SZAKASZOS FOLYAMATRENDSZEREKBEN SZTOCHASZTIKUS KÖRNYEZETBEN

Átírás

1 KÖZBÜLSİ TÁROLÓK MÉRETEZÉSE SZAKASZOS FOLYAMATRENDSZEREKBEN SZTOCHASZTIKUS KÖRNYEZETBEN Doktori (PhD) értekezés tézisei Készítette: MIHÁLYKÓNÉ DR. ORBÁN ÉVA a Veszprémi Egyetem Informatikai Tudományok Doktori Iskolája keretében Konzulens: Dr. Lakatos Béla egyetemi docens, a mőszaki tudományok kandidátusa Matematikai és Számítástechnikai Tanszék Veszprémi Egyetem 2003

2 ELİZMÉNYEK, CÉLKITŐZÉSEK A termelési rendszerekben gyakran elıfordul közbülsı tartályok használata. A termelı és a felhasználó egységek ugyanis nem azonos ütemben gyártják és használják fel az anyagokat, s annak érdekében, hogy a termelésbeli különbségeket kiegyenlítsék, a megtermelt anyagot tartályokban tárolják. Azonos jellegő problémára vezet az is, ha telekommunikációs rendszerek mőködését akarjuk közbülsı pufferek alkalmazásával segíteni. A feladat a megfelelı tartályméret (puffer), illetve a megfelelı kezdı anyagmennyiség meghatározása annak érdekében, hogy ne alakuljon ki túlcsordulás, illetve a folyamatos mőködés biztosítva legyen. További feladat annak megadása, hogy a mőködési egységeket a közbülsı tartállyal összekötı csıhálózatot mekkorára kell méretezni, hogy a tartályba kerülı anyag veszteség és torlódás nélkül be-, vagy kikerülhessen a közbülsı tartályokból. A közbülsı tárolóban levı anyagmennyiség meghatározásának problémáját az egységek mőködésére tett determinisztikus és sztochasztikus mőködési feltételek esetén különbözı modellekben vizsgálták, és vizsgálják napjainkban is. Sztochasztikus mőködés esetén általában a stacionárius állapotokat jellemzı eloszlásokat adják meg, illetve a tartályban levı anyag-mennyiség várható értékének felhasználásával becsléseket alkalmaznak. A stacionárius állapot azonban kevés információt nyújt a közbülsı állapotokról, így segítségével nem tudják elégségesen biztosítani a biztonságos mőködést. Hasonló a helyzet, ha csak a várható érték és szórás segítségével próbáljuk jellemezni a folyamatot. A rendszerek tervezéséhez, biztonságos mőködtetéséhez azonban az kell, hogy a tranziens állapotokat is figyelembe véve határozzuk meg az egész folyamat során végig nagy valószínőséggel elegendı tartály- és csıhálózat kapacitásokat, valamint a folyamatos mőködést biztosító kezdı anyagmennyiséget. Dolgozatom céljául tőztem ki olyan módszerek kidolgozását, amelyek jól alkalmazhatók a termelési rendszerek közbülsı tartályai méreteinek és a feldolgozásra kerülı anyagok szükséges kezdımennyiségeinek számítógéppel támogatott tervezésére. A méretezési eljárások meghatározásához a vizsgált rendszerek matematikai modelljeit analitikus és numerikus mód- II

3 szerekkel elemeztem. Munkám fı célkitőzése az volt, hogy sztochasztikus mőködési feltételek esetén, a megfelelı matematikai apparátust felhasználva mind szakaszos betöltéső és folyamatos letöltéső alrendszerek, mind szakaszos betöltéső és szakaszos letöltéső alrendszerek esetén adott megbízatósági szint mellett tartályméretezési, illetve kezdımennyiség meghatározási problémákat oldjak meg olyan alkalmazásokhoz, amikor a túltöltıdés illetve az anyag elfogyása hibajelenséget okoz. Szintén célom volt meghatározni adott megbízhatósági szint mellett a csıhálózat szükséges méretét véletlen szakaszokban történı transzfer folyamatok esetén. III

4 ÚJ TUDOMÁNYOS EREDMÉNYEK Az értekezés új tudományos eredményei az alábbiakban foglalhatók össze. 1. Tézis Módszert dolgoztam ki szakaszos és folyamatos alrendszerek illesztésére szolgáló közbülsı tartályok méretezésére, illetve a szükséges kezdı anyagmennyiség meghatározására, amennyiben a folyamatot végtelen idıintervallumon vizsgáljuk, az anyagbetáplálást egydimenziós homogén Poisson folyamat írja le, és az anyagletöltés intenzitása idıben állandó. Ennek keretében: Folytonos eloszlású valószínőségi változóval megadott betöltött anyagmennyiség esetén a tartály túltöltıdésébıl adódó hiba elkerülésének valószínőségét megadó függvényre Volterra típusú integrálegyenletet írtam fel, amelynek közelítı megoldására numerikus módszert adtam. Állandó nagyságú betöltések esetén levezettem a túltöltıdésbıl adódó hiba elkerülésének valószínőségét megadó függvényre vonatkozó integrálegyenletet, amit késleltetett argumentumú differenciálegyenletté transzformáltam, és megadtam az egyértelmő megoldását. A levezetett egyenletek egzakt, illetve közelítı megoldása alapján algoritmust adtam a tartályméretezési probléma megoldására adott megbízhatósági szint mellett. Az anyag elfogyásából adódó hiba elkerülésének valószínőségét megadó függvényre folytonos eloszlású valószínőségi változóval megadott betöltött anyagmennyiségek esetén Fredholm típusú integrálegyenletet vezettem le. Exponenciális eloszlású valószínőségi változóval megadott betöltött anyagmennyiség esetén a levezetett egyenletnek megadtam az egyértelmő analitikus megoldását. Bebizonyítottam, hogy a levezetett egyenletnek bármely folytonos eloszlású valószínőségi változóval megadott betöltött anyagmennyiség esetén létezik exponenciális megoldása, és az exponenciális függvény kitevıjében levı együttható numerikus meghatározására numerikus eljárásokat adtam meg. IV

5 Állandó nagyságú betöltések esetén levezettem az anyag elfogyásából származó hiba elkerülésének valószínőségét megadó függvényre vonatkozó siettetett argumentumú integrálegyenletet, amit siettetett argumentumú differenciálegyenletté transzformáltam, és megadtam az egyértelmő megoldását. A levezetett egyenletek egzakt, illetve közelítı megoldása alapján a vizsgált modell esetén algoritmust adtam a folyamatos mőködéshez szükséges kezdı anyagmennyiség meghatározási probléma megoldására adott megbízhatósági szint mellett. [P4], [P5], [P6], [P9] 2. Tézis Módszert dolgoztam ki szakaszos és folyamatos alrendszerek illesztésére szolgáló közbülsı tartályok méretezésére és a szükséges kezdı anyagmennyiség meghatározására, amennyiben a folyamatot véges idıintervallumon vizsgáljuk, az anyagbetáplálást egydimenziós homogén Poisson folyamat írja le, és az anyagletöltés intenzitása idıben állandó. Ennek keretében: Bebizonyítottam, hogy mivel a tartályméretezési probléma és a kezdı anyagmennyiség meghatározási probléma végtelen idıintervallumon szimultán nem oldható meg, ezért a véges idıintervallumra való áttérés szükségszerő. Levezettem a tartálytúltöltıdésbıl, illetve anyagelfogyásból származó hiba elkerülésének valószínőségét megadó kétváltozós függvényre vonatkozó integrálegyenleteket mind konstans mennyiségő, mind általános eloszlású valószínőségi változóval megadott betöltött anyagmennyiségek esetén. A függvények rögzített idıpontokhoz tartozó görbéjének meghatározására Monte-Carlo szimuláción alapuló eljárást adtam. Levezettem a tartály túlcsordulása vagy az anyagelfogyás valamelyikének bekövetkezésébıl származó hiba elkerülésének valószínőségét megadó háromváltozós függvényre vonatkozó integrálegyenleteket mind konstans mennyiségő, mind általános eloszlású valószínőségi változóval megadott betöltött anyagmennyiségek esetén. V

6 A levezetett egyenletek közelítı megoldása alapján a vizsgált modell esetén algoritmust adtam tartályméretezési és kezdı anyagmennyiség meghatározási feladat megoldására adott megbízhatósági szint mellett. [P5], [P6] 3. Tézis Módszert dolgoztam ki a szakaszos-szakaszos alrendszerek illesztésére szolgáló közbülsı tartályok méretezésére és a szükséges kezdı anyagmennyiség meghatározására, amennyiben a folyamatot véges idıintervallumon vizsgáljuk, és a mőködés során véletlen meghibásodások történnek. Ennek keretében: Általános betöltési és letöltési intenzitásokat feltételezve Monte-Carlo szimulációval meghatároztam a közbülsı tartályban levı anyagmennyiség változását leíró függvény maximumának és minimumának az eloszlását. Bebizonyítottam, hogy általános feltételek mellett a folyamat véges sok részfolyamatból (mint építıkockákból) építhetı fel. Algoritmust dolgoztam ki a felépítés módjára, s ezen keresztül a szimuláció elvégzésére, amellyel a hosszú idıintervallumon való szélsıérték keresés bizonytalanságaiból adódó problémákat csökkentettem. A vizsgált modell esetén algoritmust adtam a tartályméretezési és a kezdı anyagmennyiség meghatározási feladat megoldására adott megbízhatósági szint mellett. Állandó intenzitású letöltés során egy betöltı és egy letöltı egység esetén a minimumok és maximumok eloszlását expliciten meghatároztam, valamint módszert adtam az optimális késleltetési idı meghatározására. [P2], [P3], [P10] 4. Tézis Módszert dolgoztam ki a szakaszos alrendszereket kiszolgáló csıhálózatok méretezésére, amennyiben a betöltési, illetve a letöltési folyamatot egydimenziós homogén Poisson folyamat írja le. Ennek keretében: VI

7 Konstans idejő betöltések vagy letöltések esetén a párhuzamosan történı betöltések vagy letöltések maximális számának eloszlását az idı függvényében megadó függvény értékét 0 < T 2 esetén analitikusan meghatároztam. A konstans idejő betöltések vagy letöltések esetén a párhuzamosan történı betöltések vagy letöltések maximális számának eloszlását az idı függvényében megadó függvényre differenciálegyenletet állítottam fel, amelynek integrálás utáni alakjának felhasználásával a keresett valószínőségeket exponenciális formulával közelítettem. Általános eloszlású valószínőségi változókkal megadott mőködési idık esetén a párhuzamosan mőködı egységek maximális száma eloszlásának Monte-Carlo szimulációval történı meghatározására algoritmust dolgoztam ki, a valószínőségek közelítésére exponenciális formulát alkalmaztam. Általános eloszlású valószínőségi változókkal megadott mőködési idık esetén a párhuzamosan történı betöltések, vagy letöltések maximális számának eloszlását összehasonlítottam a mőködési idı várható értékével megegyezı konstans mőködési idejő folyamat esetén a párhuzamosan történı betöltések vagy letöltések maximális számának eloszlásával, és megállapítottam, hogy kis relatív szórás esetén a megbízhatóságok alig különböznek egymástól. Általános eloszlású valószínőségi változókkal megadott mőködési idık esetén a méretezés problémájának megoldását a mőködési idı várható értékéhez történı méretezés esetére vezettem vissza, és algoritmust adtam a csıhálózat méretezési problémájának megoldására. [P1], [P7], [P8] AZ ÚJ TUDOMÁNYOS EREDMÉNYEK HASZNOSÍTÁSA Eredményeim alkalmazhatók anyag-, energia-, valamint információátviteli rendszerek közbülsı tárolóinak (pufferjainak) tervezésében, illetve az anyag, energia, valamint az információ átvitelét lebonyolító hálózatok méretezési problémáinak megoldásában, amennyiben a rendszerek mőködési feltételei sztochasztikusak. A dolgozatban szereplı matematikai háttér és a kidolgozott algoritmikus megoldási módszerek elméleti és VII

8 gyakorlati megvalósíthatósági alapját szolgáltathatják a vizsgált rendszerek számítógéppel támogatott mérnöki tervezésének. A kidolgozott módszereknek kiemelt szerepük lehet a környezetvédelmi beruházások tervezésénél, amikor a nem megfelelı méretezésbıl fakadó meghibásodások jóvátehetetlen környezeti károkat okozhatnak, de alkalmazhatók nagy logisztikai rendszerek (pl. raktár- és elosztóbázisok) nagy megbízhatóságú üzemeltetésében is. PUBLIKÁCIÓS LISTA Az értekezés témájából született publikációk Folyóiratcikkek referált nemzetközi folyóiratban [P1] Z. László, É. Orbán-Mihálykó: Probability approximation for reliability of pipeline networks Hungarian Journal of Industrial Chemistry, 20 (1992) [P2] É. Orbán-Mihálykó, B. G. Lakatos: Intermediate storage in batch processing systems under stochastic failures Computers and Chemical Engineering, 22 (1998) S797-S800. [P3] É. Orbán Mihálykó, B. G. Lakatos: Optimal delay times in operating intermediate storage in batch processing systems under stochastic failure Computers and Chemical Engineering, 23 (1999) S39-S42. [P4] É. Orbán-Mihálykó, B. G. Lakatos: On the advanced integral and differential equations of sizing procedure of storage devices közlésre elfogadva a Functional Differential Equations-nál [P5] É. Orbán-Mihálykó, B. G. Lakatos: Sizing of pipeline capacity in processing systems under stochastic operation conditions elküldve a Computers and Chemical Engineering-hez VIII

9 [P6] É. Orbán-Mihálykó, B. G. Lakatos: A buffered flow system with Poisson input and constant output rates elküldve az Operations Research Letters-hez [P7] É. Orbán-Mihálykó, B. G. Lakatos: Intermediate storage in batch/ semicontinuous processing systems under stochastic operational conditions elküldve a Computers and Chemical Engineering-hez Lektorált konferencia kiadványban megjelent publikációk [P8] László, É. Orbán-Mihálykó: Some results on the increasement of Poisson processes Proceedings of the Fourth Symposium of Mathematics and its Applications, Temesvár, (1992) [P9] É. Orbán-Mihálykó, B. G. Lakatos: Modelling operation of intermediate storage in batch/continuous processing systems under stochastic conditions Proceedings of Fourth IMACS Symposium on Mathematical Modelling, (Eds. I. Troch, F. Breitenecker) Bécs, (2003) [P10] É. Orbán-Mihálykó, G. B. Lakatos: Sizing intermediate storage with stochastic equipment failures under general operation conditions European Symposium on Computer Aided Process Engineering-13, Eds: Kraslawsky and Turunen, Elsevier, Amsterdam, (2003) Az értekezés témaköréhez nem kapcsolódó egyéb publikációk 1. Cs. Mihálykó, Z. László, É. Orbán-Mihálykó: On the qualitative properties of the analytical solution of an integrodifferential equation Volterra Equations and Applications (Ed. by C. Corduneanu and I. Sandberg) Gordon and Breach Science Publishers, Amszterdam, (1999) IX

10 2. É. Orbán-Mihálykó, Cs. Mihálykó, T. Blickle: Investigation of a stochastic particle flow model I. Mathematical model Hungarian Journal of Industrial Chemistry, 28 (2000) É. Orbán-Mihálykó, Cs. Mihálykó, T. Blickle: Investigation of stochastic particle flow model II. Parameter estimation and testing hypothesis Hungarian Journal of Industrial Chemistry, 28 (2000) Cs. Mihálykó, É. Orbán-Mihálykó: A double stochastic model of the mixing of solid particles Proceedings of the third Israeli Conference for Conveying and Handling of Particulate Solids, Israel, (2000) Németh A., Süle Z., Orbán-Mihálykó É., Mihálykó Cs.: Szemcsék keveredésének sztochasztikus modellezése: elmélet és szimuláció Mőszaki Kémiai Napok 2000 konferenciakiadványa, Veszprém, (2000) L. Koltay, G. B. Lakatos, É. Orbán-Mihálykó, Cs. Mihálykó: A new stochastic model for agglomeration Proceedings of 7 th Int. Symposium on Agglomeration, Albi, (2001) Németh A., Süle Z., Orbán-Mihálykó É., Mihálykó Cs: Statisztikai mértékek alkalmazása duplán sztochasztikus keveredési modellek jellemzésére Mőszaki Kémiai Napok 2001 konferenciakiadványa, Veszprém, (2001) Cs. Mihálykó, É. Orbán-Mihálykó: A double stochastic model of the mixing of solid particles Handbook of Conveying and Handling Particulate Solids (Ed. by H. Kalman and A. Levy) Elsevier, Amsterdam, (2001) Cs. Mihálykó, É. Orbán-Mihálykó, A. Németh, Z. Süle: Characterization of stochastic nature of mixing particulate solids by statistical quantities Proceedings of HUN-Pra-PARTEC International Conference on Practical Aspects of Particle Technology, Budapest, (2001) X

11 10. Süle Z., Orbán-Mihálykó É., Mihálykó Cs.: Statisztikai mérıszámok alkalmazása keveredési mechanizmusok identifikálására Mőszaki Kémiai Napok 2002 konferenciakiadványa, Veszprém, (2002) Németh A., Orbán-Mihálykó É., Mihálykó Cs.: Stacionárius állapotok a keveredés duplán sztochasztikus modelljében Mőszaki Kémiai Napok 2003 konferenciakiadványa, Veszprém, (2003) Elıadások és poszterek nemzetközi konferenciákon 1. Z. László, É. Orbán-Mihálykó: Mathematical background of pipelinenetworks reliability Pannon Applied Mathematical Meeting, Balatonfüred, Magyarország, (elıadás) 2. Z. László, É. Orbán-Mihálykó: Some results on the increasement of Poisson processes The Fourth Symposium of Mathematics and its Applications, Temesvár, Románia, (elıadás) 3. Z. László, É. Orbán-Mihálykó: Approximation of the distribution of increasement of Poisson processes PAMM Jubilee Meeting, Párizs, Franciaország, (elıadás) 4. Z. László, É. Orbán-Mihálykó: The distribution of the maximum increasement of Poisson processes Deutsche Mathematiker Vereinigung Jahrestagung, Jéna, Németország, (elıadás) 5. É. Orbán-Mihálykó, G. B. Lakatos: Intermediate storage in batch processing systems under stochastic failures European Symposium on Computer Aided Process Engineering-8, Bruge, Belgium, (poszter) 6. É. Orbán-Mihálykó, G. B. Lakatos: Optimal delay times in operating intermediate storage in batch processing systems under stochastic failure European Symposium on Computer Aided Process Engineering-9, Budapest, Magyarország, (poszter) XI

12 7. Cs. Mihálykó, É. Orbán-Mihálykó, Zs. Ulbert: On solving a model with random parameter of batch grinding Deutsche Mathematiker Vereinigung Jahrestagung, Mainz, Németország, (elıadás) 8. Cs. Mihálykó, É. Orbán-Mihálykó, Zs. Ulbert: Approximate method for solving a stochastic model of batch grinding 4 th International Congress of Industrial and Applied Mathematics, Edinburgh, Nagy-Britannia, (poszter) 9. Cs. Mihálykó, É. Orbán-Mihálykó: A double stochastic model of the mixing of solid particles The third Israeli Conference for Conveying and Handling of Particulate Solids, Ein Gadi, Izrael, (poszter) 10. L. Koltay, G. B. Lakatos, É. Orbán-Mihálykó, Cs. Mihálykó: A new stochastic model for agglomeration 7 th Int. Symposium on Agglomeration, Albi, Franciaország, (poszter) 11. Cs. Mihálykó, É. Orbán-Mihálykó, A. Németh, Z. Süle: Characterization of stochastic nature of mixing particulate solids by statistical quantities HUN-Pra-PARTEC International Conference on Practical Aspects of Particle Technology, Budapest, Magyarország, (poszter) 12. É. Orbán-Mihálykó, B. G. Lakatos: Modelling operation of intermediate storage in batch/continuous processing systems under stochastic conditions 4 th IMACS Symposium on Mathematical Modelling, Bécs, Ausztria, (elıadás) 13. É. Orbán-Mihálykó, Cs. Mihálykó, B.G. Lakatos: On the delay and advanced integral and differential equations of the sizing procedure of storage devices International Conference on Delay Differential and Difference Equations with Applications, Veszprém, Magyarország, (elıadás) XII

13