tehát az a válasz is tökéletes, hogy a feladat ebben az esetben értelmetlen. 98 Függvények, valószínûségek, sorozatok

199 Fordított arányosság V/5. 4 Egy tengerimalac átlagosan napi 4 dkg száraz tápot fogyaszt. Hány napra elegendő kg táp a) ; b) ; c) 5; d) 0; e) 5 tengerimalacnak? Ábrázold koordináta-rendszerben az össze tartozó értékeket! napok tengerimalacok száma tengerimalac tengerimalac 5 tengerimalac 0 tengerimalac 5 tengerimalac 5 nap,5 nap 5 nap,5 nap nap Függvények, valószínûségek, sorozatok 99

200 V/5. Fordított arányosság 5 Párosítsd a diagramokat a leírásokkal! Készíts táblázatot a füzetedbe, és írd bele az összes érték párt a diagram alapján! a) Három ember 8 nap alatt, két ember nap alatt végez a munkával. A) y b) Öt gyereknek 6 napra, hat gyereknek 5 napra elegendő a tábor 0 maradék fogkrémkészlete. c) Két csap 4 óra alatt, négy csap 7 óra alatt tölti meg a medencét. 0 d) km sebességgel 0 óra alatt, 5 km sebességgel 8 óra alatt érünk h h Perőcsénybe x B) y C) y D) y x x x a) C b) B c) D d) A Függvények, valószínûségek, sorozatok

201 Példák nemlineáris függvényekre V/6. Az osztály kitalált egy új játékot: a vízszintes célba dobót. A játékban az a szabály, hogy ha a tábla közepébe találsz, azonnal nyersz. Ha kicsit mellément a dobás, akkor sajnos pontokat kapsz. Minél kevesebb pontod van, annál előkelőbb helyen szerepelsz a rangsorban. Az alábbi táblázat a gyerekek eredményeit mutatja. Állítsd a gyerekeket növekvő sorrendbe az elért pontszámok alapján, és ábrázold a füzetedben egy koordináta-rendszerben, ki hova dobhatott! Segítségképp megadtuk Marci eredményét. Név Pontszám Döme Regő 5 Sári Janka 4 Keve Marci 6 Regő Keve Sári Döme Janka Regő Marci Marci dobása van megadva. A táblázat és a kép alapján tudjuk még Janka dobását, aki a 4-esbe dobott és Keve dobását, akié -es lett. Az ábra mutatja, hogy a többiek hová dobhattak. Marci Janka Döme Sári Keve Ábrázold az f : x 7 x függvényt a füzetedben, és válaszolj az alábbi kérdésekre! a) Mekkora a függvény értéke, ha x = ; x = ; x = ; x = -; x = -,5? b) Melyik x érték esetén veszi fel a függvény az f(x) = 0; f(x) = ; f(x) = 4,5; f(x) = -; f(x) = 7 értékeket? c) Melyik x értékek esetén lesz a függvény értéke nagyobb, mint 5? d) Melyik x értékek esetén lesz a függvény értéke kisebb, mint 4? a) b) x - -,5 f(x) 0 4,5-7 x f(x) 0 4,5 7,5 x - -4,5-7 c) x 5 vagy x -5 d) - 4 x 4 Függvények, valószínûségek, sorozatok

202 V/6. Példák nemlineáris függvényekre Készíts értéktáblázatot, és ábrázold közös koordináta-rendszerben az alábbi függvényeket! a) f : x 7 x g : x 7 x + h: x 7 x + 5 j: x 7 x - k: x 7 x - 4 b) f : x 7 x g : x 7 x + h: x 7 x + 5 j: x 7 x - k: x 7 x - 4 c) f : x 7 x g : x 7 - x h: x 7 $ x j: x 7 $ x Fogalmazd meg, hogyan kaphatjuk meg a többi függvényt az fx ^ h = x függvényből! a) b) c) a) Az y tengely mentén felfelé (pozitív szám esetén) vagy lefelé (negatív szám esetén) tolódik az f(x) függvény grafikonja. b) Az x tengely mentén balra (pozitív szám esetén) vagy jobbra (negatív szám esetén) tolódik el az f(x) függvény grafikonja. c) A g(x) függvény esetén az f(x) függvény grafikonját tükröztük az x tengelyre. A h(x) grafikonjánál a függvényértékek a -szorosukra nőnek. A j(x) grafikonjánál a függvényértékek a harmadukra csökkennek. 0 Függvények, valószínûségek, sorozatok

203 Példák nemlineáris függvényekre V/6. 4 Írd fel az alábbi grafikonok hozzárendelési szabályát! a) b) c) d) y y y y 0 x 0 x 0 x 0 x e) f) g) h) y y y y 0 x 0 x 0 x 0 x Függvények, valószínûségek, sorozatok 0

204 V/6. Példák nemlineáris függvényekre 5 a) Oldd meg grafikusan az x = egyenletet! Segítségképp megadjuk a megoldás lépéseit: I. Ábrázold az egyenlet mindkét oldalát! II. Jelöld be a két grafikon metszéspontjait! III. Keresd meg az x tengelyen a hozzájuk tartozó értékeket! IV. Olvasd le a megoldást! b) Oldd meg grafikusan az x egyenlőtlenséget az előző grafikon felhasználásával! a) b) x = és x = - - x 6 Olvasd le a grafikonokról, melyik egyenlőtlenséget oldottuk meg grafikusan! Írd le a füzetedbe a megoldást is! y y 0 x 0 x a) x #, megoldása: - # x # b) - x -, megoldása: - x 04 Függvények, valószínûségek, sorozatok

205 Példák nemlineáris függvényekre V/6. 7 Ábrázold a füzetedben az f : x 7 x függvényt, és válaszolj az alábbi kérdésekre! a) Mekkora a függvény értéke, ha x = 0; x = ; x = ; x = -; x = -,5? b) Melyik x érték esetén veszi fel a függvény az f(x) = 0; f(x) = 4; f(x) =,5; f(x) = -; f(x) = 5 értékeket? c) Melyik x értékek esetén lesz a függvény értéke nagyobb, mint 9? d) Melyik x értékek esetén lesz a függvény értéke kisebb, mint 6? a) x 0 f(x) 0 4 b) 4 - -,5 6,5 x 0 4,5-5 f(x) 0 ; -,5 ; -,5 5 ; -5 c) x vagy x - d) -4 x 4 Függvények, valószínûségek, sorozatok 05

206 V/6. Példák nemlineáris függvényekre 8 Készíts értéktáblázatot, és ábrázold közös koordináta-rendszerben az alábbi függvényeket! a) f : x 7 x g : x 7 x + h: x 7 x + 5 j: x 7 x - k: x 7 x - 4 b) f : x 7 x g : x 7 ^x + h h: x 7 ^x + 7h j: x 7 ^x - 4h k: x 7 ^x - 6h c) f : x 7 x g : x 7 - x h: x 7 $ x j: x 7 $ x Fogalmazd meg, hogyan kaphatjuk meg a többi függvényt az fx ^ h = x függvényből! a) b) 06 Függvények, valószínûségek, sorozatok

207 Példák nemlineáris függvényekre V/6. c) a) Az y tengely mentén felfelé (pozitív szám esetén) vagy lefelé (negatív szám esetén) tolódik az f(x) függvény grafikonja. b) Az x tengely mentén balra (pozitív szám esetén) vagy jobbra (negatív szám esetén) tolódik el az f(x) függvény grafikonja. c) A g(x) függvény esetén az f(x) függvény grafikonját tükröztük az x tengelyre. A h(x) grafikonjánál a függvényértékek a -szeresükre nőnek. A j(x) grafikonjánál minden függvényérték a felére csökken. Függvények, valószínûségek, sorozatok 07

208 V/6. Példák nemlineáris függvényekre 9 Írd fel az alábbi grafikonok hozzárendelési szabályát! y y y y f 0 x g 0 x h 0 x i 0 x y y y y j 0 x k l m 0 x 0 x 0 x a) x 7 x + b) x 7 x - c) x 7 (x + ) d) x 7 (x - 5) e) x 7 -x + 4 f) x 7 4 x g) x 7 x + h) x 7 (x - ) + 0 a) Oldd meg grafikusan az x - = egyenletet! A 5. feladatban megadott lépéssort követve biztosan sikerül. b) Az előző grafikont felhasználva oldd meg az x - $ egyenlőtlenséget! c) Oldd meg az x - egyenlőtlenséget! d) Oldd meg az x - 5 egyenlőtlenséget grafikusan! Az eredmény pontosításához használj zsebszámológépet! a) b) x # - vagy x $ c) - x d) x ,8 vagy x 8.,8 x = -; x = 08 Függvények, valószínûségek, sorozatok

209 Olvassunk a grafikonról! V/7. Nézd meg az alábbi grafikon adatait, majd válaszolj a kérdésekre! A múzeumlátogatók és a kiállítások száma Magyarországon (005 04) látogatók száma (ezer fő) kiállítások száma Forrás: KSH a) Melyik évben volt a legtöbb kiállítás Magyarországon? b) Mennyien látogatták a kiállításokat 00-ben? c) Mikor volt a legtöbb látogató? d) Melyik évben volt nagyobb az egy kiállításra jutó átlagos látogatószám, 006-ban vagy 04-ben? a) 0-ban b) fő. c) 006-ban fő. d) 006-ban: : fő kiállításonként, 04-ben: :. 6 kiállításonként. Függvények, valószínûségek, sorozatok 09

210 V/7. Olvassunk a grafikonról! Tamásék 80 literes melegvíztárolója pont akkor kezdett el csöpögni, amikor elutaztak nyaralni. Három nap alatt szép lassan, egyenletesen, kicsöpögött belőle az összes víz. a) Ábrázold a tartályban lévő víz fogyását az idő függvényében! b) Add meg a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) A hozzárendelési szabály: x x A grafikon a napok függvényében ábrázolja az elfolyt vizet. Az alábbi grafikon azt mutatja, mennyi áramot használt el a Kellér család szombaton. Délelőtt beindult a szokásos hétvégi takarítás és főzés, így,8 kilowattot használtak óránként. Délután kirándultak egyet a környező dombokon, ekkor csak 0, kilowattóra volt a fogyasztás, de estére ismét,4 kilowattórára nőtt az áramfelhasználás. Válaszolj a kérdésekre az alábbi grafikon alapján! kilowattóra,9 0 8,55 9 7,8 5 0, óra 0 Függvények, valószínûségek, sorozatok

211 Olvassunk a grafikonról! V/7. a) Hány órakor ébredtek szombat reggel? b) Hány órakor kezdték el az otthoni munkákat? c) Mikor indultak kirándulni? d) Mi okozhatja a fogyasztást, ha nincsenek otthon? e) Mit jelenthet a vízszintes szakasz 5:0 és 7:00 óra között? f) Mikor lépték át az 5 kilowattórás fogyasztást? a) Valószínűéeg 7 órakor ébredtek, de a grafikon alapján ez nem eldönthető. Minden logikus válasz, becslés elfogadható. Pl. Már 6 kor felébredtek, de még mobiloztak az ágyban fekve stb. b) 9 órakor. c) órakor. d) Nem áramtalanítottak teljesen, így ment a hűtő, mélyhűtő, TV alapjáraton e) Áramszünet volt. f).0-kor. 4 Dávid a suliba busszal és biciklivel is mehet. Ha busszal megy, minden reggel 6 perc a várakozási idő. A busz 45 km -s sebességgel haladva teszi meg az iskolába vezető 6 km-es utat, és szinte a suli előtt h teszi le Dávidot. Biciklivel 8 km -s átlagsebességgel teker el az iskoláig. h a) Ábrázold a megtett utat mindkét esetben az idő függvényében! b) Melyik járművel ér előbb az iskolába Dávid? c) Hány órakor ér a suliba, ha 7:0-kor indul el otthonról? a) b) Busszal előbb odaér. c) Busszal 7:4-re, biciklivel 7:40-re ér a suliba Dávid. Függvények, valószínûségek, sorozatok

212 V/8. Készítsünk grafikont szabály alapján! Balázs elment vásárolni. perc alatt 50 m-t tett meg. 8 perc alatt ért a boltba, ahol 5 percet töltött. Visszafelé ugyanazon az úton ment és sietett, ezért 6 perc alatt hazaért. a) Ábrázold Balázs mozgását az idő függvényében indulástól hazaérkezésig! b) Milyen messze volt a bolt? c) Mennyi ideig volt távol? d) Mikor haladt el a házuktól 00 m-re lévő fagyizó előtt? a) b) 600 m-re. c) 9 percig d) 4 perccel és 6 perccel az indulás után. Döme Szadáról indult el Szelessel, a lovával. Már fél órája 6 km sebességgel ügettek, amikor a ló megbokrosodott, ledobta a lovasát, és 40 h km -val elvágtatott a Gödöllői-dombság egy másik irányába. h a) Ábrázold a ló által megtett utat az idő függvényében! b) Ábrázold grafikonon a Döme által megtett utat az idő függvényében, és olvasd le hány perc alatt ért haza, ha az esés után 5 km sebességgel hazasietett! h a) A ló által megtett út b) Út (km) (Nem tudjuk, mennyi ideig vágtatott) Út (km) A Döme által megtett út 8 km a balesetig és 8 km hazafelé Idő (h),6 óra, azaz 96 perc alatt ért haza Döme. Idő (h) Függvények, valószínûségek, sorozatok

213 Készítsünk grafikont szabály alapján! V/8. Ábrázold a következő függvényeket! - x + 0, ha x $ a) f : x 7 * b) g : x 7 x + 5, ha x Z ] x + 9, ha x #-4 c) h: x 7 ]- x +, ha -4 x # [ ] x -, ha x \ a) b) * x+, 5, ha x # 6 ha x 6 c) Függvények, valószínûségek, sorozatok

214 V/8. Készítsünk grafikont szabály alapján! 4 Az alábbi függvények hozzárendelési szabályai megadhatók abszolút érték használatával is. Ábrázold a függvényeket, és add meg a hozzárendelés szabályát! x -, ha x $ 0 x + 5 a) f : x 7 * b) g : x 7 * -x -, ha x 0 -x -5 a) b) ha x ha x $ -5-5 a) f(x) = x - b) g(x) = x Add meg az alábbi grafikonok hozzárendelési szabályát! a) y b) y g f 0 x 0 x A hozzárendelési szabályok: x -, ha x $ - x - 9, ha x $ a) g : x 7 ) b) f : x 7 * -x -, ha x - - x -, ha x vagy g : x 7 x Függvények, valószínûségek, sorozatok

215 Készítsünk grafikont szabály alapján! V/8. 6 Panni családja a nyaralás alkalmával lakókocsiban lakott. A lakókocsi tetején napelem volt, ami napfényes időben 4 óra alatt teljesen feltöltődött. Panniék sötétedés után ennek segítségével világítottak. Ha folyamatosan égett a lámpa, három óra alatt az összes napenergiát elhasználták. (A napfelkeltét 5 órától számítsd, a napnyugtát 0 órától!) a) Találj ki egy történetet az alábbi grafikonhoz! az akkumulátor feltöltöttsége (%) idő (h) b) Egy felhős napon kétszer annyi idő alatt töltődött fel az akkumulátor, majd sötétedés után addig társasoztak a lakókocsiban, míg világított a lámpa. Ábrázold grafikonon az akkumulátor töltöttségének változását az idő függvényében! a) Sokféle történet kitalálható, például: A napelem 4 óra alatt feltöltődött. Este 0- óra között beszélgetett a család, majd elmentek egy éjszakai fagyizásra. Este órától még egy órát olvastak, majd lekapcsolták a villanyt és elaludtak. b) Függvények, valószínûségek, sorozatok 5

216 V/8. Készítsünk grafikont szabály alapján! 7 A kertünkben hétfőn hajnalban,6 cm magas volt a fű. Naponta 4 mm-t nőtt. Szerdán este levágtuk, így cm magas lett. a) Mikor lesz a fű 5 cm-es? b) Vajon függvény-e a fű-ggvény? 60 fű magassága (mm) H K Sz Cs P Sz V H K Sz Cs P Sz V H eltelelt idő a) Csütörtökön. b) Igen. 6 Függvények, valószínûségek, sorozatok

217 Gyakoriság, relatív gyakoriság, átlag V/9. Határozd meg a ; ; ; ; 4; 4; 4; 4; 6; 6 számok átlagát, móduszát, mediánját! Átlag: xr = , = = 0 Módusz a leggyakoribb elem, azaz 4. Medián a két középső elem átlaga (páros számú adat esetén), 4+ 4 = 4. Egy 8 fős osztály átlaga irodalomból pontosan 4,5. a) Ha hét gyereknek lenne kettese, akkor milyen jegye lenne a többieknek? b) Lehet-e nyolc gyereknek kettese? c) Hány gyereknek van négyese, ha csak négyes és ötös volt az osztályban? d) Mi lehet a módusz? a) A jegyek összege 8 4,5 = 9. Ha 7 gyereknek -ese van, az 4, tehát a maradék jegyek összege 05. Ez csak db 5 esetén lehetséges. b) Az a) feladat eredménye alapján nem. c) III. Ha csak ötöse lenne mindenkinek, annak 40 volna az összege. Most csak 9, tehát gyerek kapott -gyel rosszabbat, azaz 4-est és 7 gyerek 5-öst. III. Egyenlettel, ha x gyerek kapott 4-est, akkor 8 - x gyerek kapott 5-öst, ez összesen 4x + 5(8 - x) = 9, rendezve 40 - x = 9, x =. III. A 4,5 az negyedelő pont a 4-es és az 5-ös között, a 4-hez közelebb. Osszuk fel a 8 gyereket 4 részre, rész lesz 4-es, rész 5-ös. d) A móduszból legalább 6 darab kell legyen, mert ha mindegyik jegyből csak 5 db van, az maximum 5 osztályzat. Megadunk néhány lehetőséget: A módusz 5, ha 0 db 5-ös, db -as és 5 db -es van. (Az összeg 9.) A módusz 4. Erre láttunk példát a c) részben. Ha a módusz lenne vagy kevesebb, akkor a 4,5-os átlagot minél több 5-össel lehetne biztosítani, ekkor azonban már nem a lenne a módusz (Legfeljebb 0 db -as lehet, ekkor db 4-es és 7 db 5-ös lenne, de ekkor nem a a módusz.) Függvények, valószínûségek, sorozatok 7

218 V/9. Gyakoriság, relatív gyakoriság, átlag Anya koktélparadicsomot termeszt a kertben. Gazsi rendszeresen locsolja, gyomlálja. A 4 tő paradicsomról egyik reggel még egy vázlatrajzot is készített, amelybe beírta, hogy melyik tőről hány kis paradicsomot szüretelt az aznapi reggelihez. a) Készíts az adatokból gyakorisági táblázatot! b) Átlagosan hány koktélparadicsomot szüretelt Gazsi egy tőről? c) Mi volt az adatok mediánja és módusza? d) Ábrázold a relatív gyakoriságokat oszlopdiagramon! e) A kert melyik részét kellene jobban öntözni? a) Elemszám Gyakoriság b) Az átlag: xr = $ 4+ $ 5+ $ 9+ 4$ + 5$ + 6$ = 69 = =, c) Az adatok mediánja, és a módusza is. d) Elemszám Relatív gyakoriságok Relatív gyakoriság /4 8/4 6/4 4/4 / Darab e) Úgy látszik, mintha a kert alsó része, esetleg a bal oldala kisebb hozamú lenne. Bármilyen értelmes válasz elfogadható. 4 A 4 nyolcadikos megszavazhatta, hogy ki a legjobb fej a tanárok között. 46 szavazattal Judit néni nyert, 9 szavazattal Tóni bácsi lett a második és 6 szavazattal Szilvi néni a harmadik. A többi szavazaton három másik tanár osztozott. Ábrázold a kapott szavazatokat oszlop- és kördiagramon is! 8 Függvények, valószínûségek, sorozatok

219 Gyakoriság, relatív gyakoriság, átlag V/9. 5 A földgáz hivatalos árát a fűtőértékével mérik és egy összetett képlet alapján kalkulálják. A fogyasztásmérők azonban köbméterben mutatják az elfogyasztott gáz mennyiségét. A gáz pontos árát az összetett számítási mód miatt nem adjuk meg, de ha minden költséget összeszámolunk, akkor arra jutunk, hogy körülbelül 40 Ft egy m gáz ára. A táblázatban Forró Fodor családjának havi gázfogyasztási adatait adtuk meg. Hónap I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII. Fogyasztás (m ) a) Számold ki a család átlagos havi gázfogyasztását! b) Melyik hónapban fogyasztottak körülbelül átlagos mennyiségű gázt? c) Ábrázold a havi fogyasztási adatokat oszlopdiagramon! d) Mennyi lenne az éves gázdíjuk? e) Mennyi lenne a Forró család havi átalánydíja, ha az éves gázdíjat hónapra osztanák el? a) xr = = 404 = 7 m b) A harmadik hónapban, azaz márciusban, amikor m gázt fogyasztottak. c) d) Az éves gázdíjuk = Ft. e) : = Ft a havi díjuk. Függvények, valószínûségek, sorozatok 9

220 V/9. Gyakoriság, relatív gyakoriság, átlag 6 A futballmérkőzések után ki szokták írni a csapatok különböző statisztikai mutatóit. Ilyen mutató például, hogy az idő hány százalékában birtokolta a csapat a labdát, a passzok hány százaléka ment csapattárshoz, hány lövésből lett gól stb. A táblázat néhány európai csapat saját bajnokságában elért mutatóit tartalmazza. A csapat neve Lövés/gól Labdabirtoklás (%) Sikeres passz (%). Barcelona 6,4 69,7 88,. Real Madrid 8, 57,9 86,. Bayern Munich 7,4 70, 87,5 4. Wolfsburg 5, 54,9 79,6 5. Arsenal 6, 56,7 8,8 6. Bayer Leverkusen 6, 5,7 69,9 7. Paris Saint-Germain,9 6,5 88,0 8. Borussia M. Gladbach,6 5, 8,7 9. Manchester City 7,6 59,5 84,6 0. Chelsea 4,8 55,6 8,. Marseille 5, 58,0 8,8. Juventus 5,8 57,4 84,8 A 05-ös Bajnokok Ligája-döntőben a Juventusnak 4-ból 86, a Barcelonának pedig 570-ből 505 sikeres passza volt. Ugyanakkor a Juventus 4 lövésből, a Barcelona pedig 8-ból gólt ért el, a labdabirtoklás aránya pedig 9 : 6 volt a Barcelona javára. a) Melyik felsorolt csapat lövéseiből lesz leggyakrabban gól a saját bajnokságában? b) Ki lehet-e számítani ezekből az adatokból, hogy a csapat lövéseinek hány százaléka lesz gól? c) Számold ki a csapat labdabirtoklásának (%) mediánját és átlagát! d) Mennyire van összhangban a Juventus és a Barcelona hazai bajnokságban mutatott éves átlaga a BL-döntőben mutatott teljesítményükkel? e) Ábrázold kördiagramon a két csapat labda birtoklási arányát! a) A Borussia Mönchengladbach mutatója a legjobb. b) Nem lehet kiszámolni, hiszen ehhez tudni kellene, hogy hány lövés és hány gól volt az egyes csapatoknál. Ugyanakkor statisztikai alapon jó eséllyel meg tudjuk becsülni ezt a százalékot. Számolhatunk csapatonként, az első csapat, a Barcelona lövései esetében 6,4 lövésenként esik egy gól, azaz a lövéseik. 0,06098 = 6,098% lesz gól. 6,4 Kiszámolva a százalékokat minden csapatra és véve az átlagukat kapjuk, hogy ( 6,4 + 8, + 7,4 + 5, + 6, + 6, +,9 +, + 7,6 + 4,8 + 5, + 5,8) :.. 0,0644 = 6,44%. 0 Függvények, valószínûségek, sorozatok

221 Gyakoriság, relatív gyakoriság, átlag V/9. Ha egybeolvasztjuk a csapatok lövéseit, akkor a következő formulához jutunk, lövéshez kell kb. 88,5 lövés, azaz =. 6, 4+ 8, + 7, 4+ 5, + 6, + 6, +, 9+ 6, + 7, 6+ 48, + 5, + 58, 88, 5. 0, ,7% c) Az adatok rendezve: 5,7 5, 54,9 55,6 56,7 57,4 57,9 58,0 59,5 6,5 69,7 70, A medián a hatodik és a hetedik átlaga 57, , = 57, 65 (%). Átlaguk 5, 7+ 5, + 54, , + 56, , + 57, , + 59, 5+ 65, + 69, 7+ 70, = 708, 4 =. 59, 0(%) d) Készítsünk külön táblázatot e) Barcelona Juventus A csapat neve Lövés/gól Labdabirtoklás (%) Sikeres passz (%) Bajnokság 6,4 69,7 88, BL ,6 Bajnokság 5,8 57,4 84,8 BL 4 9 8,4 A táblázat adataiból látszik, hogy a sikeres passzok arányában nincsen lényeges különbség. A labdabirtoklásban már jelentősen visszaesett a Juventus, a Barcelona helyzetkihasználása pedig el is döntötte a meccset. Függvények, valószínûségek, sorozatok

222 V/. Valószínűség Alakítsatok háromfős csoportokat! Minden csoporttag válassza ki a táblázat egy sorát, majd járjátok körbe az osztályt, és készítsetek felmérést arról, hogy mennyi időt töltenek osztálytársaitok az általatok kiválasztott tevékenységekkel hetente! Az eredményeiteket ábrázoljátok grafikonon! Netezés Tv-nézés Olvasás Kevesebb, mint fél óra Kb. óra Kb. óra Legalább óra a) Egy osztálytársadat véletlenszerűen kiválasztva mennyi annak valószínűsége, hogy ő kevesebb mint fél órát netezik hetente? b) Egy osztálytársadat véletlenszerűen választva mennyi annak valószínűsége, hogy ő kb. órát tévézik hetente? c) Egy osztálytársadat véletlenszerűen választva mennyi annak valószínűsége, hogy ő kb. két órát olvas hetente? Egyéni eredmények A Ki nevet a végén? elnevezésű játékban mezővel maradtam le Berta mögött, és én jövök. a) Mennyi a valószínűsége annak, hogy ki tudom ütni? b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy elé kerülök? c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a következő lépésnél ő üt ki engem, ha 5-öst dobtam? a) 6 b) c) 6 Két kék bábum is veszélyes helyen áll a Ki nevet a végén? táblán. Éppen Zozó fog lépni a piros bábuval. a) Mennyi a valószínűsége, hogy ki tudja ütni valamelyik kék bábut? b) Mennyi a valószínűsége, hogy ki tudja ütni valamelyik bábut? a) -es vagy 6-os üti a kék bábut, 6 b) 4 bábu áll üthető helyen, 6 4 =. = Függvények, valószínûségek, sorozatok

223 Valószínűség V/. 4 Számold ki annak a valószínűségét, hogy egy kockával prímszámot dobunk! Megfelelő a,, 5 tehát a valószínűség. 5 Egy piros és egy zöld kockával dobok. A piros kockával dobott szám egy kétjegyű szám első, a zöld kockával dobott szám pedig a kétjegyű szám második számjegye lesz. a) Mennyi a valószínűsége, hogy a -es számot írom le? b) Mennyi a valószínűsége, hogy 0-nál kisebb számot írok le? c) Mennyi a valószínűsége, hogy négyzetszámot írok le? a) 6 b) 6 c) 6, 5, 6, 64 a megfelelő, tehát 6 4 = 9 6 A képen látható húszlapú testtel dobva a) mennyi a valószínűsége, hogy a dobott szám kisebb, mint 0? b) mennyi a valószínűsége, hogy a dobott szám legfeljebb 0? c) mennyi a valószínűsége, hogy a dobott szám vagy 0? d) mennyi a valószínűsége, hogy a dobott szám négyzetszám? a) 9 0 b) 0 = 0 c) = 0 0 d), 4, 9, 6 megfelelő, tehát 4 0 = 5 Függvények, valószínûségek, sorozatok

224 V/. Valószínűségszámítási feladatok Csongi az iskolai menzán tépelődik: Két féle leves van, de mindegyiket szeretem. Háromféle főétel, és az is mind jó. Nem tudok választani. a) Hányféle menüt tud összeállítani Csongi? b) Ajánlj neki egy sorsolási eljárást, amelynél minden párosításnak ugyanakkora a valószínűsége! a) = 6 félét. b) Megfeleltetheti az eseteket a dobókockának, vagy külön sorsolhat a leveshez ps, ptl, esetén és a főételhez vagy ; vagy 4; 5 vagy 6 esetén, és ezernyi más is lehetséges. Mennyi lesz az elemi események valószínűsége, ha a képen látható nyolclapú testtel (oktaéderrel) dobunk? 8 Írd fel pénzérme feldobásának összes lehetséges kimenetelét! FFF, FFI, FIF, IFF, FII, IFI, IIF, III 4 Dobj fel egyforma pénzérmét 00-szor, és készíts táblázatot az eredményekről! a) Mennyi lett a három fej dobásának relatív gyakorisága? b) Mennyi lett a két fej és egy írás esemény relatív gyakorisága? c) Mikor közelítené meg a relatív gyakoriság a valószínűséget pontosabban? a) Egyéni eredmények b) Egyéni eredmények c) Több dobás esetén 4 Függvények, valószínûségek, sorozatok

225 Valószínűségszámítási feladatok V/. 5 Egy 4 fős osztályban mindenki nevét felírják egy cetlire, összehajtják, és beteszik egy sapkába. Berta húz egyet. a) Mennyi a valószínűsége, hogy elsőre pont önmagát húzza? b) Mennyi a valószínűsége, hogy Zozó elsőre húz valakit, aztán Berta másodiknak önmagát húzza? (A kihúzott nevet nem teszik vissza.) a) 4 b) Elsőre nem húzhatja Bertát, tehát, aztán Berta önmagát húzza, ennek valószínűsége, azaz 4 4 $ =. Ugyanannyi, mint az a) esetben. 4 6 A tányéron van olyan süti, aminek kicsit odakapott az alja, meg 9 hibátlan. A rájuk szórt porcukor miatt egyáltalán nem vehető észre, hogy melyik alja kozmálhatott oda. a) Mennyi a valószínűsége, hogyha véletlenszerűen választunk közülük -et, akkor az a süti égett lesz? b) Mennyi a valószínűsége, hogyha véletlenszerűen választunk közülük -et, akkor az a süti jó lesz? c) Mennyi a valószínűsége, hogyha véletlenszerűen választunk közülük -t, akkor mindkét süti égett lesz? d) Mennyi a valószínűsége, hogy 4 égettet választunk? a) = 4 b) 9 = 4 c) $ = d) Csak égett van, ezért ez lehetetlen, 0. Függvények, valószínûségek, sorozatok 5

226 V/. Keressünk összefüggéseket! Pakoljátok be a ceruzáitokat a dobozba szépen, sorban! szólt anya az ikrekhez. Dini így rakta: Dani így rakta: Fogalmazd meg a fiúk sorba rendezésének szabályait! Például: Dini szín szerinti sorrendbe, Dani a színek abc sorrendjébe rakta a ceruzáit. Vizsgáld meg a következő sorozatokat! Fogalmazd meg a képzés szabályát, és folytasd a sorozatokat - taggal! a) H, Sz, P, V, K, b) a, b, c, d4, c) Szlovákia, Ukrajna, Románia, Szerbia, Például: a) Cs; Szo; H A hét minden második napjának kezdőbetűit soroltuk fel. b) e5; f6; g7 A sakktábla főátlójának betűkódjait soroltuk fel. c) Horvátország; Szlovénia; Ausztria Magyarországgal szomszédos országokat soroltunk fel. Folytasd az alábbi számsorozatokat - taggal! Írd le a képzési szabályt is! a),, 4, 7,, b),, 4, 8, 6, c),, 5, 7,, Például: a) 6; ; 9 Két egymást követő szám különbsége mindig eggyel nő az előzőhöz képest. b) ; 64; 8 A hatványokat kezdtük el sorolni. c) ; 7; 9 A prímszámokat kezdtük el sorolni. 6 Függvények, valószínûségek, sorozatok

227 Keressünk összefüggéseket! V/. 4 Add meg annak a számsorozatnak az első 5 tagját, amelynek első eleme 0, és a további tagokat úgy képezzük, hogy a) az előző taghoz hozzáadunk (-9)-et; b) az előző tag kétszereséből elveszünk -et! a) 0; ; -8; -7; -6 b) 0; 9; 7; 7; 45 5 Balázséknál otthon gyerekbank működik. Ha Balázsnak pénzre van szüksége, kérhet anyától, de házimunkával kell törlesztenie. A hagyományos bankokhoz hasonlóan a törlesztésnek határideje van, de kamata szerencsére nincs. Az alábbi táblázat mutatja, melyik házimunka hány forintot ér és hányszor végezhető el egy héten. a) Állíts össze egy munkasort Balázsnak, ha hét alatt 4500 forintot kell visszafizetnie! b) Te hány forintot kérnél kölcsön hasonló esetben? Mennyi idő alatt és milyen házimunkával tudnád törleszteni? a) Több lehetőség is adódik, például: 6 porszívózás (600 Ft) + 9 ruhaszárító lepakolás (900 Ft) + 6 rendrakás (500 Ft) mosogatás (400 Ft) + felmosás (00 Ft) = 4500 Ft b) 6 Gyuriék körbeültek, és a Minden harmadik kiesik játékot játszották. Elkezdtek egyesével számolni, és minden olyan ember, akinek a sorszáma osztható volt -mal, kiesett. Ez így ment körbe-körbe, és a végén az nyert, aki utolsónak maradt bent. Hányadik helyre üljön Gyuri, ha mindenképp nyerni akar, és a játékot a) hatan; b) heten; c) ötvenen játsszák? d) Hova kerül a nyerő hely, ha a játékszabály Minden negyedik kiesik -re módosul? a). helyre. b) 4. helyre. c). helyre. d) Ha hatan játszanak az 5. helyre, ha heten, akkor a. helyre, míg ha ötvenen, akkor a 9. helyre üljön az, aki nyerni szeretne. Függvények, valószínûségek, sorozatok 7

228 V/4. Sorozatok Nagyinak öt unokája van. Búcsúzáskor ott sorakoztak előtte, és a legkisebb vidáman közölte, hogy ad neki két puszit. Az semmi vágta rá a második. Én kétszer annyit adok. Én meg annak a kétszeresét! vigyorgott a soron következő. Nagyi aznap este rengeteg puszit kapott: minden unoka kétszer annyit adott neki, mint a sorban előtte álló. a) Kitől hány puszit kapott? b) Hány puszit kapott nagyi aznap az unokáktól összesen, ha érkezésnél mindenki csak a szokásos kettőt adta? a) A legkisebbtől -t, a következőtől 4-t, majd 8-t, 6-t és a legidősebbtől -t. b) = 7 darab puszi boldog tulajdonosa lett Nagyi. Ivett fogyókúrázik, így állandóan a kalóriákat számolgatja. Azt találta ki, hogy hétfőn 800 kalóriányi ételt fogyaszt el, és az ezt követő napokon mindig az előző napi adag felénél 500-zal többet. a) Számold ki, hány kalóriát fogyaszt az első négy napon! b) Igaz-e, hogy vasárnap már 000 kalória alatt lesz a napi adagja? a) Hétfőn 800-t, kedden 400-t, szerdán 00-t és csütörtökön 00-t. b) Nem, vasárnap 0,5 kalóriát fogyaszt. Soha nem megy 000 kalória alá. Egy sorozat első tagja, második tagja. Minden további tag a közvetlenül előtte lévő két tag öszszegével egyenlő. a) Sorold fel a sorozat első hat elemét! b) Hányadik tag lesz 00-nál nagyobb? c) Számold ki az első tíz tag összegét! a) -; ; ; 4; 5; 9 b) A. tag már nagyobb 00-nál (57). c) Az első tíz tag összege Add meg növekvő sorrendben a -mal osztható természetes számok sorozatának első tíz tagját! Legyen a = 0. a) Add meg a sorozat 50. és 00. tagját is! b) Számold ki az első tíz tag összegét! 0; ; 6; 9; ; 5; 8; ; 4; 7 a) a 50 = 47 ; a 00 = 97 b) Az első tíz tag összege 5. 8 Függvények, valószínûségek, sorozatok

229 Sorozatok V/4. 5 Sári gondolkodás közben satírozgatott, és az alábbi ábrát készítette. Az F betűk az ábrán látható oldalak felezőpontjai. Például F a BC; F az AC; F az F C oldalak felezőpontjai. Az ABC háromszög területe legyen egység. A A A A F F F t t t t t t t F 4 B B B t B t F C F C F F C F F C. lépés. lépés. lépés 4. lépés a) Számold ki minden lépés után az újonnan beszínezett háromszög területét! b) Folytasd a sorozatot! Számold ki a sorozat 5. és 6. elemét! c) Számold ki a sorozat első hat elemének összegét! d) Mit gondolsz, hányadik lépésben lesz a sorozat tagjainak összege? a) b). lépés. lépés. lépés 4. lépés 5. lépés 6. lépés 4 c) Az első hat elem összege d) Bár közelít az összeg az -hez, soha nem éri el Az alábbi ábrán a Fibonacci-spirált látod. a) Nézz utána az interneten, melyik cég használta ezt a spirált a logója elkészítéséhez! b) Keresd meg, hol jelenik meg a természetben ez az alakzat! a) Az Apple cég logójában jelenik meg a Fibonacci-spirál. b) Ez az alakzat megtalálható az ananász pikkelyeiben, a napraforgó magjaiban, a málna szemeiben, a karfiol rózsáiban Függvények, valószínûségek, sorozatok 9

230 V/5. Számtani sorozat Havonta,5 centit nő a hajam. a) Mennyit nő egy év alatt? b) Vajon egy év múlva leér-e a derekamig, ha most a hátam közepéig ér? a) 8 cm-t. b) Valószínüleg egy nyolcadikos gyereknél igen. (Kopp-kopp-kopp) Penny? (Kopp-kopp-kopp) Penny? Ismételgette Sheldon Penny ajtajánál. a) Hányszor kopog, ha -szor mondta már, hogy Penny? b) Hányszor kopog, ha 7-szer mondta már, hogy Penny? c) Hányszor mondta, hogy Penny, ha 4-szer kopogott? d) Hányszor mondta, hogy Penny, ha 5-ször kopogott? a) 9-szer b) -szer c) 4-szer d) 8-szor Egy színház nézőterén az első sorban 6 ülőhely van. Minden sorban -mal több szék van, mint az előtte levőben. a) Hány szék van a 8. sorban? b) Hányan férnek el összesen a 8 soros színházban? a) = 67 szék van a 8. sorban. b) 747 fős a színház. 4 Öt egymást követő egész szám összege 45. a) Melyik a középső szám? b) Melyik a legnagyobb szám? a) 45 : 5 = 49 a középső szám. b) A legnagyobb szám az 5. 0 Függvények, valószínûségek, sorozatok

231 Számtani sorozat V/5. 5 Egy háromszög belső szögeinek nagysága számtani sorozatot alkot. A differencia 7. Számold ki a háromszög szögeit! a + a a + 54 = 80, melyből megkapjuk hogy a =. A háromszög szögei: ; 60 ; Egy háromszög kerülete 6 cm, oldalai számtani sorozatot alkotnak. A differencia cm. a) Mekkorák a háromszög oldalai? b) Mekkora a háromszög legnagyobb belső szöge? a) A háromszög oldalai 9 cm; cm és 5 cm. b) A legnagyobb szöge 90 (Pitagoraszi számhármas). 7 Egy számtani sorozat első két tagja 9 és 6. a) Mennyi a számtani sorozat differenciája? b) Számold ki a sorozat következő négy elemét! c) Számold ki az első hat tag összegét! a) d = 7 b) ; 0; 7; 44 c) Az első hat tag összege Egy számtani sorozat harmadik eleme, hatodik eleme 0. a) Mennyi a sorozat differenciája? b) Számold ki a sorozat első elemét! a) d = b) a = 5 Függvények, valószínûségek, sorozatok

232 V/5. Számtani sorozat 9 Egy számtani sorozatra az alábbiak teljesülnek. Számítsd ki a sorozat első három elemét! a) a8 = 97 és d = 8 b) a5 = 9 és d =-4 c) a 4 5 = és d = 9 a) a = = 4 a = 49 a = 57 b) a = 9-4 (-4) = 85 a = 8 a = 77 c) a = 4-4 $ = a = 6 9 a = Igaz vagy hamis? Indokold az állításodat! a) Az 5-tel osztható számok sorozata számtani sorozatot alkot. b) Egy egész szám osztói növekvő sorrendben felírva számtani sorozatot alkotnak. c) Ha a 4-re végződő kétjegyű számokat csökkenő sorrendbe írjuk, számtani sorozatot kapunk. d) A 7-tel osztva maradékot adó számok sorozata számtani sorozatot alkot. a) Igaz, d = 5. b) Hamis, például a 8 osztóinál ; ; 4; 8 nem alkotnak számtani sorozatot. c) Igaz, d = -0. d) Igaz, d = 7. Egy számtani sorozat egymást követő öt elemének az összege 75. Az egyik tagja 9. a) Melyik ez az öt elem? b) Hány megoldást találtál? a) b) Vizsgáljunk meg 5 különböző esetet, amikor a 9 az első, második, harmadik, negyedik, illetve az ötödik helyen áll a sorozatban. Ha a = 9, akkor d =, így 9; ; 5; 8; 4 Ha a = 9, akkor d = 6, így ; 9; 5; 4; 47 Az a = 9 lehetetlen, mert az öt tag középső eleme mindenképpen = a + a + a + a 4 + a 5 = (a - d) + (a - d) + a + (a + d) + (a + d) = 5a Ha a 4 = 9, akkor d = -6, így 47; 4; 5; 9; Ha a 5 = 9, akkor d = -, így 4; 8; 5; ; 9 Függvények, valószínûségek, sorozatok

233 Összefoglalás V/6. Döntsd el, melyik állítás igaz! A hamis állításokat tedd igazzá! a) 00 Ft-ért 5 kg őszibarackot vásárolhatunk. Ha a barack feleannyiba kerülne, akkor ugyanannyi pénzből kétszer annyit vásárolhatnánk. b) Egy irodaház takarítását egy 6 fős takarítócég 4 óra alatt tudja kitakarítani. Ha a dolgozók felét máshova küldik munkát végezni, akkor a többiek feleannyi idő alatt végeznek a takarítással. (Feltételezzük, hogy mindenki ugyanolyan intenzitással dolgozik.) c) Ha négy pohár limonádé elkészítéséhez liter vízre van szükség, akkor liter víz 7 pohár limonádéhoz elegendő. d) 500 db almát dobozokba csomagolnak, és minden dobozba 4 db alma kerül. Ha háromszor annyi almát tennének egy dobozba, akkor harmadannyi dobozt kell felhasználni. e) Ha egy autó fél óra alatt 55 km-t tesz meg az autópályán, akkor két óra alatt 00 km-t tud megtenni (Feltételezzük, hogy az autó egyenletes tempóban halad.) Igaz: a); d) A hamis állítások igazzá alakítása: b) Egy irodaház takarítását egy 6 fős takarítócég 4 óra alatt tudja kitakarítani. Ha a dolgozók felét máshova küldik munkát végezni, akkor a többiek kétszer annyi idő alatt végeznek a takarítással. c) Ha négy pohár limonádé elkészítéséhez liter vízre van szükség, akkor liter víz pohár limonádéhoz elegendő. e) Ha egy autó fél óra alatt 55 km-t tesz meg az autópályán, akkor két óra alatt 0 km-t tud megtenni. Határozd meg az ábrán látható függvények hozzárendelési szabályait! a) Mekkora a h függvény meredeksége? b) Hol metszi a h függvény az y tengelyt? c) Melyik függvény csökkenő? A függvények hozzárendelési szabálya: f : x 7 5; g : x 7 - x; h : x 7 5 x - a) 5 b) --nál c) a g függvény f g y 4 h 0 4 x Függvények, valószínûségek, sorozatok

234 V/6. Összefoglalás Ábrázold a következő függvényt koordináta-rendszerben, majd válaszolj a kérdésekre a grafikon alapján! f : x 7 x - a) Az f hozzárendelés mit rendel hozzá a (-)-hoz? b) Melyik számhoz rendeli hozzá a 0-t? c) Mely x számokhoz rendel pozitív számokat? d) Mely számokhoz rendelt hozzá -nél kisebb számokat? a) --at. b) 6-hoz. c) x 6 d) x 9 4 Ábrázold az f : x 7 x + és a g : x 7 x - függvényeket közös koordinátarendszerben! a) Oldd meg grafikusan az x - = x+ egyenletet! b) Milyen x értékekre teljesül x - # x+ egyenlőtlenség. Ábrázold a megoldást számegyenesen! f : x 7 x + és a g : x 7 x - a) x = - b) x $ - 4 Függvények, valószínûségek, sorozatok

235 Összefoglalás V/6. 5 Ábrázold a megadott függvényeket! Ha szükséges, készíts értéktáblázatot az ábrázoláshoz! a) Minden számhoz rendeljük hozzá a kétszeresénél hárommal nagyobb számot! b) Minden számhoz rendeljük hozzá az ellentettjét! c) Minden számhoz rendeljük hozzá az ötödének az ellentettjét! Írd fel a függvények hozzárendelési szabályát! a) b) c) A függvények hozzárendelési szabálya: a) f : x 7 x + b) f : x 7 -x c) f : x 7 - x 5 Függvények, valószínûségek, sorozatok 5

236 V/6. Összefoglalás 6 Ábrázold a megadott függvényeket közös koordináta-rendszerben! fx ^ h = x -; gx ^ h = x -; h x ^ h= x - 7 Határozd meg az alábbi függvények hozzárendelési szabályát! Ha szükséges, készíts táblázatot! Mi utal a képletben arra, hogy a függvények grafikonjai párhuzamos egyenesek? a) b) y y f g h f g 0 x 0 x h a) f(x) = x + g(x) = x + h(x) = x - 5 b) f(x) = x + g(x) = x + 4 h(x) = x - 5 Mivel az x-es tagok együtthatói megegyeznek, a grafikonok párhuzamosak egymással. 6 Függvények, valószínûségek, sorozatok

237 Összefoglalás V/6. 8 Megadtuk a lineáris függvények két jellemzőjét. a) Ábrázold a függvényeket koordináta-rendszerben! b) Írd fel a függvények hozzárendelési szabályát! f függvény: m = ; y tengelyt metszi: y = g függvény: m = - ; y tengelyt metszi: y = a) b) II. x 7 x + II. x 7 - x + 9 Ábrázold az f : x 7 x függvényt! a) Mekkora a függvény értéke a következő helyeken: x = -4; x = 0; x =,5; x = 5 ; x = - 5? b) Milyen x értékek esetén lesz a függvény értéke ; 5,6; 0; -? a) x -4 0,5 f(x) 4 0, b) f(x) 5,6 0 - x ; - 5,6; -5,6 0 Függvények, valószínûségek, sorozatok 7

238 V/6. Összefoglalás 0 Oldd meg grafikusan az alábbi egyenleteket! a) x+ = x b) - x+ 5 = x + c) x x a) b) c) a) x = 6 x = - b) x = x = -6 c) x = x = - 8 Függvények, valószínûségek, sorozatok

239 Összefoglalás V/6. Fizikaórán a hőmérséklet-változást vizsgálják a tanulók. Két csoport különböző hőmérsékletű vizet kap. Az I. csoport Cos, a II. csoport C-os vizet kezd el melegíteni. Az I. csoport vízmelegítője nagyobb teljesítményű, így az általuk melegített 54 víz percenként C-kal, míg a II. csoporté csak percenként 48 9 C-kal melegszik. A grafikon alapján válaszolj a kérdésekre! 4 a) Mennyi lesz a víz hőmérséklete az egyes csoportoknál perc 6 elteltével? 0 b) Mikor lesz a víz hőmérséklete 60 C? 4 c) Mikor lesz a víz hőmérséklete azonos a két csoportnál? 8 d) A mérés kezdetétől számítva mikor lesz a két csoportnál a vízhőmérsékletek különbsége 6 C? 6 0 a) perc múlva az I. csoportnál 6, a II. csoportnál 9 lesz. 0 4 idő (perc) b) Az I. csoportnál 4 perc elteltével, a II. csoportnál kb. 4,5 perc elteltével. c) perc múlva. d) Az. és az 5. percben lesz a két csoport hőmérséklete közötti hőmérsékletkülönbség 6 C. hőmérséklet ( C) Melyek tartoznak össze? Párosítsd a képletet a függvény grafikonjával! y y 0 x 0 x f : x 7 x + ; g : x 7 x - 4; h: x 7 x - f : x 7 x + ; g : x 7 x - 6; h: x 7 - x - Az első koordináta rendszerben: f : kék grafikon g : zöld grafikon h : piros grafikon A második koordináta-rendszerben: f : kék grafikon g : zöld grafikon h : piros grafikon Függvények, valószínûségek, sorozatok 9

240 V/6. Összefoglalás Egy Magyarországon működő amatőr meteorológiai mérőállomás többek között a napi csapadékmennyiséget is méri. Az itt látható grafikonon a csapadék mennyiségét mm-ben adták meg. Válaszoljatok az alábbi kérdésekre a grafikon alapján! (Az adatok a honlapról származnak.) Csapadék 05 májusában Napi maximum a) Hány napon esett eső májusban? b) Mennyi volt a legnagyobb napi csapadékmennyiség? c) Összesen hány mm csapadék hullott ebben a hónapban? d) Véleményed szerint ez több vagy kevesebb, mint az éves adatok alapján számított havi átlagos csapadékmennyiség? a) 0 napon esett az eső. b) 59 mm. c) 6 mm hullott összesen. d) Kutatómunka alapján az éves csapadékösszeg 58,9 mm, tehát a májusi összeg jóval átlag feletti. (Májusi eső aranyat ér.) 40 Függvények, valószínûségek, sorozatok

241 Összefoglalás V/6. 4 A játszótéren Matyi, Helénke és Anna egy labdát dobált a képen látható tölcsérbe. Mindegyikük választott egy ágat, és beállt alá. Ha nála gurult ki a labda, legközelebb ő dobhatta be. a) Melyik táblázat mutathatja a dobásaik számát? b) Mire gyanakodnál, ha az A táblázat mutatná a dobásszámokat? A: Anna Heléna Matyi B: 66 Anna Heléna Matyi 68 0 C: Anna Heléna Matyi a) C b) Nem egyenlő valószínűséggel gurul ki a labda a három ágon. Például a tölcsér nem áll függőlegesen, kicsit Anna ága felé dől. 5 Add meg a következő események valószínűségeit! Egy szabályos dobókockát egyszer feldobva a) 6-ost dobunk; b) -est dobunk; c) páratlan számot dobunk; d) prímszámot dobunk; e) négyzetszámot dobunk; f) 6-nál kisebbet dobunk; g) 7-nél kisebbet dobunk; h) 7-est dobunk. a) 6 e) b) 6 f) 5 6 c) d) g) h) 0 6 Zsiga tolltartójában van két kék toll és öt fekete ceruza, de ezek közül kettőnek ki van törve a hegye. Van még egy kék és egy piros ceruza is benne, amelyek szépen ki vannak hegyezve. Ha véletlenszerűen választ ki egy íróeszközt, akkor mi a valószínűsége, hogy az a) toll; b) ceruza; c) fekete ceruza; d) fekete ceruza, amelyikkel írni is tud. e) Ha tapintással érzi, hogy épp egy ceruzát fog, akkor mi a valószínűsége, hogy írni tud vele? a) 9 b) 9 7 c) 9 5 d) e) 5 7 Függvények, valószínûségek, sorozatok 4

242 V/6. Összefoglalás 7 Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első negyven pozitív egész közül egyet véletlenül kiválasztva a szám a) osztható lesz -vel; b) osztható lesz -mal; c) osztható lesz 5-tel; d) prímszám lesz; e) összetett szám lesz? f) Miért nem a d) és e) feladatban kapott számok összege? a) b) 40 f) Mert az nem prímszám és nem összetett szám. c) 5 d) 0 8 A szecsuáni síncsiszoló sínt csiszol Szecsuánban. A csiszolás nehéz munka, és a csiszológép is túlmelegszik, ha sokáig használják, úgyhogy minden órában 40 percig dolgozik és 0 percig pihen. Mi a valószínűsége, hogy amikor a főnöke ellenőrizni megy, akkor éppen pihen? 0 = 60 9 Viktor két kedvenc száma az 5 és a 7. Ha kitölt egy ötöslottó- szelvényt, és persze bejelöli a kedvenc számait is, akkor a) az 5 és a 7 közül melyik szám kihúzásának van nagyobb esélye? b) hány olyan 90-nél kisebb szám van, amelyikben csak 5-ös vagy 7-es számjegy szerepel? c) ha csak olyan számokat húztak ki, amelyekben csak 5-ös vagy 7-es számjegy szerepel, akkor mi a valószínűsége, hogy a kihúzott számok között szerepel az 5 és a 7 is? a) Egyenlő az esélye mindkét számnak. b) 6 szám. Ezek az 5, 7, 55, 77, 57, 75. c) 4 = 6 (A 6 számból ötöt kihúznak. Így számot nem. Ha a nem kihúzott szám 57 vagy 75 vagy 55 vagy 77, akkor az 5 és a 7 benne van a kihúzott számok között, tehát teljesül a feltétel. Ha azonban az 5-öt vagy a 7-et nem húzzák ki, akkor nem teljesül a feltétel.) 0 Az osztályban kisorsolnak egy gyereket, aki az osztály papagájait eteti szeptemberben. Annak a valószínűsége, hogy lányt sorsolnak ki, -e annak a valószínűségnek, hogy fiút sorsolnak ki. Mekkora 4 a lányok és a fiúk aránya az osztályban? A lányok és fiúk aránya : 4. e) Függvények, valószínûségek, sorozatok

243 Összefoglalás V/6. Válaszd ki, melyik lehet számtani sorozat az alábbiak közül! Indokold meg választásodat! Add meg a számtani sorozat differenciáját! a) 5; 48; 5; 48; b) ; ; ; 4; c) ; ; ; ; ; f d) ; ; -7; -7; e) ; ; ; 4 ; ; f a) Nem, az egymást követő elemek különbsége nem állandó. b) Nem, az egymást követő elemek különbsége nem állandó. c) Nem, az egymást követő elemek különbsége nem állandó. d) Igen, d = -0. e) Igen, d =. 5 A következő számtani sorozatokban határozd meg az első négy tag és a differencia közül azokat, melyek nincsenek megadva! a) a = ; d = 7; b) a = ; d = -4 c) a = -; a = -9; a = -5 d) a =,6; d = -0, a) a = 9 ; a = 6 ; a 4 = b) a = 8 ; a = 4 ; a 4 = 0 c) d = 4 ; a 4 = - d) a =, ; a =,9 ; a 4 =, Egy táncversenyen sorszámokat osztanak minden versenyzőnek. Réka megfigyelte, hogy az első sorszám a kettes, a többi pedig minden harmadik ezt követő természetes szám. Réka azt is észrevette, hogy a legutolsó szám a 00-nál nagyobb, hozzá legközelebb eső ilyen szám. a) Melyik volt az utolsó sorszám, amit kiosztottak? b) Hány sorszámot osztottak ki? c) A nézők között annyi karkötőt sorsoltak ki, amennyi a versenyzők sorszámának összege. Hány karkötő került kisorsolásra? a) Az utolsó sorszám a 0 volt. b) 4 db-ot osztottak ki. c) 75 darab karkötőt sorsoltak ki. Függvények, valószínûségek, sorozatok 4

244 V/6. Összefoglalás 4 Egy derékszögű háromszög oldalainak hossza egy számtani sorozat három egymást követő eleme. Kerülete 56 cm-rel nagyobb, mint a hosszabb befogó. a) Mekkorák a háromszög oldalai? b) Mekkora a háromszög területe? A háromszög oldalait felírhatjuk a, a + d, a +d alakban. A feladat alapján felírhatjuk a következő egyenletet: a + a + d + a + d - 56 = a + d, melyből megkapjuk, hogy a hosszabb befogó (a + d) = 8 cm hosszú, a kerülete pedig 84 cm. a) A háromszög oldalai: cm; 8 cm; 5 cm. A, 4 és 5 oldalú derékszögű háromszöghöz hasonló háromszöget keresünk, mert ez az egyetlen olyan pithagoraszi számhármas, aminél az oldalak számtani sorozatot alkotnak. Így a nagyobbik befogó mérőszámából a keresett háromszög oldalai épp az említett háromszög oldalainak hétszerese. b) T = $ 8 = 94 cm. 5 A karácsonyi könyvvásárban könyvekből készítettek fenyőfát a könyvesbolt díszítéséhez. A legalsó sorban 5 db könyv volt, és minden sorban 4-gyel kevesebb, mint az alatta levőben. A lehető legmagasabb díszkarácsonyfát építették meg. a) Hány szintes volt a könyvkarácsonyfa? b) Hány könyvet kellett felhasználni? c) Úgy válogattak könyveket az építéshez, hogy mindegyik könyv 9,5 cm-es legyen. Milyen magas volt a karácsonyfa? a) Hét szintes b) 9 db könyvet kellett felhasználni. c) 7 9,5 = 6,5 cm-es. 44 Függvények, valószínûségek, sorozatok

245

246 VI/. Mit tanultunk eddig? Rajzolj halmazábrát a következő címkékkel: sokszöglapokkal határolt testek, kockák, hasábok, testek, téglatestek! Az egyik téglatest éleinek hossza a, b és c, a másiké x, y és z. Hasonlítsd össze a fel színüket és a térfogatukat! Melyik és mennyivel nagyobb? Melyik és hányszor nagyobb? a) a = cm, b = 4 dm, c = 0 cm, x = 5 cm, y = dm, z = 80 mm b) a = 6 cm, b = 50 mm, c = 0,5 dm, x = 00 mm, y = 0,4 dm, z = 4 cm a) A = 000 cm, A = 80 cm. A második téglatest felszíne a nagyobb 80 cm -rel. A második téglatest felszíne a nagyobb, az elsőnek az,9-szorosa. V = 4800 cm, A = 6000 cm. A második téglatest térfogata a nagyobb 00 cm -rel. A második téglatest térfogata a nagyobb, az elsőnek az,5-szorosa. b) A = 70 cm, A = 9 cm. Az első téglatest felszíne a nagyobb 78 cm -rel. Az első téglatest felszíne a nagyobb, a másodiknak a 85 -szorosa, (.,9-szorosa). 96 V = 400 cm, A = 60 cm. Az első téglatest térfogata a nagyobb 40 cm -rel. Az első téglatest térfogata a nagyobb, a másodiknak a,5-szerese. Egy kocka felszínét cm -ben, térfogatát cm -ben adtuk meg. Hány centiméter a kocka éle, ha felszínének és térfogatának mérőszáma ugyanaz? A szöveg szerint: 6a = a, vagyis a = 6 cm. 46 Felszín, térfogat

247 Mit tanultunk eddig? VI/. 4 Egy cm élű kockát egyik lapjára merőlegesen átfúrtunk. A keletkezett lyuk egy 4 cm-szer 4 cm-es keresztmetszetű, négyzetes oszlop. Mennyivel változott a kocka felszíne és térfogata a lyukasztás után? Az új test felszíne csökkent a négyzetes oszlop alakú lyuk alaplapjainak a területével, és nőtt a palást területével: A kocka = 6 = 864 (cm ), A új = = 04 (cm ). Vagyis 60 cm -rel nőtt a felszíne. Az új test térfogata a négyzetes oszlop alakú lyuk térfogatával csökkent: V kocka = = 78 (cm ), V új = - 4 = 56 (cm ). Vagyis 9 cm -rel csökkent a térfogata. 5 Tervezd meg annak a trapéz alapú hasábnak a hálóját, amelyiknek az alaplapja húr trapéz, a húrtrapéz párhuzamos oldalainak a hossza cm és cm, a trapéz magassága cm, a hasáb magassága pedig 4 cm! a) Mekkora a hasáb térfogata? b) Mekkora a hasáb felszíne? A hasáb hálója: ] $ a) Az alaplap területe: T = + g = 4 (cm ). A hasáb térfogata: V = 4 4 = 6 (cm ). b) A húrtrapéz szárainak a hosszát Pitagorasz-tétellel kapjuk: 5 cm. A palást területe: P = ^ h $ 4. 9, (cm ). A felszín: A = 4 +,9 = 4,9 (cm ). Felszín, térfogat 47

248 VI/. Mit tanultunk eddig? 6 A köbméterenként tonna tömegű bazalt zúzalékból épített vasúti töltés keresztmetszete olyan szimmetrikus trapéz, melynek két párhuzamos oldala, és, méter, magassága 50 cm. Hány tonna szükséges egy 600 m hosszú rakodóvágány megépítéséhez? ], +, g$ 05, A trapéz területe: T = = 5, (m ). A vasúti töltés térfogata: V =,5 600 = 80 (m ). A bazaltzúzalék tömege: 80 = 40 (tonna). 7 Egy henger palástját egy 5 cm-szer 0 cm-es lapból alakítjuk ki. A téglalap egyik rövid oldala mentén egy cm széles sávot ragasztóval kenünk be, és ezt a sávot használjuk az összeillesztésre. a) Mekkora sugarú köröket kell kivágni az alaplapoknak? b) Mekkora a felszíne az így kapott hengernek? c) Mekkora a térfogata az így kapott hengernek? a) A kör kerülete csak 4 cm lesz, ezért a sugara: r = 4., (cm). r b) A =, r (, + 0). 68,6 (cm ). Zsebszámológéppel számolva pontosan 70,8 cm (4, = 70,8) (A sugarat is számológéppel számolva!) c) V =, r 0. 5, (cm ). Zsebszámológéppel számolva körülbelül 55,97 cm. 8 A henger alakú csokoládéérméket egy oszlopba rendezve, szabályos hatszög alapú, hasáb alakú dobozban árusítják. A hatszög oldalainak hossza cm, a hasáb magassága 4,4 cm. A csokoládéérmék magassága 9 mm. a) Mennyi lehet egy érme térfogata? b) A doboz hány százalékát foglalhatja el a csokoládé? c) Mekkora a doboz felszíne? a) A szabályos hatszöget hat szabályos háromszögre vághatjuk. A legnagyobb érme alapkörének a sugara (ami még elfér a dobozban) egyenlő egy ilyen háromszög magasságának a hosszával: r = $. 7,. Vagyis egy ilyen henger alakú érme térfogata legfeljebb: V =,7 r 0,9. 8, (cm ). b) Mivel 4,4 : 0,9 = 6, ezért a dobozban 6 darab érme fér el. Ezek együttes térfogata: 6 8, =, (cm ). (Zsebszámológéppel számolva és csak a végén kerekítve 5,7 (cm ).) A hasáb alaplapjának területe a 6 darab szabályos háromszög területével egyenlő: T = 6 $ $ = 6$. 0, 4 (cm ). 4 A hasáb térfogata: V = 0,4 4,4. 49,8 (cm ). 48 Felszín, térfogat

249 Mit tanultunk eddig? VI/. A kérdéses százalék:, $ , 6. (Megjegyzés: Számológéppel több tizedesjegyre pontosan 49, 8 kiszámítva 5, %.) 49,65 A csokoládé kb. a doboz 87,6%-át foglalhatja el. c) A doboz felszíne: A = 0, ,4 = 9,6 (cm ). 9 Milyen magas lehet az az literes kancsó, amelynek a belső keresztmetszete egy 8 cm oldalú négyzet? Legyen a magassága m. Mivel liter egyenlő 000 cm -rel, ezért a kancsóba akkor fér liter folyadék, ha 8 m $ 000. Vagyis m $ 5,65 cm. Praktikusan a kancsó kicsit magasabb kell legyen, mint 5,65 cm, hogy az liter folyadék kényelmesen elférjen. 0 Egy fazék aljáról leolvastuk, hogy 8 liter az űrtartalma. A magasságát 6 cm-nek mértük. Mekkora az alapkörének a sugara? Az adatok alapján: r r 6 = Vagyis r. 97,9. A fazék alapkörének a sugara kb. 0 cm. Két henger térfogata egyenlő. Az egyik alapkörének a sugara kétszer akkora, mint a másiké. Milyen kapcsolat van a magasságaik között? Az egyik henger térfogata: r r m, a másik henger térfogata: (r) r m. Egyenlő a térfogatuk: r r m = 4 r r m, azaz: 4 m = m. Vagyis a másiknak négyszer akkora a magassága, mint az egyiknek. Felszín, térfogat 49

250 VI/. Gúlák A 6 cm-es alapélű, négyzet alapú gúla minden oldallapjának magassága 8 cm. Mekkora a felszíne? A = 6$ 6+ 4 $ 6$ 8 = (cm ). A 8 cm-szer cm-es, téglalap alapú gúla magassága 5 cm. Mekkora a térfogata? ] 8$ g V $ 5 = = 480 (cm ). Egy négyzet alapú gúla minden oldaléle egyenlő hosszúságú. Add meg a gúlák felszínét és térfogatát az a alapél és a b oldalél hosszának ismeretében! a) a = 8 cm, b = cm b) a = 4 cm, b = 9 cm a) Az oldallap magassága: m0 = - 4 = 8., (cm). A gúla magassága: m = 8-4 =. 0, 58 (cm). A gúla felszíne: A 8$ 8 4 $ 8$, = + = 44, 96 (cm ). A gúla térfogata: V 64 $ 0, 58 =. 5, 7 (cm ). b) Az oldallap magassága: m0 = 9-7 =. 566, (cm). A gúla magassága: m = - 7 = - 7. Ez lehetetlen, ilyen gúla nincs. 50 Felszín, térfogat

251 Gúlák VI/. 4 Egy téglalap alapú gúla minden oldal éle egyenlő hosszúságú. Add meg a gúlák fel színét és térfogatát az a és a b alapél, valamint a c oldalél hosszának ismeretében! a) a = 8 cm, b = cm, c = 8 cm b) a = 4 cm, b = 9 cm, c = 8 cm a) Az a oldalra illeszkedő oldallap magassága: m = 8-4 = 08. 7, 55 (cm). A b oldalra illeszkedő oldallap magassága: m = 8-6 = 88. 6, 97 (cm). A gúla magassága: m = 08-6 = 7. 6, 49 (cm), de számolhattunk volna így is: m = 88-4 = 7. 6, 49 (cm). A gúla felszíne: A $ 8 $ $ 6, 97 $ 8$ 755, = + + = 440, 04 (cm ). A gúla térfogata: V 96 $ 6, 49 = = 57, 68 (cm ). b) A kisebb oldallap magassága: m = 8-45, = 76, 75. 7, 64 (cm). A nagyobb oldallap magassága: m = 8-7 = 75. 7, (cm). A gúla magassága: m = 76, 75-7 = 74, 75. 6, 7 (cm), de számolhattunk volna így is: m = 75-45, = 74, 75. 6, 7 (cm). A gúla felszíne: A 4 $ 9 $ 4 $ 7, $ 9$ 764, = + + = 754, (cm ). A gúla térfogata: V 6 $ 6, 7 = =, 66 (cm ). Felszín, térfogat 5

252 VI/. Gúlák 5 A. példában szereplő játék négyzet alapú gúláinak lapjai piros, zöld, sárga és kék színűek. A négyzet színe mindig sárga. Hányféleképpen lehet kiszínezni a gúlákat, ha a) a háromszögek különböző színűek; b) a háromszögek között pontosan két piros van, amelyek szomszédosak, és a további kettő különböző színű; c) a háromszögek között pontosan két azonos színű van, amelyek szomszédosak, és a további kettő ezektől eltérő és különböző színű; d) a háromszögek között pontosan két piros van, amelyek nem szomszédosak, és a további kettő különböző színű; e) a háromszögek között pontosan két azonos színű van, amelyek nem szomszédosak, és a további kettő ezektől eltérő és különböző színű? a) 6-féleképpen. Gondolatban állítsuk a gúlát a sárga alapjára, és fordítsuk magunk felé a piros háromszöglapot. Ezt bármely színezés esetén megtehetjük. A piros lap jobb oldalán lévő lap féle színű lehet, a szemközti lap már csak féle, és akkor a bal oldali már csak féle. Ez = 6 lehetőség. b) 6-féleképpen. c) 4-féleképpen. A b feladatban láttuk, hogy egy megadott színnél 6-féle lehetőség van arra, hogy egy színt két lapnál is felhasználjunk. 4 szín van, bármelyiket választhatjuk ki, hogy két lap legyen a kiválasztott színnel színezve. Mind a 4 esetben 6-féle színezés lehetséges, tehát összesen 6 4 = 4 eset van. d) -féleképpen. A két piros egymással szemközt helyezkedik el, Ebben az esetben nem kapunk új színezést, ha a másik két oldal színét felcseréljük, hiszen a tetraédert el lehet forgatni. e) -féleképpen. 6 cm élhosszúságú kockákból gúlákat készítünk. Add meg a gúlák felszínét és térfogatát! a) H G b) H G c) H G d) H F F F E F E E E K G D C D C D C D C A B A B A B A B 5 Felszín, térfogat

253 Gúlák VI/. a) Az oldallap magassága: m0 = = , (cm). A gúla magassága: m = 6 (cm). Az alaplap területe: T = = 44 (cm ). Az oldallap területe: T $ 849, 0 = = 50, 94 (cm ). A gúla felszíne: A = ,94 = 47,76 (cm ). A gúla térfogata: V = 44 $ 6 = 88 (cm ). b) A kocka lapátlóinak hossza, a testátlóinak a hossza, ezeket szerepeltetjük az ábrán. (A testátló hosszát nem szükséges kiszámolni.) Az alaplap területe: T = = 44 (cm ). Az egyik féle oldallap területe: T = $ = 7 (cm ). A másik féle oldallap területe: T = $ = 7. 0, 8 (cm ). A gúla felszíne: A = ,8 = 49,64 (cm ). A gúla térfogata: V = 44 $ = 576 (cm ). c) A kocka lapátlóinak hossza, az ACF szabályos háromszög FQ magassága a tanult összefüggés szerint: $ = 6 6. Ezeket szerepeltetjük az ábrán is. Az alaplap területe: T = $ = 7 (cm ). A kisebb oldallap területe: T = $ = 7 (cm ). A nagyobb oldallap területe: T 6 6 = $ = 6. 4, 7 (cm ). A gúla felszíne: A = ,7 = 40,7 (cm ). A gúla térfogata: V = 7 $ = 88 (cm ). d) Az ACFH tetraéder szabályos, hiszen minden éle a kocka egy lapjának átlójával azonos hosszúságú. Egy lapjának a területét a c) részben már meghatároztuk: T. 4,7 cm. A szabályos tetraéder felszíne ennek a négyszerese: A = 4 4,7 = 498,84 (cm ). A térfogat meghatározásához vegyük észre, hogy a kockából le kell vágni az ABCF tetraédert, és az ezzel egybevágó ADCH, FEHA és FGHC tetraédereket. A c) rész számításai szerint egy ilyen tetraédernek 88 cm a térfogata. Vagyis a kérdéses test térfogata: V = = 576 (cm ). (Ez pontosan a kocka térfogatának a harmada.) Felszín, térfogat 5

254 VI/. Kúpok Számítsd ki a kúp felszínét és térfogatát, ha az alaplapjának sugara r, az alkotója a, a magassága m! a) r = cm, a = 5 cm b) r = 5 dm, m = dm c) r = 9, m, a = 7,5 m d) r = 8,6 mm, m =,4 mm a) m = 5 - = 4cm. A = rr] r+ ag= $ r$ ] + 5g = 4r. 75, 4 (cm ). V = r $ r$ m = r$ 4 = r. 7, 7 (cm ). b) a = 5 + = dm. A = 5 $ r$ ] 5+ g = 90r. 8, 74 (dm ). V = 5 $ r $ = 00r. 4, 6 (dm ). c) m = 4,89 m. A = 9, $ r$ ] 9, + 7, 5g = 45, 64r. 77, 7 (m ). V 9, $ r $ 4, 89 =. 9, 77 (m ). d) a =,99 mm. A = 86, $ r $ ] 86, +, 99g. 880, 5 (mm ). V 86, $ r $, 4 =. 74, 9 (mm ). Mekkora a kúpok felszíne, ha a palástjuk egy olyan körcikk, amely egy 4 cm sugarú kör a) negyede; b) három negyede; c) harmada; d) két harmada? a) A körcikk ívének a hossza, ami az alapkör kerülete: k = $ 4$r = r (cm). 4 Az alapkör sugarának hossza: r = r = (cm). r A kúp alkotója: 4 cm. A kúp felszíne: A = $ r$ ] + 4g = 5r. 57, (cm ). b) A körcikk ívének a hossza, ami az alapkör kerülete: k = $ $ 4$r = 6r (cm). 4 Az alapkör sugarának hossza: r = 6r = (cm). r A kúp alkotója: 4 cm. A kúp felszíne: A = $ r$ ] + 4g = r. 65, 97 (cm ). 54 Felszín, térfogat

255 Kúpok VI/. c) A körcikk ívének a hossza, ami az alapkör kerülete: k = $ $ 4 $ r = 8r (cm). 8r Az alapkör sugarának hossza: r = = 4 (cm). r A kúp alkotója: 4 cm. A kúp felszíne: A 4 4 = $ r $ b + 4, l. 4 (cm ). d) A körcikk ívének a hossza, ami az alapkör kerülete: k = $ $ 4 $r = 6r (cm). 6r Az alapkör sugarának hossza: r = = 8 (cm). r A kúp alkotója: 4 cm. A kúp felszíne: A 8 8 = $ r $ b + 4, l (cm ). Egy 8 cm magas kúpot kettévágtunk egy a tengelyét is tartalmazó síkkal. A vágásfelület egy egyenlő szárú derékszögű háromszög lett. Mekkora a kúp felszíne, illetve térfogata? A kúp magassága: m = 8 cm, alapkörének sugara: r = 8 cm, a kúp alkotója: a = 8 cm, A kúp felszíne: A = 8 $ r $ ^8 + 8 h. 457, 7 (cm ). A kúp térfogata: V = 8 $ r $ , 6 (cm ). 4 A képen látható, ház ra borított fagylalttöl csér magassága 8,5 m, az alkotója pedig 8,8 m. a) Mekkora a palást területe? b) Mekkora a térfogata? a) Az alapkör sugara: r = 88, - 85,., (m) A palást területe: P = rra =, $ r$ 88,. 6, 6 (m ). (Zsebszámológéppel számolva és csak a végén kerekítve: 6,98 (m ).) b) A térfogata: V, $ r $ 85, = = r. 47, (m ). (Zsebszámológéppel számolva és csak a végén kerekítve: 46, (m ).) Felszín, térfogat 55

256 VI/. Kúpok 5 Egy piros és egy kék forgáskúp palástja is éppen egy negyedkör. A piros kúp alkotója 0 cm, a kék kúp alkotója pedig 5 cm. a) Mekkora a piros kúp felszíne? b) Mekkora a piros kúp térfogata? c) Mekkora a kék kúp térfogata? d) Mekkora a két kúp térfogatának aránya? a) Legyen r a piros kúp alapkörének sugara, ekkor $ 0 $r = rr, amiből r =,5 cm. 4 A kúp felszíne P A 0 + = r + 5, r = 5r+ 65, r = 5, r. 987, cm. 4 b) A piros kúp magassága m = 0-5,. 968, cm, térfogata V 5, $ r $ 968, =. 6, 7 cm. c) A kék kúp alapkörének sugara $ 5$r = rr, amiből r =,5 cm. 4 Magassága m = 5 -, , cm, térfogata V 5, $ r $ 4, 84 =. 79, cm. (Megjegyzés: A kék kúp magassága és sugara a piros kúp adataiból is számolható. A két kúp palástja hasonló, valamint az alkotó, magasság és sugár alkotta két háromszög is hasonló. A hasonlóság aránya. Így a kék kúp magassága a piros kúp magasságának fele. A kék kúp alapkörének sugara a piros kúp sugarának fele.) d) A kúpok térfogatának aránya V piros : V kék = 6,7 : 7,9. 8,00. Ez nem meglepő, hiszen a két kúp hasonló, a hasonlóság aránya, tehát térfogatainak aránya = Felszín, térfogat

257 Kúpok VI/. 6 A képen látható pohár belseje kúp alakú, a forgástengelyére illeszkedő keresztmetszete pedig sza bályos háromszög. A pohárba 5 cm magasságig folyadékot töltöttünk. a) Mekkora a folyadék térfogata? b) Tippeld meg, hogy hányszorosára növekedne a folyadék mennyisége, ha 5 mm-rel emelkedne a szintje! c) Ellenőrizd számolással a tippedet! a) Ha a szabályos háromszög magassága 5 cm, akkor az oldala 0. Vagyis a kúp alkotója 0 cm, az alapkör sugarának hossza 5 cm. 5 c m r $ 5 A folyadék térfogata: V =. 4, 6 (cm ). b) A várható tippek és,5 közöttiek lesznek. c) Ha a szabályos háromszög magassága 5,5 cm, akkor az oldala Vagyis a kúp alkotója cm, az alapkör sugarának hossza, 55, c m r $ 55, A folyadék térfogata: V l =. 58, (cm ). Vagyis kb.,-szorosára növekedik ezáltal a folyadék térfogata.. 55 cm. 7 Egy barkácsboltban csak 5 cm magasságú hungarocellkúpok kaphatók. A kúpok alaplapjának sugara 5 cm. Kávészemeket szeretnénk a palástra ragasztani, majd ezüst- vagy aranyszínű spray-vel lefújni, hogy elkészíthessük a tervezett karácsonyi díszünket. Mekkora felületet kell kávészemekkel beragasztanunk? A kúp alkotójának a hossza: a = , (cm). A kúp palástjának területe: P = rra = 5$ r$ 58,. 48, 4 (cm ). Vagyis kb. 48 cm felületet kell kávészemekkel beragasztani. Felszín, térfogat 57

258 VI/. Kúpok 8 Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza a és b, az átfogójának hossza c. a) Add meg annak a kúpnak a térfogatát, amelyet a b befogó körüli megforgatással kapsz! b) Add meg annak a kúpnak a térfogatát, amelyet az a befogó körüli megforgatással kapsz! c) Add meg az előzőekben megadott két kúp térfogatának arányát! d) Add meg az előzőekben megadott két kúp palástterületének arányát! a) V a b b = $ r $. b) V b a a = $ r $. c) V : V a b : b a b a = $ r$ $ r$ = a: b. d) P b = car, P a = car. P b : P a = car : cbr = a : b. 9 Egy négyzetet megforgatunk az egyik átlója mentén. Mekkora az így kapott forgástest térfogata és felszíne? Legyen a négyzet oldalhossza a! Két kúpot kapunk, amelyek az alapkörük mentén össze vannak illesztve. A kúpok sugara és magassága is a négyzet átlójának felével egyenlő: d = a. a c m $ r $ a A kérdéses test térfogata: $ = a $ 6 A kérdéses test felszíne: a a $ $ $ r = a r$. 58 Felszín, térfogat

259 Kúpok VI/. 0 Melyik igaz? a) Ha a kúp magasságát kétszeresére növeled, akkor a térfogata is kétszeresére növekszik. b) Ha a kúp sugarát felére csökkented, akkor a térfogata is felére csökken. c) Ha a kúp magasságát háromszorosára növeled, akkor a felszíne is a háromszorosára növekedik. d) Ha a kúp magasságát háromszorosára növeled, akkor a palást területe is a háromszorosára növekedik. e) Ha a kúp magasságát a harmadára csökkented, a sugarát pedig a háromszorosára növeled, akkor a térfogata nem változik. a) Igaz. b) Hamis. c) Hamis. d) Hamis. e) Hamis. A 0 cm hosszú, henger alakú ceruza átmérője 8 mm. A ceruza kifaragása után az egyik végén, cm magasságú kúp keletkezett. Mekkora az így kapott ceruza térfogata? A ceruza egy hengerből és egy kúpból áll. A henger magassága 8,8 cm, a kúp magassága, cm. Mindkettőnek 0,4 cm az alapkör sugara. A henger térfogata: 0,4 r 8,8. 9,45 (cm ). A kúp térfogata: 04, $ r $,. 0,0 (cm ). Vagyis a kihegyezett ceruza térfogata: 9,45 + 0, = 9,65 (cm ). Felszín, térfogat 59

260 VI/4. A gömb Számítsd ki a gömb felszínét és térfogatát, ha a) r = cm; b) r = 4 cm; c) r =,6 cm; d) r = 0,8 cm! a) A = 4 r = 764r. 554,77 (cm ), V = 4$ $r = 48r. 8 79,9 (cm ). b) A = 4 4 r = 7056r. 67,08 (cm ), V = 4$ 4 $r = r. 0 9,09 (cm ). c) A = 4,6 r = 5,84r. 6,86 (cm ), V = 4$, 6 $r = 6,08r. 95,4 (cm ). c) A = 4 0,8 r = 466,56r. 465,74 (cm ), V = 4$ 08, $r. 576,67 (cm ). Egy 8 cm átmérőjű, gömb alakú dinnyét a) egy vágással egyforma részekre vágtunk; b) két, egymásra merőleges vágással egyforma részekre vágtunk; c) három, páronként merőleges vágással egyforma részekre vágtunk. Mekkora egy rész felszíne? a) Az így kapott rész alakja egy 4 cm sugarú félgömb, amelynek a felületét egy körlap és egy félgömb alkotja: 4 $ r + 4$ 4 $ r = 588r. 847, 6 (cm ). b) Az így kapott rész alakja egy 4 cm sugarú negyed gömb, amelynek a felületét két félkörlap és egy negyed gömb alkotja: 4 $ r + 4$ 4 $ r = 9r., 5 (cm ). 4 c) Az így kapott rész alakja egy 4 cm sugarú nyolcad gömb, amelynek a felületét három darab negyed körlap és egy nyolcad gömb alkotja: 4 $ $ r + 4$ 4 $ r = 45r. 769, 69 (cm ). 4 8 Egy cm élű kockából a lehető legnagyobb gömböt esztergálták ki. Mennyi hulladék keletkezett? A kocka térfogata: V k = = 78 (cm ). A gömb térfogata: V 4 6 g = $ $ r = 88r. 904, 78 (cm ). A hulladék térfogata: V k - V g = ,78 = 8, (cm ). 60 Felszín, térfogat

261 A gömb VI/4. 4 Nagymama focilabda tortát készített unokája születésnapjára. A torta a díszítés előtt egy cm átmérőjű félgömb volt. A félgömb gömbfelületét 4 mm vastagságban borítja a marcipán. Mennyi marcipánra volt szükség a torta díszítéséhez? Díszítés nélkül a félgömb térfogata: V 4 = $ $ $ r. 787, 64 (cm ). Díszítéssel a félgömb térfogata: V 4 4, $ $ $ r =. 0, 94 (cm ). A kettő különbsége a marcipán térfogatát adja: V - V = 0,94-787,64 = 5, (cm ). (Megjegyzés: Ilyen elhanyagolható rétegvastagságnál közelítő értéket számolhatunk a felszín és a rétegvastagság szorzásával. A = 4 r cm. 760,7 cm A szükséges marcipán körülbelül: 760,7 0,4 = 04, cm.) 5 Hazai gyártású acélszerkezetű víztornyok nagyon változatos méretben rendelhetők. a) Hány hektoliter víz tárolására alkalmas egy 8 méter magasságban elhelyezkedő, 6 méteres belső átmérőjű, gömb alakú tartály? b) Mekkora átmérőjű tartályt rendeljen az a falu, ahol feleekkora térfogatú is elegendő? a) A tartály térfogata: V = 4$ $ r = 6r., (m ), ami hl víz tárolására alkalmas. b) Legyen a tartály sugara r. A szöveg szerint: 8r = 4 $ r $ r. Ezek alapján: r =,5, vagyis r.,4. Elegendő egy kb. 4,8 m átmérőjű tartály. 6 Hányszorosára növekedik annak a 4 cm átmérőjű, gömb alakú lufinak a a) felszíne; b) térfogata, amelynek sugarát cm-rel megnöveljük? Az eredeti sugár cm, az új sugár cm. A új a) = 4$ $ r A eredeti 4$ $ r =, vagyis -szeresére nő (ez kb.,7). 4$ $ r V új b) = V =, vagyis eredeti 4$ $ r -szeresére nő (ez kb.,7). Felszín, térfogat 6

262 VI/4. A gömb 7 Egy 4 cm sugarú gyurmagolyót elfeleztünk, majd mindkét részét ismét gömb alakúra gyúrtuk. Mekkora lesz ezeknek a gömböknek a sugara? Számolás előtt tippelj! A gyurma térfogata: V = 4$ 4 $ r. 85, r (cm ). Az új gömb sugara legyen r. Ennek térfogata csak 4,7r cm, vagyis 4, 7r = 4 $ r $ r. Ebből kapjuk, hogy r =, azaz r.,. Az új gömbök sugara kb., cm lesz. 6 Felszín, térfogat

263 Alkalmazások VI/5. Szeretnénk megtudni, hogy mekkora sugarú gömb térfogatával egyenlő egy szabálytalan alakú kavics térfogata. Van egy vízzel meg töltött mérőhengered. Hogyan járnál el? Leolvasható a mérőhengeren a vízszint emelkedése a kavics belehelyezése után, vagyis ismert lesz a kavics térfogata. Ekkor alkalmazható, hogy ez a térfogat egyenlő 4 $ r $r -vel. Innen az r értéke meghatározható. Mekkora a képen látható fonott kosár térfogata, ha a belső magassága 5 cm, a felső kör sugara 0 cm, az alsó köré pedig 8 cm? Készítsünk egy keresztmetszetet a szakajtóról, és alkalmazzuk az ábra jelöléseit! Képzeljük el a szakajtót úgy, mintha egy nagy kúpból hiányozna egy kis kúp. A hiányzó kis kúp m magassága meghatározható az APR és DQR derékszögű háromszögek hasonlóságának felhasználásával: m + 5 = m, 0 8 8m + 0 = 0 m, m = 0. A szakajtó térfogata a két kúp térfogatának a különbsége: V = 0 $ r$ 5-8 $ r$ 0 = 0 $ r (cm ). Felszín, térfogat 6

264 VI/5. Alkalmazások Egy 5 cm sugarú, gömbnek tekinthető paradicsomot úgy vágunk ketté, hogy a középpontja cm-re van a vágás síkjától. Mekkora a vágásfelület? Készítsünk egy vázlatrajzot! Alkalmazhatjuk a Pitagorasz-tételt: r = 5 - =. A kör alakú vágásfelület területe: r r = r 66 (cm ). 4 Hogyan kell egy sík mentén szétvágni a következő testeket, hogy a térfogatuk feleződjön: a) gömb; b) kúp; c) téglatest; d) henger? a) A sík illeszkedjen a gömb középpontjára. b) A sík illeszkedjen a kúp magasságára. c) A sík illeszkedjen a téglatest középpontjára. d) A sík illeszkedjen a henger középpontjára. 5 Egy kúp alakú edény pontosan literes. Rajzold le a kúpot a füzetedbe, és jelöld be egy vízszintes vonallal a 4,8 cm hosszú alkotóján, hogy meddig töltsük az edényt, ha fél liter, illetve ha negyed liter vizet szeretnénk beleönteni! Számolás előtt tippelj! A kúp alakú edény sugara r, a magassága m, a térfogata 000 cm, vagyis r $ r $ m = 000. A fél liter víz az edényhez hasonló kúp alakú lesz, sugara m r, a magassága m m, a térfogata 500 cm, vagyis m $ r $ r$ m = 500. Azaz m = 0,5, ahonnan m. 0,79. Ezt a szorzót kapja a kúp alkotója is, ezért 0,79 4,8.,7 cm-nél kell a jelölést megtenni. A negyed liter víz is az edényhez hasonló kúp alakú lesz, sugara m r, a magassága m m, a térfogata 50 cm, vagyis m $ r $ r$ m = 50. Azaz m = 0,5, ahonnan m. 0,6. Ezt a szorzót kapja a kúp alkotója is, ezért ekkor 0,6 4,8. 9, cm-nél kell a jelölést megtenni. 64 Felszín, térfogat

265 Alkalmazások VI/5. 6 Mekkora egy 0 cm belső magasságú és, cm belső átmérőjű kémcső térfogata? A kémcső alsó része félgömb, a felső része henger alakú. A henger és a kör sugara 0,6 cm. A henger magassága 9,4 cm (a gömb sugarával együtt lesz a kémcső magassága 0 cm). A kémcső térfogata: 4 0, 6 $ $ $ r + 06, $ r $ 9, 4. 4, (cm ). Felszín, térfogat 65

266 VI/6. Összefoglalás Az 8. tesztfeladatoknak egy helyes megoldása van. Egy gúla térfogata 65 cm. Mekkora a vele azonos magasságú és alaplapú hasáb térfogata? A: 65 cm -nél kevesebb B: 978 cm C: 04 cm D: 956 cm E: Az előzőek egyike sem. Helyes válasz: D. Egy 4 cm magas kúp alapkörének átmérője 6 cm. Melyik állítás lehet igaz az alkotójára? A: Centiméterben mérve nem egész szám. B: 87 cm C: Rövidebb, mint 4 cm. D: 70 cm E: 0 cm Helyes válasz: E. Egy gúla minden lapja cm területű. Mekkora a felszíne? A: Ez az egy adat kevés a kérdés megválaszolásához. B: Biztosan több, mint 44 cm. C: cm D: 44 cm E: 55 cm Helyes válasz: A. (Pl. egy cm területű hatszög az alapja a gúlának, akkor a gúla felszíne 7 = 77 cm. Egy másik esetben ha az alaplap egy négyzet, akkor a gúla felszíne 5 = 55 cm.) 4 Mekkora az eltérés db cm sugarú és db cm sugarú gömb felszíne között? A: Egyenlők, tehát nincs eltérés. B: A db nagyobb gömb felszíne 4 cm -rel nagyobb. C: A db nagyobb gömb felszíne 4r cm -rel nagyobb. D: A db kisebb gömb felszíne 4r cm -rel nagyobb. E: A db nagyobb gömb felszíne pontosan 75,6 cm -rel nagyobb. Helyes válasz: C. 66 Felszín, térfogat

267 Összefoglalás VI/6. 5 Melyik arány adja a kocka és a benne lévő legnagyobb gömb térfogatának arányát? A: : B: : C: 6 : r D: : E: Az előzőek egyike sem. Helyes válasz: C. 6 Egy kúp csúcsából az alapkörével párhuzamosan levágtunk egy cm térfogatú kis kúpot. A két test azonos magasságú lett. Mekkora volt az eredeti kúp térfogata? A: 94 cm -nél kevesebb B: 94 cm C: Ennyi adat ismeretében nem adható meg. D: 69 cm E: 848 cm Helyes válasz: E. 7 Megszámoltuk egy gúla éleinek a számát. Mennyit kaphattunk eredményül? A: 00 B: 000 C: 05 D: 06 E: 45 Helyes válasz: B. 8 Egy gömb felszínének és térfogatának ugyanannyi a mérőszáma. (A sugár hosszát centi méterben, a felszínét négyzetcentiméterben, a térfogatát köbcentiméterben adtuk meg.) Melyik állítás lehet igaz az alábbiak közül? A: Ilyen gömb nincs. B: A sugara cm hosszúságú. C: A sugara cm hosszúságú. D: A sugara nem fejezhető ki egész számmal. E: A sugara r cm hosszúságú. Helyes válasz: C. Felszín, térfogat 67

268 VI/6. Összefoglalás 9 Egy 6 cm élhosszúságú kocka egyik sarkából kivágtunk egy kis kockát. Ennek térfogata az eredeti kocka térfogatának a,5%-ával egyenlő. Mekkora a kivágott kiskocka élhossza? A nagy kocka térfogata: 6 = 4096 (cm ). A kivágott kocka térfogata: a = ,5 = 5 (cm ). Vagyis a kivágott kiskocka élhossza: a = 8 cm. 0 A kerítéshez felhasznált deszkák mérete: 5 cm, 90 cm, cm. A deszkák rögzítése négy csavarral történik, melyeknek 6 mm az átmérője. a) Mekkora lesz egy kifúrt deszka térfogata? b) Hány darab deszkára készült el a furat, ha már dm a hulladék? a) A deszkákon cm magasságú 0, cm sugarú furatokat készítenek. Ezek térfogata: 0, r. 0,565 (cm ). Egy kifúrt deszka térfogata: ,565 = 697,74 (cm ). b) Egy deszkánál a hulladék: 4 0,565 =,6 (cm ). Mivel 000 :,6. 44, ezért 44 db deszka furatából kb. 000 cm, azaz dm hulladék lesz. Egy esztergályos azt a feladatot kapta, hogy 4 cm-szer 4-szer 5 cm-es négyzetes oszlopokból a legnagyobb térfogatú hengereket készítsen. Mekkora lesz az így kapott hengerek felszíne, térfogata? A henger alapkörének sugara cm, a magassága 5 cm. A henger felszíne: r + 4r 5. 9, (cm ). A henger térfogata: r 5. 4, (cm ). A szabályos hatszög keresztmetszetű toronyra rézlemezből tetőt terveznek. A tető olyan gúla lesz, amelynek oldallapjai egyenlőszárú háromszögek. A háromszögek alapja 4 m, a szárai pedig 6 m hosszúak. a) Mekkora felületet kell rézlemezzel borítani? b) A vágások és az átfedések miatt a megvásárolt lemez mennyiségének a 8%-a hulladék lett. Hány m lemezt vásároltak összesen? a) A háromszög területének hatszorosa adja a gúla palástjának területét. Az egyenlőszárú háromszög magasságát Pitagorasz-tétellel határozhatjuk meg: m = , (m). A palást felszíne: 6 $ 4$ 5, 66 = 67, 88 (m ). b) x 0,8 = 67,88, amiből x. 8,78 (m ). 68 Felszín, térfogat

269 Összefoglalás VI/6. Egy emléktárgyboltba üvegből készített, négyzet alapú gúlák érkeztek. Az üzletben a felületére szöveg bevésését is vállalják. A gúlák alaplapja 70,56 cm területű, a magassága pedig 6 cm. Mekkora a tömege egy ilyen emléktárgynak, ha az üveg sűrűsége 500 kg/m (azaz m üveg 500 kg tömegű)? Egy gúla térfogata: 70, 56 $ 6 = 4, (cm ). Ha m, azaz cm üveg 500 kg, azaz dkg tömegű. Vagyis x 4, = Tehát 5,8 dkg egy üveg gúla tömege. 4 Vásároltunk egy 6 cm átmérőjű gu mi labdát. a) Mekkora a felülete? b) Mennyi anyagból készült, ha az anyagvastagság mindenütt 4 mm? a) A felülete: 4 r.,7 (cm ). b) A térfogata két gömb térfogatának a különbségével egyenlő: 4$ r 4$ 6, r -. 8, 6 (cm ). 5 A 4 dm-szer 6 dm-es akváriumba 6 liter vizet öntünk. a) Milyen magas lesz a vízszint? b) Belerakunk egy 7 cm sugarú acélgömböt. Mennyit emelkedik a vízszint? a) A víz térfogata 6 dm, vagyis 4 6 m = 6. Ezek alapján a vízszint magassága: m =,5 dm. b) A fém gömb térfogata: 4$ 7 r. 46, 8 (cm ), azaz,468 dm. A vízszint emelkedése legyen x dm. Ekkor 4 6 x =,468, vagyis x. 0,0599 dm. Tehát a vízszint kb. 6 mm-t emelkedik. 6 Tizennégy darab, cm sugarú fagömböt pirosra, és ugyanennyi cm sugarú fa félgömböt zöldre kell festeni. Melyik festékből és hány százalékkal fogy több, mint a másikból? A piros felület: 4 4 r (cm ). A zöld felület: 4 r + 4 r = 4 r (cm ). A piros festékből,%-kal fogy több, mint a zöldből. Felszín, térfogat 69

270 VI/6. Összefoglalás 7 A kép egy társasjáték figuráinak keresztmetszetét mutatja. Ezek a,6 cm magas műanyag bábuk úgy tekinthetők, hogy egy 0,6 cm sugarú gömbből és egy, cm sugarú kúpból állnak. Mekkora mennyiségű anyagot használnak fel 500 darab ilyen bábú gyártásakor? Az 500 darab gömb térfogata: 500 $ 4$ 0, 6 r A kúp magassága:,6-0,6 =,4 (cm). Az 500 darab kúp térfogata: 500 $, r $ 4, Vagyis a teljes anyagmennyiség: 6785,9 (cm ).. 57, (cm ).. 548, 7 (cm ). 8 Kartonpapírból kivágtunk egy cm átmérőjű kört, majd feleztük az átmérője mentén, az egyik felét pedig feleztük a sugara mentén. A három körcikk egyegy kúp palástja lett. A két kisebb kúp palástjának területösszege egyenlő a nagyobb kúp palástjának területével. Milyen viszonyban van a két kisebb kúp térfogatösszege a nagyobb kúp térfogatával? Mivel az eredeti kör kerülete: r, ezért a nagyobb kúp alapkörének kerülete 6 r, a kisebb kúp alapkörének kerülete pedig 8 r. Ezek szerint a nagyobbnak a sugara 8 cm, a kisebbé pedig 4 cm, és mindkettőnek 6 cm-es az alkotója. A Pitagorasz-tétel segítségével mindkét kúp magassága is megadható, hiszen ismerjük az alkotót és a sugarat. A nagyobb kúp magassága: , (cm). A kisebb kúp magassága: , (cm). A nagyobb kúp térfogata: 8 r $ 86,. 98, 9 (cm ). Két kisebb kúp térfogatösszege: $ 4 r $ 549,. 59, (cm ). Vagyis a két kisebb térfogatösszege kisebb, mint a nagy térfogata. (Körülbelül,79- szorosa a nagy kúp térfogata a két kis kúp térfogatösszegének.) 70 Felszín, térfogat

271 Összefoglalás VI/6. 9 A fényképen látható sütőforma alja 0 cm sugarú, a teteje 4 cm sugarú kör, a magassága pedig 4 cm. Mekkora az edény térfogata? A sütőforma alakja olyan, mintha egy kúpból levágtunk volna egy kisebb kúpot. Ezt egy oldalnézeti ábrán tudjuk szemléltetni. A hasonlóság alkalmazásával: x = x , ahonnan x = 0 cm. Vagyis egy 4 cm magas, 4 cm sugarú kúpból levágunk egy 0 cm magas, 0 cm sugarú kúpot. Az így kapott test térfogata: 4 r$ 4-0 r$ 0 = 744r. 86 (cm ). Felszín, térfogat 7

272 . Gyakorló feladatsorok felvételire. Válaszolj a következő kérdésekre! a) Mennyi a -nál 5-tel kisebb szám 6 -e? 7 b) Mennyi a 0 és a összegének és különbségének a szorzata? 5 c) Mennyi a 5-nek a 5%-ánál -mal kisebb szám? a) b - l$ = b l $ =- $ = b) 0 0 b + 5 l$ b - 5 l = 0, 6$ 9, 4 = 9964,. c) 5 0,5 - = 56,5 - = 4,5.. Tedd igazzá a következő egyenlőségeket! a) 5 kg 5 dkg = g b) 46 cm mm = cm = dm c) mm + cm + dm + m =,5 m a) 5 kg - 5 dkg = 5000 g - 50 g = 750 g. b) 46 cm mm = 46 cm + 4,6 cm = 50,6 cm = 0,0506 dm. c),5 m - mm - cm - dm =,5 m - 0,0 m - 0, m -, m = 0,057 m, vagyis mm + cm + dm + 0,057 m =,5 m.. Julcsit megkérte az anyukája, hogy az iskolából hazafelé menet vegyen a péknél kenyeret, a zöldségesnél pedig almát. Hányféle úton mehetett haza Julcsi, ha elhatározta, hogy a P, A, B, C, Z kereszteződések közül pontosan négyet fog érinteni, és egyiken sem halad át kétszer? (Az ábrán: I = iskola, P = pék, Z = zöldséges, H = otthon, a többi kereszteződést az A, B, C betűk jelölik. Egy lehetséges útvonal: IPBZCH.) A lehetséges útvonalak: IAPBZH, IAPCZH, IPABZH, IPAZCH, IPBAZH, IPBCZH, IPBZCH, IPCBZH, IAZBPH, IAZCPH, IZABPH, IZAPCH, IZBAPH, IZBCPH, IZBPCH, IZCBPH. I P A B C Z H 7

273 Gyakorló feladatsorok felvételire. 4. Törpfalván új fizetőeszközt szeretnének bevezetni, de előtte megkérdezték a törpöket, hogy szerintük milyen formában lenne ez a legcélszerűbb. A megkérdezettek életkorát és válaszát az alábbi táblázat tartalmazza. Válaszolj a következő kérdésekre az adatok alapján! Papírpénz Fémpénz Virtuális pénz Törpgyerekek (0 0 év) 0 Fiatal törpök (0 0 év) 5 Idős törpök (0 év fölött) a) Készíts oszlopdiagramot a fiatal törpök válaszairól! b) A megkérdezett törpök hány százaléka gondolja a fémpénzt a legcélszerűbb fizetőeszköznek? c) Melyik fizetőeszközt vezetik be, ha a kérdés szavazás útján dől el, és a faluban minden 0. életévét betöltött törp szavazhat? a) b) 45 $ 00. 8, 8 %. 56 c) Legtöbb szavazatot a papírpénz kapott: 48 fő. (Fémpénz 5, virtuális pénz 8 szavazat.) 5. Az ábrán egy szabályos nyolcszög látható néhány átlójával. a) Sorolj fel öt egybevágó háromszögpárt! b) Adj meg egy-egy váltószögpárt, egyállású szögpárt, kiegészítő szögpárt és pótszögpárt! c) Határozd meg a következő szögek nagyságát: EJDB, AJDB, BCDB, CDBB, HFGB! a) Például: BCD és FGH, ABD és EFH, ADJ és EHJ, ADH és EHA, AJH és DJE. A B b) Váltószögpár: AEHB és EADB, egyállású szögpár: GFHB és ADBB, kiegészítő szögpár: AEHB és AEDB, pótszögpár: EJHB és EJDB. c) EJDB = 45, AJDB = 5, BCDB = 5, CDBB =,5, HFGB =,5. G H F J E D C 7

274 . Gyakorló feladatsorok felvételire 6. Az ABCD négyszöget koordináta-rendszerben ábrázoltuk. a) Milyen négyszög az ABCD négyszög? b) Az E pont első koordinátája 4. Add meg a második koordinátáját úgy, hogy az egy 4-nél nem nagyobb pozitív egész szám legyen, és az E pont a négyszög belsejében; a négyszög határvonalán; a négyszögön kívül helyezkedjen el! c) Írd fel az A és B pontokon áthaladó lineáris függvény hozzárendelési szabályát! y B A D 0 x C a) Paralelogramma. b) A négyszög belsejében:, 4. A négyszög határvonalán: Nincs a feltételeknek megfelelő szám. A négyszögön kívül:,. c) f] xg = x A következő állításokról döntsd el, hogy igaz vagy hamis! a) Ha egy pozitív egész számnak kettőnél több osztója van, akkor az összetett szám. b) Nem minden rombusz paralelogramma. c) Egy sokszög belső szögeinek összege lehet 800. d) Minden lineáris függvény képe egy egyenesre illeszkedik. e) A koordináta-rendszer minden egyenese egy lineáris függvény képe. a) Igaz. b) Hamis. c) Igaz. d) Igaz. e) Hamis. 8. Zsófi anyukája farsangi fánkot sütött a családjának. Zsófi sütés után megállapította, hogy a fánkok száma 5-tel és -vel is osztható. A fánkok 60%-a elfogyott vacsorára. Másnapra mindegyik gyereknek és az apukának is csomagoltak uzsonnára - darabot. A maradék 0-et az anyuka bevitte a munkahelyére kóstolónak. Hány gyerek van a családban? A fánkok száma 5-tel és -vel osztható, ezért 0, 60, 90, 0, jöhet szóba. Ellenőrizzük sorban a szöveg szerint! I. eset: 0 darab fánk. Vacsorára a 60 %-a, azaz 8 db elfogyott. Másnapra maradt. Ez a szöveg szerint nem elegendő. II. eset: 60 darab fánk. 74

275 Gyakorló feladatsorok felvételire. Vacsorára a 60 %-a, azaz 6 db elfogyott. Másnapra maradt 4. Anya elvitt 0 darabot, apa darabot, a gyerekeknek maradt. Vagyis összesen 6 gyerek van a családban. III. eset: 60-nál több fánk (90, 0, ) Az előző gondolatmenetet követve elméletileg kapnánk további megoldásokat (például 90 fánk esetén gyerek, 0 fánk esetén 8 gyerek), de ezeket már nem tartjuk valószínűnek. 9. A fiúk technikaórán cm vastag falemezekből 5 cm magas piramist barkácsoltak. A szintek négyzet alakúak voltak, rendre 9 cm, 7 cm, 5 cm, cm és cm oldalhosszal. Mekkora az így öszszeállított piramis felszíne és térfogata? Alulról és felülről nézve: 9 9 = 8 (cm ). Mind a négy oldalról nézve: = 5 (cm ). Vagyis a felszíne: = 6 (cm ). A térfogata: = 65 (cm ). 0. Egy pozitív kétjegyű szám első számjegye -gyel kisebb, mint a második. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor az eredeti szám harmadának a négyszeresénél 6-tal kisebb számot kapunk. Melyik ez a szám? Az első mondatnak eleget tevő számok:,, 4, 45, 56, 67, 78, 89. A második mondat alapján csakis hárommal osztható számra gondolhatunk:, 45, 78. Ezeket a szöveg szerint ellenőrizzük! (Az is tökéletes megoldás, ha valaki mind a 8 számot kipróbálja.) A harmada 4, és 4 4-6!. Ez nem lehet a keresett szám. A 45 harmada 5, és = 54. Ez lehet a keresett szám. A 78 harmada 6, és 6 4-6! 87. Ez nem a keresett szám. Az egyedüli megfelelő száma a 45. Második megoldási javaslat: Az eredeti szám: x + A felcserélt szám: x + 0 Az egyenlet: ] x + g $ 4-6 = x + 0 A szám:

276 . Gyakorló feladatsorok felvételire. Helyezd el az alábbi ábrán a pozitív egész számokat -től -ig úgy, hogy az azonos köríven lévő számok összege 8-nál kisebb legyen!. Tedd igazzá az alábbi egyenlőségeket! a) 4 h s = min b) cm - 0,5 dm = mm c) 564 m - km = 6400 cm d) 5 dkg + 5 kg = g a) 4 h s = 40 min + 0 min = 50 min. b) cm - 0,5 dm = 00 mm mm = 800 mm. c),564 km - 0,064 km =,5 km, vagyis 564 m -,5 km = 6400 cm. 76

277 Gyakorló feladatsorok felvételire.. Alma, Boróka, Csenge és Dóri társasjátékoztak. A játék elején választaniuk kellett a piros, kék, zöld, sárga és fehér bábuk közül. Alma és Boróka egy szótagú színt szeretne, Dóri nem szereti a kék, zöld és fehér színeket, Csengének pedig mindegy, melyik bábuval játszik. Írd le, hogy alakulhatott a bábuk elosztása, ha mindenki kívánságát figyelembe vették! Alma Boróka Csenge Dóri kék zöld fehér piros kék zöld fehér sárga kék zöld sárga piros kék zöld piros sárga zöld kék fehér piros zöld kék fehér sárga zöld kék sárga piros zöld kék piros sárga 4. Eszter virágos sormintával díszíti a füzete borítóját. Ötszirmú, sárga közepű, egylevelű virágokat rajzolt, de minden harmadik virágnak két levelet, minden negyedik virágnak négy szirmot rajzol, és minden ötödik virágnak narancssárgára színezi a közepét. a) Milyen tulajdonságai vannak a 6. virágnak? b) Melyik a legkisebb sorszámú, négyszirmú, narancssárga közepű és egylevelű virág? c) Hány ötszirmú, sárga közepű, egylevelű virág van az ötven virágból álló mintában? a) Négyszirmú, sárga közepű, kétlevelű. b) A huszadik. c) Húsz darab. (Sorszámuk:,, 7,,, 4, 7, 9,,, 6, 9,, 4, 7, 8, 4, 4, 47, 49.) 77

278 . Gyakorló feladatsorok felvételire 5. Egy szabályos ABC háromszög oldalaira szabályos négyszöget, ötszöget és hatszöget rajzoltunk, így kaptuk a DEFG- HIJKL kilencszöget. a) Mekkorák a kilencszög belső szögei? b) Tedd hosszuk szerint növekvő sorrendbe az EF, HI és LD szakaszokat! c) Milyen négyszögek a követezők: DEAL, ACKL, LDBI, CIKL? K J L A I C H B F G a) D E A DEFGHIJKL kilencszög belső szögei a csúcsok sorrendjében: 5, 9, 47, 08, 6, 74, 0, 0, 65. b) HI LD EF. c) Paralelogramma, húrtrapéz, deltoid, téglalap. 78

279 Gyakorló feladatsorok felvételire. 6. Fecó, Gergő, Huba és Iván nyáron meggymagozó versenyt tartottak. Az eredményt a jobb oldali oszlopdiagram ábrázolja: a) Ki nyerte a versenyt? b) Ha csapatban játszanak, elképzelhető-e, hogy nem a nyertes csapatba kerül az egyéni nyertes? c) Melyik kördiagram szemlélteti helyesen a végeredményt? F G H I F G H I d) Mennyi meggyet magoztak ki átlagosan? e) Hány százalékát magozta ki a meggynek Gergő? F G H I 50 0 F G H I a) Huba. b) Igen! Ha Huba és Iván alkot egy csapatot, akkor = 45 (db) az eredményük. Ekkor Fecó és Gergő együttes eredménye jobb: = 55 (db). c) Az első. (Például Fecó a teljes mennyiség 0 -ad részét magozta ki, ezért a hozzá tartozó középponti 500 szög: 0 60 = 86,4. Látható, hogy ezért a második és a harmadik nem lehet helyes!) 500 d) Az átlag: 500 = 5 (db). 4 e) 5 00 = 7, vagyis Gergő a 7%-át magozta ki a meggynek Döntsd el, hogy igazak vagy hamisak-e a következő állítások! a) Minden számnak van reciproka. b) Négy gyerek 4-féleképpen állhat sorba. c) A szabályos sokszögek tengelyesen szimmetrikusak. d) A tengelyesen szimmetrikus sokszögek szabályosak. e) A minden páros szám osztója. a) Hamis. b) Igaz. c) Igaz. d) Hamis. e) Igaz. 79

280 . Gyakorló feladatsorok felvételire 8. Két testvér 40 darab cukorkán osztozkodik. Jancsi, aki két évvel idősebb Katinál, azt javasolja, hogy az általános iskolai évfolyamuk sorszámának arányában osszák szét a kupacot. (Mindketten 6 évesen kezdték az iskolát és nem ismételtek évet.) Kati inkább az éveik számát venné alapul, mert akkor jobban járna: csak 4-gyel kevesebb jutna neki, mint Jancsinak. Végül Kati javaslata alapján osztoztak. Hány cukorkával kapott így többet Kati, mint Jancsi ötlete alapján kapott volna? A szöveg szerint mindketten általános iskolások. Vagyis a lehetséges értékek: Kati éve Jancsi éve Kati évfolyama Jancsi évfolyama Ha az évek alapján osztozkodnak, akkor Katié 8 db, Jancsié db. Ha az iskolai évfolyam alapján osztozkodnak, akkor Katié 6 db, Jancsié 4 db. Kati ötlete alapján Kati -vel kap többet, mintha Jancsi ötletét alkalmaznák. 9. Osztályfőnöki órán szavazást tartottak az osztálykirándulás helyszínéről. A három lehetséges helyszín közül legalább egyet és legfeljebb kettőt mindenkinek választania kellett. A szavazatok össze számolása után a következő eredmény került fel a táblára: Győr: 8, Debrecen:, Szeged:. Néggyel többen szavaztak két helyszínre, mint ahányan csak Szegedre, négyen írták be Szegedet és Győrt, és csak Debrecenbe 8-an mentek volna. Hány diák vett részt a szavazáson? A szöveg alapján ábrát készítünk. A helyes kitöltés: Vagyis , azaz gyerek vett részt a szavazáson. 80

281 Gyakorló feladatsorok felvételire. 0. Lali szétszedte a es Rubik-kockát úgy, hogy csak az élek mentén lévő kiskockákat hagyta meg. a) Hány százalékára csökkent az eredeti kocka térfogata? b) Az így keletkezett test kis négyzetlapjainak hányad részén van eredeti színezés? a) Az eredeti kockában a kiskockák száma: = 64. A változtatás utáni kiskockák száma:. Vagyis az 50%-ára csökkent a térfogat. b) A változtatás utáni testen az eredeti színezésű lapok száma: 6 = 7. A nem színezett lapok száma: 4 = 48. A 0 lapból 7 színezett, azaz 7, vagyis a -rész

282 . Gyakorló feladatsorok felvételire. Add meg a következő négy szám közül azt a kettőt, amelyik a legközelebb, és azt a kettőt, amelyik a legtávolabb van egymástól a számegyenesen! a) b) : c) 6 + $ 5 d) : 4 6 a + 4 k a) = = b) : + 5 = $ = + 5 = 9 = c) + $ 5 = + 5 = d) : a + 4 k = $ = Mivel b) és d) egyenlő, ezért ezek vannak a legközelebb egymáshoz. Az a) -nél kisebb, a b) és a d) -nél nagyobb, ezért az a) és a b), illetve az a) és a d) van a legtávolabb egymástól.. Egy gyerek a strandon kerek és szögletes kavicsokból a következő alakzatokat rakta ki: 5 6 a) Hány kavicsból állna a következő alakzat? b) Hányadik alakzat áll 8 kavicsból? c) Melyik fajta kavicsból van több a 45. alakzatban és mennyivel? d) Az egyik alakzatban legyen a db szögletes és b db kerek kavics. Add meg a szögletes és a kerek kavicsok számát a következő alakzatban! a) kavicsból. b) A. alakzat. c) A szögletesből van -gyel több. d) A következő alakzatban a db kerek, és b + 4 db szögletes kavics lesz. Másképp: Ha a páratlan (ekkor b páros), akkor a következő alakzatban (a + ) db szögletes és (b + ) db kerek kavics lesz. Ha a páros (ekkor b páratlan), akkor a következő alakzatban (a + ) db szögletes és (b + ) db kerek kavics lesz. 8

283 Gyakorló feladatsorok felvételire.. A rácson a szomszédos egyenesek távolsága legyen cm. a) Mekkora az ábrán látható deltoid területe? b) Az ABGH és a BCFG négyszögek közül melyiknek nagyobb a területe és mennyivel? A a) A CDEF négyszög a deltoid. A CE átló 6 cm, a DF átló 8 cm hosszú. A területe: 6$ 8 = 4 (cm ). G F ] 4+ 5g$ 4 b) A BCFG trapéz területe: = 8 (cm ). H Az ABGH négyszöget a BH átlója két háromszögre vágja. Az ABH területe: 4$ = 4 (cm ). A BHG háromszög (ami egy fél négyzet) területe: 5 $ 5 = 0 (cm ). Másképp is lehet: BHG háromszög köré a rácsvonalakra illeszkedő 6 4-es téglalapot tudunk rajzolni. Ennek területéből levonjuk a háromszögön kívül eső háromszögek területét: ] $ 6g ] $ 4g 6$ 4- - $ = = 0 (cm ) Vagyis az ABGH négyszög területe 4 cm. Tehát a BCFG területe 4 cm -rel nagyobb az ABGH területéhez képest. 4. Nagymama a kamrában hét üveg barack és szilvalekvárt tett egymás mellé egy polcra. Arra emlékszik, hogy a két szélén baracklekvár zárta a sort, és arra is, hogy eggyel kevesebb üveg szilvalekvárt tett a polcra, mint barack lekvárt. Hányféleképpen sorakozhat a hét üveg a polcon? A szöveg alapján a két baracklekvár közé üveg szilvalekvárt (S) és üveg baracklekvárt (B) kell elhelyezni. A lehetséges sorrendek (A sor elején és végén lévő baracklekvárokat nem írtuk ki az egyszerűség kedvéért.): BBSSS, BSBSS, BSSBS, BSSSB, SBBSS, SBSBS, SBSSB, SSBBS, SSBSB, SSSBB. B C D E 8

284 . Gyakorló feladatsorok felvételire 5. Zénó egy héten keresztül minden nap feljegyezte, hogy mettől meddig nem volt otthon. Ezt szemlélteti az alábbi diagram: H K Sze Cs P Szo V 0:00 :00 :00 :00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 0:00 :00 :00 :00 4:00 5:00 6:00 7:00 a) Melyik napon indult el a legkorábban otthonról? b) Mit mondhatunk, átlagosan mikor érkezett haza? c) Hány olyan nap volt, amikor több időt töltött otthon, mint máshol? d) Mely napokon nézhette meg otthon a 9 órakor kezdődő híradót? 8:00 9:00 0:00 :00 :00 :00 0:00 a) Csütörtökön. b) Átlagosan 9 órakor érkezett haza. c) 6 ilyen nap volt. Egyedül pénteken volt több időt máshol, mint otthon. d) Hétfő, kedd, csütörtök. 6. Egy szabályos háromszögrácson bejelöltünk néhány pontot. Ezek segítségével adj meg egy olyan sokszöget, amelyik a) egyenlő szárú, de nem szabályos háromszög; b) tompaszögű háromszög; c) deltoid; d) trapéz; e) paralelogramma; f) konkáv! I A D E F C H G B Egy-egy példa mindegyikre: a) CDE. b) AHI. c) ACFE. d) CGHI. e) ABCE. f) EFCGH. 84

285 Gyakorló feladatsorok felvételire. 7. Egy 0-es tanulmány szerint, amikor a Föld népessége 7 milliárd fő volt, akkor a világvallások követőinek eloszlása a következőképpen alakult: egyéb % buddhista 7% hindu 5% keresztény % muzulmán % a) Ugyanezen tanulmány szerint 400 millió ember különféle hagyományos, törzsi vallás követője. Hány százalékát teszik ki ők az egyéb kategóriának? b) Hány muzulmán és hány buddhista ember élt a földön 0-ben? c) Milyen arányban voltak a négy világvallás valamelyikének követői, illetve azok, akik nem követik egyiket sem? a) A %-a Ennek a a $ 00. 4,8%-a b) A muzulmánok száma a %-a, azaz: fő. A buddhisták száma a %-a, azaz: fő. c) Az arány: 77 :. 85

286 . Gyakorló feladatsorok felvételire 8. Tamás és Ági biciklivel Tamás Ági egy napon belül megkerülték a Balatont. Mindketten Siófokról indultak, majd a túra Fonyód (60 km) 9:45 5:0 Fonyód (50 km) Siófok (0 km) 7:00 7:45 Siófok (0 km) végén ott is találkoztak, de Keszthely (00 km) :50 :50 Keszthely (0 km) ellenkező irányban tették Révfülöp (5 km) :0 :5 Révfülöp (75 km) meg a kört. A közösen megbeszélt helyeken a következő Balatonfüred (65 km) 4:5 9:0 Balatonfüred (45 km) időket mérték: Siófok (0 km) 5:0 7:00 Siófok (0 km) a) Készíts szemléltető diagramot az útról! b) Ki ért előbb körbe? Mennyit várt a társára? c) Mennyi volt az átlagsebességük? d) Tamás 00 km megtétele után felhívta Ágit telefonon. Melyik két város között volt ekkor Ági? a) b) Tamás ért előbb körbe. óra 5 percet várt Ágira. c) Az átlagsebesség az összes út összes idő. Tamás összesen 8,5 óra alatt tette meg a 0 km-t. Az átlagsebessége: kb. 4,7 Ági 0,75 óra alatt tette meg a 0 km-t. Az átlagsebessége: kb. 9,5 d) Révfülöp és Keszthely között. km. h km. h 86

287 Gyakorló feladatsorok felvételire. 9. Andris fa építőelemekből garázst épített. A garázs négyzet alapú, az oldalfalai négyzet alapú hasábokból, a teteje egyenlő szárú derékszögű háromszög alapú hasábokból van összerakva az ábrán látható módon. a) Mekkora a garázs légtere, ha a négyzetes oszlopok alapéle cm, magasságuk pedig 0 cm hosszú? b) Mennyi faanyagot használt Andris az építéshez? c) Mekkora a garázs belsejének felülete? a) A garázs belsejének alaplapja 8 cm-szer 0 cm-es, a magassága 0 cm. Vagyis a légtere: = 800 (cm ). b) Egy négyzetes oszlop térfogata: 0 = 40 (cm ). Az egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogója cm, ezért egy ilyen háromszögnek a területe: $ = 6 (cm ). A háromszög alapú hasáb térfogata: 6 = 7 (cm ). 4 A faanyag térfogata: = 07 (cm ). c) A plafon: 80 cm, a két egybevágó oldalfal együtt: 00 cm, a hátsó fal: 80 cm. Ez összesen: 60 cm. 0. Ha egy gép két hektár földet szánt fel egy óra alatt, akkor a) hány gép szánt fel 44 hektár földet egy óra alatt? b) hány gép szánt fel 44 hektár földet 4 óra alatt? c) hány óra alatt szánt fel 5 gép 0 hektár földet? d) hány hektár földet szánt fel 0 gép 4 óra alatt? a) Ha gép hektárt óra alatt, akkor x gép 44 hektárt óra alatt. x =. Vagy óra alatt hektárt gép szánt fel, akkor óra alatt 44 hektárt 44 = gép szánt fel. c) Ha gép hektárt óra alatt, akkor 5 gép 0 hektárt z óra alatt. z =. Vagy gép hektárt óra alatt, akkor gép 0 hektárt 0 = 0 óra alatt. Ebből következően: 5 gép 0 hektárt 0 = óra alatt. 5 b) Ha gép 44 hektárt óra alatt, akkor 4 óra alatt ugyanakkora területet negyedannyi gép. A negyede 5,5, mivel nem lehet fél gépet használni, ezért 6 géppel kicsit kevesebb, mint 4 óra alatt végeznek. d) Ha gép hektárt óra alatt, akkor 0 gép h hektárt 4 óra alatt. h = 480. Vagy gép óra alatt hektárt akkor gép 4 óra alatt 4 = 48 hektárt szánt fel. Ebből következően: 0 gép 4 óra alatt 48 0 = 480 hektárt. 87

288 4. Gyakorló feladatsorok felvételire. Határozd meg az a, b és c értékét, ha tudod, hogy a) -7 -^- ah = 7; b) b : 4 = 6; c) c $ ^- 9h =! d) Számold ki az a : b : c kifejezés értékét! 9 a) a = 4. b) b = 64. c) c 9 =-. d) 4 : 64 : 9 9 b- 9 l =- 4 $ 9 $ 9 = Írd be a hiányzó számokat úgy, hogy igazak legyenek az egyenlőségek! a) 4,8 m - cm = 47,9 dm b) m + 80 cm = dm c) 0, óra + 80 mp = perc d),78 l - cl = 8,4 dl a) 480 cm cm = 00 cm, vagyis 4,8 m - 00 cm = 47,9 dm. b) m + 80 cm = 00 dm +,8 dm =,8 dm. c) 0, óra + 80 mp = perc + perc = 5 perc. d) 7,8 dl - 8,4 dl = 9,4 dl = 94 cl, vagyis,78 l - 94 cl = 8,4 dl.. A Cselővárosi Általános Iskolában két nyolcadik osztály van. Az osztályok létszáma megegyezik. Minden tanulónak van testvére. Az alábbi két diagram a nyolcadik osztályosok testvéreinek számát mutatja. a) Hány fősek az osztályok? diákok száma 0 0 egy kettő három testvérek száma 8. a 8. b b) Hány gyereknek van egy testvére a 8. a-ban? c) Hány gyereknek van három testvére a 8. b-ben? d) Melyik osztályban van több olyan gyerek, akinek két testvére van? e) Melyik osztályban több a testvérek száma és mennyivel? f) A 8. a osztályosok testvéreinek 58%-a már iskolába jár, a többiek óvodába. Hány ovis testvére van a 8. a-soknak összesen? kettő a) 4 fősek. b) 4-nek. c) 6-nak. d) A 8. a osztályban. e) Az a-ban: 4 gyereknek, 4 gyereknek, és 6 gyereknek testvére van. Ez összesen 50. A b-ben: 6 gyereknek, gyereknek, és 6 gyereknek testvére van. Ez összesen 48. Vagyis a 8. a osztályban -vel több a testvérek száma. f) Az 50 gyerek 4%-a óvodás, vagyis. három egy 88

289 Gyakorló feladatsorok felvételire Igaz vagy hamis? a) Minden négyzet deltoid. b) A 47 prímszám. c) A paralelogrammának pontosan két szimmetria tengelye van. d) Minden a és b valós számra igaz, hogy (a + 4b) = 6a + 4b. e) Minden 5-re végződő szám osztható 5-tel. a) Igaz. b) Hamis. c) Hamis. d) Hamis. e) Hamis. 5. Hányféle különböző útvonalon juthat el a lovag a sárkányhoz, ha csak felfelé vagy jobbra haladhat? Vagyis 5 különböző útvonal van. 89

290 4. Gyakorló feladatsorok felvételire 6. Kilencedik osztályban angolul, németül és olaszul tanulnak a diákok, mindenki pontosan két nyelvet. Az angol német párosítást 6 diák választotta. Ők kétszer annyian vannak, mint a német olaszt tanulók. Olaszul összesen 0 diák tanul az osztályból. a) Hányan választották az angol olasz párosítást? b) Hányan tanulnak németül? c) Mennyivel több diák tanul angolul, mint olaszul? d) Mekkora az osztálylétszám? A szöveg szerint a német-olasz párosítást 8-an választották. Vagyis -en vannak, akik az olaszt az angollal tanulják. Ezek alapján válaszolhatunk a kérdésekre. a) fő. b) 4 fő. c) 8-cal több. d) 6 fős. 7. Julcsi virágcsokrot készített a nagymamájának. A virágok harmada rózsa, 5%-a nárcisz, a többi tulipán. a) A csokor hányadrésze tulipán? b) Hány szál nárcisz és hány szál tulipán van a csokorban, ha tudod, hogy 8 szál rózsa van benne? c) Pár nap után nagyi kidobta a hervadt szálakat: tulipánt, nárciszt és rózsát. Írd fel a megmaradt virágfajták arányát! a) Mivel - - = 5, ezért a csokor 5 -része tulipán. 4 b) 4 szálból áll a csokor. A nárciszok száma 6, a tulipánoké 0. c) Maradt 7 tulipán, 4 nárcisz és 7 rózsa. Vagyis tulipán : nárcisz : rózsa = 7 : 4 : 7. 90

291 Gyakorló feladatsorok felvételire Az ABCD négyszög olyan téglalap, amely nem négyzet. Az AC és BD átlók metszéspontja a P pont. Az ABP háromszög területe 7 cm. a) Készíts ábrát a megadott adatok alapján! b) Számold ki a téglalap területét! c) Mekkora a téglalap BC oldala, ha az AB oldala cm? d) Számítsd ki, hány cm hosszú a téglalap átlója! a) b) A téglalap területe: 4 7 = 08 (cm ). $ BC c) Az ABP háromszög területére felírhatjuk: 7 =. Ebből kapjuk, hogy BC = 9 cm. d) A téglalap átlója Pitagorasz-tétellel: + 9 = 5 (cm). 9. a) Tükrözd az AD oldal felezőpontjára az A(; 4), B(-; 4), C(-; -), D(; 0) csúcsokkal megadott négyszöget! Add meg a tükörkép csúcsainak koordinátáit! b) Add meg annak az egyenesnek a hozzárendelési szabályát, melyre a négyszög csúcsait tengelyesen tükrözve az Al(; ), Bl(; -), Cl(-4; 0), Dl(-; 4) négyszöget kapjuk! a) b) Al(; 0), Bl(7; 0), Cl(5; 7), Dl(; 4). A hozzárendelési szabály: f(x) = x +. 9

292 4. Gyakorló feladatsorok felvételire 0. Az eszkimó gyerekek 5 cm 5 cm-es alapterületű, 0 cm magas jégtéglákból jég kunyhót építettek a kutyájuknak. Az alsó sor 7 téglából állt, a következő sorokhoz pedig mindig 4 téglával kevesebb kellett. A tetejére tégla került. a) Hány sorból áll a kunyhó? b) Hány téglát használtak fel az építéshez? c) Hány liter vizet kellene lefagyasztanunk, ha egy ilyen kunyhót szeretnénk építeni? d) Mikor a kunyhó elkészült, a gyerekek nagyon mosolyogtak, mert észrevették, hogy elfelejtettek ajtót építeni a kunyhóra. Így az alsó négy sorból kivettek rendre 4,,, illetve téglát. Igaz-e, hogy a téglák több mint 0%-át feleslegesen építették be a kunyhóba? Válaszodat indokold! a) Soronként a téglák száma: 7,, 9, 5,, 7,. Vagyis 7 sorból áll. b) A hét szám összege: 05. Vagyis 05 téglát használtak fel. c) Egy tégla térfogata:,5,5 = 5,5 (dm ). Ha úgy számolunk, hogy liter vízből kb. dm jég lesz, akkor 05 5,5 = 55,5, vagyis ennyi liter vízre van szükség. Ha úgy számolunk, hogy liter vízből kb., dm jég lesz, akkor 05 5,5 :, = 50,, vagyis körülbelül 500 liter vízre van szükség. d) 0 téglát építettek be feleslegesen. A 05-nek a 0%-a 0,5. Vagyis nem igaz, hogy a téglák több mint 0%-át feleslegesen építették be. 9

293