Még egyszer a Cayley-Klein modellről

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Még egyszer a Cayley-Klein modellről"

Átírás

1 Még egyszer a Cayley-Klein modellről (Apróságok II.) Az [1]-ben, a 3. pontban részletesen ismertettem a hiperbolikus sík Cayley-Klein-féle modelljét. Az ott leírtakat most több vonatkozásban is helyesbítem, illetve kiegészítem. Hivatkozott írásomban tévesen állítottam (ld. 4. oldal legfölső bekezdését), hogy a sugarú C-K-modellben a belső körlap (végpontok nélküli) húrjai közül csak az O középponton átmenő átmérők a hiperbolikus sík egyenesei. Ezzel szemben az igazság az, hogy a C-K-modellben az összes (végpontok nélküli) húr egyben hiperbolikus egyenes is. A hiperbolikus sík euklideszi síkban/térben megalkotott modelljei közül e modellben tehát a görbült hiperbolikus sík egyenesei egyúttal euklideszi egyenesek szakaszai is. (A Poincaré-féle körmodell hiperbolikus egyenesei viszont euklideszi értelemben már valóban nem egyenes szakaszok: azok ugyanis olyan körök ívei, amelyek a hiperbolikus síkot modellező belső körlap határoló körívét merőlegesen metszik. E merőlegesen metsző köröknek is természetesen csak a belső körlapba eső ívei számítanak a P-modell hiperbolikus egyeneseinek azaz metszéspontjaik például már nem tartoznak a síkhoz; így annak hiperbolikus egyeneseihez sem.) Azt is tévesen állítottam (szintén a hivatkozott írás 4. oldalának legfölső bekezdésében), hogy a C-K-modell hiperbolikus egyenesei feleltethetők meg a fizikai téridő sebességreprezentációbeli inerciarendszereinek. Ezzel szemben az igazság az, hogy a belső körlap mint hiperbolikus sík pontjai feleltethetők meg kölcsönösen egyértelmű ráképezéssel azaz bijekcióval az ebben a síkban fekvő sebességvektorokkal jellemezhető inerciarendszereknek; pontosabban ezek nyújtási transzformáció előtti előképének. (A sebességvektorok a lokális éterhez képest nyugvó, tehát lokálisan abszolút K 0 vonatkoztatási rendszerben értendők.) Ezen nincs is mit csodálkozni, hiszen a Bolyai-féle hiperbolikus geometria ugyanúgy méri a szöget, mint az euklideszi geometria: mindkettő a Riemann-féle szögmértéket használja. A körlap O középpontja nem más, mint maga a lokális K 0! A C-K-modell talán legnagyobb előnye abban rejlik, hogy úgy alkotható meg a szemléletünkhöz legközelebb álló euklideszi térben/síkban, hogy e beágyazáshoz nincs szükség 1 számmal magasabb dimenziójú euklideszi térre. Magyarán a C-Kmodell szerinti hiperbolikus sík vagyis 2-dimenziós hiperbolikus tér megalkotásához elegendő az euklideszi sík vagyis a 2-dimenziós euklideszi tér. (Ez például már nincs így a szintén Poincaréhoz köthető másik hiperbolikus síkmodell, a Poincaré-féle félgömb-modell esetében: ott a hiperbolikus sík megalkotásához bizony már 3-dimenziós euklideszi térre van szükségünk!) Ebből pedig a téridő-fizika számára az a roppant értékes következmény származik, hogy az emberi szemlélet számára még felfogható/ kézzelfogható /természetes 3-dimenziós euklideszi térben megalkotható a C-K-modell háromdimenziós változata, azaz a 3-dimenziós 1

2 hiperbolikus tér! (Ami pedig korábbi tanulmányaink szerint lásd sebességreprezentáció éppen elegendő a négydimenziós fizikai téridő teljes körű tanulmányozásához.) Ehhez nem kell mást tenni, mint a 2-dimenziós C-K-modellt körbeforgatni bármelyik átmérője körül: az így nyert ( sugarú) gömbhéja nélküli golyó lesz a 3-dimenziós euklideszi térben megalkotott 3-dimenziós hiperbolikus tér Cayley-Klein-féle modellje. Gömbünk belső pontjai egy-egy olyan K v inerciarendszernek felelnek meg, amelyek K 0 -beli v sebességének iránya éppen a gömb O középpontjától a megfeleltetett d v pontba húzott 3-dimenziós vektor irányával azonos. (A sugarú gömb belső pontjai alkotta 3-dimenziós hiperbolikus tér hiperbolikus síkjait a gömböt átszelő euklideszi síkoknak a gömb belsejébe eső részei alkotják.) Iménti megjegyzésünkből már az is ( hiperbolikus ) egyenesen következik, hogy az Einstein-féle speciális relativitáselmélet miért tarthatatlan és menthetetlen tévtan. Abban ugyanis a C-K-modell egy c 0 c ( k v áll. minden v <c esetén, s így k Do k Dv 1) 1 sugarú gömb, amelynek viszont éppen most láttuk a gömbhéja már nem tartozik a C-K-modellbe. Magyarán Einstein, matematikailag abszurd módon, olyan modellt épít föl, amelybe beleérti az egyébként bele nem érthető, azaz a modelltől idegen, értelmezhetetlen pontosabban a végtelen távoli pont szerepét betöltő gömbhéjat is. (Ugyanis az elmélet szerint egyetemes állandó skalárként értelmezendő fénysebesség éppen a nemlétező gömbhéjnak felelne meg. Ha viszont nem tekintjük sebességnek a fény sebességét holott mind iránya, mind nagysága van, akkor óhatatlanul Einstein fából vaskarikájához jutunk: egy fizikailag létező, iránnyal és nagysággal rendelkező mennyiséget négyesskalárnak definiálunk. Nekem ez már kicsit sok az agyafúrt csűrés csavarásból ) Einstein elméletének másik tartópillére is megdől föntiek tükrében: őszerinte ugyanis nincs éter ami azzal az állítással egyenértékű egyébiránt, hogy minden (valamely inerciarendszerben gyorsulásmentes) mozgás egyenértékű, s így nincsenek abszolút mozgások, sem abszolút sebességek. A C-K-modellben ez viszont azt jelentené, hogy a határoló pontjaitól megfosztott körlapnak/gömbgolyónak nincsen kitüntetett pontja. Hát dehogyis nincs: az O középpont, amely éppen a lokálisan abszolút (mert a lokális éterhez képest nyugvó) K 0 vonatkoztatási rendszert reprezentálja! Következésképpen éternek is léteznie kell. Végezetül most rátérek (az [1]-beli jelölésektől némileg eltérő írásmódban) a mind [1]-ben, mind [2] elején kifejtett, illetve említett azon kétarcúságra (sőt: hamarosan kiderül, hogy többarcúságról van szó!), miszerint valamely d hiperbolikus szakasznak a δ euklideszi mértéke hol δ th d, hol pedig bonyolultabb alakú attól függően, hogy a d hiperbolikus szakaszt a C-K-modell valamely átmérőjén vesszük fel, avagy azt egy, az O középponttól 0.<.m hiperbolikus távolságra lévő igazi 1 A k Dv <1 megengedett v-re feltételezéssel pedig már a gömb felületén is túlra/kívülre helyeznénk a fény sebességét. (A vákuumbeli fény terjedése amúgy csak a k Dv 1 minden megengedett v-re föltevéssel lehet izotróp bármely inerciarendszerben.) 2

3 húron. Ez utóbbinál (d valamely valódi tartóhúron van) három alapeset különböztethető meg: 1. A d szakasz mindkét végpontja az O-ból a szakaszt tartó húrra bocsátott merőlegesnek a húrral alkotott metszéspontjától a húrnak egyazon oldalára esik (természetesen d mindkét végpontja a metszésponttól nullánál nagyobb hiperbolikus távolságban). Ekkor a d hiperbolikus szakasz euklideszi mértékének kifejezése nagyon bonyolult most meg sem próbáljuk megadni. (Talán majd egy következő dolgozatban megkíséreljük..) 2. E második eset annyiban tér el az iménti 1. esettől, hogy a d hiperbolikus szakasz egyik végpontja egybeesik az O-ból a húrra bocsátott merőleges és a húr metszéspontjával. E speciális esetben a d hiperbolikus távolság euklideszi mértéke (ld. még [1], 3. pont): δ th d ch m, amelynek a k th kifejezés mivel ch(x) 1 x- re már csak egy felső korlátja. Itt m az O középpontból a húrra bocsátott merőleges szakasz hiperbolikus mértéke; melynek µ euklideszi mértéke amúgy: µ k th. 3. A harmadik esetben pedig a d hiperbolikus szakasz végpontjai a metszésponttól a tartóhúr ellentétes oldalaira esnek. Ekkor a d hiperbolikus távolság euklideszi mértéke szintén rendkívül bonyolult formula; ugyanakkor különbözik az 1. esetbeli kifejezéstől is. E többarcúságnak megint csak megvan az egyértelmű és fontos fizikai jelentése/ megfelelője! Ennek föltárásához tekintsük az 1. Ábrát. A d w és d v pontok amelyek korábbi fejtegetéseink szerint a K w és K v vonatkoztatási rendszereknek (pontosabban azok nyújtás előtti előképeinek ) felelnek meg a lokálisan abszolút K 0 -t reprezentáló O középponttól, euklideszi értelemben δ k th és δ k th távolságra vannak. Ebből pedig az következik tekintettel arra, hogy az O középpontból induló d v hiperbolikus vektorok mindig valamely átmérőn fekszenek, hogy a lokálisan abszolút K 0 alaprendszerből mért valamennyi v sebesség értéke, irányától függetlenül, mindig az őt reprezentáló d v hiperbolikus szakasz euklideszi mértékével egyenlő: v δ k th. Nem így a K v -ből mért d u* esetében: u k th δ δ m, ahol m*>0 a d u* tartóegyenesének hiperbolikus távolsága az O középponttól. Ha viszont w és v egy egyenesbe esik azaz ha az általuk bezárt γ szög nulla akkor m* is nullává válik. Magyarán arról van szó, hogy akkor egyenlő két, egyenként a lokálisan abszolút K 0 -ból mért sebesség (pl. w és v) különbségképzésével kapott valamely u* sebesség az őt reprezentáló d u* hiperbolikus vektor euklideszi hosszával, ha w és v egyazon tartóegyenesen fekszenek (azaz ha egyező vagy ellentétes irányú sebességek). Ha w és v a 3-dimenziós térben egymással 3

4 γ 0 (és persze γ 180 o ) szöget zárnak be, akkor az így adódó δ sebességérték már nem egyenlő a d u* hiperbolikus távolság euklideszi mértékével: X Y r= d w O K 0 γ d v K v K w d u* 1. Ábra A * azért szerepel u jelölésében, mert a Dobó-Topa modell szerint a tényleges u számításához még egy valódi nyújtásra is szükség van (azaz kilépünk a görbületi paraméterű hiperbolikus térből, és u*-hoz hozzárendeljük egy k v > görbületi paraméterrel jellemezhető negatívan kevésbé görbült másik tér u vektorát): u u u. *** A továbbiakban bemutatjuk a hiperbolikus térbeli reprezentációban rejlő hihetetlen erőt és szépséget. Ehhez az 1. Ábra d u* sebesség-reprezentánsát a hiperbolikus koszinusztétel segítségével fejezzük ki (d w, d v és γ függvényében): (1) γ. Szükségünk lesz még a hiperbolikus függvények közti, alábbi nevezetes összefüggésre is: (2) chx Végezetül teremtsük meg a kapcsolatot a sebességreprezentációs hiperbolikus tér pontjai és a fizikai világ kapcsolódó sebességei között azaz alkalmazzuk Dobó alapformuláját: (3) w k th, v k th, u k th Mivel 4

5 (4) ch x sh x 1 ezért (5) shx ch x 1 2miatt 1 thx thx Ezek után alkalmazzuk (1)-re a (2) és (5) összefüggéseket: (6) th th cosγ A (6) egyenletet átmeneti technikai/könnyítési okokból érdemes átírni az alábbi tömör alakba: Azaz (7) (8) A γ cosγ γ Most írjuk ismét ki az ideiglenes jelöléseket (A-t, B-t és C-t): (9) 1 th Ezt ismét átírhatjuk (3) alkalmazásával: γ (10) 1 Emeljünk négyzetre: (11) 1 Fejezzük ki (11)-ből u* 2 -et: γ γ 5

6 (12) u k 1 γ k γ γ k γ γ γ γ γ γ γ Végezetül vonjunk négyzetgyököt: γ k γ γ γ γ k γ γ γ (13) u w 2 2wvcosγv 2 w2 v 2 2 k sin2 γ 0 1 wv 2 cosγ Ebből a valóságos u a szokásos térnyújtással adódik: (14) u u γ γ γ Ez pontosan megegyezik a [4]-ben kapott (4) alatti formulával és ennek így is kell lenni! (A bonyolult levezetés miatt írtuk le az alkalmazott lépéseket részletesebben!) Ha most γ=0 választással élünk azaz w és v egyazon irányba mutatnak (így egyúttal ugyanazon tartóegyenesen is fekszenek) K 0 -ból nézvést, akkor speciálisan (15) u wv 1 wv 2 wv 1 wv 2 γ 0 ha a szokásos 0<v<w konvencionális föltevésekkel élünk. Azaz visszakaptuk a jól ismert Dobó-Topa-féle sebességkülönbségi formulát! Mindebből talán az is következik, hogy u (vagy u*) esetében is a klasszikus Dobó-féle (16) u k th sebességformula a helyes noha ekkor e képlet nem a d u* hiperbolikus távolság euklideszi mértékét adja. Vajon ha u kiszámításakor kivételesen a 2. alatti speciális esetet (3. old.) föltételezve a d u* euklideszi mértékét használtuk volna; azaz ha a 6

7 (17) u k összefüggéssel éltünk volna, akkor is visszajuthatnánk a (15)-beli, korábban már helyesnek megismert, speciális (γ=0) összefüggéshez? Lássuk! A (17) alkalmazásával a (10) egyenletre ez adódna: (18) 1 mu γ amiből a (13) módosult alakja az alábbi lenne: (19) ch u Ez a formula a γ=0 speciális esetre a w 2 2wvcosγv 2 w2 v 2 k 2 sin2 γ 0 1 wv 2 cosγ (20) ch u γ ch u 1 u γ γ 0 összefüggésre vezetne, amely képlet viszont megegyezik a (15) alatti képlettel! Ezek szerint e nagyon leszűkített, speciális úton nem dönthető el, hogy nem egyazon tartóegyenesre eső w és v sebességek (vagyis amikor az általuk bezárt γ szög: 0 γ 180 o ) különbségének képzésekor adódó u (vagy u*) nagyságának meghatározásakor u*-nak a (17) alatti euklideszi mértékét, avagy e mérték u k th felső korlátját kell-e alkalmazni. *** A majd csak egy következő döntően Dobónak a jelen dolgozat kapcsán tett észrevételeire építő tanulmányban közlendők szerint (majdani 2. pont ) a Bolyai féle S-rendszerben és a C-K modellben a párhuzamossági távolság (d) és a párhuzamossági szög (β) közötti matematikai összefüggés azonos, csak a távolság mértéke eltérő. Erre való tekintettel a C-K modellbe ágyazva, röviden vázoljuk Dobó ragyogó levezetését, amelyet Bolyai János talán legfontosabb formulájából kiindulva épített fel. E formula szerint a k görbületi paraméterű hiperbolikus tér alapegyenletének négyzete: Mivel ezért (21) ctg β e (22) ctg β β β, 7

8 (23) e β β. Most a (23) egyenletből kifejezzük cosβ-t: (24) cosβ th. A (24) jobb oldala viszont (a Dobó-formula szerint): (25) th. A (21)-nek a (24)-re való átírása kellett ahhoz, hogy Dobó a (25) alatti összefüggést felismerje! Végeredményben az alábbi alakban is megadható a Dobó-Topa-féle téridőmodell alapösszefüggése: (26) β. Ezzel a képlettel azonban nem lehet praktikusan számolni. *** Joggal vethető fel, hogy a Topa-féle háromosztatú modell amelyet Dobó egyébként kezdettől fogva erősen vitat nem tűnik összeegyeztethetőnek az 1. Ábra képével, sem az abból kiinduló, a hiperbolikus koszinusztételen alapuló (és imént bemutatott) levezetéssel. A hármasgeometriájú modellben ugyanis (a lokálisan abszolút K 0 -ban értelmezve a v sebességeket): (27) k c k c k ami nyilvánvalóan csak a (28) 0 v c v értékekre értelmezhető (úgy, hogy k v mindig létezzen, és k v >0 sőt: k v fönnálljon.) Ugyanakkor [3]-ban arra az eredményre jutottam elméleti úton, hogy (29) k 2 R (Ezt az értéket Dobó nem tekinti elfogadhatónak!) Ez azt jelenti az 1. Ábra, azaz a Cayley- Klein hiperbolikus modell nyelvén amelyben a végtelen távoli pont (a sugarú kör kerülete / gömb felülete) a Topa-féle háromosztatú modell lokálisan abszolút (és R 0 =c 0 R Do sugárral jellemezhető) K elliptikus alaprendszerének felel meg, hogy a C-K modell körének/gömbjének sugara: (30) k c k 2c 8

9 Vagyis a C-K modell 1. Ábrabeli körének/gömbjének sugarát éppen felezi a lokális éterhez képest mért és ilyen értelemben valóban egyetemes fizikai állandónak tekinthető c 0 fénysebességgel mint sugárral az O középpontból megrajzolt koncentrikus kör/gömb 2. A (28) értelmében a v ennek belsejébe kell essen ahhoz, hogy a hiperbolikus koszinusztételt a bemutatott módon alkalmazhassuk u* kiszámításához! Tömören és még világosabban fogalmazva: Látszólag legalábbis, a Topa-féle háromosztatú modell teljesen önkényesen az 1. Ábra szerinti C-K modell (kerületétől megfosztott) sugarú körlapjából / (felületétől megfosztott) gömbjéből csak a felezett (=c 0 ) sugarú részt pontosabban annak is csak belső pontjait hagyja meg; legalábbis olyankor, amikor sebességkülönbségek képzésekor a kisebbik (konvencionálisan v-vel jelzett) sebességértéket tekinti. (Azért, hogy K v még értelmezhető legyen; összhangban (27)-tel és (28)-cal.) Márpedig az 1. Ábrán, jól láthatóan, még a v-nek megfeleltethető d v is túllóg ezen a képzeletbeli és önkényes, c 0 sugarú belső körön/gömbön. Akkor most hogyan is van ez..? A háromosztatú modell által felhasznált matematikai C-K modellben a sugarú körlap/gömb minden belső pontjára felírható az (1) alatti hiperbolikus koszinusztétel, míg magában a fizikai jelentésű hármasgeometriájú elméletben csak a v <c 0 valódi részhalmazon értelmezhető a sebességkülönbség..??! Vagyis a Topa-féle hármasmodellben a fénysebesség igaz: itt a lokális éterhez képesti abszolút fénysebességről van szó; s ez nagy különbség! ugyanolyan beilleszthetetlen lenne (mert a hiperbolikus struktúra alkalmazhatóságán kívül esne) magába a matematikai alapmodellbe, mint Einstein speciális relativitáselméletében? Áthidaltunk egy hiányosságot, s közben generáltunk egy hasonló újabbat? Csöbörből vödörbe? A paradoxon feloldása a következő: Az 1. Ábra szerinti u* számítását nem korlátozza a v <c 0 önkényes megkötés vagyis a hiperbolikus koszinusztétel a C-K modell alapjául szolgáló körlap/ gömbgolyó teljes belső tartományán alkalmazható továbbra is, minden külön önkényes megkötés nélkül. Csakhogy ezzel még nem u-t, hanem csak a közbülső/ előkép u*-t határozhatjuk meg. A tényleges u előállításhoz még egy további lépésre is szükség van: mégpedig az (31) u u u nyújtásra; amely művelet valójában egy kölcsönösen egyértelmű (injektív) transzformáció a kiindulási ( görbületi paraméterű) hiperbolikus terünkből (ez tartozik a lokálisan abszolút K 0 -hoz) az érkezési (k v görbületi paraméterű) hiperbolikus terünkbe (ez tartozik K v -hez). És csak ez a második lépés/művelet, ez a két különböző hiperbolikus tér közötti transzformáció az, amit valóban korlátoz a (28) alatti megkötés! (Aminek viszont már vajmi kevés közvetlen köze van a C-K modell belső viszonyaihoz.) *** 2 Annak részletes bemutatása, hogy mindez ellentmondásmentesen azaz a (3) szerinti sebesség-definícióval tökéletesen összhangban megtehető a C-K modellben, a Hivatkozások után csatolt MELLÉKLET-ben található. 9

10 További félreértések merülhetnek föl az 1. Ábra alapján azzal kapcsolatosan is, hogy abban a háromszög szögeinek összege továbbra is 180 o -nak tűnik holott, tudvalevőleg, a hiperbolikus terek háromszögeinek összege mindig kisebb 180 o -nál. Megnyugtatásul: A látszat ellenére az 1. Ábra szerinti háromszögnek is kisebb a belső szögösszege 180 o -nál ám ennek részletes magyarázata, kiegészítve Dobónak a jelen dolgozathoz fűzött további mélyenszántó észrevételeivel, már egy következő dolgozatra marad. (Annyit azért már most, elöljáróban elárulok, hogy megmutatható, miszerint a C-K modellben az euklideszi geometria szerint egybevágó szögtartományok közül a C-K modell O középpontjával egybeeső csúcsú szögtartomány a legnagyobb; egyben egyenlő az euklideszi geometria szerinti értékével. Ebből aztán már rögtön adódik, hogy az 1. Ábra háromszögének belső szögösszege kisebb π-nél.) *** Fentiek fényében bátran kijelenthető, hogy Einstein téridőelmélete (speciális relativitáselmélete) éppen úgy és olyan mértékben fogyatékos a fizikában, mint az általa lényegében bár leginkább ösztönösen alapmodellként használt Lobacsevszkij-féle hiperbolikus geometria fogyatékos a Dobó-Topa-féle téridőelmélet sziklaszilárd talapzatául szolgáló Bolyai-féle k görbületi paraméterű hiperbolikus geometriához képest a matematikában. Budapest, március 15., kedd Topa Zsolt fizikus, szakközgazdász Hivatkozások [1] Topa Zsolt: Apróságok (Kézirat, Budapest, július 17.) [2] Topa Zsolt: A Michelson-Morley kísérlet gyökeres átértékelése (Kézirat, Budapest, április 23.) [3] Topa Zsolt: Első kísérlet k Do számértékének elméleti meghatározására (Kézirat, Budapest, október 3.) [4] Dobó Andor: A Dobó-Topa-féle formulákról (Kézirat, Budapest, június 23.) MELLÉKLET Most pedig ellenőrizzük, hogy a c 0 = /2 sugarú koncentrikus kör/gömb kerülete/héja valóban az [1]-ben (a 3. pontban) leírt d hiperbolikus távolságdefiníció szerint is éppen a c 0 sebességnek felel meg a lokálisan abszolút K 0 -ban már ha Dobó szokásos sebességformuláját használjuk. Nos lássuk: 10

11 ö "é" k 2? k th d k kiírva a hiperbolikus d távolság "kettősviszonyos" deinícióját k 2 ln 3c 1c 2c th 2c th 1 2 ln3 2c thln 3 k 2c e e e e 2c 3 e 3 e 2c c c 2 4 éáó ééé Azaz valóban teljesül jogos elvárásunk a Cayley-Klein-féle hiperbolikus tér-modell ezúttal is meggyőző ellentmondás-mentességet, csodálatos belső harmóniát mutat! 11

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

A geometriák felépítése (olvasmány)

A geometriák felépítése (olvasmány) 7. modul: HÁROMSZÖGEK 13 A geometriák felépítése (olvasmány) Az általános iskolában megismertük a háromszöget, a négyzetet, a párhuzamosságot és hasonló geometriai fogalmakat, és tulajdonságokat is megfogalmaztunk

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 4. modul Körrel kapcsolatos fogalmak Készítette: Lénárt István és Vidra Gábor Matematika A 10. évfolyam 4. modul: Körrel kapcsolatos fogalmak Tanári útmutató A modul célja Időkeret

Részletesebben

11. Geometriai transzformációk

11. Geometriai transzformációk 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció

Részletesebben

Szakdolgozat. Készítette: Csuka Anita. Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus

Szakdolgozat. Készítette: Csuka Anita. Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus Az szám Szakdolgozat Készítette: Csuka Anita Matematika Bsc, matematikai elemző szakirány Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd

Részletesebben

MAJOR ZOLTÁN EGY IZGALMAS SZÉLSŐÉRTÉK- FELADAT CSALÁD. Az izoperimetrikus problémakör FELADATOK - MEGOLDÁSOK

MAJOR ZOLTÁN EGY IZGALMAS SZÉLSŐÉRTÉK- FELADAT CSALÁD. Az izoperimetrikus problémakör FELADATOK - MEGOLDÁSOK MAJOR ZOLTÁN EGY IZGALMAS SZÉLSŐÉRTÉK- FELADAT CSALÁD Az izoperimetrikus problémakör FELADATOK - MEGOLDÁSOK ELŐSZÓ Ez a könyv elsősorban középiskolás diákok és tanáraik számára készült, szakköri feldolgozásra

Részletesebben

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória)

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) ARANY DÁNIEL MATEMATIKAI TANULÓVERSENY 013/014-ES TANÉV Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) Feladatok és megoldások A verseny az NTP-TV-13-0068 azonosító számú pályázat alapján a Nemzeti Tehetség

Részletesebben

Skatulya-elv. Sava Grozdev

Skatulya-elv. Sava Grozdev Skatulya-elv Sava Grozdev Egy alapvető szabály, azaz elv azt állítja, hogy: ha m testet szétosztunk n csoportba és m > n, akkor legalább két test azonos csoportba fog kerülni. Ezt az elvet különböző országokban

Részletesebben

A kvadratrixról. Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő 1. ábra. 1. ábra

A kvadratrixról. Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő 1. ábra. 1. ábra 1 A kvadratrixról A kvadratrix más néven triszektrix nevű síkgörbéről az [ 1 ] és [ 2 ] munkákban is olvashatunk. A keletkezéséről készített animáció itt tekinthető meg: http://hu.wikipedia.org/wiki/kvadratrix#mediaviewer/file:quadratrix_animation.gif

Részletesebben

II. RÉSZ A TÖMEGTÁRSADALMAK KEMÉNY TÖRTÉNELME (A tömegtársadalmak mechanikája és termodinamikája az időben)

II. RÉSZ A TÖMEGTÁRSADALMAK KEMÉNY TÖRTÉNELME (A tömegtársadalmak mechanikája és termodinamikája az időben) 1 II. RÉSZ A TÖMEGTÁRSADALMAK KEMÉNY TÖRTÉNELME (A tömegtársadalmak mechanikája és termodinamikája az időben) BEVEZETÉS Az alcímben hivatkozott hosszabb tanulmány 1 megalapozta a tömegtársadalmak mechanikáját

Részletesebben

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok 15. modul: SÍKIDOMOK 7 I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok Módszertani megjegyzés: A jelen modult többnyire kibővített ismétlésnek szántuk, és fő célja az alapfogalmak és az alapismeretek

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

fizikai hatások kölcsönhatásának tekinthető. Arról is meg voltam győződve, hogy a fizika, a kémia és a biológia törvényei mindenre magyarázattal

fizikai hatások kölcsönhatásának tekinthető. Arról is meg voltam győződve, hogy a fizika, a kémia és a biológia törvényei mindenre magyarázattal ELŐSZÓ Nagy titok az, hogy bár az emberi szív vágyódik, az után az Igazság után, amiben tisztán megtalálja a szabadságot és az örömet, mégis az emberek első reakciója erre az Igazságra gyűlölet és félelem."

Részletesebben

(Kis útikalauz a mindenséghez)

(Kis útikalauz a mindenséghez) (Kis útikalauz a mindenséghez) Második kiadás Tisztelt Olvasó! Ön egy rendhagyó könyvet tart a kezében. A könyv írója több tucat kiadó megkeresése után találkozott velem... Nekem sem volt könnyű döntés

Részletesebben

Euler kör/út: olyan zárt/nem feltétlenül zárt élsorozat, amely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza

Euler kör/út: olyan zárt/nem feltétlenül zárt élsorozat, amely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza 1) Euler körök és utak, ezek létezésének szükséges és elégséges feltétele. Hamilton körök és utak. Szükséges feltétel Hamilton kör/út létezésére. Elégséges feltételek: Dirac, és Ore tétele. Euler kör/út:

Részletesebben

Jelöljük az egyes területrészeket A-val, B-vel és C-vel, ahogy az ábrán látható.

Jelöljük az egyes területrészeket A-val, B-vel és C-vel, ahogy az ábrán látható. 1. feladat. 013 pontosan egyféleképpen írható fel két prím összegeként. Mennyi ennek a két prímnek a szorzata? 40 Megoldás: Mivel az összeg páratlan, ezért az egyik prímnek párosnak kell lennie, tehát

Részletesebben

Keresleti és kínálati függvény. Minden piacnak van egy keresleti és egy kínálati oldala, amelyeket a normatív közgazdaságtanban

Keresleti és kínálati függvény. Minden piacnak van egy keresleti és egy kínálati oldala, amelyeket a normatív közgazdaságtanban tehát attól függ, hogy x milyen értéket vesz fel. A függvényeket a közgazdaságtanban is a jól ismert derékszögû koordináta-rendszerben ábrázoljuk, ahol a változók nevének megfelelõen általában a vízszintes

Részletesebben

LOGISZTIKUS REGRESSZIÓS EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE*

LOGISZTIKUS REGRESSZIÓS EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE* A LOGISZTIKUS REGRESSZIÓS EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE* BARTUS TAMÁS A tanulmány azt vizsgálja, hogy logisztikus regressziós modellek értelmezésére jobban alkalmasak-e a marginális hatások (feltételes valószínűségek

Részletesebben

A teljes tudománytan alapja

A teljes tudománytan alapja JOhANN GOttlieB FiChte A teljes tudománytan alapja ELSŐ RÉSZ a TElJEs TudományTan alaptételei 1. Az első, teljességgel feltétlen alaptétel Fel kell kutatnunk minden emberi tudás abszolút első, teljességgel

Részletesebben

Frege és Russell tárgyelméletérôl

Frege és Russell tárgyelméletérôl Világosság 2005/12. Russell kontra Frege Farkas János László Frege és Russell tárgyelméletérôl Russell, amint azt On Denoting című dolgozatának elején bejelenti, gondolatmenetét négy szakaszra tagolja:

Részletesebben

1J. feladat Petike menő srác az iskolában, így mindig csak felemás színű zoknikat hord. Ruhásszekrénye mélyén

1J. feladat Petike menő srác az iskolában, így mindig csak felemás színű zoknikat hord. Ruhásszekrénye mélyén 1J. feladat Petike menő srác az iskolában, így mindig csak felemás színű zoknikat hord. Ruhásszekrénye mélyén összesen 30 darab piros színű, 40 darab zöld színű és 40 darab kék színű zokni található, azonban

Részletesebben

Szakolczai György * A reális és monetáris gazdaság egyensúlya: AZ IS-LM ELEMZÉS NÉHÁNY PROBLÉMÁJA **

Szakolczai György * A reális és monetáris gazdaság egyensúlya: AZ IS-LM ELEMZÉS NÉHÁNY PROBLÉMÁJA ** 23 Szakolczai György * A reális és monetáris gazdaság egyensúlya: AZ IS-LM ELEMZÉS NÉHÁNY PROBLÉMÁJA ** Az IS-LM elemzés fontos elemévé vált a mai nemzetközi és hazai makroökonómiai irodalomnak. Leírása,

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

A HOZAMGÖRBE DINAMIKUS BECSLÉSE

A HOZAMGÖRBE DINAMIKUS BECSLÉSE Budapesti CORVINUS Egyetem A HOZAMGÖRBE DINAMIKUS BECSLÉSE PH.D. ÉRTEKEZÉS Kopányi Szabolcs András Budapest, 2009 Kopányi Szabolcs András A HOZAMGÖRBE DINAMIKUS BECSLÉSE BEFEKTETÉSEK ÉS VÁLLALATI PÉNZÜGYEK

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 1. modul Logika Készítette: Vidra Gábor Matematika A 10. évfolyam 1. modul: Logika Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A képességfejlesztés

Részletesebben

"Ha" - avagy a Gödel paradoxon érvényességének korlátai

Ha - avagy a Gödel paradoxon érvényességének korlátai 165 "Ha" - avagy a Gödel paradoxon érvényességének korlátai Geier János ELTE BTK Pszichológiai Intézet janos@geier.hu Bevezetés Gödel nemteljességi tétele (én paradoxonnak nevezem, ki fog derülni, miért)

Részletesebben

A részecskefizika anyagelmélete: a Standard modell

A részecskefizika anyagelmélete: a Standard modell A részecskefizika anyagelmélete: a Standard modell Horváth Dezső MTA KFKI Részecske- és Magfizikai Kutatóintézet, Budapest 1. Bevezetés A CERN nagy hadronütköztető (LHC) gyorsítóját 2008-ban indítják,

Részletesebben

24. Valószínűség-számítás

24. Valószínűség-számítás 24. Valószínűség-számítás I. Elméleti összefoglaló Események, eseménytér A valószínűség-számítás a véletlen tömegjelenségek vizsgálatával foglalkozik. Azokat a jelenségeket, amelyeket a figyelembe vett

Részletesebben

feltételek esetén is definiálják, tehát olyan esetekben is, amikor a hagyományos, a

feltételek esetén is definiálják, tehát olyan esetekben is, amikor a hagyományos, a A Valószínűségszámítás II. előadássorozat hatodik témája. ELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG ÉS ELTÉTELES VÁRHATÓ ÉRTÉK A feltételes valószínűség és feltételes várható érték fogalmát nulla valószínűséggel bekövetkező

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben