Algebrai és transzcendens számok

Átírás

1 MATEMATIKA A. évfolyam Ismétlı, renszerezı moul az emelt szintő érettségire készülıknek Algebrai és transzcenens számok Készítette: Klement Anrás 00

2 TANÁRI ÚTMUTATÓ - Ismétlı, renszerezı moul az emelt szintő érettségire készülıknek: Algebrai és transzcenens számok A moul célja Iıkeret Ajánlott korosztály Moulkapcsolóási pontok A képességfejlesztés fókuszai Az emelt szintő érettségi vizsgakövetelményeiben szereplı ismeretanyag ismétlése, renszerezése, kibıvítése; kitekintés a felsıbb matematika felé. 4 tanóra (4x45 perc). évfolyam Tágabb környezetben: Fizika és más természettuományos tárgyak; az emberiséget foglalkoztató tuományos problémák, mint pl. a kör négyszögesítése Szőkebb környezetben: a középiskolai matematikaanyag megfelelı témakörei, ill. mouljai: számfogalom, geometriai tételek, szerkesztések, valószínőség-számítás Renszerezés, érvelés, bizonyítás, probléma-érzékenység, probléma-reprezentáció, ábrázolás, kombinativitás, inuktív és euktív következtetés, mennyiségi következtetés, valószínőségi következtetés, szövegértés, szövegértelmezés, relációszókincs, értelmes memória, metakogníció AJÁNLÁS: A moul elsıleges célja, hogy a tanulókat felkészítse az emelt szintő érettségin várható bonyolultabb problémák megolására, másrészt lehetıséget a arra, hogy az éreklıı tanulók elmélyülhessenek a számhalmazok témakörében.

3 TANÁRI ÚTMUTATÓ - Ismétlı, renszerezı moul az emelt szintő érettségire készülıknek: Algebrai és transzcenens számok 3 ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Tuja efiniálni a racionális számot és ismerje az irracionális szám fogalmát. Bizonyítsa, hogy irracionális szám. Irracionális kitevıjő hatvány értelmezése szemléletesen. TÁMOGATÓ RENDSZER Power Point bemutató, Szimulációs program a Buffon-féle tőproblémához, Könyvtári, ill. internetes győjtımunka ÓRABEOSZTÁS Óraszám Óracím. Számhalmazok. Algebrai és transzcenens számok 3. A π és az e szám 4. A Buffon-féle tőprobléma, a kör négyszögesítése

4 TANÁRI ÚTMUTATÓ - Ismétlı, renszerezı moul az emelt szintő érettségire készülıknek: Algebrai és transzcenens számok 4 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszközök I. Számhalmazok. A számfogalom felépítése (renszerezı ismétlés frontális és csoportmunkában) Figyelem, renszerezés, kombinatív gonolkoás, inuktív és euktív következtetés, elvonatkoztatás.. Felaatok megolása (csoportmunka) Kommunikáció, kooperáció, metakogníció, bizonyítási felaatok. II. Algebrai és transzcenens számok. Az algebrai szám fogalma, tulajonságai Figyelem, renszerezés, kombinatív gonolkoás, elvonatkoztatás. Frontális munka. Felaatok megolása (csoportmunka) Kommunikáció, kooperáció, metakogníció, bizonyítási felaatok. III. A π és az e szám. A π és az e szám története, jelentısége Figyelem, renszerezés, kombinatív gonolkoás, elvonatkoztatás. Frontális munka Könyvtári, ill. internetes győjtımunka Felaatok Bemutató Felaatlap Győjtımunka. A π értékének meghatározása (csoportmunka) Figyelem, renszerezés, elvonatkoztatás. Mintapéla IV. A Buffon-féle tőprobléma, a kör négyszögesítése. Buffon-féle tőprobléma Figyelem, renszerezés, kombinatív gonolkoás, inuktív és euktív következtetés, elvonatkoztatás. Frontális munka Szimuláció. A kör négyszögesítése, Hilbert 7. problémája Figyelem, renszerezés, kombinatív gonolkoás, inuktív és euktív következtetés, elvonatkoztatás. Frontális munka Körzı, egyenes vonalzó, szerkesztés

5 TANÁRI ÚTMUTATÓ Algebrai és transzcenens számok 5 Bevezetés Ebben a moulban áttekintjük a számhalmazokat és új szempont szerint csoportosítjuk azokat algebrai, ill. transzcenens számokra. Külön foglalkozunk a két legnevezetesebb transzcenens számmal, a π-vel és az e-vel. Levezetünk egy nagyon szép közelítést π-re a körbe írt szabályos n olalú sokszög kerületének kiszámításával. A Buffon-féle tőprobléma néven híressé vált mószerrel, kísérletileg is meghatározzuk π értéket. Ehhez szemléltetésül segítségül hívunk egy szimulációs programot is. Foglalkozunk továbbá a matematika egyik leghíresebb problémájával, a kör négyszögesítésével is. I. Számhalmazok Tekintsük át a számfogalom kialakulását és fejlıését! Véges halmazok számosságai alkotják a természetes számokat. Az üres halmaz számossága 0, az egyetlen elemet tartalmazó halmazé. Két halmaz számossága azonos, ha a halmazok elemei között kölcsönösen egyértelmő hozzárenelést tuunk létesíteni. A természetes számok halmaza N. Számosságát megszámlálhatóan végtelennek nevezzük.. Felaat. Igaz-e, hogy ha az A halmaz valói részhalmaza B-nek, akkor kisebb a számossága? Megolás: Csak véges halmazokra, pl. a páros természetes számok halmazának számossága azonos az 5-tel osztható természetes számok halmazának számosságával. A természetes számok halmazában nem olható meg az x+a=0 egyenlet, ezért bevezették a negatív számokat. Együttesen az egész számok halmazát alkotják, jele Z. Itt sem olható meg azonban az x a= egyenlet, így bevezették a racionális számokat is.

6 TANÁRI ÚTMUTATÓ Algebrai és transzcenens számok 6 Definíció: Az a számot racionális számnak nevezzük, ha felírható két egész szám hányaosaként. A racionális számok halmazának jele Q. Q már zárt az összeaásra és a szorzásra nézve, s minkét mőveletre nézve bármely 0-tól különbözı racionális számnak van Q-ban inverze az egységelemekre nézve: a, ill.. Ebbıl következik, hogy Q a kivonásra és az osztásra nézve is zárt. a Az összeaás és a szorzás is kommutatív, asszociatív mővelet, és a szorzás az összeaásra nézve isztributív. Tétel: A racionális számok halmaza azonos a véges és a végtelen szakaszos tizees törtek halmazával. Bizonyítás:. Minen racionális szám véges vagy végtelen szakaszos tizees tört alakba írható. Az osztási maraék kisebb a nevezınél, így véges számú lépés után 0 lesz vagy ismétlıés kezıik.. Minen véges és a végtelen szakaszos tizees tört racionális szám. A végtelen mértani sor összegképlete racionális számokat tartalmaz, Q peig zárt az összeaásra, szorzásra, kivonásra és osztásra is.. Felaat. Ír fel két egész szám hányaosaként a 0, végtelen vegyes szakaszos tizees törtet! Megolás:. mószer = , = =

7 TANÁRI ÚTMUTATÓ Algebrai és transzcenens számok = = mószer x=0, x = 3456,56 000x = 34, x 3 Innen x= = 3,00 A végtelen, nem szakaszos tizees törtek nem racionális számok. Ezeket irracionális számoknak nevezzük. A racionális és irracionális számok együtt alkotják a valós számok halmazát. Jele R. Cantor bizonyította, hogy Q megszámlálhatóan végtelen, viszont R nem az, tehát nagyobb számosságú, amit kontinuum számosságnak nevezünk. Győjtımunka: Nézz utána a könyvtárban vagy az interneten, hogyan bizonyíthatók be a fenti tételek. 3. Felaat: Keress irracionális számokat! Megolás: Pl. 0, vagy 0, Felaat: Mutassuk meg, hogy a irracionális szám!

8 TANÁRI ÚTMUTATÓ Algebrai és transzcenens számok 8 Megolás: Inirekt úton bizonyítjuk, hogy nem lehet racionális. Tegyük fel, hogy = q p, ahol p és q természetes számok. Ekkor q =p lenne, ami ellentmon a számelmélet alaptételének, a prímtényezıs felbontás egyértelmőségének. A matematika két leghíresebb száma, az e és a π is irracionális. Felsıbb matematikai eszközökkel bizonyítható, hogy a sinx és cosx függvények az x=0 kivételével minen racionális helyen irracionális értéket vesznek fel, így pl. sin irracionális. 5. Felaat: Dönts el az alábbi számokról, hogy racionálisak vagy irracionálisak: log a= sin π, b= log 9, c= lg 5, = 00 9 Megolás: a=0 racionális. b irracionális, ez inirekt úton szintén könnyen bizonyítható. p Tegyük fel, hogy log 9 =, ahol p és q természetes számok. Ekkor log q 9 = q p q p lenne, ahonnan q-aik hatványra emelve =, ami ellentmon a számelmélet alaptételének, a prímtényezıs felbontás egyértelmőségének. 9 c= 5, tehát racionális.

9 TANÁRI ÚTMUTATÓ Algebrai és transzcenens számok 9 nagyon érekes eset, irracionális szám irracionális kitevıjő hatványa vajon lehet-e racionális? log = 9 =3, tehát a legnagyobb meglepetésünkre racionális. II. Algebrai és transzcenens számok Az óra elején a győjtımunka megbeszélése, értékelése. Egy link: A racionális számok halmazában nem olható meg az x a=0 egyenlet. Ezért vált szükségessé a számfogalom további bıvítése, az algebrai számok értelmezése a racionális számok halmazának lehetséges kiterjesztéseként. Definíció: Az a számot algebrai számnak nevezzük, ha létezik olyan racionális együtthatós, legalább elsıfokú polinom, melynek az a szám gyöke. Az algebrai számok halmazának jele: A 6. Felaat: Bizonyítsuk be, hogy ha a algebrai szám, akkor létezik olyan egész együtthatós, legalább elsıfokú polinom is, melynek az a szám gyöke. Megolás: Szorozzuk meg az egyenletet a polinom együtthatóinak nevezıiben szereplı természetes számok legkisebb közös többszörösével.

10 TANÁRI ÚTMUTATÓ Algebrai és transzcenens számok 0 7. Felaat: Igazoljuk, hogy minen racionális szám algebrai szám! Megolás: Az a racionális szám gyöke az x a racionális együtthatós polinomnak. 8. Felaat: Mutassuk meg, hogy az a= számok is algebrai számok! és b= irracionális Megolás: 5 7 Mivel a= , a gyöke az x polinomnak. A b szám peig gyöke az (x 3) 5 polinomnak. Bizonyítható, hogy bármely két nullától különbözı algebrai szám összege, különbsége, szorzata és hányaosa is algebrai szám. Látható, hogy minen racionális számokból álló gyökkifejezés algebrai szám. Forítva viszont nem igaz. Galois bizonyította be, hogy van olyan ötöfokú polinom, melynek nincs megoló képlete, azaz a gyökei nem ahatók meg gyökkifejezés segítségével. Ilyen pl. az x 5 4x polinom is. Cantor bizonyította be 874-ben, hogy az algebrai számok halmaza, ugyanúgy, mint a természetes és a racionális számok halmaza, szintén csak megszámlálhatóan végtelen. Ez bizonyítja, hogy vannak nem algebrai számok is, ezeket transzcenens számoknak nevezzük. Az elnevezés Eulertıl származik, és az a magyarázata, hogy ezek a számok túlhalaják az algebrai mószerek teljesítıképességét.

11 TANÁRI ÚTMUTATÓ Algebrai és transzcenens számok Liouville 85-ben bizonyította, hogy az !!! 3! Végtelen mértani sor összege transzcenens szám.... Összegzésül tekintsük át egy bemutató segítségével a megismert számhalmazokat, most már az algebrai számok halmazának figyelembe vételével! Lás a mellékelt Power Point bemutatót! A trigonometrikus, exponenciális és logaritmus függvényeket transzcenens függvényeknek nevezik, mert bizonyítható, hogy egyikük sem hala keresztül egynél több algebrai ponton, azaz olyan ponton, melynek minkét koorinátája algebrai. Ezek az algebrai pontok valamelyik koorináta tengelyen vannak.

12 TANÁRI ÚTMUTATÓ Algebrai és transzcenens számok 9. Felaat: A meg a sinx, cosx, tgx, ctgx, x, 0 x, log x, lgx függvények algebrai pontjait! Megolás: Renre: (0,0), (0,), (0,0), nincs, (0,), (0,), (,0), (,0) III. A π és az e szám A π története, jelentısége 739-ben javasolta Euler, hogy a kör kerületének és átmérıjének arányát a π betővel jelöljük. A π története azonban sokkal korábban kezıött. Az egyipto- mi Rhin-papiruszon (ie ) a kör területét a t= 9 képlet található, ahol a kör átmérıjét jelöli. Eszerint π= 56 3, 605. Ugyanekkor Mezopo- 8 támiában a π=3 vagy a π=3,5 jóval urvább értékeket használták. Az iniai Szulvaszusztrák kb. ie. 500-ból π értékére két érekes kifejezést atak. Ezek a π = 8 (3 ) és a π Más iniai mővekben π-t 0 -nek vették. A görög Arkhiméész (ie. 87-) KÖRMÉRÉS címő mővében a kör kerületét a körbe írt és a kör köré írt szabályos sokszögek kerületével közelítette meg. A számítást a 96 olalú szabályos sokszögre elvégezve azt találta, hogy 0 3 < π < 3 7 7

13 TANÁRI ÚTMUTATÓ Algebrai és transzcenens számok 3 A III. százaban élt kínai Huj a kör kerületét a körbe írt 307 olalú szabályos sokszöggel közelítette meg, és így a π=3,459 értéket kapta. Mintapéla: Az egységsugarú kör kerületét a körbe írt n (n=, 3, 4, 5, ) olalú szabályos sokszöggel közelítjük. Megolás: Jelölje s n a körbe írt szabályos n-szög olalhosszúságát. Az ábra szerint A,B =, s n = D,E, D,E = C,D, s n = D,B Az ABC erékszögő háromszög területe t= A, D B, D = A, B C, D,

14 TANÁRI ÚTMUTATÓ Algebrai és transzcenens számok 4 azaz =. A, D B, D A, B C, D Mivel Pithagorasz tétele szerint azaz ( 4 ) =, azt kapjuk, hogy A, D A, B B, D D, E = 4, B, D B, D 4 ( 4 s ) n s = n s n. Ezt az egyenletet megolva, a geometriai feltételeknek megfelelı megolás: Mivel tujuk, hogy s s = 4 n n. s =, ezért 4 s =, 8 s = +,, 6 s = n, n- b egymásba skatulyázott négyzetgyökkel. Ezek szerint a körbe írt n olalú szabályos sokszög kerülete azaz az egységsugarú kör kerületét megközelíthetjük a s n n, k = n értékkel, mely n- b egymásba skatulyázott négyzetgyököt tartalmaz. Ez a kifejezés tehát π közelítı értékét aja meg. A XVI. Százaban Luolph 35 tizees jegyig számította ki π értékét, ezért a π-t szokás Luolph-féle számnak is nevezni.

15 TANÁRI ÚTMUTATÓ Algebrai és transzcenens számok 5 A π értéke 35 tizees jegyig: 3, A XVII. százaban Leibniz egy végtelen sor segítségével ata meg 4 π értékét: π = Azóta is ez a π legegyszerőbb és legszebb kifejezése Lambert 76-ben igazolta, hogy a π irracionális, maj Linemann 88-ben igazolta a π transzcenenciáját is. Az e szám 748-ban vezette be Euler az e számot, a matematika egyik legfontosabb számát. Azonban ennél jóval korábban, Napier logaritmusról írt mővében jelentek meg az elsı utalások az e számra 68-ban. Népszerőségére jellemzı, hogy vicc is született róla: Rettegve rohannak a függvények az utcán, szinte fellökik egymást: - Gyertek függvények, fusson, ki merre lát! Az egyik nyugotan szivarozva sétálgat tovább. A cosx majnem keresztülesik rajta rohanás közben és ráförme: - Te süket vagy? Miért nem futsz? Nyakunkon a minent leeriváló rém! - Na és? - sétál tovább nyugotan a függvény: én az e a x vagyok. Ki nem érti a vicc poénját? İ nézzen utána az e x függvény ifferenciálhányaosának!

16 TANÁRI ÚTMUTATÓ Algebrai és transzcenens számok 6 Az e szám efiníciói: Harminc tizees jegyre: e = 0! e +! + = n! lim + 3! + + n e =, ! n +... Az e szám a természetes alapú logaritmus alapszáma és az e x függvény különleges jelentıségét az aja, hogy a eriváltja önmaga. 873-ban Hermite bizonyította be elıször, hogy az e szám transzcenens. Győjtımunka: Keress érekességeket a könyvtárban vagy az interneten a π és az e számok történetével kapcsolatban, keress π-verseket! IV. A Buffon-féle tőprobléma, a kör négyszögesítése Az óra elején a győjtımunka megbeszélése, értékelése. Két link:

17 TANÁRI ÚTMUTATÓ Algebrai és transzcenens számok 7 A Buffon-féle tőprobléma 777-ben Buffon vetette fel a tőprobléma néven közismertté vált felaatot. Ennek megolásával nagyon érekes lehetıséget aott a π kísérleti meghatározására. A felaatot a következıképpen fogalmazhatjuk meg: Rajzoljunk egy vízszintes lapra azonos távolságban levı párhuzamos egyeneseket. Dobjunk erre a lapra véletlenszerően, irányítás nélkül egy l < hosszúságú tőt. Mi a valószínősége annak, hogy a tő metszi valamelyik egyenest? Feltehetjük, hogy a tő középpontja egy a párhuzamos egyenesekre merıleges e egyenesre esik. A tő helyzetét ekkor a metszés szempontjából egyértelmően jellemzik az ábrán jelölt φ és x aatok, melyekre 0 ϕ π 0 x Könnyen látható, hogy a tő akkor metszi valamelyik egyenest, ha

18 TANÁRI ÚTMUTATÓ Algebrai és transzcenens számok 8 l 0 x sinϕ vagy l sinϕ x Ábrázoljuk koorináta-renszerben az egyenlıtlenségek által meghatározott ponthalmazokat: A geometriai valószínőséget a kevezı terület és az összes terület hányaosaként kapjuk meg, tehát annak a valószínősége, hogy a tő metszi valamelyik rácsvonalat: P = l π 0 sinϕ π ϕ = l [ cosϕ] 0 π π ( + ) l = π l = π

19 TANÁRI ÚTMUTATÓ Algebrai és transzcenens számok 9 Innen kifejezhetjük a π közelítı értékét: π = l P l ν n ahol ν n a relatív gyakorisága annak, hogy n obás esetén a tő metszi valamelyik rácsvonalat. 850-ben Wolf végezte el elıször a kísérletet, és 5000 obás után π értékére 3,596-ot kapott. A BuffonsNeeles.exe szimulációs programmal nekünk is lehetıségünk van rá, hogy kísérleti úton meghatározzuk π értékét sokkal több véletlen obás, és jóval kényelmesebb körülmények között. Egy kép a szimulációs programból:

20 TANÁRI ÚTMUTATÓ Algebrai és transzcenens számok 0 A kör négyszögesítése A matematika történetének évezreeken át az egyik legnépszerőbb felaata volt a kör négyszögesítése, azaz olyan négyzet szerkesztése eukliészi szerkesztéssel, azaz csupán egyenes vonalzó és körzı segítségével, amelynek területe egy aott r sugarú kör r π területével egyenlı. Az eukliészi szerkesztés fogalma Nézzük meg elıször, mit is kell értenünk pontosan eukliészi szerkesztésen! A vonalzót két aott ponton átmenı egyenes meghúzására, a körzıt peig aott középpontú és aott sugarú kör megrajzolására használhatjuk. Definíció: Alapszerkesztéseknek nevezzük a) két egyenes metszéspontjának meghatározását b) egyenes és kör metszéspontjának meghatározását c) Két kör metszéspontjának meghatározását. Az alapszerkesztések véges számú ismétlésével végrehajtható szerkesztéseket eukliészi szerkesztéseknek nevezzük. 0. Felaat: Egy aott egységszakasz, továbbá az a és b szakaszok ismeretében szerkesszük meg eukliészi móon az hosszúságú szakaszokat! a a+b, a b, a b, ( b 0 ) és a b

21 TANÁRI ÚTMUTATÓ Algebrai és transzcenens számok Megolás: A párhuzamos szelık tételét alkalmazhatjuk, az a b és b a szerkesztésére (negyeik arányos szerkesztése), ill. a magasságtételt egy szakasz négyzetgyökének, a -nak a szerkesztésére. Ennek alapján az egységszakasz ismeretében meg tujuk szerkeszteni eukliészi móon bármelyik racionális számot a számegyenesen, ezen kívül peig azokat a számokat, melyek racionális számok, alapmőveletek és négyzetgyökvonás segítségével véges számú lépésben elıállíthatók. Nem szerkeszthetık meg viszont a transzcenens számok, melyek nem állíthatók elı ilyen móon.

22 TANÁRI ÚTMUTATÓ Algebrai és transzcenens számok A kör négyszögesítésének lehetetlensége Aott az r sugarú kör, ennek területe r π, a vele azonos területő négyzet olala r π. Mivel a π transzcenens szám, ez nem szerkeszthetı meg eukliészi móon, ezzel elılt, hogy a kör négyszögesítése lehetetlen felaat. Hilbert 7. problémája Végül egy érekesség. Hilbert 900-ban a párizsi matematikai kongresszuson tartott híres elıaásában 3 egyszerően megfogalmazható matematikai problémát vetett fel, melyek megolatlanok voltak, és az akkori matematikai technika számára nem is látszottak egyhamar megolhatónak. Az egyik legreménytelenebbnek tőnı probléma annak a bizonyítása volt, hogy a transzcenens szám. Három évtizeen át a leghalványabb remény sem mutatkozott arra, hogy valamilyen irányból meg lehetne közelíteni a problémát. Végül 934-ben Gelfon, maj 935-ben Schneier egymástól függetlenül igazolták a következı tételt: Gelfon-Schneier tétel: Ha a 0-tól és -tıl különbözı algebrai szám, és b nem racionális algebrai szám, akkor a b transzcenens szám. A Gelfon-Schneier tételbıl rögtön következik, hogy a transzcenens szám.

23 TANÁRI ÚTMUTATÓ Algebrai és transzcenens számok 3 Megjegyzés: Az Euler-féle ei π = azonosságból, ahol i az imaginárius egység: i =, ( ) i π i = ( ) i e e π ( ) i = Ez peig a Gelfon-Schneier tétel szerint azt jelenti, hogy e π transzcenens.