GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI I. A KLASSZIKUS VAN CITTERT-FÉLE ÉS A GOLD-FÉLE ITERÁCIÓ

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI I. HANKA LÁSZLÓ DR. HABIL. VINCZE ÁRPÁD GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI I. A KLASSZIKUS VAN CITTERT-FÉLE ÉS A GOLD-FÉLE ITERÁCIÓ MATHEMATICAL METHODS OF GAMMA-SPECTRUM S EVALUATION I. VAN CITTERT ITERATION ALGORITHM AND GOLD-DECONVOLUTION METHOD A téleges és a méréssel kapott gamma-spektrm kapcsolatát eg leárs egeletredszerrel írhatjk le. Eek az egeletredszerek a megoldása amelet dekovolúcóak evezük, eg összetett probléma, gas a megoldás a mérés hbák következtébe stabls. Eek az az oka, hog az egeletredszer mátra szglárs, ezért a megoldás ago érzéke a hbákra. A mérés hbák létezése és a redszer egütthatómátráak szglartása jeletős mértékbe befolásolja az alkalmazható dekovolúcós módszerek hatékoságát. Ebbe a dolgozatba a fzka és matematka alapok smertetése tá, a klasszksak számító, Va Cttert-től származó terácós eljárást mtatjk be, majd eek eg stablsabb, a hbákra kevésbé érzéke módosított változatát, a Gold-algortmst smertetjük. Klcsszavak: Gamma spektrm, szctllácós detektor, válaszfüggvé, dekovolúcó, rosszl ktűzött problémák, rosszl kodícoált problémák, Va Cttert algortms, Gold-dekovolúcó. The relatoshp betwee cdet ad observed spectrm ca be descrbed b a lear eqato sstem. The solto of ths sstem (called decovolto), s geerall a comple problem, becase the solto s stable wth respect to the measremet error. The eqato sstem s etremel sestve to errors the measred data, becase the matr of the sstem s alwas sglar. The estece of error ad the sglart of the sstemmatr affects the process of decovolto, ad ca lead to dffcltes solvg the eqato sstem. Ths work frst af all descrbes phscal ad mathematcal backgrod of ths problem, after that presets the classcal Va Cttert terato algorthm, ad the mch more stable Gold-decovolto method, whch s sgfcatl less sestve to errors the data. Kewords: Gamma-ra spectra, sctllato detector, respose fcto, decovolto, ll-posed problems, ll-codtoed problems, Va Cttert algorthm, Gold-decovolto. 27

VÉDELMI ELEKTRONIKA 28. Bevezetés Jeleleg a terep körülméekek legkább megfelelő, egszerű szctllácós detektorredszerek fejlesztése smét előtérbe került. A kváló robosztsság és hatásfok mellett a rosszabb felbotás matt az íg felvett spektrmok kértékelése összetett forrás esetébe em egszerű feladat, mert a szctllácós műszerek, felépítésük foltá, összetett spektrmokat szolgáltatak, a közel eergákál fellépő csúcsokat egbemossák []. Cél az eszközredszer haszálhatóságáak, tlajdoságaak vzsgálata, a hatékoság fejlesztése, az alkalmazás kör kterjesztése, új kértékelés algortmsok kdolgozása. Az eges lehetséges NATO forgatókövek (kleárs beredezések szeezettsége; radoaktív aagok körezetbe való kjtása, kbocsátása; kezdetleges kleárs eszközök elleőrzése; zárt sgárforrások elleőrzése; kleárs fűtőelemek és szegéített rátartalmú termékek; lmeszkáló katoa eszközök elleőrzése) sorá a potecálsa veszéleztetett vag msszóba közreműködő katoa erők sgárvédelme szempotjából alapvető feladat a körezet folamatos és gors elleőrzése. A megfelelő paracsok dötés előkészítéséhez a feladat kterjed a körezet külső dózsterhelés gors és zotópszelektív kmtatására s. Ezekek a techkákak a fejlesztése és redszerbe állítása a Magar Hovédség ABV védelm képességéek övelése szempotjából s alapvetőe fotos. Az újabba előtérbe került, em a hagomáos csúcskeresés algortmsoko alapló dekovolúcós techkák ígéretesek lehetek a feladat megoldására. Eze techkák célja, hog kakázzák a moder személ számítógépek adta lehetőségeket. A szctllácós mérőműszerek le ráú vzsgálata tehát elsősorba matematka módszereket géel. Egre kább elterjedőbe va a leárs algebra apparátsát haszáló, mátrreprezetácós leírás. A fzkába és a gamma-csllagászatba már alkalmazak ehhez külöböző módszereket, techkákat: mamm-etrópa módszere, a mamáls valószíűség becsléséek módszere, leárs közelítő eljárások. Ezért cél az le techkák összehasolító vzsgálata, továbbfejlesztése

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI I. és adaptálása a katoa alkalmazások területére. Ezzel a dolgozat eg ola ckksorozatot első része, amel eze dekovolúcós techkák matematka módszeret tárgalja részletese. Ezekbe részletese bemtatjk a módszerek matematka hátteret, és levezetjük azokat az összefüggéseket, amelek már közvetleül alkalmazhatók a dekovolúcó végrehajtására, más szavakkal a téleges spektrm előállítására. A γ-sgárzás és az aag kölcsöhatása közül az alább gakorlat és elmélet szempotból egarát legfotosabb három típst említjük vázlatosa: Fotoeffekts, Compto-szórás, Párkeltés. Ez a három folamat egmástól függetle. Fotoeffekts sorá a γ-foto teljes eergáját átadja eg atomba kötött elektroak. Eek következtébe az atom elektrot emttál, az elektro E e = E γ E k eergával hagja el az atomot, ahol E γ a foto eergája, E k pedg az elektro kötés eergája. A fotoeffekts alacso eergákál jeletős, de ez erőse függ az aag mőségtől. Példál Al esetébe E γ < 0,05 MeV, Pb esetébe pedg E γ < 0,5 MeV eergáál. A fotoeffekts bekövetkezéséek valószíűsége övekvő eergákál rohamosa csökke. Növekvő ( közepes ) eergákál egre jeletősebb kölcsöhatás a Compto-szórás. Ez léegébe γ-fotook szóródása szabadak tekthető atom elektrooko. A bemeő γ-foto eergája és mplzsa a meglökött elektro és a szórt foto között oszlk meg. A párkeltés sorá a ag eergájú γ-foto eg atommag terébe megsemmsül, és elektro-poztro pár keletkezk. A létrejött részecskepár E ketks eergája: E = hν 2m 0 c 2, ahol hν a foto eergája, a 2m 0 c 2 pedg az elektro-poztro pár egüttes galm eergája. A folamat létrejöttéek eergetka feltétele természetese az, hog teljesüljö a hν > 2m 0 c 2 =,02 MeV egelőtleség. A folamat szabad elektroo em jöhet létre, szükség va eg ag tömegű magra, amelek a terébe va az elektro. Mt látható, a gamma sgárzás és az aag kölcsöhatása összetett folamat, bzoos valószíűséggel mdhárom említett folamat végbemeg mde gamma foto esetébe, íg eek megfelelőe a gamma-spektrm szerkezete s meglehetőse boollt. Az. ábrá eg elmélet mooeergás gamma-spektrmalak látható, ahol az eges kölcsöhatásokak megfelelő részletek vlágosa láthatók (teljeseerga csúcs = fotocsúcs). 29

VÉDELMI ELEKTRONIKA 30. ábra Már rövddel a radoaktvtás felfedezése tá, 903-ba észlelték, hog a ck-szlfd (ZS) krstálok alfa-sgárzás hatására fét sgározak k, azaz szctllálak. A jeleséget 908-ba alkalmazták először alfarészecskék számlálására, azoba aak elleére, hog Erst Rtherford javított a megfgelés techká, még több mt három évtzedet kellett vár arra, hog az eljárást gamma sgárzás vzsgálatára s alkalmazhassák. Ba Zoltá gas csak 939-40-be dolgozta k a fotoelektro sokszorozót, amel a gamma spektrométer egk legfotosabb részegsége. A apjakba s alkalmazott szctllácós mérés módszert a fet alapoko 945-48-ba Drefs, Bla és Hofstadter dolgozták k. Szctllátorkét Tallmmal aktvált átrm-joddot alkalmaztak [NaI(Tl)]. 0,%-os szeezés a krstál fzka tlajdoságat (sűrűség, olvadáspot) em változtatja meg, de az emsszós szíkép mamma a látható tartomába kerül (303 m-ről 420 m-re övekszk) és az távlágítás dő ég agságreddel megő (0 7 s-ról 0 3 s-ra). A Tallmmal aktvált NaI traszformácós hatásfoka a legagobb a ZS tá, mteg 8%. A jól smert, ezüsttel aktvált ZS féhozama 28%, de ebből az aagból em lehet agméretű egkrstált készíte,

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI I. márpedg ez eg ag hatásfokú spektrométerek elegedhetetle feltétele. A 2. ábrá látható eg szctllácós detektor vázlatos felépítése. 2. ábra Eek fő része tehát eg ag méretű szctllátor egkrstál (kb. 5 5 cm méretű körheger), a fotokatód, az elektrooptka redszer, az elektrosokszorozó, az aódo gűlek össze az elektrook, majd eg előerősítő, táa eg főerősítő és végül a jelek összegűjtésére lletve szétválogatására eg dszkrmátor és számláló, vag eg sokcsatorás aalzátor. Mt az. ábrá látható, még eg mooeergás γ-sgárzás spektrma s ago összetett, boollt szerkezetű, em s beszélve összetett sgárforrások eseté detektált spektrmokról. Erre még rátevődk a háttérsgárzás γ-fotojaak foltoos spektrma és az egész mérést zavarja a szctllácós detektor sötétárama, am abból adódk, hog a fotokatód ks valószíűséggel fotook élkül s kbocsát elektrookat, valamt a dódák termks emsszójából s származak elektrook. Ezekek a statsztks folamatokak köszöhetőe a detektált eergák em esek egbe potosa a kbocsátott eergákkal. A téleges értékek körül szóródak a mért értékek, a voalak kszélesedek, eg voalak eg Gass-görbe felel meg, a spektrm a boollt elektroka redszerek köszöhetőe torzl. A spektrmot még tovább boolítja, hog a gamma fotook szóródhatak a szctllátort körülvevő szerkezet aagoko, íg vsszaszórással bekerülhetek a detektorba. A 3. ábrá eg tpks, szctllá- 3

VÉDELMI ELEKTRONIKA cós detektorral felvett, mooeergás gamma-spektrm látható. (Vessük össze ezt az. ábrá látható elmélet spektrmmal!) 3. ábra (A Cs-37 gamma-spektrma, E = 0,66 MeV) Térjük rá ezek tá a spektrmkértékelés matematka módszereek vzsgálatára. Eg gamma spektrm meghatározása a mérés adatok alapjá léegébe eg leárs egeletredszer megoldását jelet. Ha R m az m-csatorás spektrométerrel mért spektrm, R a valós spektrm, az R R m mátr pedg a detektor válaszfüggvée (Respose fcto), akkor a megoldadó probléma = Ralakba írható fel [2]. Az egeletredszer R = [R j ] R m egütthatómátráak R j eleme aak az eseméek a valószíűsége, hog a j-edk eergatartomába eső γ-foto az -edk csatorába lesz detektálva. Az alábbakba az R mátrot smertek tételezzük fel. Ha eg kokrét mérés eljárásra hvatkozk, amkor s példál m = 024 és = 256, akkor ez azt jelet, hog eg 024-csatorás aalzátorral végezzük a méréseket, a méredő eergatartomát pedg 256 részre osztjk. Tehát a mérés gakorlatba m >, am azt jelet, hog eg túlhatározott egeletredszer megoldása szolgáltatja az spektrmot, azaz agobb az egeletek száma mt az smeretleeké. Ebbe a dolgozatba eze egeletredszer megoldásáak vzsgálatával, a megoldás matematka módszerevel foglalkozk. 32

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI I. Az egeletredszer megoldása léegébe eg verz-probléma. A szakrodalom az eljárást dekovolúcóak evez. Abba az esetbe, ha az R mátr kvadratks (R R ) és reglárs, a megoldás azoal megkapható: = R. Ez a gakorlatba szte sohasem teljesül. Mvel az R mátr em kvadratks, íg em létezk közvetleül verze, eze túlmeőe az oszlopvektorok em leársa függetleek, azaz ρ = rag(r) <, am azt jelet, hog ha va megoldás az em egértelmű, végtele sok megoldás közül kell kválaszta a legmegfelelőbbet. Eze kívül az R m mérés eredméek hbával terheltek, az verz probléma megoldását a hbás R m vektorból kell meghatároz, és mt lát fogjk a gakorlatba előfordló esetekbe a dekovolúcó ago érzéke a hbákra. Az le típsú verz problémákkal kapcsolatosa Hadamard szert három léeges kérdés lletve probléma merül fel [3]:. Egzszteca. Azaz a megoldás létezése. A probléma természetétől függőe, tetszőleges értékek eseté létezk-e a kíváalmakak megfelelő megoldás? 2. Egértelműség. Mde adatsor eseté egértelmű-e a megoldás abba az értelembe, ahog a probléma megkívája? 3. Stabltás. A megoldás foltoosa függ-e az adatoktól? Ez tóbb jellemző ago fotos, mert ha hbás adatokból határozzk meg a megoldást, akkor felmerül a kérdés, hog hoga öröklődk a mérés hbája a megoldásra. Ha eg matematka probléma teljesít ezt a három kíváalmat, akkor azt jól ktűzött ( well-posed ), ha valamelk tlajdoság em teljesül, akkor rosszl ktűzött ( ll-posed ) matematka problémáak evezzük. 2. Rosszl kodcoált problémák Mt lát fogjk, az verz feladat megoldásáak tlajdoságat, sőt magát a megoldás módszert s alapvetőe befolásolják a mátr sajátértéke. Sajátértéke kvadratks mátrak létezk, ezért első lépéskét tegük fel, hog A R, tehát az A mátr kvadratks. Ezáltal em csorbítjk az általáosságot, továbbá azáltal sem, ha csak valós sajátértékeket és valós kompoesű sajátvektorokat tételezük fel, mert a bevezetőbe említett dekovolúcós probléma le esetekre vezet. 33

VÉDELMI ELEKTRONIKA Lege λ R az A sajátértéke, R pedg a λ sajátértékhez tartozó sajátvektor [4]. Ekkor teljesül, hog A = λ. Ha az A R mátr reglárs ez egeértékű azzal, hog mde sajátértéke külöbözk 0-tól, akkor létezk az A R verzmátr, mellel teljesülek az A = λ, ( =,2, ) egelőségek. Am azt jelet, hog az A verzmátr sajátvektoraak halmaza egbeesk az A sajátvektoraak halmazával, a sajátértékek pedg A sajátértékeek recproka. Ha az A mátrak va db leársa függetle sajátvektora am teljesül, ha va db külöböző sajátértéke, az A mátr dagoáls alakra hozható. Lege U = [, 2, ] az a mátr, melek oszlopa a sajátvektorok, ekkor az U AU = < λ, λ 2,,λ > =: Λ dagoáls mátr főátlójába a sajátértékek szerepelek. A később vzsgálatok érdekébe tegük még fel, hog az A R mátr szmmetrks (a j = a j, mde (, j) depárra), és poztív deft (am azt jelet, hog az <A, > skalárs szorzat értéke, mde llvektortól külöböző R eseté poztív. Ez egeértékű azzal, hog az A mátr mde sajátértéke poztív. Ha tetszőleges R eseté em egatív a skalárs szorzat értéke, akkor a mátr poztív szemdeft.) Az egszerűség kedvéért állapodjk meg abba, hog a sajátértékek agság szert sorredbe a következők: 0 < λ λ λ, és a skálázást válasszk olaak, hog λ = lege. Ebbe az esetbe az { }, ( =, 2, ) sajátvektorok ortogoáls redszert alkotak, azaz <, j > = j (j a Koecker-féle delta szmbólm, értéke ha = j és 0 külöbe). Ismét em csorbítjk az általáosságot, ha feltesszük, hog a sajátvektorok ormáltak, azaz, ( =, 2,, ). Ebből az következk, hog az U R mátr ortogoáls, tehát U = U *, U verze megegezk a traszpoáltjával. Ebbe az esetbe a mátrok spektráls felbotására voatkozó tétel szert az A mátr dádok összegekét állítható elő, és hasoló áll az verz mátrra s [4]: A ; valamt: A (Itt * jelöl a két vektor dadks szorzatát, tehát azt méretű mátrot, mel mátr k-adk soráak j-edk eleme az vektor k-adk és j- edk koordátájáak szorzata!) Mátros írásmóddal A = U Λ U *, ahol a Λ dagoáls mátr főátlójába a sajátértékek va- 34

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI I. 35 ak. Ebbe az esetbe eg A = egeletredszer megoldása az alább alakba írható fel: (2.) λ A Tegük most fel, hog a mérés adatok hbával terheltek, zajosak : R mérés adatokkal redelkezük az R helett. Tegük fel, hog a hbakorlát, azaz, Eklídesz ormába. Az jobboldal eseté jelölje a megoldást. A spektráls előállítás felhaszálásával azt kapjk, hog (2.2) λ Becsüljük meg az eltérés ormáját! Mvel az ortogoaltás matt UU * = E, (E R az egségmátr), az adódk, hog ahol megállapodásk szert λ a legksebb sajátérték. Vezessük be a λ λ λ κ háadossal az A mátr kodícószámát, am tehát a mamáls és a mmáls sajátérték háadosa. Mt látható, a kodícószám határozza meg a dekovolúcó eredmééek abszolút hbáját. Ha a mérés adatok hbásak, akkor (2.3) κ κ Ez a becslés meglehetőse éles. Lege gas =, tehát a hba a legksebb sajátértékhez tartozó sajátvektor -szorosa, a sajátvektorok ormált volta matt ekkor teljesül, hog. Az ortogoaltásra hvatkozva azt kapjk, hog κ λ λ λ tehát κ. A hba κ-szorosára övekszk. A (2.3) becslés tehát em javítható. Másrészt, ha =, tehát a hba a legagobb sajátértékhez tartozó sajátvektor -szorosa, ebbe az esetbe s teljesül, akkor az előző godolatmeettel adódk, hog 2 2 2 * 2 * 2 * * * * 2,,,,, UEU U U U U U U U U U U

VÉDELMI ELEKTRONIKA λ λ λ vags ebbe az esetbe, tehát az abszolút hba em övekszk. A kodícószámak tehát fotos szerepe va a dekovolúcó végrehajtásáál. Ha κ értéke ag, akkor az 36 κ egelőtleség matt a megoldás hbája a mérés hba κ-szorosára s őhet, ag κ érték eseté a hba jeletős mértékű lehet! (Külöleges esetbe, mt példál a Hlbert-féle mátrokál, a kodícószám etrém ag érték s lehet [5]. A H = [h j ] Hlbert-mátr az az -edredű kvadratks mátr, melbe h j =. A H 0 R 0 0 j Hlbert-mátr esetébe példál κ 0 3 ). A fetek általáosítása s gaz, a hba ag sajátértékek eseté kevésbé erősödk, mt ks sajátértékek esetébe. Vzsgáljk most meg a szglárs mátr esetét. Eddg feltettük, hog mde sajátérték poztív. Most tegük fel, hog agság szert az első s db sajátérték zérs. A sajátértékek halmaza tehát {0, 0,,0,λ s, λ s,, λ }. Ekkor az A mátr N(A) magtere (tehát az R vektortér azo altere, amelet az A mátr a llvektorra képez), em trváls, tehát em csak a llvektort tartalmazza. Ebbe az esetbe közsmert az R = N(A) R(A) összefüggés, ahol R(A) az A leárs traszformácó képtere [4]. A megoldás alakja formálsa most (2.) helett az alább: s λ Megoldás akkor és csak akkor létezk, ha * = 0 ha > s. Ha smét fgelembe vesszük, hog az adatok zajosak, helett -t mérjük, akkor elsőkét tektsük azt a P projekcó operátort (P 2 = P), amel képez az vetületét az R(A) képtérre, majd becsüljük meg a megoldás hbáját. Ekkor (2.2) helett a következő becslést kapjk: s λ P

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI I. Mvel s eseté * P = *, ezért a korábbakak megfelelőe kapjk, hog λs a megoldás hbája. A modottakból vlágos, hog a hba em övekszk a magtérbe. Az abszolút hba ezek szert a legksebb em lla sajátérték által va meghatározva. Ha az A mátr κ kodícószáma ag, akkor az A = verz feladatot rosszl kodícoáltak evezzük. Az általk vzsgált véges dmezós probléma sohasem lehet rosszl ktűzött ( ll-posed ) a Hadamard-féle 3. szempot szert. Véges dmezóba gas a megoldás mdg foltoosa függ az adatoktól, de ag kodícószám eseté a probléma közel úg vselkedk, mtha a függés em lee foltoos. 3. Mátr ormája, a kodícószám általáosabb alakja Eg A R mátr ormáját az alább módo értelmezzük: A A sp 0 Ezzel egeértékű az A A egelőtleség. Ez másképpe fogalmazva azt jelet, hog ha teljesül az A M egelőtleség, akkor A M. Eklídesz ormába az A mátr ormája az alább: A λma A A Tehát a orma az A * A mátr mamáls sajátértékéek a égzetgöke. Specálsa, ha A szmmetrks mátr, akkor az egszerűbb A λma A egelőséget kapjk, mvel ekkor A-ak és traszpoáltjáak gaazok a sajátértéke, az A * A sajátértéke pedg az A sajátértékeek égzete. Az előző potba az abszolút hbáról latkoztk. Most az A ormájáak fogalmát haszálva becslést adk a relatív hbára voatkozólag. Tegük fel, hog A reglárs, továbbá 0 és a mérés hba, azaz = +. Az + -hoz tartozó megoldás lege +. Tehát A = és A( + ) = + valamt a leartás matt A =. Ekkor egrészt teljesül, hog A A, másrészt pedg A A. E két egelőtleség egbevetéséből azt kapjk, hog 37

VÉDELMI ELEKTRONIKA A A A A A Ebbe az általáosabb esetbe az A mátr kodícószámáak evezzük a κ = A A szorzatot. Ie következk, hog 38 (3.) κ am azt jelet, hog a megoldás relatív hbája a mérés relatív hbájáak κ-szorosára ővekedhet. Be lehet bzoíta, hog a kodícószám soha em lehet ksebb, mt, tehát κ, am azt jelet, hog a relatív hba em csökkehet. Vlágos, hog szmmetrks mátr esetébe λ κ A A ma λm gas ekkor A λma A, A λ A m. Ebbe az esetbe lvávaló, hog κ. Az általáos esetbe azoba csak a teljesül, hog λ κ A A ma λm tehát, a mamáls és mmáls sajátérték háadosa csak alsó korlát a kodícószámra voatkozólag. Tegük most fel, hog a mérés relatív hbája 0 k. Lege a kodícószám κ = 0. Ekkor 0 k, tehát = lgκ azo decmáls jegek száma, amelet elveszítük, ha hbás jobboldallal számolk. 4. A klasszks Va Cttert féle terácós algortms Az R = (R R m ) verz feladatra alkalmazzk elsőkét a Va Cttert-től származó alább eljárást [6]. Mt azt az. potba említettük, az R mátr általába em kvadratks (de ha a mérést úg hajtjk végre, hog m = lege, R akkor sem reglárs, és em s szmmetrks). Hog vertál lehesse a problémát, szorozzk meg az egelet mdkét oldalát balról az R * R m traszpoált mátrszal. Ekkor kapjk az (4.) R * R = R * Gass-féle ormálegeletet (R * R R ). Itt

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI I. az egütthatómátr már kvadratks, sőt szmmetrks és poztív szemdeft. (Ez dokolja, hog vzsgálatakba külö hagsúlt fektetük a szmmetrks, poztív szemdeft mátrokra.) Alkalmazzk az A = R * R R és az = R * egszerűsítő jelöléseket. Ezzel a megoldadó egeletredszer az A = alakot ölt. (A továbbakba helett -t írk, ez em okoz semmféle félreértést!) Az A = verz feladat általába rosszl kodícoált, íg ago érzéke a mérés hbára. Az alább algortms segítségével ola megoldást adhatk, amel kevésbé érzéke a hbára. Az A = egeletredszert (k + ) = B (k) + f alakú terácóval oldjk meg. Ha B függetle a k-tól ebbe az esetbe az terácót stacoársak evezzük, akkor a kovergeca szükséges és elégséges feltétele az, hog B spektrálsgarára, ρ(b) = ma λ(b) < teljesüljö. Az terácós formla az alább godolatmeettel adódk: Lege A = C D az A ola felbotása, melbe C reglárs. Ekkor C D = átredezésével C = D + adódk. Ha ezt megszorozzk balról C verzével, akkor az = C D + C egeletet kapjk. Vezessük be a B = C D és az f = C egszerűsítő jelöléseket. Íg éppe az terácóra alkalmas = B + f alakot kapjk. Közelebbről B = C (C A) = E C A, ahol E R az egségmátr. A C mátrot úg célszerű megválaszta, hog B ormája kcs lege, mert ekkor a kovergeca gors. A Va Cttert-től származó algortms eek az terácóak az alább formája: (4.2) (k + ) = (E μ A) (k) + μ A μ valós számot reglarzácós téezőek evezzük. Ebbe az esetbe tehát B = E μ A. Most az a feladat, hog a μ paraméter értékét úg válasszk meg, hog az terácó kovergáljo. Lege az terácó kezdőértéke (0) = μ. Ekkor az eges terácós lépések eredmée a következő: () = (0) + B (0) = μ + Bμ (2) = () + B () = μ + Bμ + B 2 μ = μ( + B + B 2 ) = μ(e + B + B 2 ) (k) = μ( + B + B 2 + + B k ) = μ(e + B + B 2 + + B k ) Az A mátr sajátértéke legeek λ, λ 2,,λ. Ekkor az E μ A mátr sajátértéke lvávalóa a következők: μ λ, μ λ 2,, μ λ. Vzsgáljk meg, m a k-adk terácós lépésbe kapott (k) közelítés határértéke ha k : 39

VÉDELMI ELEKTRONIKA 40 2 k k E B B... B... μ B (k) lm μ k k 0 A megoldást tehát eg mátr-hatvásor állítja elő. Általáosa gaz, hog a c k k A k0 mátr-hatvásor kovergecájáak szükséges és elégséges feltétele, hog az A mátr λ sajátértéke mdaa a c k k z k0 hatvásor kovergecakörébe esek. Ebbe az esetbe a valós hatvásorokra voatkozó összegképletek érvéesek maradak mátrokra voatkozólag s. Mvel a k z k0 hatvásor kovergecahalmaza a z < körlap, a mátr-hatvásor kovergecájáak szükséges és elégséges feltétele, hog μ λ < teljesüljö mde =, 2,, eseté. Mvel k z z, z k0 ha z <, ezért kapjk, hog ha a sajátértékekre teljesülek az előbb feltételek, akkor (k) k lm μ B μe B μμa A k k 0 Az terácóval tehát skerül a dekovolúcós problémát megolda. Most már csak az a kérdés, hog mle feltételek eseté teljesülek az μ λ <, ( =, 2,, ) feltételek. Először vzsgáljk az általáos esetet, tegük fel, hog a sajátértékek között kompleek s előfordlhatak. Lege λ = a + j b. Ekkor μ λ = ( μ a ) j μb. Eg komple szám abszolút értékéek égzetét úg kapjk, hog a komple számot szorozzk a kojgáltjával. Íg adódk, hog μ λ 2 = [( μ a ) j μb ] [ ( μ a ) + j μb ] = μ 2 (a 2 + b 2 ) 2μa +. Ez akkor k-

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI I. sebb, mt mde -re, ha teljesül, hog μ[μ(a 2 + b 2 ) 2a ] < 0, ( =, 2,, ). Ez az egelőtleség μ-re voatkozólag a következő megszorítást jelet: 2a 0 < μ <, ( =, 2,, ), 2 2 a b ha a > 0. Ha most smét fgelembe vesszük azt a tét, hog A szmmetrks és poztív szemdeft, akkor ebből következőe mde sajátérték valós, íg b = 0, másrészt λ = a 0. Ha még az s gaz, hog A poztív deft, akkor ez at jelet, hog teljesüle kell mde -re a 2 (4.3) 0 < μ < λ egelőtleségek. Lege λ ma az A mátr legagobb sajátértéke. Az előbb db egelőtleség egszerre teljesül az alább alakba: 0 < μ < 2. λ ma Ez pedg poztív szemdeft esetbe s elégséges feltétel a kovergecához. A mamáls sajátértékre voatkozólag pedg adhatk eg becslést. Az A = λ ( =, 2,, ) sajátérték egeletbe az R sajátvektor legagobb kompoese lege az j R valós szám. A sajátérték egelet j-edk kompoese ekkor a alakot ölt, ahoa A jp p λ j p (4.4) A jp p p λ j következk. Mvel j a fetek szert a legagobb kompoes, ha a szmmába mde p -t j -re cserélük, akkor az alább egelőtleséget kapjk: λ A jp p ( =, 2,, ). A jobboldal összeg az A mátr j-edk sorába található elemek abszolút értékeek összege. A λ ma sajátértéket, mt eze 4

42 VÉDELMI ELEKTRONIKA sorösszegek mammát határozzk meg. Eek alapjá választjk meg a μ reglarzácós paramétert. A Va Cttert algortms hátráa, hog az alkalmazása sorá egatív megoldások s adódak. Eek a problémáak a kküszöbölése érdekébe módosította Gold a fet algortmst az alább módo [7]. 5. A Gold-féle dekovolúcós algortms Módosítsk a Va Cttert algortmst a (4.4) összefüggésre támaszkodva úg, hog a k-adk terácós lépésbe a k (5.) μ λ k A jp p p defícóval választk relaácós paramétert. Ekkor természetese teljesül (4.3), tehát a kovergeca bztosítva va. A (4.2) terácós egeletet hozzk (k + ) = (k) + μ( A (k) ) alakra. Eek az egeletek az -edk koordátájába μ helére helettesítsük (5.) jobb oldalát: k k k k A jp p k A p jp p p Ha tt a zárójelet felbotjk és összevok, akkor a következő terácós formlát kapjk: (5.2) k k k A jp p p Ha az terácó kezdőértékéül az (0) = R vektort választjk, és az (5.2) terácós formlát alkalmazzk, akkor kapjk a Gold-féle dekovolúcós eljárást [7]. Nag előe a Gold-féle dekovolúcóak a Va Cttert algortmshoz képest, hog poztív szemdeft, azaz mde megoldás csak em egatív kompoesekből áll [8]. Ez lvá alapvető követelmé a megoldással szembe, hsze az R vektor

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI I. léegébe eg γ-spektrm, a egatív megoldásokak fzkalag cs értelme. A Gold féle terácós algortms a következőképpe működk a gakorlatba: a) Meghatározzk az terácó lladk lépésébe a megoldást: (0) = R, b) Meghatározzk az terácós lépések számát (L); vag előírk eg feltételt arra voatkozólag, hog az terácó melk lépésbe érje véget. (Ha példál adott > 0 eseté teljesül, hog L (L) ε, akkor az (L) megoldást fogadjk el.), c) A Gold-algortms alkalmazásával meghatározzk az (L) megoldást, d) Mvel a Gold-féle terácó a lladk terácótól függő stabls em egatív megoldáshoz vezet ezért az terácó hatékoságát fokozhatjk azzal ( boosted terato ), ha új kezdőértékkét az (L) megoldás kompoeseek p-edk hatváát választjk rögzített p > 0-ra: (0) = ( (L) ) p, e) Meghatározzk, hog há terácós sorozatot hajtk végre (K), és vsszatérük a c) pothoz. Végül a c) és d) potokat alkalmazzk egmás tá K-szor. 43

VÉDELMI ELEKTRONIKA Felhaszált rodalom. Bódzs Dées: Atommagsgárzások méréstechká. Tpote. 2006 2. L. Bochet: A Comparatve std of decovolto methods for gamma-ra spectra. Astroom & Astrophscs Spplemet Seres. Ser. 3, pp67-83. 3. http://www.sams.fo/talks/verse/iverse-vogel.pdf (2007.2.7.) 4. Rózsa Pál: Leárs algebra és alkalmazása. Takövkadó. 976 5. Stoa Gsbert Takó Gala: Nmerks módszerek, Tpote, 2006 6. P.H. Va Cttert, Z. Phs. 69 (93) pp298. 7. M. Madel, M. Morhac, J. Klma, L. Krpa, V. Matosek, J.H. Hamlto, A.V. Ramaa: Decomposto of cotm gamma-ra spectra sg stheszed respose matr. Nclear Istrmets ad Methods Phscs Research A 56 (2004) pp72-83. 8. M. Morhac: Decovolto methods ad ther applcatos the aalss of gamma-ra spectra. Nclear Istrmets ad Methods Phscs Research A 559 (2006) pp9-23. 44