8 b) Összesen (=76+09+40) db kenyeret rendeltek és 4 db-ot küldtek vissza, ez a megrendelt mennyiség,9%-a Összesen 69 (=4+8) péksüteményt rendeltek és 4 db-ot küldtek vissza, ez a megrendelt mennyiség 4,9%-a 8c) Az egyes napokon eladott péksütemények száma: 4; ; ; ; 0 db A két napotk 9 6 o - féleképpen jelölhetjük meg ( napon adtak el legalább 0 db-ot) k 7 6 o-féle kiválasztása lehet a kívánt napnak, így a keresett valószínség k/ o k ol0, 8 d) kg-os fehér kenyérbl ( 99 L) db-ot, 9 ½ kg-os fehér kenyérbl ( =9 L) 9 db-ot, 9 rozskenyérbl ( 77 L6,6) 7 db-ot, 9 pont zsemlébl 8, kiflibl 68 db-ot rendeltek Két helyes válasz, egy helyes válaszért nem jár pont írásbeli vizsga 0 / 0 május 7 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 0 MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 7
Fontos tudnivalók Formai elírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színtl eltér szín tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak megfelelen jelölni a hibákat, hiányokat stb A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsben a feladatra adható maximális pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette lev téglalapba kerül Kifogástalan megoldás esetén elég a maximális pontszám beírása a megfelel téglalapokba 4 Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra Az ábrán kívül ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti Tartalmi kérések: Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk Amennyiben azoktól eltér megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivelegyenérték részeit, és ennek alapján pontozzon A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók Az adható pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek Nyilvánvalóan helyes gondolatmenet és végeredmény esetén maximális pontszám adható akkor is, ha a leírás az útmutatóban szereplnél kevésbé részletezett 4 Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, és a megoldandó probléma lényegében nem változik meg, akkor a következ részpontszámokat meg kell adni Elvi hibát követen egy gondolati egységen belül (ezeket az útmutatóban ketts vonal jelzi) a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont Ha azonban a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel, mint kiinduló adattal helyesen számol tovább a következ gondolati egységben vagy részkérdésben, akkor erre a részre kapja meg a maximális pontot, ha a megoldandó probléma lényegében nem változott meg 6 Ha a megoldási útmutatóban zárójelben szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor ennek hiánya esetén is teljes érték a megoldás 7 Egy feladatra adott többféle helyes megoldási próbálkozás közül a vizsgázó által megjelölt változat értékelhet 8 A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre elírt maximális pontszámot meghaladó pont) nem adható 9 Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel 0 A vizsgafeladatsor II B részében kitzött feladat közül csak feladat megoldása értékelhet A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben feltehetleg megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, amelynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába Ennek megfelelen a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani Ha mégsem derül ki egyértelmen, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor automatikusan a kitzött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz az, amelyet nem kell értékelni írásbeli vizsga 0 / 0 május 7 7d) Péter az els hónapban 00 00 S 487 tallér bérleti díjat fizet, a második hónapban tallért,4, tehát Péter a második évben 4,%- 487 kal több bérleti díjat fizet, mint az elsben 8 a) els megoldás Ha figyelmen kívül hagyjuk, hogy a két áru nem kerülhet egymás mellé, akkor 6!-féle sorrendben rakható ki a hatféle áru Ha a két áru egymás mellé kerül, de a sorrendjüket nem különböztetjük meg,!-féle elhelyezés lehetséges Ha e két áru sorrendjét is megkülönböztetjük:! sorrendbe rakható a hat áru A megfelel sorrendekszámát megkapjuk, ha az összes esetbl kivonjuk azon sorrendek számát, amelyekben egymás mellé kerül a zsemlemorzsa és a búzadara: 6!! Tehát 480 sorrendbe rakhatja ki az árufeltölt a hatféle árut pont Összesen: 6 pont Kevésbé részletezett gondolatmenetért is jár a pont Ha nem veszi figyelembe, hogy a két áru nem kerülhet egymás mellé legfeljebb adható 8 a) második megoldás Csak a búzadara és a zsemlemorzsa 6, azaz 0-féle sorrendben lenne elhelyezhet, ha egymás mellé is kerülhetnének esetben kerülhet egymás mellé e két áru, ha a sorrendjüket nem vesszük figyelembe, de mivel a sorrend is számít, ezért 0 esetben Így 0 0 0-féle sorrendben rakhatja ki e két árut úgy, hogy ne kerüljenek egymás mellé Mind a 0 esetben a többi négy árut 4!-féleképpen helyezheti el Tehát 0 4! 480 -féle sorrendbe rakhatja ki a hatféle árut Összesen: 6 pont írásbeli vizsga 0 / 0 május 7
7 a) Gábor fizetend bérleti díja mértani sorozat szerint a és a 4 00 n, 00 00 q 00, q (ahol q,006 p q ) 00 p=,06, azaz Gábornak havonta,06%-kal kell több bérleti díjat fizetnie Összesen: pont 7b) Péter bérleti díja számtani sorozat szerint n, b 00 és b 4 00, 00 00 d 00 d 4,,a havi növekedés 4, tallér 7c) A sorozatok els 4 tagjának összege: 4 468, 4 S Gábor 00 pont 00 00 S Péter 4 600 pont Péter tallérral több bérleti díjat fizet 4 hónap alatt, mint Gábor Ha ez a gondolat csak a megoldás során derül ki, ez a pont jár Összesen: 6 pont Grafikusan szemléltetve a havi bérleti díjakat látható, hogy Péter minden hónapban több bérleti díjat fizetne, mint Gábor (az és a 4 hónap kivételével) Ezért nyilvánvaló, hogy Péter a 4 hónap alatt több bérleti díjat fizetne, mint Gábor A világosan megadott grafikonokra épül helyes gondolatért pont adható írásbeli vizsga 0 0 / 0 május 7 Az egyszersítés után kapott tört: a b I pont A pont nem bontható Összesen: pont Forgáshenger keletkezik, az alapkör sugara cm, magassága cm V S (cm ) A forgáshenger térfogata 00S cm Ha ezek a gondolatok ábrán jelölve szerepelnek, jár az Tizedes tört alakban megadott válasz is teljes érték A valós gyökök száma: pont Összesen: pont Ha x= a válasz, azot ér Ha a válasz, az 0 pont 4 x 4, x 4 pont Összesen: pont Helyes válaszonként - A felezpont helyvektora: Ezt rendezve: b f a f a b Összesen: pont 6 A keresett legkisebb pozitív szög 0º pont Összesen: pont 70º = 60º+0º felírásáért jár 7 x x 8x 8 9 Egyszám négyzete akkor a legkisebb, ha 0-t emelünk négyzetre A függvény x 9 -nél veszi fel a legkisebb értékét Összesen: pont írásbeli vizsga 0 / 0 május 7
8 4 =6 ötjegy pozitív szám van pont Összesen: pont 9 Icsoport 80 személy, II csoport 40 személy, III csoport00 személy - 0 Az egyenletet x 7 y 0 alakra rendezzük Az erre merlegese egyenes egy normálvektora n(7; ), így e egyenes egyenlete 7x+y= Az egyenesek egyenletének bármely alakban való helyes használata teljes érték A: igaz; B: hamis; C: igaz; D: igaz - Felírjuk a sorozat tagjait: a, a, a 0, a, a, a 4 6 pont Így S 6 4 írásbeli vizsga 0 4 / 0 május 7 II B 6 a) A háromszög harmadik oldalának c hosszára (a háromszög-egyenltlenség miatt) 0 c! és c 0 egyenltlenségeknek teljesülni kell Így c 4 Ha a harmadik oldal is egész, c legkisebb értéke, legnagyobb értéke 4 lehet Ez 9 megfelel háromszöget jelent Összesen: pont 6 b) (A két adott oldal által közbezárt szöget J-val jelölve) 88 0 sin J Ebbl sin J 0, 4 J,6 J 6,4 6c) J,6 esetében a harmadik oldal hosszát (c) koszinusztétel alkalmazásával számíthatjuk ki 0 0 cos,6 c c 77,68, és ebbl c 8, 8 egység hosszú c J 6,4 esetében a harmadik oldal hossza (c): 0 0 cos6,4 c 884 880 ( 0,964), azaz c 690,4 és ebbl c 4, egység hosszú A háromszög harmadik oldala 8,8 egység vagy 4, egység hosszúlehet Összesen: 8 pont Ha ez a gondolat csak a megoldás során derül ki, akkor is jár ez a pont Ha csak az egyik esettel számol, erre a részre maximum 4 pontot kaphat írásbeli vizsga 0 9 / 0 május 7
c) dolgozó költségeit fizetik Az összes eset:, 7 a kedvez esetek száma: (Alkalmazva a klasszikus valószínség modelljét:) 7 688 0 0,6 0, (illetve,6%) a valószínsége annak, hogy nt választanak ki Összesen: pont írásbeli vizsga 0 8 / 0 május 7 II A a) A négyzet oldala a, a téglalapok oldalai a, illetve a Egy téglalap kerülete 4 a a, pont amibl a 9 cm A négyzet területe 8 cm Összesen: pont Ha a jelölés csak az ábrából derül ki, akkor is jár ez a pont b) els megoldás Pitagorasz tétel szerint x (vagy a,, Pitagoraszi számhármas), a derékszög háromszög befogója (BP) cm A háromszög területe felírható kétféleképpen: T a b c m c, pont melybl a b c m c, vagyis az a m c b c 60 Az átfogóhoz tartozó magasság 4,6 cm hosszú b)második megoldás Pitagorasz tétel szerint x (vagy a,, Pitagorasz-féle számhármas), a derékszög háromszög befogója (BP) cm A befogótétel szerint p, pont p,9 Pitagorasz tétellel m c Az átfogóhoz tartozó magasság 4,6 cm írásbeli vizsga 0 / 0 május 7
b)harmadik megoldás Az ABP derékszög háromszögben jelöljük az Acsúcsnál lév szöget D -val és az AP átfogóhoz tartozó magasság talppontját Q-val Az ABP derékszög háromszögben cos D AB AP pont D,6q Az AQB derékszög háromszögben sin D BQ BQ pont AB BQ sin D 0,846 4,6 Az átfogóhoz tartozó magasság 4,6 cm hosszú Ez a pont akkor is jár, ha a késbbiekben sind értékét helyesen számítja ki 4 a) Értelmezési tartomány: x! 0 és x! 0 miatt x! (A logaritmus azonosságait felhasználva) x x pont Az egyenlet rendezése után x A kapott gyök eleme az értelmezési tartománynak, tehát megoldás Összesen: pont Ha következményegyenlettel dolgozik és a kapott gyököt behelyettesítéssel ellenrzi, ez a pont jár írásbeli vizsga 0 6 / 0 május 7 4b) 0 d x, így x d 6, 0 d x x, ebbl d x Tehát az egyenletnek csak d x d 6, esetén lehet megoldása Mindkét oldalt négyzetre emelve: a baloldal négyzete x A jobboldal négyzete: x 0x A megoldandó másodfokú egyenlet: 0 x 8x Ebbl x 6 vagy x Az egyenlet egyetlen valós megoldása az alaphalmazon a 6 Ha következményegyenlettel dolgozik és a kapott gyököket behelyettesítéssel ellenrzi, a hamis gyököt kizárja, ezek a pontok járnak a) Mindkét végzettséggel rendelkezik 0 f, mert a végzettséget jelent oklevelek száma 4+8=70, ami 0-szal több az oklevelet szerzk (dolgozók) létszámánál Így csak technikusi végzettsége fnek van Ezt a pont jár megfelel halmazábra készítéséért is b) Ha a 0 év alatti dolgozók száma x, akkor az átlag: x 48000 0 x 7000 6000 0 x 6 A laborban 6 dolgozó 0 év alatti Ha ez a gondolat csak a megoldás során derül ki, ez a pont jár írásbeli vizsga 0 7 / 0 május 7