ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA

ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA VERSENY 99 0 KÉSZÜLT A ZIPERNOWSKY KÁROLY MŰSZAKI SZAKKÖZÉPISKOLA FENNÁLLÁSÁNAK 00. ÉVFORDULÓJA ALKALMÁBÓL

A FELADATSOROKAT ÖSSZEÁLLÍTOTTA: GOMBOCZ ERNŐ SZERKESZTETTE: KISS SZILVIA DLUSZTUS PÉTER SZABÓ PÉTER Pécs 0

ELŐSZÓ Köszöntöm a Kedves Olvasót, aki kezébe vette kiadványunkat, mellyel segíteni próbáljuk a versenyzők felkészülését a Zipernowsky Matematika Kupára. A versenyt 976-ban hívta életre Németh József tanár úr, azzal a céllal, hogy a megye matematika iránt érdeklődő kilencedikes és tizedikes (akkor még elsős és másodikos) diákjai versenyen mérhessék össze tudásukat, ezzel fokozva motiváltságukat a tantárgy iránt. A feladatgyűjteményünk 99-tól 0-ig tartalmazza a feladatsorokat, mivel a Baranya Megyei Pedagógiai Intézet támogatásával, Gombocz Ernő tanár úr szerkesztésében 99-ben megjelent könyvben megtalálhatók a feladatsorok 976-tól 99-ig. A feladatsorokat Gombocz Ernő tanár úr állította össze, akinek kitartó, és a versenyek iránti alázatos munkáját ezúttal is szeretném megköszönni. Szintén köszönetet szeretnék mondani Kiss Szilvia és Szabó Péter kollégáimnak, valamint a C osztály tanulóinak, akik segítséget nyújtottak a kiadvány elkészüléséhez. A kiadványt szeretném a 00-ben fiatalon elhunyt kiváló kolléganőm Balás Marianna tanárnő emlékének ajánlani, aki hosszú évekig volt szervezője a Zipernowsky Matematika Kupának. A következő versenyekhez a tanulóknak jó felkészülést, míg tanár kollégáimnak jó felkészítést kívánok! Pécsett, 0 május Dlusztus Péter munkaközösség-vezető ZKMSZ

BALÁS MARIANNA KOLLÉGANŐNK EMLÉKÉRE Csupa-csupa fura hang sóhajt még, mégis szól a csend. Csupa-csupa csoda kép pattan szét, mégis érints meg. Ami lehetetlen, nem szállhat el, mint egy álomkép, ami hihetetlen, nem múlhat el, mint az ébrenlét. (Presser Gábor A Padlás) 4

Tartalomjegyzék Balás Marianna kolléganőnk emlékére...4 9. évfolyam...6 99...6 99...7 99...8 99...9 99...0 99... 999... 000...4 00...5 00...6 00...7 00...8 00...9 00...0 00... 00... 009... 00...4 0...5 0...6 0. évfolyam...8 99...8 99...9 99...0 99... 99... 99... 999...4 000...5 00...6 00...7 00...8 00...9 00...40 00...4 00...4 00...4 009...44 00...45 0...46 0...47 5

9. ÉVFOLYAM 99. Számítsuk ki az 5abc { a b [abc 4ab a b ]} kifejezés értékét, ha a = 0,5; b = 0,5; c = 0,75! Hozzuk legegyszerűbb alakra a következő kifejezést: a b c a b c a b c a b c! 9. 0. Alakítsuk szorzattá a p 6p q pq 8q kifejezést! Végezzük el a kijelölt műveleteket a változók lehetséges értékeinél: b a b a :! a b a ab a b b ab Két szomszédos páratlan szám négyzetének különbsége 6 Melyik ez a két szám? 5n 8n Milyen n pozitív egész számra lesz az törtkifejezés értéke is pozitív egész szám? n Oldjuk meg x-re a racionális számok halmazán a p x = p x egyenletet! (A p paraméter racionális szám.) Oldjuk meg a racionális számok halmazán az x = x egyenletet! 4a 9 egyenlőtlenséget! Oldjuk meg a valós számok halmazán a a 4 Melyek azok az egész számok, amelyekre teljesül, hogy? x 5 9 I II IV. V. x 984? x 99 Milyen egész értékeket vehet fel az a, ha tudjuk, hogy az alábbi egyenletrendszer megoldásaként adódó számok pozitívak? x y = x 6y = a Három iskola tanulói egy horgászversenyen halat fogtak összesen. Az A iskola tagjai átlagosan, a B tanulói átlagosan 5, míg a C iskola tanuló átlagosan 4 halat fogtak. Hány fő indult iskolánkét, ha összesen 6 tanuló vett részt a horgászversenyen? Egy háromszög belsejében lévő P ból az oldalakra bocsájtott merőlegesek az oldalakat rend re a; a; b; b; c; c szakaszokra bontják. Bizonyítsd be, hogy a b c = a b c! Mely egész x-re egész szám a következő kifejezés: A = Egy n n N élhosszúságú kockát pirosra festettünk, majd szétvágtuk a lapjaival párhuzamos síkokkal egységnyi élű kis kockákra. Ezután kiderült, hogy azon kis kockákból, amelyeknek osan lapja piros, hétszer annyi van, mint azokból, amelyeknek osan piros lapja van. Hány olyan kis kocka van, amelyeknek egyetlen lapja sem piros? 6

99 0 x függvényt! x 5 Ábrázold az f : x. Számítsd ki az a = 7 6 7 6 kifejezés os számértékét! Két egymást követő természetes szám négyzetének a különbsége Melyik ez a két szám? Mekkora szöget zár be a háromszög két belső szögfelezője, ha a harmadik belső szöge 85? Igazold, hogy ha a > b > c > 0, akkor a b c ab ac bc! Egy derékszögű háromszög két befogója 9 és egység hosszú. Számítsd ki a háromszögbe írható kör sugarát! Mi az 99 számjegye annak a számnak, amit úgy kapunk, hogy -től 994-ig leírjuk egymás mellé a pozitív egész számokat? Ha összeszoroznád -től 994-ig a pozitív egész számokat, akkor hány nullára végződne a szorzat? (Állításodat indokold) a b! a b b a Bizonyítsd be, ha a + b > 0, valamint a 0 és b 0, akkor I Az egymástól 4 km-re lévő A és B városokból egyszerre indul egymással szembe két gépkocsi. Találkozásuk után 6 perc múlva az A városból indult gépkocsi a B városba, a másik gépkocsi pedig a találkozásuk után 4 perc múlva az A városba érkezik. Mekkora a két gépkocsi sebessége, ha a gépkocsik egyenletes sebességgel haladtak? 6 II Az ABC hegyesszögű háromszögben az A csúcsnál lévő szög kétszerese a B csúcsnál lévő szögnek. A C csúcsból a BC oldalra állított a merőleges az AB oldalegyenest Dben metszi. Bizonyítsd be, hogy BD = AC! IV. Egy farmon több ló van, mint kacsa. A tehenek száma harmada a lovak és a kacsák együttes számának. A kacskák és a lovak fejei és lábai számának összege 00. Hány ló, kacsa és tehén van a farmon? 4 7

99 Két szomszédos páratlan szám négyzetének különbsége Melyik ez a két szám? a a a! a 4 a. Egyszerűsítsd a következő törtet: Oldd meg az alábbi egyenletrendszert, ha x; y és z az ismeretlenek! x y = a x z = 4a y z = 5a Oldd meg az egyenletet: x x = 5! Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB és CD. A trapéz BD átlója és AD oldala egyenlő hosszú. BCD szög 0 -os és a CBD szög 0 -os. Mekkora az ADB szög? Egy derékszögű háromszög két befogója 9 és egység hosszú. Számítsd ki a háromszögbe írható kör sugarát! Milyen n pozitív egész szám esetén lesz az 5n 8n kifejezés értéke pozitív en gész szám? Ha összeszoroznád -től 994-ig a pozitív egész számokat, akkor hány nullára végződne a szorzat? (Állításodat indokold!) a b b c a c 6! c a b Bizonyítsuk be, hogy ha a; b és c pozitív számok, akkor 6 I Ha egy háromjegyű szám jegyeit fordított sorrendben írjuk, és az eredetiből kivonjuk, a különbség 500 és 600 között lesz. A középső jegy -mal kisebb a másik kettő összegénél. A százasok helyén álló jegy négyzete 4-gyel nagyobb a második jegy 9-szeresénél. Melyik ez a szám? II Az ABC hegyesszögű háromszögben az A csúcsnál lévő szög kétszerese a B csúcsnál lévő szögnek. A C csúcsból a BC oldalra állított merőleges az AB oldalegyenest D-ben metszi. Bizonyítsd be, hogy BD = AC! IV. Egy osztály tanulói körmérkőzéses asztalitenisz-bajnokságot rendeztek. Már elkészült a sorsolás, amikor újabb jelentkezők nevezését fogadták el. Így a mérkőzések száma -mal több, az eredeti nevezések szerinti mérkőzésszámok majdnem kétszerese lesz. Hányan neveztek először, és hányan később? 4 8

99 x x függvényt! Ábrázold az f : x. Egy háromszög két oldala 6 és 6 egység hosszúak. A 6 egység hosszú oldalhoz tartozó súlyvonal 0 egység. Mekkora a háromszög területe? Oldd meg a valós számok halmazán az x egyenlőtlenséget! Egy rombusz átlói 4 és 48 egység hosszúak. Mekkora a rombusz magassága? Két szám összege 995,5; arányuk Hozd a legegyszerűbb alakra, és add meg a kifejezés értelmezési tartományát: x 6x x 6! x 4x :. Melyik ez a két szám? 5 Oldd meg a pozitív egész számok halmazán az x y = 996 egyenletet! 4 4 Egy háromszög a; b és c oldalaira igaz, hogy a b c = b a c a háromszög derékszögű vagy egyenlő szárú!. Igazold, hogy 4 I Három természetes szám szorzata 79800. Az első számot 5-tel, a másodikat 7-tel, a harmadikat 9-cel szorozva ugyanazt a számot kapjuk. Melyik ez a három szám? 7 Egy egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magassága 0, a szárhoz tartozó magasság Mekkora a háromszögbe és a háromszög köré írható kör sugara? II Egy lóversenyen három lóra lehet fogadni: ha az első ló nyeri a versenyt, akkor a rátett összeg kétszeresét, ha a második nyer, akkor az erre tett összeg négyszeresét, ha a harmadik ló fut be elsőnek, akkor az erre tett összeg nyolcszorosát kapják a fogadók. Mekkora összeget kell tenni egy-egy lóra, hogy bármelyik is fut be elsőnek, 000 Ft nyeresége legyen a fogadónak? IV. Bizonyítsd be, hogy bármely derékszögű háromszögben a beírt kör átfogón lévő érintési ja két olyan részre osztja az átfogót, amelyek szorzata egyenlő a háromszög területével! 9

99. 5 Számítsa ki a kifejezés os értékét:! Egy szabályos háromszög területe 99800 Mekkora a beírható kör sugarának os értéke? x 997 függvény értelmezési tartományát! x 997 Határozza meg az f : x Mely egész x-re egész a kifejezés: Melyek azok a pozitív egész számok, melyeket 6-tal osztva 4 a maradék, 0-szal osztva pedig 5 a maradék? Oldd meg az egész számok halmazán az x y xy = 996 egyenletet! Egy téglatest egy csúcsba futó éleinek az összege 0 egység. Ha a téglatest hosszát egységgel csökkentjük, a szélességét ugyanennyivel növeljük, és a magasságát megkétszerezzük, kockát kapunk. Mekkora a kocka éle? Három pozitív prímszám szorzata összegük ötszörösével egyenlő. Melyik ez a három prímszám? x 995? x 4 Legyenek a; b és c pozitív számok. Igazoljuk, hogy ab ac bc 8abc! 8 I Egy háromszög oldalaira igaz, hogy c a b c = b a. Igazoljuk, hogy a háb a romszög egyenlő szárú vagy derékszögű! II Mely valós x; y számpárokra igaz az 5x y y = xy y egyenlőség? IV. Egy kör két merőleges húrja a és b, illetve c és d hosszúságú darabokra osztja egymást. Mekkora a kör sugara, ha a b c d = 0? 0

99. Három egymás után következő pozitív páros szám összege 99 Melyek ezek a számok? Összeszoroztunk 998 darab egész számot. A szorzat páros vagy páratlan? Válaszodat indokold! Határozd meg azt a legkisebb pozitív egész számot, amelyben a számjegyek összege 998! függvény értelmezési tartományát! x 998 Határozd meg az f : x Ha x Egy 0 egység sugarú körhöz egy külső ból 4 egység hosszú érintőszakaszok húzhatók. Mekkora az érintési okat összekötő húr hossza? Egy egyenlő szárú háromszög alapja 0 egység, a hozzá tartozó magasság 0 egység. Mekkora a beírható kör sugara? 4 Igazold, hogy az a a kifejezés osztható 4-gyel! 4 998 = akkor mennyi az értéke az x 998 összegnek? x x Egy üzemben egy termék előállításával 6 munkás foglalkozik: heti termelésük 680 db. A heti termelést 0%-kal növelni akarják, ennek érdekében újítások bevezetésével egy termék előállítása idejét 4 percről 7,5 percre csökkentik. A munkások száma azonban 6 főről 4 főre csökken. Teljesíthető-e a megemelt terv változatlan munkaidő alatt, feltételezve, hogy minden munkás azonos teljesítménnyel dolgozik? 7 Határozd meg az x és y prímszámokat, ha x x x y y y = 9! II András, Béla és Csaba társasjátékot játszanak. A játék előtt zsetonjaik számának aránya 7:6: A játék végén az arány 6:5:4 lesz. Hány zsetonjuk volt külön-külön a játék előtt, illetve utána, ha egyikük zsetont nyert? IV. Mekkorák annak a háromszögnek a szögei, amelyben a három magasság összege a beírt kör sugarának a kilencszerese? I

999. Az a paraméter mely értékénél nincs gyöke a következő egyenletrendszernek? ax 5y = 9 x y = 5. Határozzuk meg a értékét úgy, hogy a következő egyenletrendszernek egyetlen megoldása legyen: x y = 5 x y = 4 x y = a 4x 7 Oldd meg a következő egyenlőtlenséget x 0! Az AB szakasz hossza 5,6 m. Határozzuk meg AB-t : 5 arányban osztó és AB felezőja távolságát! Bizonyítsuk be, hogy a mellékelt háromszögben M a magasság. Két párhuzamost egy harmadik egyenes metsz. A belső szögek közül az egyik derék- 4 szög 5 -öd része. Mekkora szögben metszi ennek a szögnek a szögfelezője a másik párhuzamos egyenest? Egy lineáris függvény grafikonját látod az ábrán. (A két tengelyen az egységek nem egyenlők!) Írd le értelmezési tartományát, értékkészletét és hozzárendezési szabályát! Ábrázold a következő függvényt: x x x!

I Miklós a fiával és Péter a fiával kimentek horgászni. Miklós ugyanannyi halat fogott, mint a fia, Péter háromszor annyit, mint a fia. Összesen 5 halat fogtak. Miklós elmondta, hogy fiát Gergelynek hívják. Hogy hívják Péter fiát?(állításod indokold!) 7 Egy egyenlő oldalú háromszög belsejében vegyél fel egy tetszőleges ot. Bizonyítsd be, hogy a ból az oldalakra állított merőleges szakaszok összege nem függ a megválasztásától! II Az ABC háromszög A csúcsából induló szögfelezője a BC oldalt A -ban metszi. Legyen ABC, ABA, ACA háromszög köré írt körének középja rendre O; O; O. Bizonyítsd be, hogy OOO háromszög egyenlő szárú! Mi a feltétele annak, hogy ez a háromszög egyenlő oldalú legyen? IV. Négy házaspár együtt 44 üveg sört fogyasztott egy nyári napon. A férjek közül csak Balog ivott ugyanannyit, mint felesége. Kovács kétszer annyit, mint Kovácsné, Nagy háromszor annyit, mint Nagyné és Kis négyszer annyit, mint Kisné. Anna üveggel, Boriska üveggel, Cili 4 üveggel és Dóra 5 üveggel fogyasztott a sörből. Kinek ki a felesége?

000.. Határozd meg azt a legkisebb természetes számot, amelyben a számjegyek összege 000. Határozd meg az f x = számok halmazán! 000 függvény értelmezési tartományát a valós 000 x Egy kocka éleit négy egységgel növelve a felszíne 480 egységgel növekszik. Mekkora az eredeti kocka éle? Oldd meg az egész számok halmazán a Mely n pozitív egész számra lesz a 000 0 egyenlőtlenséget! x 999 x 000 00n 000n 999 tört értéke is pozitív n egész? Egy 000 egység élű kocka mindegyik csúcsát levágjuk egy-egy olyan síkkal, amely az éleket a csúcstól egység távolságra metszi. Hány lapja, csúcsa és éle lesz a maradéktestnek? Melyik az a négyjegyű pozitív egész szám, amellyel a 6404-at osztva a maradék 4, a 860-t osztva a maradék? Egy háromszög oldalaira igaz, hogy a a c b bc = a b ab b c ac c. Igazold, hogy a háromszög derékszögű! Mi lesz az utolsó számjegye a 000 7000 összegnek? I Határozzuk meg az a:b:c arányt, ha 5a 4b 6c : 4a 5b 7c : 6a 5b 4c = : 7 :8! II Egy természetes szám hatodik hatványának számjegyei nagyság szerint rendezve a következők: 0; ; ; 4; 4; 7; 8; 8; 9. Melyik ez a szám? 7 IV. Legyenek a; b és c valamely háromszög oldalai, T pedig ugyanennek a háromszögnek a területe. Bizonyítsd be, hogy a b c 4 T! 4

00 Oldd meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! x x 4 x 5 = 4 9 6. Egy szabályos háromszög magassága 00. Mekkora a beírt és a köré írt körök sugarainak az aránya? Oldd meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! x x x 5 x 50x 5 = 0 Három egymás után következő pozitív egész szám szorzata -szer akkora, mint az összegük. Melyek ezek a számok? Határozd meg az f x = számok halmazán! függvény értelmezési tartományát a valós x 00x Oldd meg a pozitív egész számok halmazán az xy(x + y) + = 00 egyenletet! Számítsd ki a kifejezés os értékét: Melyek azok az a egész paraméterek, amelyekre a 4x y = 0 és az ax + y = egyenletekből álló egyenletrendszer gyökeinek összege: x + y > 5? 4 7 6 7 6! I Igazold, hogy a b c a 4b c egyenlőtlenség igaz, ha a; b és c egy háromszög oldalai! Egy háromszög oldalainak hossza ; 4 és 5 egység. Mekkora annak a körnek a sugara, amelynek középja a 4 egység hosszú oldalon van, és a kör érinti a háromszög másik két oldalát? II Az x és y nemnegatív számokra igaz, hogy 5x + 6y = 50. Állapítsd meg az x + y és az xy legkisebb és legnagyobb értékét! IV. Egy téglatest élei egész számok, egyik éle 6 egység. Mekkora a másik két éle, ha a téglatest felszínének és térfogatának a mérőszáma egyenlő? 5

00. 00x 00 függvény értékkészletét! x Határozd meg az f x =. Oldd meg az Egy háromszög két oldala 00 és 00 egység. Milyen határok között mozoghat a harmadik oldal? Egy húrtrapéz területe területegység, magassága egység, szárainak hossza egység. Számítsd ki az alapok hosszát! x 6 x 5x 4 egyenletet az egész számok halmazán! = x 4 x a b c kifejezés értéke, ha a b c = 0 és a b c 0? bc ac ab Mennyi az Egy rombusz egyik szöge fele a másiknak. Mekkora a területének os értéke, ha a magassága 00 egység? Igazold, hogy az x x kifejezés nem egyszerűsíthető -vel, ha x pozitív egész x x szám! Egy derékszögű háromszög befogói a és b, az átfogóhoz tartozó magassága m. Iga zold, hogy =! a b m 4 I Egy négyszög oldalai rendre: a; b; c és d egység hosszúak. igazold, ha a négyszög átlói merőlegesek egymásra, akkor a c = b d! Milyen értékeket vehet fel az a b kifejezés, ha a 4ab b = 0? ab 8 II Két kör sugara 50 és 0 egység. Közös külső érintőszakaszuk másfélszer akkora, mint a közös belső érintőszakaszuk. Számítsd ki a körök középjának távolságát! IV. Oldd meg a valós számok halmazán az a b c = és ab = c 4 egyenletekből álló egyenletrendszert! 6

00. x 6x 9 Oldd meg a valós számok halmazán az = x egyenletet! x Határozd meg az f x = x 00 függvény értelmezési tartományát a valós számok halmazán! Egy konvex sokszög belső szögeit egy kivételével összeadjuk és 00º-ot kapunk. Hány fokos a kimaradt szög? Alakítsd elsőfokú tényezők szorzatává a következő polinomot: A = x 6x x 6 Egy háromszög két oldala 5 és 0 egység, a 0 egységnyi oldalhoz tartozó súlyvonal hossza 5 egység. Számítsd ki a háromszög területét! Legyenek x és y pozitív számok, határozzuk meg az x y kifejezés érték x y készletét! Oldd meg a pozitív valós számok halmazán az x x = x x 8 egyenletet! A p valós paraméter mely értékeire van a = 4 p egyenletek negatív gyöke? x 4 Oldd meg a valós számok halmazán a x 6x 6 = x x egyenletet! I Az ABCD téglalapban AB=,4BC. A téglalapot az A csúcsból, mint középból úgy nagyítjuk, hogy az új téglalap területe az eredetinek,5-szorosa legyen. A nagyítás következtében a téglalap átlója egységgel lesz nagyobb. Mekkorák az eredeti téglalap oldalai? 0 8 II Az ax bx c = 0 a 0 egyenlet együtthatói egész számok. Igazolt, hogy az egyenlet diszkriminánsa nem lehet sem 00, sem 00, viszont a 00 lehet, és adj rá egy megoldási lehetőséget is! 0 IV. Az n, k, p pozitív egész számok közül a p prímszám a legkisebb. E három szám ösz szege 0 tudjuk még, hogy a n ; k ; p számok számtani közepe 49. Melyek 4 ezek a számok? 7

00 004x függvény értelmezési tartományát! x 004x Határozd meg az f x =. Mennyi az a + b + c + d összeg ha a b c d = 004, és minden betű egy-egy prímszámot jelöl? Add meg 45-nek azt a legkisebb pozitív többszörösét, amely csak a 0 és 8 számjegyeket tartalmazza! Egy háromszög oldalai egész számok: az egyik oldala 5 egység, a másik oldala 6 egység. Mekkora lehet a harmadik oldala, ha tudjuk, hogy prímszám? Egy háromszög oldalai 9 ; és 5 egység hosszúak. Számítsd ki a háromszögbe írható kör sugarának os értékét! Az a; b; c és d számok növekedő sorrendben következő szomszédos természetes számok. Igazold, hogy a b c osztható d-tel! Egy diáknak egy tanévben matematikából összesen 0 osztályzata volt, melyek közül az alábbi nyolc volt beírva az ellenőrzőjébe: ; ; ; ; ; 4; 4; Milyen jegyeket nem írt be az ellenőrzőjébe, ha a tíz osztályzat átlaga,-volt? Szerencsés Dániel az 5-ös LOTTÓ növekvő sorrendbe bemondott nyerőszámait hallgatja a hírekben. Az első nyerőszámot nem hallotta, mert éppen akkor kapcsolta be a rádiót, így a 7-es 47-es és a 8-es számokat hallja. Az ötödik számot áramkimaradás miatt nem tudta meg, de így kiáltott fel: 5 TALÁLATOM VAN!. Legkevesebb hány szelvénnyel játszott Dani ezen a héten? 4 Az alábbi számpiramis négyzeteibe (a legalsó sort kivéve) a négyzet alatt lévő két négyzetben szereplő számok összegét írjuk be. Határozd meg a legalsó sorban szereplő számok összegét! 8 Egy téglatest élei egész számok, egyik éle 6 egység. Mekkorák az ismeretlen élek, ha felszínének és térfogatának mérőszáma egyenlő? II Az ABCD derékszögű trapéz párhuzamos oldalai AB = a és CD = b, a B csúcsból induló belső szögfelező a merőleges AD szárat felezi. Számítsd ki a trapéz területét! IV. Oldd meg a valós számok halmazán az a b c = a b c egyenletet! I 8

00 Andrásnak háromszor annyi pénze van, mint Csaba pénze felének a kétharmada. Melyiknek van több pénze?. Határozd meg az f x = x 6x 7 függvény értékkészletét! Oldd meg az egész számok halmazán x 00 = 0 egyenletet! Hány olyan háromszög létezik, amelynek egyik oldala egység, másik oldala 005 egység, ha az oldalai egész számok? (Az egybevágó háromszögeket nem tekintjük különbözőnek.) Egy tanulónak a 9. osztály első félévében 0 osztályzata volt matematikából, melyekből a következőkre emlékezett:,,,, 4, 4, Mi lehetett a hiányzó három osztályzata, ha tudta, hogy a tíz osztályzat átlaga,? Melyik az a legkisebb háromjegyű pozitív egész szám, amelyet a 005-höz hozzáadva -gyel osztható számot kapunk? Egy ötemeletes házat hányféleképpen tudunk kifesteni, ha minden szintet vagy kékre, vagy sárgára festünk, de két kék szint nem kerülhet egymás fölé? Egy háromszög a,b,c oldalaira igaz, hogy ab c ac b. Igazold, hogy a há = x ab b ac romszög egyenlő szárú vagy derékszögű! 4 I Egy háromjegyű szám a tízes számrendszerben xxx alakú. Milyen alapú számrendszerben lesznek ennek a számnak a számjegyei 4x, x, és x alakúak? 8 Egy könyv oldalait megszámoztuk -gyel kezdve és 005-tel bezárólag. Hányszor fordul elő a számozásban az -es számjegy? 9 II Egy háromszög két oldala 9 cm és 7 cm, a harmadikhoz tartozó súlyvonal 6 cm hosszú. Számítsd ki a háromszög területét! IV. Egy derékszögű háromszög oldalai egész számok. Egyik befogója ab kétjegyű szám, átfogója pedig a számjegyek felcserélésével kapott kétjegyű szám. Mekkora a háromszögbe írható kör sugara? 9

00 Mi lesz az utolsó számjegye a 006 006 kifejezésnek? Röviden indokolj!. Milyen számjegy írható az x helyébe, hogy a 7 és a 4x háromjegyű számok összege osztható legyen 9-cel? Hagyj el egy számot az,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 számok közül úgy, hogy a megmaradt számok átlaga 5 legyen! Melyik számot kell elhagynod? Egy 6 fős társaságból elment a lányok fele, így a társaság 5 részére csökkent. 6 Hány fiú van a társaságban? Egy háromszög belső szöge 8. A másik két belső szög különbsége 0 Mekkora a háromszög legkisebb külső szöge? Egy családban minden fiúnak ugyanannyi fiútestvére van, mint leánytestvére és minden lánynak kétszer annyi fiútestvére van, mint leánytestvére. Hány gyerek van a családban? Egy pénzérmét háromszor feldobunk, mekkora annak a valószínűsége, hogy két fejet és egy írást dobunk? Hozd a legegyszerűbb alakba az a a kifejezést! Szabj feltételt! a 5a 6 4 I Egy háromjegyű számból levonjuk a fordítottját, azaz számjegyei fordított sorrendben való felírásával kapott számot, és eredményül 97-et kapunk. A háromjegyű számok hányad részére teljesül a feltétel? 8 Egy konvex sokszög oldalainak a számát megdupláztuk, így átlóinak a száma 600%kal növekedett. Hány oldalú az eredeti sokszög? Mennyi az új sokszög belső szögeinek összege? 9 II Egy 000 Ft-os rádiót valahány %-kal leértékeltek, majd egy hét múlva ismét leértékelték néhány %-kal, a rádió ára a második leértékelés után 060 Ft lett. Hány %-kal értékelték le az árút, ha a leértékelés százalékos mértéke mindkét esetben pozitív egész egyjegyű szám volt? IV. Egy körvonal két merőleges húrja a és b, illetve c és d hosszúságú darabokra osztja egymást. Mekkora a kör sugara, ha a b c d = 900? 0

00 Melyik az a legkisebb természetes szám, amelyben a számjegyek összege 007?. Egy pozitív egész szám 5%-a kisebb 5-nél, a 0%-a pedig nagyobb 5-nél. Hány ilyen szám létezik? Egy szimmetrikus trapéz alapjai 0 és 6 egység hosszúak, kerülete 6 egység. Számítsd ki a területét! 007 függvény értelmezési tartományát! x Határozd meg az f x = Egy derékszögű háromszög egyik befogója 0 egység, a köré írható kör területe 676 egység. Számítsd ki a kerületét! Adj meg három olyan valós számot os értékkel amelyek bak, de -nél nagyob7 -nál kisebbek! 6 Egy tanulónak a tanévben matematikából összesen 0 osztályzata volt, kiszámolta, hogy az átlaga osan,. A következő osztályzatokra emlékezett:,,, 4, 4, 4, Mi lehetett a hiányzó három jegye? A,4,5,6 számjegyekből négyjegyű számokat írunk fel úgy, hogy egy számjegy többször is szerepelhet. Hány különböző néggyel osztható számot képezhetünk? Indokolj! I Melyek azok a tízes számrendszerbeli kétjegyű természetes számok, amelyekre igaz, hogy a szám 7-tel nagyobb, mint számjegyeinek szorzata? Egy téglatest élei: 00cm, 70cm és 60cm hosszúak. A leghosszabb éllel párhuzamosan, egy négyzetes oszlop alakú furatot kiveszünk belőle. A maradék test térfogata 7 része az eredeti test térfogatának. Mekkora a maradék test felszíne? 4 II Egy baráti társaság rendszeresen játszik az 5-ös lottón. Egy alkalommal 4-es találatuk volt. Az első játékos kapott 0000 Ft-ot, és a maradék tized részét. A második játékos kapott 40000 Ft-ot, és a maradék tized részét, és így tovább Az osztozkodás után kitűnt, hogy a játékosok mindegyike egyenlő összeget kapott. Mekkora volt a nyeremény, és hány tagú a társaság? IV. Igazold, ha a, b, c, x, y, és z nullától különböző valós számok, és igaz, hogy a b c = ax by cz valamint, x y z = ax by cz akkor az a b c érték állandó! x y z

00 Melyik az a legkisebb természetes szám, amely 7-tel osztva 6, 8-cal osztva 7, valamint 9-cel osztva 8 maradékot ad?. Egy négyzet átlója 008 egység. Számítsd ki a kerületét! Mi az utolsó számjegye az A = 008 hatványnak? Hányféle háromszínű zászlót készíthető 5 színből, ha minden szín csak egyszer fordulhat elő minden zászlón? Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 89 cm, a befogók különbsége cm. Mekkora a köré irható kör kerületének os értéke? Határozd meg az f x = x 008 függvény értelmezési tartományának legkisebb x 009 elemét az egész számok halmazán! 008 0 egyenlőtlenséget! 6x x Oldd meg az egész számok halmazán a Egy 0 fős osztályban témazárót írtak matematikából: jeles, 0 közepes, 5 elégséges dolgozatot írtak. Az osztályátlag,9 és,95 közé esik. Hányan írtak négyes dolgozatot? I Ha két természetes szám szorzatához hozzáadjuk az összegüket 008-at kapunk. Melyik lehet ez a két szám? 8 Melyek azok az ötjegyű természetes számok, amelyek négyzetszámok és köbszámok is egyben? Indokolj! II Egy háromszög alakú telek oldalainak aránya 5:5:6 A telek területe 50 m. a) Számítsd ki a telek kerületét! b) A tulajdonos olyan kör alakú házat szeretne építeni rá, amelynek középja egyenlő távolságra van a telek oldalaitól. Mekkora ez a távolság? IV. Egy konvex sokszög belső szögeinek összege p 80, ahol p olyan 008-nál kisebb prímszám, mely számjegyeinek a szorzata 4, és a két utolsó számjegye különböző. Hány oldalú a sokszög?

009. Melyik az a legkisebb természetes szám, amely osztható 7-vel, és csak a 0 és az számjegyeket tartalmazza? Válaszodat indokold! Egy háromszög külső szögeinek az aránya :: Mekkora a háromszög legnagyobb belső szöge? Oldd meg a valós számok halmazán az x x 8 = 0 egyenletet! Az ABC háromszög beírt körének a középja K, az AKB szög 00 -os. Mekkora a háromszög ACB szöge? Egy szabályos dobókockát kétszer feldobunk, és leírjuk egymás után a dobott számokat. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az így kapott kétjegyű szám néggyel osztható? Egy körbe írt egyenlőszárú háromszög szára cm. Mekkora a kör kerülete? Pontos értékkel számolj! Fessük be a pozitív egész számokat sárgára vagy kékre úgy, hogy teljesüljön az alábbi két feltétel: sárga + kék = kék és sárga kék = sárga! Milyen színű a sárga sárga? Ha összeszoroznád -től 009-ig a pozitív egész számokat, hány nullára végződne a szorzat? Indokolj!. 4 I 4 x y Határozd meg az os értékét, ha x y = és x y =! x y Szerencsés Szabolcs rendszeresen játszik az ötös lottón, de mindig a következő módon választja ki a 90 számból a megjátszandó számokat: a legkisebb két szám megválasztása után a harmadik szám egyenlő az első két szám összegével, a negyedik szám az első három szám összegével, az ötödik pedig az első négy szám összegével. Ha a lehető legnagyobbra választja a legkisebb számot, akkor mely 5 számot játssza meg a lottón? II Egy derékszögű háromszög befogói: a = 5 cm és b = cm. az átfogóhoz tartozó magasság két háromszögre bontja az eredeti háromszöget. Mekkora a két kisebb derékszögű háromszögre írható kör sugara? (Pontos értékekkel számolj!) IV. Fejezd ki az x y z szorzatot az a, b, c segítségével, ha x y z = b, x y z = c! x y z = a,

00. 450 lónak és néhány kacsának összesen 00 lába van. Hány fejük van összesen?. Mi az utolsó számjegye a 00 Számítsd ki az A = b= 00 00 0 összegnek? Indokolj? a b a b kifejezés os értékét, ha a = 00 és ab! 00 5 = egyenletet! x 00 Oldd meg a Határozd meg az f x = Ha a és a - 00 átlaga x, és a és a + 00 átlaga y, akkor mennyi az x és y átlaga? Egy szabályos dobókockát kétszer feldobunk, és leírjuk egymás mellé a dobott számokat. Mekkora az esélye (valószínűsége), hogy az így kapott kétjegyű számok prímszámok? Igazold, hogy a háromszög derékszögű vagy egyenlőszárú, ha oldalaira igaz, hogy a b c 4 = b4 a b! 00 x függvény értelmezési tartományát! x Négy szám összege 4500, ha az első számhoz -t adunk, a másodikból -t elveszünk, a harmadikat megfelezzük, a negyediket pedig megkétszerezzük, ugyanazt a számot kapjuk. Melyek ezek a számok? 5 I Bizonyítsd be, hogy 8 x x x egész szám, ha x is egész! 0 4 0 II Igazold, hogy bármely háromszögben ma mb m c 9r, ha ma; mb és mc a háromszög magasságai, r pedig a beírható kör sugara! IV. Oldd meg az abc abc 6 abc = ; = = és egyenletekből álló egyenleta b b c 5 a c rendszert! 4

0. a b Igaz-e minden pozitív számra az = a ab b egyenlőség? a b Nyolc falu között javítják az úthálózatot. Legalább hány utat kell rendbe hozni ahhoz a falvak között, hogy bármely faluból bármelyik faluba javított úton tudjanak eljutni? (Röviden indokolj!) Hozd a legegyszerűbb alakra az A = x x x x törtet, ha x x! Az f x = x függvény grafikonjának valamely P jából az x tengelyre állított merőleges szakasz hossza 6 egység. Milyen távol van e az y tengelytől? Egy háromszög egyik belső szöge 5º. A másik két belső szög közül az egyik 0º-kal nagyobb a másiknál. Hány fokos a háromszög legkisebb külső szöge? Melyik az a legkisebb természetes szám, amely -gyel osztva 0, -mal osztva maradékot ad? (Röviden indokolj!) Ha egy szám felét összeszorozzuk az ötödével, a szám 0-szeresét kapjuk. Melyik ez a szám? Hány olyan x egész szám van, amelyre az x is egész? x I Egy szimmetrikus trapéz középvonala 0 egység, az átlói merőlegesek egymásra. Számítsd ki a trapéz területét! 8 Két pozitív egész szám szorzatából kivontam a számokat, eredményül 0-et kaptam. Melyik ez a két szám, ha a számok sorrendje nem számít? II A ZIPI KUPA matematikaversenyen egyik alkalommal András, Bea és Cili is harmadik díjat kapott, de a számuk kicsit különböző volt. A zsűri úgy döntött, hogy differenciálja a díjakat: ha András díját -ával, Beáét -ával, Ciliét -ével 8 5 csökkentenék, akkor egyenlő összegű utalványokat kaptak volna. Mennyit kaptak külön-külön, ha összesen 750 Ft volt a jutalmuk? IV. Egy háromszög oldalai egész számok, és c = p, amely prímszám. A háromszög a és b oldalaihoz tartozó magasságok összege egyenlő a c oldalhoz tartozó magassággal. Mekkorák a háromszög oldalai? 5