Matematika középszint 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 20 május MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM
Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak megfelelően jelölni a hibákat, hiányokat stb 2 A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsőben a feladatra adható maximális pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette levő téglalapba kerül Kifogástalan megoldás esetén elég a maximális pontszám beírása a megfelelő téglalapokba 4 Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra 5 Az ábrán kívül ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti Tartalmi kérések: Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk Amennyiben azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenértékű részeit, és ennek alapján pontozzon 2 A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók Az adható pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek Nyilvánvalóan helyes gondolatmenet és végeredmény esetén maximális pontszám adható akkor is, ha a leírás az útmutatóban szereplőnél kevésbé részletezett 4 Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, és a megoldandó probléma lényegében nem változik meg, akkor a következő részpontszámokat meg kell adni 5 Elvi hibát követően egy gondolati egységen belül (ezeket az útmutatóban kettős vonal jelzi) a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont Ha azonban a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel, mint kiinduló adattal helyesen számol tovább a következő gondolati egységben vagy részkérdésben, akkor erre a részre kapja meg a maximális pontot, ha a megoldandó probléma lényegében nem változott meg 6 Ha a megoldási útmutatóban zárójelben szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor ennek hiánya esetén is teljes értékű a megoldás 7 Egy feladatra adott többféle helyes megoldási próbálkozás közül a vizsgázó által megjelölt változat értékelhető 8 A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális pontszámot meghaladó pont) nem adható 9 Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel 0 A vizsgafeladatsor II B részében kitűzött feladat közül csak 2 feladat megoldása értékelhető A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben feltehetőleg megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, amelynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába Ennek megfelelően a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani Ha mégsem derül ki egyértelműen, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor automatikusan a kitűzött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz az, amelyet nem kell értékelni írásbeli vizsga 09 2 / 2 20 május
a ( a 2 +) I Összesen: Ez a nem bontható 2 A tankönyvek ára 600 Ft A füzetek ára 2250 Ft Összesen: 28 Az M-es pólók relatív gyakorisága: 0, 2 6 Az L-es méret a módusz Átlagosan 86 darabot adtak el Összesen: pont A legalább két tizedesjegyre történő helyes kerekítés is elfogadható Ha 22-t válaszol, akkor is megkapja a pontot 4 Az igaz állítás betűjele: A, C Összesen: Egy-egy helyes válasz - Ha B szerepel, 0 pont 5 x = 2 ; y = 9 Összesen: 6 A kézfogások száma 9 Összesen: Ha a vizsgázó 8 kézfogást ír, ot kap 7 0 X Y = 24 0 02 X Y = 2,4 0 Összesen: Helyes végeredmény esetén ez a pont is jár írásbeli vizsga 09 / 2 20 május
8 q = 4 2 a = a 5 q 27 a 5 = ( =,75) 8 Összesen: pont 9 256 = h 0a + 256 a vagy 82 = 0 82 256 a = 0 Az alkar a = 29 cm hosszú Összesen: pont Helyes válasz esetén ez a pont is jár 0 Két év alatt az érték,2,( =,56) -szorosára nő Két év után a könyv értéke: ( 2000,2, = ) 5880 Ft A növekedés 56%-os Összesen: pont b < 0 b = 0 Összesen: 2 A={; 2; ; 4; 6; 9; 2; 8; 6} B={; 4; 6} A B ={; 4} A \ B = {2; ; 6; 9; 2; 8; 6} Összesen: 4 pont Ez a pont csak a teljes felsorolásért jár Ez a pont csak a teljes felsorolásért jár írásbeli vizsga 09 4 / 2 20 május
a) első megoldás 2 2 II A Mivel ( x ) = x 2x +, 2 ( 2 = így a megoldandó egyenlet: x x 2x + ) 2, 2 2 azaz x x + 2x = 2 Ebből x = 2 Ellenőrzés Ez a nem bontható A pont a zárójel szükségességének ismeretéért jár Akkor is adjuk meg a pontot, ha a vizsgázó írásban nem jelöli, de jól bontja fel a zárójelet a) második megoldás Felismeri az alkalmazható azonosságot 2 2 x ( x ) = 2 ( x ( x ) )( x + ( x ) ) = 2, Akkor is adjuk meg az - pontot, ha a vizsgázó ebből ( x x + )( 2x ) = 2 írásban nem jelöli, de jól bontja fel a zárójelet Ebből x = 2 Ellenőrzés b) Az -nél nagyobb x-ek esetén * x lg x lg( x ) = 2 lg = 2 x (A logaritmus definíciójából adódik, hogy) x x = 00 Azaz x = 00( x ), 00 Ebből = (,0) Ez az a logaritmus azonosságának helyes alkalmazásáért jár x 99 Ellenőrzés A *-gal jelölt pont akkor is jár, ha a kapott gyököt az eredeti egyenletbe való behelyettesítés alapján fogadja el írásbeli vizsga 09 5 / 2 20 május
4 A telefonszám 7-jegyű, így egy 4 és egy számból álló oszlop számaiból áll Két lényegesen különböző eset van: az első számjegy vagy a középső oszlopból, vagy valamelyik szélső oszlopból való Első eset Ha a középső oszlop számjegyeivel kezdődik a szám, akkor mivel 0-val nem kezdődhet a telefonszám az első számjegy -féle lehet A 4 számjegynek! = 8 sorrendje lehetséges Ekkor az első 4 számjegyet követő számjegy vagy az első, vagy a harmadik oszlop számjegyeiből adódik A számjegy mindkét esetben! = 6-féle sorrendben írható Az így adódó 7-jegyű telefonszámok száma:!! 2 = 26 ( ) Második eset A telefonszám első számjegye az első oszlopban álló számjegyekből áll Azok sorrendje! = 6-féle lehet, és mindegyik elrendezés esetében az azokat követő 4 jegy sorrendje (a középső oszlopból) 4! = 24-féle lehet Így az ilyen telefonszámok száma! 4! ( = 44) Hasonlóan adódik, hogy a harmadik oszlop számjegyeivel kezdődő telefonszámok száma is! 4! = 44 ugyanannyi ( ) A feltételeknek eleget tevő 7-jegyű telefonszámok száma 26 + 44 + 44 = 504 Összesen: Ez az - akkor is jár, ha a vizsgázó ezeket a gondolatokat csak felhasználja a megoldása során Ha nem említi mindkét lehetőséget, ot kaphat írásbeli vizsga 09 6 / 2 20 május
5 a) csak maximuma van csak minimuma van minimuma és maximuma is van nincs szélsőértéke g j f h; m Helyesen beírt függvény betűjele, ha ez a betűjel csak egy helyen szerepel 5 pont Összesen: 5 pont 5 b) y Ha tudja, hogy a függvény képe egy felfele nyitott parabola íve x pont A tengelypont jó helyen van Ha figyelembe veszi az adott értelmezési tartományt Értékkészlete [ 4;5] A k ( x) = 0 egyenlet megoldásai ( és 5) közül csak az tartozik az értelmezési tartományba, tehát ez a zérushely Összesen: 7 pont Ha a vizsgázó nem veszi figyelembe az adott értelmezési tartományt, legfeljebb adható Ha vizsgázó a k ( x) = 0 egyenlet mindkét megoldását megadja zérushelyként, legfeljebb adható írásbeli vizsga 09 7 / 2 20 május
6 a) II B P D 5 cm A α 42 cm 44 cm β B h β 70 cm α C E Az ABD és a CBE háromszög hasonlók, mert szögeik páronként egyenlők (csúcsszögek, illetve váltószögek) Ezért (a megfelelő oldalaik aránya is egyenlő, tehát) BE 70 42 = 44 70 BE = 42 66,8 (cm) 44 A DE tartórúd tehát 09 cm hosszú Összesen: 7 pont 6 b) Az ABD háromszögben számoljuk ki pl az α szöget koszinusztétel alkalmazásával 2 2 2 42 = 5 + 44 2 5 44 cosα Ebből cos α 0,679, α 5, 8 Az APC derékszögű háromszögből: h = AC sinα, azaz h 4 sin 5,8 89, 6 (cm) Ez a pont akkor is jár, ha a gondolat csak a megoldásban jelenik meg A vasalófelület tehát (90+=) 9 cm magasságban van a padló felett Összesen: 0 pont Az ABD háromszög másik két szögének nagysága β 72, 7 és ADB 55,5 Ha a másik tartórúd segítségével számol, akkor h 09 sin 55,5 89, 8 cm adódik, ami kerekítve ugyancsak 90 cm írásbeli vizsga 09 8 / 2 20 május
7 a) első megoldás Összesen 6 -féle (egyenlően valószínű) dobássorozat lehetséges a) 00 zseton a nyeremény: Mindhárom dobás páros Ez -féleképpen következhet be 00 zsetont = valószínűséggel nyerhet 6 8 a játékos a2) 500 zseton a nyeremény: Az első dobás -es, a második páros és a harmadik páratlan Ez -féleképpen következhet be Az, hogy az első dobás -es, a második páratlan és a harmadik páros szintén -féleképpen teljesülhet A kedvező esetek száma + ( = 8) 2 500 zsetont = valószínűséggel nyerhet 6 2 a játékos a) 800 zseton a nyeremény: Az első dobás -as, a másik kettő pedig páratlan Ez -féleképpen következhet be (Mivel a három dobás 6 -féle lehet, így) annak a valószínűsége, hogy 800 zsetont nyer 6 = 24 a4) 2000 zseton a nyeremény: Mivel a kedvező esetek száma, így a 2000 zsetonos nyeremény valószínűsége 6 = 26 Összesen: írásbeli vizsga 09 9 / 2 20 május
7 a) második megoldás a) 00 zseton a nyeremény: Mivel (a három dobás eredménye független egymástól, és) minden dobás eredménye valószínűséggel lesz páros, 2 ezért 00 zsetont = valószínűséggel 2 2 2 8 nyerhet a játékos a2) 500 zseton a nyeremény: Annak a valószínűsége, hogy az első dobás -es lesz 6 Annak a valószínűsége, hogy a második páros és a harmadik páratlan 2 2 Ugyanennyi annak a valószínűsége is, hogy 2 2 a második dobás páratlan és a harmadik páros Annak a valószínűsége, hogy az egyik dobás páros, a másik páratlan + =, 2 2 2 2 2 így 500 zsetont = valószínűséggel nyerhet 6 2 2 a játékos a) 800 zseton a nyeremény: Annak a valószínűsége, hogy az első dobás -as, 6 annak pedig, hogy a további két dobás páratlan 2 2 800 zsetont = valószínűséggel nyerhet 6 2 2 24 a játékos a4) 2000 zseton a nyeremény: A három dobás bármelyike során az 5-ös dobásának valószínűsége, 6 Vagy: a második és harmadik dobás eredménye paritás szempontjából 4-féle lehet (ps-ps, ps-pt, pt-ps és pt-pt), és mivel mindegyik ugyanakkora valószínűséggel következik be, a kedvező esetek bekövetkezésének valószínűsége 0,5 (és mivel a három dobás eredménye független egymástól,) ezért 2000 zsetont = valószínűséggel nyerhet 6 6 6 26 a játékos Összesen: írásbeli vizsga 09 0 / 2 20 május
7 b) A nyertes dobássorozat komplementer eseménye olyan forduló, amelyben nem nyer a játékos Az esemény és a komplementer esemény valószínűségének összege Nyerési esély + + +, 8 2 24 26 27 8 9 55 azaz + + + = ( 0, 25) 26 26 26 26 26 Tehát annak a valószínűsége, hogy a játékos nem 55 6 nyer = ( 0,75) 26 26 8 a) első megoldás A sütemények száma többszöröse a 6-nak és a 8-nak is 6 és 8 legkisebb közös többszöröse 44 A sütemények száma ezért a 44-nek többszöröse A 44 többszörösei közül a 400 és az 500 közé csak a 44 háromszorosa esik A sütemények száma 42 Ez a pont akkor is jár, ha a vizsgázó ezeket a gondolatokat csak felhasználja a megoldása során Akkor is jár a pont, ha ez a gondolat csak a megoldás menetéből derül ki Akkor is jár a pont, ha ez a gondolat csak a megoldás menetéből derül ki 8 a) második megoldás Ha egy lány n db süteményt sütött és egy fiú k db-ot kapott, akkor a sütemények száma 6 n és 8 k módon is kiszámítható, azaz 6 n = 8k 9k (Ebből n = Mivel n és k is pozitív egész és 8 ( 9 ; 8) =, így) k osztható 8-cal A sütemények száma 400 és 500 közé esik, így 400 < 8k < 500, azaz 2 k 27 Ezek közül csak a 24 osztható 8-cal, ezért k = 24 A sütemények száma tehát 8 24, azaz 42 írásbeli vizsga 09 / 2 20 május
8 b) 4 cm 4 cm A C α 2,5 cm B Modellt talál a feladathoz (pl felülnézeti ábrát készít, amelyen a kívánt elhelyezésben tünteti fel a süteményeket) Az ABC egyenlő szárú háromszögből: α,25 sin = = 0,25 2 4 o o Ebből α 6, 4 ( 6,4 < α < 6,42 ) o 60 (Mivel 9 < < 0, ezért) Dani legfeljebb α 9 darabot tudott elhelyezni a tálon a leírt módon 8 c) A rombusz alakú sütemény felülnézetének területe 9,5 cm 2 A linzerkarika felülnézetének területe 2 2 2 π x π (cm 2 ) 4π x 2 π 9,5 x 0,99 Azaz a linzerkarika belső körének sugara kb cm Összesen: 5 pont A területet kiszámíthatja az előző részben kapott szög segítségével, vagy kiszámítja a rombusz másik átlójának a hosszát ( 7,6 cm; ) és az átlókkal számítja a területet () írásbeli vizsga 09 2 / 2 20 május