Tudományos Diákköri Dolgozat

Tudományos Diákköri Dolgozat GÁSPÁR MERSE ELŽD VÉGTELEN ELLENÁLLÁSHÁLÓZATOK SZÁMÍTÁSA Témavezet k: Cserti József Dávid Gyula Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest,. október 3.

Tartalomjegyzék El szó 3. Általános hálózatok számítása 6.. Jelölések, alapegyenletek..................... 6.. Megoldás Green-operátorral....................3. Analógia a véletlen bolyongással................. 7. Szabályos rácsok számítása 6.. Egydimenziós lánc........................ 6.. Négyzetrács............................ 3.3. Kockarács............................. 37.4. Háromszögrács.......................... 38.5. Hatszögrács............................ 44.6. Henger............................... 49 3. Perturbált rácsok számítása 53 3.. Perturbáció egy élen....................... 53 3.. Többszörös perturbáció...................... 56 3.3. Általános perturbáció....................... 64 Kitekintés 68 Irodalomjegyzék 69

El szó A négyzetrács és egyéb szabályos rácsok, mint végtelen ellenálláshálózatok számítása klasszikus probléma. Mind a rács diszkrét Laplace-operátorának Green-függvényével való megoldás, mind a rácson való véletlen bolyongással való analógia jól ismert és sokat tanulmányozott témakör, már csak azért is, mert a zika csomó más területén felmerülnek ezzel ekvivalens problémák. Ilyen például a szilárdtestzikában az elektron sávszerkezetének kötött közelítése vagy a fononok leírása, klasszikus zikában a rugós rendszerek rezgései. De az elméleti leíráson kívül számos gyakorlati alkalmazhatósága is van a területnek. Az apparátus alkalmas dielektrikumok kisülésének modellezésére, vagy geológiai mérések megtervezéséhez és kiértékeléséhez (olajkutatás). Ez a dolgozat egyrészt egy összefoglaló jelleg m, mely lényegretör precízitással vezeti be az olvasót a témakörbe, ugyanakkor számos új eredményt tartalmaz, különös tekintettel az egzakt numerikus számításokra. A dolgozat következetesen a véletlen bolyongással való analógiára épül, ez megfelel alapot biztosít a precíz matematikai felépítéshez. Ugyanakkor látni fogjuk, hogy ez a tárgyalásmód ismertsége ellenére is új eredményeket tud szolgáltatni, ill. már meglév eredmények más, kézenfekv bb szemszögb l való tárgyalását teszi lehet vé, melyek segítenek mélyebb összefüggéseiben megérteni ket. Mindemellett igyekeztünk minnél több módszert alkalmazni a bizonyítások során, hogy az olvasó betekintést nyerhessen az ezen a területen használatos trükkökr l, és a megértést mindenhol ábrák segítik. Bár a téma meglehet sen sokat tárgyalt, jócskán akadnak még megválaszolatlan kérdések. Ezenkívül az idevágó zikus irodalom a meglév eredményeket néha igencsak pongyola módon tárgyalja, és ennek a m nek nem titkolt céljai közé tartozik a precíz, ugyanakkor logikus tárgyalás pótlása, ezért többek között az irodalomban szerepl hiányos vagy hiányzó bizonyítások itt közölt helyes formái is az eredményekhez tartoznak. Megjegyezzük, hogy éppen amiatt, hogy az irodalom a precizitás terén ilyen hiányos, nem kevés munkával járt a dolgozat elkészítése, és ezen belül a szükséges bizonyítások kitalálása. Az els fejezetben általános hálózatokat tárgyalunk, felírjuk a diszkrét Laplace-operátor általános alakját, megmutatjuk, hogy a megoldás ekvivalens a Laplace-operátor jobboldali inverzének (ún. Green-operátor) számításával, és foglalkozunk ennek egzisztenciájával és unicitásával. A fejezet végén a véletlen bolyongással való analógiát fejtjük ki, és megvizsgáljuk, hogy különféle valószín ségi analógiák milyen általánosságban használhatók, amire az irodalomban nem szoktak kitérni. A második fejezetben szabályos rácsokra alkalmazzuk a leírt módszereket. A fejezet els részében demonstráljuk, hogy az egydimenziós lánc triviális 3

esete milyen nehéz tud lenni, ha általános módszerekkel nyúlunk hozzá. Az ilyen precíz bizonyítások ugyancsak hiányoznak az irodalomból. Ezután a rend kedvéért rátérünk a négyzetrács számítására, mely azonban kimerít en van tárgyalva az irodalomban [] [4] [6] [7], majd folytatjuk a többi szabályos ráccsal, melyek ugyancsak részletesen vannak tárgyalva [4] [7], de érdekes módon nem ezzel a módszerrel, pedig látni fogjuk, hogy például a hatszög és a henger esetében lényegesen könnyebben érünk célhoz, mint más módon, továbbá az így kapott integrálformulák ez utóbbi két esetben az irodalomban szerepl alakoktól eltér (esetenként egyszer bb) alakban szolgáltatják ugyanazt az eredményt. Amik azonban e fejezetnek kiemelked en fontos eredményei, azok a háromszögre és hatszögre kapott egzakt numerikus számítások eredményei rekurziós formulák alapján, melyek a harmadik fejezet alkalmazhatóságához is alapot szolgáltatnak. Végül a harmadik fejezetben perturbált rácsok számításával foglalkozunk. Tárgyaljuk a perturbációk speciális fajtáit, és a teljesen általános esetet, ami ilyen formában hiányzik az irodalomból. Az elméleti tárgyalás mellett alkalmazzuk a módszert szabályos rácsokra, ugyancsak nagy gyelmet fordítva az egzakt numerikus számításokra. Többek között kiszámoljuk a diszlokációdipólt négyzetrácson, ami a dolgozatnak további kiemelked eredménye. Köszönetnyilvánítás Nem fejezhetem be az el szót anélkül, hogy köszönetet ne mondanék témavezet imnek: Cserti Józsefnek és Dávid Gyulának az érdekes témafelvetésért, a dolgozat megírása közbeni értékes segítségeikért, tanácsaikért és a kézirat végs formájának átolvasásáért; Wágner Ferenc doktorandusznak a LATEX-ben és nyújtott segítségéért; továbbá Dr. Telcs András adjunktusnak, Kocsis Bence, Pálvölgyi Dömötör, Cziegler István, Vörös László, Zábrádi Gergely hallgatóknak és Nagy Katalin, Szabó Jácint doktoranduszoknak kisebbnagyobb segítségeikért. És végül, de nem utolsó sorban köszönetemet szeretném kifejezni szüleimnek: Deák Katalin Ágnesnek és Gáspár Gyulának, hogy engedtek id t szakítani a dolgozat megírására. Budapest,. október 3. Gáspár Merse El d 4

A dolgozatban használt matematikai jelölések minden létezik és vagy üres halmaz N természetes számok halmaza N pozitív egészek halmaza Z egészek halmaza R valós számok halmaza C komplex számok halmaza Card(H) a H halmaz kardinális száma η az η valószín ségi változó várható értéke µ n R n feletti Lebesgue-mérték R n standard halmazgy r R n felett L p F (T, R, µ) T-n értelmezett, F-be ható p-edik hatványon µ-integrálható függvények halmaza µ,p µ pozitív mérték által generált félnorma Res α (f) az f függvény α pontbeli reziduuma alsó egészrész fels egészrész

. Általános hálózatok számítása Ebben a fejezetben megszámlálhatóan végtelen sok ellenállásból álló hálózatok általános számítási módszereit tárgyaljuk. El ször a Green-módszert, majd a véletlen bolyongással való analógiát fejtjük ki. Általános esetben egy ilyen hálózat egy végtelen gráal írható le, melynek csúcsai a hálózat csomópontjai, élei pedig a csomópontokat nem tartalmazó összeköttetések. A gráf éleihez ellenállásértékeket rendelünk, melyek a megfelel összeköttetések ellenállásai. Feltehetjük, hogy a gráf összefügg, mert ellenkez esetben két különálló rendszerrel lenne dolgunk. És azt is feltehetjük, hogy nem tartalmaz többszörös élt, sem pedig hurokélt, hiszen az el bbi esetben a párhuzamosan kötött ellenállásokat az ered jükkel helyettesíthetjük, míg az utóbbi esetben a hurokél egyszer en elhagyható, mert nem folyik rajta áram. Továbbá nem foglalkozunk érdemben az olyan esetekkel, amikor az ellenállás polaritásfügg, mint például egy diódánál. Meg fogjuk mutatni, hogy a probléma megoldása (vagyis az ellenállások, feszültségek és áramok számítása) ekvivalens a hálózat csúcsainak indexhalmazán ható ún. diszkrét Laplace-operátor (végtelen) mátrixának invertálásával. Ezt, a szóban forgó inverz mátrixot fogjuk Green-operátornak nevezni, és az unicitására és egzisztenciájára vonatkozó állításokat fogunk bizonyítani. Végül a fejezet utolsó részében rámutatunk a véletlen bolyongással való analógiára, és segítségével megkonstruáljuk a Green-operátort valószín ségszámítási módszereket alkalmazva. Látni fogjuk, hogy a hálózatok a véletlen bolyongás szempontjából két csoportra oszthatók aszerint, hogy a visszatérés valószín sége -e, és a két esetben a Green-operátor számítása is eltérhet egymástól... Jelölések, alapegyenletek Indexeljük az ellenálláshálózat csomópontjait, azaz a gráf csúcsait a H indexhalmazból való indexekkel, ahol H megszámlálhatóan végtelen számosságú, vagyis N-el ekvipotens. Legyen k H indexre H k azon indexek halamaza, melyek k-val szomszédosak, azaz H k := {x H az x és k index csúcsok között van él}. A szomszédos csúcspárok halmazára bevezetjük a H jelölést, vagyis H := {k} H k. k H 6

Feltesszük, hogy k H-ra H k véges és H k, tehát Card(H k ) N. Egyezzünk meg abban, hogy ezentúl minden index a H indexhalmazból való lesz, hacsak külön nem jelezzük, és minden mennyiséget SI mértékegységben számolunk. Továbbá vezessük be az ábra alapján a következ jelöléseket. r ab a I k k I kl l b m. ábra. V m r kl legyen a k és l index csúcsok közötti élhez rendelt ellenállás értéke abban az esetben, ha ezeket a csúcsokat él köti össze. Ellenkez esetben r kl :=. Így r kl deniálva van k, l H esetén, és deníciónk megfelel annak az elvárásnak, hogy nem létez élekhez tartozó összeköttetéseken ne follyon áram, hiszen a végtelen ellenálláson sem folyik. El zetes feltevésünk, és a deníció értelmében r kl = r lk és r kk =. γ kl := r kl a megfelel élhez tartozó vezet képesség. r kl = megengedett, és ekkor γ kl =, de r kl = -t kizárjuk, hiszen ez a megfelel két csúcspont összevonásával ekvivalens, ami pedig a gráf szerkezetének megváltozását jelentené, vagyis csak olyan hálózatokkal foglalkozunk, melyekben nincsenek rövidzárak. γ kl = γ lk és γ kk =. I k legyen a k index csomópontba kiv lr l betáplált áram el jeles értéke. Nem baj, ha a hálózatba befolyó áramok el jeles összege nem, mert az áram elfolyhat a végtelenbe. V k legyen a k index csomópont potenciálja. I kl legyen a k index csomópont felöl az l index felé folyó áram el jeles értéke, ha a fenti indexekhez tartozó csúcsok között halad él, azaz (k, l) H. Ellenkez esetben I kl :=. Deníció szerint I kl = I lk és I kk =. 7

R kl legyen a k és l index csomópontok közötti ered ellenállás. r kl = r lk miatt R kl = R lk és persze R kk = triviális módon. A továbbiakban hasznosnak fog bizonyulni az alábbi két jelölés bevezetése: { kl :=, ha (k, l) H, ha (.) (k, l) / H z k := kl = Card(H k ) N. (.) Vegyük észre, hogy deníció szerint kl = lk és kk =. Sokszor az a feladat, hogy a hálózatba csak ponton vezetünk be és ki I áramot. Legyen ez a két pont rendre a és b index. Ekkor ahol δ a Kronecker-delta. Ha bevezetjük az I k = I (δ ka δ kb ), (.3) F k ab := δ ak δ bk = F k ba (.4) jelölést, akkor I k = I Fab. k (.5) Ebben az esetben az a és b pontok közötti ered ellenállás kifejezhet I -al és a potenciálértékekkel a két pontban, nevezetesen R ab = V a V b I. (.6) Ugyancsak gyakori eset, hogy a hálózat csupa azonos, R ellenállásból épül fel, ezért erre bevezetünk egy elnevezést... Denció. Egy hálózatot R-homogénnek nevezünk, ha k, l H-ra γ kl = R kl. (.7) δ xy = {, ha x = y, ha x y. 8

Most térjünk rá az alapegyenletekre, melyek természetesen a Kirchhoés Ohm-törvények lesznek. Az Ohm-törvény alakját kombinálva az V x V y = I xy r xy (x, y) H -re (.8) I k = I kl = k I kl k H-ra (.9) Kirchho-féle csomóponti törvénnyel, kapjuk az Ohm-törvénnyel kombinált Kirchho-egyenletet: V k V l r kl I k = = (V k V l )γ kl k H-ra, (.) ahol természetesen H helyett H k -ra is összegezhetnénk, de a kés bbiekben kényelmesebb lesz, ha nem hagyjuk el a zérus tagokat. Abban a speciális esetben, amikor a hálózat R-homogén, (.7) alapján R I k = ahol bevezettük az kl (V k V l ) = (z k δ kl kl )V l = L kl V l, (.) L kl = kl z k δ kl = km δ ml δ kl km = Fmk l km (.) m H m H m H jelölést. L tehát egy mátrix, az ún. diszkrét Laplace-operátor, amely megszámlálhatóan végtelen elemet tartalmaz. Megjegyezzük, hogy a fent szerepl összegek bár végtelen tagúak, de mindig csak véges tag különbözik -tól. Vegyük észre, hogy deniciójából következ en L szimmetrikus mátrix, azaz L kl = L lk. Azonban L nemcsak ebben a speciális esetben deniálható. Szem z el tt tartva az (.) deniáló egyenl séget, és azt, hogy R = k, Pm H L γ km a következ képpen általánosítható (.) alapján: I k = V k γ kl V l γ kl = γ km δ kl V l γ kl V l = m H = ( ) δ kl γ km γ kl V l, m H Az irodalomban ezt szokták a rács diszkrét Laplace-operátorának nevezni. 9

amib l L kl = z k m H γ km = m H F l mk ( γ km z k s H γ ks ) δ kl γ km γ kl = m H γ kl z k m H γ δ kl z k = km (.3) denicióval (ami persze konzisztens a korábbival) kapjuk (.) általánosítását: z k m H γ km I k = L kl V l. (.4) Ne felejtsük el, hogy az általános esetben L nem feltétlenül szimmetrikus, vagyis L kl L lk... Állítás. Ha az (I, V ) R H R H és (I, V ) R H R H párokra, teljes l az (.4) egyenlet, továbbá λ R tetsz leges, akkor I +I és V +V, továbbá αi és αv is kielégítik páronként az (.4) egyenletet. Bizonyítás: Minden V R H vektorra L klv k létezik, hiszen az L végtelen mátrix minden oszlopában csak véges sok elem nem zérus, ezért jól értelmezett a ( ) ˆL : R H R H ; (V k ) k H L kl V l k H leképezés, aminek a linearitásából triviálisan következik az állítás.,.. Megoldás Green-operátorral Feladatunk lényegében a potenciál megadása a rendszerbe befolyó adott küls áramok hatására, hiszen a csomópontok potenciálértékeib l az éleken folyó áramok és az ered ellenállások már mind számíthatók. Természetesen a megoldáshoz egy tetsz leges konstanst hozzáadva ugyancsak megoldást kapunk, mert az egyenletekben csak potenciálkülönbségek szerepelnek, de ett l eltekintve sem állíthatjuk, hogy a megoldás egyértelm. Ha ez egy valóságos zikai probléma lenne, akkor garantálhatnánk, hogy csak egy zikailag releváns megoldás létezik, de mivel végtelen ellenálláshálózatok a valóságban nem léteznek, ezért erre most nem hivatkozhatunk. Ha elfogadjuk, hogy a rendszer egyedül az (.4) egyenletnek kell eleget tegyen, ami magába foglalja a Kirchho- és Ohm-törvényeket, akkor már

egy egészen egyszer példán is bemutatható, hogy több lényegében különböz (nemcsak konstansban eltér ) megoldás létezik. Vegyünk például egy egy egydimenziós homogén ellenállásláncot, azaz megszámlálhatóan végtelen sok azonos érték ellenállást sorbakötve. A lánc egyetlen pontjában se vezessünk be áramot, azaz k H-ra legyen I k =. Ezesetben nyilván triviális megoldás, hogy sehol nem folyik áram, és minden pont azonos potenciálú. Ugyanakkor az is megoldás, hogy tetsz leges érték áram folyik keresztül a láncon az egyik végtelen fel l a másik felé, lásd a. ábrán. Ekkor a potenciál lineárisan változik -t l + -ig. Ilyen tipusú megoldás I I I I. ábra. más hálózatokban is el fordulhat. Szemléletesen arról van szó, hogy a végtelen hálózat nemcsak azzal jár, hogy az áram elfolyhat a végtelenbe, de azzal is, hogy a végtelenb l jöhet áram, és így áram folyhat keresztül a rendszeren anélkül, hogy áramot vezetnénk a rendszerbe, hiszen a hálózat végtelen távoli pontjai nem csomópontok. Természetesen felállíthatnánk valamilyen kritériumot, amely valamilyen zikai elvre hivatkozva kizárná ezeket a megoldásokat, de ez egy kicsit ellentmondásos lenne, hiszen ez nem egy valóságos zikai rendszer. Maradjunk ezért egyel re tiszta matematikai leírásnál. Nézzük konkrétan, hogy miben különbözhetnek az egyes megoldások... Állítás. Ha (V k ) k H megoldás és C R H, akkor V + C akkor, és csak akkor megoldás, ha L kl C l = (.5) teljesül. Bizonyítás: Legyen (V k ) k H megoldás, ekkor (.4) miatt (V k + C k ) k H akkor, és csak akkor megoldás, ha L kl V l = L kl (V l + C l ), amib l ˆL linearitása 3 miatt következik (.5). Láthatjuk, hogy konstans C k mindig megfelel 4, ugyanis a konstans kiemelhet a szumma elé, és L speciális alakja miatt teljesíti a L kl = (.6) 3Lásd az (.) állítás bizonyításánál. 4Ez felel meg annak, hogy a potenciált tetsz leges ponthoz viszonyíthatjuk.

egyenl séget, hiszen: L kl = ( ) γkl z k m H γ δ kl z k = km γ kl m H γ z k z k =. km Ha tehát találunk egy (V k ) k H megoldást, akkor utánna minden megoldást megkapunk (V k + C k ) k H alakban, ahol (C k ) k H teljesíti az (.5) összefüggést Ṁegoldást pedig könnyen találhatunk, ha sikerül a Laplace-operátor mátrixát invertálnunk. S t látni fogjuk, hogy elegend jobboldali inverznek léteznie. Tegyük fel, hogy L-nek G a jobboldali inverze, vagyis δ km = L kl G lm. (.7) Megjegyezzük, hogy a fenti szumma tetsz leges G esetén értelmes, mert adott k-ra és m-re csak véges sok tagja nem zérus. Az itt szerepl G mátrixot nevezzük Green-operátornak. G egzisztenciájával egyel re nem foglalkozunk, ugyanis a minket érdekl problémákban egyszer en meg fogunk adni konkrétan ilyen G mátrixot, és minden, amit G-r l állítunk, következni fog az (.7) összefüggésb l. Természetesen G nem egyértelm, de tetsz leges G segítségével el fogunk tudni állítani megoldást. Megjegyezzük, hogy abban az esetben, ha k H-ra σ k : N H bijekció, hogy l N G kσ k (l)i σk (l) abszolút konvergens, akkor l N G kσ k (l)i σk (l) feltétlen konvergens, azaz minden átrendezése is konvergens, tehát jogos a G kli l jelölés. Ez teljesül például akkor, ha (I k ) k H csak véges sok helyen nem zérus..3. Állítás. Ha k H-ra σ k : N H bijekció, hogy l N G kσ k (l)i σk (l) abszolút konvergens, akkor V k = teljesíti az (.4) egyenletet. Bizonyítás: z k m H γ km L kl V l = s H = s H = s H z l z l m H γ lm z l m H γ lm m H γ δ ks I s = lm G kl I l (.8) L kl G ls I s = L kl G ls I s = z k m H γ km I k.

.4. Állítás. Ha G jobboldali inverze L-nek, akkor G + D, akkor és csak akkor jobboldali inverze L-nek, ha L kl D lm =. (.9) Bizonyítás: Ha G jobboldali inverze L-nek, akkor (.7) alapján G+D akkor, és csak akkor jobboldali inverze L-nek, ha L kl ( G lm + D lm ) = L kl D lm, ami pedig ekvivalens az (.9) egyenlettel. Vegyük észre, hogy D lm = A m C l + B m (.) tetsz leges A, B és az (.5) egyenletet kielégít C vektorok mellett teljesíti az (.9) egyenletet. Azt már látjuk, hogy minden Green-operátor el tud állítani egy megoldást, de vajon minden megoldáshoz létezik-e Greenoperátor? Megmutatjuk, hogy bizonyos feltételek mellett (.) segítségével el állítható minden megoldáshoz egy Green-operátor... Denció. Nevezzünk egy hálózatot c-homogénnek, ha k H-ra z k konstans érték. Pm H γ km.5. Állítás. Ha a hálózat c-homogén és {k H I k } véges és nem üres, továbbá létezik L-nek jobboldali inverze, akkor minden megoldáshoz létezik olyan jobboldali inverz, amely el állítja a szóban forgó megoldást az (.8) alakban. Bizonyítás: Legyen G inverz, ekkor {k H I k } végessége miatt az (.8) egyenletben szerepl szumma értelmes, tehát G el állít egy V megoldást (.8) alakban. Legyen V tetsz leges megoldás, ekkor V = V + C, ahol C teljesíti az (.5) egyenletet. Szeretnénk olyan G létezését igazolni, mely el állítja V -t (.8) alakban. Keressük G -t G + D alakban, ahol D kl = A l C k, és A tetsz leges. Azt már említettük (.) kapcsán, hogy ezesetben D teljesíteni fogja az (.9) egyenletet, ezért G + D is jobboldali inverz lesz, és {k H I k } végessége miatt G + D el állít egy megoldást (.8) alakban. Mivel {k H I k }, 3

ezért A megválasztható úgy, hogy Pm H A li l = γ km z k ekkor V k = z k m H γ km G kl I l = V k + z k m H γ km legyen k H-ra, és A l C k I l = V k + C k. Érdemes megjegyezni, hogyha L szimmetrikus, akkor az el z állítás feltételei között szerepl c-homogenitás teljesül. Legyen ugyanis k, l H és k l. Ebben az esetben δ kl =, ezért L kl = L lk azzal ekvivalens, hogy γ kl z k m H γ = km γ lk z l m H γ lm z ami viszont γ szimmetrikussága miatt éppen azt jelenti, hogy k állandó, speciálisan az R-homogén esetben éppen R. Pm H γ km Az.5. állítás szerint a szóban forgó feltételek mellett, minden megoldáshoz tartozik Green-operátor, ha létezik legalább egy Green-operátor. Mármost felmerül a kérdés, hogyha a Green-operátor el állítja a megoldásokat, akkor nem tudunk-e el állítani egy Green-operátort megoldások segítségével. Megmutatjuk, hogy homogén hálózatokra ez valóban kivitelezhet. Vezessük be az I (a) jelölést arra az R H -beli vektorra, amire I (a) k = δ ka k H-ra..6. Állítás. Legyen a hálózat c-homogén és legyen a H-ra (V (a) k ) k H (I (a) k ) k H megoldása. 5 ) (Pm H Ekkor (G ka ) (k,a) H = γ lm z l V (a) k Greenoperátor. (k,a) H Bizonyítás: Ehhez csak annyit kell megmutatni, hogy G jobboldali inverze L-nek. (.4) felhasználásával: L lk G ka = k H m H γ lm z l k H L lk V (a) k, = I (a) k = δ ka. A megoldás (.8) kifejezése a hozzá tartozó feltételek mellett az (.7) speciális esetben a következ alakot ölti: V k = R G kl I l. (.) 5Vigyázzunk arra, hogy az ilyen megoldások létezése a feltételek között szerepel! 4

A továbbiakban G-b l származtatható mennyiségeket fogunk vizsgálni, ezért feltesszük, hogy G kli l létezik, vagyis jogosan fogjuk használni az (.8) és az (.) kifejezéseket. Els ként számoljuk ki tetsz leges élen az átfolyó áramot. Ha (x, y) H, akkor I xy = (V x V y )γ xy, de vegyük észre, hogy γ xy és I xy deníciójából következ en ez a képlet x, y H-ra megfelel, tehát I xy = ( = γ xy z x m H γ xm ( z x = γ xy Fxy k k H G xl I l m H γ xm ( G xl z k m H γ km z y m H γ ym z y ) G yl I l γ xy = ) m H γ G yl I l = ym G kl I l ), ami R-homogén hálózatokra, (x, y) H esetén I xy = k H alakú. Hogyha a küls áramok az (.5) alakot öltik, akkor I xy = I γ xy ahol bevezettük az k H S xyab = k H z k m H γ km (.) F k xyg kl I l (.3) F k xyg kl F l ab = I γ xy S xyab, (.4) z k m H γ km F k xyg kl F l ab (.5) jelölést, és ez az R-homogén esetben az alábbi egyszer alakot ölti: S xyab = R k H F k xyg kl F l ab. (.6) Ha G szimmetrikus, akkor az S négyindexes mátrix rendelkezik a következ szimmetriával: S xyab = S abxy, (.7) ugyanis S xyab = R FxyG k kl Fab l = R FabG l lk Fxy k = S abxy. k H 5 k H

Ezenkívül S minden esetben teljesíti az F antiszimmetrikusságából adódó alábbi összefüggéseket is: S xyab = S yxab = S xyba = S yxba. (.8) S segítségével igen egyszer en adódik a hálózat tetsz leges a és b pontja közötti ered ellenállás hiszen az általános esetben R ab = V a V b I = I S abab I = S abab = R (G aa G ab G ba + G bb ), (.9) ami a szimmetrikus esetben a még egyszer bb R ab = R (G aa G ab + G bb ) (.3) alakot ölti. Láthatjuk, hogy S-b l számolhatók az ered ellenállások és az éleken folyó áramok. Hasznos lehet azonban felismerni, hogy (.7) esetén ez fordítva is m ködik, azaz S kiszámítható az ered ellenállásokból: S xyab = (S xyab + S abxy ) = = R (G xa G ya G xb + G yb + G ax G ay G bx + G by ) = = R ((G xa + G ax G xx G aa ) (G xb + G bx G xx G bb ) + (G ya + G ay G yy G aa ) + (G yb + G by G yy G bb )) = = (R xa R xb R ya + R yb ) = F k xyr kl Fab. l k H (.3) Tehát I xy = I (R xa R xb R ya + R yb ), (.3) R ha (x, y) H. Így az áram a megfelel ered ellenállásokból számítható, amiket pedig kiszámíthatunk, vagy akár meg is mérhetünk..3. Analógia a véletlen bolyongással Az alábbiakban megmutatjuk, hogy érdekes analógia van az ellenálláshálózatok számítása és a véletlen bolyongás között. Kés bb azt is látni fogjuk, hogy ez a felismerés nemcsak érdekes, de gyümölcsöz, s nemtriviális összefüggéseket fog szolgáltatni. 6

Képzeljünk el egy véletlen bolyongást az ellenálláshálózaton, a következ képpen: a bolyongó minden egyes lépésben a hálózat valamelyik csúcspontjáról egy szomszédos csúcspontba léphet, mégpedig a két csúcspontot összeköt élhez rendelt ellenállás reciprokával arányos valószín séggel. Vezessük be a következ jelöléseket: c x := γ xy =, (.33) r y H y H xy k p xy := γ xy. (.34) c x p xy lesz annak a valószín sége, hogyha a véletlen bolyongás során az x csúcsban állunk akkor a következ lépésben az y csúcsba jutunk. Ez teljesíteni fogja azt a normálási feltételt, hogy valószín séggel valamelyik csúcsba mindig ellépünk, ugyanis y H p xy = γ xy =. c x y H Vegyük észre, hogy a normálás miatt p xy p yx, ha c x c y. Legyen p x (a) annak a valószín sége, hogy a véletlen bolyongó x-b l indulva eljut a-ba, és q x (a) annak a valószín sége, hogy a véletlen bolyongó x-b l indulva soha nem jut el a-ba. Ekkor természetesen q x (a) = p (a) x, és p (a) a = minden x, a H esetén..7. Állítás. a H-ra I valós, hogy (p (a) x ) x H megoldása (I δ al ) - nek. Bizonyítás: Meg kell mutatnunk, hogy (p (a) l ) és (I δ ak ) k H teljesítik az (.4) egyenletet k H-ra. Az (.4) mindkét oldalát z k -val leosztva k a esetén, azt az ekvivalens alakot kapjuk, hogy = (γ kl /c k δ kl )p (a) l = p (a) k p kl p (a) l, ami nyilvánvalóan teljesül, mert p (a) k akkor (.4) felírható p klp (a) l alakban. Ha k = a, I = p (a) a p al p (a) c l a alakú, ami I = c a ( p alp (a) l ) választással kielégíthet. És I, mert p alp (a) l annak a valószín sége, hogy a-ból indulva visszatérünk a-ba, tehát p alp (a) l. 7

.8. Állítás. a H-ra I valós, hogy (q x (a) ) x H megoldása (I δ al ) - nak. Bizonyítás: Az el z állítás triviális következményér l van szó, hiszen az ott szerepl I megfelel. ( p (a) x ) x H ugyanis megoldása ( I δ al ) -nak, (q x (a) ) x H pedig ett l csak egy konstansban különbözik. Hogyha a fenti I semmilyen a H-ra nem zérus, vagyis minden pontra teljesül, hogy a visszatérés valószín sége nem, akkor az.6. állítás szerint c-homogén hálózatokra a fenti valószín ségek segítségével megadhatunk egy Green-operátort. A megfelel Green-operátor konkrét alakja ezesetben: G xy = c c y p (y) x k H p ykq (y) k z ahol c = k valamely k H-ra. Mivel k-t akár y-nak is választhatjuk, Pm H γ km ezért G-t az egyszer bb G xy = p (y) x z y k H p ykq (y) k, (.35) alakban is írhatjuk. Sajnálatos módon a fenti módszer nem mindig alkalmazható. Ismeretes, hogy például a kockarácson való véletlen bolyongásnál a visszatérés valószín sége kisebb -nél, de a négyzetrácson való bolyongásra, vagy az egydimenziós láncon való bolyongásra. A következ állítás megmutatja, hogy a véletlen bolyongás szemszögéb l valóban két csoportba sorolhatók a végtelen hálózatok. Legyen p (a) = p alp (a) l hogy a-ból indulva a véletlen bolyongó újra visszatér a-ba. 6, vagyis annak a valószín sége,.9. Állítás. Egy megszámlálhatóan végtelen, összefügg hálózat esetén vagy x, y H, x y indexre (p (y) x = ) (p (x) = ), vagy x, y H, x y indexre (p (y) x < ) (p (x) < ). Bizonyítás: Ha x, y H, x y indexre p (y) x = (ill. p (y) x < ), akkor z H indexre p (z) = (ill. p (z) < ). Ez egyszer en következik p (z) denició szerinti, k H p xkp (x) k alakjából, és abból, hogy k H p xk =. Így viszont elegend azt bizonyítanunk, hogy a, b H, a b esetén, ha p (b) a =, akkor x, y H, x y indexre p (y) x =. Ha p (b) a = p alp (b) l =, akkor p al = miatt l H a -ra p (b) l =. Ugyanakkor itt b tetsz leges, ezért a hálózat összefügg sége miatt azt kapjuk, hogy 6Ez tehát különbözik p (a) a -tól, ami denició szerint. 8

x H-ra p (b) x =. Továbbá x H p bx = miatt p (b) = x H p bxp (b) x =, és ebb l az is következik, hogy annak a valószín sége is, hogy a véletlen bolyongó végtelen sokszor visszatér b-be. Mivel viszont b-be eljutni csakis a szomszédain keresztül lehet, ezért az is valószín ség, hogy a véletlen bolyongó végtelen sokszor érinti a H b halmaz pontjait. Legyen l H b, megmutatjuk, hogy p (l) b =, vagyis annak a valószín sége, hogy a végtelen sok visszatérés során egyszer sem l-en keresztül térünk vissza. Legyen p a valószín sége annak, hogy egy b-b l b-be való visszatérés l-en keresztül történik. Mivel a b l b közvetlen út véges valószín ség, ezért p >. Így -p< annak a valószín sége, hogy egy visszatérés nem l-en keresztül történik, tehát valóban annak a valószín sége, hogy ez végtelen sokszor megismétl dik. Ezekután viszont a korábbiakhoz teljesen hasonlóan bizonyítható, hogy l H b esetén x H-ra p (l) x =. És l H b -re alkalmazhatók a b-re kimondott fenti következtetések, majd azok szomszédaira is, s így végül a hálózat összefügg sége miatt kapjuk a bizonyítandót..3. Denció. Azon hálózatokat, melyekre x H, hogy p (x) =, nevezzük tömött hálózatoknak, míg a többi hálózatra használjuk a laza elnevezést. Tehát a Green-operátor (.35)-féle felírása csak laza hálózatoknál alkalmas. Konkrét számításokban hasznos lesz p (a) x kiszámításához bevezetni a következ valószín ségeket. Legyen n N-re és x, y H-ra P n (xy) annak a valószín sége, hogy a véletlen bolyongó x-b l indulva az n. lépésben y-ban tartózkodik. Ekkor az x-b l induló bolyongó a-n való áthaladásai számának várható értéke P n (xa). (.36) n= Viszont ugyanezt a várható értéket laza hálózatok esetén úgy is írhatjuk (a várható érték denícióját közvetlenül alkalmazva), hogy n= x p (a)n ( p (a) ) = p(a) x p np (a) (a), (.37) amib l egyrészt következik, hogy az (.36) sor konvergens, másrészt x-et a- nak választva amit átrendezve kapjuk, hogy p = (a) n= P (aa) n, p (a) = n= P n (aa) 9, (.38)

és ezzel p x (a) -t kifejezve: p (a) x = n= P n (xa) n= P n (aa). (.39) Tömött hálózatokra a fentiek nem alkalmazhatók, ezért más analógiát kell keresni. Jelölje a, b, x H, a b indexre p (ab) x annak a valószín ségét, hogy a véletlen bolyongás során az x index pontból elindulva eljutunk az a index pontba úgy, hogy el tte nem érintjük b-t. Ekkor természetesen p (ab) a = és p (ab) b =, továbbá a tömöttség miatt p (ab) x = p (ba) x a, b, x H-ra... Állítás. a, b H, a b-re I, I > valósak, hogy (p (ab) x ) x H megoldása (I δ al I δ bl ) -nak. Bizonyítás: Meg kell mutatnunk, hogy (p (ab) l ) és (I δ ak I δ bk ) k H teljesítik az (.4) egyenletet k H-ra. Az (.4) mindkét oldalát z k -val leosztva k a, b esetén, azt az ekvivalens alakot kapjuk, hogy = (γ kl /c k δ kl )p (ab) l = p (ab) k p kl p (ab) l, ami nyilvánvalóan teljesül, mert p (ab) k akkor (.4) felírható p klp (ab) l alakban. Ha k = a, I = p (ab) a p al p (ab) c l a alakú, ami I = c a ( p alp (ab) l ) választással kielégíthet, és I > teljesül, hiszen ellenkez esetben l H a indexre p (ab) l = lenne, ami az összefügg ség miatt lehetetlen, hiszen a b út, s emiatt m H a, hogy m b út, ami a-t nem tartalmazza, azaz p (ab) m <. Ha k = b, akkor (.4) I = p (ab) c b p bl p (ab) l b alakú, ami I = c b miatt ugyancsak pozitív. p blp (ab) l választással kielégíthet, és ez az összefügg ség.4. Denció. Egy hálózatot szabályosnak nevezünk, ha k, l H indexre φ : H H grázomorzmus 7, hogy l = φ(k) és k = φ(l). 7Olyan φ : H H leképezés, hogy x, y H-ra γ xy = γ φ(x)φ(y).

A fenti deníció pongyolán fogalmazva azt jelenti, hogy egy csúcsból egy másik ugyanúgy néz ki, mint a másikból az egyik, azaz minden, csak a gráf szerkezetét l függ 8 kétindexes mennyiség az indexcserére nézve invariáns, vagyis szimmetrikus. Másrészt a denícióból az is következik, hogy minden csúcsot minden csúcsba átvisz egy grázomorzmus, azaz a kizárólag egy indext l függ mennyiségek konstansok, vagyis a hálózat úgymond homogén, vagyis például c-homogén. Az.. állításban szerepl I -r l és I -r l mellesleg belátható, hogy megegyeznek, és emiatt az árameloszlás (I Fab k ) k H alakú, ahol I > valós. A bizonyítás azonban meglehet sen hosszadalmas, és a kés bbiekben (a Greenoperátor megkonstruálásánál) már amúgy sem lesz szükségünk ekkora általánosságra, ezért megelégszünk azzal, hogy szabályos hálózat esetén I = c a ( = c b p al p (ab) l p bl p (ab) l = I ) = c a ( p al ( p (ba) l ) ) = c a p al p (ba) l = valóban. p (ab) c kiszámolása a gyakorlatban megintcsak a P n (xy) valószín ségekkel fog történni. A c-b l induló véletlen bolyongó b-n való áthaladásainak a számát vonjuk ki az a-n való áthaladások számából, és vizsgáljuk ennek a várható értékét. Mivel mindkét szóban forgó szám végtelen, ezért a kivonás véges lépés után értend, majd a lépések számával végtelenhez kell tartani. Viszont ebb l még egyáltalán nem következik triviális módon, hogy a várható érték létezik, ha azonban létezik, akkor felírható n= (P (ca) n P (cb) n ) (.4) alakban, és fordítva, ha a fenti sornak létezik általánosított határértéke 9, akkor a várható érték létezik. Másrészt esetszétválasztást alkalmazva aszerint, hogy a bolyongó a-t vagy b-t éri el el sz r, a várható értéket felírhatjuk úgy is, hogy P n (bb) ), (.4) p (ab) c n= (P (aa) n P n (ab) ) + p (ba) c n= (P (ba) n amib l a p (ba) c = p (ab) c összefüggésre való tekintettel p (ab) c kifejezhet. Ha az alább szerepl sorok konvergensek, és a nevez nem zérus, akkor azt kapjuk, 8Az indexelést l független. 9Azaz ± is megengedett határértéknek.