Fizikai és matematikai módszerek az elosztott paraméterű hálózatok modellezésének tanításában

Átírás

1 Fizikai és matematikai módszerek az elosztott paraméterű hálózatok modellezésének tanításában Összefoglalás: Rácz Ervin 2012 tavaszán indult a villamosmérnök M.Sc. képzés az Óbudai Egyetem Kandó Kálmán Villamosmérnöki Karán. A képzési szakasz elején a szakhoz tartozó alapozó kurzusokkal a matematikai és fizikai alapok megismertetése mellett a modellalkotásos mérnöki gondolkodásmód kialakítása is célfeladat. Ennek a célnak megfelelve a szakon az első félévben általam oktatott Elosztott Paraméterű Hálózatok Modellezése c. tárgy lehetőséget ad a modellalkotásos gondolkodásmód képességeinek fejlesztésére matematikai, számítástechnikai, fizikai és villamosmérnöki ismereteket is közvetítve a hallgatók felé. A tárgy oktatása során megmutatom, hogy hogyan használhatók fel a fent említett tudományok egyes részterületei elosztott paraméterű hálózatok (villamos távvezeték rendszerek, víz-, csatorna-, gáz csővezeték-rendszerek, úthálózatok és közlekedés, stb.) modellezésére. A félév végére a diákok betekintést nyernek az elméleti és kísérleti modellezési módszerek tárházába és megismerhetik azt, hogy egyes folyamatok akár egymással is modellezhetők. Kulcsszavak: fizika, matematika, számítástechnika alkalmazása, tantárgy módszertan, JEL kódok: C02, C19, C63, C88, Z00. Abstract: At the beginning of the spring semester of the school year of 2012 the academic expertise of electrical engineering at the Kálmán Kandó Faculty of Electrical Engineering at the Óbuda University on master degree level (M.Sc.) has been launched. In the beginning of the training phase the goal is evolving a special mentality for the engineers full with modeling or model generation approaches. Naturally, the transfer of this kind of knowledge goes parallel with teaching the grounds of mathematics and physics. Teaching the course of Modeling Transmission Grids with Distributed Parameters gives possibility to introduce the above mentioned mentality to the students. During the whole semester the uses of 1

2 mathematical, computing and physical methods and processes are broadcasted. In other words, on the classes it is shown how to use some special theoretical and experimental processes for modeling transmission grids with distributed parameters (such as electrical or high voltage transmission lines, water-, canal-, and gas transmission lines, traffic lines). At the end of the semester the students can understand that these transmission lines are similar to each other and they can be modeled by each other. Keywords Physics, Mathematics, Computing and their applications, methodology Bevezetés Az Óbudai Egyetem Kandó Kálmán Villamosmérnöki Karán (ÓE KKVK) a 2011/2012. tanév tavaszi félévében indult útjára a mesterképzés (M.Sc.) villamosmérnök szakon nappali és levelező tagozaton ipari felügyeleti és kommunikációs rendszerek szakirányon. A képzés során a hallgatók a szakirányhoz tartozó alapozó tárgyak mellett speciális kurzusok teljesítése során szerzik meg az M.Sc. szintű tudáshoz szükséges ismeretanyagot. Az első félévben kerül sor az alapozó tárgyak elsajátítására, majd a rákövetkező félévekben pedig speciális ismeretekhez jutnak a hallgatók. A szak alapozó tárgyai közül az egyik az Elosztott Paraméterű Hálózatok Modellezése c. kurzus. A tárgy vázlatos és részletes tantárgyi tematikáját a szak indulása előtt magam találtam ki és állítottam össze elsősorban saját koncepciókra és kollégáim javaslataira, ötleteire támaszkodva. Előadásomban röviden bemutatom az elosztott paraméterű hálózatok fogalmát majd néhány példát adok ilyen rendszerekre. Ezt követően a fentebb említett irányelvekben említettekhez tartozóan a modellezési alapmódszerek közül néhány olyan matematikai és fizikai módszert említek meg, amelyek a tárgy tanítása és oktatása során előjönnek és a hallgatóknak bemutatásra kerülnek. Koncentrált paraméterű hálózatok - Elosztott paraméterű hálózatok Koncentrált paraméterű hálózatok alatt olyan rendszereket értünk, amelyek koncentrált paramétereket tartalmaznak alapegységekként. Koncentrált paramétereknek olyan rendszerjellemzőket nevezünk, amelyek a rendszerhez rendelhető helykoordinátától közvetlenül nem 2

3 függnek. Elektromos vonatkozásban koncentrált paraméterű hálózatoknak tekinthetők pl. a direkt ellenállásokat, kapacitásokat, induktivitásokat, transzformátorokat, generátorokat tartalmazó kapcsolások, áramkörök (Kislexikon1, 2013). Ide tartoznak tehát az általános- majd középiskolai, illetve a bachelor (B.Sc.) képzések során tanított elektromos áramkörök és azok villamos leíró törvényei (pl. Kirchhoff I. és II. törvénye, Nortontétel, Thévenin-tétel, Millman-tétel, szuperpozíció-elve, reciprocitás tétel vagy pl. az Ohm-törvény). Az elosztott paraméterű hálózatok a koncentrált paraméterű hálózatokkal szemben jellemzően elosztott paramétereket tartalmaznak. Az elosztott paraméterek is rendszerjellemzők, mégpedig olyan rendszerjellemzők, amelyek a fizikai rendszerek nem egy-egy meghatározott pontján, hanem egészében vagy egy-egy folytonos szakaszán folytonosan jelentkeznek (Kislexikon2, 2013). Pl. olyan ellenállás lehet elosztott paraméter, amely egy hosszú lineáris rendszer teljes hosszában elosztva, folyamatosan jelentkezik vagy jelen van. Tipikus példák elosztott paraméterű hálózatokra vagy rendszerekre: távvezetékek és távvezeték hálózatok, földgázvezeték-hálózat gázvezetékei, vízvezeték-hálózatok vízvezeték-rendszerei, kőolajvezetékhálózatok olajcső-rendszerei, távhő-, távfűtés-hálózatok csőrendszerei és a kommunikációs hálózatok vezetékes vagy vezeték nélküli rendszerei (pl. száloptikai rendszerek) a bennük áramló vagy terjedő fizikai közegekkel. Jellegüknél fogva az elosztott paraméterű rendszereket általában parciális differenciálegyenletek írják le hely és időfüggő tagokkal. Éppen ezért az ilyen rendszerek tárgyalása általában bonyolultabb, mint a rendes (nem parciális) differenciálegyenletekkel leírható koncentrált paraméterű rendszereké. A következőkben az elosztott paraméterű rendszerekre, hálózatokra vonatkozó modellezési módszerekből említek néhányat. Matematikai módszerek Differenciálegyenletek analitikus megoldásai Mint azt fentebb említést nyert az elosztott paraméterű rendszerek matematikai leírásához parciális differenciálegyenleteket, bonyolultabb esetekben parciális differenciálegyenlet-rendszereket kell használni. A parciális differenciálegyenletek tulajdonképpen az elosztott paraméterű rendszerek matematikai leírásának alapjai, ezért ismeretük követelmény. Az ilyen egyenletek igen bonyolultak, megoldásuk nem egyszerű, ezért a 3

4 kurzus során szükség van a parciális differenciálegyenletek matematikai alapjainak az áttekintésére, átismétlésére. Az ismétlés során előkerülnek az elsőrendű lineáris parciális differenciálegyenletek, a kvázilineáris parciális differenciálegyenletek, a kétváltozós elsőrendű lineáris parciális differenciálegyenletek alapjai, majd a másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek elliptikus, hiperbolikus és parabolikus típusai megoldási alapjai. Az oktatás során áttekintjük a Dirichlet-, Neumann- és Cauchy-feladatokat, és ezek jelentéseit. A parciális differenciálegyenletek elméleti alapjainak végén kerül sor két speciális és az elosztott paraméterű hálózatok leírásakor a legtöbbet használt differenciálegyenlet a Laplace-típusú és a Poisson-típusú differenciálegyenletek tárgyalására. Például, mint az ismert ha U jelenti a tér potenciálját, akkor a tér potenciáljának a meghatározása sokszor az Laplace-típusú, míg más esetekben az alakú Poisson-típusú differenciálegyenletek megoldására vezet. (A vektoranalízis szimbolikája nyomán a div grad Laplace-operátor szimbólumot használjuk.) Differenciálegyenletek megoldásai számítógépes szoftverek segítségével A parciális differenciálegyenleteket éppen a bonyolultságuk és nehéz megoldhatóságuk miatt manapság a tudományos és kutatómunkában már nem analitikusan, papíron tollal és/vagy ceruzával oldjuk meg, hanem felhasználjuk a számítástechnika és a számítógép segítségét. Ma már több olyan igen jó matematikai szoftver is rendelkezésre áll, amelyekkel jól kezelhetők a parciális differenciálegyenletek. Az ilyen programokkal vagy analitikusan oldathatók meg differenciálegyenletek, vagy szimulációszerűen kapjuk a megoldást. A kurzus keretein belül négy matematikai szoftver működésének alapjai, alaplogikája kerül bemutatásra, ezek az IDL, a MatLab, a Maple és a Mathematica. Mind a négy szoftvercsomag tulajdonképpen magas szintű programnyelv illetve csomag, amely számos előre megírt rutint tartalmaz. A rutinok parancsszavakkal meghívhatók, és ezáltal szinte egyetlen parancsszó használatával lehetségessé válik bonyolult műveletek, műveletsorok vagy (1) (2) 4

5 csoportok, feladatok elvégzése. A kurzuson bemutatom a hallgatóknak, hogy mindhárom csomaghoz további a felhasználó által írt rutinok is illeszthetők, ezáltal bővítve a belső lehetőségek tárházát. Szintén bemutatom a diákoknak az egyes szoftvercsomagok belső logikáját és lehetőségeit célirányosan differenciálegyenletek megoldására. Gráfelmélet, mint hálózat leírási eszköz Elosztott paraméterű hálózatok leírásának, matematikai modellezésének a parciális differenciálegyenletek vagy egyenletrendszerek mellett másik matematikai alapeszköze a gráfelmélet. A gráfelmélet hálózatok topológiai modellezésére alkalmas, ezért, mint modellezési alapeszköz kerül megemlítésre a tárgy folyamán. A gráfelméletben pontok, csomópontok vagy pontosabban csúcsok és ágak, utak vagy más szóval élek szerepelnek alapobjektumokként. Ha az utakat vezetékeknek vagy csővezeték szakaszoknak feleltetjük meg, továbbá a csúcsok játsszák az elosztási helyek, fogyasztók, erőművek esetleg alállomások szerepét, akkor az így felépített gráf, mint matematikai absztrakció, megfeleltethető valamely elosztott paraméterű pl. villamos vagy csővezeték rendszernek. A gráfelméleti alaptételek során főleg az ún. irányított gráfokra fókuszálunk, hiszen az elosztott paraméterű rendszerekben jellemzően jól definiálható iránya van a folyamatoknak vagy a fizikai közegek áramlásainak. Valahonnan (pl. erőmű vagy tározó) valahová (fogyasztó) irányítottan folynak a folyamatok. Az irányított gráfok elmélete igen jól alkalmas irányítással bíró hálózatok leírására. Hálózatszámítási modellek Az elosztott paraméterű hálózatokban rendre valamilyen terméket (pl. villamos áram, víz, olaj, gáz, forró gőz) kell egy kiinduló állomásról (pl. erőmű vagy tározó) valahová célfogyasztókhoz (magánszemélyek, vállalatok részére) közbülső állomások (pl. elosztó központok, alállomások) beiktatásával valamilyen előre megadott paraméterek mellett (legolcsóbban, leggyorsabban, legrövidebb úton) eljuttatni. Az ilyen jellegű problémákra a matematika már kidolgozott elveket, algoritmusokat és módszereket. Ezeket az eljárásokat ismerteti a tananyag e része. Pl. a hálózatbeli folyam vagy áramlás általános problémája és ezen belül a szállítási feladat (valamilyen forráshelyről valamiket valamilyen célállomásokra el kell szállítani úgy, hogy a bekerülési költség minimális legyen); maximális folyam feladat (amennyi terméket csak lehet azaz maximális mennyiségű terméket el szeretnénk küldeni 5

6 egyik helyről a másikra adott feltételek mellett); legrövidebb út feladat (a feladat során egy forrásból indulva és egy nyelőbe érkezve kell megtalálni azt az utat a hálózatban, amelyre a megtett távolság legrövidebb). A legrövidebb út feladat ismertetése során a Kruskal- és a Prim matematikai algoritmusokat is érintjük. Fizikai modellek Transzportfolyamatok Elosztott paraméterű hálózatok modellezésére nem csak matematikai, hanem a fizikához kötődő modellek is tartoznak és bemutatásra kerülnek. Az egyik ilyen modell megközelítés a transzportfolyamatok vagy transzportjelenségek leírásával kapcsolatos. De mit is értünk ezen? Transzportjelenség fogalmán a rendszert alkotó részecskéknek vagy ún. extenzív fizikai mennyiségnek a tér egyik részéből a másik részébe való elmozdulását, átadását, vezetését vagy szállítását értjük. Az ilyen folyamatok során kémiai anyagmennyiség, impulzus, hő, valamint elektromos töltés jut el áramlással, vezetéssel, átadással a rendszer egyik pontjáról a másik pontjába. Okként az jelölhető meg, hogy a rendszer nem homogén, azaz benne legalább egy intenzív mennyiség a helytől függetlenül nem azonos ezért az intenzív mennyiségek kiegyenlítődésre törekszenek. A kiegyenlítődés során az extenzív mennyiség mozog, áramlik. A transzportjelenségek leírásának első részletes és átfogó elemzését Lars Onsager ( ) végezte el, aki ezen eredményeiért 1968-ban kémiai Nobel-díjat kapott (Onsager, 2013). A híres transzportfolyamatok közül a tantárgy keretein belül a Brownmozgást, a diffúzió jelenségét, a hővezetést, az elektromos áramot (mint transzportfolyamatot), a lamináris vagy réteges áramlást és a turbulens áramlás alapjait tárgyalom (Budó1, 2004; Budó2, 1972). A jelenségek ismertetése mellett az őket leíró alapegyenletek felírására is sor kerül egy, két és három dimenzióban, továbbá stacionárius és nem stacionárius (azaz időtől függő és független) esetekre is. Most példaként az egydimenziós stacionárius esetekre vonatkozó összefüggéseket adom meg a táblázatban. Hasonlóság elmélet A táblázatbeli leíró egyenletek és a transzportjelenségek tárgyalása során felírt további egyenletek meglehetős alakbeli, típusbeli és szerkezetbeli hasonlóságot mutatnak adott külső feltételek esetén. A fellelhető 6

7 hasonlóságok lehetőséget adnak az oktató számára, hogy a hasonlóság elmélet alapjaival ismertesse meg a hallgatókat. A hasonlóság elmélet a modellezési lehetőségek egyik további lehetősége. A hasonlóság elmélet azokat a szabályokat foglalja magában, amelyek megmutatják, hogy egy kis mintán (pl. kísérleti berendezésen) megmért jellemzők milyen módon alkalmazhatók egy másik általában nagyobb méretű pl. üzemi nagyberendezésre vagy folyamatra. A kétféle rendszerben nem szükséges külön-külön minden paraméternek megegyezni, hanem elégséges a fizikai mennyiségekből megfelelő módon képzett csoportok vagy kritériumok azonosságát biztosítani. Ilyenek lehetnek pl. a leíró differenciálegyenletek azonossága vagy hasonlósága is. A hasonlóság elméletbeli Kirpicsov-törvény éppen azt mondja ki, hogy hasonlóak azok a jelenségek, amelyek ugyanazzal a differenciálegyenlettel írhatók le, és amelyek esetében az egyértelműségi feltételek hasonlósága is teljesül. Így Kirpicsov tétele szerint a táblázatban megadott jelenségek hasonlóak (SZTE, 2011). A hasonló jelenségek pedig felhasználhatók egymás modellezésére is. Ez az állítás a tárgy egyik legfontosabb üzenete a hallgatók felé. Pl. egy bonyolult csővezetékbeli áramlástani probléma eredményesen modellezhető pl. egy alkalmasan megépített vagy megtervezett és mért, vagy számított elektromos áramkör segítségével. Stb. a kurzus során számos példát hozok folyamatok és jelenségek egymással való modellezhetőségére. 1. táblázat: Transzportfolyamatok leíró egyenletei és azok elnevezései egy dimenziós stacionárius (időben állandó folyamat) esetekben Leíró egyenlet (egy dimenzióban) Elnevezés, törvény neve Folyamat neve dm dc Fick I. Diffúzió D A dt dx dq dt Fourier I. Hővezetés A dt dx Ohm I. Elektromos áram Hagen- Lamináris Poiseuille I. áramlás Navier-Stokes I. Turbulens áramlás Forrás: saját korábbi egyetemi tanulmányok és saját egyetemi előadásjegyzetek 7

8 Megjegyzés: A formulákban adott betűk fizikai jelentéseit ebben a publikációban külön nem részletezzük és adjuk meg, azonban az egyetemi előadásokon a jelentések részletesen tárgyalásra kerülnek. Összefoglalás Kidolgoztam az ÓE KKVK-on 2012 tavaszi félévében induló Elosztott Paraméterű Hálózatok Modellezése c. tárgy részletes tantárgyi tematikáját saját és kollégáim ötleteire támaszkodva. A kurzust e tematika alapján tartom azóta is. A tematika kidolgozása során a tárgyban fontos szerepet szántam azon matematikai, fizikai, villamosmérnöki és villamosságtani modellezési módszerek bemutatásának, amelyeket egy mérnöknek ismernie kell a modellalkotásos gondolkodásmódja sikeres elsajátításához. Ebben az előadásban ezekből a módszerekből szemezgettem a teljesség igénye nélkül, hiszen a félév során sokkal több idő jut e módszerek és más modellezési eljárások bemutatására és hallgatókkal való megismertetésére. Hivatkozott források (Kislexikon1, 2013) =1 (Kislexikon2, 2013) (Onsager, 2013) (Budó1, 2004) Budó Ágoston: Kísérleti Fizika I., II., III., Tankönyvkiadó, Budapest, (Budó2, 1972) Budó Ágoston: Mechanika, Tankönyvkiadó, Budapest, (SZTE, 2011) (Prof. Dr. Rajkó Róbert: Élelmiszeripari műveletek I., SZTE Mérnöki Kar, Folyamatmérnöki Intézet, Oktatási segédlet, PDF.) Szerző: Név: Rácz Ervin Tudományos fokozat: Ph.D. Beosztás: egyetemi docens Intézményi adatok: Óbudai Egyetem, Kandó Kálmán Villamosmérnöki Kar, Villamosenergetikai Intézet cím: racz.ervin@kvk.uni-obuda.hu 8