Tartalomjegyzék. Komplex detektorrendszerek, hardver, szoftver, egy korszer detektorrendszer ismertetése

Átírás

1 Tartalomjegyzék Részecske detektálás alapelvei, tracking, kaloriameter Nyalábok fajtái és el állításuk Részecskenyaláb/sugárzás és anyag kölcsönhatása Töltött részecskék és anyag kölcsönhatása Semleges részecskék és anyag kölcsönhatása EM sugárzás és anyag kölcsönhatása Detektorok Tracking detektorok Részecskeazonosító detektorok Gyorsítok és nyalábok (x target, ütköz nyalábok, e, p + ) Gyorsítók Egyenáramú gyorsítók Pulzált gyorsítók Vizsgálati módszerek Relativisztikus kinematika Fix target Ütköz nyalábok Komplex detektorrendszerek, hardver, szoftver, egy korszer detektorrendszer ismertetése Alapelvek, a hagymahéj-struktúra Detektorrendszerek BNL RHIC CERN LHC Neutrínózikai kísérletek Néhány kiemelked en fontos kísérlet (P, CP, J/Ψ) ismertetése P sértés, CP sértés Paritássértés és a V-A elmélet CP-szimmetria sértés és a K 0 mezon A J/Ψ és a GIM mechanizmus J/ψ, avagy a c kvark kísérleti felfedezése c kvark létezésének egyértelm kísérleti bizonyítéka Geometriai szimmetria csoportok; forgáscsoport, Poincaré-csoport, tükrözések Geometriai szimmetria csoportok Forgáscsoport Poincaré-csoport Tükrözés I

2 Szabad terek kvantumtérelmélete, szimmetriák Történeti bevezetés Kanonikus kvantálás Fizikai értelmezés: Fock-tér Szimmetriák és a Noether-tétel Térelméleti S mátrix, funkcionál integrálok, Feynman-gráfok Aszimptotikus szórásjelenségek leírása Térelméleti S-mátrix Feynman-gráfok származtatása A Wick-tétel és a Feynman-diagrammok A Feynman-szabályok levezetése a funkcionálintegrál-formalizmusban Mértékelméletek Mértékelméletek alapgondolata és a lokális szimmetria Fizikában megjelen mértékelméletek Mértékelméletek kvantálása Faddeev-Popov kvantálás A QED és a QCD renormálása Renormálható elméletek QED renormálása QCD renormálása Regularizációs módszerek Levágás (Cout-o) Pauli-Villars regularizáció Analitikus regularizáció Térid rács regularizáció Dimenziós regularizáció Az elektron-foton kölcsönhatás (folyamatok) A Compton-szórás A QED Feynman-szabályai Compton-szórás hatáskeresztmetszete További lehetséges folyamatok Elektromágneses sugárzás és ionizáló sugárzás kölcsönhatása kondenzált anyaggal, áthatolóképesség, záporjelenség Elektromágneses sugárzás kölcsönhatása kondenzált anyaggal Fotoeektus Compton-szórás Párkeltés Összefoglalva Ionizáló sugárzás kölcsönhatása kondenzált anyaggal Záporjelenségek Elektromágneses záporok Hadronikus záporok Er s kölcsönhatás alapjai: megmaradó mennyiségek, részecskék-rezonanciák tulajdonságai Er s kölcsönhatás alapjai QCD Lagrange-függvénye Kölcsönhatás potenciál képben A QCD megmaradó mennyiségei Rezonanciák Breit-Wigner formula

3 Bels szimmetriacsoportok: SU(2), SU(3) és a részecskék rendszerezése, a kvarkmodell alapjai Izospin és általánosítása Izospin kiterjesztése és a ritkaság Hadron kvarkmodellje paradoxon és a színtöltés Er s kölcsönhatás dinamikája, a QCD alapjai A QCD alapjai A QCD kialakulása A QCD dinamikája A QCD kvantálása Gráfszabályok Er s kölcsönhatások dinamikája alacsony energián, a királis szimmetria sérülése és az eektív Lagrange függvényes leírás Potenciál-modell Pion-nukleon szórás π N szórás naiv térelméleti leírás π N szórás rezonanciás térelméleti leírás Királis szimmetria és sérülése A nagyenergiájú zika elemei, renormálási csoport egyenletek és alkalmazásaik, futó csatolási állandó, mélyen rugalmatlan szórás, jet zika Renormálási csoport Dimenziós regularizáció renom csoport egyenletei Renormált n-pont-függvények és a t'hooft-weinberg egyenlet Futó csatolási állandó és a t'hooft-weinberg egyenlet megoldása Nagyenergiás zika, mélyen rugalmatlan ütközés Parton modell Jetek zikája A gyenge kölcsönhatások osztályozása, megmaradó kvantumszámok és kiválasztási szabályok, a β-bomlás elmélete, V-A csatolás A gyenge kölcsönhatás osztályozása Megmaradó kvantumszámok Ténylegesen megmaradó mennyiségek Kiválasztási szabályok V-A elmélet és a β-bomlás β-bomlás Az áramalgebra elemei: megmaradó vektoráram, PCAC, Cabibbo elmélet, GIM mechanizmus A megmaradó isovektoráram (CVC) A CVC tétel CVC következményei A részlegesen megmaradó axiáláram (PCAC) A QCD globális szimmetriái PCAC tétel GIM mechanizmus J/ψ, avagy a c kvark kísérleti felfedezése c kvark létezésének egyértelm kísérleti bizonyítéka Charmed részecskék bomlása Cabbibo-elmélet N család közelítés Áram Áram elmélet

4 Az elektrogyenge elmélet alapjai: spontán szimmetriasértés, Goldstone bozonok, Higgs mechanizmus, a W és a Z tömege és csatolásai, lepton és kvarkmultiplettek Bevezet Spontán szimmetriasértés Pl.: G = SU(2) és ϕ doublet ábrázolásban Goldstone-módusok Pl.: G = SU(2) és ϕ doublet ábrázolásban Higgs-mechanizmus Pl.: Lokális G = SU(2) komplex-skalár modell SalamWeinberg-modell A W ± és Z 0 bozonok tömege Lepton és kvark multiplettek Rácstérelmélet alapjai és alkalmazásai A rácstérelmélet alapjai A rácstérelméletek alapgondolata Mértékterek rácson Fermionok Számolási algoritmus Alkalmazások Sztatikus kvark-potenciál Hadronspektrum A QCD fázisdiagramja

5 Részecske detektálás alapelvei, tracking, kaloriameter 1.1 Nyalábok fajtái és el állításuk Az észlelni kívánt sugárzási forrásokat a következ képpen csoportosíthatjuk töltött részecskék - nehéz töltött részecskék (pl.: p +, α-részecske, atommagok) - könny töltött részecskék (pl.: e, e +, pionok (π ±,(0) )) semleges részecskék (pl.: n 0, ν) EM-sugárzás (γ) A tétel maga nem foglalkozik a sugárzások el állításával, azonban megemlítés szinten mégis érdemes tudni. p + elállítása: hidrogén egyetlen elektronjának eltávolításával p + marad vissza, vagy a kés bb tárgyalt β bomlás folyamán is keletkezhet. α-részecske el állítása: α-bomlás során keletkezik, mely bomlás alatt az atommagból egy 2n 0 2p + ( 4 He atommagja) részecske gy zi le a Coulomb-gátat, mely a Gamow által javasolt alagutazással magyarázható (felteszi, hogy az α-részecske egy az atommagon belül négyszögés azon kívül egy exponenciálisan lecseng potenciálban mozog, ekkor ha a részecske energiája nagyobb mint a négyszögpotenciál teteje, akkor véges valószín séggel kijut az α-részecske) 1. e, e + β, β + el állítása: a β-bomlás (n 0 p + + e + ν e ), illetve ezen folyamat átrendezettjeib l. ν, ν el állítása: a β-bomlás (n 0 p + + e + ν e ), illetve ez folyamat átrendezettjeib l, valamint ezekkel leptonikusan ekvivalens folyamatok. pionok "el állítása": kozmikus háttérsugárzásból jönnek. n 0 el állítása: magreakciók során, pl.: két deuteron d d 500keV energiás összelövéséb l (neutronok lassítására a bróm, vagy jód alkalmas). EM sugárzás el állítása: az atommag legerjeszt dése során egy γ sugárzást bocsájt ki, mely impulzusa az impulzus megmaradás alapján a következ értékeket veheti fel I gerjesztett I alap L γ I gerjesztett + I alap, (1.1) ahol L γ Z + (L γ = 1, 2, 3,... dipól, kvadrupól, oktopól,...). A létrejött sugárzás típusát a paritás megmaradásból adható meg { ( 1) π gerjesztett = π alap π γ, π γ = Lγ : elektromos típusú ( 1) Lγ+1 (1.2) : mágneses típusú ha egy folyamat során mágneses és elektromos megoldás is megengedett akkor gyelembe kell venni, hogy az elektromos sugárzások 1-gyel valószín bbek, mint a mágnesesek azaz E1 M2. 1 nagyobb rendszámú atomok esetén a proton is kiszökhet, ezzel analóg módon 1

6 1. tétel Részecskenyaláb/sugárzás és anyag kölcsönhatása Részecske detektálási módszerek f leg az elektromágneses kölcsönhatáson alapszanak, mivel az ilyen folyamatoknak a hatáskeresztmetszete lényegesen nagyobb, mint a gyenge- vagy er skölcsönhatásokénak Töltött részecskék és anyag kölcsönhatása A nehéz és könny részecskék együtt tárgyalhatóak, azonban a képletekben megjelen tömeg tényez b l látható, hogy melyik nyalábtípusra dominál az adott folyamat. Ahhoz hogy össze tudjuk hasonlítani a folyamatok gyakoriságát vezessük be a dierenciális hatáskeresztmetszetet dσ dω = 1 dn j dω, (1.3) mely megadja bizonyos értelemben annak a valószín ségét hogy ha [j] = 1 árams r ség m 2 s részecskenyaláb esik egy céltárgyra, akkor dω térszögben látható detektor [N] = 1 s beütést észlel. Ebb l már meghatározható a kölcsönhatás valószín sége P = nσ x := w x, (1.4) ahol n a céltárgy részecskes r sége, x a céltárgy vastagsága és 1 w a szabad úthossz. Rutherford-szórás A Rutherford-kísérletben α-részecskékkel (hélium atommagokkal) bombáztak vékony aranylemezt, és meglep eredményt kaptak: az α-részecskék kis hányada igen nagy eltérülést szenvedett. Ha az atommag belsejében az anyag többé-kevésbé egyenletesen oszlana el az akkor leginkább elfogadott mazsolás puding modell szerint, akkor az alfa-részecskék a lemezen, bár lassulva, de eltérülés nélkül haladnának keresztül, hasonlóan, mint a puskagolyó a vízben. Az α-részecskéknél néha jelent s irányváltozás volt meggyelhet. Többségük (miközben energiájuk egy részét elveszítették) egyenesen haladt át a lemezen, néhányuk iránya azonban jelent sen megváltozott elején Rutherford publikálta módosított atommodelljét, a Rutherford-féle atommodellt. A meggyelések szerint a szétszórt pozitív töltéssel rendelkez atom modellje helytelen volt, valójában a pozitív rész kis térfogatban összpontosul. Arra következtetett, hogy az atom dönt része üres, az atom nagy része egy kis térrészre, a magba koncentrálódik, és az elektronok ekörül a mag körül keringenek az elektrosztatikus vonzás hatására. Klasszikus számolással is már jó eredményt kapunk. A Rutherford-szórás egy b impaktparaméter részecske szórását írja le egy adott szórócentrumon. Legyen a részecske és a szórócentrum között egy V (r) = α/r vonzó kölcsönhatás. Az energia megmaradásból következik, hogy a szórási szög tan ( ) ϑ = α 2 mv0 2b, (1.5) ahol v 0 az m tömeg részecske kezdeti sebessége, így a szórási hatáskereszmetszet (hengerszimmetrikus esetben) σ(ϑ) = da dω = 2πbdb 2π sin(ϑ)dϑ = b(ϑ) db(ϑ) sin(ϑ) dϑ, (1.6) amib l a szórási hatáskeresztmetszet: ( α σ(ϑ) = dωσ(ϑ) = 4E kin. ) 2 1 sin 4 (ϑ/2). (1.7) Fontos megjegyezni, hogy amíg a számolás klasszikus volt, addig ez az eredmény még kvantumosan is fennál.

7 1. tétel 3 Bethe-Bloch-formula (ionizáció) Minden töltött részecske az anyagon való áthaladásakor energiát veszít, ezt a de dx fajlagos energia veszteséggel jellemezhetjük. Amire nagyságrendi becslést adhatunk a Bethe-Bloch formula segítségével. A Bethe-Bloch formulát a következ naiv modellb l származtathatjuk: vegyünk egy nehéz iont ami a közeg egy, kiszemelt elektronjától b impaktfaktor halad el. Valamint tegyük fel, hogy az ionunk pályája egyenes (nem találja el a magot és nem is vesszük gyelembe a kinyújtott hiperbola alakot), v =áll. azaz elég vékony a céltárgy ahhoz hogy jelent sen ne lelassuljon le az ion, valamint az az atomi elektron nem mozdul el (szemléletesen mondhatjuk azt, hogy er sen van kötve az atommaghoz). Mivel a probléma szimmetrikus, így az er vízszintes komponensének a hatása pont kiesik, tehát csak a pályára mer leges komponensét kell venni az ion és az elektron közt fellép er nek: p = F = k e2 Z cos(ϑ)dt, (1.8) r2 ahol Z az ion rendszáma, melyb l az egy darab elektronnak átadott energia: E 1 = p2 = 2k2 e 4 Z 2 2m e m e b 2 v 2. (1.9) Már csak azt kell meghatároznunk, hogy a legfeljebb "b" távolságra lév elektronoknak mennyi elektront ad le az ionunk. A falban b távolságra lév elektronok számát a következ képen adhatjuk meg: N(b) = 2πnbdbdx, (1.10) ahol n az atom elektron s r sége. Ebb l az ion energia vesztesége: de dx = 4πk2 e 4 Z 2 mv 2 0 db b, (1.11) ami logaritmikusan divergens. Tehát egy alsó és fels levágási határ; az ionizációs energiától a meglökési energiáig integráljuk ki, így: de dx = 4πk2 e 4 Z 2 mv 2 ln 2mv2. (1.12) E ion Ha gyelembe vesszük azt, hogy a számolásunk elég naiv volt, akkor a relativisztikus korrekciókkal a következ eredményt kapjuk: de dx = 4πk2 e 4 Z 2 ] [ln 2mv2 mv 2 ln(1 β 2 ) β 2. (1.13) E ion Összefoglalás képen azt mondhatjuk, hogy a leadott energia fordítottan arányos az ion tömegével 2. Valamint az ion rendszámával négyzetes n a leadott energia. Ezek alapján a megállási úthosszt a következ képen becsülhetjük meg: ahol A a közeg tömegszáma. Cserenkov-sugárzás R = E 0 dx de de E2 Z 2 A, (1.14) Ha a töltött részecske gyorsabban mozog mint a közegbeli fénysebesség (azaz ha 1 µε 1 ε < v), akkor Cserenkov sugárzást bocsájt ki (kékes fény). A sugárzás egy, a haladási iránnyal szemben álló kúp, melynek a kúp nyílásszöge (Mach-szög): cos θ = c v = c 0 nv = 1 nβ, (1.15) 2 a levezetés során sok egyszer sít feltevés tettünk melynek következtében a végeredmény csak nehéz ionokra m ködik

8 1. tétel 4 a sugárzás intenzitása pedig: I = 4π2 e 2 ) c 2 Z (1 2 c2 v 2 n 2. (1.16) Szemléletesen, úgy magyarázhatjuk az el z eredményt, hogy a bejöv részecske polarizálja a közeg atomjait. Az így keletkez dipólusok visszarendez dése során létrejön a sugárzás. Ha kicsi a részecske sebessége, akkor van id arra, hogy a dipólusok a részecske pályára szimmetrikusan rendez djenek vissza, így destruktív interferencia révén ne jöjjön létre sugárzás. A részecske forgáskúp tartományban sugároz, azaz a részecskéb l kiinduló sugárzási hullámok burkolója egy forgáskúp palástja mentén helyezkedik el. Fékezési sugárzás Gyorsuló, illetve lassuló töltés elektromágneses teret kell és a tér fenntartáshoz energia szükséges, melyet sugárzás formájában ad le, a sugárzás színképe tehát folytonos, a hullámhossz pedig minimummal rendelkezik: E ion = ν max. = hc. (1.17) λ min. Ezt gyorsítók esetében Larmor- vagy ciklotron-sugárzásnak nevezzük. Átmeneti sugárzás Az átmeneti sugárzás akkor lép fel, amikor a töltött részecske az n 1 törésmutatójú közegb l átlép egy ett l eltér n 2 törésmutatójú másik közegbe. A töltött részecske szempontjából ez látszólagos gyorsulásoknak t nik, és a gyorsuló töltés sugároz. A kibocsájtott energia E α -val arányos, ahol α a nomszerkezeti állandó és E a részecske energiája (Lorentz tényez ). Hadronikus záporok Nagy vonásokban a hadronikus záporok kifejl dése sok hasonlóságot mutat az elektromágneses záporokéhoz. A lényeges különbség az, hogy itt a részecskesokszorozás nem az elektromágneses, hanem az er s kölcsönhatás révén történik. A bejöv hadron az abszorber atommagjaival ütközve a mager k segítségével "robbantja" fel azokat, mivel a kirepül másodlagos részecskék maguk is hadronok, ezért a rögtön elbomló π 0 mezonok kivételével a további lépésekben is az er s kölcsönhatás irányítja a folyamatot. A kölcsönhatás eredményeként nemcsak elemi részecskék, hanem a magok felrobbanásakor hasadási termékként különböz izotópok is keletkeznek. A π 0 mezonok 2 fotonra való bomlása következtében általában minden hadronikus záporban megjelenik bizonyos elektromágneses részkomponens is a tisztán hadronikus (pl: π + ) mellett. A sokszorozódás addig folytatódik, amíg elérjük a pion keletkezési küszöböt. (Ez a folyamat természetesen semleges részecskékre is fennáll) Semleges részecskék és anyag kölcsönhatása A semleges részecskék az atommaggal hatnak kölcsön így detektálásukhoz az általuk indukált magreakciókat kell ismernünk. rugalmas szórás (lsd. Rutherford) rugalmatlan szórás, maggerjesztés - n 0 befogás: n 0 +(Z, A) γ+(z, A+1), mely hatáskeresztmetszetére 1 v +reakció csúcsok - indukált hasadás: a végtermékek a spontán hasadáshoz hasonlóak csak itt egy 3. fél is szerepet játszik. - hadronikus zápor: a már leírtak alapján zajlik a folyamat és a folyamat lépésszámát a következ képpen határozhatjuk meg. t = lépések száma = ln(e/e c) ln 2 - ν és n 0 esetén a β-bomlás illetve azok átrendezettjei (1.18)

9 1. tétel EM sugárzás és anyag kölcsönhatása Fotoeektus A fotoelektromos hatás (fotoeektus, fényelektromos jelenség) a küszöbszintnél nagyobb frekvenciájú elektromágneses sugárzás (például látható fény vagy ultraibolya sugárzás) által egy anyag (leginkább fém) felszínén lév elektronok kiváltása. Nincs elektronkibocsátás a határfrekvencia alatt, mert a foton nem tud elég energiát biztosítani ahhoz, hogy kilépjenek az atomos kötésb l. Az energiamegmaradás törvényét a következ Einstein-egyenlet írja le: T e = hν W ki, (1.19) ahol W ki a kilépési munka, hν a foton energiája és T e a kilép elektron mozgási energiája. A fotoelektromos hatás leginkább a bels héjakon következik be (mivel σ fotoe Z 5 ), így mindig társul hozzá egy szekunder folyamat is (mivel az atom nem szeret gerjesztett állapotban lenni). Compton-szórás Ha a foton nem nyel dik el teljesen, hanem csak szóródik az elektronon akkor azt Comptonszórásnak nevezzük. Az atomi elektronokat a szórás során szabadnak tekinthetjük, megfelel en nagy fotonenergia esetében az elektron atomi kötése elhanyagolható, az elektron szabadnak tekinthet. Az energia- és impulzusmegmaradás alapján meghatározhatjuk a foton energia változása és a szórási szög közti összefüggést (Compton képlet): Párkeltés hν = hν hν m ec 2 (1 cos θ). (1.20) A párkeltés és a szétsugárzás az anyag és az energia ekvivalenciájának bizonyítéka. Ködkamra felvételb l az látszik, hogy nagy energiájú γ-sugárzás hatására a ködkamra ugyanazon pontjából, egyszerre elektron és pozitron indul ki. Mérések alapján az ilyen elektron-pozitron pár keletkezéséhez vagy más néven a párkeltéshez legalább hf = 1.02 MeV energiájú γ-foton szükséges. A tömeg és az energia ekvivalenciája alapján (E = mc 2 ) egy elektron és egy pozitron tömegének 1.02MeV energia felel meg. A párkeltést tehát úgy kell elgondolni, hogy egy atommag közelébe (kell hozzá az atommag tere, mert különben nem lehetne négyes energia megmaradás) jutó γ-foton elt nik, és helyette elektron-pozitron pár keletkezik, miközben az összes energia, az összes töltés és az összes impulzus megmarad. Ha a foton energiája nagyobb, mint 1.02 MeV, akkor 1.02 MeV fordítódik a párkeltésre, és a fölösleges energia a pozitron és az elektron mozgási energiáját növeli. A párkeltés hatáskeresztmetszete a közeg rendszámának második hatványával skálázik. Összefoglalva Kis energiákon a fotoeektus dominál, majd egy E 1 küszöbenergiától a Compton-eektus és E 2 küszöbt l már a párkeltés. A Z rendszám növelésével a Compton tartomány csökken (E 1 n és E 2 csökken). 1.3 Detektorok A detektorok többsége ionizációs folyamatok vagy fényjelenségek mérésére készül, ugyanis az elektromágneses kölcsönhatás valószín sége nagyságrendekkel nagyobb, mint az er s vagy a gyenge kölcsönhatásé. Ez a fejezet egy rövid áttekintést szeretne nyújtani a részecskezikában használatos detektorokról Tracking detektorok A részecske pályájának meghatározása egy rendkívül fontos feladat, erre a célra szólgálnak az úgynevezett nyomkövet, avagy tracker detektorok.

10 1. tétel 6 Ködkamra Az els nyomkövet detektor a (Wilson-féle) ködkamra volt. M ködése során egy kamrában gyors kitágítás által túltelített g z keletkezik, amelyben kondenzációs magvak jelennek meg. Az ilyen metastabil állapotú anyagon áthaladó ionizáló részecskék nyomvonalán a cseppek összegy lnek, s r ségükb l pedig meghatározható a leadott energia (de/dx). Emulzió M ködése során a zselé szer anyagba tett ezüst-bromid vagy ezüst-klorid kristályok ionizáló részecske hatására felszakadnak, az így keletkezett lm el hívása után pedig a µm nagyságú ezüst szemcsékb l kialakult mintázat szabad szemmel vagy mikroszkóppal meggyelhet. Buborékkamra Nyomás alatt lév folyadékkal van töltve, nem sokkal a forráspont alá h tve. Egy ionizáló részecske pályája mentén ionizációs csoportok keletkeznek, amelyekb l a kamra nyomásának rövid id re történ csökkentésével (túlhevítést elérve) buborékok keletkeznek és n nek. A kialakult állapot lefényképezése után a nyomás visszaállítható, újabb mérésre el készíthet. Gáztöltés (proporcinális) számlálók A töltött részecskék gázokban haladva elektron-ion párokat hoznak létre. A berendezésben inhomogén elektromos teret hoznak létre. A tér hatására az elektronok egyenesen az anódszál irányába haladnának, de a gázatomokkal való ütközések valamelyest lelassítják a folyamatot. Elég közel az anódszálhoz két ütközés között elegend energiára tesznek szert ahhoz, hogy egy újabb elektront üssenek ki a semleges atomból. Ez a folyamat többször megismétl dik, így az elektronok száma exponenciálisan növekszik, miel tt elérnék az anódszálat. Tölt gázként leginkább nemesgázokat szokás használni, ionizációs potenciáljuk ugyanis megfelel en alacsony. A gáztöltés detektorok az anódfeszültség függvényében nagyon eltér módon tudnak m ködni. Alacsony feszültségek mellett az elektronok és az ionok között a rekombináció jelensége dominál, az eszköz nem ad mérhet jelet. Növelve a feszültséget az ionizáció által keltett elektronok a szálra sodródnak (driftel dnek), sokszorozódásra viszont nem kerül sor. Tovább növelve az anód feszültségét a szál közelében már elég nagy a tér a sokszorozódáshoz, a jel így az ionizáció energiájánál jóval nagyobb, de azzal arányos (proporcionális) érték. Ebben a tartományban a detektort proporcionális számlálónak nevezik. Magasabb feszültségértékeknél a jel proporcionális jellege fokozatosan elt nik és a kezdeti ionizációtól függetlenül mindig ugyanakkora érték lesz (Geiger-Müller számláló). Gáztöltés detektorfajták MWPC - sokszálas proporcinális számló (pontosabb helyfelbontás) TPC - id projekciós kamra (lyan gáztöltés detektor, amelyben az ionizáció által keltett elektronok homogén elektromos tér hatására egy kétdimenziós kiolvasó rész segítségével megmondható hogy kb hol és mikor érkezett be a részecske) Részecskeazonosító detektorok A részecskeazonosítás (particle identication, PID) általában közvetett tömegméréssel valósul meg, ami történhet például az impulzus és az energia, vagy az impulzus és a sebesség együttes mérésével, így a közöttük lév összefüggések alapján a tömeg már egyértelm en meghatározható. Repülési id -mér k Mágneses térben a töltött részecskék pályája a Lorentz-er miatt görbült, ennek mértéke az impulzus nagyságától függ. Típusuk (és tömegük) ezért csak a pálya alapján nem határozható meg. Tudjuk azonban, hogy az m tömeg és p impulzusú részecske L távolságot t = L βc = L p p 2 +m 2 c 2 c

11 1. tétel 7 id alatt tesz meg, t tömegfüggése tehát mérhet, ezen az elven m ködnek a repülési id -mér (Time of Flight) detektorok. A részecskék detektálása általában szcintillátorokkal történik Cserenkov-detektorok Ha a töltött részecskék akkora mozgási energiával rendelkeznek, hogy sebességük meghaladja a közegbeli fénysebességet, elektromágneses sugárzást bocsátanak ki, amely kúp alakban, a részecske haladási irányával cos(θ) = c 0 vn szöget bezárva terjed tovább. Itt v a részecske sebességét, c 0 /n pedig a közegbeli fénysebességet jelöli (n a közeg törésmutatója). A sugárzás szögeloszlásából meghatározható a részecske sebessége. Kaloriméterek A detektorok küls rétegét általában kaloriméterek alkotják. Ezeknek a feladata az érkez részecskék elnyelése, és a megállási út tudatában, az energiájuk meghatározása. A müon az egyetlen részecske, amely átjut a kaloriméterek több méter vasnak megfelel anyagvastagságán.

12 2. tétel 8

13 Gyorsítok és nyalábok (x target, ütköz nyalábok, e, p + ) 2.1 Gyorsítók A bemutatásra kerül gyorsítók töltött részecskék gyorsítására alkalmasak. A gyorsítani kívánt részecskéket fajtájuk szerint különböz képpen állíthatjuk el : elektron el állítása: pl.: katódsugárcs pozitron el állítása: pl.: elektron ütköztetések, párkeltés, Na-22 pozitron sugárforrás proton el állítása: pl.: hidrogén gáz ionizálása antiproton el állítása: pl.: 7Gev-es p + + p + p + + p + + p + + p + ütközések ionok el állítása: pl.: atomok ionizálása Minden gyorsító alapelve a F (t) = q (E(t) + v(t) B(t)), (2.1) er n alapszik. Az elektromos térrel gyorsítják a részecskéket, míg a mágneses térrel tartják ket a megfelel pályán Egyenáramú gyorsítók Az egyenfeszültséggel m köd gyorsítókat egyenáramú gyorsítóknak nevezzük, mivel folyamatos részecskenyalábot képes el állítani, míg a váltófeszültséggel m köd ket pulzált gyorsítóknak nevezzük, mert csak részecskecsomagok gyorsíthatók vele, nem érhet el folytonos nyaláb. Az egyenáramú gyorsítók közé tartozikik például: katódsugárcs, Röntgen-cs, Van de Graagenerátor. Van der Graa A generátorban egy végtelenített, szigetel b l (általában gumiból) készült szalag van kifeszítve két görg között. Az alsó fémb l, a fels görg általában plexib l készül. Az alsó görg forgatásával a gumikötelet forgatjuk a plexi görg n, ennek hatására dörzselektromos úton a fels plexigörg r l leváló szalag negatív töltés lesz. A alsó, fémgörg r l leváló szalag pedig pozitív töltés lesz. A csúcshatás elvén m köd kefék segítségével ezeket a töltések két különböz gömbre vezetjük ki. És az így fellép elektrosztatikus térrel a töltött részecskéket gyorsíthatjuk: F = Eq (2.2) Egy síkkondenzátor két fegyverzete között fellép elektomos tér nagysága: E = 1 ε 0 Q A Az els ilyen részecskegyorsítót és annak Van de Graa-generátorát Simonyi Károly magyar zikus építette meg 1951-ben a Soproni Egyetemen. Ez a generátor eredetileg 750 kv feszültséget állított el. A VDG generátorok 10 Mev nagyságrendben m ködnek. 9 (2.3)

14 2. tétel 10 Tandem gyorsítók Lényegében kett, vagy több egymás után kötött lineáris gyorsító. Tehát mindegyik lineáris gyorsító hat a maga (2.2) erejével a kiszemelt töltésre. El nye, hogy nem kell nagy térer sséget létrehozni Pulzált gyorsítók Egyenáramú gyorsítókkal nem lehet tetsz legesen nagy energiákat elérni. Ha a feszültséget egy bizonyos érték fölé emeljük, akkor koronakisülés (a közvetlen környezetben lév gáz ionizálódik, ún. "hideg plazma") jön létre, és az így elveszett töltést folyamatosan pótolni kell. LinAc - Lineáris gyorsító A lineáris gyorsítóknak nevezzük azokat a pulzált gyorsítókat, amelyben a töltött részecskéket egy egyenes mentén gyorsítják. Így jött az ötlet, hogy váltakozó feszültséget használjanak, rezonancia gyorsítók. A LinAc gyorsító több gyorsítóelemb l, úgynevezett driftcs b l áll. g. 2.1: LinAc drift csövei A driftcsövek között hézagok vannak, amelyben ez elektromos mez iránya rendszeresen változik olyan ütemben, hogy az odaérkez részecskét mindig gyorsítsa (látható, hogy azonos frekvenciájú polaritásváltás során egyre hosszabb csövek kellenek, mivel a részecske egyre gyorsabb lesz), ezáltal a mozgási energiáját viszonylag kis lépésekben növelni tudja. Amíg a részecske a driftcsövekben tartózkodik, addig nem hat rá er, mivel az Faraday-kalitkaként viselkedik. Ilymódon olyan energiára lehet gyorsítani a részecskét, amely egyetlen gyorsítóelemmel nem érhet el. Ciklotron A ciklotron olyan részecskegyorsító, amelyben töltött részecskék (például protonok, ionok) mágneses tér hatására spirális pályán haladnak belülr l kifelé. Minden egyes körbefordulás során a váltóáram elektromos tere kétszer gyorsít a részecskén, egyre nagyobb sugarú körpályára juttatva azt. Olyan frekvenciával változtatják az elektromos teret a két D között, hogy a részecskét mindig gyorsítsa, amikor áthalad rajta. Végül egy megfelel töltés lemez segítségével a részecskét kihúzzák a gyorsítóból további felhasználásra.amíg nincs jelent s relativisztikus tömegnövekedés, addig állandó frekvenciájú váltóáram megfelel a gyorsításhoz, a frekvencia független a sebességt l: ez az úgynevezett ciklotronfrekvencia. A töltött részecske centripetális mozgását a mágneses tér által kifejtett er biztosítja: amib l a következ körfrekvenciát kapjuk: mv 2 = Bvq (2.4) r ω = v r = Bq m (2.5)

15 2. tétel 11 g. 2.2: Ciklotron - Dék lemezek A sugár n a sebességgel. A ciklotron frekvencia független a pálya sugarától, illetve a részecske sebességét l, ami lehet vé teszi állandó frekvenciájú RF generátor használatát. Szinkrotron Míg a ciklotronban állandó mágneses teret használnak és állandó frekvenciájú elektromos teret, addig a szinkrotronban mindkett t úgy változtatják, hogy a részecske pályája állandó sugarú legyen Vizsgálati módszerek A gyorsítók termékeit különféle szerkezetvizsgálati módszerekre alkalmazzák. A töltött részecske az karakterisztikus hullámhosszával megegyez tartományban tudja letapogatni a világot: ahol hc 197 MeV PIXE - részecske indukált röntgen-emisszió λ = p = c pc = c (2.6) E2 m 2 c 4 A vizsgálandó mintát gyorsítóból nyert töltöttrészecske nyalábbal sugározzák be, és vizsgálják a mintában lév targetatomok legerjeszt dése során kibocsátott röntgensugárzást. A PIXE olyan kis energiájú részecskegyorsítóra épül, amelyen protonokból (protonoknak kisebb a háttérsugárzása, mint az elektronoknak), vagy néhány esetben héliumból és nehezebb ionokból álló nyalábot lehet el állítani. Analitikai célokra általában Van de Graa típusú gyorsítók 2-3 MeV-es protonnyalábját használják. 2.2 Relativisztikus kinematika Az elkövetkez fejezetekben = c = 1 egységrendszert használok. A folyamatok során a részecskék tömeghéjon mozognak, azaz minden id pillanatban tejesül rájuk a tömeghéj feltétel: E 2 i p 2 i = m 2 (2.7) valamint érdemes TKP-i rendszerben dolgozni, mert ekkor minden sokkal egyszer bbé válik ( ) ( ) p µ TKP := ETKP M = 0 0 (2.8) ahol M a rendszer össztömege, 0 pedig a rendszer össz 3-asimpulzusa (csak akkor írható fel ilyen alakban a p µ, ha id szer eseményeket vizsgálunk, azonban ez zikai rendszerekre teljesül). Minden

16 2. tétel 12 rendszer jellemezhet a M 2 = E 2 TKP = p µ TKP ptkp µ = p µ p µ (2.9) a tömegközépponti energiával, ami Lorentz-skalárral. Továbbá a számolások során felhasználjuk, hogy a folyamat két végállapotára teljesül az energiaés impulzusmegmaradás Fix target Vegyünk egy álló m tömeg céltárgyat és erre l jünk rá egy másik m tömeg részecskét T kinetikus energiával és p impulzussal. Ekkor a labor rendszerben a négyes impulzus: ( ) p µ m + (T + m) labor = (2.10) 0 + p amib l a már invariáns tömegközépponti energia s = E 2 TKP = p µ labor plabor µ = (2m + T ) 2 p 2 = 4m 2 + T 2 + 4mT p 2 (2.11) a tömeghéj feltétel segítségével a kifejezhet és vissza helyettesítve a (2.11) egyenletbe: p 2 = m 2 + E 2 lövedék = m 2 + (m + T ) 2 (2.12) s = 2m(m + T ) = 2mE lövedék (2.13) Tehát x targetes ütközések során az E TKP tömegközépponti energia a lövedék E lövedék energiájának a gyökével arányos Ütköz nyalábok Két azonos tömeg és E nyaláb = T + m energiájú nyaláb összelövése során a tömegközépponti négyesimpulzus ( ) ( ) p µ E + E 2E labor = = (2.14) p p 0 melyb l a tömegközépponti energia s = p µ labor plabor µ = 4E 2 nyaláb, (2.15) azaz az ütköz nyalábos kísérletek energetikailag kedvez bbek, mivel az E TKP tömegközépponti energia arányos az E lövedék nyaláb energiájával, azonban a hatáskeresztmetszete kisebb mint a xtárgyas kísérleteknek, mivel az álló targetet jobban össze lehet s ríteni.

17 Komplex detektorrendszerek, hardver, szoftver, egy korszer detektorrendszer ismertetése 3.1 Alapelvek, a hagymahéj-struktúra Ütköz nyalábos kísérleti detektorrendszerek jellemz kialakítása a hagymahéj szerkezet, mely a térszög minél nagyobb részét lefedi. Fix céltárgyas kísérletek esetén a detektorok a céltárgy mögött helyezkednek el az el reszórás irányában. Az ütközési pontból induló töltött részecskék pályájának és impulzusának mérésére szolgál a legbels nyomkövet rendszer, mely állhat többféle, az el z ekben leírt nyomkövet detektorból. Egy ilyen rendszerrel kapcsolatos elvárások, hogy könny elemekb l készüljön, melyen a részecskék nagyon kis energiaveszteséggel és kevés szóródással haladhatnak át. A nyomkövet rendszer általában mágneses térben helyezkedik el az impulzus meghatározásához. Az elektronok és fotonok energiájának mérésére szolgál az elektromágneses kaloriméter, melyben elektromágneses záporok mennek végbe. Ezzel kapcsolatos elvárások a jól szegmentáltság és a néhány sugárzási hosszt elér méret. A hadronok energiáját a hadronikus kaloriméterrel mérjük, mellyel kapcsolatban hasonló elvárások támaszthatók, mint az elektromágneses kaloriméterrel kapcsolatban. Részecske azonosítás a rendszerben több helyen történhet a részecske fajtájától függ en. A bels nyomkövet detektorban az energiaveszteség (de/dx) alapján választhatók el egymástól egyes töltött részecskék pl. pionok, kaonok, protonok. Az elektronok és pionok szétválasztására használhatunk átmeneti sugárzás detektorokat ugyancsak a nyomkövet rendszer részeként. A nyomkövet rendszerhez tartozó mágneses téren kívül használhatóak a repülési id detektorok is. A müon az egyetlen olyan részecske, ami nem nyel dik el a kaloriméterekben, tehát a müon detektorok általában a detektor küls részén helyezkednek el. Ezeken a f detektorokon kívül a nagy detektorrendszerek része még az esemény válogatásra, illetve esemény karakterizációra szolgáló detektorok. Például egy minimum bias trigger, ami minden inelasztikus proton-proton ütközést jelez, általában az ütközési pont mindkét oldalán a forward régióban található egyszer, nagyon hatékony, gyors detektor. Fix céltárgyas nehéz-ion ütközésekben hasonló célú detektor általában a veto detektor, ami a nyaláb folytatásában van, és vétózza azon eseményeket, amikor a bombázó részecskék nem térültek el, vagyis ne történt ütközés. Ezután a néhány példa után lehet egy képünk arról, hogy milyen komplex egy részecske- és nehéz-ion zikai detektorrendszer felépítése. Ebben a fejezetben bemutatunk néhány példát a világban folyó nagy kísérletekb l, majd a fejezet végén röviden kitérünk a más alapelveket követ neutrínózikai kísérletekre is. 3.2 Detektorrendszerek BNL RHIC A Brookhaven Nemzeti Laboratórium (BNL) részecskegyorsítóinak legnagyobb tagja a relativisztikus nehéz-ion ütközet (RHIC). A RHIC gy r je 4 km kerület, melyben a nyalábok hat 13

18 3. tétel 14 ponton keresztezik egymást. A berendezés 2000-ben kezdte meg m ködését négy kísérleti kollaborációval. A PHOBOS és a BRAHMS kísérleti programja már lezárult, ma a PHENIX és a STAR kísérletek m ködnek már több, mint tíz éve. Ezalatt az id alatt a két detektor felépítésében a mérési céloknak megfelel en történtek kisebb nagyobb változtatások. PHENIX A PHENIX (Pioneering High Energy Nuclear Interaction experiment) detektor követi az általános elveknél leírt hagymahéj szerkezetet. Az középs részben ütközési ponttól kifelé a következ detektorok találhatóak egymást követ rétegekben: Drift kamrák (DC) a részecskepályák és a részecskék impulzusának meghatározásához Pad kamrák (PC) a részecskék pozíciójának pontos méréséhez Ring Imaging Cherenkov (RICH) detektorok részecskék azonosítására Repülési id (TOF) detektor a 120 ps id felbontással a pionok és kaonok szétválasztására Elektromágneses kaloriméter (EMCAL) az elektronok és fotonok energiájának mérésére Az elektromágneses kaloriméternek két része van egy mintavev és egy homogén kaloriméter. A mintavev kaloriméter egymást követ ólom és szcintillátor rétegekb l épül fel. A homogén kaloriméter egy ólomüveg detektor, aminek jobb a felbontása, de drágább az el állítása. Az ólomüvegben Cherenkov fény keletkezik, melyet fotoelektronsokszorozók olvasnak ki. Az események karakterizálására szolgáló detektor a beam-beam counter (BBC), mely az egyik legfontosabb trigger detektor is. Az id felbontása körülbelül 40 ps, mely gyors triggerjelet szolgáltat. Az ütközési ponthoz közel helyezkedik el a két hat-hat szegmensb l álló detektorelem. A detektorban leadott össztöltésb l következtethetünk a nehéz-ion ütközés centralitására, a részecskék irányeloszlásából a reakciósíkra és a két detektor koincidenciája adja a triggerjelet. A zero-degree kaloriméter (ZDC) egy hasonló célokat szolgáló hadronikus kaloriméter, mely 100 m-re helyezkedik el az ütközési ponttól, így a semleges neutronokat tudja mérni, melyek az ütköz ionokról repülnek le. A PHENIX mágnesén kívül a nyalábra mer leges irányban találhatóak a müonok azonosítására és impulzusuk mérésére szolgáló detektorok. STAR A STAR (Solenoidal Tracker At RHIC) detektor, ahogy a nevéb l is látszik, a részecskék pályájának minél pontosabb mérésére speciálizálódott. A STAR részdetektorai: Szilícium vertex detektor Id projeciós kamra Repülési id detektor Elektromágneses kaloriméter Forward id projekciós kamra CERN LHC A Nagy Hadronütköztet egy 27 km kerület alagútban található m mélyen a föld alatt a CERN-i gyorsító komplexum legnagyobb tagjaként. Az els 7 TeV tömegközépponti energiájú proton-proton ütközések 2010 márciusában kezd dtek. A két egymással szemben köröz nyaláb négy ütközési pontban találkozik a négy nagy LHC kísérletnél: ALICE, ATLAS, CMS, LHCb. Ezeken kívül két kisebb kollaboráció m ködik az LHC-n, a TOTEM és az LHCf, melyek a CMS és az ATLAS ütközési pontokban történt ütközésekben keletkez nagyon el re szórt részecskéket tudják detektálni.

19 3. tétel 15 CMS A CMS (Compact Muon Solenoid) kísérlet a legnehezebb detektor a maga tonnás tömegével. A detektor kialakítása követi a bevezet ben leírt hagymahéj szerkezetet, 21,6 m hosszú és 14.6 m átmér j. Egyik különlegessége a 4 T er sség szolenoid szupravezet mágnes, melyet tonna vas vesz körül, ami visszafordítja a mágneses teret. A nyalábcs t l kifelé haladva a következ detekoregységek találhatóak a szupravezet szolenoidon belül: Bels nyomkövet detektor (Inner Tracker) - pixel illetve csík (strip) detektorok: a töltött részecskék impulzusának mérése, els dleges illetve bomlási vertexek meghatározása. Elektromágneses kaloriméter (ECAL): elektronok és fotonok elnyelésével energiájuk mérése. Hadronikus kaloriméter (HCAL): a müonokon kívül minden részecske elnyelésére és energiájuk mérése. A szolenoidon kívül a vas elemek között találhatóak a müon detektorok, melyek a müonok azonosítására és impulzusának mérésére szolgálnak. Ezek a detektorok teljesen körbeveszik az ütközési pontot, lefedik a 2π azimuthális szögtartományt. Nagy pszeudorapiditású el reszóródott (forward) részecskék detektálására szolgáló detektorok találhatóak még a detektor két végénél: a HF (Hadron Forward Calorimeter), a ZDC (Zero Degree Calorimeter), a BSC (Beam Scintillator Counter) és a CASTOR. Ezeknek fontos szerep az események válogatásánál (triggerelés) és karakterizációjánál jut. A bels nyomkövet rendszer egy 200 m 2 érzékeny felület szilícium detektor, ami precíz és hatékony méréseket tesz lehet vé. A kölcsönhatási pont körül elhelyezked 5.8 m hosszú és 2.5 m átmér j detektor két féle technológiával készült elemeket tartalmaz. A pixel detektor 3 rétegb l a hordó részben (barrel) és 2 lemezb l a végsapkáknál (endcap) áll. A nagy szegmentáltságnak és jó id felbontásnak köszönhet en a 25 ns-onként egyszerre történ ütközés vertexét szét lehet választani. A csík (strip) detektor 10 hordó réteget és 9 végsapka lemezt tartalmaz, melyekben modul található. Az elektromágneses kaloriméter egy hermetikus homogén kaloriméter, amely ólom-volframát kristályból áll a hordó részen, amit 7324 kristály zár le a végsapkákban. A kristály szcintillátorokat fotodiódák olvassák ki. A nagy s r ség kristály használata lehet vé teszi, hogy a detektor gyors, jól szegmentált és ellenálló legyen a sugárzással szemben. A CMS-nek négy féle hadron kalorimétere van: a hordó részbeli HB a szolenoidon belül, a végsapka HE, a küls HO a szolenoidon kívül és az forward HF. A kaloriméterek feladata az eseményben keletkezett jetek azonosítása, és energiájának mérése, illetve a hiányzó transzverz energia meghatározása. A HB egy mintavev kaloriméter, ahol bronz elnyel (absorber) rétegek és a szcintillátor rétegek követik egymást. A szcintillátorok jól szegmentáltak, így egy szegmens mérete ( η, φ) = (0.087, 0.087). A HE is mintavev kaloriméter, mely pszeudorapiditásban a HB folytatása. A HO, küls kaloriméterre azért van szükség, mert a szolenoid belül lév kaloriméterek nem tudják teljesen elnyelni a nagy energiájú záporokat. A HO a vas gy r k közé beépített detektor vas absorber rétegekb l szcintillátor lapokkal. A HF érdekessége, hogy Budapesten készült. Ennek a kaloriméternek fontos szerepe van a luminozitás meghatározásánál illetve a nehéz-ion ütközésekben a triggerelésnél és a centralitás meghatározásánál. A HF 11,2 m távolságban helyezkedik el az ütközési ponttól, ezzel lefedve a 3 < η < 5 pszeudorapiditás régiót. Az detektorban aktív anyagként kvarc szálak találhatóak, melyek jól bírják a hatalmas sugárzást. A CMS neve alapján is a müonok detektálására nagy hangsúlyt fordít, mert a müonokat egyszer azonosítani, és nagyon sok érdekes zikai jelenség tiszta jelei lehetnek. A müonokat detektáló rendszer három féle gázdetektorból épül fel, melyek célja a müon azonosítás, müon impulzus mérés és triggerelés. A hordó részben egyszer drift kamrák (DT) mérik a müonok pályáját, mert itt a háttér valószín sége és a müonhozam kicsi. Az egymás mellett lév kamrák átfednek egymással, hogy ne legyen holttér a detektálási hatásfokban. A végsapkáknál, ahol a müonhozam és a háttér is jelent sebb, valamint nem uniform a mágneses tér, CSC (cathode strip chamber) típusú kamrákat használnak a müonok detektálására. Ezeket a müonkamrákat egészítik ki az RPC (resistive plate chamber) detektorok, melyeknek a nagy energiájú müonos események kiválogatásánál van szerepük.

20 3. tétel 16 ATLAS Az ATLAS (A large Toroidal LHC ApparatuS) detektor négy f részb l áll: Bels detektor, mely a töltött részecskék impulzusát méri Kaloriméter, mely a részecskék energiáját méri Muon spektrométer, mely azonosítja a müonokat és méri az impulzusukat Mágnes rendszer, mely elgörbíti a töltött részecskék pályáját az impulzusméréshez A bels detektor nagy felbontású detektorok és nyomkövet detektorok kombinációja, melyek mind a középs, 2 T er sség szolenoidban helyezkednek el. A legnagyobb szegmentáltságot a vertex régió körül lév szilícium pixel detektorok érik el, amiket a szilícium csík detektorok követnek. Tipikusan minden pályához három pixel és négy strip beütés tartozik, amiket 36 nyomkövetési pont követ a straw tube tracker-ben. A bels detektor küls sugara 1,15 m és a teljes hossza 7 m. A hordó részben a precíziós detektorok koncentrikus henger alakban helyezkednek el a nyalábcs körül, a végsapka részben pedig a modulok a nyalábirányra mer leges lemezekre vannak er sítve. A hordó részben gázdetektor szálai párhuzamosak a nyalábiránnyal, és a szálak közötti xenon gáz teszi lehet vé az elektronok azonosítását átmeneti sugárzás révén. A kaloriméter a töltött és semleges részecskék energiáját méri. Fém lapokból (absorber) és érzékel elemekb l áll. Az elnyel rétegekben részecskezápor alakul ki, melyet az érzékel elemek detektálnak. A kaloriméter bels részében folyékony argon az érzékel, amiben a záporok elektronokat keltenek, amiket az elektronika összegy jt. A küls részben szenzorként plasztik szcintillátorokat használnak. A müon spektrométer körbeveszi a kalorimétert és a müonok pályáját méri, hogy nagy pontossággal meghatározza az impulzusukat. Töltött részecske detektorok ezreib l épül fel, melyek hasonlóak a bels detektor szálaihoz, de nagyobb a csövek átmér je. Az ATLAS mágneses rendszere két részb l áll. A középs szolenoid 5,3 m hosszú és 2,4 m átmér j szupravezet mágnes, mely 2-2,6 T mágneses teret képes létrehozni. A toroid mágneses rendszer 8 hordó tekercsb l áll, melyeknek saját krisztátja van, és 2 végsapka kriosztátból, melyekben 8-8 tekercs van. ALICE Az ALICE (A Large Ion Collider Experiment) kísérlet, ahogy a nevében is van, az LHC nehézion kísérlete. A detektorrendszer középs hordó része az L3 kísérlett l megörökölt szolenoid mágnesbe van beépítve. Belülr l-kifelé a hordó részei: bels nyomkövet rendszer (ITS), mely hat réteg nagy felbontású szilícium pixel (SPD), drift (SDD) és strip (SSD) detektorból áll henger alakú id projekciós kamra (TPC) három sor részecskeazonosításra szolgáló detektor: repülési id detektor (TOF), ring imaging Cherenkov detektor (HMPID), átmeneti sugárzás detektorok (TRD) két elektromágneses kaloriméter: PHOS és EMCal Minden detektor kivéve HMPID, PHOS és EMCal az egész azimutális szögtartományt lefedik. A forward müon karban absorber rétegek, egy nagy dipól mágnes és 14 réteg nyomkövet és trigger kamrák találhatóak. Sok egyéb kisebb detektor helyezkedik el kis szögeknél (ZDC, PMD, FMD, T0, V0), melyek feladata a globális esemény karakterizáció illetve triggerelés. Egy sor szcintillátort (ACORDE) az L3 mágnes tetején használnak kozmikus sugarak azonosítására. LHCb Az LHCb (Large Hadron Collider beauty experiment) detektorrendszere kivételt képez az eddig leírtakhoz képest. A kísérlet célja a B mezonok (b kvarkot tartalmazó részecskék) vizsgálata, melyek ha keletkeznek proton-proton ütközésben, akkor a nyalábcs höz közel indulnak el

21 3. tétel 17 az ütközési pontból, ezért a 20 méteres detektor a nyalábcs re mer leges rétegekb l épül fel. Az ütközési pont körül helyezkedik el a vertex detektor (VELO), mely 42 szilícium detektorelemb l épül fel. Feladata a rövid élettartamú B mezonok bomlási vertexének 10 µm pontos meghatározása. A VELO érdekessége, hogy mindössze 5 mm-re helyezkedik el a nyalábtól, emiatt ki kell venni a detektort, amíg az ütköz protonnyalábok nem stabilak. Két RICH detektor helyezkedik el az LHCb er s mágnesének két oldalán, melyet részecskeazonosításra használnak. A mágnes, mely az impulzusmérést teszi lehet vé, két nagy alumínium tekercsb l készült. Az LHCb nyomkövet rendszere négy nagy négyszöglet részb l áll, melyek egyenként 40 m 2 területet fednek le. Kétféle detektor technológiát alkalmaztak. A szilícium tracker, ami a nyalábcs höz közel helyezkedik el, szilícium strip detektorokat használ. A küls tracker, ami távolabb helyezkedik el a nyalábcs t l, több ezer szálas gázdetektorokból épül fel. Az LHCbnek is kétféle kalorimétere van, az elektromágneses és a hadronikus kaloriméter. Mindkét kaloriméter mintavev technológiájú, tehát fém és plasztik rétegekb l áll össze. Mivel a B mezonok bomlásaiban gyakran vannak müonok, ezért a müonok detektálása nagyon fontos a kísérletnek. A detektor távoli végén helyezkednek el a müonkamrák, melyek körülbelül 435 m 2 területet fednek le. A kamrákban lév gáz szén-dioxid, argon és tetraour-metán keveréke Neutrínózikai kísérletek A neutrínókat tartalmazó folyamatok hatáskeresztmetszete igen kicsi, még hozzájárul az is, hogy az Univerzumból származó neutrínók intenzitása igen alacsony, ezért a háttér nagyon súlyosan esik latba. Ilyen esetekben a detektorokat több kilométerre a földfelszín alá, bányákba vagy tavak, tengerek mélyére telepítik, ahol a detektor feletti föld-, illetve vízréteg kisz ri a kozmikus sugárzás zavaró hatásait. Viszont a neutrínóknak mindez nem jelent akadályt, könnyen bejutnak a detektorba. A neutrínódetektorok alapvet en két típusba sorolhatók: Cserenkov-detektorok: szcintillációs-detektorok: A detektálást során a következ kölcsönhatásokból valamelyiket szoktál általában felhasználni: A neutrínó rugalmas szóródása (e, p +, atommagon) inverz β-bomlás illetve annak átrendezettjei Kamiokande A Super-Kamiokande 1000 méterrel a földfelszín alatt helyezkedik el a Mozumi bányában (Kamioka Mining and Smelting Co.), Japán Gifu megyéjében tonna tiszta vizet tartalmaz melyet nagyjából darab 20 inch átmér j fotoelektron-sokszorozó vesz körbe. (A vizet a kit n ár/törésmutató arány miatt használják.) Henger alakú, mely 42 m magas és 39 m átmér j. A neutrínó kölcsönhatva a víz egy atommagjának protonjával vagy neutronával ν l + n 0 l + p + ν l + p + l + + n 0 (3.1) létrehozhat egy a vízbeli fénysebességnél gyorsabban mozgó részecskét: müont vagy elektront. Az így keletkezett részecske Cserenkov-sugárzását gyelik a fotoelektron-sokszorozók.

22

23 Néhány kiemelked en fontos kísérlet (P, CP, J/Ψ) ismertetése 4.1 P sértés, CP sértés A részecskezika három alapvet tükrözési szimmetriája, a töltés, a tér és az id tükrözésével kapcsolatos. A P-tértükrözés ellenkez jére fordítja a térkoordináták el jelét, ami annak felel meg, mintha a rendszert a szokásos jobbkezes koordinátarendszer helyett balkezesben írnánk le. A T- id tükrözés az id koordinátát fordítja ellenkez jére. A C-töltéstükrözés részecskéb l antirészecskét csinál, tehát valamennyi töltés-típusú kvantumszám el jelét megfordítja. Egy függvény páros, ha tértükrözés hatására nem voltozik, és páratlan, ha azonos abszolút érték mellett el jelet vált. Összetett rendszerekben az alkotórészek paritásai összeszorzódnak. A zika jelenlegi állása szerint a három tükrözés együttes alkalmazása nem változtatja meg egy szabad zikai rendszer mérhet tulajdonságait, azaz egy szabad antirészecske matematikailag úgy kezelhet, mint egy térben és id ben visszafelé mozgó részecske. A CPT -invariancia a térelmélet egyik alaptétele, sértéséhez olyan alapvet zikai feltevésekr l kellene lemondanunk, mint a Lorentz-invariancia vagy a kauzalitás Paritássértés és a V-A elmélet A paritássértést a Θ, τ rejtély kapcsán vették el ször észre, ez volt az els olyan meggyelt folyamat ami egy diszkrét szimmetriát sértett. Majd a rejtély feloldásának kísérleti bizonyítékára Tsung-Dao Lee és Chen-Ning Yang több kísérletet, köztük a Co-60 β-bomlásátnak vizsgálatát javasolta, mely során igazolódni látszott a sejtésük. A Θ, τ rejtély A paritássértés felfedezése a Θ-τ paradoxonnak köszönhet. Meggyeltek két részecskét, amelynek valamennyi tulajdonsága azonos volt a paritásuk kivételével, ugyanis Θ π + π 0 π Θ = ( 1)( 1) (4.1a) τ π + π π + π τ = ( 1)( 1)( 1) (4.1b) Tehát a π Θ = 1, míg π τ = 1. Tsung-Dao Lee és Chen-Ning Yang azt feltételezték hogy a τ és a Θ ugyanaz a részecske (amit ma K + mezonnak hívunk), viszont a gyenge kölcsönhatás sérti a paritásmegmaradást; és javasoltak néhány kísérletet a paritássértés ellen rzésére. Paritássértés kísérleti igazolása Az els kísérleti igazolás Chien-Shiung Wu asszony nevéhez f z dik, mely során Tsung-Dao Lee és Chen-Ning Yang javaslatára Co-60 izotópot mágneses térbe helyezve leh töttek csaknem az abszolút zérusig (0,1 K alá), és annak a β-bomlását tanulmányozták. Leon Lederman csoportja, hallván a Wu-kísérlet els eredményeir l, azonos elvekre épül, azonban kísérletileg sokkal egyszer bb mérésbe kezdtek. Pion β-bomlását nézték π + µ + ν µ π µ ν µ (4.2) 19

24 4. tétel 20 A müonok polarizáltan keletkeznek: mivel a pion spinje zérus és a keletkez leptonoké 1 2, az impulzusmegmaradás miatt a müon és a neutrínó spinje egymással szemben fog állni. Az impulzus beállásra viszont azt tapasztalták hogy µ + esetben a spin és az impulzus iránya antiparallel, míg µ esetben parallel. Tehát mindkét esetben sérül a P sértés, hiszen ˆP p = p, de a spin axiálvektorként transzformálódik, azaz ˆP s = s. A müon bomlásából µ ± e ± ν e ν µ ± (4.3) kilép pozitronok a müon polarizációs irányában mutatnak, így azok detektálásával kimutathatták a paritássértést. V-A elmélet alapja A paritássértés kézlegyinget s magyarázata: a gyenge kölcsönhatásban balkezes leptonok és jobbkezes antileptonok vesznek részt. Tömeges részecskék esetén csatolás van a bal- és jobbkezes terek 1 között a tömegtagon át. Tehát az áram áram elmélet Lagrang-függvényének leptonikus része kifejezhet a l L (x) := 1 2 (1 + γ 5) l(x) l R (x) := 1 2 (1 γ 5) l(x) (4.4a) (4.4b) terek segítségével, ahol l {e, ν}. Az új terek bevezetése után a Lagrange-s r ségben megjelen lepton áram [ ] V-A (lepton) 1 Jµ (x) = l(x)γ µ (1 + γ 5 )ν l (x) = l(x) 2 (1 + γ 5)γ µ (1 + γ 5 ) ν l (x) = l + (x)γ 0 (1 + γ 5 )γ µ ν ll (x) = = l + (x)(1 γ 5 )γ 0 γ µ = 2l + R (x)γ 0γ µ ν ll (x) = 2l R (x)γ µ ν ll (x). (4.5) Ennek segítségével leírhatjuk a paritást sért folyamatokat, ha tudjuk hogy a kirepül neutrínók milyen kezesek, ezáltal a spinjüket is, mivel jobbkezes részecskék esetén az impulzus és a spin egyirányba áll, míg balkezeseknél ellentétes irányításúak CP-szimmetria sértés és a K 0 mezon Röviddel a P-szimmetria sértés felfedez után azt gondolták, hogy esetleg a kombinált CPtükrözés az igazi szimmetriája a természetnek. Ezt lényegében csak az motiválta, hogy a tükrözés szimmetria valamilyen formában érvényes maradhasson. A bal fels sarokban lev balkezes részecske g. 4.3: CP tükrözés elemi lépésekben P hatására jobbkezes részecskévé, illetve C hatására balkezes antirészecskévé válik. A CP együttes hatására a jobb alsó sarokban lev jobbkezes antirészecskét kapjuk. 1 ez a terek helicitás szerinti felbontása, mivel γ 5 sajátértéke adják meg az adott tér helicitás értékét, mely balkezes terekre +1, míg jobbkezes terek esetén 1

25 4. tétel 21 Kaon bomlása A Θ, τ paradoxon tehát megoldódott, a két részecske azonosnak bizonyult és K-mezon (kaon) lett a neve, melynek négyféle állapota van: K +, K, K 0, K O. Ha igaz a CP-szimmetria, a K 0 - mezon gyenge kölcsönhatásban CP-sajátállapotra bomlik. Azonban K 0 -nak nincs CP sajátállapota, hiszen Ĉ ˆPK 0 Ĉ ˆP(s, d) = K 0 (4.6) CP-sajátállapotok a kett kombinációi lesznek: K 1 := 1 2 (K 0 + K 0 ) K 2 := 1 2 (K 0 K 0 ) (4.7) K 1 és K 2 valóban CP-sajátállapot, de CP-tükrözés hatására K 2 el jelet vált, amíg K 1 nem. A kaon gyenge bomlása pionokat eredményez. Mivel a pion CP-negatív, a K 1 kett, a K 2 három pionra tud bomlani (egy piont az impulzusmegmaradás tilt). A háromrészecskés bomlás valószín sége sokkal kisebb, ezért a K 2 élettartama csaknem 3 nagyságrenddel hosszabb, mint K 1 - é. Christenson, Cronin, Fitch és Turlay 1964-ben kimutatták, hogy az így deniált K 2 is tud ha nagyon ritkán is két pionra bomlani, ami azt jelenti, hogy a gyenge kölcsönhatás a CPszimmetriát is sérti, nemcsak a paritást, bár a paritássértéssel ellentétben a CP-sértés igen gyenge. V-A elmélettel való leírása A ritkaság váltó folyamatok áram áram fenomenologikus képpel való leírását a hadronáramban megjelen V-A (hadron) Jµ (x) = u(x)γ µ (1 + γ 5 )s(x) + d(x)γ µ (1 + γ 5 )s(x) (4.8) típusú töltött illetve semleges tagokkal vehetjük gyelembe, a többi s-t tartalmazó tag a kiválasztási szabályok sértése miatt nem lehetségesek. 4.2 A J/Ψ és a GIM mechanizmus Az 1950-es években a paritás sértés kimutatására, az megalkották az ú.n. V-A elméletet, mely szerint felírható egy olyan eektív Lagrange s r ség ami tudja a paritás sértést: L weak = G F 2 l α h α (4.9) ahol a lepton-áram kvark szinten: l α (x) = l(x)γ α (1 + γ 5 ) ν l (x) és a hadron áram pedig: h α (x) = h(x)γ α (1 + γ 5 ) h (x), azonban ha a Ha a V-A elméletb l az s,d kvarkok hatáskeresztmetszetét meghatározzuk, akkor az nagyságrendekkel eltér a mért kísérleti értékekt l. Azonban ha feltesszük, hogy létezik ez eddig ismeretlen c részecske akkor a töltött hadronáram kib vítésével V-A (hadron) Jµ (x) = u(x)γ µ (1 + γ 5 )d (x) + c(x)γ µ (1 + γ 5 )s (x) (4.10) ahol ( ) ( ) ( ) d cos Θ sin Θ d = sin Θ cos Θ s s (4.11) már magyarázhatóvá vált a kísérleti érték (persze beraktunk egy újabb paramétert: m c = 1.5GeV ). Tehát ezzel megjósolhatták hogy ha létezik a c kvark akkor az milyen energia skálára tehet J/ψ, avagy a c kvark kísérleti felfedezése Csaknem egyszerre 1974-ben fedezték fel Ting vezetésével Brookhavenben és Richter vezetésével Stanforban (SLAC), hogy e p +, illetve e e + ütközésékkor 3095 MeV energiánál a keletkez hadronok száma ugrásszer en megn. Az így talált részecskét J, illetve ψ-nek nevezték, amit kés bb egy Salamoni döntéssel J/ψ-nek kereszteltek át.

26 4. tétel 22 A J/ψ részecske bomlási rátája meglehet sen kicsinek bizonyult (Γ J/ψ = 6.3keV). Ez az érték úgy volt magyarázható, hogy a J/ψ részecske nem egy részecske, hanem a cc mezon, más néven charmonium, ekkor ugyanis a cc hadron bomlás csak három gluon cserével írható le (Γ J/ψ α 3 QCD), hiszen ha a cc annihiláció után hadronná alakulna akkor a folyamat során color triplet gluon szinglet hadronokká alakulna. ha két gluon jönne ki az annihiláció során, akkor a paritás sérülne, hiszen a két gluon paritása 1, míg a cc-é pedig c kvark létezésének egyértelm kísérleti bizonyítéka Neutrínó befogásos kísérlet után ν µ + d c + µ (4.12) a µ detektálásával megbizonyosodtak a c létezésér l. Ez a folyamat sin 2 Θ-val el van nyomva ugyan, azonban d céltárgyat egyszer bb preparálni, mind s-t.

27 Geometriai szimmetria csoportok; forgáscsoport, Poincaré-csoport, tükrözések 5.1 Geometriai szimmetria csoportok A kvantummechanikában a rendszer eseményalgebrája egy H Hilbert-tér Pr(H) projektorhálója, ezért a szimmetriacsoportok ezen térben megadott projektorábrázolásait kell ismernünk. Tehát a szimmetriacsoport teljes jellemzéséhez kell keresni a csoport összes irreducibilis projektorhálóábrázolását. Egy U : H H függvény unitér, ha lineáris és skalárszorzattartó. Antiunitér, ha konjugáltlineáris, azaz U(αΨβΦ) = α UΨ + β UΦ és skalárszorzattartó. A Wigner-tételt szerint ha U : H H olyan, hogy Ψ, Φ H-ra UΨ UΦ = Ψ Φ, akkor U unitér, vagy antiunitér. Minden olyan (+) m velet és a hozzá tartozó V tér (a,b,c,...) elemi csoportot alkotnak ha kielégítik a csoport axiómákat a + (b + c) = (a + b) + c asszociativitás 0 V, a + 0 = 0 + a = a egységelem létezése a V, ( a) V : a + ( a) = 0 inverzelem létezése Forgáscsoport A 3 dimenziós euklideszi vektortérben a skalárszorzattartó lineáris leképezések, azaz háromdimenziós forgatások O(3) csoportot alkotnak. A térbeli forgatások esetében meg kell adni a forgástengely irányát, erre a Θ, Φ szögeket használjuk. A forgatás harmadik paramétere pedig a forgatás nagysága, ezt ϕ-vel jelöljük. A Θ, Φ irányú tengely körüli ϕ szög forgatást megadó mátrixot három mátrix szorzataként lehet felírni: el ször Θ szöggel forgatunk az OZ tengely körül, azután Φ szöggel az OY tengely körül, majd ϕ szöggel az OZ tengely körül. x cos ϕ sin ϕ 0 cos Φ 0 sin Φ cos Θ sin Θ 0 x y = sin ϕ cos ϕ sin Θ cos Θ 0 y z sin Φ 0 cos Φ z A forgatásokhoz 2 2-es mátrixot is rendelhetünk az alábbi módon. Egy általános kétdimenziós egységnyi determinánsú unitér mátrix alakja: ( ) a b U = b a, a 2 + b 2 = 1 (5.1) Legyen a H 2 2-es mátrixok diagonális elemeinek összege, spurja nulla, akkor H-ban három független elem van. Ezt úgy használjuk ki, hogy H paraméterezésére a Pauli-mátrixokat választjuk: ( ) ( ) ( ) i σ x =, σ 1 0 y =, σ 0 1 y = (5.2) i 0 23

28 5. tétel 24 így H = xσ x + yσ y + zσ z. (5.3) Belátható, hogy a H = UHU + mátrix spurja is nulla, ezért a H' mátrix is felbontható az el bbi módon H = x σ x + y σ y + z σ z. (5.4) A lényeg hogy leírható így minden forgatás, speciális választással a = e i ϕ 2 és b = 0, ez a z-tengely körüli ϕ-szög forgatásnak felel meg. A dimenzió növelésével általánosan azt azt mondhatjuk, hogy minden forgatás a következ alakban írható le: U = e iϕ n J, (5.5) ahol n a forgatás irányába mutató egységvektor, ϕ pedig a forgatás szöge és J generálja a forgatást, mely a következ Lie-algebrát követi: [J i, J j ] = iɛ i,j,k J k (5.6) Az irreducibilis unitér sugárábrázolások egyértelm en jellemezhet k 1 egy j N0 2 számmal. A j- edik ábrázolás d = 2j + 1 dimenziós. Legyen S i a J i ábrázoltja. A j-edik ábrázolásban a bázist az S 3 sajátvektorainak szoktuk választani, és j, m -mel jelöljük, ahol S 3 j, m = m j, m, m = j, j + 1,..., j (5.7) A léptet operátorok léptetnek az S 3 sajátvektorai között: a megszokott módon S + := S 1 + is 2, S = S 1 is 2 (5.8) S ± j, m = j(j + 1) m(m ± 1) j, m ± 1. (5.9) Az ábrázolás Casimir-operátora, mellyel mindenki felcserél S 2 j, m = j(j + 1) j, m (5.10) illetve ezek magasabb hatványai. Ha j egész, akkor az ábrázolás valódi unitér ábrázolása SO(3)-nak, ha j félegész, akkor csak sugárábrázolása SO(3)-nak, és csak SU(2)-nek valódi ábrázolása Poincaré-csoport A speciális relativitáselmélet metrikáját az ívelem négyzet deniálásával rögzíthetjük ds 2 := η µ,ν dx µ dx ν (5.11) ahol η µ,ν a metrikus tenzor. Az általános relativitáselmélet kimondja, hogy az ívelem négyzetet invariánsan hagyó transzformációkra a zikai törvények is változatlanok, az ilyen transzformációk során tehát a következ nek kell teljesülnie ds 2! = ds 2 η µ,ν dx µ dx ν = η ϱ,σdx ϱ dx σ η µ,ν dx µ dx ϱ dx ν dx σ = η ϱ,σ (5.12) Mivel ennek minden x-re fen kell állnia, így dx dx -knek konstansnak kell lenniük, azaz x µ = Λ µ,ν x ν + a µ (5.13) lineáris transzformáció lehet a két koordináta között. Az ívelem négyzetet invariánsan hagyó transzformációkat csoportot alkotnak és ezt Poincaré-csoportnak nevezzük, melyet T (Λ, a)-val jelölünk. A Poincaré-csoport speciális részcsoportja a T (Λ, 0) Lorentz-csoport 1 a kvantumelméletben ha két állapot csak egy fázisfaktorban különbözik akkor u.a. az állapotnak tekintjük ket

29 5. tétel 25 Poincaré-csoport osztályozása Belátható, hogy a Λ T ηλ = η det(λ T ηλ) = det(η) 1 = det(λ) 2 = (Λ 0 0) 2 i (Λ 0 i ) 2 (5.14) esetén elégíthet ki az ívelem megmaradás, tehát (Λ 0 0) 2 1 és det(λ 0 0) = ±1. Tehát ezek alapján négy osztályt különböztethetünk meg: ha a det Λ = 1 akkor a tér irányát rendben hagyja, ha det Λ = 1 akkor tértükröz, ha Λ akkor id t tükröz, ellenkez esetben hagyja. Az id és tér irányát változatlanul hagyó Poincaré-csoportot valódi Poincaré-csoportnak nevezzük. Valódi Poincaré-csoport Lie-algebrája Tekintsünk egy az egységelem közeli innitezimális transzformációt: T (Λ, a) T (1 + ω, ɛ) = Λ µ ν = δ µ ν + ω µ ν (5.15) az ívelem négyzet invarianciájából következ en ω-nak teljesen antiszimmetrikusnak kell lennie az indexeiben. A Wigner-reprezentációs tétel szerint a Poincaré-transzformációk a Hilbert-tér felett egy T (Λ, a) U(T (Λ, a)) U(Λ, a) (5.16) unitér transzformációval ábrázolhatóak. Az unitritás miatt az innitezimális kifejtés a P és J önadjungált operátorok segítségével tehet meg U(1 + ω, ɛ) = iω µ,νj µ,ν + iɛ µ P µ. (5.17) Ebben a pontban még nem tudjuk h P az energiaimpulzus és J az energiaimpulzus-momentum tenzora, vagy még is, hisz az egyik a forgást a másik az eltolást generálja. A generátorok kommutációs relációit az ábrázolás szorzási 2 tulajdonságából U(Λ, a)u(1 + ω, a)u 1 (Λ, a) = U(Λ, a)u(1 + ω, a))u(λ 1, Λ 1 a) = = U(Λ(1 + ω)λ 1, Λɛ ΛωΛ 1 a) = i ( ΛωΛ 1) µ,ν J µ,ν + i(λɛ ΛωΛ 1 a) µ P µ (5.18) és abból, hogy ennek meg kell egyeznie a direkt sorfejtéssel is U(Λ, a)u(1 + ω, a)u 1 (Λ, a) = U(Λ, a) (1 12 ) iωj + iɛp U 1 (Λ, a). (5.19) A két egyenlet egyenl vé tételéb l és az P, illetve J-t tartalmazó tagokból meghatározhatjuk azok transzformációs tulajdonságát, amik megjegyezhetetlenek, így a következ jelöléseket szoktál bevezetni, melyek már zikai tartalommal is bírnak energia H := P 0 impulzus P := P i perdület J := (J 23, J 31, J 12 ) Loretz-boost K := (J 01, J 02, J 03 ) Ezekkel már memorizálható alakot öltenek [J i, J j ] = iɛ i,j,k J k [J i, P j ] = iɛ i,j,k P k [J i, K j ] = iɛ i,j,k K k [K i, K j ] = iɛ i,j,k J k [K i, P j ] = iδ i,j H [K i, H] = ip i (5.20) 2 T (Λ, a)t (Λ, a ) = T (ΛΛ, Λa + a) és T 1 (Λ, a) = T (Λ 1, Λ 1 a)

30 5. tétel 26 Tehát látható, hogy J a forgáscsoport Lie-algebráját követi, K és P a forgások alatt vektorként transzformálódik. A csoport Casimir-operátorai: M 2 := P µ P µ (5.21a) W 2 := 1 2 ɛ µ,i,j,kp i J j,k 1 2 ɛµ,i,j,k P i J j,k (5.21b) ahol megfelel síkhullám ábrázolásban M a részecske spinjét és W a spinjét adja meg Tükrözés Ha minden igaz akkor a Lorentz-csoportot a P tér és T id tükrözés generálja. Hasonló tulajdonságaik miatt együtt kezelhet ek a tárgyalás során. A tükrözéseket deniáló operátorok ábrázolásának transzformációira kirójuk a következ t: P U(Λ, a)p 1 = U(P ΛP 1, P a) (5.22a) T U(Λ, a)t 1 = U(T ΛT 1, T a) (5.22b) Belátható, hogy a felhasított Poincaré-csoport generátoraira teljesül a P JP 1 = J P KP 1 = K P P P 1 = P (5.23a) T JT 1 = J T KT 1 = K T P T 1 = P (5.23b) Az egyrészecske-állapotokon történ ábrázolódásuk: P HP 1 = T HT 1 = H Ha m = 0, azaz zérus tömeg részecskék esetén (5.23c) P p, σ = η σ e ±iπσ P p, σ (5.24) ahol σ a helicitást jelöli és η σ a bels paritása a részecskének és Ha m > 0, azaz tömeges részecskék esetén T k, σ = ζ σ e ±iπσ P p, σ (5.25) P p, σ = η P p, σ (5.26) ahol η a részecske bels paritása, feles-spin esetén ±i, egész spin esetén pedig ±1, és T p, σ = ζ( 1) s σ P p, σ (5.27) mivel T antiunitér így ζ-nak nincs zikai jelentése, az állapotok megfelel fázisfaktorárral való megválasztásával kiküszöbölhet.

31 Szabad terek kvantumtérelmélete, szimmetriák 6.1 Történeti bevezetés A kvantumelmélet történetének egyik els állomása Max Planck kvantumhipotézise: a feketetestsugárzás energiaeloszlását Planck úgy tudta levezetni, ha feltette, hogy egy üregben lév elektromágneses sugárzás energiája nem vehet fel akármilyen értéket, a ν frekvenciájú módus energiája csak az E = hν (6.1) elemi energiakvantum egész számú többszöröse lehet. Ezután a kvantumelmélet fejl dése a kvantummechanika irányában indult meg : a cél az atomok színképének megmagyarázása volt. Ebben az els sikereket Niels Bohr a hatás kvantálásán alapuló elmélete tudhatta magáénak (els kvantumelmélet). A kvantummechanika modern fegyvertárának (Hilbert-tér, állapotvektor, hullámfüggvény, operátorok) bevezetése Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, P. A. M. Dirac, P. Jordan és Neumann János nevéhez f z dik. Az elmélet kiépítése a XX. század húszas-harmincas éveire tehet - Az er terek kvantálására az elmélet - annak ellenére, hogy ez volt az egyik kiindulópontja - csak a kvantummechanika kiépítése után vált alkalmassá. Mint látni fogjuk, ezt a kanonikus formalizmus tette lehet vé : ennek segítségével a klasszikus mechanika és a klasszikus mez elméletek formailag hasonló alakra hozhatók, és ilymódon a kvantummechanikában megismert módszerek a terek kvantumelméletébe átvihet k. Az átvitel legegyszer bben a lineáris téregyenletek esetén lehetséges: ekkor egy véges térrészt vizsgálva, ott a Fourier-transzformáció segítségével a mez oszcillátorok összegeként fogható fel, a kvantummechanika szerint az oszcillátor energiájának kvantuma ω, így a térkvantálás visszavezethet az oszcillátor kvantumelméletére. Az els nehézségek is itt léptek fel : a sugárzási tér végtelen szabadsági fokú rendszer, így az oszcillátorfelbontásában is végtelen számú oszcillátor lép fel. Ezen oszcillátorok zérusponti energiái a Hamilton-operátorban egy végtelen alapállapoti járulékot adnának. Látni fogjuk, hogy ez a Hamilton-operátor normálrendezése révén kiküszöbölhet. 6.2 Kanonikus kvantálás A kanonikus kvantálás alapgondolatát itt a skalármez esetére mutatjuk be. Magasabb helicitású (például vektormez : elektrodinamika) esetén lényegében ugyanez az eljárás alkalmazható, további nehézséget csak a mellékfeltételek (mértékválasztás, kényszerek) jelentenek. A kanonikus kvantálás kiindulópontja a Lagrange-formalizmus. A skalármez Lagrange-függvénye: Innen a klasszikus mechanika mintájára a kanonikus impulzus : L(x) = 1 2 µ µ ϕ(x) 1 2 m2 ϕ 2 (6.2) π = L(x) ( 0 ϕ) = 0 ϕ = ϕ t (6.3) 27

32 6. tétel 28 így a Hamilton-függvény: H = π 0 ϕ L = 1 2 π ( ϕ) m2 ϕ 2 (6.4) A kanonikus kvantálás során a térmennyiségeket operátorokkal helyettesítjük, és a kanonikus koordinátákra és impulzusokra kikötjük a kanonikus kommutátorrelációt: [ϕ(x, t), π(x, t)] = i δ(x x ) (6.5) általában a kanonikus csererelációk [f(ϕ(x, t)), π(x, t)] = i f(ϕ(x, t)) δ(x x ) ϕ(x, t) (6.6a) Fizikai értelmezés: Fock-tér [ϕ(x, t), g(π(x, t))] = i g(π(x, t)) π(x, t) δ(x x ) (6.6b) Ebben a szakaszban megmutatjuk, hogy hogyan magyarázza meg a fenti elmélet a terek részecskejellegét (ilymódon a foton létét és a Planck-féle kvantumhipotézist is). A ϕ kielégíti a 0 0 ϕ = 0 π = i[h, π] = 2 φ m 2 φ ϕ + m 2 ϕ = 0 (6.7) szabad Klein-Gordon-egyenletet. Melynek megoldásait kereshetjük síkhullám alakban a diszperziós reláció mellett, d 4 ( ϕ(x, t) = 2π a(p)e ipx (2π) 4 + a (p)e ipx) δ(p 2 m 2 )Θ(p 0 ) = E 2 k 2 0 = k 2 + m 2 (6.8) d 3 p (2π) 3 1 2p 0 ( a(p)e ipx + a (p)e ipx) A deltafüggvény azt biztosítja a tömeghéj (diszperziós reláció) feltételt teljesülését, a Θ függvény pedig kizárja a negatív energiás megoldásokat. A Heisenberg-féle mozgásegyenletekb l d 3 p ( π = 0 ϕ = i a(p)e ipx 2(2π) 3 + a (p)e ipx) (6.9) A (6.5) kommutációs relációba behelyettesítve a következ t kapjuk a Fourier-együtthatók csererelációjára [a(p), a (p )] = (2π) 3 2p 0 (p)δ 3 (p p ) (6.10) Létezik egy olyan állapot, jelöljük 0 -val, mely p-re a(p) 0 = 0 p = a 0 (6.11) ezeket a feltételeket kielégít állapotokat nevezzük Fock-vákuumnak, a Fock-vákuumot 0 0! = 1-re szokás normálni. A Fock-tér operátoraink segítéségével a p impulzusú gerjesztések számát megadó operátor. A négyes impulzus térelméleti deníciójából adódóan: P µ = d 3 x ( π µ ϕ η 0,µ L ) = 1 d 3 p 1 p µ ( aa + a a ) = 2 (2π) 2p 0 N(p) := a (p)a(p) (6.12) d 3 p 1 p µ ( a a + konst. ) (2π) 2p 0 a most megjelen konstansból származó végtelen egy "eltolással" kiküszöbölhet, mivel a végtelen energia az oszcillátorok 1 2 ω alapállapoti energiájának az összegéb l származik. Tehát vezessük be a : A : normálrendez operátort, mely az A operátorban el re veszi az a -eket.

33 6. tétel Szimmetriák és a Noether-tétel Minden folytonos szimmetriához tartozik egy megmaradó mennyiség. Ebben a fejezetben bels szimmetriákkal fogunk foglalkozni, azaz nem lényeges hogy hány dimenziós térben ábrázoljuk a zikai mez ket. A Noether-tétel értelmében folytonos szimmetria esetén létezik egy megmaradó árams r ség, melyre teljesül a kontinuitás egyenlet µ J µ = 0 J 0 + J = 0 (6.13) melyb l a megmaradó mennyiség, "töltés" Q = d 3 xj 0 (x, t) (6.14) Az elmélet szimmetriái ábrázolódnak az állapottéren, mely ábrázolások a Wigner-tétel értelmében vagy unitér: vagy antiunitér U Ψ U Φ = Ψ Φ (6.15a) U(ξΨ + ηφ) = ξuφ + ηuφ (6.15b) U Ψ U Φ = Ψ Φ (6.16a) U(ξΨ + ηφ) = ξ UΦ + η UΦ (6.16b) operátorokkal történik. Ekkor természetesen az ábrázolást az állapottér operátoraira is ki kell terjeszteni az O = UOU 1 (6.17) formulával. Ekkor egy innitezimális szimmetria transzformációt a t a szimmetria generátorával és ɛ kis, sorfejtési paraméterrel a következ képpen írhatunk fel ϕ i(x, t) = [δ i,j + iɛ a (t a ) i,j ] ϕ j (x, t) + O(ɛ 2 ) := ϕ i + δϕ i (6.18) A transzformáció után a Lagrange-s r ség megváltozása δl = L ϕ i δϕ i + L ( µ ϕ i ) δ( µϕ i ) = L δϕ i + ϕ i felhasználva az Euler-Lagrange mozgásegyenletet ( ) L δl = µ δϕ i + L [ ] ( µ ϕ i ) ( µ ϕ i ) L µ(δϕ i ) = µ ( µ ϕ i ) δϕ i L ( µ ϕ i ) µ(δϕ i ) (6.19) (6.20) Ha a transzformáció valóban szimmetria transzformáció volt, akkor δl = 0, melybe ha behelyettesítjük a δϕ deniáló kifejezését akkor [ ] L iɛ µ ( µ ϕ i ) (ta ) i,j ϕ j = 0 (6.21) melyb l leolvashatjuk a megmaradó árams r séget és töltést Jµ(x, a L t) = i ( µ ϕ i ) (ta ) i,j ϕ j Q a (t) = i d 3 xj0 a = i d 3 xπ i (t a ) i,j ϕ j (6.22a) (6.22b) Megjegyzés: A CPT tétel kimondja, hogy minden lokális relativisztikus kvantumtérelméletnek a CPT kombinált tükrözés szimmetriája.

34

35 Térelméleti S mátrix, funkcionálintegrálok, Feynman-gráfok 7.1 Aszimptotikus szórásjelenségek leírása A részecskekában leggyakrabban vizsgált kísérlettípus: a végtelenb l bejönnek részecskék adott impulzussal, összeütköznek, majd a reakciótermékek kirepülnek, és kell távolságban detektáljuk ket. Az alapfeltételezésünk az lesz, hogy a kölcsönhatások csak az ütközés (véges ideje) alatt jelent sek, az in- és out-állapotokban elhanyagolhatók (aszimptotikus szórás). Az in- és out állapotok jelölése Ψ = lim Ψ(t) t Ψ = lim t (7.1a) (7.1b) ahol H = H 0 + V (7.2) perturbatív tárgyalás esetén, az aszimptotikus állapotok a H 0 Ψ ± = EΨ ± sajátállapotai, míg a kölcsönhatás pillanatában az állapotfüggvény a (H 0 + V )Ψ(t) = EΨ(t) sajátérték egyenletnek tesz eleget. Mivel a kölcsönhatás csak az ütközés során jelent s, így az aszimptotikus állapotok a kölcsönhatás el tt (illetve után) aszimptotikusan egyenl ek a szabad részecske-állapotokkal, tehát a szabad rész szerint fejl dnek, míg a kölcsönhatás pillanatában H fejleszti az állapotot Ψ(t + t ) = e iht Ψ(t) Ψ ± (t + t ) = e ih0t Ψ ± (t) (7.3) Bevezetve a Ω( ) = e ±iht e ih0t operátort : Ψ ± = e ±iht e ih0t Ψ(t) = Ω( )Ψ(t) (7.4) Abból, hogy Ω unitér (skalárszorzattartó), abból következik az aszimptotikus teljesség, azaz nincs olyan folyamat ahonnan ne jönne ki részecske (ha bement) Térelméleti S-mátrix Deniáljuk a szórásmátrixot, mint az in- és out-állapotok közötti transzformáció mátrixát: S α,β := Ψ α Ψ β = Ψ α (t) Ω ( )Ω( ) Ψ β (t) Ψ α (t) S Ψ β (t) (7.5) Mivel S-t a szabad részecskeállapotokból építettük fel, így belátható hogy Poincaré-csoport elemeire invariáns, azaz az aszimptotikus szórással leírt leírt folyamatok végig Poincaré-invariánsak. Az S mátrixot könnyebben kezelhet alakra hozhatjuk, ehhez vezessük be az U(t, t ) := e ih0t e ih(t t ) e ih0t (7.6) 31

36 7. tétel 32 segédoperátort, mely U(, ) limeszben vissza adja a szórási mátrixot. Valamint, látszik hogy t = t-re az egységoperátort adja. Véve a t szerinti deriváltját a következ dierenciálegyenletet kapjuk i t U(t, t ) = e ih0t V e ih0t U(t, t ) = V kh. (t)u(t, t ) (7.7) melyet a U(t i, t i ) = 1 mellékfeltétel mellet megoldhatunk. A megoldás során visszavezetjük integrál egyenletté és iterálva a következ megoldást kapjuk: U(t, t ) = ˆT e i t dτv kh. (τ) t, (7.8) melyb l S = ˆT ( e i d 4 xh kh) (7.9) ahol V (τ) = d 3 rh kh ()x, mivel a "világ" Poincaré-invariáns, így H(x)-nak skalárként kell transzformálódnia. Azonban az id rendez operátor felveti a lokalitás problémáját, ahhoz hogy értelmezni tudjuk a hatását, ahhoz id szer en szeparált (x 2 y 2 ) > 0 eseményekre minden érthet, de térszer en szeparált (x 2 y 2 ) < 0 eseményekre ki kell róni, hogy [H(x), H(y)] = 0, azaz nincs köztük kauzális kapocslat (Ez a feltevés, vagy kirovás nem más mint a klaszter-elv). Hatáskeresztmetszet számítása az S-mátrixból Már korábban deniáltuk a szórási hatáskeresztmetszetet, mely szerint dσ dω = dp (α β) dγ ahol dγ az invariáns fázistérfogat. Az átmeneti amplitúdó az S mátrixból leválasztható dγ dω (7.10) S α,β = δ α,β + (2π) 4 δ 4 (p β p α ) β T α (7.11) ahol T az transzfer mátrix, azaz az olyan eseményeket írja le amikor "történt is valami". Ezek segítésével az átmenet valószín sége P (α β) = ( (2π) 4 δ 4 (p β p α ) ) 2 Tα,β 2 (7.12) 7.2 Feynman-gráfok származtatása A gráfszabályok megalkotásával egyszer bb úgynevezett gráfszámolásokat végezhetünk, az amúgy bonyolult összefüggések helyett. Ezeket a szabályokat többféleképpen is származtathatjuk; els esetben a kvantummechanika Schödinger-tárgyalából a Wick-tétel alkalmazásaként vezetem be a gráfszabályokat, majd ezzel ekvivalens módon a funkcionálintegrál formalizmusban is megmutatom hogyan származtathatjuk ket A Wick-tétel és a Feynman-diagrammok A Wick-tétel segítségvel az S-mátrix S = ˆT ( e i d 4 xh kh. (x) ) (7.13) hogyan alakítható át normálrendezett tagok összegére. Ehhez el ször is a kezdeti és a végállapotokat felírjuk a kelt eltüntet operátorok segítségével: f S i = 0 a f ˆT ( e i ) d 4 xh kh. (x) a i 0 = = f ( i) n d 4 x 1... d 4 x n ˆT ( : H kh. (x 1 ) : : H kh. (x 2 ) :... : H kh. (x n ) : ) i n! n=1

37 7. tétel 33 Alkalmazva a 0 ˆT(a(x)a { }} { { }} { (y)) 0 = 0 : a(x)a(y) : 0 + a(x)a(y) = a(x)a(y), (7.14) ahol { }} { { a(x)a(y) 0 [a := (x), a(y)] 0 ha x 0 > y 0 ± 0 [a(y), a (x)] 0 ha x 0 < y 0 (7.15) Wick-tételt az id rendezett szorzat normálrendezett szorzattá játszható át, mely a vákuumon már elt nik, és a kommutátorokra, melyek értékeit ismerjük, így elvégezhetjük a számolást. A nem nulla skalárszorzatot gráal szemléltethetjük, mégpedig úgy, hogy minden bels vonalhoz a G(x y) = 0 T (Φ(x)Φ (y)) 0 (7.16) propagátort rendeljük és minden kölcsönhatási ponthoz a térpont mez inek együtthatóját, vertexét rendeljük. A ki és befutó vonalakhoz pedig részecske antirészecske befutó vonalak: Φ(x) p Φ (x) p kifutó vonalak: p Φ (x) p Φ(x) (7.17) Csak komplex tér esetén van antirészecske, valós tér esetén nem különbözik a részecskét l. A gráfok megrajzolása során gyelnünk kell arra hogy teljesül a "csomóponti törvény" A Feynman-szabályok levezetése a funkcionálintegrál-formalizmusban Soktestrendszerek viselkedésének vizsgálatához a standard Schödinger-egyenlet operátoros formalizmusa helyett sokszor érdemes áttérni a funkcionálintegrál módszerre. Habár a két formalizmus ekvivalens, a kanonikus formalizmussal szemben itt végig egyértelm en látszik a klasszikus limit. Így a zikai problémát könnyebben megérthetjük, hiszen a klasszikus határesethez társíthatunk egy szemléletes képet. Feynman-pályaintegrál Látható, hogy az átmeneti mátrix meghatározásához a q, t q, t propagátorra van szükségünk. Abból következ en, hogy a kanonikus koordináták kielégítik a kanonikus csererelációkat [Q i, Q j ] = 0 = [P i, P j ] (7.18a) [Q i, P j ] = i δ i,j (7.18b) találhatunk szimultán sajátfüggvény bázisokat a Q i q = q i q és P i p = p i p komponensekhez. Valamint ismerjük az állapotok id fejl dését: q, t = e iht q (7.19) és síkhullám kifejtés esetén a bázisok átlapolása: q p = 1 2π e iqipi. Ezek ismeretében meghatározhatjuk az elemi id lépéses propagátort: q, t + t q, t = q, t e ih t q, t = dp q, t e ih t p, t p, t q, t = = dp q, t (1 ih(q, P ) t) p, t p, t q, t = dp(1 ih(q, p) t) q, t p, t p, t q, t = = 1 2π dpe ih(p,q ) t e i(q p qp) = Ilyen kis id lépésekb l felépítve a propagátort dp 2π e i( tqp H(p,q )) t (7.20) q, t q, t := D[q, p]e i t t dτ( τ qp H) = D[q, p]e i t t dτl(τ) = D[q, p]e is (7.21)

38 7. tétel 34 Gráfszabályok Kölcsönható terek esetén Z β generáló-funkcionál meghatározása során általában nem Gaussintegrálásokat kell elvégeznünk, azonban a Gauss-tól eltér integrálokat nem ismerjük, így találnunk kell egy eljárást mely segítségével mégis valamiképpen a funkcionálintegrált Gauss-alakra hozhatjuk. Tegyük fel, hogy a hatás egy komplex tér estén S β [ĉ, ĉ ] = S (0) β [ĉ, ĉ ] + λs kh. β [ĉ, ĉ ] (7.22) alakban írható, ahol Sβ 0[ĉ, ĉ ] a változóiban másodrend kifejezéseket és Sβ kh. [ĉ, ĉ ] pedig ennél magasabb rend tagokat, illetve kevert tereket tartalmaz, ekkor a generáló-funkcionálban a terek forrásuk szerinti funkcionál-deriváltjukkal való helyettesítésével a kölcsönhatási tagot leválaszthatjuk ahol Z β [ η, η ] := = Z (0) β := D[ c, c ]e 1 S β[ c, c ] 1 ( 1 λ Skh. β D[ c, c ]e 1 S0 1 dx( c η+ η c) = e λ Skh. β [ δ δ η, δ δ η ] Z (0) β [ η, η ] = [ δ δ η, δ ] [ + λ2 δ δ η 2 S2 kh. δ η, δ ] )... Z (0) β δ η [ η, η ], (7.23) dx( c η+ η c) e 1 2 dx1dx 2 η (x 1)G 2;β (x 1,x 2,τ) η(x 2) (7.24) csak Gauss-integrálokat tartalmaz. A terekhez tartozó Green-függvényt a λ = 0 szabad hatásból származtathatjuk S (0) β [ĉ, ĉ ] = dxĉ (0) (x) ˆK 2;βĉ(x), (7.25) ahol (0) ˆK 2;β operátor a Green-függvény operátorának (0) dz ˆK β (x z, τ)ĝ(0) 2;β(z y, τ) =! δ(x y) (7.26) kernel értelemben vett inverze. Belátható, hogy Z β D[ c, c ]e 1 S β[ c, c ] := Z (0) = 1 + ( csonkolt, összefügg gráf), β D[ c, c ]e 1 S(0) β [ c, c ] így a (7.23) perturbációs kifejezést a következ szemléletes képpel ábrázolhatjuk; jelöljük összefügg irányított vonalakkal 1 a terekhez tartozó propagátorokat és vertexekkel a vonalak találkozását, ekkor Z β nem más mint az összes lehetséges összefügg küls láb nélküli gráf összege. A gráfban szerepl lehetséges vertexeket és azok er sségét az S kh. -ból határozhatjuk meg, úgy megnézzük a kölcsönhatási tagban szerepl terek szorzatait és ezek együtthatóit azonosítjuk az adott vertexek er sségével. 1 skalár tér esetén csak egyszer vonalakkal

39 Mértékelméletek 8.1 Mértékelméletek alapgondolata és a lokális szimmetria Legyen egy L = µ Φ i µ Φ i U(Φ) (8.1) Lagrange függvénnyel jellemzett elméletünk, mely g G transzformációkra nézve invariáns, ahol a G csoport unitér ábrázolását a τ a, a {1, 2,..., dim G} mátrixok generálják: g = e iɛaτ a 1 + iɛ a τ a (8.2a) [τ a, τ b ] = if a,b,c T c (8.2b) Mivel ɛ a helyfüggetlen, így a szimmetriacsoport elemei globális transzformációk. Azonban ha most terjesszük ki ezt a globális szimmetriát egy G(x) lokális szimmetriává az ɛ ɛ(x). Ahhoz hogy ez a kiterjesztés megtehet legyen be kell vezetnünk egy A a µ mértékteret hogy kompenzáljuk a deriválás transzformációját, tehát formálisan a parciális deriváltról egy kovariáns deriváltra térünk át µ D µ := ( µ δ i,j igτi,ja a a ) µ (8.3) az új tér bevezetésével már biztosíthatjuk, hogy ez akkor tehet meg, ha a mértéktér transzformációja a következ D µ (G(x)Φ i )! = G(x)(D µ Φ i ) (8.4) G(x) D µ Φ i ( µ δ i,j igτi,ja a a ) µ Φ! (x) = G(x) ( µ δ i,j igτi,ja a a µ) Φ(x) ( µ δ i,j igτi,ja a a ) ( µ G(x)Φ(x) = G(x) µ δ i,j igτi,ja a a ) µ Φ(x) ( µ δ i,j igτi,ja a a ) ( µ G(x)Φ(x) = G(x) µ δ i,j igτi,ja a a ) µ G 1 (x)g(x)φ(x) ( µ δ i,j igτi,ja a a ) µ = G(x) ( µ δ i,j igτi,ja a a µ) G 1 (x) igτ a i,ja a µ = G(x) µ δ i,j G 1 (x) G(x)igτ a i,ja a µg 1 (x) A a µ A a µ f a,b,c ɛ b (x)a c µ + 1 g µɛ a (8.5) A gauge-tér dinamikáját a Wilson-hurokból deniált igfµ,ντ a i,jφ a j := [D µ, D ν ]Ψ i Fµ,ν a = µ A a ν ν A a µ + gf a,b,c A a µa a ν térer sség tenzorral adhatjuk meg (8.6a) (8.6b) Így a teljes Lagrange-függvény L Gauge := 1 4 F µ,νf µ,ν 1 4 F a µ,ντ a F µ,ν b τ b (8.7) L = L kinetikus + L Gauge + L k.h. = µ Φ i µ Φ i F µ,νf µ,ν U(Φ) (8.8) Mindig meggyelhet, hogy a mértéktér a részecske térhez ja ként csatolódik azaz a megmaradó áramon keresztül. 35

40 8. tétel Fizikában megjelen mértékelméletek Ebben a fejezetben a teljesség igénye nélkül megmutatom, hogy egy Ábeli (elektrodinamika) és egy nem-ábeli (QCD) elméletben hogyan jelennek meg a mértékterek. Elektrodinamika Az elektrodinamika, még kiterjesztetlen Lagrange-függvénye egy U(1) fázis szimmetriával rendelkezik L = ψ (iγ µ µ m) ψ (8.9) g = e iθ (8.10) melyhez a Noether-tétel értelmében a j µ = ψγ µ ψ megmaradó áram tartozik. Az U(1) szimmetriát lokálissá téve a Θ Θ helyettesítéssel és bevezetve az e csatolási állandót, valamint az A µ mértékteret a kovariáns derivált D µ = µ iea µ (8.11) ahol ként transzformálódik. A mértéktér térer sség tenzora pedig QCD A QCD elmélet a részecskék színtöltésében rendelkezik egy A µ A µ + 1 e µθ(x) (8.12) F µ,ν = µ A ν ν A µ (8.13) L = ψ (iγ µ µ m) ψ (8.14) g = e iɛa τa 2 (8.15) SU(3) szimmetriával, azaz dim G = N 2 1 = 8, ahol τ a a GellMann-mátrixok. Ehhez a szimmetriához a jµ a λ = ψγ a µ 2 ψ megmaradó áram tartozik. A szimmetria lokálissá (ɛ ɛ(x)) tétele után és a g csatolási állandó bevezetésével a kovariáns derivált D µ = µ ig 8 a=1 λ a 2 Aa µ (8.16) ahol A µ a szokásos módon transzformálódik (úgy hogy f a,b,c az SU(3) struktúra állandói) és a térer sségtenzor is már az ismert alakot ölti. 8.2 Mértékelméletek kvantálása A mértékterek L mértéktér kinetikus tagja = 1 4 ( µa a ν ν A a µ)( µ A ν,a ν A µ,a ) (8.17) kinetikus része miatt problémába ütközünk a kvantálásuk során, hiszen ekkor a Green-függvény kernel értelemben vett inverze K = δ a,b ( σ σ η µ,ν δ µ δ ν ) δ a,b ( k 2 η µ,ν + k µ k ν) (8.18) nem invertálható (mivel létezik olyan nulla sajátérték vektora), azaz nincs Green-függvénye a mértéktérnek (nincs dinamikája). Míg ábeli mértékelmélet esetén a GuptaBleuler-kvantálást követve a mértéktér mozgásához hozzá adva egy teljes divergenciát L GuptaBleuler = L mértéktér kinetikus tagja + λ 2 ( µa µ ) 2 (8.19)

41 8. tétel 37 már formálisan kiküszöbölhet vé válik a probléma, addig ez nem ábeli mértékelméleteknél nem tehet meg ilyen egyszer en. Hiszen most található lenne egy olyan mértéktranszformáció amivel a hozzáadott tag eltüntethet lenne. A problémát másképpen is megfogalmazhatjuk: Ha A a µ-hoz keresünk a kanonikus egyenletek alapján kanonikusan konjugált impulzust, akkor azt látjuk, hogy π0 a = 0, ami nem fogja tudni kielégíteni a kanonikus csererelációját A a µ-val Faddeev-Popov kvantálás Lényegében most is egy plusz tagot fogunk majd bevezetni a Lagrange-függvénybe, de a mérték invariancia megtartásához kicsit trükköznünk kell és látni fogjuk, hogy ehhez úgynevezett szellemterek bevezetésére lesz szükségünk. Induljunk ki a rendszer naiv generálófunkcionáljából Z[J] := D[A]e i d 4 x(l+a a µ J a ) (8.20) mely deriválásával minden Green-függvény el állítható (persze minden térhez van rendelve forrás). Az összes kongurációra integrálva egy felesleges végtelen szorzófaktor jön be. A D[A] "mérték" mértékinvariáns, ezért elegend a G minden orbitjából egy elemet kiválasztani, és úgy végrehajtani az integrált. Ehhez rójuk ki a G µ A a µ (x) = B a (x) (8.21) mértékrögzít feltételt (ahol A a Θ-val jellemzett mértéktrafonáltja az A-nak), ahol G µ és B(x) mértékrögzít függvények (Lorentz-mérték esetén G µ = µ és B a = 0). A funkcionál integrál det M G = D[Θ]δ ( G µ A a µ B a) (8.22) tulajdonságát felhasználva, a kényszer becsempészhet az generálófunkcionálba Z[0] = D[A] det M G D[Θ]δ ( G µ A a µ B a) e is (8.23) Felhasználva, hogy det M G, D[A]e is mérték invariáns az egyenletb l kitranszformálható a Θ függés Z[0] = D[A] det M G δ ( G µ A a µ B a) e is D[Θ] (8.24) így a D[Θ] = (8.25) konstans már elhagyható, mivel úgy is mindenhol megjelenik és normálás során kiesik. A ghostterek bevezetésével és a B a átírása α segítésével a következ alakra hozható a generáló funkcionál Z[J] = D[A] det M G e i dx(l 1 2α (Gµ A a µ )2 +A a µ J a,µ) := D[A, χ]e i dx(l 1 2α (Gµ A a µ )2 +A a µ J a,µ χ am a,b G χ b) (8.26) ahol megint megjelent a dinamikát adó (G µ A a µ) 2 extra tag, azonban most a χ ghost tér nem engedi kitranszformálni és helyre is teszi a mérték invarianciát. Mivel eleve a determináns reprezentációjára vezettük be ezeket, nem tartoznak hozzájuk aszimptotikus részecskék, szerepük csupán annyi, hogy a determináns perturbációs sorba fejtését lehet vé tegyék. Tehát a gráfok rajzolása során küls lábakként nem, csak bels lábakként jelenhetnek meg.

42

43 A QED és a QCD renormálása 9.1 Renormálható elméletek Láttuk, hogy perturbáció számítást átfogalmazhatjuk a Feynman-gráfokra, azonban nem foglalkoztunk még azzal hogy egyes gráfok járuléka végtelen lehet. Egy igen naiv képpel, az úgynevezett hatványszámolással meghatározhatjuk, hogy az adott 1PI 1 gráf UV divergens-e. Vezessük be a d G := l D + v δ v 2n B n F (9.1) ahol 2 l = független hurkok száma (l = n B + n F (n i 1)) D = a Minkowski tér dimenziója δ v = a v vertexben lév deriváltak száma n B = a bozon propagátorok száma (n B = nib i N B 2 ) n F = a fermion propagátorok száma (n F = nif i N B 2 ) felületes divergencia fokának fogalmát, mely értékének ismeretében meghatározható, hogy a G gráf divergens vagy véges. Ha d G < 0 = konvergens d G = 0 = logaritmikusan divergens d G = 1 = lineárisan divergens d G = 2 = kvadratikusan divergens a gráf. Ha egy elméletben a d G független a gráfokban található vertexek számától, akkor az elmélet renormálható, azaz esély nyílik arra hogy végesítsük az összes divergens integrált. Azok az elméletekben melyekben a vertexek számának növelése csökkenti a d G értékét azok szuperrenormálhatóak. Ahol viszont a vertexek száma növeli a d G értékét azok nem renormálhatóak, hiszen a gráf növelésével egyre több divergenciát kéne kiküszöbölnünk. Regularizáció: a Green-függvényekben fellép végtelen tagok végessé tétel, azaz a bennük lév nem deniált (végtelen) integrálok végessé tétele. Különböz regularizációs eljárásra van módunk: dimenziós regularizálás, levágás, ellentagos,... Renormálás: A renormálásnak nincs köze a végtelenekhez, olyan térelméletben is elvégezhet lenne, ahol ahol minden impulzus-integrál véges. A renormalizáció alapvet en csak arra szolgál, hogy egy tetsz leges mez b l számolt S-mátrix elemek megfelel en legyenek normálva, úgy ahogy a szokásos Feynman-szabályoknál szerepelnek, és akkor használhatjuk is ezeket a Feynmanszabályokat. Csak éppen véletlenül, miközben a fenti renormáláson dolgozunk, az egy-hurok számolásokban fellép végtelenek éppen kiesnek, ha olyanná alakítjuk a mez ket és a tömegüket, hogy teljesüljenek rájuk a következ feltételek: - a renormált mez propagátorának pólusa ugyanott van, mint a szabad mez é, a zikai tömegnél - és egységnyi a reziduuma. 1 olyan gráfok, menyben egy tetsz leges bels vonal elvágásával még összefügg gráfot kapunk 2 ahol az i minden vertexen fut végig, b i az i. vertexben található bozonok száma és f i az i. vertexben található fermionok száma 39

44 9. tétel 40 A zikai mennyiségek már nem függhetnek a regularizációs sémáktól, ezeket majd a kés bb tárgyalt T'Hooft egyenletek biztosítják. A Ward-Takahashi azonosságok pedig biztosítják hogy rendr l rendre lehessen renormálni és a renormálás során ne változzanak meg az elmélet szimmetria tulajdonságai QED renormálása Megint az állatorvosi ló, majd ezt nézzük meg nem ábeli mértékelméletekre is. Mint mindig most is induljunk ki a QED Lagrange-függvényéb l L QED = ψ(iγ µ D µ m)ψ 1 4 F µ,νf µ,ν (9.2) ahol F µ,ν = ( µ A ν ν A µ ) és D µ = µ iea µ. Ebb l meghatározhatóak a Feynman-szabályok: elektron propagátor (fermion) foton propagátor (bozon) vertex (2 fermion, 1 bozon) γp + m is F (p) = i p 2 m 2 + iε id µ,ν F ηµ,ν (k) = i k 2 + iε (9.3) (9.4) i µ = ieγ µ (2π) 4 δ 4 ( p) (9.5) persze vannak még a hurok, csomóponti, a küls - és bels -lábak,... de ezek most elegend ek számunkra, hiszen ezekb l láthatjuk hogy csak egyetlen vertex van és b = 1, f = 2, δ = 0, tehát a d QED = N F N B (9.6) felületes divergencia foka alapján csak a következ gráfokat kell végesíteni két elektron lábat tartalmazó gráfok (elektron sajátenergiája) két foton lábat tartalmazó gráfok (foton sajátenergiája) két elektron és egy foton lábat tartalmazó gráfok (vertex korrekció) 4 foton lábat tartalmazó gráfok (foton-foton csatolás) ha ezeket együttesen sikerül regularizálni akkor rendben is vagyunk. Foton sajátenergiája - vákuum polarizációja Az egzakt fotonpropagátort a buborék összegzést i(d F ) µ,ν = id (0) F + id(0) F iπid(0) F +... (9.7) kell elvégezni, ahol π a vákuum-polarizációs diagram (azaz az egy hurokszint csonkolt foton propagátor), mely iπ µ,ν = d 4 [ k (2pi) Tr 4 ( ieγ µ ) ] 1 1 γk m + iε ( ieγν ) γk γq m + iε kihasználva, hogy csak Lorentz-invariáns lehet és hogy a fotonnak nem generálódhat tömeg (mert akkor borulna a valószín ségi értelmezés /negatív normás állapotok keletkeznének/, mérték invariancia elromlik) a számolás során (9.8) π µ,ν = (q 2 η µ,ν q µ q ν )π(q 2 ) (9.9) alakú lehet. Ennek meghatározható (Takácsnál a feladat volt) a Pauli-Villars-regularizáció segítségével ment, melynek során az egzakt fotonpropagátorra a következ t átskálázást kaptuk: id F = iz 3 D (0) F, Z 3 = (1 α 3π ln Λ m 2 ) (9.10) ahol Λ a bevezetett végtelen levágás. Tehát a fotontér egy Z 3 renormálási konstanst kapott.

45 9. tétel 41 Elektron sajátenergiája - tömeg és hullámfüggvény renormálása Takácsnál, ezt a számolási feladatot kaptam, itt is i η µ,ν k 2 i η µ,ν k 2 µ 2 + i η µ,ν k 2 Λ 2 (9.11) Pauli-Villars regularizációs eljárást kellett követni, azonban a vákuum-polarizációs diagramja helyett most az iσ(p, µ) = ( ie) 2 d 4 [ ] k 1 (2π) 4 k 2 µ 2 γ γp γk + m µ (p k) 2 m 2 γµ (9.12) elektron sajátenergiáját lehetett leválasztani, melyet úgy kellett normálni hogy a reziduuma egy legyen 3 (ekkor továbbra is teljesülnek majd a kanonikus csererelációk) és a pólusa a zikai tömegnél 4 legyen Vertex korrekció - Ward-azonosság ψ R = Z 1/2 2 ψ (9.13) m R = m + δm (9.14) A vertex korrekciót is buborékszinten való növelgetéséb l a csatolási állandó kap egy e R = 1 Z 1 e (9.15) renormálási konstanst. Azonban most úgy néz ki hogy attól függ en hogy milyen teret nézünk más és más renormálási konstansokat kell bevezetni, ez sértené az univerzalitást. Azonban az állítás hogy az egész renormálás átjátszható a csatolási állandó renormálására e R = Z 2 Z 1 Z3 e (9.16) a Ward azonosság (Z 2 = Z 1 ) következtében pedig már csak a Z 3 renormálási konstans marad, meg azaz a renormálás részecske független lehet és az univerzalitás rendbe jön QCD renormálása Megint induljunk ki a rendszer Lagrange-függvényéb l L = L Gluon + L Gauge-xing + L F-P ghost + L fermion = 1 4 F µνf µ,ν 1 2α ( µa µ ) 2 + ( µ χ a )Dµ a,b χ b + ψ(iγd µ m)ψ (9.17) melyb l származtathatjuk a Feynman-szabályokat lsd. kés bb. Négy fajta vertexet kapunk: 3 gluon-, 4 gluon-, 2 ghot és 1 gluon-, 2 fermion és 1 gluon-csatolások. Ha rendesen elvégezzük a gráfszabályok meghatározást akkor a felületes divergencia fokára a következ t kapjuk d QCD = 4 N gluon 3 2 (N F-P ghost + N Fermion ) (9.18) Tehát ez is egy renormálható elméletnek bizonyul, mely során a következ 8 gráfot kell egyszerre regularizálni 3 hullámfüggvény renormálás 4 tömeg renormálás N gluon N ghost N fermion d elnevezés vákuum diagram gluon sajátenergia ghost sajátenergia elektron sajátenergia

46 9. tétel 42 Az el z ekhez hasonlóan itt is minden végig játszható, csak sokkal bonyolultabb számolásokat kell elvégezni a sok index miatt, remélhet leg nem is kell majd. 9.2 Regularizációs módszerek A Green-függvények számolása során divergens integrálokba ütközhetünk, ezeket regularizációs módszerekkel végesíthetjük, azonban gyelni kell arra hogy ha végtelen rendben végeznénk el a számolást akkor ezek már ne befolyásolják a zikailag mérhet mennyiségeket Levágás (Cout-o) A divergens integrálba bevezetünk egy levágást, így az improprius integrálunk csak véges tartományra terjed ki. Ezzel elrontjuk a mérték invarianciát, és mindig bizonygatni kell, hogy a zikai mennyiségek ett l függetlenül még mérték invariánsak. Tehát mértékelméletek esetén nem célszer használni Pauli-Villars regularizáció A divergens integrál propagátorát helyettesíthetjük egy, már jól viselked vel 1 k 2 + iε 1 k 2 µ 2 + iε 1 k 2 Λ 2 + iε (9.19) ahol µ 0 és Λ. Így az IR és UV divergenciák is kiküszöbölhet k. Ez az eljárás tudja a Lorentz-invarianciát, azonban nem-ábeli mértékelméletek mérték invarianciáját ez is elrontja Analitikus regularizáció Ötletét tekintve hasonlít az el z re, azonban a propagátort nem ellentaggal, hanem a divergens változó hatványának módosításával teszi helyre: 1 m 2 k 2 1 (m 2 k 2 ) α (9.20) ha Reα > 1, akkor megint sikerült végesítenünk, azonban ez a módszer is sérti a mérték invarianciát Térid rács regularizáció A folytonos térid t egy a rácsállandóval diszkretizáljuk, azaz az integrál szummába megy át, ahol a szumma az impulzustérbeli 1 a levágást tartalmaz. Ez se a Lorentz-invarianciát, se a mértékinvarianciát nem rzi meg. Azonban ilyen módszerekkel lehet nem pertubálható elméleteket is kezelni (elméleti jóslat az állandók értékeire) Dimenziós regularizáció A térid szimmetriáját lesz kítjük egy D dimenzióra, azaz azonban ennek hatására a konstansok is változnak d 4 k (2π) 4 dd k (9.21) (2π) D γ µ γ µ = D, γ µ γ ν γ µ = (2 D)γ ν, g 2 = g 2 0µ 4 D (9.22) ahol µ egy energia dimenziós renormálási skála, azért kell bevezetni, mert az integrál dimenziójának megváltoztatását korrigáljuk, így S továbbra is dimenziótlan legyen. Ez a regularizációs eljárást minden zikailag fontos tulajdonságot meg riz.

47 Az elektron-foton kölcsönhatás (folyamatok) 10.1 A Compton-szórás Ebben a tételben egy folyamat, a Compton-szórás végigszámolását fogom bemutatni, melyb l további tesztöleges, de hasonló számolási elveken alapuló mennyiségek meghatározás is következik. A példaszámolás során a QED Feynman-szabályaival, a gamma mátrixok tulajdonágával és tipikus integrálok meghatározásaival kell megismerkednünk A QED Feynman-szabályai A QED Lagrange-függvénye L = L EM + L E + L kh. = 1 4 F µ,νf µ,ν + ψ(iγ µ µ m)ψ + eψγ µ A µ ψ 1 2α ( µa µ ) 2 (10.1) ahol az utolsó tag a kényszert adja, mely α paramétere a kvantálási mérték el írástól függ; ha α = 0 akkor Landanu-mérték, ha α = 1 akkor Feynman-mérték, és ha α = akkor unitér mérték. Ezekb l leolvashatjuk a Feynman-szabályokat Vertex (2 elektron, 1 foton) i µ = ie(2π) 4 (γ µ ) α,β δ(p 1 + k p 2 ) (10.2) ahol α, β a be-, illetve kimen elektronok Lorentz-indexei és a δ az 4-es energia megmaradást biztosítja. Propagátorok (bels vonalak) e /e + propagátor: is F = γµpµ +m p 2 m 2 +iε γ propagátor: id µ,ν = i ηµ,ν k 2 +iε (10.3) Küls vonalak Részecske típusa Bejöv részecske Kimen részecske e ψ(x) p, σ, e = 1 (2pi) 3/2 u α (x)e ipx p, σ, e ψ(x) = 1 (2π) 3/2 u α (x)e ipx e + ψ(x) p, σ, e + = 1 (2pi) 3/2 v α (x)e ipx p, σ, e + ψ(x) = 1 (2π) 3/2 v α (x)e ipx γ A µ (x) k, ɛ, γ = 1 (2pi) 3/2 1 2 k 0 ɛ µ (x)e ikx k, ɛ, γ A µ (x) = 1 (2π) 3/2 1 2k0 ɛ µ(x)e ikx ahol u, v a Pauli-bispinorok és ɛ µ a foton polarizációs vektora. 43

48 10. tétel Compton-szórás hatáskeresztmetszete Minden olyan folyamat melyben a valóban 1 résztvev részecskék élettartama sokkal hosszabb mint a kölcsönhatás ideje 2, azok tárgyalhatóak az aszimptotikus szórás elméletével, tehát a Feynman-gráokkal leírhatóak. Egy ilyen folyam a Compton-szórás is mely egy e és γ rugalmas ütközését írja le, melynek átmeneti mátrixelemét a perturbáció számítás szerint p, k ˆTe i d 4 xh kh p, k = p, k (1db + 1 vertex + 12! ) 2db vertex p, k (10.4) képpen bonthatunk fel végtelen összegre, ahol H kh. = e : ψγ µ ψ : A µ. Látható, hogy a nullad-rend azt írja le, hogy nem történt semmi, az els -rend nem ad járulékot mert a vertexnek csak 3 lába van és nekünk a folyamat leírására négy kell (kett be, kett ki), tehát egy másodrend folyamatot kell számolnunk, tehát O(α 2 ) rend eredményt kell hogy kapjunk. Másod-renben két olyan gráf is van, mely leírja a kívánt szórást 3. A két gráf járulékának meghatározása során ugyanúgy kell eljárni, így a gráfszabályok alapján csak az els gráfot írom fel S Compton 1 = u(p, σ ) β ɛ ν (2π) 3/2 (2π) 3/2 2k u(p, σ) α 0 (2π) ɛ µ 3/2 (2π) 3/2 2k d 4 q 0 (2π) 4 i(γ λq λ + m) α,β q 2 m 2 + iε ie(2π) 4 (γ ν ) β,βδ(p + k q) ie(2π) 4 (γ µ ) α,β δ(q p k) (10.5) Tehát az els tényez a kimen elektron-, majd a kimen foton-, majd a bejöv elektron és bejöv foton-láb, ezek után integrálunk a bels, virtuális elektron impulzusára majd a virtuális elektron terjedésének propagátora és végezetül az utolsó, illetve az els vertexek. A delta segítésével elvégezhetjük az integrálást és az összetartozó indexeket egymás mellé rendezve, valamint a második gráf járulékát is hozzáadva S Compton 1+2 = ie 2 [ (2π) 2 2k 0 2k 0 δ4 (p + k p k)u(p, σ ) + γ ν ɛ ν γ λ p λ γ λ k λ + m (p k) 2 m 2 + iε γµ ɛ µ γ ν ɛ γ λ p λ + γ λ k λ + m ν (p + k) 2 m 2 + iε γµ ɛ µ + ] u(p, σ) (10.6) mivel k, k fényszer vektorok (k 2 = 0) és p tudja a tömeghéj feltétel (p 2 = m 2 ), a nevez tovább egyszer síthet S Compton = 2πiδ 4 (p + k p k)m (10.7) ahol M = e 2 [ 4(2π) 3 k 0 k 0 u(p, σ ) γ ν ɛ ν Ebb l a dierenciális hatáskeresztmetszet γ λ p λ + γ λ k λ + m p σ k σ γ µ ɛ µ γ ν γ λ p λ γ λ k λ ] + m ɛ ν p σ k σ γ µ ɛ µ u(p, σ) dσ = (2π) 4 M 2 δ 4 (p + k p k)d 3 p d 3 k (10.8) 1 nem virtuálisan 2 ahol ez nem teljesül ott rezonanciák jönnek létre (lsd. kés bb) 3 a második gráf elég gnóm lett, de azért még talán érthet (mivel nincs négy fotonos kölcsönhatás)

49 10. tétel 45 Spin polarizációs összeg A kísérleti eredmények nem mérik a végállapot elektron spinjét, így azokra összegzés: (10.9) σ=± 1 2 összegeznünk kell. Valamint a bejöv részecskék ezen paramétereit se ismerjük, tehát azokra átlagolás: 1 2 σ=± 1 2 (10.10) átlagolnunk kell. ahol M 2 = 1 M 2 := 1 u(p, σ )Au(p, σ) u (p, σ)a u (p, σ ) (10.11) 2 2 σ,σ σ,σ A = γ ν ɛ ν γ λ p λ + γ λ k λ + m p σ k σ γ µ ɛ µ γ ν γ λ p λ γ λ k λ + m ɛ ν p σ k σ γ µ ɛ µ (10.12) felhasználva hogy (γ 0 ) 2 = 1 a második tagot kib víthetjük, úgy hogy ott is megjelenjenek a u = u γ 0 Dirac-konjugáltak, valamint ismerve a ( u α (p, σ )u β (p, σ ) = u α (p, σ )u β (p, σ γλ p λ ) + m ) = 2p 0 α,β (10.13) bispinorok szorzási tulajdonságát a következ t kapjuk M 2 = 1 ( 2 Tr A γ λp λ + m 2p 0 γ 0 A + γ 0 γ λp λ ) + m 2p 0 (10.14) Most ezt kéne meghatározni, úgy hogy tudjuk hogy a foton transzverzális rezgést végez, azaz kɛ = k ɛ = 0, valamint hogy olyan rendszerben dolgozunk ahol a foton áll, a bispinor kielégíti (γp + m)u = 0 = u(γp + m) (10.15) a Dirac egyenletet és a gamma mátrixok a Cliord algebrát követik {γ µ,ν, γ ν,µ } = 2η ν,µ γaγb = γbγa + 2ab (10.16) tehát páratlan gamma szorzatának a nyoma nulla és γaγa = a 2, így használhatjuk majd a (γk) 2 = 0 = kɛ és (γɛ) = 1 összefüggéseket és megkapjuk a Klein-Nishina formulát dσ = α2 4m 2 ( ω ω ) 2 [ ] ω ω + ω ω + 4 ( ɛ ɛ) O(α 2 ) (10.17) ahol ω 1 = ω 1 + ω m (1 cos Θ) (10.18) ahol Θ a k és k hármas vektorok bezárt szöge, ami nem relativisztikus limeszben igen egyszer dσ α2 4m 2 ( ɛ ɛ) 2 (10.19)

50 10. tétel 46 Foton polarizációs összeg A foton polarizációját se detektáljuk, így rájuk is összegzés: átlagolás: 1 2 ɛ=1,2 ɛ=1,2 (10.20a) (10.20b) összegezni, illetve átlagolni kell. Jelen esetben csak a következ azonosságot kell ismerni (lsd Patkós: sug-rész, vagy Asbi: cqed) ( ɛ ɛ) 2 = 1 ( k k) 2 = 1 cos 2 Θ (10.21) ɛ,ɛ így dσ = α2 4m 2 ( ω 10.2 További lehetséges folyamatok ω ) 2 [ ] ω ω + ω ω 1 + cos2 Θ + O(α 2 ) (10.22) A fentiekhez hasonló módon további folyamatok hatáskeresztmetszete is kiszítható, csak a példa kedvéért: Párkeltás és annihiláció (fejreállított Compton szórás) Möller-szórás (elektron-elektron szórás foton propagátorral) Bhabha-szórás (elektron-pozitron szórás foton propagátorral)

51 Elektromágneses sugárzás és ionizáló sugárzás kölcsönhatása kondenzált anyaggal, áthatolóképesség, záporjelenség 11.1 Elektromágneses sugárzás kölcsönhatása kondenzált anyaggal Az els tételben tárgyaltak alapján három kölcsönhatást különböztetünk meg az átadott energia függvényében: fotoeektus, Compton-szórás, párkeltés Fotoeektus A fotoelektromos hatás (fotoeektus, fényelektromos jelenség) a küszöbszintnél nagyobb frekvenciájú elektromágneses sugárzás (például látható fény vagy ultraibolya sugárzás) által egy anyag (leginkább fém) felszínén lév elektronok kiváltása. Nincs elektronkibocsátás a határfrekvencia alatt, mert a foton nem tud elég energiát biztosítani ahhoz, hogy kilépjenek az atomos kötésb l. Az energiamegmaradás törvényét a következ Einstein-egyenlet írja le: T e = hν W ki, (11.1) ahol W ki a kilépési munka, hν a foton energiája és T e a kilép elektron mozgási energiája. A fotoelektromos hatás leginkább a bels héjakon következik be (mivel σ fotoe Z 5 ), így mindig társul hozzá egy szekunder folyamat is (mivel az atom nem szeret gerjesztett állapotban lenni) Compton-szórás Ha a foton nem nyel dik el teljesen, hanem csak szóródik az elektronon akkor azt Comptonszórásnak nevezzük. Az atomi elektronokat a szórás során szabadnak tekinthetjük, megfelel en nagy fotonenergia esetében az elektron atomi kötése elhanyagolható, az elektron szabadnak tekinthet. Az energia- és impulzusmegmaradás alapján meghatározhatjuk a foton energia változása és a szórási szög közti összefüggést (Compton képlet): Párkeltés hν = hν hν m ec 2 (1 cos θ). (11.2) A párkeltés és a szétsugárzás az anyag és az energia ekvivalenciájának bizonyítéka. Ködkamra felvételb l az látszik, hogy nagy energiájú γ-sugárzás hatására a ködkamra ugyanazon pontjából, egyszerre elektron és pozitron indul ki. Mérések alapján az ilyen elektron-pozitron pár keletkezéséhez vagy más néven a párkeltéshez legalább hf = 1.02 MeV energiájú γ-foton szükséges. A tömeg és az energia ekvivalenciája alapján (E = mc 2 ) egy elektron és egy pozitron tömegének 47

52 11. tétel MeV energia felel meg. A párkeltést tehát úgy kell elgondolni, hogy egy atommag közelébe (kell hozzá az atommag tere, mert különben nem lehetne négyes energia megmaradás) jutó γ-foton elt nik, és helyette elektron-pozitron pár keletkezik, miközben az összes energia, az összes töltés és az összes impulzus megmarad. Ha a foton energiája nagyobb, mint 1.02 MeV, akkor 1.02 MeV fordítódik a párkeltésre, és a fölösleges energia a pozitron és az elektron mozgási energiáját növeli. A párkeltés hatáskeresztmetszete a közeg rendszámának második hatványával skálázik Összefoglalva Kis energiákon a fotoeektus dominál, majd egy E 1 küszöbenergiától a Compton-eektus és E 2 küszöbt l már a párkeltés. A Z rendszám növelésével a Compton tartomány csökken (E 1 n és E 2 csökken) Ionizáló sugárzás kölcsönhatása kondenzált anyaggal Coulomb-szórás A Rutherford-kísérletben α-részecskékkel (hélium atommagokkal) bombáztak vékony aranylemezt, és meglep eredményt kaptak: az α-részecskék kis hányada igen nagy eltérülést szenvedett. Ha az atommag belsejében az anyag többé-kevésbé egyenletesen oszlana el az akkor leginkább elfogadott mazsolás puding modell szerint, akkor az alfa-részecskék a lemezen, bár lassulva, de eltérülés nélkül haladnának keresztül, hasonlóan, mint a puskagolyó a vízben. Az α-részecskéknél néha jelent s irányváltozás volt meggyelhet. Többségük (miközben energiájuk egy részét elveszítették) egyenesen haladt át a lemezen, néhányuk iránya azonban jelent sen megváltozott elején Rutherford publikálta módosított atommodelljét, a Rutherford-féle atommodellt. A meggyelések szerint a szétszórt pozitív töltéssel rendelkez atom modellje helytelen volt, valójában a pozitív rész kis térfogatban összpontosul. Arra következtetett, hogy az atom dönt része üres, az atom nagy része egy kis térrészre, a magba koncentrálódik, és az elektronok ekörül a mag körül keringenek az elektrosztatikus vonzás hatására. Klasszikus számolással is már jó eredményt kapunk. A Rutherford-szórás egy b impaktparaméter részecske szórását írja le egy adott szórócentrumon. Legyen a részecske és a szórócentrum között egy V (r) = α/r vonzó kölcsönhatás. Az energia megmaradásból következik, hogy a szórási szög tan ( ) ϑ 2 = α mv 2 0 b, (11.3) ahol v 0 az m tömeg részecske kezdeti sebessége, így a szórási hatáskereszmetszet (hengerszimmetrikus esetben) σ(ϑ) = da dω = 2πbdb 2π sin(ϑ)dϑ = b(ϑ) db(ϑ) sin(ϑ) dϑ, (11.4) amib l a szórási hatáskeresztmetszet: ( α σ(ϑ) = dωσ(ϑ) = 4E kin. ) 2 1 sin 4 (ϑ/2). (11.5) Fontos megjegyezni, hogy amíg a számolás klasszikus volt, addig ez az eredmény még kvantumosan is fennál. Bethe-Bloch-formula (ionizáció) Minden töltött részecske az anyagon való áthaladásakor energiát veszít, ezt a de dx fajlagos energia veszteséggel jellemezhetjük. Amire nagyságrendi becslést adhatunk a Bethe-Bloch formula segítségével. A Bethe-Bloch formulát a következ naiv modellb l származtathatjuk: vegyünk egy nehéz iont ami a közeg egy, kiszemelt elektronjától b impaktfaktor halad el. Valamint tegyük fel, hogy az ionunk pályája egyenes (nem találja el a magot és nem is vesszük gyelembe a kinyújtott hiperbola

53 11. tétel 49 alakot), v =áll. azaz elég vékony a céltárgy ahhoz hogy jelent sen ne lelassuljon le az ion, valamint az az atomi elektron nem mozdul el (szemléletesen mondhatjuk azt, hogy er sen van kötve az atommaghoz). Mivel a probléma szimmetrikus, így az er vízszintes komponensének a hatása pont kiesik, tehát csak a pályára mer leges komponensét kell venni az ion és az elektron közt fellép er nek: p = F = k e2 Z cos(ϑ)dt, (11.6) r2 ahol Z az ion rendszáma, melyb l az egy darab elektronnak átadott energia: E 1 = p2 = 2k2 e 4 Z 2 2m e m e b 2 v 2. (11.7) Már csak azt kell meghatároznunk, hogy a legfeljebb "b" távolságra lév elektronoknak mennyi elektront ad le az ionunk. A falban b távolságra lév elektronok számát a következ képen adhatjuk meg: N(b) = 2πnbdbdx, (11.8) ahol n az atom elektron s r sége. Ebb l az ion energia vesztesége: de dx = 4πk2 e 4 Z 2 db mv 2 0 b, (11.9) ami logaritmikusan divergens. Tehát egy alsó és fels levágási határ; az ionizációs energiától a meglökési energiáig integráljuk ki, így: de dx = 4πk2 e 4 Z 2 mv 2 ln 2mv2. (11.10) E ion Ha gyelembe vesszük azt, hogy a számolásunk elég naiv volt, akkor a relativisztikus korrekciókkal a következ eredményt kapjuk: de dx = 4πk2 e 4 Z 2 mv 2 ] [ln 2mv2 ln(1 β 2 ) β 2. (11.11) E ion Összefoglalás képen azt mondhatjuk, hogy a leadott energia fordítottan arányos az ion tömegével 1. Valamint az ion rendszámával négyzetes n a leadott energia. Ezek alapján a megállási úthosszt a következ képen becsülhetjük meg: ahol A a közeg tömegszáma. Cserenkov-sugárzás R = E 0 dx de de E2 Z 2 A, (11.12) Ha a töltött részecske gyorsabban mozog mint a közegbeli fénysebesség (azaz ha 1 µε 1 ε < v), akkor Cserenkov sugárzást bocsájt ki (kékes fény). A sugárzás egy, a haladási iránnyal szemben álló kúp, melynek a kúp nyílásszöge (Mach-szög): cos θ = c v = c 0 nv = 1 nβ, (11.13) a sugárzás intenzitása pedig: I = 4π2 e 2 ) c 2 Z (1 2 c2 v 2 n 2. (11.14) Szemléletesen, úgy magyarázhatjuk az el z eredményt, hogy a bejöv részecske polarizálja a közeg atomjait. Az így keletkez dipólusok visszarendez dése során létrejön a sugárzás. Ha kicsi a részecske sebessége, akkor van id arra, hogy a dipólusok a részecske pályára szimmetrikusan rendez djenek vissza, így destruktív interferencia révén ne jöjjön létre sugárzás. A részecske forgáskúp tartományban sugároz, azaz a részecskéb l kiinduló sugárzási hullámok burkolója egy forgáskúp palástja mentén helyezkedik el. 1 a levezetés során sok egyszer sít feltevés tettünk melynek következtében a végeredmény csak nehéz ionokra m ködik

54 11. tétel 50 Fékezési sugárzás Gyorsuló, illetve lassuló töltés elektromágneses teret kell és a tér fenntartáshoz energia szükséges, melyet sugárzás formájában ad le, a sugárzás színképe tehát folytonos, a hullámhossz pedig minimummal rendelkezik: E ion = ν max. = hc. (11.15) λ min. Ezt gyorsítók esetében Larmor- vagy ciklotron-sugárzásnak nevezzük. A leadott energia arányos a részecske energiájával de dx = E (11.16) r 0 ahol r 0 az úgynevezett sugárzási hossz, melynek megoldása E(x) = E 0 e x r 0 (11.17) Gyors részecskék esetén ez az energia veszteség dominál, hiszen ekkor a Bethe-Bloch formula energia vesztesége logaritmikus, míg ez lineáris függést mutat a részecske energiájával, a közegre jellemz kritikus energia 600 MeV E c (11.18) Z ami alatt az ionizációs energia veszteség dominál. Átmeneti sugárzás Az átmeneti sugárzás akkor lép fel, amikor a töltött részecske az n 1 törésmutatójú közegb l átlép egy ett l eltér n 2 törésmutatójú másik közegbe. A töltött részecske szempontjából ez látszólagos gyorsulásoknak t nik, és a gyorsuló töltés sugároz. A kibocsájtott energia E α -val arányos, ahol α a nomszerkezeti állandó és E a részecske energiája (Lorentz tényez ) Záporjelenségek Elektromágneses záporok Adott hosszúságú szakaszonként a részecskék száma megduplázódik (fékezés sugárzás és párkeltésnek köszönhet en: bemegy egy foton, majd elektront és pozitront kelt, a részecskék fékezési sugárzása után mindegyikr l 1-1 foton leszakad, így most már 2 részecskénk és két fotonunk van,...). Tehát minden lépésben duplázódik a részecskék száma. Az N. lépésben 2 N részecske van, ez addig ismétl dik míg a részecske kezdeti E energiája nem megy E c alá ahol E c a két elektron keltési küszöb 2 511keV. N max = ln E E c ln 2 (11.19) Hadronikus záporok Most a bees hadron rugalmatlan szóródása során másodlagos hadronokat kelt. Míg az EM detektorokban közel az összes leadott energia összegy jthet, addig most csak olyan 30%-a (persze, mert az EM folyamatok hatáskeresztmetszete sokkal nagyobb mint a hadronoké). Most E c a két pion keltési küszöb 2 140MeV.

55 Er s kölcsönhatás alapjai: megmaradó mennyiségek, részecskék-rezonanciák tulajdonságai 12.1 Er s kölcsönhatás alapjai A kvarkmodell jóslata alapján megtalálták a ++ = u, u, u kétszeresen töltött 3 spin 2 hadron rezonanciát. A Pauli-elv értelmében feles spin miatt a hullámfüggvénynek teljesen antiszimmetrikusnak kéne lennie, azonban ez az eddigi kvantumszámokkal nem volt megvalósítható, így az anomália kiküszöbölésére egy új kvantumszámot kellett bevezetni Ψ ++ = 1 6 ε i,j,k u i u j u k (12.1) Továbbá a π 0 2γ bomlás elméletileg számolt bomlási valószín sége a egy nagyságrenddel a kísérleti értékek alatt volt, de három szín bevezetésével az egész kap egy 9-es faktort. Az e + és e ütköztetések hatáskeresztmetszeteib l R := σ(e e + hadron) σ(e + e µ + µ ) = N q Q 2 q (12.2) a színek száma N = 3-nak adódott, ahol q az egyes, adott energián keletkezhet kvarkok és Q q a q kvark töltése. A mélyen rugalmatlan szórásoknál azt tapasztalták, hogy a hadronok impulzusának csak 40%-át adják a kvarkok, tehát hadronokon kívül más, gluonok is rész vesznek a folyamatban Yang-Mills: nem-ábeli mértékelmélet megalkotása, ahol a gluonok a mértékbozonok. A meggyelhet részecskék color-szingletek, mely a kvark-gluon bezárással magyarázhatóvá váltak. Eddig a QCD jóslatait csak 10% pontossággal sikerült ellen rizni, azonban elfogadottsága annak köszönhet, hogy felváltotta a πnn elméletet egy pertubálható, valamint a QED-vel szemben 1 ez egy önkonzisztens egyenlet, mert az aszimptotikus szabadság miatt a nagyenergiás viselkedése is ismert QCD Lagrange-függvénye A standard-modell az er s kölcsönhatás és elektro-gyenge kölcsönhatásokat egyesítette egy SU(3) SU(2) U(1) mértékelméletbe, ahol az SU(3) mértékelmélet írja le az er s kölcsönhatást, tehát L kvark (x) = q(x) (iγ µ D µ m) q(x) (12.3) melyben a kovariáns deriváltat a szokásos módon deniálhatjuk D µ := µ ig λa 2 Aa µ (12.4) 1 olyan magas energián veszti el az önkonzisztenciáját, ahol egyéb eektusok is belépnek (ez kb végtelen, így ez is önkonzisztensnek mondható) 51

56 12. tétel 52 ahol λ a GellMann-mátrixok az SU(3) csoport generátorai (a = 1,..., 8), melyek T r(λ a λ b ) = δ a,b (12.5) vannak normálva és Lie-algebrájuk 2 [λ a, λ b ] = if a,b,c λ c (12.6) A mértékteret úgy vezettük, be hogy invariáns legyen a U(x) = e i λa 2 εa(x) 1 iε a (x) λa lokális 2 mértéktranszformációra. Azaz az új térnek úgy kell transzformálódnia, hogy D µ (U(x)q i )! = U(x)(D µ q i ) (12.7) Ez akkor tehet meg, ha a mértéktér transzformációja a következ ( U(x) D µ q i µ δ i,j ig λ a ) ( A a µ q! (x) = U(x) µ δ i,j ig λ 2 i,j 2 ( µ δ i,j ig λ a ) ( A a µ U(x)q(x) = U(x) µ δ i,j ig λ 2 i,j 2 ( µ δ i,j ig λ a ) ( A a µ U(x)q(x) = U(x) µ δ i,j ig λ 2 i,j 2 ( µ δ i,j ig λ a ) ( A a µ = U(x) µ δ i,j ig λ 2 i,j 2 a a A a µ i,j a A a µ i,j a A a µ i,j a A a µ i,j ig λ 2 i,ja a µ = U(x) µ δ i,j U 1 (x) U(x)ig λ 2 ) q(x) ) q(x) ) U 1 (x)u(x)q(x) ) U 1 (x) a i,j A a µu 1 (x) A a µ A a µ f a,b,c ε b (x)a c µ + 1 g µɛ a (12.8) A gauge-tér dinamikáját a Wilson-hurokból deniált igfµ,ν a λ 2 a i,j q j := [D µ, D ν ]q i Fµ,ν a = µ A a ν ν A a µ + gf a,b,c A a µa a ν térer sség tenzorral adhatjuk meg (12.9a) (12.9b) Így a QCD teljes Lagrange-függvény ahol q = q γ 0 Dirac-konjugált. L Gauge := 1 4 F µ,νf µ,ν 1 4 F a µ,ντ a F µ,ν b τ b (12.10) L QCD (x) = 1 4 Tr(F µ,νf µ,ν ) + q(x) (iγ µ D µ m) q(x) (12.11) Kölcsönhatás potenciál képben Egy igen naiv képpel a potenciál képpel jellemezhetünk egy kölcsönhatást, ennek inkább kísérleti szempontból van jelent sége, hiszen ez pillanatszer kölcsönhatást feltételezne. Tegyük fel, hogy a kölcsönhatás közvetít részecskéken keresztül történik, ekkor bevezethetünk egy hatótávolságot és egy er sséget a kölcsönhatás jellemzésére, a következ képpen; feltéve hogy a közvetít részecske kielégíti a rá vonatkozó E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 (12.12) tömeghéj feltételt, akkor az ehhez a diszperziós relációhoz tartozó (p = i, E = i t ) kvantummechanikai egyenlet: 1 c 2 2 t Ψ(r, t) + 2 Ψ(r, t) m2 c 2 Ψ(r, t) = 0 (12.13) 2 2 persze csak f struktúra állandó ismeretében adnám meg

57 12. tétel 53 melynek statikus megoldása olyan mintha egy kölcsönhatást írna le, hiszen ez egy álló részecskeképet ad U(r) = g 4πr e r/r (12.14) ahol g a kölcsönhatás csatolási állandója és R = mc a kölcsönhatás karakterisztikus hossza. Er s kölcsönhatás esetén a közvetít részecskéket gluonoknak nevezzük, mely a kvarkok színét cseréli. Mivel QCD esetén kvarkbezárás gyelhet meg, így az el z naiv képet tovább kell kozmetikáznunk és U QCD (r) = g 4πr e r/r + kr (12.15) g ahol 4π 1, azaz nem pertubálható elmélet. Persze ez mind diszjunkt a térelméleti leírással, de azért egy jó becslést ad A QCD megmaradó mennyiségei Általánosan azt mondhatjuk, hogy minden olyan folyamat végbe mehet amit valamilyen megmaradási törvény nem sért. Ebben fejezetben ezeket a megmaradási tételeket vesszük sorra. Azonban egy gyors áttekintést ad a következ táblázat: Megmaradás Er s kölcsönhatás EM kölcsönhatás Gyenge kölcsönhatás Energia-impulzus Elektromos töltés Barionszám Leptonszám Izospin I = 1, 1 2 Ritkaság S = 1, 0 Bájosság C = 1, 0 Paritás ( ˆP) Töltés konjugálás (Ĉ) Ĉ ˆP Ĉ ˆP ˆT Valamint ezen felül ha a kezdeti állapot csak bozonokat tartalmazott akkor a végállapot is csak bozonokból fog állni, ugyan így fermionokra is. Barionszám minden kvark barionszáma 1/3, míg minden antikvarké 1/3. Tehát a hadronok bariontöltése B = 1 Barion, B = 0 mezon, B = 1 antibarion lehet, míg leptonoké mindig nulla. Leptonszám Háromfajta leptonszám van: L e, L µ, L τ, melyeket a következ képen osztunk ki a folyamat során { +1 : i, νi L i = (12.16) 1 : i, ν i ahol i {e, µ, τ }. Ĉ töltéskonjugálás A részecskék minden töltését (-1) szeresére változtatva, azaz a részecskét antirészecskére cserél.

58 12. tétel Rezonanciák Egy folyamat lezajlásának az idejét az aszimptotikus szóráselméletb l számolhatjuk 1 τ = Γ = dω M 2 (12.17) ha a folyamatban résztvev részecskék élettartama ennél lényegesen hosszabb, akkor m ködik az aszimptotikus szóráselmélet. Azonban a 12.4 ábrán látható csúcsok rezonanciák megjelenésér l árulkodnak, azaz feltehetjük hogy rövid id re össze áll a rendszer egy rezonancia részecskévé és akkor egy eektív elmélettel kell dolgoznunk. Például nukleon pion szórás esetén egy rezonanciát vezetünk be, és ennek segítségével az eektív Lagrange L Nπ (x) = g m N i ν(x)n(x) ν π i (x) (12.18) A kés bbiekben majd láthatjuk az eektív elméletek megkonstruálásának szabályait, de néhány dolgot most is megállapíthatunk a feltételezett rezonanciáról Breit-Wigner formula A formula segítségével a szórási hatáskeresztmetszet ismeretében megtudhatjuk a rezonancia tömegét és élettartamát. Az aszimptotikus szórásnál megtanultak alapján tudjuk, hogy S f,i = δ f,i + (2π) 4 δ 4 (p f p i )T f,i (12.19) ahol T a reakció mátrix, melyet a Feynman-gráfok segítségével meghatározhatjuk és a következ függést mutatja 1 T f,i = f T i (12.20) s m 2 ahol m a rezonancia tömege. Tegyük fel hogy a rezonancia tömege egy kis képzetes résszel bír ekkor az átmeneti mátrixelem melyb l a hatáskeresztmetszet m = m i Γ 2, Γ > 0 (12.21) σ T f,i 1 s m 2 + im Γ (12.22) 1 4m 2 [( s m 2 ) Γ2 ] (12.23) ahol felhasználtuk, hogy s = m +δ s = m 2 +2m δ = m 2 +2m s m. Tehát a rezonanciák helye a részecske tömegének felel meg, a csúcs félérték szélessége pedig annak élettartamának a reciproka.

59 12. tétel 55 g. 12.4: µ, µ + ütközések hatáskeresztmetszet

60

61 Bels szimmetriacsoportok: SU(2), SU(3) és a részecskék rendszerezése, a kvarkmodell alapjai 13.1 Izospin és általánosítása Heisenberg a mager k töltésfüggetlenségének magyarázatára bevezette az izospin fogalmát, mivel a magban fellép er s kölcsönhatás szempontjából a p + és a n 0 egyformának tekinthet, azaz elképzelhetjük ket úgy, mint egy N részecske (nevezzük nukleonnak) két megjelenési formáját N a = Ûa,b N b (13.1) ahol Û egy 2 2-es unitér, egységdeterminánsú mátrix, azaz Û SU(2) ahol a csoport generátorai a Îa operátorok, tehát Û = e iεaîa (13.2) ahol ε egy tetsz legesen kis paraméter. A generátor elemek [Îa, Îb] = iɛ a,b,c Î c (13.3) kommutációs relációjának ismeretében teljesen jellemezhetjük a szimmetria csoportot. Ilyen algebra mellett (forgás csoport) a generátorok el állíthatóak a pauli mátrixok segítségével ahol σ = (ˆσ x, ˆσ y, ˆσ z ) = (( Î a = 1 2 ˆσ a (13.4) ) ( 0 i, i 0 ) ( 1 0, 0 1 )) (13.5) ebben a reprezentációban jelöljük a nukleon két állapotát a következ bázisvektorokkal ( ) ( ) p + 1 =, n 0 0 =, (13.6) 0 1 így ezek Îz = 1 2 ˆσ z saját állapotai lesznek, ± 1 2 sajátértékkel, tehát Îz olvassa ki a nukleon állapotát. A szokásos módon léptet operátorokat is deniálhatunk α = Îx ± iîy. Az ábrázolás Kazimíroperátora Î2 = Î2 1 + Î2 2 + Î2 3, mely az ábrázolás minden generátorával felcserél [Î2, Îa] = 0 (13.7) sajátértéke pedig (Î2 visszajátszható Îz, α operátorok kombinációjára és ebb l már megállapíthatjuk) Î 2 N = I(I + 1) N (13.8) megadja az ábrázolás 2I + 1 dimenzióját. Mivel most két lehetséges nukleon állapotunk van, azaz kétdimenziós ábrázolást vizsgálunk, így I = 1 2, szokás ezt is feltünteti az állapot jellemezése során N a I, I a z, pl.: n 0 = 1 2, 1 2 (13.9) 57

62 13. tétel 58 Vegyük észre, hogy az izospin segítségével kifejezhetjük a nukleonok töltését Q I z + B 2 = I z (13.10) ahol B a részecskék barion száma, ami esetünkben 1, mivel minden nukleon három kvarkból áll (ekkor még nem tudtak a kvarkokról, így csak azért kapták ezt a számot, mert a magban vannak) Izospin kiterjesztése és a ritkaság Az el z fejezetben láttuk, hogy (közel) azonos 1 tömeg részecskék felfogóhatóak úgy, mint egy anyarészecske két állapota. Azonos tömeg esetén az adott kölcsönhatást leíró Lagrange-függvény szimmetrikus az egyik részecskéb l a másikba viv Û transzformációra nézve. Tehát az azonos tömeg részecskéket azonos ábrázolásba csoportosították. Pionok esetén három azonos tömeg részecskét gyeltek meg: π ±,0, így egy I = 1 háromdimenziós ábrázolásba foglalták ket, ekkor az I a generátorok a háromdimenzióra kiterjesztett Pauli-mátrixok lettek (GellMannmátrixok), és minden részecskét egy háromdimenziós vektorral írhatunk le. Azonban ekkor elromlik a töltés formula, de nem csak pionra hanem a kaonokra és a Λ részecskére is. Tehát bevezettek egy új kvantumszámot, mely rendbe teszi a töltésformulát ahol S a ritkaság kvantumszám és Y az úgynevezett hipertöltés Hadron kvarkmodellje Q := I z (B + S) := I z Y (13.11) A részecskezikában hadronnak nevezzük az olyan összetett szubatomi részecskéket, amelyeknek összetev i kvarkok és gluonok. Az el z gondolatmenet alapján elkezdték osztályozni és ábrázolni a meggyelt részecskéket aszerint, hogy milyen a spinjük, paritásuk, tömegük, hipertöltésük, izospin vetületük. A rendszerezés következtében a 13.6, 13.7 ábrákat találták. Ekkor még a Bariondekupletben szerepl Ω részecskét nem találták, de csak ezzel lenne teljes a kvark-kép. A kvarkmodell szerint (Gell-Mann, Zweiget, 1964) minden részecske kvarkokból épül fel, melyek barion töltése 1/3 és 1/2 spin ek. Az u, d kvark egy ábrázolásba tartozik, így az izospinjük I u,d = 1/2, I u z = 1/2, I d z = 1/2, míg az s egyedül van, tehát izospinje I s = 0. Az s ritkasága S s = 1, míg a többié S u,d = 0. Töltésük pedig Q u = 2/3, Q d = 1/3, Q s = 1/3, tehát az SU(3) csoport denáló és konjugált ábrázolása g. 13.5: Az SU(3) csoport denáló és konjugált ábrázolása 1 A proton és neutron mn mp = 1% m o tömegkülönbségét Katzék az EM kölcsönhatással magyarázták, tehát az n+m p er s kölcsönhatás szempontjából tényleg azonosak

63 13. tétel 59 Ezek segítségével minden típusú részecske el állítható: Ψ = Φ(térrész)χ(spinrész)γ(avour-,íz-komponens) (13.12) Továbbá nevezzük (q, q, q) barionoknak az olyan részecskéket amik három kvarkot tartalmaznak és (q, q) mezonoknak az olyanokat, melyek egy kvark és antikvark pár alkot. Ekkor minden ábra részecskéit legyárthatjuk, ha kiválasztunk egyet és a léptet operátorok Ŝ ±, α segítségével bejárjuk az egész hatszöget, vagy piramist (gyelve arra, hogy fermionok esetén teljesüljön a hullámfüggvény teljes antiszimmetriája és bozonok esetén a teljes szimmetriája) paradoxon és a színtöltés ++ = (u, u, u) és s = 3/2, tehát teljesen antiszimmetrikusnak kell lennie, viszont mivel csak u kvarkokból épül fel, így (13.12) módon nem tudunk teljesen antiszimmetrikus kombót képezni. Ahhoz hogy ez megtehet legyen egy új kvantumszámra, a színtöltésre van szükségünk, ekkor Ψ ++ = Φ(u ) i Φ(u ) j Φ(u ) k γ(u, u, u )ɛ i,j,k (13.13) már választható teljesen antiszimmetrikus hullámfüggvény. Továbbá a kvarkmodell megengedi hogy a barion és mezonokon kívül legyenek még más hadronok is, de ez is rendbe tehet a színtöltéssel, ha kimondjuk hogy csak fehér szín (szinglet) állapotok gyelhet ek meg, mivel csak ennek a két állapotnak van szinglet ábrázolása Tehát (q, q) = 3 3 = 1 8 (13.14) (q, q, q) = = (13.15) Ψ(x, σ, Y, I z, 1) = Φ(térrész)χ(spinrész)γ(avour-,íz-komponens)δ(szín komponens) (13.16) az antiszimmetria feltételéb l következ en legalább három színre van szükségünk, azonban R := σ(e e + hadron) σ(e + e µ + µ ) = N q Q 2 q (13.17) szóráskísérletek alapján a színek száma N = 3-nak adódott, ahol q az egyes, adott energián keletkezhet kvarkok és Q q a q kvark töltése.

64 13. tétel 60 g. 13.6: pszeudoskalár Mezon-oktet (0,0 spin, P Ψ = ( 1)Ψ) (a) barion-oktet ((1/2) +,1/2 spin, P Ψ = (+1)Ψ) (b) barion-oktet ((3/2) +,3/2 spin, P Ψ = (+1)Ψ) g. 13.7: Barionok

65 Er s kölcsönhatás dinamikája, a QCD alapjai 14.1 A QCD alapjai Az er s, gyenge és elektromágneses kölcsönhatást is magába foglaló elmélet a Standard Modell. Ez egy nemábeli-mértékelmélet, mértékcsoportja az SU(3) c SU(2) U(1). Ebb l az SU(3) c a QCD (Quantum Chromodynamics, kvantumszíndinamika) mértékcsoportja. A c index a színre utal. A kísérletek és a számolások pontossága az egyes elméletek esetében (kb. ugyanolyan pontosan tudjuk mérni ket, mint számolni): QCD pontossága: O(10%) gyenge kölcsönhatás pontossága: O(10 1 %) QED pontossága: O(10 8 %) Ezekben az elméletben futó csatolási állandó található. Ez azt jelenti, hogy a csatolási állandó függ az s-t l, a tömegközépponti energia négyzetét l. A QCD csatolási állandója α s viszont az aszimptotikus szabadság és a kvarkbezárás tulajdonságával rendelkezik: aszimptotikus szabadság: lim s α s (s) = 0 kvark bezárás: lim s 0 α s (s) = 0 (14.1) Az aszimpotikus szabadság miatt a nagyenergiás szórásokat jól lehet perturbatívan számolni (mert ott kicsi a csatolási állandó, tehát a perturbációs sor "konvergál"), így kaphatunk egy konzisztens elméletet. A QCD három f irányba kezdett el fejl dni; perturbatív QCD (pqcd), nemperturbatív QCD (pl.: rács-qcd) és véges h mérséklet QCD. A továbbiakban a pqcd-vel fogok foglalkozni (esetleg az utolsó tételben említés szinten rátérek a rács-qcd-re) A QCD kialakulása A teljesség igénye nélkül bemutatom a QCD-hez vezet kísérleti eredményeket és azoknak a kihatását az elméletre. Parton modell A hadronspektrum szabályosságai miatt arra a következtetésre jutottak a zikusok, hogy a hadronok kisebb alkotórészekb l, ún. partonokból állnak. A hadronok bels szerkezetét nagyenergiájú mélyen rugalmatlan hadronlepton ütközésekkel vizsgálták. Ezen szóráskísérletekben a totális hatáskeresztmetszet olyannak adódott, ami megegyezik pontszer alkotórészeken való szóródás totális hatáskeresztmetszeteinek inkoherens összegével. Azaz a leptonok els közelítésben a hadronokban lev, szabadnak tekinthet partonokon szóródnak. Az a tény, hogy a partonok a hadronok belsejében szabadnak tekinthet k, az aszimptotikus szabadságra enged következtetni. 61

66 14. tétel 62 A szín bevezetése A partonmodell nyomán felépített additív kvarkmodell jó közelítéssel visszaadta a hadronspektrumot, és például a proton és neutron mágneses momentumát is. Azonban akadtak problémák. Például a ++ spinje S = 3/2 és izospinje I = 3/2, így a hullámfüggvénye az additív kvarkmodell szerint Ψ = u u u (14.2) Ez azonban teljesen szimmetrikus, de a ++ fermion, így a Pauli-elv nem teljesülne. Ezért ha bevezetünk egy plusz kvantumszámot, a színt, amely 3 féle értéket vehet fel, akkor már kielégíthetjük a Pauli-elvet Az e + és e ütköztetések hatáskeresztmetszeteib l R := σ(e e + hadron) σ(e + e µ + µ ) = N q Q 2 q (14.3) a színek száma N = 3-nak adódott, ahol q az egyes, adott energián keletkezhet kvarkok és Q q a q kvark töltése. Kvark bezárás Továbbá a kvarkmodell megengedi hogy a barion és mezonokon kívül legyenek még más hadronok is, de mégse találtak már részecskéket. A kvarkok az SU(3)-nak a 3, az antikvarkok a 3 ábrázolásával transzformálódnak. Tehát ha feltesszük hogy csak fehér szín (szinglet) állapotok gyelhet ek meg (q, q) = 3 3 = 1 8 (14.4) (q, q, q) = = (14.5) akkor már megmagyarázhatóak a kísérleti meggyelések, hiszen csak ennek a két kombinációnak van szinglet ábrázolása. Elméleti fejl dés rövid áttekintése Elméleti fejlemények. A klasszikus nem-ábeli mértékelméleteket Yang és Mills dolgozták ki (1954). Ezeket azonban nagyon sokáig nem tudták kvantálni. A mértékelméletek kvantálása Faddeev és Popov nevéhez f z dik (1967). A nemábeli mértékelméletek renormálhatóak (t'hooft 1971), és jellemz rájuk az aszimptotikus szabadság (t'hooft 1972, GrossWilczek és Politzer 1973). Ezen tulajdonságai miatt a nemábeli mértékelméletek voltak a legjobb jelöltek arra, hogy a kvarkok közötti kölcsönhatást leírják. GellMann, Fritzsch: a szín legyen az SU(3) nemábeli mértékcsoport. Lényegében ekkor született meg a QCD A QCD dinamikája A kísérletek alapján a kvarkok feles spin ek. 6 különböz kvark-íz van: u, d, c, s, t és b, és három színnel: piros, kék, zöld rendelkeznek. Tehát így összesen q(x) hullámfüggvényünk van a L kvark 0 (x) = q(x) (iγ µ µ m) q(x) (14.6) szabad Lagrange-függvényben. Mértékcsoportként az SU(3)-mat vesszük, ábrázolásnak a háromdimenziós önábrázolást tenzorszorozva az íz és Dirac indexekben lev identitással. Az mértéktranszformáció lokálissá tétele U = e iεa λa 2 U(x) = e iεa(x) λa 2 (14.7) után a mértéktérnél elmondottak alapján a következ kovariáns derivált jelenik meg D µ := µ ig λ a 2 Aa µ (14.8)

67 14. tétel 63 ahol λ a A GellMann-mátrixok, melyek a szín indexekben hatnak. Ekkor a terek a következ képpen transzformálódnak a q (x) = U(x)q(x) (14.9) A µ(x) = λ ( a λa 2 Aa µ = U(x) 2 Aa µ i ) g U 1 (x) U(x) U 1 (x) A µ + λa 2 f a,b,c ε b (x)a c µ λa 1 2 g µε a (x) (14.10) mértéktrafó alatt. A mértéktér dinamikáját meghatározó térer sség így a QCD Lagrange-függvénye: ahol q(x) = q (x)γ A QCD kvantálása A mértékterek igf µ,ν q(x) := [D µ, D ν ]q(x) (14.11) F a µ,ν = ( µ A a ν ν A a µ) + gf a,b,c A b µa c ν (14.12) L QCD (x) = 1 2 Tr(F µ,νf µ,ν ) + q(x) (iγ µ D µ m) q(x) (14.13) L mértéktér kinetikus tagja = 1 4 ( µa a ν ν A a µ)( µ A ν,a ν A µ,a ) (14.14) kinetikus része miatt problémába ütközünk a kvantálásuk során, hiszen ekkor a Green-függvény kernel értelemben vett inverze K = δ a,b ( σ σ η µ,ν δ µ δ ν ) δ a,b ( k 2 η µ,ν + k µ k ν) (14.15) nem invertálható (mivel létezik olyan nulla sajátérték vektora), azaz nincs Green-függvénye a mértéktérnek (nincs dinamikája). Míg ábeli mértékelmélet esetén a GuptaBleuler-kvantálást követve a mértéktér mozgásához hozzá adva egy teljes divergenciát L GuptaBleuler = L mértéktér kinetikus tagja + λ 2 ( µa µ ) 2 (14.16) már formálisan kiküszöbölhet vé válik a probléma, addig ez nem ábeli mértékelméleteknél nem tehet meg ilyen egyszer en. Hiszen most található lenne egy olyan mértéktranszformáció amivel a hozzáadott tag eltüntethet lenne. A problémát másképpen is megfogalmazhatjuk: Ha A a µ-hoz keresünk a kanonikus egyenletek alapján kanonikusan konjugált impulzust, akkor azt látjuk, hogy π0 a = 0, ami nem fogja tudni kielégíteni a kanonikus csererelációját A a µ-val. Faddeev-Popov kvantálás Lényegében most is egy plusz tagot fogunk majd bevezetni a Lagrange-függvénybe, de a mérték invariancia megtartásához kicsit trükköznünk kell és látni fogjuk, hogy ehhez úgynevezett szellemterek bevezetésére lesz szükségünk. Induljunk ki a rendszer naiv generálófunkcionáljából Z[J] := D[A]e i d 4 x(l+a a µ J a ) (14.17) mely deriválásával minden Green-függvény el állítható (persze minden térhez van rendelve forrás). Az összes kongurációra integrálva egy felesleges végtelen szorzófaktor jön be. A D[A] "mérték" mértékinvariáns, ezért elegend a G minden orbitjából egy elemet kiválasztani, és úgy végrehajtani az integrált. Ehhez rójuk ki a G µ A a µ (x) = B a (x) (14.18)

68 14. tétel 64 mértékrögzít feltételt (ahol A a Θ-val jellemzett mértéktrafonáltja az A-nak), ahol G µ és B(x) mértékrögzít függvények (Lorentz-mérték esetén G µ = µ és B a = 0). A funkcionál integrál det M G = D[Θ]δ ( G µ A a µ B a) (14.19) tulajdonságát felhasználva, a kényszer becsempészhet az generálófunkcionálba Z[0] = D[A] det M G D[Θ]δ ( G µ A a µ B a) e is (14.20) Felhasználva, hogy det M G, D[A]e is mérték invariáns az egyenletb l kitranszformálható a Θ függés Z[0] = D[A] det M G δ ( G µ A a µ B a) e is D[Θ] (14.21) így a D[Θ] = (14.22) konstans már elhagyható, mivel úgy is mindenhol megjelenik és normálás során kiesik. A ghostterek bevezetésével és a B a átírása α segítésével a következ alakra hozható a generáló funkcionál Z[J] = D[A] det M G e i dx(l 1 2α (Gµ A a µ )2 +A a µ J a,µ) := := D[A, χ]e i dx(l 1 2α (Gµ A a µ )2 +A a µ J a,µ χ am a,b G χ b) (14.23) ahol megint megjelent a dinamikát adó (G µ A a µ) 2 extra tag, azonban most a χ ghost tér nem engedi kitranszformálni és helyre is teszi a mérték invarianciát. Mivel eleve a determináns reprezentációjára vezettük be ezeket, nem tartoznak hozzájuk aszimptotikus részecskék, szerepük csupán annyi, hogy a determináns perturbációs sorba fejtését lehet vé tegyék. Tehát a gráfok rajzolása során küls lábakként nem, csak bels lábakként jelenhetnek meg. Mindent egybevetve a QCD teljes generálófunkcionálja Z[J, ξ, ξ, η, η ] = D[A, χ, χ, q, q ]e i d 4 x(l QCD tot. +A a µ J a,µ +χ a ξ +q η+h.c.) (14.24) ahol L QCD tot. = 1 4 F µ,νf µ,ν 1 2α ( µ A µ ) 2 + ( µ χ a )D a,b µ χ b + q(iγ µ D µ m)q (14.25) Gráfszabályok A gráfszabályok a perturbációszámítás szemléletes képét adják, így átláthatóbb számolási módszert kapunk. Az ehhez szükséges elemeket fogjuk most végig venni. Propagátorok A propagátorok meghatározása a csatolás nélküli Lagrange függvényekb l történnek mégpedig a következ képpen L kvark (g = 0) := q( i µ γ µ + m)q (14.26) L gluon (g = 0) := L mértéktér + L kényszer := 1 2 Aa µ ( g ν,µ + (1 1/α) µ ν ) A b ν (14.27) L ghost (g = 0) := χ a δ a,b χ b (14.28) a terek közti operátorok kernel értelemben vett inverze adja a propagátorokat.

69 14. tétel 65 Vertexek A L kh. := L QCD tot (g 0) L QCD tot (g = 0) (14.29) kölcsönhatási Lagrange-függvényb l származtathatjuk a vertexeket. A következ négyfajta vertexet olvashatjuk le ekkor 3 gluon-vertex 4 gluon-vertex 1 gluon - 2 ghost vertex 1 gluon - 2 kvark vertex

70

71 Er s kölcsönhatások dinamikája alacsony energián, a királis szimmetria sérülése és az eektív Lagrange függvényes leírás 15.1 Potenciál-modell Akkor lehet a protont és neutront együtt tárgyalni N nukleonként, ha csak er s kölcsönhatás vesz részt a folyamatban. Ugyanis a tapasztalat szerint az er s kölcsönhatás töltésfüggetlen. A kölcsönhatást az biztosítja a két nukleon között, hogy kicserélnek egy semleges objektumot. Ezen kép segítségével a Yukawa-potenciál megkapható. A következ közelítést alkalmazzuk. Feltételezzük, hogy a két nukleon jóval nagyobb tömeg, mint a közvetít részecske. Így azon feltevéseinket jogosnak gondoljuk, hogy a két nukleon meg sem moccan a részecskecsere folytán, hanem rögzítve marad, továbbá hogy a folyamat során nem keletkeznek és nem t nnek el nukleonok. A közvetít részecskét egy valós skalármez nek tételezzük fel (φ), amelynek forrása az η nukleonok. Azaz a közvetít részecske Lagrange-függvénye L = 1 [ ( ν φ) 2 + µ 2 φ 2] ηφ (15.1) 2 ahol µ a közvetít részecske tömege. Ezután a Hamilton-operátort felírjuk a (k) és a(k) segítségével, majd másodrend perturbációszámítást végzünk arra vonatkozóan, hogy az η nélküli szabad Hamilton operátor alapállapotának energiáját mennyivel emeli meg a Hamiltonhoz hozzádott η-t tartalmazó perturbáló tag. Ekkor azt kapjuk, hogy ha a két nukleon relatív helyzete x, akkor a köztük ható Yukawa-potenciál U( x ) = d 3 k e ikx (2π) 3 k 2 + µ 2 = 1 e µ x 4π x (15.2) látható, hogy 1 µ az er karakterisztikus hatótávolsága. Kölcsönhatás nem csak semleges, hanem töltött pionnal is megvalósulhat, mely a különböz nukleonok kölcsönhatását írja le. Tehát összességében a N-N közti kölcsönhatásokat a π ±,0 közvetítheti. A nukleonokat izodublettként ábrázolva a köztük ható potenciál a pauli mátrixok segítségével felírható U N1 N 2 ( x 1 x 2 ) = 1 2 g2 ( σ (1) N 1 σ (1) N 2 + σ (2) N 1 σ (2) N 1 ) U( x 1 x 2 ) (15.3) Itt a σ fels index azt jelenti, hogy melyik Pauli mátrixról van szó, az alsó pedig azt, hogy melyik nukleonra hat. Tehát az U N1 N 2 mátrixelemei izodublet ábrázolásban n n n p p n p p n n U N1 N 2 = n p 0 0 g 2 U( x 1 x 2 ) 0 (15.4) p n 0 g 2 U( x 1 x 2 ) 0 0 p p A fels sorban vannak a bemen állapotok felsorolva, az els oszlopban pedig a kimen állapotok. 67

72 15. tétel Pion-nukleon szórás Amíg a pion kinetikus energiája 250MeV alatt van, addig rugalmas szórásról beszélhetünk, hiszen nincs elegend energiája ahhoz, hogy N + 2π végállapot legyen. A nukleon izospin szempontjából spinor (I = 1/2), a pion vektor (I = 1), ezért a szórásban a lehetséges izospincsatornák I = 1/2, 3/2. Tehát a kezdeti és végállapot a I, I z kvantumszámokkal jellemezhet. Ha a I z megmarad a szórás során, akkor a WignerEkart-tétel miatt az S szórásmátrix nem függhet I z -t l. A lehetséges végállapotokat a léptet operátorok segítségével meghatározhatjuk π +, p = 3 2, 3 2 π+, n = , , 1... (15.5) 2 tehát ezek alapján meghatározhatjuk a mindenféle szórások hatáskeresztmetszeteit. N, π T N, π =... (15.6) ahol T transzfer mátrixot nem ismertjük, csak azt tudjuk meghatározni hogy az adott szórásban melyik mátrixeleme mekkora súllyal szerepel, ezek alapján az egyes szórások hatáskeresztmetszeteinek arányára eredményt adhatunk, pl π N szórás naiv térelméleti leírás σ(π + p π + p) σ(π p π p) 9 (15.7) Több fajta ötlet is volt arra, hogy a N-π csatolásokat direkt kapcsolattal írják le, ebb l most kett t megmutatok pszeudoskalár csatolás L ps = ign(x)γ 5 N(x)π(x) (15.8) ahol N(x) a nukleon tér, lényegében N(x)γ 5 N(x) ez volt az η forrása és π(x) a pion tér. Az i szorzóval tettük hermetikussá a Lagrange függvényt és a γ 5 miatt a pszeudo elnevezés. Ez egy renormálható elmélet. pszeudovektor csatolás L pv = i f π m π N(x)γ 5 γ µ N(x) µ π(x) (15.9) látható, hogy itt a deriválásból és a gamma mátrixból képzünk vektort majd ezek összeejtésével lesz skalár a Lagrange. Mindkét azonos dierenciális hatáskeresztmetszetre vezet, ha g 2m N = fπ m π, ekkor dσ dω = g4 1 (4π) 2 4m 2 N (15.10) mely energia független és s-hullámot ír le, a kísérletileg tapasztalt p-hullám helyett. Tehát az egész úgy rossz ahogy van, perturbációszámítással se megyünk semmire, mert a csatolási állandó túl nagy. Más elmélet kell, erre vezették be a rezonanciás leírási képet π N szórás rezonanciás térelméleti leírás Láttuk, hogy a naiv direkt leírás nem m ködik tehát új elmélet kell. A rezonanciás leírásban feltesszük, hogy a kezdeti részecskék egy új rövid élettartamú részecskévé állanak össze, majd az bomlik tovább.

73 15. tétel 69 Parciális hullám analízis Csótónál többször is volt, mikor bejön egy síkhullám és egy pontszer szórócentrumon szóródik, ekkor a szórás hatáskeresztmetszet a következ képpen adható meg: σ = 4π k 2 (2l + 1) sin 2 δ l (15.11) l ahol. Kis energián csak az s és p hullám jöhet szóba (azaz l = 0, 1). Az amplitúdó δ = π/2 fáziseltolódásnál maximális, ilyenkor rezonanciáról beszélünk. Alacsony energia és a rezonancia A parciális hullám analízisb l és igazán a Breit-Wigner formula alapján rezonanciákat vezethetünk be a leíráshoz. A rezonanciákat stabil részecskéknek tekintve a következ csatolást írhatjuk fel L,N,π = g m N i ν(x)n(x) ν π i (x) (15.12) ahol i az izospin indexeken fut, ν pedig a Lorentz-indexeken. Ez az elmélet csak alacsony energián m ködik, ott ahol még nem tud két pion keletkezni. A ν miatt ez már fogja tudni a p-hullámot és ha a rezonancia tömegét m =115MeV-nek válaszuk, akkor a szórási hatáskeresztmetszetet is jól adja vissza. Magasabb energia és a ϱ rezonancia g Az el z elmélet elégé csak eektív volt, mivel 4π 15, így nem növelhetjük az energiát. Ha elérjük a két pion keltési küszöböt akkor már új folyamat mehet végbe, persze ami most adunk az is csak alacsony energián m ködik, azaz addig amíg a pion kinetikus energiája a N tömegével összemérhet. Nézzük a következ folyamatot π + N ϱ + N 2π + N (15.13) a kísérletekb l megint meghatározható a rezonancia paraméterei és ϱ-nak adódott. Ekkor vegyünk két tagod, egy hogy a rezonancia hogyan csatolódik a két pionhoz és hogy a nukleonok hogyan csatolódnak a ϱ-hoz L ϱ,n,2π (x) = ig ϱ,2π ϱ µ (x) (π(x) µ π(x)) + ig ϱ,2n ϱ µ (x) (N(x)γ µ σ ) 2 N(x) (15.14) ekkor a következ gráfot ismerjük g. 15.8: N π N 2π gráf melyben az id balról jobbra telik. Az univerzalitás miatt g ϱ,2π = g ϱ,2n mely a kísérleti mérések is igazolnak.

74 15. tétel Királis szimmetria és sérülése A QCD kvark-gluon kölcsönhatását a következ Lagrange-függvénnyel írhatjuk le L = i q i (x) (iγ µ D µ m i ) q i (x) (15.15) ahol a kvark ízeken fut végig a szumma. Minden teret bontunk a már ismert módon q i (x) = 1 γ 5 2 jobb és balkezes vetületekre, ezekkel kifejezve a Lagrange-függvény L = i [ q i L (x) (iγ µ D µ ) q i L(x) + q i R(x) (iγ µ D µ ) q i R(x) ] i q i (x) γ 5 q i (x) := q i 2 L(x) + qr(x) i (15.16) m i ( q i L (x)q i R(x) + q i R(x)q i L(x) ) vezessük be a következ királis globális transzformációkat q L = U L q L, q R = U R q R (15.17) Az elmélet közelít s szimmetriája az U L (N avour ) U R (N avour ) (U-kat megint a N avour családnak megfelel Pauli-mátrixok generálják), a tömeg tagokban romolhat el az egész. 2-3 család közelítésben még közelít szimmetriáról beszélhetünk, míg további ízcsaládok belevételével ez elromlik. Látható hogy ha sérül a szimmetria az spontán szimmetriasértésen át történik, melyhez deniálhatunk egy rendparamétert 0 qq 0 0 mely segítségével egy eektív Lagrange-függvény, a szigma-modell írható fel. Ha a királis szimmetria nem sérülne akkor megmaradó áramaink lennének, de ha sérül akkor a tömegtagok elhagyásával felírhatunk áramokat és ezek algebráit vizsgálhatjuk (lsd. kés bb).

75 A nagyenergiájú zika elemei: renormálási csoport egyenletek és alkalmazásaik, futó csatolási állandó, mélyen rugalmatlan szórás, jet zika Renormálási csoport Miután a regularizációt és a renormálást elvégezzük, a kiszámolt Green-függvények renormálási skála függ ek lettek, dimenziós regularizáció esetén ez µ függést jelent. Azonban ezek nem befolyásolhatják a zikai mennyiségeinket. Tehát azt akarjuk hogy a Lagrange-függvényb l kiszámolt renormált Green-függvényekb l adódó S mátrix azonos legyen bármely regularizáció esetén végtelen rendben (adott rendig menve meg csak az legfeljebb utolsó rend tartalmazzon skála függést), azaz S(p, g R, m R, µ ) = S(p, g R, m R, µ) (16.1) ahol a vessz arra utal, hogy másfajta séma alapján lettek végesítve. A különböz sémák közti transzformációk csoportot alkotnak és ezt nevezzük renormálási csoportnak (nem-ábeli mértékelméletek esetén sokszor nem létezik inverz, így csak félcsoportot alkotnak) Dimenziós regularizáció renom csoport egyenletei Vegyük a dimenziós regularizációt, ekkor d 4 k d D k helyettesítéssel élünk, melynek során be kell vezetnünk egy µ energia dimenziójú renormálási skálát. A renormálási skálát úgy vezettük be, hogy kompenzálja az integrál dimenziójának változását, azaz g g 0 µ ε 0 = g 0 µ 4 D 2 0 (16.2) ahol g 0 már dimenziótlan. Ehhez hasonlóképpen a g R = Zg 1 g renormált csatolási állandóról is leválaszthatjuk az energia függést átrendezés után g R g0 R µ ε (16.3) = Zg 1 g Zg 1 g 0 µ ε 0 (16.4) g R 0 = Z 1 g ( ) ε µ0 g 0 (16.5) µ továbbá felhasználva, hogy a tömeg m R = Zm 1/2 m is renormálódik. Ezen dimenziótlanított mennyiségek kifejezhet ek a renormálási állandók segítségével, ezek µ-függésére kapunk két dierenciál egyenletet, melyeket t'hooft renormálási csoport egyenleteknek nevezünk: β := dgr 0 d ln µ µdgr 0 dµ = µ d dµ ( Z 1 g (µ) m R γ m := dmr d ln µ µdmr dµ = µ d dµ ( ( µ0 µ Z 1/2 m 71 ) ε ) g 0 = εg R0 µ dzg(µ) dµ Z g (µ) ) (µ)m ( µ = m R dz m (µ) 2Z m dµ ) (16.6a) (16.6b)

76 16. tétel 72 ahol felhasználtam, hogy dg0 dµ = 0 = dm dµ, hiszen ezek a csupasz mennyiségek renormálási skála függetlenek. Minimális csatolás és módosított minimális csatolás esetén ezek γ(g R ) és β(g R ) tömegfüggetlenek, tehát a t'hooft egyenletek szétcsatolódnak Renormált n-pont-függvények és a t'hooft-weinberg egyenlet Felhasználva hogy a csupasz n-pont-függvények se függhetnek a renormálási skálától, megkapjuk a t'hooft-weinberg egyenlet egyenletet. Tehát induljunk ki abból, hogy Γ R n (p, g R, m R, µ) = Z n/2 3 Γ n (p, g, m) (16.7) mivel minden hullámfüggvény Z 1/2 3 -del renormálodik. Átrendezés után és és kihasználva hogy a csupasz függvény skála független d dµ Γ n(p, g, m) = 0 = d ( Z n/2 3 Γ R n (p, g R, m R, µ)) dµ + m R m R µ ( = dz n/2 3 + Z n/2 3 g,m dµ µ + g R g R µ + ) Γ R n (p, g R, m R, µ) (16.8) g,m megszorozva az egyenletet µz n/2 3 -vel és felismerve a t'hooft egyenleteknél bevezetett mennyiségeket ( µ µ + β g R γ mm R ) m R nγ Γ R n (p, g R, m R, µ) (16.9) g,m ahol γ = µ. g,m Z 3 2Z 3 µ Futó csatolási állandó és a t'hooft-weinberg egyenlet megoldása A (16.9) t'hooft-weinberg egyenletek megoldásából a következ impulzus függés olvasható le Γ R n (e t p, g, µ, m = 0) = Γ R n (p, g(t), µ, m = 0)e (4 n)t n m = 0 megtehet nagy energiákon, és g(t), valamint t n 0 t dt γ(t) 0 (16.10) dt γ(t) adja a divergencia mentes elméletekt l való eltérést. β viselkedését l függ en lehet egy elmélet aszimptotikusan szabad, vagy nem nézzük meg két megoldást (renormálási konstansokból következik a különbség (ahol látható, hogy β 01 el jele szabja meg a viselkedés milyenségét)): { β QED : t = (16.11) 0 : t { β QCD 0 : t = (16.12) : t látható, hogy a QED kis impulzusok esetén szabaddá válik, míg nagyokra g 2 (t) = g 2 1 2β 0 g 2 t (16.13) a csatolási állandó a kialakuló Landau-pólus miatt elszáll, így nem lehet perturbatíve kezelni. A QCD viszont nagy impulzusokra szabaddá válik (aszimptotikus szabadság) szabaddá válik, ami egyhurok szinten. g 2 (t) = g β 0 g 2 t 1 onnan határozhatjuk meg hogy megnézzük a β függvény skálázását: β(t) = β 0 g 3 (t) +... (16.14)

77 16. tétel Nagyenergiás zika, mélyen rugalmatlan ütközés A nagyenergiás zika a mélyen rugalmatlan ütközéseket (DIS) tárgyalja, melyeket a pqcd, jetek, parton- vagy fragmentnációs-modellekkel ír le. Ebben a fejezetben a jetek és partonmodell alapjait mutatom be. El ször nézzük meg egy rugalmatlan ütközés leírását és vizsgáljuk meg, hogy szimmetria- és Lorentz-invarianciából miket tudunk elmondani a hatáskeresztmetszetének az impulzus függésér l. Ezt a függést rákényszerítve a számolásra bevezethetjük az úgynevezett H 1, H 2 struktúra függvényeket. Határozzuk meg az ábrán látható lepton-nukleon mélyen rugalmatlan szórás hatáskeresztmetszetét g. 16.9: l N mélyen rugalmatlan szórásának Feynman-gráfja ami egy inkluzíve folyamat, hiszen a végén csak a leptont fogjuk detektálni. Tehát a következ három változó segítségével kijelölhetjük a szórás zikai tartományát s = (p + k) 2 M 2 + 2ME lepton s M 2 (16.15a) q 2 = (k k ) 2 4E lepton E lepton cos 2 Θ/2 q 2 0 (16.15b) M 2 inv. = (p + q) 2 M 2 + 2M(E lepton E lepton ) + q 2 M 2 inv. M 2 (16.15c) a nukleon invariáns tömegnégyzete helyett szokás a ξ = q2 2pq, 0 ξ 1 (16.16) Björken-x-et használni, ennek majd kés bb fogjuk látni a fontosságát. Áram áram eektív Lagrange-függvénnyel dolgozva az invariáns amplitúdó a következ M = f d 4 xl kh. i = X l J µ J µ l N l J lepton J lepton l X J hadron J hadron N ahol Tehát az inkluzíve dierenciális szórási hatáskeresztmetszet 1 k 0 dσ d 3 k = 1 2 (16.17) J = J hadron + J lepton (16.18) M 2 δ(p x + k k p) 1 q 2 Lµ H µ (16.19) s ahol az 1 q faktor az árammegmaradás következménye. A Lorentz-invarianciát és az áramalgebrát kihasználva arra jutunk [ ( 1 dσ d 3 k = α2 4(pk)(pk q 2 H 1 (q 2 ) + H 2 (q 2 )] ) ) M 2 q 2 k 0 (16.20)

78 16. tétel 74 alakra hozható, ahol H i -k struktúra függvények és csak a q 2 skalártól függhetnek, melyek nagy q 2 -re (úgy hogy közben ξ állandó) a következ értékre állnak be H 1 (q 2 ) = ξe 2 δ(1 ξ) (16.21) M pq H 2(q 2 ) = 2Me 2 δ(1 ξ) (16.22) tehát nagy energián a Björken-x-el skáláznak (itt pusztán kísérleti adatok alapján elhisszük ezt a függést, de a fénykúp kifejtéssel meg is mutatható) Parton modell Feynman azt az észrevételt tette, hogy a hadron mátrixelem skálafüggvénye olyan, mintha pontszer részecskéken való szórást vizsgálnánk. Tehát tegyük fel, hogy a nukleon nem elemi részecske és 1/2 spin pontszer részecskék alkotják melyek tömege ξ i M = m i. Egyetlen pontszer szórócentrumból adódó struktúra függvények H 1 (q 2 ) = ξe 2 δ(1 ξ) (16.23) m pq H 2(q 2 ) = 2me 2 δ(1 ξ) (16.24) azonban ha feltételezzük, hogy a mag pontszer partonokból áll akkor ezek koherens összegével írhatjuk fel a szórási struktúra függvényeket. Legyen minden parton impulzusa p i = ξ i p és a nukleonban forduljanak el P i dξ i valószín séggel, ekkor a struktúra függvények H 1 (q 2 ) = e 2 ξ i P (ξ i ) (16.25) i m pq H 2(q 2 ) = 2e 2 m i P (ξ i ) (16.26) ahol P i (ξ) az úgynevezett parton eloszlás függvény (PDF), mely meghatározható és az ábrán látható értékeket vesz fel, a lényeg h kis ξ-re a gluonok dominálnak, majd utána az u és d kvarkok. g : PDF-ek (x-tengelyen a ξ Björken-skála és az y-tengelyen a P i dξ i látható) Ekkor egy összetett folyamatot a következ képpen írhatunk le dσ(p + p + π) d 3 p = i,j 1 0 dσ(i + j k + l) dξ 1 dξ 2 P i,p +P j,p + d 3 (D k,π + D l,π ) (16.27) p

79 16. tétel 75 ahol P i,p + annak a valószín sége hogy egy protonban található i parton és D k,π annak a valószín sége, hogy k partonból pion alakul ki. A parton szórási hatáskeresztmetszetet a pqcd-b l számolhatjuk Jetek zikája Mivel q és g nem tudunk szabad állapotukban mérni, így a folyamatok leírására bevettük a parton-modellt melyben a folyamatok két lépésben játszódnak le. Els lépés egy kemény (nagy impulzusátadás) folyamat, mely során q, q, g-kat tartalmazó végállapotot kapunk. Majd második lépésben a q-ok szoft folyamaton keresztül hadronokká alakulnak, pl ez Feynman-ötlete alapján végbemehet úgy hogy a kvark folyamatosan mezont sugároz és így veszti el a teljes energiáját. Els lépcs : kemény folyamat Tehát els lépésben q, q, g részecskék keletkeznek. Alacsony rendben (α 0 s) egy q q pár keletkezik, melyek az ütközés középpontját szimmetrikus hagyják el, ekkor úgynevezett két jet állapotot kapunk. Magasabb rendben akár több jet is kialakulhat, például α 1 s rendben még egy gluon is kiszökhet és ha a gluon iránya lényegesen eltér a kvarkokétól akkor már három jet-es folyamatot gyelhetünk meg. Ahhoz hogy eldönthessük, hogy mit nevezünk elég nagy eltérésnek a következ jellemz mennyiségeket szokás bevezetni S := 3 2 min n T := max n i (pf trans) 2 i pf i 2 (16.28) i pf i n i pf i 2 (16.29) ahol i a végállapot részecskéi (hadron,parton). A teljesen gömbszimmetrikus határesetben S = 1 és T = 1/2 és két jet esetén S = 0 és T = 1. Ezek segítésével kísérletileg jól deniálhatóan elkülöníthet a 2 és 3 jetes végállapot. Fontos megjegyezni, hogy 3 jet mérésekb l α s jobban mérhet, hiszen a hatáskeresztmetszetben lineárisan szerepel σ 3 := σ σ 2 = α s de3 E 3 dω 3 (1 cos Θ 1,3 )(1 cos Θ 2,3 ) (16.30) míg a többi esetben legalább másodfokú kifejezésben.

80

81 A gyenge kölcsönhatások osztályozása, megmaradó kvantumszámok és kiválasztási szabályok, a β-bomlás elmélete, V-A csatolás 17.1 A gyenge kölcsönhatás osztályozása Minden olyan folyamatot melyben ν szerepel vagy a kezdeti kvarkok íze megváltozik, az gyenge kölcsönhatás révén következhet be. A standard modell szerint azt a kölcsönhatást a W ±, Z 0 bozonok közvetítik, azonban általában találhatunk egy eektív elméletet melyb l az adott energia tartományra ezek kiküszöbölésével is dolgozhatunk. A gyenge kölcsönhatás csatolási er ssége kb szer gyengébb az elektromágneses folyamatoknál. A gyenge kölcsönhatást osztályozhatjuk a benne résztvev részecskék szempontjából ezen csoportosítás szerint kett csoportot különböztethetünk meg: nem leptonos folyamatok: olyan szórások, bomlások melyek során vagy a kezdeti vagy a végállapotban leptonok fordulnak el, folyamat például a β-bomlás n 0 p + + e + ν e (17.1) szemileptonos folyamatok: melyben csak hadronok (mezonok, barionok) vesznek részt, például egy ilyen bomlás a K 0 π + π (17.2) Továbbá osztályozhatóak a szerint is a gyenge folyamatok, hogy éppen milyen kvantumszámot nem riznek meg, ezek alapján lehet, ritkaság váltó: A kezdeti állapot összritkasága a kiválasztási szabályokat betartva S = 1 változik ritkaság rz : A kezdeti állapot összritkasága a kölcsönhatás során megmarad bájosság váltó: A kezdeti állapot összbájossága a kiválasztási szabályokat betartva C = 1 változik bájosság rz : A kezdeti állapot összbájosság a kölcsönhatás során megmarad Persze a nem diszjunkt halmazok keverhet ek, így elképzelhet például egy ritkaság rz bájosság tartó szemileptonos folyamat. 77

82 17. tétel Megmaradó kvantumszámok A megmaradó kvantumszámok és a kiválasztás szabályok a kísérleti eredmények kiértékelése során szerzett tapasztalatokból alkották meg, így a kés bbi modelleknek ezeket vissza kell adniuk. Az olyan folyamatok, melyek nem sértik ezeket a megmaradási törvényeket, vagy kiválasztási szabályokat, azokról elhisszük hogy végbe mehetnek Ténylegesen megmaradó mennyiségek Egyes mennyiségeknek szigorúan meg kell maradnia, mert különben az egész zikai képünk elromlana valamint nem gyelték meg a sérülésüket, ezeket összesítem ebben a fejezetben. Geometriai eredet mennyiségek megmaradása Ide sorolhatjuk azokat a mennyiségeket, melyek a tér homogenitásából és izotrópiájából (Poincaréinvariancia) adódóan megmaradnak (Noether-tétel). energia, impulzus megmaradás, melyek a négyes térid eltolás szembeni invariancia következményei impulzusnyomaték, mely a forgásszimmetria következménye elektromos töltés, barionszám megmaradás a globális fázis szabadság következményei CPT-invariancia A CPT-tétel szerint egy relativisztikusan invariáns, lokális kvantumtérelméletnek CPT-invariáns kell legyen. A CPT-transzformáció visz át anyagból antianyagba a anti = Ĉ ˆP ˆT a részecske (17.3) ennek következtében a Ĥ részecske mátrixelemei megegyeznek az antirészecskéivel b Ĥ (Ĉ a = b ˆP ˆT ) Ĥ Ĉ ˆP ˆT a = b Ĥ a (17.4) tehát a stabil részecskék tömege megegyezik az antirészecskéjének a tömegével, valamint az instabil részecske bomlási ideje megegyezik az antirészecske bomlási idejével (ez 10 3 pontossággal ki is mérték). Leptonszám megmaradás A gyenge kölcsönhatás külön-külön meg rzi az egyes családok leptonszámait. Helicitás mérésekb l tudják, hogy a leptonok és neutrínóik leptonszámai megegyeznek (mivel nem gyeltek meg olyan folyamatot, melyben a leptonszám máshogy teljesült volna). Három leptoncsalád van; elektronikus, müonikus, taunikus, ezek a leptonszámok a következ képpen vannak kiosztva: +1 : i, ν i l i = 1 : i +, ν i (17.5) 0 : másra ahol i {e, µ, τ} azonban a neutrínó oszcilláció miatt mégse teljesen maradnak meg ezek a kvantumszámok, de ha m νi = 0-t feltételezünk akkor már teljesen megmaradna Kiválasztási szabályok Bizonyos kvantumszámok a gyenge kölcsönhatás során nem maradnak meg, de csak adott módon változnak, ezeket rögzíthetjük a kiválasztási szabályokban.

83 17. tétel 79 A Q = S szemileptonos folyamatok A kezdeti hadronok és a végtermék hadronja között fenn kell állni annak hogy az össztöltés és az összritkaság azonos mértékben változott. Ezek alapján vizsgáljuk meg a következ két példafolyamatot : K 0 π l + ν e (17.6) : K 0 π + l + ν e (17.7) az els folyamatban S = S π S K 0 = (0 1) = 1 és Q = S π S K 0 = ( 1 0) = 1, míg ez nem teljesül a második folyamatban. Kísérletileg a két folyamat közt er s elnyomást gyeltek meg (a megengedett kb 25-ször kedvez bbnek bizonyult). A S = 0, ±1 szemileptonos és nem-leptonos folyamatok Azon folyamatok dominálnak ahol a hadronok S = ±1, 0 ritkaság váltáson mennek át, kísérletileg itt er sebb elnyomást gyeltek meg A I = 1/2 szemileptonos és nem-leptonos folyamatok Γ(Ξ nπ ) Γ(Ξ Λ 0 π (17.8) ) Eszerint ha egy bomlás során az izospin I = 1/2 megváltozása végbe mehet, akkor ez fog dominálni, itt is az el z höz hasonló arányt vettek észre Γ(K + π + π 0 ) Γ(K + π + π (17.9) ) A K az I = 1/2-es ábrázolásba tartozik, míg a π-on az I = 1-esbe. A kétpionos végállapot 1 1 = lehet, ahol a 0, 2 ábrázolás szimmetrikus, míg az 1-es antiszimmetrikus. A Paulielv miatt a végállapotnak teljesen szimmetrikusnak kell lennie (mivel a két pion spinje egyenként feles, de együtt már egész). Az els folyamat az I z = 1 miatt tehát biztosan a 2-ben van. A másik esetben I z = 0 ami a 0 és 2 ábrázolásban is lehet. A lényeg hogy a második ábrázolásban van arra mód, hogy I = 1/2 legyen, így fog dominálni V-A elmélet és a β-bomlás ahol A QED analógiája alapján Fermi egy e(x) = L Fermi = G F 2 (p(x)γ µ n(x)e(x)γ µ ν e (x) + h.c.) (17.10) d 3 p (2π) 3 1 2p 0 σ=±1/2 ( e ipx v σ (p)b σ(p) + e ipx u σ (p)a σ (p) ) (17.11) 4 fermionos csatolást javasolt a β-bomlás leírására, azonban ebben a csatolási állandó a tömeg dimenziójának negatív hatványával skálázott, így biztosan nem renormálható elméletet alkotott, tehát ennek elkerülése érdekében új elméleteket gyártottak. Azonban ez a Lagrange-függvény jó volt arra hogy meghatározzák az átrendezett β-bomlás hatáskeresztmetszetét, és a kísérleti értékkel egyezett. Gamow ennek egy általánosítását javasolt, úgy hogy a β-bomlás és azok átrendezettjein túl más szemileptonikus folyamatokat is leírhassanak. Megtartotta az áram hadron áram lepton alakot azonban tovább általánosította, úgy hogy felírt minden olyan Lagrange-függvényt ami áram áram alakú és tudja a Lorentz invarianciát: L Gamow = G F 2 5 (g i p(x)m i n(x) e(x)m j ν e (x) + f i p(x)m i n(x) e(x)m j γ 5 ν e (x) + h.c.) i=1 (17.12)

84 17. tétel 80 ahol M i {I-skalár, γ ν -vektor, σ µ,ν -tenzor, γ µ γ 5 -axiálvektor, γ 5 -pszeudoskalár}-okból olyan {i, j} kombinációkat választunk hogy a Lagrange-függvény már skalár legyen, g i és f i tetsz leges együttható függvények 1. A Gamow-által felírt Lagrange-függvény nem tudja a paritás sértést, mert senki se hitt benne, azonban kis módosítást után már felírható a V-A Lagrange-függvénye L V-A = G [ ( F p(x)γ µ 1 + g ) ] A γ 5 n(x) e(x)γ µ (1 + γ 5 ) ν e (x) + h.c. (17.13) 2 g V ahol g A gv kísérleti értéke, tehát eltér 1-t l, így a hadron rész áram és axiál áram aránya eltér a leptonos részét l. A V-A elnevezés arra utal, hogy g A gv -t negatív el jellel várták, szóval ma már lehetne V+A elmélet is akár. Gyenge kölcsönhatás univerzalitása abban mutatkozik meg hogy a V-A elméletben szerepl e és hozzá tartozó ν bármilyen lepton-ν párra lecserélhet β-bomlás A lepton áram rész már ovi óta jól tudjuk J lepton µ = e, ν e H k.h 0 = e(x)γ µ (1 + γ 5 )ν e (x) (17.14) A hadron részhez ismernünk kéne a hadronok (n = (ddu) és p = (duu)) kvarktartalmát, azonban ezt a nemismerésünket az f i és g i függvényekbe rejthetjük, a Lorentz-invariancia megfontolásoknak eleget téve és felhasználva, hogy kis impulzusátadás történik a hadronrész csak a következ tagot tartalmazza (itt csalás történt, elhagytuk a f 2, g 2, f 3, g 3 tényez ket tartalmazó tagokat, ezt még igazolnunk kell hogy megtehet volt) 2 melyb l az invariáns amplitúdó ( Jµ hadron = g v p(x)γ µ 1 + g ) A γ 5 n(x) (17.15) g V M = G 2 cos Θ c J hadron µ J lepton,µ = G 2 cos Θ c p(x)γ µ (1 + g A g V γ 5 )n(x) e(x)γ µ (1 + γ 5 )ν e (17.16) melyb l a bomlási ráta dγ = M 2 dω (17.17) 2M n 0 mivel a neutrínókat nem detektáljuk, így azokra ki kell integrálnunk és a következ Fermi-spektrumot kapjuk: A spektrum farkának az elemzéséb l becslést kaphatunk a neutrínó tömegére. Az e és ν e szögének szögkorrelációs méréséb l g A 2 gv mérhet. Ha polarizációs mérést végzünk el, azaz n 0 spinjét beállítjuk valamilyen irányba és úgy vizsgáljuk a bomlást akkor g A gv is mérhet. 1 az id tükrözés megköveteléséb l következik, hogy g i, f i R és a tértükrözés megköveteléséb l hogy f i = 0 de a paritás sértés óta tudjuk hogy a második feltétel nem kell hogy teljesüljön 2 Ezt úgy tehetjük meg hogy f, g értékeire megmutatjuk, hogy q függetlenek és mikor M i -b l vektorokat (mert a lepton rész valami miatt csak vektor lehet) képezünk akkor azt a q impulzusátadás bevezetésével tesszük és az a q kicsi (persze miért q nem p... kicsit Pallás kézlenget s magyarázkodás volt)

85 17. tétel 81 g : Fermi-spektrum: dγ(de e )

86

87 Az áramalgebra elemei: megmaradó vektoráram, PCAC, Cabibbo elmélet, GIM mechanizmus A megmaradó isovektoráram (CVC) A CVC mögött az izospin szimmetria húzódik, az u, d ez ( ) u q = d (18.1) isodubletet alkotnak, ekkor a tömörebb írás kedvéért érdemes bevezetni a Pauli mátrixokat (hiszen k a doublet ábrázolás generátorai) ( ) ( ) ( ) i 1 0 σ x = σ 1 0 y = σ i 0 z = (18.2) 0 1 a léptet operátorok pedig σ + = 1 2 (σ x + iσ y ) = 1 2 ( ) σ = 1 2 (σ x iσ y ) = 1 2 ( ezek segítéségével kifejezhetjük az áramokban el forduló kvark kombinációkat ) (18.3) (18.4) u(x)γ µ d(x) = q(x)γ µ σ + q(x) (18.5) d(x)γ µ u(x) = q(x)γ µ σ q(x) (18.6) u(x)γ µ u(x) d(x)γ µ d(x) = q(x)γ µ σ z q(x) (18.7) Továbbá az hadronok elektromágneses kölcsönhatásának isovektor része ( 2 ea µ J EM,µ = ea µ (x) 3 u(x)γµ u(x) 1 ) ( 1 3 d(x)γµ d(x) = aa µ (x) 2 q(x)γµ σ z q(x) + 1 ) 6 q(x)γµ q(x) ahol az els tag az SU(2)-re (iso)vektor harmadik komponenseként, míg a második tag skalárként transzformálódik. Ebben a közelítésben csak az u,d kvarkok hordoznak isospint, a többi kvark skalárként transzformálódik A CVC tétel A QCD Lagrange-függvénye L QCD = 1 2 Tr(F µ,νf µ,ν ) + i q i (iγ µ D µ m i ) q i (18.8) melynek, attól függ en hogy hány kvark tömege egyezik meg más és más szimmetriája van. Jelen esetben az u, d kvarkok tartoznak egy izodoubletbe, így az tömegük azonos, ekkor a szimmetriát 83

88 18. tétel 84 generáló mátrixok felépíthet ek a Pauli-mátrixokból, hiszen háromfajta szimmetria lehetséges u d, vagy d u vagy helyben hagy, ezeket a következ unitér trafóval írhatjuk le Uq = e iεaσa q (1 + iω a σ a )q a {±, z} (18.9) több kvark tömeg megegyezése esetén magasabb szimmetriákat gyelhetünk meg (2-3 kvarktömeg még kb megegyezik, de tovább terjesztve az egy ábrázolásba tartozó kvarkokat már nagyon romlik a szimmetria). Ekkor a Noether-tétel értelmében a szimmetriához megmaradó áramok tartoznak, mely jelen esetben J ±,z i ez a három isovektor áram CVC következményei L = i ( µ q i ) σ±,z i,j q j = i(q i iγ µ )t i j ±,z q j = q i γ µ t ±,z i,j q j (18.10) A vektoráram mátrixelemei transzverzálisak, azaz f u(x)γ µ d(x) i véve mindkét oldal deriváltját transzláció inv. = e i(p f p i)x f u(0)γ µ d(0) i (18.11) f µ (u(x)γ µ d(x)) i = e i(p f p i)x i(p f p i ) µ f u(0)γ µ d(0) i (18.12) ahol a baloldal a megmaradás miatt nulla, így tehát a jobboldalra is fennáll 0 = iq µ V µ = i(p f p i ) µ f u(0)γ µ d(0) i (18.13) Ennek segítségével a β-bomlás f i konstansaiból kisz rhetünk egyet, ugyanis a hadron áram rész 0 = q µ V µ = q µ q p(x) [γ β µ f 1 + f 2 σ µ,β 2M + f q µ ] 3 n(x) (18.14) 2M az els tag a Dirac-mozgásegyenletek miatt automatikusan nulla, valamint a második tag is elt nik, mert σ antiszimmetrikus az indexekben, míg a q µ q β szimmetrikus. Csak az utolsó tag maradna meg, azonban a CVC miatt ennek nullának kéne lennie, tehát f 3 = 0. A Wigner-Echart tétel értelmében meghatározhatók az átmenet mátrixelemeinek ClebschGordon-együtthatói: I, I z + 1 d 3 xuγ 0 d I, I z = I(I + 1) I z (I z + 1) I, I I, I (18.15) ahol I z mindig a kisebb vetület. Ezt az egyenl séget minden folyamatra felírhatjuk (értelemszer általánosítással) A részlegesen megmaradó axiáláram (PCAC) A CVC-nél csak az árammegmaradást láttuk be, mivel az axiál áram nem marad meg, azonban valamit mégis mondhatunk róla A QCD globális szimmetriái A királis szimmetriáknál láttuk, hogyha minden (adott ábrázolásba tartozók) kvarktömeg nulla akkor kétfajta szimmetriatranszformációja van a QCD Lagrange-függvényének: δq i = iε a V (τ a ) i,j g j (18.16) δq i = iε a A(τ a ) i,j γ 5 g j (18.17) ahol ε A/V az axiál-, illetve vektor-áram invariancia transzformációihoz tartozó kis paraméterek és a {1,... F 2 1}, ahol F az azonos tömeggel rendelkez kvarkok száma (u, d,... ) és i, j

89 18. tétel 85 {1,... F }. Ezekhez tartozó Noether-áramok Jµ V,a = q i γ µ (τ a ) i,j q j (18.18) Jµ A,a = q i γ µ γ 5 (τ a ) i,j q j (18.19) Nulla kvarktömegek esetén mindkét áram megmarad, azonos (de nem nulla) kvarktömegek esetén csak a vektoráram marad meg, azonban tudjuk hogy mit ad a divergenciájuk µ J V,a µ = i,j µ J A,a µ = i,j q i (m i m j )(τ a ) i,j q j (18.20) q i (m i + m j )γ 5 (τ a ) i,j q j (18.21) A hadron világ azonos tömegek (m u, m d, m s ) esetén az SU L (3) SU R (3) szimmetriát sérti le spontán SU(3)-ra, mely 8db Goldston-módust eredményez, ezeket azonosíthatjuk a 8 pszeudoskalár mezon oktettel, melyek tömege explicit sértésb l (Higgs-mechanizmus) származik, mivel az s-nek sokkal nagyobb a tömege mint az u, d kvarkoknak így a szimmetria sért hamilton operátort tovább bonthatjuk H = H 0 + λh = H 0 + λh 1 + λh 2 (18.22) ahol H 0 nem sérti az SU L (3) SU R (3) szimmetriát, nem sérti az SU L (2) SU R (2) szimmetriát, míg λh 1 = m u uu + m d dd (18.23) λh 2 = m s ss (18.24) mindkét szimmetriát sérti, ezek alapján arra következtethetünk, hogy a π tömege csak az u, d kvarktól függ PCAC tétel A pion bomlásának leírására a V-A elmélet alapján a következ t tehetjük J hadron µ = 0 áram π + 0 axiáláram π (18.25) a folyamat vektor része nulla, mivel a pion egy pszeudoskalár részecske, a mátrixelem csak p π -t l függhet, melyb l skalárt vagy 4-es vektort tudunk csak képezni, de pszeudoskalárt nem. Tehát csak az axiál rész lehet nem nulla, erre is el kell írni hogy 4-es vektorként transzformálódjon, tehát egy axiáláramra van szükségünk J hadron µ = 0 J A µ π := f π (p 2 π)(p π ) µ (18.26) a tömeghéj feltétel miatt f π (p 2 π) = f π (konstans)=konstans. Véve mindkét oldal divergenciáját 0 µ J A µ π = f π (p 2 π)(p π ) µ (p π ) µ = f π (p 2 π)m 2 π (18.27) Azonban a jobb oldal "megfelel " normálás választás esetén a következ képpen is írható f π (p 2 π)m 2 π = 0 π(p) π(p) (18.28) ezt a két összefüggést absztrahálhatjuk egy operátor egyenletté (nagyon vad dolog, és kísérletekkel ellen rizni kell) µ A a,µ = f π m 2 ππ a (18.29) kísérleti mérések 10% pontossággal igazolták a tételt.

90 18. tétel GIM mechanizmus A ritkaság váltó nem leptonos bomlásokra az áram áram elmélet eektív elméletre a L S=1 = 2G sin Θ cos Θ u L (x)γ µ d L (x) s L (x)γ µ u L (x) (18.30) eektív Lagrange-függvényt, mely az s d átmenetet túl (10 7 -szer nagyobb) nagy csatolással írja le. Azonban új kvark bevezetésével kiküszöbölhet ez a probléma: Az u, d és s kvarkon kívül legyen egy c kvark, melynek töltése 2/3 és feles spin. Ekkor a hadron áram a következ képpen egészíthet ki J hadron µ = uγ µ (1 + γ 5 )d + cγ µ (1 + γ 5 )s = u L γ µ d L + c L γ µ s L (18.31) ahol ( ) ( ) ( d cos Θc sin Θ s = c d sin Θ c cos Θ c s így az s d átmenetre a következ t hatáskeresztmetszetet kapjuk ) (18.32) σ G2 F 16π 2 (m c m u ) 2 sin 2 Θ cos 2 Θ G2 F 16π 2 m2 c sin 2 Θ cos 2 Θ (18.33) melyb l illeszthetjük az új kvark tömegét (m c 1.5Gev) J/ψ, avagy a c kvark kísérleti felfedezése Csaknem egyszerre 1974-ben fedezték fel Ting vezetésével Brookhavenben és Richter vezetésével Stanforban (SLAC), hogy e p +, illetve e e + ütközésékkor 3095 MeV energiánál a keletkez hadronok száma ugrásszer en megn. Az így talált részecskét J, illetve ψ-nek nevezték, amit kés bb egy Salamoni döntéssel J/ψ-nek kereszteltek át. A J/ψ részecske bomlási rátája meglehet sen kicsinek bizonyult (Γ J/ψ = 6.3keV). Ez az érték úgy volt magyarázható, hogy a J/ψ részecske nem egy részecske, hanem a cc mezon (tömege alapján azonosíthatták a GIM mechanizmusban bevezetett részecskével), más néven charmonium, ekkor ugyanis a cc hadron bomlás csak három gluon cserével írható le (Γ J/ψ α 3 QCD), hiszen ha a cc annihiláció után hadronná alakulna akkor a folyamat során color triplet gluon szinglet hadronokká alakulna. ha két gluon jönne ki az annihiláció során, akkor a paritás sérülne, hiszen a két gluon paritása 1, míg a cc-é pedig c kvark létezésének egyértelm kísérleti bizonyítéka A J/ψ kísérletek a GIM-mechanizmustól függetlenül folytak, de a két elmélet összeillesztése nagyon szép lett volna így megindult a kísérletezés abba az irányba hogy kimutassák a c-kvark létezését. Neutrínó befogásos kísérlet után ν µ + d c + µ (18.34) a µ detektálásával megbizonyosodtak a c létezésér l. Ez a folyamat sin 2 Θ-val el van nyomva ugyan, azonban d céltárgyat egyszer bb preparálni, mind s-t Charmed részecskék bomlása Ezek bomlását a GIM-mechanizmus és az áram áram elméletb l adódóan a következ képpen írhatjuk fel L = c L γ µ s L (J lepton + J hadron ) (18.35) ahol J lepton = ν e γ µ e + ν µ γ µ µ (18.36) J hadron = uγ µ (1 + γ 5 )d + cγ µ (1 + γ 5 )s (18.37) Ha itt is meghatározzuk az egyes átmeneteket akkor azt láthatjuk, hogy a C = S van kitüntetve, tehát ha változik a c-szám akkor az a s-változásának a mértékével szeret változni.

91 18. tétel Cabbibo-elmélet Az energia növelésével az e-on túl további leptonokat és hozzájuk tartozó neutrínókat gyeltek meg, ezeket f leg a leptonok bomlásából azonosíthatták, például µ ν µ e ν e és τ ν τ µ ν µ (18.38) Továbbá a kvarkok is növekv számot mutattak. A hadronok gyenge bomlását, a kvarkok bomlásaival, próbálták magyarázni (a mag β-bomlásával analóg módon, ott is vissza vezették a nukleonok bomlásaira), azonban pusztán a β-bomlások tanulmányozásával nem lehetett leírni a ritkaság váltó folyamatokat. Így feltették hogy az azonos töltés kvarkok egy családba tartoznak ( Q = 2/3 : u, c, t) és (Q = 1/3 : d, s, b) ezek határozott tömeg részecskék kevert állapotai vesznek részt a gyenge kölcsönhatások során, tehát a hadron áram a következ képpen írható J µ = qγ µ (1 + γ 5 ) ˆKq = N α i Lγ µ ˆK i,j β j L (18.39) i,j ahol α a 2/3-töltés kvarkok és β az 1/3-töltés ek, N a folyamatban résztevet családok száma (energia függ ). Így magyarázhatóvá vált a G F G µ = 0.98 (18.40) azaz a G F hadronok-leptonok közti csatolás és G µ leptonok közti csatolás 1-t l való (univerzalitás) eltérése, hiszen így az arány cos Θ-val egyenl (két család esetén). Valamint a ritkaság váltó folyamatokból sin Θ-s tudták mérni (két család esetén) és ez pont jónak adódott N család közelítés Az el bb felírt ˆK N N-es unitér mátrix a SW-modellb l már kijön, itt csak mint egy fenomenologikus kép vezettük be. Összesen 2 N 2 valós paraméterrel jellemezhetjük, de az unitaritás miatt már csak N 2 szabad paraméterünk van, tovább van egy globális fázis szabadságunk q k e iδ k q k (ez további 2N-1 paramétert old fel, mert hol az egyik hol a másik kvarkok forgatom és ugyanakkora szöggel nem lehet), ez tovább redukálja a szabad paramétereket így összesen f = 2N 2 N 2 (2N 1) = (N 1) 2 (18.41) szabad paraméterünk van. Ezeket a következ képpen csoportosíthatjuk Cabbibo-szög (forgatás): 1 N(N 1) (18.42) 2 Fázis szabadság: (N 1) N(N 1) = 1 (N 1)(N 2) (18.43) 2 Tehát két család esetén 1db forgatás, Cabbibo-szög van és 0db fázistrafó, míg N = 3 család esetén 3db forgatás és 1db fázistranszformáció van, tehát három család esetén cos Θ 1 sin Θ Jµ hadron = q L γ µ 0 cos Θ 2 sin Θ 2 sin Θ 1 cos Θ cos Θ 3 sin Θ 3 q L 0 sin Θ 2 cos Θ e iδ 0 sin Θ 3 cos Θ 3 ahol q = (u, c, t) Áram Áram elmélet Az áram áram elmélet szerint minden gyenge kölcsönhatás leírható a következ Lagrangefüggvénnyel L áram áram W := L töltött + L semleges + h.c. (18.44)

92 18. tétel 88 melyben az elektromosan töltött folyamatokat a L töltött = G F 2 J,µ J µ = G F 2 ( h,µ + l,µ) (h µ + l µ ) (18.45) Lagrange-függvény jellemzi, ahol a hadron és lepton áram h µ = uγ µ (1 + γ 5 )d + cγ µ (1 + γ 5 )s + tγ µ (1 + γ 5 )b (18.46) l µ = eγ µ (1 + γ 5 )ν e + µγ µ (1 + γ 5 )ν µ + τγ µ (1 + γ 5 )ν τ (18.47) és az elektromosan semleges folyamatokat pedig a Lagrange-függvénnyel írhatjuk le, ahol L semleges = G F 2 J 0,µ J 0 µ (18.48) J 0 = i ( g i L i(x)γ µ (1 + γ 5 )i(x) + g i Ri(x)γ µ i(x) ) (18.49) i { lepton, neutrínó, kvark}. Tehát a zárójelek felbontása után észrevehetjük a tisztán hadronos és a semileptonos folyamatok Lagrange-függvényét is L semileptonos = G F 2 (h µ l µ + h.c.) (18.50) L hadronikus = G F 2 (h µ h µ + h.c.) (18.51)

93 Az elektrogyenge elmélet alapjai: spontán szimmetriasértés, Goldstone bozonok, Higgs mechanizmus, a W és a Z tömege és csatolásai, lepton és kvarkmultiplettek Bevezet Áram áram elmélet nagy energián, azaz mikor G F s 1 már nem adja jól vissza a 4-fermion kölcsönhatások (pl.: e e + ν e ν e, ν, e szórás) hatáskeresztmetszetét, mivel σ = G2 F π s (19.1) jósol, ami azt jelentené, hogy a tömegközépponti energia növelésével a teljes hatáskeresztmetszet minden határon túl növelhet. Továbbá a dimenziós csatolási állandó miatt nem tudjuk magasabb rend k korrekciók számolásával rendbe tenni a kapott eredményt. Azonban ha bevezetünk Z 0, W ± közvetít bozonokat, amik a pontszer ütközést váltják fel azzal, hogy egy rövid id re k jelennek meg, majd tovább bomlanak a végállapoti részecskékre, akkor már rendbe tehet a hatáskeresztmetszet, mert σ = G2 F π m 4 W s m 2 W (m2 W + s) (19.2) adódik. Az így kapott hatáskeresztmetszet nagy s-re beáll a σ = G F konstans értékre, míg m 2 W kis s-re vissza adja a korábbi eredményt. A SalamWeinbeg-modell bemutatásával adunk egy ilyen elméletet, továbbá a csatolási állandó is dimenziótlan lesz. Tehát egy renormálható elmélet megtalálása a cél, ami nagy és kis energiákon is jól leírja a gyenge kölcsönhatást, a modell tárgyalása el tt néhány fogalom bevezetésére van szükségünk Spontán szimmetriasértés Akkor beszélhetünk spontán szimmetriasértésr l, ha az alapállapot nem rendelkezik a dinamika összes szimmetriájával. Egy tetsz leges, renormálható rendszer teljes dinamikáját mindig leírható egy L = 1 ( µ ϕ i) 2 V (ϕ) (19.3) 2 alakú Lagrange-függvénnyel, ahol ϕ i az egyes önkölcsönható skalár függvények (vagy vektorterek esetén azok komponensei) és V (ϕ) a renormálhatóság miatt legfejlebb negyedfokú függvénye ϕ- nek. Legyen G szimmetria csoportja az el bb említett Lagrange-függvénynek (dinamikának), mely 89

94 19. tétel 90 szimmetriatranszformáció alatt a tér egy N dimenziós vektorként transzformálódik ϕ i = U i,j (g G)ϕ j (19.4) melyet a τ a csoportgenerátorokkal a következ képpen ábrázolhatunk U(g) = e iεa τ a (19.5) ahol a {1,..., N 2 1 és i, j N. A generátorok Lie-algebrát követnek ([τ a, τ b ] = if a,b,c τ c ), tehát f a,b,c antiszimmetrikus struktúra állandóval megadhatjuk a csoportot. Ha V (ϕ) 0 pozitív denit, akkor az [ 1 E[ϕ] = d 3 x 2 ( 0ϕ i ) ] 2 ( ϕ i) 2 + V (ϕ) 0 (19.6) energia funkcionál is korlátos, ekkor az alapállapot egy természetes választásának az olyan ϕ 0 adódik, mely konstans és E[ϕ 0 ] = 0, azaz (V (ϕ 0 ) = 0). A Lagrange-függvény szimmetriájából következ en V (ϕ 0) = V (ϕ 0 ) (19.7) tehát ha ϕ 0 alapállapot volt akkor ϕ 0 is az, jelöljük az alapállapotok halmazát M = {ϕ i 0 V (ϕ 0 ) = 0} (19.8) Az alapállapot szimmetriái pedig, melyek invariánsan hagyják az alapállapotot H φ0 = {g G gϕ i 0 = ϕ i 0} (19.9) Spontán szimmetriasértés osztályozását a sérülés mértékét l függ en megtehetjük, eszerint három csoportba sorolhatjuk ket a G szimmetria csoport nem sérül, ha H = G teljesen sérül, ha H = I részlegesen sérül, ha H < G Ezeknek megfelel en indexeljük át a (τ a i,j) G csoport generátorait: legyen a = 1,..., dim H a H csoport generátorai és a = dim H + 1,..., dim G a G/H coset generátorok. Ekkor a sértetlen és sértett szimmetriák generátoraira a következ teljesül hϕ 0 = ϕ 0 (h H) δϕ i 0 τi,jϕ a j 0 = 0 a = 1,..., dim H (19.10) cϕ 0 ϕ 0 (c G/H) δϕ i 0 τi,jϕ a j 0 0 a = dim H + 1,..., dim G(19.11) Pl.: G = SU(2) és ϕ doublet ábrázolásban ϕ doublet ábrázolásban egy két komponens komplex tér, azaz ( ) Ψ1 + iψ ϕ = 2 Ψ 3 + iψ 4 ekkor egy általános SU(2) transzformáció a következ ( ) c d g = d c (19.12) (19.13) ahol az egységnyi determináns miatt c 2 + d 2 = 1. A g trafó alatt invariánsan maradó V (ϕ) potenciál csak ϕ ϕ = invariáns potenciál 4 i Ψ i 2 tagokat tartalmazhat, tehát a legáltalánosabb renormálható és V (ϕ) = λ 4 (ϕi, ϕ i a 2 ) 2 (19.14)

95 19. tétel 91 alakú. Melyb l az alapállapot megtaláláshoz a M = {ϕ 0 U(ϕ 0 ) = 0} = {ϕ 0 egyenletet kell megoldani, melynek egy lehetséges megoldás a ( ) ( ) 0 + i 0 0 ϕ 0 = = a + i 0 a 4 Ψ i 2 a 2 = 0} (19.15) i (19.16) a h meghatározásához a hϕ 0 = ϕ 0 egyenletet kell megoldani, mely az el bb kiválasztott speciális állapotra is teljesülnie kell, tehát a szimmetria trafó megtalálásához a következ t kell megoldani ( ) ( ) 0 0 h = (19.17) a a felhasználva, hogy h a (19.13) alakban kereshet, teljes sértést kapunk, azaz h = I Goldstone-módusok Ha egy relativisztikusan invariáns elmélet egy folytonos globális szimmetriája spontán sérül, akkor 0 tömeg részecskék jelennek meg, ezeket a részecskéket Goldstone-bozonoknak nevezzük. Minden dim H,..., dim G-hez tartozik egy Goldsonte-módus (minden sértett generátorhoz egy). Induljunk ki abból hogy a g transzformációra a potenciál V (ϕ ) V (ϕ) + V (ϕ) ϕ V (ϕ) ϕ V (ϕ) + ϕ ɛa τ a ϕ (19.18) ként transzformálódik, de g szimmetria volta miatt a megváltozásnak nullának kell lennie véve mindkét oldal ϕk dierenciálját V (ϕ) ϕ i τ a i,jϕ j = 0, a = 1,..., dim G (19.19) 2 V (ϕ) τ a V (ϕ) ϕ i ϕ i,jϕ j + τi,k a = 0 (19.20) k ϕ i vegyük most a ϕ = ϕ 0 esetet, ekkor a második tag elt nik, hiszen a potenciálnak ϕ 0 -ben van minimuma 2 V (ϕ) ϕ i ϕ k τi,jϕ a j 0 = 0 (19.21) ϕ=ϕ0 ahol a ϕ 0 oszcillációk tömegmátrixa Mi,j 2 := 2 V (ϕ) ϕ i ϕ j (19.22) ϕ=ϕ0 a szimmetria miatt τi,j a ϕj 0 = 0, ha a = 1,..., dim H, azonban a coset esetben látható az (19.21) egyenlet alapján, hogy ˆM-nek létezik nem triviális nulla sajátérték sajátvektorai is, ezeket azonosíthatjuk a Goldsonte-bozonokkal Φ a := ϕ i (x)τi,jϕ a j 0 (19.23) Pl.: G = SU(2) és ϕ doublet ábrázolásban Bármilyen g SU(2)/I elem választása esetén sérült a szimmetria, tehát az SU(2) minden generátorához tartozik, egy-egy Goldstone bozon. Az SU(2)-t a Pauli-mátrixok generálják, így nézzük meg a iσ y -hez tartozó módust (nyilván bármilyen számmal megszorozhatóak) ( ) ( ) Φ y = ϕ(x) = a(ψ 1 0 a 1 + iψ 2 ) (19.24)

96 19. tétel Higgs-mechanizmus A mértékelméleteknél láttuk, hogy a kölcsönhatások közvetítésére mértékbozonokat vezettünk be, azonban ezekhez nem rendeltünk tömeget, így végtelen hatótávolságú kölcsönhatás írnának le, amit a természetben nem gyelünk meg. A vektorbozonokhoz nem csaphatunk egyszer en hozzá egy tömegtagot, mert akkor a propagátoruk D µ,ν = g µ,ν + pµpν m 2 (19.25) p 2 m 2 alakú lesz, mely a hurokok számolásakor logaritmikus divergenciákat okoz ami valami miatt nem küszöbölhet ki. Szóval más folyamat során kell hogy tömegeket kapjanak, erre bevezethetjük a Higgs-mechanizmust. A Higgs-mechanizmus nem más mint egy spontán sértett mértékelméletben tömegtagok generálódása a mértékbozonoknak. Tehát induljunk ki egy tetsz leges mértékelméletb l L = 1 2 D µϕ i D µ ϕ i 1 4 F µ,νf µ,ν V (ϕ) (19.26) ahol V (ϕ) a dinamika G szimmetriáját H-ra spontán lesérti. Ekkor a G/H-hoz tartozó dim G dim H darab mértékbozonnak tömeg generálódik, a generált tömeg a csatolási állandóval és a Goldstone-tér vákuum várhatóértékének a szorzatával lesz arányos. Ahhoz hogy bármilyen konkrét kijelentést tehessünk nézzünk meg egy példát Pl.: Lokális G = SU(2) komplex-skalár modell Ekkor a dinamikát leíró Lagrange függvény L = 1 4 F µ,νf µ,ν D µϕ D µ ϕ λ(2 ϕ 2 a 2 ) 2 (19.27) D µ = µ iea µ (19.28) ϕ(x) = 1 (a + η(x))e i Θ(x) a 2 (19.29) melyben a dinamika szimmetriáját spontán sért V -t már az el z ek alapján beírtam. Az elmélet mértékinvariáns (mivel A-t úgy vezettük be), így a következ transzformációkkal szemben invariánsak ϕ ϕ Θ(x) i 1 := e a ϕ(x) = 2 (a + η(x)) (19.30) A µ B µ := A µ + e a µθ(x) (19.31) az áttranszformált mez k segítségével kifejezhetjük a kovariáns deriváltat [ ] D µ ϕ = e i Θ(x) a Dµ ϕ = e i Θ(x) µ η(x) a + η(x) a + ieb µ 2 2 (19.32) Tehát a Lagrange-függvényb l kitranszformálható a Θ függés L = 1 4 F µ,ν(b)f µ,ν (B) µη µ η + e2 2 B µb µ (a 2 + 2aη + η 2 ) λ 2 η2 (2a + η) 2 (19.33) viszont látható, hogy a B tereknek m B = ea meghatározott tömeg generálódott. A szabadsági fokok végig megmaradtak, mármint ezzel ellen rizhetjük, hogy nem történt csalás, csak egyszer átbet zés. Kezdetben 2 skalártér (Θ, η) és egy 1 tömegtelen vektortér (A µ ) volt, majd ez alakult át 1 tömeges skalár térré (η) és 1 tömeges vektortérré (B µ ). Ami a szabadsági fokok nyelvén a következ átalakulás

97 19. tétel SalamWeinberg-modell A SalamWeinberg-modell (SW) a gyenge kölcsönhatás és az elektomágneses kölcsönhatást egyesítette egyetlen mértékelméletben. Törekedve arra, hogy minimális bonyolultságú legyen. Egy mértékelmélet minden lokális G szimmetriájához tartozik egy mértékbozon így elektromágneses A µ fotontér leírására ez U(1), a gyenge kölcsönhatás Z 0, W ± bozonjainak leírásához SU(2) mértékelméletre van szükség. Tehát a SW modell egy SU(2) U(1) mértékelmélet. A mértékelmélet szerint a mértéktér a Nother-áramokhoz csatolódik, így a következ csatolásokat kell gyelembe vennünk ahol L EM-csat = ea µ J µ EM (19.34) L gyenge (töltött)-csat = g(j µ W µ + J µw µ ) (19.35) L gyenge (semleges)-csat = gj µ 0 Z µ (19.36) J EM = 1 l(x)γ µ l(x) (19.37) 2 J = l l ν l γ µ (1 + γ 5 )l(x) (19.38) J 0 = l [ νl γ µ (1 + γ 5 )ν l (x) lγ µ (1 + γ 5 )l(x) ] (19.39) (19.40) ahol a J-ben szerepl vektor- és axiálvektor-áram csak közelít leg marad meg, a vektoráram akkor maradna meg ha m l = m νl az axiáláram pedig akkor ha m l = 0. Ekkor az egyes csoportokat a következ generátorok generálják: SU(2): izospin generátok T ±, T 0 (19.41) U(1): gyenge hipertöltés Y = 2(Q T 0 ) (19.42) ahol T ± a J nulladik komponensének az integrálja (izospin és hipertöltés jó kvantumszám), szóval a hozzá tartozó töltés és Q a J EM nulladik komponensének az integrálja, míg T 3 a J 0 nulladik komponensének integrálja. Ekkor [Y, T i ] = 0 és [T +, T ] = 2T 3. Azaz a kovariáns derivált ezek segítségével kifejezhet D µ ϕ(x) = ( µ iga a τ a µ 2 Y ig 2 B µ) (19.43) A W ± és Z 0 bozonok tömege Az SU(2) U(1) szimmetriát lesértjük egy H = U(1) szimmetriára, egy V (ϕ) = µ 2 ϕ ϕ + λ(ϕ ϕ) 2 (19.44) potenciál bevezetésével, tehát L = (D µ ϕ) (D µ ϕ) V (ϕ) (19.45) egy mértéktranszformáció segítségével a komplex fázis megint kitranszformálható (megint komplex doublet ábrázolásban dolgozunk) olyan alakra hozzuk a tömeges részeket, hogy beazonosíthassuk a tereket: L tömeg = 1 2 M W 2 W µw µ M ZZ 2 µ Z µ A µa µ (19.46) akkor a következ kombinációk t nnek fel W ± := 1 (A 1 µ ± ia 2 µ ) MW 2 = g2 v 2 (19.47) 2 4 Z := cos Θ w A 3 µ sin Θ W B µ MZ 2 = MW 2 cos 2 Θ w (19.48) A := sin Θ w A 3 µ + cos Θ W B µ M 2 A = 0 (19.49) ahol tan Θ w = g /ga szabadsági fokok megint megmaradtak, mivel csak átbet zés történt. A µ a fotontér operátora, a többi meg értelemszer.

98 19. tétel Lepton és kvark multiplettek Egycsalád közelítésben: e, ν e, u, d részecskék vesznek rész, a SW-modell szerint a gyenge-kölcsönhatásban a jobbkezes antirészecskék és a balkezes részecskék vesznek rész, ahol Ψ L/R = 1 2 (1 ± γ 5)Ψ (19.50) a neutrínó tömegtelenségét kívülr l tehetjük, bele úgy hogy nem vesszük bele a részecskékbe a jobbkezes komponenst, így tehát 15 darab részecske van egycsalád közelítésben: (ν e ) L, e L, e R, 3 (u L, u R, d L, d R ), ahol a hármas szorzó abból adódik, hogy minden kvark három színnel rendelkezik. Mivel a terek mértékterekkel vett kölcsönhatásai helicitás rz ek, így SU L (2) U L (1) SU R (2) U R (1) szimmetriája van a rendszernek. Ahol az SU(2) a követk multipletekre izospinjének variálására vonatkozik l L = (ν e, e) L q L = (u, d) L (19.51) minden más izoszingletként transzformálódik. Szeretnénk ha az elmélet tudná az SU(2) U(1) globális szimmetriát, így a fermionok tömegei csak spontán szimmetriasértésb l származhatnak. Belátható, hogy az el z ek alapján Tr(Q) = = 0 (19.52) ez azért fontos mert ekkor anomális az elmélet. A dinamika három elemb l áll; (DΨ) 2 mely leírja a terek kinetikus részét valamint a mértéktérrel vett csatolásuk, a F 2 mértéktér dinamikája és egy spontán szimmetria sért potenciál, mely során a fermionok tömegeket kapnak. Több család közelítés esetén családonként még részecskéket hozzá adunk, a következ képpen:ν µ, µ, c, s és ν τ, τ, t, b ekkor a következ részecske kombinációk fognak doubletet alkotni az SU(2) íz transzformáció alatt ( ) ( νµ ντ, µ τ L ), L ( u d ), L ( c s ), L ( t b ) L, (19.53) ahol a vessz s terek már tömeg sajátállapotok, melyeket a vesz tlen terekb l (izospin sajátállapotok) képeztünk (KM-mátrix) a spontán szimmetria sértés után a W ±, Z 0, A µ terek bevezetésénél látottak alapján.

99 Rácstérelmélet alapjai és alkalmazásai 20.1 A rácstérelmélet alapjai A kvantumtérelméletek matematikai megfogalmazásában a részecskék mint mez k szerepelnek, az x µ térid - koordináták függvényei, ahol x 0 -t tekintjük az id nek. Ezek dinamikáját leíró klasszikus mez egyenletek dierenciálegyenletek. A numerikus kezeléshez e dierenciálegyenleteket diszkretizáljuk a rácsállandóval. Ennek megfelel en dierenciál-operátorok helyett dierenciaoperátorokat használunk, és a mez ket csak a térid -rács pontjaiban értelmezzük. Z-t komplex id ben írjuk fel, ekkor mint egy állapotösszeg értelmezhet és a statisztikus zika módszereit alkalmazhatjuk. Továbbá a rendszerünk teljesen analóg lesz egy klasszikus statisztikus rendszerrel, ezáltal az ott jól bevált Monte Carlo módszerek alkalmazhatóak A rácstérelméletek alapgondolata A kvantálás a Feynman-féle pályaintegrál módszerrel történik. Ebben a megközelítésben a kiszámolandó mennyiséget el ször kifejezzük, mint egy  operátor vákuumbeli várható értékét. 0  0 = D[ψ, ψ, Aµ ]O(ψ, ψ, A µ )e S(ψ,ψ,Aµ) D[ψ, ψ, Aµ ]e S(ψ,ψ,Aµ) (20.1) Mivel Minkowski helyett képzetes id t bevezetve Euklideszi térid t használunk, így az integrandusban megjelen oszcilláló e is tényez helyett a numerikusan is könnyebben kezelhet e S szerepel. Ha a térid pontok számát végessé tesszük, akkor az integrál már numerikusan elvégezhet. Az integrál a ψ és A mez k értékeit futja végig minden térid pontban. A térid pontok számát úgy tesszük végessé, hogy kiválasztunk egy 4 dimenziós téglát a térid b l, és kockarácsnak megfelel en diszkretizáljuk. A folytonos (x, t) térid koordináták indexelt (x i, t i ) vagy (n i a, n t a) rácskoordinátákká válnak, ahol a a rácspontok közötti legrövidebb távolság, a rácsállandó. A hatást szintén diszkretizálni kell. A Lagrange-s r ség a mez ket és azok deriváltjait tartalmazza. A mez ket kicseréljük a rácspontokban vett értékeivel, a deriváltakat pedig a véges dierenciákkal. A Lagranges r ség térid re vett integrálját pedig az összes rácspontra vett szummával helyettesítjük: d 4 x a 4. i Elkerülhetetlenül fellépnek diszkretizációs hibák, mert a rács Lagrange-függvény csak az a = 0 esetben egyezik meg a kontinuum Lagrange-függvénnyel. Nem nulla a esetén nemkívánt extra tagok jelennek meg a Lagrange-függvényben. Jelöljön R egy dimenziótlan meggyelhet mennyiséget. Ennek a rácson vett várható értéke különbözik a kontinuum várható értékét l egy a p rend taggal: R rács = R kontinuum + O(a p ) (20.2) ahol a hiba p kitev je attól függ, hogy hogyan diszkretizáltuk a hatást. Ha a hatás tisztán bozonikus, vagy pedig staggered fermionokat használunk, akkor p = 2, ha pedig Wilson-fermionokat használunk, akkor p = 1. A diszkretizáció kicsit másképp megfogalmazva: a rács egy ultraibolya levágást okoz az impulzus térben, mivel az impulzus nem lehet nagyobb, mint π a (a hullámhossz kisebb lenne, mint a). Ezzel egy természetes regularizációját valósítja meg az ultraibolya divergenciáknak. A számítások 95

100 20. tétel 96 során az eredmények végesek maradnak, és így valósítható meg a kontinuum limesz. A rács-megfogalmazásra az egyik legegyszer bb példa a skalármez. Ennek euklideszi Lagrangefüggvénye L = 1 2 ( µφ) m2 φ 2 + λφ 4 (20.3) Ennek megfelel en a diszkretizált rács-hatás S = a ( ) 2 φi j φ i+j a 2 m2 φ 2 i + λφ 4 i (20.4) i j=1 ahol j a e j irányú, rácsállandó nagyságú vektor, tehát az i+j rácspont az i rácspontnak a e j irányban lev szomszédja. A paramétereket és a mez ket átskálázzuk a rácsállandó hatványaival, hogy azok dimenziótlanok legyenek. Ekkor minden rács-egységekben lesz kifejezve. A skalármez nél a dimenziótlan mennyiségek φ = φa, m = ma és λ = λ. Ekkor S = 1 4 ( φ 2 i j φ 2 1 i+j) + 2 m 2 φ 2 i + λ φ 4 i (20.5) i j=1 Az átskálázásnak az az eredménye, hogy a hatásban a rácsállandó nem jelenik meg explicit módon. A számolás a rácsállandó ismerete nélkül zajlik, annak értéke általában azután derül ki, hogy a számolás eredményeit a kísérleti eredményekkel összehasonlítjuk Mértékterek rácson A mértékelméleteknek a leglényegesebb eleme a lokális mértékinvariancia. Ezért oly módon kell a diszkretizációjukat megoldani, hogy a lokális mértékinvariancia a rácson is megmaradjon. A mértéktérnek a kontinuum esetben az a szerepe, hogy a lokális mértéktranszformációk hatását kiegyensúlyozza. Ezért ha a fermionok a rácspontokon vannak, akkor természetesnek adódik, hogy a mértékterek a rácspontokat összeköt linkeken ülnek. A kontinuum leírásban a mértéktereket leíró A µ (x) valójában n darab kovektormez (ahol n dimenziós a G mértékcsoport), az A a µ(x) együtthatók szorzata a G Lie-algebrájának n darab τ a generátorával. A rácson a Lie-algebra elemei helyett a linkeken célszer bb magukat a mértékcsoport elemeit venni. A rácson a mértéktereket A µ (x) helyett így U j (x) szel jelöljük, ahol e j a link irányát mutatja, x pedig a link kezd pontjának rács-koordinátáit. A rács és a kontinuum mez k között a kapcsolat exponenciális U j (x) = e iagaj(x) (20.6) ahol a a rácsállandó, g pedig a (csupasz) csatolási állandó. Egy link két rácsponthoz is csatlakozik, így egy linkre kétféleképpen tekinthetünk. Ha az x rácspontból induló, az x-et az x+e j rácsponttal összeköt e j irányú linken a mértékmez értéke U j (x), akkor az x + e j -ból induló ugyanezen linken lev U j (x + e j )-re U j (x + e j ) = U 1 j (x) = U j (x) (20.7) A mértékmez knek ezen formája lehet vé teszi, hogy az egzakt mértékinvarianciát a rácson is meg rizzük. Egy lokális mértéktranszformációt itt ugyanis úgy hajthatunk végre, hogy minden rácspontban megadunk egy G(x) G transzformációs mátrixot, majd a mérték- és fermionmez ket az U i(x) := G(x)U i (x)g (x + e j ) (20.8) ψ i := G(x)ψ i (20.9) ψ i := ψ i G (x) (20.10) képletek szerint transzformáljuk. Könnyen megmutatható, hogy ez a mértéktranszformáció ekvivalens a kontinuum A j(x) = G(x)A j G (x + e j ) i g ( jg(x))g (x + e j ) (20.11)

101 20. tétel 97 mértéktranszformációjával. Mértékinvariáns mennyiségek könnyen formálhatók a rácson, például zárt mértéktér-hurkokból, vagy olyan mértékterekb l álló útvonalakból, amelyeknek egyik végén egy fermion, másik végén pedig egy antifermion található, lsd ábra. g : Mértékinvariáns mennyiségek A tiszta mértékelmélet hatása a kontinuumból átültetve rácsra a Wilson-hatás Sg kontinuum = d 4 x 1 2 TrF µ,νf µ,ν Sg rács = β (1 1 3 Re(Tr[U p])) (20.12) p ahol β = 6 g 2, U p az 1 1-es zárt hurok, az ún. plakett. Ez egy G-beli mátrix, amelyet a négyzet 4 oldalát alkotó linkeken lev mértékmez értékek megfelel sorrendbeli összeszorzásával kapunk. A j, k síkban fekv plakett, amelynek az egyik sarka i, az módon néz ki Fermionok U p (x) = U j (x)u k (x + e j )U j (x + e k)u k (x) (20.13) A kölcsönhatásokban nem csak a mértékmez k, hanem fermionok is részt vesznek, ezért a fermionok rácstérelméletével is foglalkoznunk kell. Amellett, hogy a fermionoknak a hatásba történ bevétele jelent sen megnöveli a számítási igényt, a fermion jellegük miatt több más nehézséggel is szembe kell néznünk. A legszembet n bb probléma, amely már szabad fermionok esetén is jelentkezik az ún. fermionmegkett z dés. Egy szabad fermionmez kontinuum hatása S f = d 4 xψ(γ µ µ + m)ψ (20.14) Ezt naív módon diszkretizálva az S naiv f = a 4 i ψ i j γ j ψ i+j ψ i j 2a + mψ i ψ i (20.15) rács-hatást kapjuk. Ezen hatásból adódó rácspropagátor inverze G 1 naiv = iγ sin p i a i + m (20.16) a Könnyen láthatóvá válik a probléma, ha ezt összevetjük a (20.14) kontinuum hatásból adódó G 1 kontinuum = iγ µp µ + m (20.17) propagátorral. A két inverz propagátor az (20.13) látható egy dimenziós tömegtelen fermion esetére az els Brillouin-zónában. A nemnulla rácsállandó miatt a p = π/a és p = π/a pontok

102 20. tétel 98 g : Propagátorok inverzei periodikusan csatoltak. A p = 0 pontban mind a rács-, mind a kontinuum propagátornak pólusa van. Ezen pont környékén a rács-eredmény összhangban van a kontinuummal. A rácspropagátornak azonban a p = π/a pontban is pólusa van, és ebben a pontban szintén egy kontinuum-szer egyenes húzható. Tehát egy dimenzióban a rácson egy helyett kett, egy 4 dimenziós rácson pedig egy helyett már 2 4 = 16 kontinuum-szer fermiont találunk. Itt a valódi fermion mellett 15 másolat jelent meg. Ezt hívjuk a fermion-megkett z dés problémájának. Wilson fermionok A fermion-megkett z dés kikerülésére több különböz mód létezik. Ezek közül az alkalmazásokban az egyik legelterjedtebb a Wilson fermionhatás. A hatáshoz adott Wilson-tag teljesen kiküszöböli a másolatokat azáltal, hogy azoknak ma-nál sokkal nagyobb tömeget ad, így azok nem adnak járulékot. A Wilson-tag lényege, hogy második deriváltat tartalmaz, így a dimenziótlanság meg rzése érdekében a-nak eggyel magasabb hatványával kell szorozni, mint a többi tagot: S Wilson f = S naiv f r 2 a5 i ψ i ψ i (20.18) ahol ψ i = j ψ i+j 2ψ i + ψ i j a 2 (20.19) Az r az ún. Wilson paraméter, amit legtöbbször 1-nek választanak. A Wilson-hatásból számolt propagátor inverze G 1 Wilson = G 1 naiv + 2r a 2 sin 2 (p i a/2) (20.20) alakú. Ezt a p = 0 körül sorba fejtve G 1 Wilson (p 0) = iγ ip i + m + ra 2 i p 2 i (20.21) Ezt a (20.17) kontinuum esettel összevetve azt láthatjuk, hogy az a 0 esetben az r-et tartalmazó tag elt nik, és az m tömegre a megfelel értéket kapjuk. Vizsgáljuk meg a másolatokat. Ha q jelöli a p és π/a különbségét, akkor a másolatoknál sorbafejtve q szerint i G 1 Wilson (q = p π/a 0) = iγ iq i + m + br a (20.22)

103 20. tétel 99 adódik, ahol b lehetséges értékei 2, 4, 6 vagy 8, attól függ en, hogy melyik másolatot vizsgáljuk. Tehát ha a 0, akkor a másolatok tömege végtelenhez tart, így a hatás valóban egy fermiont ír le. Az ψ = a 3/2 ψ dimenziótlanítás után a Wilson-hatás: S Wilson f = i ψ i [(γ j r)ψ i+j (γ j + r)ψ i j ] + (ma + 4r)ψ i ψ i j (20.23) alakot ölti. A tömeghez hasonló szerepe miatt szokás bevezetni a κ = 1/(2ma + 8r) ún. hopping paramétert,vés a fermionmez t 2κ-val átskálázni. A mértékmez khöz csatolva a fermionok minden egyes rácspontban már n(mérték) 4(spin) dimenziós vektorok lesznek. Az U mértékmez t úgy lehet mértékinvariáns módon betenni a hatásba, hogy egy szomszédos ψ és ψ közé írjuk. Így a teljes mértékinvariáns Wilson hatás: S Wilson = κ i j ψ i (γ j r)u j (x)ψ i+j ψ i+j (γ j + r)u j (x)ψ i + ψ i ψ i (20.24) A Wilson hatás nagy el nye, hogy a fermion-megkett z dés során keletkez összes másolatot megszünteti. Ezen el nye mellett azonban hátrányai is vannak. A Wilson tag a királis szimmetriát explicit módon sérti. Ha a 0, akkor a szimmetria visszaáll, de a valódi, a = 0 melletti rácsszámolásokban a királis szimmetria hiánya sokszor nehézséget okozhat. A Wilson hatás egy másik hátránya, hogy használatakor nagy diszkretizációs hibák léphetnek föl. A naiv hatás használatakor a zikai mennyiségek várható értékének hibája a 2 -tel arányos. A hatáshoz adott Wilson-tag azonban a-val arányos, azaz S Wilson f = S kont. f + O(a), így a kapott hibák itt a-val lesznek arányosak. Staggered fermionok Amint azt fentebb láttuk, a fermion-megkett z dés abból ered, hogy a naiv rács-propagátor inverzének a Brillouin-zóna szélein is zérushelyei vannak. Ezáltal felmerül az a lehet ség, hogy a nemkívánt másolatokat a Brillouin-zóna méretének csökkentésével távolítsuk el. Ez elérhet, ha a fermion szabadsági fokokat a rácspontok között oly módon osztjuk szét, hogy az eektív rácsállandó kétszerese legyen az eredetinek, és a kontinuum határesetben visszakapjuk a kontinuum hatást. Az eredetileg egy rácspontban lev különböz spinkomoponenseket szétosztjuk egy rácsállandó elhosszúságú hiperkocka csúcsaiba. Egy d dimenziós hiperkockának 2 d csúcsa van, így a rendelkezésre álló szabadsági fokok száma 2 d. A Dirac-spinoroknak d dimenzióban 2 d/2 komponense van, így egy hiperkocka minden csúcsába egy komponenst írva 2 d /2 d/2 = 2 d/2 fermionmez t tudunk leírni. A d = 4 dimenziós térid ben tehát 2 4 /2 = 4 degenerált fermiont kapunk. Az eredeti ψ i mez k helyett minden rácspontban bevezetjük a n(mérték) 1(spin) komponenssel rendelkez χ i mez t, melyekre a mértékinvariáns teljes staggered (KogutSusskind) hatás: S staggered f = i χ i 1 [ ] η i,j U j (x)χ i+j U j 2 (x e j)χ i j + maχ i j (20.25) ahol j 1 x ν n i,j = ( 1) ν=1 (20.26) Ez a hatás 4 degenerált (azonos tömeg ) fermiont ír le, de az ízek (a 4 fermion) szétválasztása az egy hiperkocka csúcsaiban lev 16 különböz χ értékb l bonyolult feladat. A Staggered hatásnak azonban van egy maradék királis szimmetriája, aminek következtében jobban kezelhet, és gyorsabban lehet vele dolgozni, mint a Wilson hatással. Továbbá a staggered hatás esetén a diszkretizációs hibák a 2 -tel arányosak, csak úgy, mint a naív hatás esetében.

104 20. tétel Számolási algoritmus Egyel re tekintsük csak a mértékmez ket a rácson,  pedig egy csupán a mértékmez kt l függ operátor, aminek a várható értékét szeretnénk meghatározni. Ekkor a Feynman pályaintegrál a 0  0 = D[U] Âe Sg D[U]e S g (20.27) alakú. Ezen pályaintegrál kiszámításához generálunk véletlen U α mértékmez kongurációkat, majd kiszámítjuk a  α e Sg α 0  0 = α (20.28) e Sg α α súlyozott átlagot. Itt Âα az  operátor értéke, Sg α pedig az S g hatás értéke az α kongurációban. A kongurációk összességét sokaságnak hívjuk. A véletlenszer en generált mértéktér-kongurációk többségére azonban S α nagyon nagy, így azok nagyon kis járulékot adnak a (20.28) átlaghoz. Ilyen módon számolva tehát nagyon sok felesleges számolást végeznénk. Célszer bb a kongurációkat eleve olyan eloszlással el állítani, hogy az U α konguráció e Sg α valószín séggel kerüljön el. Ezt hívjuk fontossági mintavételezésnek, mert ekkor minden egyes konguráció olyan gyakorisággal kerül el, amekkora járulékot ad a várható érték képzésében. Ha ilyen eloszlással állnak rendelkezésünkre a kongurációk, akkor 0  0 = 1 N N  α (20.29) tehát az eredmény az  operátornak az egyes kongurációkban vett értékének az átlaga. Ha a kongurációk N, akkor a számolás relatív statisztikus hibája 1/ N nagyságú. Többféle algoritmus létezik a kongurációk e S eloszlású generálásához. A legkorábbi és egyben a legegyszer bb eljárás a Metropolis algoritmus. Els lépésként generálunk egy véletlenszer kongurációt. Ebb l kis véletlenszer változtatással el állítunk egy következ kongurációt, és közben gyeljük a hatás S változását. Ha S csökken, akkor az újonnan kapott kongurációt elfogadjuk. Ha S n, akkor az új kongurációt e S valószín séggel fogadjuk el. Ezt ilyen módon folytatva minden egyes elfogadott kongurációban végezhetünk "méréseket, azaz kiértékelhetjük a különböz  operátorok várható értékét. Itt fontos megemlítenünk, hogy minden kongurációt egy el z kongurációból kis változtatással hoztunk létre, ezért az egyes kongurációk nem tekinthet k statisztikusan függetlennek. Figyelembe kell venni tehát a termalizációs id t és az autokorrelációs id t. A termalizációs id az ahhoz szükséges lépések száma, hogy a kongurációk sorozata elérje a kiindulási kongurációtól függetetlen e S egyensúlyi eloszlást. Az autokorrelációs id azt mutatja meg, hogy két konguráció között hány lépésnek kell megtörténnie ahhoz, hogy az azokban mért mennyiségek már egymástól statisztikusan függetlennek, korrelálatlannak tekinthet k legyenek. Az autokorrelációs id megállapítható az  operátornak a kongurációk sorozatán mért értékeib l. Ez általában függ az  operátortól. Ha például  olyan zárt mértékmez hurok, ami szinte az egész rácsot bejárja, akkor hosszabb lesz az autokorrelációs ideje, mint ha csak néhány egymáshoz közeli linken haladna. Ahogy csökkentjük az a rácsállandót, a kontinuum határesethez haladva fellép a kritikus lelassulás jelensége. Ez annak a következménye, hogy a-t csökkentve egy adott tipikus zikai távolság, mint például egy hadron mérete, rács-egységekben mérve nagyobb lesz, azaz több rácspontnyi távolságnak felel meg. Ahhoz, hogy két konguráció ugyanazon a zikai méretskálán korrelálatlan maradjon, kisebb rácsállandó esetében több lépésnek kell közöttük eltelnie. Ha a számolásban már a fermionokat is gyelembe vesszük, akkor azok fermion jellege miatt újabb nehézséggel találjuk szembe magunkat. A fermionokat ugyanis a Pauli-elv miatt nem hagyományos számok, hanem egymással antikommutáló Grassmann-változók írják le helyesen. A fermionmez k kvadratikusan szerepelnek a (20.18) Wilson és a (20.25) staggered hatásokban, ezért a teljes (mértékterekre és fermionokra vonatkozó) rácshatás az α=1 S[U, ψ, ψ] = S g (U) ψm(u)ψ (20.30)

105 20. tétel 101 alakba írható, ahol S g a tiszta mértéktér rácshatása, M(U) pedig a mértéktér-kongurációtól függ fermionmátrix. Ekkor az állapotösszegben a fermionokra történ integrálást analitikusan elvégezve: Z = D[U, ψ, ψ]e Sg(U)+ψM(U)ψ = D[U]e Sg e ln det M(U) (20.31) Tehát a mértékmez kre vonatkozó eektív hatás tehát az S e. = S g ln det M(U) (20.32) alakot ölti. A számolás ezek után úgy történik, hogy a mértéktér-kongurációkat ezen hatás szerinti e S eff. eloszlással generáljuk Alkalmazások A rácstérelmélet segítségével numerikusan (elméleti úton) olyan paraméterek értékét l hetjük, melyekre analitikusan nem sok esélyünk van Sztatikus kvark-potenciál Ha ki akarjuk számolni a sztatikus kvarkpotenciált, azaz azt, hogy két, egymástól R távolságban elhelyezett nyugvó kvark között mekkora potenciál lép fel (a QCD miatt), akkor azt a következ képpen kell csinálni. Deniáljuk a C R,T Wilson hurkot, az ábrán látható módon. g : Mértékinvariáns mennyiségek Vegyünk egy x és egy y pontot a rácson úgy, hogy x és y távolsága R legyen. Az x és y pontokat toljuk el id irányban T-vel, így kapunk egy téglalapot, melynek oldalai R és T nagyságúak. A nyilak irányában sorban haladva vegyük a linkeken lev gluonmez k (amelyek most SU(3) mátrixok) szorzatát, majd annak a nyomát. Vegyük ezen mennyiségeknek a várható értékét, és legyen ez a W (C R,T ) Wilson-hurok értéke. Ez mértékinvariáns, és független attól, hogy a hurkon hol kezdjük a szorzást. A Wilson hurok az ún. területi szabályt követi, azaz ahol (RT a téglalap területe.) A statikus kvarkpotenciált a lim W (C R,T ) e αrt (20.33) R,T 1 V (R) = lim T T ln W (C R,T ) (20.34) képlet adja meg. Szokták mondani, hogy nagy távolságokon a kvarkok között ható er állandó, azaz a potenciál lineárisan n, ún. string köti össze a két kvarkot, ez az α string-állandó: V (R) α = lim R R (20.35)

106 20. tétel Hadronspektrum A QCD hadronállapotainak tömegét rácstérelmélet segítségével meg lehet határozni. Válasszunk egy olyan  operátort, amelynek jó átfedése van a P hadronállapottal, azaz 0  P 0 (20.36) de a P -vel azonos kvantumszámokkal rendelkez más állapotokkal kicsi az átfedése. Ekkor számoljuk ki az id szelet korrelációs függvényt: C(t) := Â(x, t)  (0, 0) (20.37) x Ezt úgy csináljuk, hogy minden egyes kongurációban vesszük a fenti szummát (lényegében a t-hez tartozó id szeletre szummázunk), majd vesszük a kongurácikókra vett átlagot. Ebb l a C(t)-b l a tömegspektrum a következ képpen kapható meg. Írjunk be az  és a  közé hadron-állapotok egy teljes rendszerét. Ekkor az eltolás invarianciából következ en C(t) = d 3 k 1 (2π) 3 2E(k) 0 Â(x, t) P (k) P (k)  (0, 0) 0 = 0  P 2 e ie P (0)t 2E x P (0) P P (20.38) Az E P (0) ismeretében a tömeghéj feltételb l m P -t is ismerjük. Ha t, akkor lényegében a legkisebb tömeg állapot fogja a legjelent sebb járulékot adni (feltéve hogy a mátrixeleme nem nulla). Ezért az adott kvantumszámokkal rendelkez legkisebb tömeg állapot tömegére 1 = m 0 lim t infty 1 ln C(t) (20.39) t Nagyobb tömeg állapotok tömegének meghatározása variációs módszerekkel történik. Ehhez kell vennünk egy Âi operátorokból álló bázist, ahol mindegyik operátor nagyjából jól megfelel valamelyik állapotnak. Ekkor a rácson kiszámoljuk a korrelátorok mátrixát C i,j (t) = Âi (x, t)â j(0, 0) (20.40) i és a tömegek durván a C 1 (t)c(t + 1) transzfermátrix diagonalizálásából adódnak A QCD fázisdiagramja A QCD fázisdiagramjának feltérképezésére is rácstérelméleti módszereket használnak. A fázisdiagramról a jelenlegi ismereteink a következ : g : QCD fázisdiagramja