Feuerbach kör tanítása dinamikus programok segítségével Buzogány Ágota IV. Matematika-Angol Fejezetek a matematika tanításából Kovács Zoltán 2004-12-10
2 A Feuerbach körnek többféle elnevezése is van, többek között nevezik Euler féle körnek, valamint kilenc pontos körnek is. Azért szokták kilenc pontos körnek nevezni mivel kilenc nevezetes pontot tartalmaz. Melyek ezek a nevezetes pontok? Ezen a körön vannak a háromszög oldalfelező pontjai, a magasságok talppontjai, valamint a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezési pontjai. Felmerül a kérdés, hogy mi is ennek a körnek a középpontja, melyre hamarosan választ is fogunk kapni. Azért tartom jónak a dinamikus geometriai programokat, mivel pontos szerkesztéseket tudunk vele végezni, és így ezen feladat bemutatásánál is biztosak lehetünk benne, hogy az ábra tényleg tartalmazza mind a kilenc pontot. A másik pozitivum, hogy a bizonyítás lépéseit is lépésről lépésre be tudjuk mutatni a diákoknak, így könnyebbé tesszük a megértés folyamatát. Először is a kör középpontját szeretnénk meghatározni, és ehhez felhasználjuk az 1. ábrát. Ez az ábra tartalmazza a háromszöget(abc ), a magasságpontot (M), a körülírt kör középpontját (O), valamint a magasságpontot és a csúcsokat összekötő szakaszok felezőpontjait (A 3,B 3,C 3 ). Az A 3 B 3 C 3 -et Euler féle hármoszögnek nevezzük és mivel tudjuk, hogy három pont egyértelműen meghatároz egy kört, ezért az A 3 B 3 C 3 köré írt köre a Feuerbach kör. De mi is a középpontja a körnek? Tudjuk, hogy a A 3, B 3,C 3 felezőpontok, így az A 3 B 3 C 3 középpontosan hasonló a ABC -el, ahol a hasonlóság aránya ½, míg a hasonlóság középpontja M. Ezek alapján megkapjuk a Feuerbach kör középpontját (F), ami nem más mint az OM szakasz felezőpontja, mivel M a hasonlóság középpontja, O pedig az ABC körülírt körének a középpontja. A hasonlósági arány alapján pedig a Feuerbach kör sugara az eredeti háromszög köré írt kör sugarának(r) a fele (R/2).
3 Az eddigiek alapján tudjuk, hogy a Feuerbach kör középpontja az F pont, sugara R/2 és tartalmazza az A 3, B 3,C 3 pontokat, a továbbiakban pedig a többi pontról szeretnénk belátni, hogy ezen a körön vannak. A további bizonyítás többféleképpen is végrehajtható, például vektorok segítségével, de nem ilyen módon, hanem a síkgeometria alapvető elemeivel szeretném bemutatni a bizonyítást. Első lépésként végezzük el a teljes szerkesztést, hogy az ábrát fel tudjuk majd használni a bizonyításnál. Szeretném ismertetni a szerkesztési lépéseket: i) vegyünk fel egy tetszőleges háromszöget (A,B,C) ii) szerkesszük meg a háromszög körülírt körének a középpontját (O) iii) vegyük fel a háromszög oldalfelező pontjait (A 1, B 1, C 1 ) iv) szerkesszük meg a háromszög magasságpontját, valamint a magasságok talppontjait (M, A 2, B 2, C 2 ) v) vegyük fel a magasságpont és a csúcsok által meghatározott szakaszok felezőpontjait (A 3, B 3,C 3 ) vi) szerkeszzük meg a kör középpontját és a Feuerbach kört(f) Ezek a lépések bizonyos alapvető síkgeometriai ismeretek segítségével elvégezhetők, így különböző korosztálynak tálalhatjuk, csak fontos, hogy figyelembe vegyük az addig tanult tananyagot, témaköröket. Szerintem a diákok nagytöbbsége szeret a számítógép előtt ülni és el tudom képzelni, hogy ha érdekes dolgokkal felketjük az érdeklődésüket, akkor állandó használóivá válhatnak a dinamikus geometriai programoknak, mivel időt takaríthatnak meg, valamint a szerkesztés újrakezdése sem olyan bonyolult, mint a körzővel és vonalzóval történő szerkesztések esetén. Tehát a fenti szerkesztési lépések elvégzése után a következő ábrát kapjuk:
4 A megszerkesztett ábra alapján szeretném felvázolni a feltételeket melyekből azt szeretném kihozni, hogy az A 1, B 1, C 1,A 2, B 2, C 2, A 3, B 3, C 3 pontok egy körön vannak, és ez a kör nem más mint a fentebb ismertetett Feuerbach kör, mivel az A 3, B 3, C 3 pontok egyértelműen meghatározzák ezt a kört. Feltételek a következők: AA 2 BC, BB 2 AC, CC 2 AB, BA 1 A 1 C, AB 1 B 1 C, AC 1 C 1 B, A 3 M AA 3, B 3 M BB 3, C 3 M CC 3. A bizonyítást kétféleképpen végezhetjük el a technikai megoldás szempontjából: felhasználhatjuk a már előre elkészített ábránkat, ha megfelelő módon ismertetni tudjuk azt diákjainkkal, vagy minden lépést felvázolunk a táblára, amely didaktikai szempontból előnyösebb, mivel így a diák is megfelelően dokumentált lesz olyan szempontból, hogy ábrái megjelennek a füzetben, így maradandó dolgot alkot. A feltételekből kiindulva megállapíthatjuk, hogy A 1 B 1 C 1 A 2 négyszög körbeírható, mert egyenlő szárú trapéz. Azt, hogy az A 1 B 1 C 1 A 2 négyszög egyenlő szárú trapéz a következő módon látjuk be: 1) A 1 B 1 C 1 A 2 trapéz, mivel A 1 A 2 B 1 C 1 (középvonal tulajdonságai miatt); 2) A 1 B 1 C 1 A 2 trapéz egyenlő szárú, mivel A 1 C 1 =AC/2 (A 1 C 1 középvonal), CB 1 =AB 1 =AC/2 (B 1 az AC oldal felezőpontja), az AA 2 C derékszögű háromszög az A 2 csúcsban, így A 2 B 1 =CB 1 =AB 1 =AC/2 (a AA 2 C köré írt kör sugara); tehát A 1 C 1 =A 2 B 1, azaz a trapéz egyenlő szárú.(lásd 4.ábra) Hasonlóképpen beláthatjuk, hogy az A 1 B 1 C 1 B 2 és az A 1 B 1 C 1 C 2 négyszögek is körbeírhatók, így az A 1, B 1, C 1, A 2, B 2, C 2 pontok egy körön vannak.(p)
5 Utolsó lépésként, már csak azt kell belátni, hogy az előző hat pont közül bármely három egy körön van az A 3, B 3, C 3 pontokkal. Ezen feltételezés igazolásához újra körbeírható négyszögeket keresünk, melyhez segítséget próbálok nyújtani az 5. ábrával. Tehát az ábrából a diák le tudja olvasni, hogy melyik négyszögről van is szó és analóg módon azonosítani tudja a másik két négyszöget is. Fontos, hogy diákjainkat bevonjuk akár a bizonyításba is, mivel így érzik majd, hogy van beleszólásuk az órába és nem csak mint bábuk szerepelnek. Megállapítható, hogy az A 1 B 1 C 1 A 3, A 1 B 1 C 1 B 3, valamint az A 1 B 1 C 1 C 3 négyszögek húrnégyszögek. Bizonyítani szeretném az állítást az ábrán is kiemelt A 1 B 1 C 1 A 3 négyszögre: 1) A 3 M AA 3 és AC 1 C 1 B A 3 C 1 BM 2) A 3 C 1 BM és BM AC A 3 C 1 AC 3) A 3 C 1 AC és A 1 C 1 AC A 3 C 1 A 1 C 1 azaz A 1 C 1 A 3 szög derékszög, valamint hasonlóképpen az A 1 B 1 A 3 szög is derékszög, így az A 1 B 1 C 1 A 3 négyszög két szemközti szögeinek összege 180, azaz az A 1 B 1 C 1 A 3 négyszög húrnégyszög. Analóg módon belátható a többi négyszögről is, tehát az A 1, B 1, C 1, A 3, B 3, C 3 pontok egy körön vannak.(q) A (P) és a (Q) állítások alapján a nevezetes kilenc pont egy körön található és az nem más mint a dolgozat első felében ismertetett ún. Feuerbach kör. Tehát valóban beláttuk, hogy
6 bármely háromszög oldalfelező pontjai, magasságainak talppontjai, valamint a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felelzőpontjai egy körön vannak, melynek középpontja a magasságpontot a háromszög köré írt kör középpontjával összekötő szakasz felezőpontja, sugara pedig a körül írt kör sugarának fele. Fontos hogy diákjaink érdeklődését felkeltsük és persze ezt az érdeklődést ne hagyjuk lankadni, amiben szerintem nagy szerepet játszanak a dinamikus geometriai programok, melyet minden tanárnak javaslok, mivel megkönnyíti a tanítást és nem fordul elő többé rosszul sikerült ábra, így időt tudunk vele megtakarítani.